Διάλεξη: «Μέθοδοι επίλυσης εκθετικών εξισώσεων».
1 . Εκθετικές εξισώσεις.
Οι εξισώσεις που περιέχουν αγνώστους σε εκθέτες ονομάζονται εκθετικές εξισώσεις. Η απλούστερη από αυτές είναι η εξίσωση ax = b, όπου a > 0, a ≠ 1.
1) Στο β< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Για b > 0, χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της συνάρτησης και το θεώρημα της ρίζας, η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. Για να το βρείτε, το b πρέπει να παριστάνεται με τη μορφή b = aс, αx = bс ó x = c ή x = logab.
Οι εκθετικές εξισώσεις με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς οδηγούν σε τυπικές εξισώσεις, οι οποίες επιλύονται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες μεθόδους:
1) μέθοδος αναγωγής σε μία βάση.
2) μέθοδος αξιολόγησης.
3) γραφική μέθοδος?
4) μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών.
5) μέθοδος παραγοντοποίησης?
6) ενδεικτικά – εξισώσεις ισχύος;
7) παραστατικό με παράμετρο.
2 . Μέθοδος αναγωγής σε μία βάση.
Η μέθοδος βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των μοιρών: εάν δύο μοίρες είναι ίσες και οι βάσεις τους είναι ίσες, τότε οι εκθέτες τους είναι ίσοι, δηλ. πρέπει να προσπαθήσουμε να αναγάγουμε την εξίσωση στη μορφή
Παραδείγματα. Λύστε την εξίσωση:
1 . 3x = 81;
Ας φανταστούμε σωστη πλευραεξισώσεις με τη μορφή 81 = 34 και γράψτε την εξίσωση ισοδύναμη με την αρχική 3 x = 34. x = 4. Απάντηση: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">και ας προχωρήσουμε στην εξίσωση για τους εκθέτες 3x+1 = 3 – 5x, 8x = 4 x = 0,5 Απάντηση: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Σημειώστε ότι οι αριθμοί 0,2, 0,04, √5 και 25 αντιπροσωπεύουν δυνάμεις του 5. Ας εκμεταλλευτούμε αυτό και ας μετατρέψουμε την αρχική εξίσωση ως εξής:
,
απ' όπου 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, από την οποία βρίσκουμε τη λύση x = -1. Απάντηση: -1.
5. 3x = 5. Εξ ορισμού του λογάριθμου x = log35. Απάντηση: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, δηλαδή..png" width="181" height="49 src="> Επομένως x – 4 =0, x = 4. Απάντηση: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων γράφουμε την εξίσωση με τη μορφή 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 μετά 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, δηλ. x+1 = 2, x =1. Απάντηση: 1.
Προβληματική τράπεζα Νο. 1.
Λύστε την εξίσωση:
Τεστ Νο. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
Α3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) χωρίς ρίζες |
1) 7;1 2) χωρίς ρίζες 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
Α5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
Α6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Τεστ Νο 2
Α'1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
Α2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
Α3 | 1) 2;-1 2) χωρίς ρίζες 3) 0 4) -2;1 |
Α4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
Α5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Μέθοδος αξιολόγησης.
Θεώρημα ρίζας: αν η συνάρτηση f(x) αυξάνεται (μειώνεται) στο διάστημα I, ο αριθμός a είναι οποιαδήποτε τιμή που λαμβάνεται από την f σε αυτό το διάστημα, τότε η εξίσωση f(x) = a έχει μία ρίζα στο διάστημα I.
Κατά την επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εκτίμησης, χρησιμοποιείται αυτό το θεώρημα και οι ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης.
Παραδείγματα. Λύστε εξισώσεις: 1. 4x = 5 – x.
Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως 4x +x = 5.
1. αν x = 1, τότε ισχύει 41+1 = 5, 5 = 5, που σημαίνει ότι το 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης.
Η συνάρτηση f(x) = 4x – αυξάνεται στο R, και g(x) = x – αυξάνεται στο R => h(x)= f(x)+g(x) αυξάνεται στο R, ως το άθροισμα των αυξανόμενων συναρτήσεων, τότε x = 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης 4x = 5 – x. Απάντηση: 1.
2.
Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα 
.
1. αν x = -1, τότε 
, 3 = 3 είναι αληθές, που σημαίνει ότι x = -1 είναι η ρίζα της εξίσωσης.
2. αποδείξει ότι είναι ο μόνος.
3. Η συνάρτηση f(x) = - μειώνεται στο R, και η g(x) = - x – μειώνεται στο R=> h(x) = f(x)+g(x) – μειώνεται στο R, καθώς το άθροισμα των φθίνουσες λειτουργίες. Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με το θεώρημα της ρίζας, το x = -1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: -1.
Τράπεζα προβλημάτων Νο. 2. Λύστε την εξίσωση
α) 4x + 1 =6 – x;
σι) 
γ) 2x – 2 =1 – x;
4. Μέθοδος εισαγωγής νέων μεταβλητών.
Η μέθοδος περιγράφεται στην παράγραφο 2.1. Η εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής (υποκατάσταση) πραγματοποιείται συνήθως μετά από μετασχηματισμούς (απλούστευση) των όρων της εξίσωσης. Ας δούμε παραδείγματα.
Παραδείγματα.
RΛύστε την εξίσωση: 1.
.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση διαφορετικά: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> δηλαδή..png" width="210" ύψος = "45">
Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση διαφορετικά: 
Ας ορίσουμε https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - δεν είναι κατάλληλο.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - παράλογη εξίσωση. Σημειώνουμε ότι 
Η λύση της εξίσωσης είναι x = 2,5 ≤ 4, που σημαίνει ότι το 2,5 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: 2.5.
Λύση. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη μορφή και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με 56x+6 ≠ 0. Παίρνουμε την εξίσωση
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι t1 = 1 και t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Λύση . Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα
και σημειώστε ότι είναι ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού.
Διαιρέστε την εξίσωση με 42x, παίρνουμε 
Ας αντικαταστήσουμε τη https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Απάντηση: 0; 0,5.
Τράπεζα προβλημάτων Νο. 3. Λύστε την εξίσωση
σι) 
ΣΟΛ) 
Τεστ Νο. 3 με επιλογή απαντήσεων. Ελάχιστο επίπεδο.
Α'1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) χωρίς ρίζες 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) χωρίς ρίζες 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Τεστ Νο. 4 με επιλογή απαντήσεων. Γενικό επίπεδο.
Α'1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
Α5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) χωρίς ρίζες |
5. Μέθοδος παραγοντοποίησης.
1. Λύστε την εξίσωση: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Λύση..png" width="169" height="69"> , από όπου
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Λύση. Ας βάλουμε 6 φορές από αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και 2 φορές στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε την εξίσωση 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Δεδομένου ότι 2x >0 για όλα τα x, μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 2x χωρίς φόβο να χάσουμε λύσεις. Παίρνουμε 3x = 1 x = 0.
3. 
Λύση. Ας λύσουμε την εξίσωση με τη μέθοδο της παραγοντοποίησης.
Ας επιλέξουμε το τετράγωνο του διωνύμου 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 είναι η ρίζα της εξίσωσης.
Εξίσωση x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Τεστ Νο. 6 Γενικό επίπεδο.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
Α2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
Α3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
Α4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
Α5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Εκθετικές – εξισώσεις ισχύος.
Δίπλα στις εκθετικές εξισώσεις βρίσκονται οι λεγόμενες εξισώσεις εκθετικής ισχύος, δηλαδή εξισώσεις της μορφής (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Αν είναι γνωστό ότι f(x)>0 και f(x) ≠ 1, τότε η εξίσωση, όπως και η εκθετική, λύνεται εξισώνοντας τους εκθέτες g(x) = f(x).
Εάν η συνθήκη δεν αποκλείει την πιθανότητα των f(x)=0 και f(x)=1, τότε πρέπει να λάβουμε υπόψη αυτές τις περιπτώσεις όταν λύνουμε μια εκθετική εξίσωση.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Λύση. x2 +2x-8 – έχει νόημα για οποιοδήποτε x, αφού είναι πολυώνυμο, που σημαίνει ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύνολο
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
σι) 
7. Εκθετικές εξισώσεις με παραμέτρους.
1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου p έχει μοναδική λύση η εξίσωση 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1);
Λύση. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση 2x = t, t > 0, τότε η εξίσωση (1) θα πάρει τη μορφή t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Διακριτικό της εξίσωσης (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Η εξίσωση (1) έχει μια μοναδική λύση εάν η εξίσωση (2) έχει μια θετική ρίζα. Αυτό είναι δυνατό στις ακόλουθες περιπτώσεις.
1. Αν D = 0, δηλαδή p = 1, τότε η εξίσωση (2) θα πάρει τη μορφή t2 – 2t + 1 = 0, άρα t = 1, επομένως, η εξίσωση (1) έχει μοναδική λύση x = 0.
2. Αν p1, τότε 9(p – 1)2 > 0, τότε η εξίσωση (2) έχει δύο διάφορες ρίζες t1 = p, t2 = 4p – 3. Οι συνθήκες του προβλήματος ικανοποιούνται από ένα σύνολο συστημάτων
Αντικαθιστώντας τα t1 και t2 στα συστήματα, έχουμε
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Λύση. Αφήνω 
τότε η εξίσωση (3) θα πάρει τη μορφή t2 – 6t – a = 0. (4)
Ας βρούμε τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης (4) ικανοποιεί τη συνθήκη t > 0.
Ας εισάγουμε τη συνάρτηση f(t) = t2 – 6t – a. Οι ακόλουθες περιπτώσεις είναι πιθανές.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Περίπτωση 2. Η εξίσωση (4) έχει μοναδική θετική λύση αν
D = 0, εάν a = – 9, τότε η εξίσωση (4) θα πάρει τη μορφή (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Περίπτωση 3. Η εξίσωση (4) έχει δύο ρίζες, αλλά η μία από αυτές δεν ικανοποιεί την ανισότητα t > 0. Αυτό είναι δυνατό αν
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Έτσι, για a 0, η εξίσωση (4) έχει μία θετική ρίζα 
. Τότε η εξίσωση (3) έχει μια μοναδική λύση 
Όταν ένα< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
αν ένα< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
αν a = – 9, τότε x = – 1;
αν a 0, τότε
Ας συγκρίνουμε τις μεθόδους για την επίλυση των εξισώσεων (1) και (3). Σημειώστε ότι κατά την επίλυση της εξίσωσης (1) ανάγεται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, η διάκριση της οποίας είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Έτσι, οι ρίζες της εξίσωσης (2) υπολογίστηκαν αμέσως χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης και στη συνέχεια εξήχθησαν συμπεράσματα σχετικά με αυτές τις ρίζες. Η εξίσωση (3) έχει αναχθεί σε μια τετραγωνική εξίσωση (4), η διάκριση της οποίας δεν είναι τέλειο τετράγωνο, επομένως, κατά την επίλυση της εξίσωσης (3), συνιστάται η χρήση θεωρημάτων για τη θέση των ριζών ενός τετραγωνικού τριωνύμου και ένα γραφικό μοντέλο. Σημειώστε ότι η εξίσωση (4) μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.
Ας λύσουμε πιο σύνθετες εξισώσεις.
Πρόβλημα 3: Λύστε την εξίσωση 
Λύση. ODZ: x1, x2.
Ας παρουσιάσουμε μια αντικατάσταση. Έστω 2x = t, t > 0, τότε ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών η εξίσωση θα πάρει τη μορφή t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Ας βρούμε τις τιμές του a για τις οποίες τουλάχιστον μία ρίζα του η εξίσωση (*) ικανοποιεί τη συνθήκη t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Απάντηση: αν a > – 13, a 11, a 5, τότε αν a – 13,
a = 11, a = 5, τότε δεν υπάρχουν ρίζες.
Βιβλιογραφία.
1. Guzeev θεμέλια της εκπαιδευτικής τεχνολογίας.
2. Τεχνολογία Guzeev: από τη λήψη στη φιλοσοφία.
Μ. «Διευθυντής Σχολείου» Νο 4, 1996
3. Guzeev και οργανωτικές μορφέςεκπαίδευση.
4. Guzeev και η πρακτική της ολοκληρωμένης εκπαιδευτικής τεχνολογίας.
Μ. " Δημόσια εκπαίδευση", 2001
5. Guzeev από τα έντυπα μαθήματος - σεμιναρίου.
Τα μαθηματικά στο σχολείο Νο 2, 1987 σελ. 9 – 11.
6. Εκπαιδευτικές τεχνολογίες Seleuko.
Μ. «Δημόσια Εκπαίδευση», 1998
7. Episheva μαθητές να σπουδάσουν μαθηματικά.
Μ. «Διαφωτισμός», 1990
8. Η Ιβάνοβα ετοιμάζει μαθήματα – εργαστήρια.
Τα μαθηματικά στο σχολείο Νο 6, 1990 σελ. 37-40.
9. Το μοντέλο διδασκαλίας των μαθηματικών του Smirnov.
Μαθηματικά στο σχολείο Νο 1, 1997 σελ. 32 – 36.
10. Tarasenko τρόποι οργάνωσης πρακτικής εργασίας.
Μαθηματικά στο σχολείο Νο. 1, 1993 σελ. 27 – 28.
11. Σχετικά με ένα από τα είδη ατομικής εργασίας.
Τα μαθηματικά στο σχολείο Νο 2, 1994, σελ. 63 – 64.
12. Χαζάνκιν Δημιουργικές δεξιότητεςμαθητές.
Μαθηματικά στο σχολείο Νο 2, 1989 σελ. 10.
13. Σκανάβι. Εκδότης, 1997
14. και άλλα η Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Διδακτικό υλικό για
15. Καθήκοντα Krivonogov στα μαθηματικά.
Μ. «Πρώτη Σεπτεμβρίου», 2002
16. Τσερκάσοφ. Εγχειρίδιο για μαθητές γυμνασίου και
εισαγωγή στα πανεπιστήμια. "A S T - σχολείο τύπου", 2002
17. Zhevnyak για όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια.
Μινσκ και Ρωσική Ομοσπονδία "Επισκόπηση", 1996
18. Γραπτό Δ. Ετοιμαζόμαστε για την εξέταση στα μαθηματικά. M. Rolf, 1999
19. κλπ. Εκμάθηση επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων.
Μ. «Διάνοια – Κέντρο», 2003
20. κλπ. Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία για την ΕΓΕ.
Μ. «Intelligence – Center», 2003 και 2004.
21 και άλλες επιλογές CMM. Κέντρο δοκιμών του Υπουργείου Άμυνας της Ρωσικής Ομοσπονδίας, 2002, 2003.
22. Εξισώσεις Goldberg. «Quantum» Νο. 3, 1971
23. Volovich M. Πώς να διδάξετε με επιτυχία μαθηματικά.
Μαθηματικά, 1997 Νο. 3.
24 Okunev για το μάθημα, παιδιά! Μ. Εκπαίδευση, 1988
25. Yakimanskaya - προσανατολισμένη μάθηση στο σχολείο.
26. Ο Liimets εργάζεται στην τάξη. Μ. Γνώση, 1975
Αυτό το μάθημα προορίζεται για όσους μόλις αρχίζουν να μαθαίνουν εκθετικές εξισώσεις. Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό και τα απλά παραδείγματα.
Εάν διαβάζετε αυτό το μάθημα, τότε υποπτεύομαι ότι έχετε ήδη τουλάχιστον μια ελάχιστη κατανόηση των απλούστερων εξισώσεων - γραμμικών και τετραγωνικών: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, κ.λπ. Το να μπορείτε να λύσετε τέτοιες κατασκευές είναι απολύτως απαραίτητο για να μην «κολλήσετε» στο θέμα που θα συζητηθεί τώρα.
Λοιπόν, εκθετικές εξισώσεις. Επιτρέψτε μου να σας δώσω μερικά παραδείγματα:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Κάποια από αυτά μπορεί να σας φαίνονται πιο περίπλοκα, ενώ άλλα, αντίθετα, είναι πολύ απλά. Όλοι όμως έχουν ένα κοινό σημαντικό σημάδι: ο συμβολισμός τους περιέχει την εκθετική συνάρτηση $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ας εισάγουμε λοιπόν τον ορισμό:
Εκθετική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιέχει μια εκθετική συνάρτηση, δηλ. έκφραση της μορφής $((a)^(x))$. Εκτός από την υποδεικνυόμενη συνάρτηση, τέτοιες εξισώσεις μπορούν να περιέχουν οποιεσδήποτε άλλες αλγεβρικές κατασκευές - πολυώνυμα, ρίζες, τριγωνομετρία, λογάριθμους κ.λπ.
Εντάξει τότε. Τακτοποιήσαμε τον ορισμό. Τώρα το ερώτημα είναι: πώς να λύσετε όλα αυτά τα χάλια; Η απάντηση είναι απλή και σύνθετη.
Ας ξεκινήσουμε με τα καλά νέα: από την εμπειρία μου από τη διδασκαλία πολλών μαθητών, μπορώ να πω ότι οι περισσότεροι από αυτούς βρίσκουν τις εκθετικές εξισώσεις πολύ πιο εύκολα από τους ίδιους λογάριθμους, και ακόμη περισσότερο την τριγωνομετρία.
Αλλά υπάρχει επίσης ασχημα ΝΕΑ: μερικές φορές οι συντάκτες προβλημάτων για κάθε είδους σχολικά βιβλία και εξετάσεις χτυπιούνται από «έμπνευση» και ο φλεγμονώδης εγκέφαλός τους αρχίζει να παράγει τόσο βάναυσες εξισώσεις που η επίλυσή τους γίνεται προβληματική όχι μόνο για τους μαθητές - ακόμη και πολλοί δάσκαλοι κολλάνε σε τέτοια προβλήματα .
Ωστόσο, ας μην μιλάμε για θλιβερά πράγματα. Και ας επιστρέψουμε σε αυτές τις τρεις εξισώσεις που δόθηκαν στην αρχή κιόλας της ιστορίας. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε καθένα από αυτά.
Πρώτη εξίσωση: $((2)^(x))=4$. Λοιπόν, σε ποια δύναμη πρέπει να σηκώσετε τον αριθμό 2 για να πάρετε τον αριθμό 4; Μάλλον το δεύτερο; Άλλωστε, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - και πήραμε τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. πράγματι $x=2$. Λοιπόν, ευχαριστώ, Cap, αλλά αυτή η εξίσωση ήταν τόσο απλή που ακόμη και η γάτα μου μπορούσε να την λύσει.
Ας δούμε την παρακάτω εξίσωση:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Αλλά εδώ είναι λίγο πιο περίπλοκο. Πολλοί μαθητές γνωρίζουν ότι $((5)^(2))=25$ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Μερικοί επίσης υποψιάζονται ότι ο ορισμός είναι ουσιαστικά ο $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ αρνητικές δυνάμεις(κατ' αναλογία με τον τύπο $((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))$).
Τέλος, λίγοι μόνο εκλεκτοί συνειδητοποιούν ότι αυτά τα γεγονότα μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν το ακόλουθο αποτέλεσμα:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Έτσι, η αρχική μας εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Αλλά αυτό είναι ήδη πλήρως επιλύσιμο! Στα αριστερά στην εξίσωση υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, στα δεξιά στην εξίσωση υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, δεν υπάρχει τίποτα άλλο πουθενά εκτός από αυτές. Επομένως, μπορούμε να «απορρίψουμε» τις βάσεις και να εξισώσουμε ανόητα τους δείκτες:
Λάβαμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση που μπορεί να λύσει κάθε μαθητής σε μερικές μόνο γραμμές. Εντάξει, σε τέσσερις γραμμές:
\[\αρχή(στοίχιση)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(στοίχιση)\]
Εάν δεν καταλαβαίνετε τι συνέβαινε στις τελευταίες τέσσερις γραμμές, φροντίστε να επιστρέψετε στο θέμα " γραμμικές εξισώσεις"και επαναλάβετε το. Επειδή χωρίς σαφή κατανόηση αυτού του θέματος, είναι πολύ νωρίς για εσάς να αναλάβετε εκθετικές εξισώσεις.
\[((9)^(x))=-3\]
Πώς μπορούμε λοιπόν να το λύσουμε αυτό; Πρώτη σκέψη: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, επομένως η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=-3\]
Στη συνέχεια θυμόμαστε ότι όταν ανεβάζουμε μια δύναμη σε μια ισχύ, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:
\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=(3)^(2x))\Δεξί βέλος ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Και για μια τέτοια απόφαση θα λάβουμε ένα ειλικρινά άξιο δύο. Γιατί, με την ισοτιμία ενός Pokemon, στείλαμε το σύμβολο μείον μπροστά από τα τρία στη δύναμη αυτού του τριών. Αλλά δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό. Και για αυτο. Ρίξε μια ματιά στο διαφορετικούς βαθμούςτρίδυμα:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(μήτρα)\]
Κατά τη σύνταξη αυτού του tablet, δεν διέστρεψα τίποτα: κοίταξα τις θετικές δυνάμεις και τις αρνητικές, ακόμη και τις κλασματικές... καλά, πού είναι τουλάχιστον ένας αρνητικός αριθμός εδώ; Εφυγε! Και δεν μπορεί να είναι, γιατί η εκθετική συνάρτηση $y=((a)^(x))$, πρώτον, παίρνει πάντα μόνο θετικές τιμές (ανεξάρτητα από το πόσο πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με δύο, θα εξακολουθεί να είναι ένα θετικός αριθμός), και δεύτερον, η βάση μιας τέτοιας συνάρτησης - ο αριθμός $a$ - είναι εξ ορισμού ένας θετικός αριθμός!
Λοιπόν, πώς να λύσουμε τότε την εξίσωση $((9)^(x))=-3$; Αλλά δεν υπάρχει περίπτωση: δεν υπάρχουν ρίζες. Και από αυτή την άποψη, οι εκθετικές εξισώσεις μοιάζουν πολύ με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις - μπορεί επίσης να μην υπάρχουν ρίζες. Αν όμως μέσα τετραγωνικές εξισώσειςο αριθμός των ριζών καθορίζεται από τη διάκριση (θετική διάκριση - 2 ρίζες, αρνητική - χωρίς ρίζες), τότε στις εκθετικές τιμές όλα εξαρτώνται από το τι βρίσκεται στα δεξιά του πρόσημου ίσου.
Έτσι, ας διατυπώσουμε το βασικό συμπέρασμα: η απλούστερη εκθετική εξίσωση της μορφής $((a)^(x))=b$ έχει ρίζα αν και μόνο αν $b>0$. Γνωρίζοντας αυτό το απλό γεγονός, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε εάν η εξίσωση που σας προτείνεται έχει ρίζες ή όχι. Εκείνοι. Αξίζει να το λύσετε καθόλου ή να γράψετε αμέσως ότι δεν υπάρχουν ρίζες.
Αυτή η γνώση θα μας βοηθήσει πολλές φορές όταν πρέπει να αποφασίσουμε περισσότερα σύνθετες εργασίες. Προς το παρόν, αρκετοί από τους στίχους - ήρθε η ώρα να μελετήσουμε τον βασικό αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.
Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις
Λοιπόν, ας διατυπώσουμε το πρόβλημα. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εκθετική εξίσωση:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Σύμφωνα με τον «αφελή» αλγόριθμο που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα, είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε τον αριθμό $b$ ως δύναμη του αριθμού $a$:
Επιπλέον, εάν αντί για τη μεταβλητή $x$ υπάρχει κάποια έκφραση, θα λάβουμε μια νέα εξίσωση που μπορεί ήδη να λυθεί. Για παράδειγμα:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Δεξί βέλος ((3)^(-x))=((3)^(4))\Δεξί βέλος -x=4\Δεξί βέλος x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Δεξί βέλος ((5)^(2x))=(5)^(3))\Δεξί βέλος 2x=3\Δεξί βέλος x=\frac(3)( 2). \\\end(στοίχιση)\]
Και παραδόξως, αυτό το σχήμα λειτουργεί στο 90% περίπου των περιπτώσεων. Τι γίνεται λοιπόν με το υπόλοιπο 10%; Το υπόλοιπο 10% είναι ελαφρώς «σχιζοφρενικές» εκθετικές εξισώσεις της μορφής:
\[((2)^(x))=3;\τετράγωνο ((5)^(x))=15;\τετράγωνο ((4)^(2x))=11\]
Λοιπόν, σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να αυξήσετε το 2 για να πάρετε το 3; Πρώτα; Αλλά όχι: $((2)^(1))=2$ δεν είναι αρκετό. Δεύτερος; Ούτε: $((2)^(2))=4$ είναι πάρα πολύ. Ποιο τότε;
Οι γνώστες μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη μαντέψει: σε τέτοιες περιπτώσεις, όταν δεν είναι δυνατό να λυθεί «όμορφα», το «βαρύ πυροβολικό» - οι λογάριθμοι - μπαίνει στο παιχνίδι. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι χρησιμοποιώντας λογάριθμους, οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη οποιουδήποτε άλλου θετικού αριθμού (εκτός από έναν):
Θυμάστε αυτόν τον τύπο; Όταν λέω στους μαθητές μου για τους λογάριθμους, πάντα προειδοποιώ: αυτός ο τύπος (είναι επίσης η κύρια λογαριθμική ταυτότητα ή, αν θέλετε, ο ορισμός ενός λογαρίθμου) θα σας στοιχειώνει για πολύ καιρό και θα "αναδύεται" περισσότερο απροσδόκητα μέρη. Λοιπόν, αυτή βγήκε στην επιφάνεια. Ας δούμε την εξίσωσή μας και αυτόν τον τύπο:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Αν υποθέσουμε ότι ο $a=3$ είναι ο αρχικός μας αριθμός στα δεξιά και το $b=2$ είναι η ίδια η βάση της εκθετικής συνάρτησης στην οποία θέλουμε να μειώσουμε τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε το εξής:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Δεξί βέλος ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\Δεξί βέλος x=( (\log )_(2))3. \\\end(στοίχιση)\]
Λάβαμε μια ελαφρώς περίεργη απάντηση: $x=((\log )_(2))3$. Σε κάποια άλλη εργασία, πολλοί θα είχαν αμφιβολίες με μια τέτοια απάντηση και θα άρχιζαν να ελέγχουν ξανά τη λύση τους: τι θα γινόταν αν είχε εισχωρήσει κάπου ένα σφάλμα; Σπεύδω να σας ευχαριστήσω: δεν υπάρχει λάθος εδώ και οι λογάριθμοι στις ρίζες των εκθετικών εξισώσεων είναι μια εντελώς τυπική κατάσταση. Συνηθίστε το λοιπόν. :)
Τώρα ας λύσουμε τις υπόλοιπες δύο εξισώσεις κατ' αναλογία:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Δεξί βέλος ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Δεξί βέλος x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Δεξί βέλος ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Δεξί βέλος 2x=( (\log )_(4))11\Δεξί βέλος x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(στοίχιση)\]
Αυτό είναι όλο! Παρεμπιπτόντως, η τελευταία απάντηση μπορεί να γραφτεί διαφορετικά:
Εισάγαμε έναν πολλαπλασιαστή στο όρισμα του λογαρίθμου. Αλλά κανείς δεν μας εμποδίζει να προσθέσουμε αυτόν τον παράγοντα στη βάση:
Επιπλέον, και οι τρεις επιλογές είναι σωστές - είναι απλό διαφορετικά σχήματααρχεία του ίδιου αριθμού. Ποιο να επιλέξετε και να σημειώσετε σε αυτήν τη λύση εξαρτάται από εσάς να αποφασίσετε.
Έτσι, μάθαμε να λύνουμε τυχόν εκθετικές εξισώσεις της μορφής $((a)^(x))=b$, όπου οι αριθμοί $a$ και $b$ είναι αυστηρά θετικοί. Ωστόσο, η σκληρή πραγματικότητα του κόσμου μας είναι αυτή απλές εργασίεςθα συναντηθείτε πολύ, πολύ σπάνια. Τις περισσότερες φορές θα συναντήσετε κάτι σαν αυτό:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(στοίχιση)\]
Πώς μπορούμε λοιπόν να το λύσουμε αυτό; Μπορεί να λυθεί καθόλου αυτό; Και αν ναι, πώς;
Μην πανικοβάλλεστε. Όλες αυτές οι εξισώσεις μειώνονται γρήγορα και εύκολα στους απλούς τύπους που έχουμε ήδη εξετάσει. Απλά πρέπει να θυμάστε μερικά κόλπα από το μάθημα της άλγεβρας. Και φυσικά, δεν υπάρχουν κανόνες για την εργασία με πτυχία. Θα σου πω για όλα αυτά τώρα :)
Μετατροπή Εκθετικών Εξισώσεων
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε: οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκη μπορεί να είναι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο πρέπει να περιοριστεί στις απλούστερες εξισώσεις - σε αυτές που έχουμε ήδη εξετάσει και τις οποίες ξέρουμε πώς να λύσουμε. Με άλλα λόγια, το σχήμα λύσης για οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση μοιάζει με αυτό:
- Καταγράψτε την αρχική εξίσωση. Για παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Κάνε κάτι περίεργα. Ή έστω κάποια χάλια που ονομάζεται "μετατροπή εξίσωσης"?
- Στην έξοδο, λάβετε τις απλούστερες εκφράσεις της μορφής $((4)^(x))=4$ ή κάτι άλλο παρόμοιο. Επιπλέον, μια αρχική εξίσωση μπορεί να δώσει πολλές τέτοιες εκφράσεις ταυτόχρονα.
Όλα είναι ξεκάθαρα με το πρώτο σημείο - ακόμη και η γάτα μου μπορεί να γράψει την εξίσωση σε ένα κομμάτι χαρτί. Το τρίτο σημείο φαίνεται επίσης να είναι λίγο-πολύ σαφές - έχουμε ήδη λύσει μια ολόκληρη δέσμη τέτοιων εξισώσεων παραπάνω.
Τι γίνεται όμως με το δεύτερο σημείο; Τι είδους μεταμορφώσεις; Μετατρέψτε τι σε τι; Και πως;
Λοιπόν, ας μάθουμε. Καταρχήν θα ήθελα να σημειώσω το εξής. Όλες οι εκθετικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο τύπους:
- Η εξίσωση αποτελείται από εκθετικές συναρτήσεις με την ίδια βάση. Παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Ο τύπος περιέχει εκθετικές συναρτήσεις με διαφορετικές βάσεις. Παραδείγματα: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ και $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις του πρώτου τύπου - είναι οι πιο εύκολο να λυθούν. Και στην επίλυσή τους, θα μας βοηθήσει μια τέτοια τεχνική όπως η επισήμανση σταθερών εκφράσεων.
Απομόνωση μιας σταθερής έκφρασης
Ας δούμε ξανά αυτήν την εξίσωση:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Τι βλέπουμε; Οι τέσσερις ανυψώνονται σε διαφορετικούς βαθμούς. Αλλά όλες αυτές οι δυνάμεις είναι απλά αθροίσματα της μεταβλητής $x$ με άλλους αριθμούς. Επομένως, είναι απαραίτητο να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\end(στοίχιση)\]
Με απλά λόγια, η πρόσθεση μπορεί να μετατραπεί σε γινόμενο δυνάμεων και η αφαίρεση μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε διαίρεση. Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους στους βαθμούς από την εξίσωσή μας:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(στοίχιση)\]
Ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός και στη συνέχεια συλλέξουμε όλους τους όρους στα αριστερά:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -έντεκα; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(στοίχιση)\]
Οι πρώτοι τέσσερις όροι περιέχουν το στοιχείο $((4)^(x))$ - ας το βγάλουμε από την αγκύλη:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(στοίχιση)\]
Απομένει να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το κλάσμα $-\frac(11)(4)$, δηλ. ουσιαστικά πολλαπλασιάζουμε με το ανεστραμμένο κλάσμα - $-\frac(4)(11)$. Παίρνουμε:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(στοίχιση)\]
Αυτό είναι όλο! Μειώσαμε την αρχική εξίσωση στην απλούστερη μορφή της και λάβαμε την τελική απάντηση.
Ταυτόχρονα, στη διαδικασία επίλυσης ανακαλύψαμε (και μάλιστα σε παρένθεση) κοινός πολλαπλασιαστήςΗ $((4)^(x))$ είναι μια σταθερή έκφραση. Μπορεί να οριστεί ως νέα μεταβλητή ή μπορείτε απλά να την εκφράσετε προσεκτικά και να λάβετε την απάντηση. Σε κάθε περίπτωση, η βασική αρχή της λύσης είναι η εξής:
Βρείτε στην αρχική εξίσωση μια σταθερή έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή που διακρίνεται εύκολα από όλες τις εκθετικές συναρτήσεις.
Τα καλά νέα είναι ότι σχεδόν κάθε εκθετική εξίσωση σας επιτρέπει να απομονώσετε μια τόσο σταθερή έκφραση.
Αλλά τα κακά νέα είναι ότι αυτές οι εκφράσεις μπορεί να είναι αρκετά δύσκολες και μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να εντοπιστούν. Ας δούμε λοιπόν ένα ακόμη πρόβλημα:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Ίσως κάποιος θα έχει τώρα μια ερώτηση: «Πάσα, σε λιθοβολούν; Υπάρχουν διαφορετικές βάσεις εδώ - 5 και 0,2." Αλλά ας προσπαθήσουμε να μετατρέψουμε την ισχύ στη βάση 0,2. Για παράδειγμα, ας απαλλαγούμε από το δεκαδικό κλάσμα μειώνοντάς το σε κανονικό:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)) )\]
Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός 5 εξακολουθεί να εμφανίζεται, αν και στον παρονομαστή. Ταυτόχρονα, ο δείκτης ξαναγράφηκε ως αρνητικός. Και τώρα ας θυμηθούμε ένα από αυτά τους πιο σημαντικούς κανόνεςεργασία με πτυχία:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Εδώ βέβαια έλεγα λίγο ψέματα. Επειδή για πλήρη κατανόηση, ο τύπος για την απαλλαγή από αρνητικούς δείκτες έπρεπε να γραφτεί ως εξής:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(5)(1) \ δεξιά))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Από την άλλη πλευρά, τίποτα δεν μας εμπόδισε να δουλέψουμε μόνο με κλάσματα:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((5)^(\αριστερά(-1 \δεξιά)\cdot \αριστερά(-\αριστερά(x+1 \δεξιά) \δεξιά) ))=((5)^(x+1))\]
Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να μπορείτε να αυξήσετε μια ισχύ σε άλλη ισχύ (να σας υπενθυμίσω: σε αυτήν την περίπτωση, οι δείκτες αθροίζονται μαζί). Αλλά δεν χρειάστηκε να «αντιστρέψει» τα κλάσματα - ίσως αυτό θα είναι πιο εύκολο για κάποιους.
Σε κάθε περίπτωση, η αρχική εκθετική εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(στοίχιση)\]
Έτσι, αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση μπορεί να λυθεί ακόμα πιο απλά από αυτή που εξετάστηκε προηγουμένως: εδώ δεν χρειάζεται καν να επιλέξετε μια σταθερή έκφραση - όλα έχουν μειωθεί από μόνα τους. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι $1=((5)^(0))$, από το οποίο παίρνουμε:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(στοίχιση)\]
Αυτή είναι η λύση! Πήραμε την τελική απάντηση: $x=-2$. Ταυτόχρονα, θα ήθελα να σημειώσω μια τεχνική που απλοποίησε σημαντικά όλους τους υπολογισμούς για εμάς:
Στις εκθετικές εξισώσεις, φροντίστε να απαλλαγείτε από δεκαδικά, μετατρέψτε τα σε κανονικά. Αυτό θα σας επιτρέψει να δείτε τις ίδιες βάσεις μοιρών και να απλοποιήσετε πολύ τη λύση.
Ας προχωρήσουμε τώρα σε περισσότερα σύνθετες εξισώσεις, στις οποίες υπάρχουν διαφορετικές βάσεις που δεν είναι καθόλου αναγώγιμες μεταξύ τους χρησιμοποιώντας μοίρες.
Χρήση της ιδιότητας πτυχίων
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε δύο πιο σκληρές εξισώσεις:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(στοίχιση)\]
Η κύρια δυσκολία εδώ είναι ότι δεν είναι ξεκάθαρο τι να δώσει και σε ποια βάση. Οπου σετ εκφράσεων? Πού είναι οι ίδιοι λόγοι; Δεν υπάρχει τίποτα από αυτά.
Αλλά ας προσπαθήσουμε να πάμε με διαφορετικό τρόπο. Εάν δεν υπάρχουν έτοιμες πανομοιότυπες βάσεις, μπορείτε να προσπαθήσετε να τις βρείτε παραγοντοποιώντας τις υπάρχουσες βάσεις.
Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εξίσωση:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Δεξί βέλος ((21)^(3x))=((\αριστερά(7\cdot 3 \δεξιά))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(στοίχιση)\]
Αλλά μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - κάντε τον αριθμό 21 από τους αριθμούς 7 και 3. Αυτό είναι ιδιαίτερα εύκολο να το κάνετε στα αριστερά, καθώς οι δείκτες και των δύο βαθμών είναι οι ίδιοι:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(στοίχιση)\]
Αυτό είναι όλο! Βγάλατε τον εκθέτη έξω από το γινόμενο και πήρατε αμέσως μια όμορφη εξίσωση που μπορεί να λυθεί σε μερικές γραμμές.
Τώρα ας δούμε τη δεύτερη εξίσωση. Όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα εδώ:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσητα κλάσματα αποδείχθηκαν μη αναγώγιμα, αλλά αν κάτι μπορούσε να μειωθεί, φροντίστε να το μειώσετε. Συχνά, εμφανίζονται ενδιαφέροντες λόγοι με τους οποίους μπορείτε ήδη να εργαστείτε.
Δυστυχώς δεν εμφανίστηκε κάτι ιδιαίτερο για εμάς. Αλλά βλέπουμε ότι οι εκθέτες στα αριστερά στο γινόμενο είναι αντίθετοι:
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: για να απαλλαγείτε από το σύμβολο μείον στον δείκτη, πρέπει απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα. Λοιπόν, ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(στοίχιση)\]
Στη δεύτερη γραμμή απλώς πραγματοποιήσαμε γενικός δείκτηςαπό το προϊόν εκτός παρένθεσης σύμφωνα με τον κανόνα $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, και στο τελευταίο απλώς πολλαπλασίασε τον αριθμό 100 με ένα κλάσμα.
Τώρα σημειώστε ότι οι αριθμοί στα αριστερά (στη βάση) και στα δεξιά είναι κάπως παρόμοιοι. Πως; Ναι, είναι προφανές: είναι ισάριθμες δυνάμεις! Εχουμε:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \δεξιά))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\αριστερά(\frac(3)(10) \δεξιά))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]
Έτσι, η εξίσωσή μας θα ξαναγραφεί ως εξής:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\δεξιά))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \δεξιά))^(3\αριστερά(x-1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(10)(3) \δεξιά))^(3x-3))\]
Σε αυτήν την περίπτωση, στα δεξιά μπορείτε επίσης να πάρετε ένα πτυχίο με την ίδια βάση, για το οποίο αρκεί απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Η εξίσωσή μας θα πάρει τελικά τη μορφή:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(στοίχιση)\]
Αυτή είναι η λύση. Η κύρια ιδέα του συνοψίζεται στο γεγονός ότι ακόμη και με σε διαφορετικούς λόγουςπροσπαθούμε, με γάντζο ή με στραβό, να μειώσουμε αυτές τις βάσεις στο ίδιο πράγμα. Σε αυτό μας βοηθούν οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί των εξισώσεων και οι κανόνες για την εργασία με δυνάμεις.
Αλλά ποιους κανόνες και πότε να χρησιμοποιήσετε; Πώς καταλαβαίνετε ότι σε μια εξίσωση πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με κάτι και σε μια άλλη πρέπει να συνυπολογίσετε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης;
Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα έρθει με την εμπειρία. Δοκιμάστε τις δυνάμεις σας σε απλές εξισώσεις πρώτα και, στη συνέχεια, περιπλέξτε σταδιακά τα προβλήματα - και πολύ σύντομα οι δεξιότητές σας θα είναι αρκετές για να λύσετε οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση από την ίδια Εξέταση Unified State ή οποιαδήποτε ανεξάρτητη/δοκιμαστική εργασία.
Και για να σας βοηθήσω σε αυτό το δύσκολο έργο, προτείνω να κατεβάσετε ένα σύνολο εξισώσεων από τον ιστότοπό μου για να το λύσετε μόνοι σας. Όλες οι εξισώσεις έχουν απαντήσεις, ώστε να μπορείτε πάντα να δοκιμάζετε τον εαυτό σας.
Αυτό είναι το όνομα για τις εξισώσεις της μορφής όπου το άγνωστο είναι τόσο στον εκθέτη όσο και στη βάση της δύναμης.
Μπορείτε να καθορίσετε έναν εντελώς σαφή αλγόριθμο για την επίλυση μιας εξίσωσης της φόρμας. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να δώσετε προσοχή στο γεγονός ότι πότε Ω)Δεν ίσο με μηδέν, ένα και μείον ένα είναι η ισότητα δυνάμεων του γ για τους ίδιους λόγους(είτε είναι θετικό είτε αρνητικό) είναι δυνατό μόνο αν οι εκθέτες είναι ίσοι, δηλαδή όλες οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x)Η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθής, όταν Ω)< 0 και κλασματικές τιμές f(x)Και g(x)εκφράσεις Ω) f(x) Και
Ω) g(x) χάνουν το νόημά τους. Δηλαδή κατά τη μετακίνηση από σε f(x) = g(x)(για και μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες, οι οποίες πρέπει να εξαιρεθούν ελέγχοντας την αρχική εξίσωση. Και περιπτώσεις a = 0, a = 1, a = -1πρέπει να εξεταστούν χωριστά.
Ετσι, για ολοκληρωμένη λύσηεξισώσεις θεωρούμε τις περιπτώσεις:
α(χ) = Ο f(x)Και g(x)θα είναι θετικοί αριθμοί, τότε αυτή είναι η λύση. Διαφορετικά, όχι
a(x) = 1. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι επίσης οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
a(x) = -1. Εάν, για μια τιμή του x που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, f(x)Και g(x)είναι ακέραιοι της ίδιας ισοτιμίας (είτε και οι δύο ζυγοί είτε και οι δύο περιττοί), τότε αυτή είναι η λύση. Διαφορετικά, όχι
Πότε και λύνουμε την εξίσωση f(x)= g(x)και αντικαθιστώντας τα ληφθέντα αποτελέσματα στην αρχική εξίσωση κόβουμε τις ξένες ρίζες.
Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων εκθετικής ισχύος.
Παράδειγμα Νο. 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. επειδή 3 > 0, και 3 2 > 0, τότε x 1 = 3 είναι η λύση.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Και οι δύο δείκτες είναι ζυγοί. Αυτή η λύση είναι x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 και x; ± 1. x = x 2, x = 0 ή x = 1. Για x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - αυτή η λύση είναι σωστή: x 4 = 0. Για x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - αυτή η λύση είναι σωστή x 5 = 1.
Απάντηση: 0, 1, 2, 3, 4.
Παράδειγμα Νο. 2.
Εξ ορισμού της αριθμητικής τετραγωνική ρίζα: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 ή x = 1, = 0, 0 0 δεν είναι λύση.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 δεν ταιριάζει στο ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - δεν υπάρχουν ρίζες.
Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Οι εξισώσεις ισχύος ή εκθετικές είναι εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις και η βάση είναι ένας αριθμός. Για παράδειγμα:
Η επίλυση μιας εκθετικής εξίσωσης καταλήγει σε 2 αρκετά απλά βήματα:
1. Πρέπει να ελέγξετε αν οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά είναι ίδιες. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.
2. Αφού οι βάσεις γίνουν ίδιες, εξισώνουμε τις μοίρες και λύνουμε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια εκθετική εξίσωση της ακόλουθης μορφής:
Αξίζει να ξεκινήσετε τη λύση αυτής της εξίσωσης με μια ανάλυση της βάσης. Οι βάσεις είναι διαφορετικές - 2 και 4, αλλά για να τις λύσουμε χρειαζόμαστε να είναι ίδιες, επομένως μετασχηματίζουμε το 4 χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
Προσθέτουμε στην αρχική εξίσωση:
Ας το βγάλουμε από αγκύλες \
Ας εκφράσουμε \
Επειδή οι μοίρες είναι οι ίδιες, τους απορρίπτουμε:
Απάντηση: \
Πού μπορώ να λύσω μια εκθετική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν διαδικτυακό λύτη;
Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.
Κρατικό Πανεπιστήμιο του Μπέλγκοροντ
ΤΜΗΜΑ άλγεβρα, θεωρία αριθμών και γεωμετρία
Θέμα εργασίας: Εκθετικές εξισώσεις ισχύος και ανισώσεις.
Μεταπτυχιακή εργασίαφοιτητής της Φυσικομαθηματικής Σχολής
Επιστημονικός Σύμβουλος:
______________________________
Κριτής: _________________________________
________________________
Μπέλγκοροντ. 2006
| Εισαγωγή | 3 | ||
| Θέμα ΕΓΩ. | Ανάλυση βιβλιογραφίας για το ερευνητικό θέμα. | ||
| Θέμα II. | Οι συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους που χρησιμοποιούνται στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. | ||
| I.1. | Συνάρτηση ισχύος και οι ιδιότητές της. | ||
| I.2. | Εκθετική συνάρτηση και οι ιδιότητές της. | ||
| Θέμα III. | Επίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος, αλγόριθμος και παραδείγματα. | ||
| Θέμα IV. | Επίλυση εκθετικών ανισώσεων, σχέδιο λύσης και παραδείγματα. | ||
| Θέμα V. | Εμπειρία στη διεξαγωγή μαθημάτων με μαθητές με θέμα: «Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων». | ||
| V. 1. | Εκπαιδευτικό υλικό. | ||
| V. 2. | Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση. | ||
| Συμπέρασμα. | Συμπεράσματα και προσφορές. | ||
| Βιβλιογραφία. | |||
| Εφαρμογές | |||
Εισαγωγή.
«...η χαρά της θέασης και της κατανόησης...»
Α. Αϊνστάιν.
Σε αυτή την εργασία προσπάθησα να μεταφέρω την εμπειρία μου ως καθηγητής μαθηματικών, να μεταφέρω τουλάχιστον σε κάποιο βαθμό τη στάση μου απέναντι στη διδασκαλία της - ανθρώπινη αιτία, όπου η μαθηματική επιστήμη, η παιδαγωγική, η διδακτική, η ψυχολογία, ακόμη και η φιλοσοφία είναι απροσδόκητα αλληλένδετες.
Είχα την ευκαιρία να δουλέψω με παιδιά και απόφοιτους, με παιδιά να στέκονται στους στύλους πνευματική ανάπτυξη: όσοι ήταν εγγεγραμμένοι σε ψυχίατρο και που ενδιαφέρθηκαν πραγματικά για τα μαθηματικά
Είχα την ευκαιρία να λύσω πολλά μεθοδολογικά προβλήματα. Θα προσπαθήσω να μιλήσω για αυτά που κατάφερα να λύσω. Αλλά ακόμη πιο αποτυχημένα, και ακόμη και σε αυτά που φαίνεται να έχουν επιλυθεί, προκύπτουν νέα ερωτήματα.
Αλλά ακόμη πιο σημαντικά από την ίδια την εμπειρία είναι οι προβληματισμοί και οι αμφιβολίες του δασκάλου: γιατί είναι ακριβώς έτσι, αυτή η εμπειρία;
Και το καλοκαίρι είναι διαφορετικό τώρα, και η ανάπτυξη της εκπαίδευσης έχει γίνει πιο ενδιαφέρουσα. Το «Κάτω από τους Δία» σήμερα δεν είναι μια αναζήτηση ενός μυθικού βέλτιστου συστήματος διδασκαλίας των «όλων και των πάντων», αλλά του ίδιου του παιδιού. Μετά όμως -αναγκαστικά- ο δάσκαλος.
ΣΕ σχολικό μάθημαάλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμοί 10 - 11, κατά την επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης για το μάθημα Λύκειοκαι στις εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια υπάρχουν εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν ένα άγνωστο στη βάση και εκθέτες - αυτές είναι εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις.
Τους δίνεται λίγη προσοχή στο σχολείο. Ωστόσο, η κατοχή της μεθοδολογίας για την επίλυσή τους, μου φαίνεται, είναι πολύ χρήσιμη: αυξάνει τις νοητικές και δημιουργικές ικανότητες των μαθητών και ανοίγονται εντελώς νέοι ορίζοντες μπροστά μας. Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι μαθητές αποκτούν τις πρώτες δεξιότητες ερευνητικό έργο, εμπλουτίζεται η μαθηματική τους κουλτούρα, οι ικανότητές τους να λογική σκέψη. Οι μαθητές αναπτύσσουν ιδιότητες προσωπικότητας όπως αποφασιστικότητα, καθορισμός στόχων και ανεξαρτησία, που θα τους φανούν χρήσιμες στη μετέπειτα ζωή τους. Και επίσης υπάρχει επανάληψη, διεύρυνση και βαθιά αφομοίωση του εκπαιδευτικού υλικού.
Άρχισα να ασχολούμαι με αυτό το θέμα για τη διατριβή μου γράφοντας την εργασία μου. Κατά τη διάρκεια της οποίας μελέτησα και ανέλυσα βαθιά τη μαθηματική βιβλιογραφία σχετικά με αυτό το θέμα, εντόπισα τα περισσότερα κατάλληλη μέθοδοςεπίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος και ανισώσεων.
Βρίσκεται στο γεγονός ότι εκτός από τη γενικά αποδεκτή προσέγγιση κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων (η βάση λαμβάνεται μεγαλύτερη από 0) και κατά την επίλυση των ίδιων ανισώσεων (η βάση λαμβάνεται μεγαλύτερη από 1 ή μεγαλύτερη από 0, αλλά μικρότερη από 1) , θεωρούνται και περιπτώσεις όταν οι βάσεις είναι αρνητικές, ίσες με 0 και 1.
Η ανάλυση των γραπτών γραπτών εξετάσεων των μαθητών δείχνει ότι η έλλειψη κάλυψης του ζητήματος της αρνητικής αξίας του επιχειρήματος μιας εκθετικής συνάρτησης στα σχολικά εγχειρίδια τους προκαλεί αρκετές δυσκολίες και οδηγεί σε σφάλματα. Και έχουν επίσης προβλήματα στο στάδιο της συστηματοποίησης των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται, όπου, λόγω της μετάβασης σε μια εξίσωση - συνέπεια ή ανισότητα - μια συνέπεια, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Προκειμένου να εξαλειφθούν τα σφάλματα, χρησιμοποιούμε μια δοκιμή που χρησιμοποιεί την αρχική εξίσωση ή ανισότητα και έναν αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων ή ένα σχέδιο για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων.
Προκειμένου οι μαθητές να περάσουν επιτυχώς τις τελικές και εισαγωγικές εξετάσεις, πιστεύω ότι είναι απαραίτητο να δοθεί μεγαλύτερη προσοχή στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων σε συνεδρίες για εξάσκηση, ή επιπλέον σε μαθήματα επιλογής και συλλόγους.
Ετσι θέμα , μου ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑορίζεται ως εξής: «Εξισώσεις εκθετικής ισχύος και ανισώσεις».
Στόχοι αυτής της εργασίας είναι:
1. Αναλύστε τη βιβλιογραφία για αυτό το θέμα.
2. Δώστε πλήρης ανάλυσηεπίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος και ανισώσεων.
3. Δώστε επαρκή αριθμό παραδειγμάτων διαφόρων τύπων για αυτό το θέμα.
4. Ελέγξτε στην τάξη, στις τάξεις επιλογής και στις τάξεις συλλόγων πώς θα γίνουν αντιληπτές οι προτεινόμενες μέθοδοι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. Δώστε τις κατάλληλες συστάσεις για τη μελέτη αυτού του θέματος.
Θέμα Η έρευνά μας είναι να αναπτύξουμε μια μεθοδολογία για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.
Ο σκοπός και το αντικείμενο της μελέτης απαιτούσαν την επίλυση των παρακάτω προβλημάτων:
1. Μελετήστε τη βιβλιογραφία με θέμα: «Εξισώσεις εκθετικής ισχύος και ανισώσεις».
2. Κατακτήστε τις τεχνικές επίλυσης εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.
3. Επιλέξτε εκπαιδευτικό υλικό και αναπτύξτε ένα σύστημα ασκήσεων διαφορετικά επίπεδαμε θέμα: «Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων».
Κατά τη διάρκεια της διατριβής αναλύθηκαν περισσότερες από 20 εργασίες σχετικά με τη χρήση του διάφορες μεθόδουςεπίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων. Από εδώ παίρνουμε.
Σχέδιο διατριβής:
Εισαγωγή.
Κεφάλαιο Ι. Ανάλυση βιβλιογραφίας για το ερευνητικό θέμα.
Κεφάλαιο II. Οι συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους που χρησιμοποιούνται στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων.
II.1. Συνάρτηση ισχύος και οι ιδιότητές της.
II.2. Εκθετική συνάρτηση και οι ιδιότητές της.
Κεφάλαιο III. Επίλυση εξισώσεων εκθετικής ισχύος, αλγόριθμος και παραδείγματα.
Κεφάλαιο IV. Επίλυση εκθετικών ανισώσεων, σχέδιο λύσης και παραδείγματα.
Κεφάλαιο V. Εμπειρία διεξαγωγής μαθημάτων με μαθητές για το θέμα αυτό.
1.Εκπαιδευτικό υλικό.
2.Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.
Συμπέρασμα. Συμπεράσματα και προσφορές.
Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας.
Το κεφάλαιο Ι αναλύει τη βιβλιογραφία