Ang haba ng vector a → ay ilalarawan ng isang → . Ang notasyong ito ay katulad ng modulus ng isang numero, kaya ang haba ng isang vector ay tinatawag ding modulus ng isang vector.
Upang mahanap ang haba ng isang vector sa eroplano sa pamamagitan ng mga coordinate nito, kinakailangang isaalang-alang ang isang rectangular Cartesian coordinate system O x y . Hayaan itong maglaman ng ilang vector a → na may mga coordinate a x ; a y . Ipinakilala namin ang isang formula para sa paghahanap ng haba (modulus) ng vector a → sa mga tuntunin ng mga coordinate a x at a y .
Itabi ang vector O A → = a → mula sa pinanggalingan. Tukuyin natin ang kaukulang projection ng point A sa coordinate axes bilang A x at A y . Ngayon isaalang-alang ang isang parihaba O A x A A y na may dayagonal O A .
Mula sa Pythagorean theorem ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , kung saan O A = O A x 2 + O A y 2 . Mula sa kilalang kahulugan ng mga coordinate ng isang vector sa isang rectangular Cartesian coordinate system, nakuha namin na ang O A x 2 = a x 2 at O A y 2 = a y 2 , at sa pamamagitan ng pagbuo, ang haba ng O A ay katumbas ng haba ng vector O A → , samakatuwid, O A → = O A x 2 + O A y 2.
Kaya lumalabas na formula para sa paghahanap ng haba ng isang vector a → = a x ; a y ay may katumbas na anyo: a → = a x 2 + a y 2 .
Kung ang vector a → ay ibinigay bilang pagpapalawak sa mga coordinate vectors a → = a x i → + a y j → , kung gayon ang haba nito ay maaaring kalkulahin gamit ang parehong formula a → = a x 2 + a y 2 , sa kasong ito ang mga coefficient a x at a y ay kumikilos bilang mga coordinate ng vector a → sa ibinigay na coordinate system.
Halimbawa 1
Kalkulahin ang haba ng vector a → = 7 ; e , na ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system.
Solusyon
Upang mahanap ang haba ng isang vector, gagamitin namin ang formula para sa paghahanap ng haba ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Sagot: a → = 49 + e .
Formula para sa paghahanap ng haba ng isang vector a → = a x ; a y ; a z sa pamamagitan ng mga coordinate nito sa Cartesian coordinate system Oxyz sa kalawakan, ay hinango katulad ng formula para sa kaso sa eroplano (tingnan ang figure sa ibaba)
Sa kasong ito, O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (dahil ang OA ay isang dayagonal kuboid), kaya O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Mula sa kahulugan ng mga coordinate ng vector, maaari nating isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , at ang haba ng OA ay katumbas ng haba ng vector na hinahanap natin, samakatuwid, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Ito ay sumusunod na ang haba ng vector a → = a x ; a y ; a z ay katumbas ng a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Halimbawa 2
Kalkulahin ang haba ng vector a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , kung saan ang i → , j → , k → ay ang mga unit vectors ng rectangular coordinate system.
Solusyon
Dahil sa decomposition ng isang vector a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , ang mga coordinate nito ay a → = 4 , - 3 , 5 . Gamit ang formula sa itaas, makakakuha tayo ng → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .
Sagot: a → = 5 2 .
Ang haba ng isang vector sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga punto ng pagsisimula at pagtatapos nito
Sa itaas, ang mga formula ay hinango na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang haba ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate nito. Isinaalang-alang namin ang mga kaso sa eroplano at sa three-dimensional na espasyo. Gamitin natin ang mga ito upang mahanap ang mga coordinate ng vector sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga punto ng pagsisimula at pagtatapos nito.
Kaya, ang mga ibinigay na puntos na may ibinigay na mga coordinate A (a x; a y) at B (b x; b y), kaya ang vector A B → ay may mga coordinate (b x - a x; b y - a y), na nangangahulugan na ang haba nito ay maaaring matukoy ng formula: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
At kung ang mga puntos ay ibinigay na may ibinigay na mga coordinate A (a x; a y; a z) at B (b x; b y; b z) sa tatlong-dimensional na espasyo, kung gayon ang haba ng vector A B → ay maaaring kalkulahin ng formula
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Halimbawa 3
Hanapin ang haba ng vector A B → kung sa isang rectangular coordinate system A 1 , 3 , B - 3 , 1 .
Solusyon
Gamit ang formula para sa paghahanap ng haba ng vector mula sa mga coordinate ng simula at pagtatapos na mga punto sa eroplano, nakukuha natin ang A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Ang pangalawang solusyon ay nagpapahiwatig ng aplikasyon ng mga formula na ito sa turn: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Sagot: A B → = 20 - 2 3 .
Halimbawa 4
Tukuyin kung anong mga halaga ang haba ng vector A B → katumbas ng 30 kung A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .
Solusyon
Una, isulat natin ang haba ng vector A B → ayon sa formula: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Pagkatapos ay tinutumbas namin ang nagresultang expression sa 30, mula dito nakita namin ang nais na λ:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 at l at λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Sagot: λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 \u003d 0.
Paghahanap ng haba ng isang vector gamit ang batas ng mga cosine
Sa kasamaang palad, ang mga coordinate ng isang vector ay hindi palaging kilala sa mga gawain, kaya isaalang-alang natin ang iba pang mga paraan upang mahanap ang haba ng isang vector.
Hayaang ibigay ang mga haba ng dalawang vectors A B → , A C → at ang anggulo sa pagitan ng mga ito (o ang cosine ng anggulo), at kinakailangan upang mahanap ang haba ng vector B C → o C B → . Sa kasong ito, dapat mong gamitin ang cosine theorem sa tatsulok △ A B C , kalkulahin ang haba ng gilid B C , na katumbas ng nais na haba ng vector.
Isaalang-alang natin ang ganitong kaso sa sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 5
Ang mga haba ng mga vectors A B → at A C → ay katumbas ng 3 at 7, ayon sa pagkakabanggit, at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng π 3 . Kalkulahin ang haba ng vector B C → .
Solusyon
Ang haba ng vector B C → sa kasong ito ay katumbas ng haba ng gilid B C ng tatsulok △ A B C . Ang mga haba ng mga gilid A B at A C ng tatsulok ay kilala mula sa kundisyon (katumbas sila ng mga haba ng kaukulang vectors), ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala rin, kaya maaari nating gamitin ang cosine theorem: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Kaya, B C → = 37 .
Sagot: B C → = 37 .
Kaya, upang mahanap ang haba ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate, mayroong mga sumusunod na formula a → = a x 2 + a y 2 o a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, ayon sa mga coordinate ng mga punto ng simula at pagtatapos. ng vector A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 o A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, sa ilang mga kaso ang cosine theorem dapat gamitin.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Sa wakas, nakuha ko ang aking mga kamay sa isang malawak at pinakahihintay na paksa analytical geometry. Una, kaunti tungkol sa seksyong ito ng mas mataas na matematika…. Tiyak na naalala mo na ngayon ang kursong geometry ng paaralan na may maraming theorems, ang kanilang mga patunay, mga guhit, atbp. Ano ang itatago, isang hindi minamahal at madalas na nakakubli na paksa para sa isang makabuluhang proporsyon ng mga mag-aaral. Analytic geometry, kakaiba, ay maaaring mukhang mas kawili-wili at naa-access. Ano ang ibig sabihin ng pang-uri na "analytical"? Dalawang naselyohang mathematical na parirala ang agad na naiisip: "graphic na paraan ng solusyon" at " pamamaraang analitikal mga solusyon". Paraan ng graphic , siyempre, ay nauugnay sa pagbuo ng mga graph, mga guhit. Analitikal pareho paraan nagsasangkot ng paglutas ng problema nakararami sa pamamagitan ng algebraic operations. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang algorithm para sa paglutas ng halos lahat ng mga problema ng analytical geometry ay simple at transparent, kadalasan ito ay sapat na upang tumpak na ilapat ang mga kinakailangang formula - at ang sagot ay handa na! Hindi, siyempre, hindi ito gagawin nang walang mga guhit, bukod sa, para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa materyal, susubukan kong dalhin ang mga ito nang labis sa pangangailangan.
Ang bukas na kurso ng mga aralin sa geometry ay hindi inaangkin na teoretikal na pagkakumpleto, ito ay nakatuon sa paglutas ng mga praktikal na problema. Isasama ko lamang sa aking mga lektura ang, mula sa aking pananaw, ay mahalaga sa mga praktikal na termino. Kung kailangan mo ng mas kumpletong sanggunian sa anumang subsection, inirerekomenda ko ang sumusunod na medyo naa-access na literatura:
1) Isang bagay na, walang biro, ay pamilyar sa ilang henerasyon: Textbook ng paaralan sa geometry, mga may-akda - L.S. Atanasyan at Kumpanya. Ang hanger na ito ng locker room ng paaralan ay nakatiis na ng 20 (!) reissues, na, siyempre, ay hindi ang limitasyon.
2) Geometry sa 2 volume. Mga may-akda L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ito ay panitikan para sa mas mataas na edukasyon, kakailanganin mo unang volume. Maaaring mawala sa aking larangan ng paningin ang mga bihirang nagaganap na gawain, at pagtuturo magbibigay ng napakahalagang tulong.
Ang parehong mga libro ay libre upang i-download online. Gayundin, maaari mong gamitin ang aking archive sa handa na mga solusyon, na makikita sa pahina Mag-download ng mas mataas na mga halimbawa ng matematika.
Sa mga tool, muli kong inaalok ang sarili kong pag-unlad - software package sa analytical geometry, na lubos na magpapasimple sa buhay at makatipid ng maraming oras.
Ipinapalagay na ang mambabasa ay pamilyar sa mga pangunahing geometric na konsepto at figure: punto, linya, eroplano, tatsulok, parallelogram, parallelepiped, cube, atbp. Maipapayo na tandaan ang ilang mga theorems, hindi bababa sa Pythagorean theorem, hello repeaters)
At ngayon ay sunud-sunod nating isasaalang-alang: ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng vector. Karagdagang inirerekumenda ko ang pagbabasa ang pinakamahalagang artikulo Tuldok na produkto ng mga vector, pati na rin ang Vector at halo-halong produkto ng mga vector. Ang lokal na gawain ay hindi magiging labis - Dibisyon ng segment sa bagay na ito. Batay sa impormasyon sa itaas, maaari mong equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano Sa ang pinakasimpleng mga halimbawa ng mga solusyon, na magpapahintulot matutunan kung paano lutasin ang mga problema sa geometry. Nakakatulong din ang mga sumusunod na artikulo: Equation ng isang eroplano sa kalawakan, Mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo, Mga pangunahing problema sa linya at eroplano , iba pang mga seksyon ng analytic geometry. Naturally, ang mga karaniwang gawain ay isasaalang-alang sa daan.
Ang konsepto ng isang vector. libreng vector
Una, ulitin natin ang kahulugan ng paaralan ng isang vector. Vector tinawag nakadirekta isang segment kung saan ang simula at pagtatapos nito ay ipinahiwatig:
Sa kasong ito, ang simula ng segment ay ang punto , ang dulo ng segment ay ang punto . Ang vector mismo ay tinutukoy ng . Direksyon ay mahalaga, kung muling ayusin ang arrow sa kabilang dulo ng segment, makakakuha ka ng vector, at ito ay ganap na naiibang vector. Ito ay maginhawa upang matukoy ang konsepto ng isang vector na may paggalaw ng isang pisikal na katawan: dapat mong aminin na ang pagpasok sa mga pintuan ng isang institusyon o pag-alis sa mga pintuan ng isang institusyon ay ganap na magkakaibang mga bagay.
Maginhawang isaalang-alang ang mga indibidwal na punto ng isang eroplano, espasyo bilang tinatawag zero vector. Ang nasabing vector ay may parehong dulo at simula.
!!! Tandaan: Dito at sa ibaba, maaari mong ipagpalagay na ang mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano o maaari mong ipagpalagay na sila ay matatagpuan sa kalawakan - ang kakanyahan ng materyal na ipinakita ay wasto para sa parehong eroplano at espasyo.
Mga pagtatalaga: Marami kaagad ang nakatawag pansin sa isang patpat na walang palaso sa designasyon at sinabing naglagay din sila ng palaso sa itaas! Tama, maaari kang sumulat gamit ang isang arrow: , ngunit tinatanggap at record na gagamitin ko mamaya. Bakit? Tila, ang gayong ugali ay nabuo mula sa mga praktikal na pagsasaalang-alang, ang aking mga shooters sa paaralan at unibersidad ay naging masyadong magkakaibang at mabuhok. SA panitikang pang-edukasyon minsan hindi sila nag-abala sa cuneiform, ngunit i-highlight ang mga titik sa bold: , at sa gayon ay nagpapahiwatig na ito ay isang vector.
Iyon ang istilo, at ngayon tungkol sa mga paraan ng pagsulat ng mga vector:
1) Ang mga vector ay maaaring isulat sa dalawang malalaking titik na Latin: 
at iba pa. Habang ang unang letra Kailangan nagsasaad ng panimulang punto ng vector, at ang pangalawang titik ay tumutukoy sa dulong punto ng vector.
2) Ang mga vector ay isinusulat din sa maliliit na letrang Latin:
Sa partikular, ang aming vector ay maaaring muling tukuyin para sa kaiklian ng maliit Latin na titik.
Ang haba o modyul ang non-zero vector ay tinatawag na haba ng segment. Ang haba ng null vector ay zero. Logically.
Ang haba ng isang vector ay tinutukoy ng modulo sign: ,
Kung paano mahanap ang haba ng isang vector, matututunan natin (o uulitin, para sa isang tao kung paano) ilang sandali.
Iyon ay elementarya na impormasyon tungkol sa vector, pamilyar sa lahat ng mga mag-aaral. Sa analytic geometry, ang tinatawag na libreng vector.
Kung ito ay medyo simple - vector ay maaaring iguguhit mula sa anumang punto:
Tinatawag namin noon ang mga naturang vector na pantay (ang kahulugan ng pantay na mga vector ay ibibigay sa ibaba), ngunit mula sa isang purong matematikal na pananaw, ito ay ang PAREHONG VECTOR o libreng vector. Bakit libre? Dahil sa kurso ng paglutas ng mga problema, maaari mong "ilakip" ang isa o isa pang vector sa ANUMANG punto ng eroplano o espasyo na kailangan mo. Ito ay isang napaka-cool na ari-arian! Isipin ang isang vector ng di-makatwirang haba at direksyon - maaari itong "i-clone" ng walang katapusang bilang ng beses at sa anumang punto sa kalawakan, sa katunayan, ito ay umiiral sa lahat ng dako. May ganyang kasabihan ng estudyante: Bawat lecturer sa f ** u sa vector. Pagkatapos ng lahat, hindi lamang isang nakakatawang tula, lahat ay tama sa matematika - ang isang vector ay maaaring ilakip din doon. Ngunit huwag magmadali upang magalak, ang mga mag-aaral mismo ay mas madalas na nagdurusa =)
Kaya, libreng vector- Ito isang grupo ng magkaparehong direksyong mga segment. Ang kahulugan ng paaralan ng isang vector, na ibinigay sa simula ng talata: "Ang isang nakadirekta na segment ay tinatawag na isang vector ...", ay nagpapahiwatig tiyak isang nakadirekta na segment na kinuha mula sa isang ibinigay na hanay, na nakakabit sa isang tiyak na punto sa eroplano o espasyo.
Dapat pansinin na mula sa punto ng view ng pisika, ang konsepto ng isang libreng vector ay karaniwang hindi tama, at ang punto ng aplikasyon ng vector ay mahalaga. Sa katunayan, ang isang direktang suntok ng parehong puwersa sa ilong o sa noo ay sapat na upang bumuo ng aking hangal na halimbawa. iba't ibang kahihinatnan. gayunpaman, hindi libre Ang mga vector ay matatagpuan din sa kurso ng vyshmat (huwag pumunta doon :)).
Mga pagkilos na may mga vector. Collinearity ng mga vectors
SA kurso sa paaralan Isinasaalang-alang ng geometry ang ilang mga aksyon at panuntunan na may mga vector: karagdagan ayon sa tuntuning tatsulok, karagdagan ayon sa panuntunang paralelogram, panuntunan ng pagkakaiba ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero, ang produkto ng scalar ng mga vector, atbp. Bilang isang binhi, inuulit namin ang dalawang panuntunan na partikular na nauugnay sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry.
Panuntunan ng pagdaragdag ng mga vector ayon sa tuntunin ng mga tatsulok
Isaalang-alang ang dalawang arbitrary na di-zero na vector at : 
Kinakailangang hanapin ang kabuuan ng mga vector na ito. Dahil sa katotohanan na ang lahat ng mga vector ay itinuturing na libre, ipinagpaliban namin ang vector mula sa wakas vector : 
Ang kabuuan ng mga vector ay ang vector. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa panuntunan, ipinapayong mamuhunan dito pisikal na kahulugan: hayaan ang ilang katawan na gumawa ng landas kasama ang vector , at pagkatapos ay kasama ang vector . Pagkatapos ang kabuuan ng mga vector ay ang vector ng nagresultang landas na nagsisimula sa punto ng pag-alis at nagtatapos sa punto ng pagdating. Ang isang katulad na panuntunan ay binuo para sa kabuuan ng anumang bilang ng mga vector. Tulad ng sinasabi nila, ang katawan ay maaaring mag-zigzag nang malakas, o marahil sa autopilot - kasama ang resultang sum vector.
Sa pamamagitan ng paraan, kung ang vector ay ipinagpaliban mula sa simulan vector , pagkatapos ay makuha namin ang katumbas tuntunin ng paralelogram pagdaragdag ng mga vector.
Una, tungkol sa collinearity ng mga vectors. Ang dalawang vector ay tinatawag collinear kung sila ay nakahiga sa parehong linya o sa parallel na linya. Sa halos pagsasalita, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel vectors. Ngunit kaugnay ng mga ito, palaging ginagamit ang pang-uri na "collinear".
Isipin ang dalawang collinear vectors. Kung ang mga arrow ng mga vector na ito ay nakadirekta sa parehong direksyon, kung gayon ang mga naturang vector ay tinatawag co-directional. Kung ang mga arrow ay tumuturo sa magkaibang panig, kung gayon ang mga vector ay magiging salungat na direksyon.
Mga pagtatalaga: isinulat ang collinearity ng mga vector gamit ang karaniwang parallelism icon: , habang ang pagdedetalye ay posible: (ang mga vector ay co-directed) o (ang mga vector ay nakadirekta sa tapat).
trabaho ng isang nonzero vector sa pamamagitan ng isang numero ay isang vector na ang haba ay katumbas ng , at ang mga vectors at ay co-directed sa at oppositely directed sa .
Ang panuntunan para sa pagpaparami ng isang vector sa isang numero ay mas madaling maunawaan gamit ang isang larawan: 
Naiintindihan namin nang mas detalyado:
1 Direksyon. Kung ang multiplier ay negatibo, kung gayon ang vector nagbabago ng direksyon sa kabaligtaran.
2) Haba. Kung ang factor ay nasa loob ng o , ang haba ng vector bumababa. Kaya, ang haba ng vector ay dalawang beses na mas mababa kaysa sa haba ng vector. Kung ang modulo multiplier ay mas malaki sa isa, ang haba ng vector nadadagdagan sa oras.
3) Mangyaring tandaan na lahat ng mga vector ay collinear, habang ang isang vector ay ipinahayag sa pamamagitan ng isa pa, halimbawa, . Ang baligtad ay totoo rin: kung ang isang vector ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isa pa, kung gayon ang mga vectors ay kinakailangang collinear. kaya: kung i-multiply natin ang isang vector sa isang numero, makakakuha tayo ng collinear(kamag-anak sa orihinal) vector.
4) Ang mga vector ay codirectional. Ang mga vector at codirectional din. Anumang vector ng unang pangkat ay nakadirekta sa tapat ng anumang vector ng pangalawang pangkat.
Anong mga vector ang katumbas?
Ang dalawang vector ay magkapareho kung sila ay codirectional at may parehong haba. Tandaan na ang co-direction ay nagpapahiwatig na ang mga vector ay collinear. Ang kahulugan ay magiging hindi tumpak (kalabisan) kung sasabihin mo: "Ang dalawang vector ay magkapantay kung sila ay collinear, co-directed at may parehong haba."
Mula sa punto ng view ng konsepto ng isang libreng vector, ang mga pantay na vector ay ang parehong vector, na tinalakay na sa nakaraang talata.
Vector coordinate sa eroplano at sa kalawakan
Ang unang punto ay isaalang-alang ang mga vector sa isang eroplano. Gumuhit ng Cartesian rectangular coordinate system at itabi sa pinanggalingan walang asawa mga vector at:
Mga vector at orthogonal. Orthogonal = Perpendicular. Inirerekomenda kong dahan-dahang masanay sa mga termino: sa halip na parallelism at perpendicularity, ginagamit namin ang mga salita ayon sa pagkakabanggit collinearity At orthogonality.
pagtatalaga: Ang orthogonality ng mga vectors ay nakasulat gamit ang karaniwang perpendicular sign, halimbawa: .
Ang mga itinuturing na vector ay tinatawag coordinate vectors o orts. Nabubuo ang mga vector na ito batayan sa ibabaw. Ano ang batayan, sa tingin ko, ay intuitively malinaw sa marami, higit pa Detalyadong impormasyon makikita sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector.Sa mga simpleng salita, ang batayan at pinagmulan ng mga coordinate ay tumutukoy sa buong sistema - ito ay isang uri ng pundasyon kung saan kumukulo ang isang buo at mayamang geometric na buhay.
Minsan tinatawag ang itinayong batayan orthonormal batayan ng eroplano: "ortho" - dahil ang mga coordinate vectors ay orthogonal, ang adjective na "normalized" ay nangangahulugang unit, i.e. ang haba ng mga batayang vector ay katumbas ng isa.
pagtatalaga: ang batayan ay karaniwang nakasulat sa panaklong, sa loob nito sa mahigpit na pagkakasunud-sunod nakalista ang mga base vector, halimbawa: . Mga vector ng coordinate ito ay ipinagbabawal magpalit ng lugar.
Anuman vector ng eroplano ang tanging paraan ipinahayag bilang: 
, Saan - numero, na tinatawag na mga coordinate ng vector sa batayan na ito. Ngunit ang mismong ekspresyon 
tinawag pagkabulok ng vectorbatayan .
Hinahain ang hapunan:
Magsimula tayo sa unang titik ng alpabeto: . Ang pagguhit ay malinaw na nagpapakita na kapag nabubulok ang vector sa mga tuntunin ng batayan, ang mga isinasaalang-alang lamang ay ginagamit:
1) ang panuntunan ng pagpaparami ng isang vector sa isang numero: at ;
2) pagdaragdag ng mga vector ayon sa tuntunin ng tatsulok: .
Ngayon sa isip na itabi ang vector mula sa anumang iba pang punto sa eroplano. Halatang halata na ang kanyang katiwalian ay "walang humpay na susunod sa kanya." Narito ito, ang kalayaan ng vector - ang vector ay "nagdadala ng lahat sa iyo." Ang property na ito, siyempre, ay totoo para sa anumang vector. Nakakatuwa na ang mga batayan (libre) na mga vector mismo ay hindi kailangang isantabi mula sa pinanggalingan, ang isa ay maaaring iguguhit, halimbawa, sa kaliwang ibaba, at ang isa sa kanang tuktok, at walang magbabago dito! Totoo, hindi mo kailangang gawin ito, dahil ang guro ay magpapakita din ng pagka-orihinal at iguguhit ka ng isang "pass" sa isang hindi inaasahang lugar.
Ang mga Vector , ay eksaktong naglalarawan ng panuntunan para sa pagpaparami ng isang vector sa isang numero, ang vector ay nakadirekta kasama ang batayang vector, ang vector ay nakadirekta sa tapat ng batayan ng vector. Para sa mga vector na ito, ang isa sa mga coordinate ay katumbas ng zero, maaari itong maingat na isulat tulad ng sumusunod:
At ang mga batayang vector, sa pamamagitan ng paraan, ay ganito: (sa katunayan, sila ay ipinahayag sa pamamagitan ng kanilang sarili).
At sa wakas: , . Sa pamamagitan ng paraan, ano ang pagbabawas ng vector, at bakit hindi ko sinabi sa iyo ang tungkol sa panuntunan ng pagbabawas? Sa isang lugar sa linear algebra, hindi ko matandaan kung saan, nabanggit ko na ang pagbabawas ay espesyal na kaso karagdagan. Kaya, ang mga pagpapalawak ng mga vector na "de" at "e" ay mahinahon na isinulat bilang isang kabuuan: 
. Ayusin muli ang mga termino sa mga lugar at sundin ang pagguhit kung gaano kalinaw ang magandang lumang pagdaragdag ng mga vector ayon sa tuntunin ng tatsulok na gumagana sa mga sitwasyong ito.
Itinuturing na agnas ng anyo 
minsan tinatawag na vector decomposition sa system ort(i.e. sa sistema ng mga unit vectors). Ngunit hindi ito ang tanging paraan upang magsulat ng isang vector, karaniwan ang sumusunod na opsyon:
O may katumbas na tanda:
Ang mga batayang vector mismo ay nakasulat bilang mga sumusunod: at
Iyon ay, ang mga coordinate ng vector ay ipinahiwatig sa mga panaklong. Sa mga praktikal na gawain, lahat ng tatlong opsyon sa pag-record ay ginagamit.
Nag-alinlangan ako kung magsasalita, ngunit sasabihin ko pa rin: hindi maaaring muling ayusin ang mga coordinate ng vector. Mahigpit sa unang lugar isulat ang coordinate na tumutugma sa unit vector , mahigpit sa pangalawang lugar isulat ang coordinate na tumutugma sa unit vector . Sa katunayan, at dalawang magkaibang vectors.
Inisip namin ang mga coordinate sa eroplano. Ngayon isaalang-alang ang mga vector sa tatlong-dimensional na espasyo, ang lahat ay halos pareho dito! Isa pang coordinate lang ang idaragdag. Mahirap magsagawa ng mga three-dimensional na mga guhit, kaya lilimitahan ko ang aking sarili sa isang vector, na para sa pagiging simple ay ipagpaliban ko mula sa pinagmulan: 
Anuman 3d space vector ang tanging paraan
palawakin sa isang orthonormal na batayan: 
, nasaan ang mga coordinate ng vector (numero) sa ibinigay na batayan.
Halimbawa mula sa larawan: 
. Tingnan natin kung paano gumagana ang mga panuntunan sa pagkilos ng vector dito. Una, pagpaparami ng vector sa isang numero: (pulang arrow), (berdeng arrow) at (magenta arrow). Pangalawa, narito ang isang halimbawa ng pagdaragdag ng ilan, sa kasong ito ng tatlo, mga vectors: . Ang kabuuan ng vector ay nagsisimula sa panimulang punto ng pag-alis (ang simula ng vector ) at nagtatapos sa huling punto ng pagdating (ang dulo ng vector ).
Ang lahat ng mga vector ng three-dimensional na espasyo, siyempre, ay libre din, subukang ipagpaliban ang vector mula sa anumang iba pang punto, at mauunawaan mo na ang pagpapalawak nito ay "nananatili dito."
Katulad din sa kaso ng eroplano, bukod pa sa pagsusulat 
ang mga bersyon na may mga bracket ay malawakang ginagamit: alinman .
Kung ang isa (o dalawang) coordinate vector ay nawawala sa pagpapalawak, ang mga zero ay ilalagay sa halip. Mga halimbawa:
vector (maingat 
) - isulat ;
vector (maingat 
) - isulat ;
vector (maingat 
) - isulat .
Ang mga base vector ay nakasulat bilang mga sumusunod:
Narito, marahil, ang lahat ng pinakamababang teoretikal na kaalaman na kinakailangan para sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry. Marahil ay napakaraming termino at kahulugan, kaya inirerekomenda ko ang mga dummies na muling basahin at unawain impormasyong ito muli. At magiging kapaki-pakinabang para sa sinumang mambabasa na sumangguni sa pangunahing aralin paminsan-minsan para sa mas mahusay na asimilasyon ng materyal. Collinearity, orthogonality, orthonormal na batayan, vector decomposition - ito at iba pang mga konsepto ay madalas na gagamitin sa mga sumusunod. Napansin ko na ang mga materyales ng site ay hindi sapat upang makapasa sa isang teoretikal na pagsubok, isang colloquium sa geometry, dahil maingat kong i-encode ang lahat ng mga theorems (bukod sa walang mga patunay) - sa kapinsalaan ng pang-agham na istilo ng pagtatanghal, ngunit isang plus para sa iyong pag-unawa ng paksa. Para sa detalyadong teoretikal na impormasyon, hinihiling ko sa iyo na yumuko kay Propesor Atanasyan.
Ngayon ay lumipat tayo sa praktikal na bahagi:
Ang pinakasimpleng mga problema ng analytic geometry.
Mga pagkilos na may mga vector sa mga coordinate
Ang mga gawain na isasaalang-alang, ito ay lubos na kanais-nais na matutunan kung paano awtomatikong lutasin ang mga ito, at ang mga formula kabisaduhin, hindi mo man lang maalala ito, maaalala nila mismo =) Napakahalaga nito, dahil ang iba pang mga problema ng analytical geometry ay batay sa pinakasimpleng mga halimbawa ng elementarya, at nakakainis na gumastos Sobrang oras kumain ng pawns. Hindi mo kailangang i-fasten ang mga nangungunang butones sa iyong shirt, maraming bagay ang pamilyar sa iyo mula sa paaralan.
Ang pagtatanghal ng materyal ay susunod sa isang parallel na kurso - kapwa para sa eroplano at para sa espasyo. Para sa kadahilanang ang lahat ng mga formula ... makikita mo para sa iyong sarili.
Paano makahanap ng isang vector na binigyan ng dalawang puntos?
Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay, kung gayon ang vector ay may mga sumusunod na coordinate: 
Kung ang dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:
Yan ay, mula sa mga coordinate ng dulo ng vector kailangan mong ibawas ang kaukulang mga coordinate pagsisimula ng vector.
Pagsasanay: Para sa parehong mga punto, isulat ang mga formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng vector. Mga pormula sa pagtatapos ng aralin.
Halimbawa 1
Ibinigay ang dalawang puntos sa eroplano at . Maghanap ng mga coordinate ng vector
Solusyon: ayon sa kaukulang formula:
Bilang kahalili, maaaring gamitin ang sumusunod na notasyon:
Ang mga Aesthetes ay magpapasya tulad nito:
Sa personal, sanay na ako sa unang bersyon ng record.
Sagot:
Ayon sa kondisyon, hindi kinakailangan na bumuo ng isang pagguhit (na karaniwan para sa mga problema ng analytical geometry), ngunit upang maipaliwanag ang ilang mga punto sa mga dummies, hindi ako magiging masyadong tamad: 
Dapat maintindihan pagkakaiba sa pagitan ng mga coordinate ng punto at mga coordinate ng vector:
Mga coordinate ng punto ay ang karaniwang mga coordinate sa isang rectangular coordinate system. Sa palagay ko alam ng lahat kung paano mag-plot ng mga puntos sa coordinate plane mula noong grade 5-6. Ang bawat punto ay may mahigpit na lugar sa eroplano, at hindi sila maaaring ilipat kahit saan.
Ang mga coordinate ng parehong vector ay ang pagpapalawak nito na may paggalang sa batayan, sa kasong ito. Ang anumang vector ay libre, samakatuwid, kung kinakailangan, madali nating ipagpaliban ito mula sa ibang punto sa eroplano. Kapansin-pansin, para sa mga vectors, hindi ka makakagawa ng mga axes, isang rectangular coordinate system, kailangan mo lamang ng isang batayan, sa kasong ito, isang orthonormal na batayan ng eroplano.
Ang mga talaan ng mga point coordinates at vector coordinates ay tila magkatulad: , at kahulugan ng mga coordinate ganap magkaiba, at dapat ay alam mong mabuti ang pagkakaibang ito. Ang pagkakaibang ito, siyempre, ay totoo rin para sa espasyo.
Mga kababaihan at mga ginoo, pinupuno namin ang aming mga kamay:
Halimbawa 2
a) Ibinigay na puntos at . Maghanap ng mga vector at .
b) Ang mga puntos ay ibinibigay 
At . Maghanap ng mga vector at .
c) Ibinigay na puntos at . Maghanap ng mga vector at .
d) Ang mga puntos ay ibinibigay. Maghanap ng mga Vector 
.
Siguro sapat na. Ito ay mga halimbawa para sa malayang solusyon, subukang huwag pabayaan ang mga ito, ito ay magbabayad ;-). Ang mga guhit ay hindi kinakailangan. Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Ano ang mahalaga sa paglutas ng mga problema ng analytical geometry? Mahalagang maging LUBOS NA MAG-INGAT para maiwasan ang mahusay na error na "two plus two equals zero". Humihingi ako ng paumanhin nang maaga kung nagkamali ako =)
Paano mahahanap ang haba ng isang segment?
Ang haba, tulad ng nabanggit na, ay ipinahiwatig ng modulus sign.
Kung ang dalawang punto ng eroplano ay ibinigay, kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin ng formula
Kung dalawang puntos sa espasyo at ibinigay, kung gayon ang haba ng segment ay maaaring kalkulahin ng formula
Tandaan: Ang mga formula ay mananatiling tama kung ang mga katumbas na coordinate ay pinalitan: at , ngunit ang unang opsyon ay mas karaniwan
Halimbawa 3
Solusyon: ayon sa kaukulang formula:
Sagot: 
Para sa kalinawan, gagawa ako ng drawing 
Segment ng linya - hindi ito vector, at hindi mo ito maililipat kahit saan, siyempre. Bilang karagdagan, kung kukumpletuhin mo ang pagguhit ayon sa sukat: 1 yunit. \u003d 1 cm (dalawang tetrad cell), pagkatapos ay masusuri ang sagot sa isang regular na ruler sa pamamagitan ng direktang pagsukat sa haba ng segment.
Oo, ang solusyon ay maikli, ngunit mayroon itong ilang higit pa mahahalagang puntos Gusto kong linawin:
Una, sa sagot ay itinakda namin ang dimensyon: "mga yunit". Hindi sinasabi ng kundisyon kung ANO ito, milimetro, sentimetro, metro o kilometro. Samakatuwid, ang pangkalahatang pagbabalangkas ay magiging isang mathematically competent na solusyon: "mga yunit" - dinaglat bilang "mga yunit".
Pangalawa, ulitin natin ang materyal sa paaralan, na kapaki-pakinabang hindi lamang para sa problemang isinasaalang-alang:
pansinin mo mahalagang teknikal na panlilinlang – pagkuha ng multiplier mula sa ilalim ng ugat. Bilang resulta ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang resulta at ang mahusay na istilo ng matematika ay kinabibilangan ng pagkuha ng multiplier mula sa ilalim ng ugat (kung maaari). Ang proseso ay mukhang ganito nang mas detalyado: 
. Siyempre, ang pag-iwan ng sagot sa form ay hindi isang pagkakamali - ngunit ito ay tiyak na isang depekto at isang mabigat na argumento para sa nitpicking sa bahagi ng guro.
Narito ang iba pang karaniwang mga kaso: 
Kadalasan sa ilalim ng ugat ito ay lumalabas na sapat malaking numero, Halimbawa . Paano maging sa ganitong mga kaso? Sa calculator, tinitingnan namin kung ang numero ay nahahati sa 4:. Oo, hatiin nang buo, kaya: 
. O baka mahati ulit ng 4 ang numero? . kaya: 
. Ang huling digit ng numero ay kakaiba, kaya ang paghahati sa 4 sa ikatlong pagkakataon ay malinaw na hindi posible. Sinusubukang hatiin sa siyam: . Ang resulta:
handa na.
Konklusyon: kung sa ilalim ng ugat ay nakakakuha tayo ng isang ganap na hindi na-extract na numero, pagkatapos ay susubukan naming alisin ang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat - sa calculator ay sinusuri namin kung ang numero ay nahahati sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atbp.
Sa kurso ng paglutas ng iba't ibang mga problema, madalas na matatagpuan ang mga ugat, palaging subukang kunin ang mga kadahilanan mula sa ilalim ng ugat upang maiwasan ang isang mas mababang marka at hindi kinakailangang mga problema sa pagtatapos ng iyong mga solusyon ayon sa sinabi ng guro.
Ulitin natin ang pag-squaring ng mga ugat at iba pang kapangyarihan nang sabay-sabay: 
Mga panuntunan para sa mga pagkilos na may degree in pangkalahatang pananaw ay matatagpuan sa isang aklat-aralin sa paaralan sa algebra, ngunit sa palagay ko ang lahat o halos lahat ay malinaw na mula sa mga halimbawang ibinigay.
Gawain para sa isang independiyenteng solusyon na may isang segment sa espasyo:
Halimbawa 4
Binigyan ng mga puntos at . Hanapin ang haba ng segment.
Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Paano mahahanap ang haba ng isang vector?
Kung ang isang vector ng eroplano ay ibinigay, pagkatapos ay ang haba nito ay kinakalkula ng formula.
Kung ang isang space vector ay ibinigay, pagkatapos ay ang haba nito ay kinakalkula ng formula 
.
Una sa lahat, kinakailangang i-disassemble ang mismong konsepto ng isang vector. Upang maipakilala ang kahulugan ng isang geometric vector, alalahanin natin kung ano ang isang segment. Ipinakilala namin ang sumusunod na kahulugan.
Kahulugan 1
Ang isang segment ay isang bahagi ng isang tuwid na linya na may dalawang hangganan sa anyo ng mga puntos.
Maaaring magkaroon ng 2 direksyon ang segment. Upang ipahiwatig ang direksyon, tatawagin namin ang isa sa mga hangganan ng segment sa simula nito, at ang iba pang hangganan - ang dulo nito. Ang direksyon ay ipinahiwatig mula sa simula nito hanggang sa katapusan ng segment.
Kahulugan 2
Ang vector o isang nakadirekta na segment ay isang segment kung saan alam kung alin sa mga hangganan ng segment ang itinuturing na simula at kung alin ang wakas nito.
Notasyon: Dalawang titik: $\overline(AB)$ – (kung saan ang $A$ ang simula nito at ang $B$ ang wakas nito).
Sa isang maliit na titik: $\overline(a)$ (Figure 1).
Ipinakilala namin ngayon, nang direkta, ang konsepto ng mga haba ng vector.
Kahulugan 3
Ang haba ng vector na $\overline(a)$ ay ang haba ng segment na $a$.
Notasyon: $|\overline(a)|$
Ang konsepto ng haba ng isang vector ay nauugnay, halimbawa, sa isang konsepto tulad ng pagkakapantay-pantay ng dalawang vectors.
Kahulugan 4
Ang dalawang vectors ay tatawaging pantay-pantay kung natutugunan nila ang dalawang kundisyon: 1. Sila ay codirectional; 1. Ang kanilang mga haba ay pantay (Fig. 2).
Upang tukuyin ang mga vector, ipasok ang isang coordinate system at tukuyin ang mga coordinate para sa vector sa ipinasok na system. Tulad ng alam natin, ang anumang vector ay maaaring palawakin bilang $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, kung saan ang $m$ at $n$ ay mga tunay na numero, at $\overline(i )$ at $\overline(j)$ ang mga unit vector sa $Ox$ at $Oy$ axes, ayon sa pagkakabanggit.
Kahulugan 5
Ang mga expansion coefficient ng vector $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ay tatawaging coordinate ng vector na ito sa ipinakilalang coordinate system. Sa matematika:
$\overline(c)=(m,n)$
Paano mahahanap ang haba ng isang vector?
Upang makakuha ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng isang di-makatwirang vector na ibinigay sa mga coordinate nito, isaalang-alang ang sumusunod na problema:
Halimbawa 1
Ibinigay: vector $\overline(α)$ na may mga coordinate $(x,y)$. Hanapin: ang haba ng vector na ito.
Ipakilala natin ang Cartesian coordinate system na $xOy$ sa eroplano. Itabi ang $\overline(OA)=\overline(a)$ mula sa mga pinagmulan ng ipinakilalang coordinate system. Buuin natin ang mga projection na $OA_1$ at $OA_2$ ng itinayong vector sa mga palakol na $Ox$ at $Oy$, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 3).
Ang vector na $\overline(OA)$ na binuo namin ay ang radius vector para sa puntong $A$, samakatuwid, magkakaroon ito ng mga coordinate $(x,y)$, na nangangahulugang
$=x$, $[OA_2]=y$
Ngayon ay madali nating mahahanap ang nais na haba gamit ang Pythagorean theorem, nakukuha natin
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Sagot: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Konklusyon: Upang mahanap ang haba ng isang vector na ang mga coordinate ay ibinigay, kailangan mong hanapin ang ugat ng parisukat ng kabuuan ng mga coordinate na ito.
Halimbawa ng gawain
Halimbawa 2
Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga puntos na $X$ at $Y$, na mayroong mga sumusunod na coordinate: $(-1,5)$ at $(7,3)$, ayon sa pagkakabanggit.
Anumang dalawang puntos ay madaling maiugnay sa konsepto ng isang vector. Isaalang-alang, halimbawa, ang vector $\overline(XY)$. Tulad ng alam na natin, ang mga coordinate ng naturang vector ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagbabawas ng kaukulang mga coordinate ng panimulang punto ($X$) mula sa mga coordinate ng end point ($Y$). Nakukuha namin iyon
Karaniwang kahulugan: "Ang isang vector ay isang nakadirekta na segment ng linya." Ito ay karaniwang limitasyon ng kaalaman ng isang nagtapos sa mga vectors. Sino ang nangangailangan ng ilang uri ng "mga nakadirekta na segment"?
Ngunit sa katunayan, ano ang mga vector at bakit sila?
Ulat panahon. "Ang hangin sa hilagang-kanluran, bilis na 18 metro bawat segundo." Sumang-ayon, mahalaga din ang direksyon ng hangin (kung saan ito umiihip) at ang module (iyon ay, ang ganap na halaga) ng bilis nito.
Ang mga dami na walang direksyon ay tinatawag na mga scalar. timbang, trabaho, singil ng kuryente hindi ipinadala kahit saan. Ang mga ito ay nailalarawan lamang sa pamamagitan ng isang numerical na halaga - "ilang kilo" o "ilang joules".
Ang mga pisikal na dami na hindi lamang isang ganap na halaga, kundi pati na rin isang direksyon ay tinatawag na mga dami ng vector.
Bilis, puwersa, acceleration - mga vector. Para sa kanila, ito ay mahalaga "magkano" at ito ay mahalaga "saan". Halimbawa, ang free fall acceleration 
nakadirekta sa ibabaw ng Earth, at ang halaga nito ay 9.8 m / s 2. momentum, tensyon electric field, pagtatalaga sa tungkulin magnetic field ay mga dami din ng vector.
Naaalala mo ba yun pisikal na dami tinutukoy ng mga titik, Latin o Griyego. Ang arrow sa itaas ng titik ay nagpapahiwatig na ang dami ay isang vector:
Narito ang isa pang halimbawa.
Ang sasakyan ay gumagalaw mula A hanggang B. Panghuling resulta- ang paggalaw nito mula sa punto A hanggang sa punto B, ibig sabihin, paggalaw sa vector .
Ngayon ay malinaw na kung bakit ang isang vector ay isang nakadirekta na segment. Bigyang-pansin, ang dulo ng vector ay kung nasaan ang arrow. Haba ng vector ay tinatawag na haba ng bahaging ito. Itinalaga: o
Sa ngayon ay nakatrabaho na namin mga scalar, ayon sa mga alituntunin ng arithmetic at elementary algebra. Ang mga vector ay isang bagong konsepto. Ito ay isa pang klase ng mga bagay sa matematika. May sarili silang rules.
Noong unang panahon, hindi namin alam ang tungkol sa mga numero. Ang pagkakakilala sa kanila ay nagsimula sa elementarya. Ito ay lumabas na ang mga numero ay maaaring ihambing sa bawat isa, idinagdag, ibawas, multiply at hatiin. Nalaman namin na mayroong numero uno at numero zero.
Ngayon nakikilala natin ang mga vector.
Ang mga konsepto ng "mas malaki kaysa sa" at "mas mababa sa" ay hindi umiiral para sa mga vector - pagkatapos ng lahat, ang kanilang mga direksyon ay maaaring magkaiba. Maaari mo lamang ihambing ang mga haba ng mga vector.
Ngunit ang konsepto ng pagkakapantay-pantay para sa mga vectors ay.
Kapantay ay mga vector na may parehong haba at parehong direksyon. Nangangahulugan ito na ang vector ay maaaring ilipat parallel sa sarili nito sa anumang punto sa eroplano.
walang asawa ay tinatawag na vector na ang haba ay 1 . Zero - isang vector na ang haba ay katumbas ng zero, iyon ay, ang simula nito ay tumutugma sa dulo.
Ito ay pinaka-maginhawa upang gumana sa mga vector sa isang hugis-parihaba na coordinate system - ang isa kung saan gumuhit kami ng mga graph ng mga function. Ang bawat punto sa sistema ng coordinate ay tumutugma sa dalawang numero - ang x at y na mga coordinate, abscissa at ordinate.
Ang vector ay binibigyan din ng dalawang coordinate:
Dito, ang mga coordinate ng vector ay nakasulat sa mga bracket - sa x at sa y.
Ang mga ito ay madaling mahanap: ang coordinate ng dulo ng vector minus ang coordinate ng simula nito.
Kung ang mga coordinate ng vector ay ibinigay, ang haba nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
Pagdaragdag ng vector
Mayroong dalawang paraan upang magdagdag ng mga vector.
1 . tuntunin ng paralelogram. Upang idagdag ang mga vector at , inilalagay namin ang mga pinagmulan ng pareho sa parehong punto. Kinukumpleto namin ang parallelogram at iguhit ang dayagonal ng paralelogram mula sa parehong punto. Ito ang magiging kabuuan ng mga vector at .
Tandaan ang pabula tungkol sa swan, cancer at pike? Sinubukan nila nang husto, ngunit hindi nila ginalaw ang kariton. Pagkatapos ng lahat, ang kabuuan ng vector ng mga puwersa na inilapat sa kanila sa cart ay katumbas ng zero.
2. Ang pangalawang paraan upang magdagdag ng mga vector ay ang panuntunan ng tatsulok. Kunin natin ang parehong mga vector at . Idinaragdag namin ang simula ng pangalawa hanggang sa dulo ng unang vector. Ngayon ikonekta natin ang simula ng una at ang dulo ng pangalawa. Ito ang kabuuan ng mga vector at .
Sa parehong panuntunan, maaari kang magdagdag ng ilang mga vectors. Inilakip namin ang mga ito nang paisa-isa, at pagkatapos ay ikonekta ang simula ng una hanggang sa dulo ng huli.
Isipin na pupunta ka mula sa punto A hanggang sa punto B, mula B hanggang C, mula C hanggang D, pagkatapos ay sa E at pagkatapos ay sa F. Ang huling resulta ng mga pagkilos na ito ay isang paglipat mula A hanggang F.
Kapag nagdadagdag ng mga vectors at nakukuha namin:
Pagbabawas ng vector
Ang vector ay nakadirekta sa tapat ng vector. Ang mga haba ng mga vector at ay pantay.
Ngayon ay malinaw na kung ano ang pagbabawas ng mga vectors. Ang pagkakaiba ng mga vector at ang kabuuan ng vector at ang vector.
I-multiply ang isang vector sa isang numero
Ang pagpaparami ng vector sa isang numerong k ay nagreresulta sa isang vector na ang haba ay k beses na naiiba sa haba . Ito ay codirectional sa vector kung ang k ay mas malaki kaysa sa zero, at nakadirekta sa tapat kung ang k ay mas mababa sa zero.
Tuldok na produkto ng mga vector
Ang mga vector ay maaaring i-multiply hindi lamang sa mga numero, kundi pati na rin sa bawat isa.
Ang scalar product ng mga vector ay ang produkto ng mga haba ng mga vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.
Magbayad ng pansin - pinarami namin ang dalawang vectors, at nakakuha kami ng isang scalar, iyon ay, isang numero. Halimbawa, sa pisika gawaing mekanikal ay katumbas ng scalar product ng dalawang vectors - force at displacement:
Kung ang mga vector ay patayo, ang kanilang tuldok na produkto ay zero.
At ito ay kung paano ipinahayag ang scalar product sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga vectors at:
Mula sa formula para sa scalar na produkto, mahahanap mo ang anggulo sa pagitan ng mga vectors:
Ang formula na ito ay lalong maginhawa sa stereometry. Halimbawa, sa problema 14 ng Profile USE sa matematika, kailangan mong hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya o sa pagitan ng isang linya at isang eroplano. Ang problema 14 ay madalas na nalutas nang maraming beses nang mas mabilis sa pamamagitan ng paraan ng vector kaysa sa klasikal.
SA kurikulum ng paaralan sa matematika, ang scalar product lamang ng mga vector ang pinag-aaralan.
Ito ay lumiliko na, bilang karagdagan sa scalar, mayroon ding isang produkto ng vector, kapag ang isang vector ay nakuha bilang isang resulta ng pagpaparami ng dalawang mga vector. Sino ang pumasa sa pagsusulit sa pisika, alam kung ano ang puwersa ng Lorentz at ang puwersa ng Ampère. Ang mga formula para sa paghahanap ng mga puwersang ito ay may kasamang eksaktong mga produkto ng vector.
Ang mga vector ay isang napaka-kapaki-pakinabang na tool sa matematika. Ikaw ay kumbinsido nito sa unang kurso.
