Τι είναι μια εξίσωση;

Η εξίσωση είναι μια από τις θεμελιώδεις έννοιες όλων των μαθηματικών. Τόσο τη σχολική όσο και την τριτοβάθμια εκπαίδευση. Είναι λογικό να το καταλάβουμε, σωστά; Επιπλέον, αυτή είναι μια πολύ απλή ιδέα. Δείτε μόνοι σας παρακάτω. :) Ποια είναι λοιπόν η εξίσωση;

Το ότι αυτή η λέξη έχει την ίδια ρίζα με τις λέξεις «ίσος», «ισότητα», νομίζω, δεν προκαλεί αντίρρηση από κανέναν. Μια εξίσωση είναι δύο μαθηματικές εκφράσεις που συνδέονται με ένα σύμβολο ίσου "=". Αλλά... όχι οποιοδήποτε. Και αυτά στα οποία (τουλάχιστον ένα) περιέχει άγνωστη ποσότητα . Ή με άλλο τρόπο μεταβλητή ποσότητα . Ή απλώς "μεταβλητή" για συντομία. Μπορεί να υπάρχουν μία ή περισσότερες μεταβλητές. Στα σχολικά μαθηματικά, εξισώσεις με έναςμεταβλητός. Το οποίο συνήθως δηλώνεται με το γράμμαΧ . Ή άλλα τελευταία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου -y , z , t και ούτω καθεξής.

Προς το παρόν θα εξετάσουμε επίσης εξισώσεις με μία μεταβλητή. Με δύο ή περισσότερες μεταβλητές - σε ειδικό μάθημα.

Τι σημαίνει να λύνεις μια εξίσωση;

Προχώρα. Η μεταβλητή στις εκφράσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση μπορεί να πάρει οποιαδήποτε έγκυρες τιμές. Γι' αυτό είναι μεταβλητό. :) Για ορισμένες τιμές της μεταβλητής προκύπτει η σωστή ισότητα, αλλά για άλλες όχι. Λύστε την εξίσωση- αυτό σημαίνει εύρεση όλων αυτών των τιμών της μεταβλητής, κατά την αντικατάστασή τους σε πρωτότυπο βγαίνει η εξίσωση αληθινή ισότητα . Ή, πιο επιστημονικά, Ταυτότητα. Για παράδειγμα, 5=5, 0=0, -10=-10. Και ούτω καθεξής. :) Ή να αποδείξετε ότι τέτοιες μεταβλητές τιμές δεν υπάρχουν.

Εστιάζω συγκεκριμένα στη λέξη «πρωτότυπο». Το γιατί θα γίνει σαφές παρακάτω.

Αυτές ακριβώς οι τιμές της μεταβλητής, με την αντικατάσταση της οποίας η εξίσωση μετατρέπεται σε ταυτότητα, ονομάζονται πολύ όμορφα - ρίζες της εξίσωσης. Αν αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν τέτοιες τιμές, τότε σε αυτή την περίπτωση λένε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί χρειάζονται εξισώσεις;

Γιατί χρειαζόμαστε εξισώσεις; Πρώτα απ 'όλα, οι εξισώσεις είναι ένα πολύ ισχυρό και πιο ευέλικτο εργαλείο για επίλυση προβλήματος . Πολύ διαφορετικό. :) Στο σχολείο, κατά κανόνα, δουλεύουν με προβλήματα λέξεων. Αυτά είναι καθήκοντα στην κίνηση, στην εργασία, στα ποσοστά και πολλά, πολλά άλλα. Ωστόσο, η χρήση των εξισώσεων δεν περιορίζεται στα σχολικά προβλήματα σχετικά με τις πισίνες, τους σωλήνες, τα τρένα και τα σκαμπό. :)

Χωρίς την ικανότητα σύνθεσης και επίλυσης εξισώσεων, είναι αδύνατο να λυθεί οποιοδήποτε σοβαρό επιστημονικό πρόβλημα - φυσικό, μηχανικό ή οικονομικό. Για παράδειγμα, υπολογίστε πού θα χτυπήσει ένας πύραυλος. Ή απαντήστε στην ερώτηση εάν κάποια σημαντική κατασκευή (για παράδειγμα ένας ανελκυστήρας ή μια γέφυρα) θα αντέξει ή δεν θα αντέξει το φορτίο. Ή προβλέψτε τον καιρό, άνοδο (ή πτώση) στις τιμές ή το εισόδημα...

Γενικά, η εξίσωση είναι ένα βασικό στοιχείο για την επίλυση μιας μεγάλης ποικιλίας υπολογιστικών προβλημάτων.

Ποιες είναι οι εξισώσεις;

Υπάρχουν αμέτρητες εξισώσεις στα μαθηματικά. Πλέον ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ. Ωστόσο, όλες οι εξισώσεις μπορούν να χωριστούν μόνο σε 4 κατηγορίες:

1) Γραμμική,

2) Τετράγωνο,

3) Κλασματικό (ή κλασματικό-ορθολογικό),

4) Άλλα.

Διαφορετικοί τύποι εξισώσεων απαιτούν και διαφορετική προσέγγισηστη λύση τους: οι γραμμικές εξισώσεις λύνονται με έναν τρόπο, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις με άλλον, οι κλασματικές εξισώσεις σε έναν τρίτο, οι τριγωνομετρικές, λογαριθμικές, εκθετικές και άλλες λύνονται επίσης με τις δικές τους μεθόδους.

Υπάρχουν, φυσικά, περισσότερες άλλες εξισώσεις. Αυτές είναι παράλογες, τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές και πολλές άλλες εξισώσεις. Και μάλιστα διαφορικές εξισώσεις (για μαθητές), όπου ο άγνωστος δεν είναι αριθμός, αλλά λειτουργία.Ή ακόμα και μια ολόκληρη οικογένεια λειτουργιών. :) Στα αντίστοιχα μαθήματα θα αναλύσουμε αναλυτικά όλους αυτούς τους τύπους εξισώσεων. Και εδώ έχουμε βασικές τεχνικές που μπορούν να λυθούν απολύτως οποιαδήποτε(ναι, οποιαδήποτε!) εξισώσεις. Αυτές οι τεχνικές ονομάζονται ισοδύναμοι μετασχηματισμοί εξισώσεων . Υπάρχουν μόνο δύο από αυτά. Και δεν υπάρχει τρόπος γύρω τους. Ας γνωριστούμε λοιπόν!

Πώς να λύσετε εξισώσεις; Πανομοιότυποι (ισοδύναμοι) μετασχηματισμοί εξισώσεων.

Λύση όποιοςΗ εξίσωση αποτελείται από ένα βήμα προς βήμα μετασχηματισμό των εκφράσεων που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Όχι όμως οποιεσδήποτε μεταμορφώσεις, αλλά τέτοιες η ουσία της όλης εξίσωσης δεν έχει αλλάξει. Παρά το γεγονός ότι μετά από κάθε μετασχηματισμό η εξίσωση θα αλλάξει και τελικά θα γίνει εντελώς διαφορετική από την αρχική. Τέτοιοι μετασχηματισμοί στα μαθηματικά ονομάζονται ισοδύναμος ή πανομοιότυπο . Ανάμεσα σε όλη την ποικιλία των πανομοιότυπων μετασχηματισμών των εξισώσεων, ξεχωρίζει κανείς δύο βασικά. Θα μιλήσουμε για αυτούς. Ναι, ναι, μόνο δύο! Και το καθένα από αυτά αξίζει ιδιαίτερης προσοχής. Η εφαρμογή αυτών των δύο πανομοιότυπων μετασχηματισμών με τη μία ή την άλλη σειρά εγγυάται επιτυχία στην επίλυση του 99% όλων των εξισώσεων.

Λοιπόν, ας γνωριστούμε!

Πρώτος μετασχηματισμός ταυτότητας:

Μπορείτε να προσθέσετε (ή να αφαιρέσετε) οποιονδήποτε (αλλά πανομοιότυπο!) αριθμό ή έκφραση (συμπεριλαμβανομένων εκείνων με μεταβλητή) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

Η ουσία της εξίσωσης θα παραμείνει η ίδια. Εφαρμόζετε αυτόν τον μετασχηματισμό παντού, νομίζοντας αφελώς ότι μεταφέρετε κάποιους όρους από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο. :)

Για παράδειγμα, αυτή η δροσερή εξίσωση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτείτε εδώ: μετακινήστε το μείον τρία προς τα δεξιά, αλλάζοντας το μείον σε ένα συν:

Τι συμβαίνει όμως πραγματικά; Αλλά στην πραγματικότητα εσύ προσθέστε τρία και στις δύο πλευρές της εξίσωσης! Σαν αυτό:

Η ουσία ολόκληρης της εξίσωσης δεν αλλάζει όταν προσθέτουμε τρία και στις δύο πλευρές. Αριστερά παραμένει ένα καθαρό Χ (που στην πραγματικότητα προσπαθούμε να πετύχουμε), και στα δεξιά - ό,τι κι αν συμβεί.

Η μεταφορά όρων από το ένα μέρος στο άλλο είναι συνοπτική έκδοσηπρώτος μετασχηματισμός ταυτότητας. Το μόνο λάθος που μπορείτε να κάνετε εδώ είναι να ξεχάσετε να αλλάξετε το σήμα κατά τη μεταφορά. Για παράδειγμα, αυτή η εξίσωση:

Δεν είναι περίπλοκο θέμα. Δουλεύουμε απευθείας σύμφωνα με το ξόρκι: με Χ στα αριστερά, χωρίς Χ στα δεξιά. Ποιος όρος με το Χ βρίσκεται στα δεξιά; Τι; 2x? Λανθασμένος! Στα δεξιά έχουμε -2x (μείον δύο x)! Επομένως, αυτός ο όρος θα μεταφερθεί στην αριστερή πλευρά με ένα συν :

Η μισή μάχη έχει γίνει, τα Χ έχουν μαζευτεί στα αριστερά. Το μόνο που μένει είναι να μετακινήσετε τη μονάδα προς τα δεξιά. Και πάλι το ερώτημα είναι - με ποιο πρόσημο; Δεν υπάρχει τίποτα γραμμένο στα αριστερά πριν από τη μονάδα, πράγμα που σημαίνει ότι προορίζεται να προηγείται συν. Επομένως, το 1 θα μετακινηθεί προς τα δεξιά με ένα μείον:

Αυτό είναι σχεδόν όλο. Αριστερά παρουσιάζουμε παρόμοια, και δεξιά τα μετράμε. Και παίρνουμε:

Τώρα ας αναλύσουμε τις μηχανορραφίες μας με όρους μεταφοράς. Τι κάναμε όταν μετακινηθήκαμε -2 φορές προς τα αριστερά; Ναί! Εμείς προστέθηκε και στα δύο μέρητης κακής μας εξίσωσης η έκφραση είναι 2x. Σας είπα ότι έχουμε το δικαίωμα να προσθέτουμε (αφαιρούμε) οποιονδήποτε αριθμό ακόμα και μια έκφραση με Χ! Αρκεί να είναι το ίδιο πράγμα. :) Και πότε μετακινήσατε το 1 προς τα δεξιά; Απόλυτο δίκιο! Εμείς αφαιρείται και από τις δύο πλευρές της εξίσωσηςένας. Αυτό είναι όλο.) Αυτό είναι το όλο νόημα του πρώτου ισοδύναμου μετασχηματισμού.

Ή αυτό το παράδειγμα για μαθητές γυμνασίου:

Η εξίσωση είναι λογαριθμική. Και λοιπόν; Ποιός νοιάζεται; Τέλος πάντων, το πρώτο βήμα είναι να κάνουμε έναν βασικό μετασχηματισμό ταυτότητας - μετακινούμε τον όρο με τη μεταβλητή (δηλαδή -log 3 x) προς τα αριστερά, και αριθμητική παράσταση log 3 4 μετακινηθείτε προς τα δεξιά. Με αλλαγή πρόσημου φυσικά:

Αυτό είναι όλο. Όποιος είναι εξοικειωμένος με τους λογάριθμους θα ολοκληρώσει την εξίσωση στο κεφάλι του και θα πάρει:

Τι; Θέλεις σινες; Παρακαλώ, ορίστε τα ημιτόνια:

Εκτελούμε ξανά τον πρώτο πανομοιότυπο μετασχηματισμό - μεταφέρουμε αμαρτία xπρος τα αριστερά (με ένα μείον) και μετακινηθείτε -1/4 προς τα δεξιά (με ένα συν):

Έχουμε το πιο απλό τριγωνομετρική εξίσωσημε ημίτονο, το οποίο επίσης δεν είναι δύσκολο να λύσουν οι γνωρίζοντες.

Δείτε πόσο καθολικός είναι ο πρώτος ισοδύναμος μετασχηματισμός! Βρίσκεται παντού και παντού και δεν υπάρχει τρόπος να το ξεφύγεις. Επομένως, πρέπει να μπορείτε να το κάνετε αυτόματα. Το κύριο πράγμα είναι να μην ξεχάσετε να αλλάξετε το σήμα κατά τη μεταφορά! Συνεχίζουμε να εξοικειωνόμαστε με πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εξισώσεων.)

Δεύτερος μετασχηματισμός ταυτότητας:

Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό ή έκφραση.

Χρησιμοποιούμε επίσης συνεχώς αυτόν τον ίδιο μετασχηματισμό όταν κάποιοι συντελεστές στην εξίσωση παρεμβαίνουν σε εμάς και θέλουμε να τους ξεφορτωθούμε. Ασφαλές για την ίδια την εξίσωση. :) Για παράδειγμα, αυτή η κακή εξίσωση:

Είναι σαφές σε όλους εδώ ότι x = 3. Πώς το μαντεψες; Το σήκωσες; Ή δείξατε το δάχτυλό σας στον ουρανό και μαντέψατε;

Για να μην επιλέξετε και να μαντέψετε (είμαστε τελικά μαθηματικοί, όχι μάντεις :)), πρέπει να καταλάβετε ότι είστε απλά διαιρούνται και οι δύο πλευρές της εξίσωσηςγια τέσσερα. Αυτό είναι που μας ενοχλεί.

Σαν αυτό:

Αυτό το ραβδί διαίρεσης σημαίνει ότι διαιρούνται με τέσσερα. και τα δύο μέρητην εξίσωσή μας. Ολόκληρη η αριστερή πλευρά και ολόκληρη η δεξιά πλευρά:

Αριστερά, τα τέσσερα μειώνονται με ασφάλεια και το x παραμένει σε υπέροχη απομόνωση. Και στα δεξιά, όταν διαιρούμε το 12 με το 4, το αποτέλεσμα είναι, φυσικά, τρία. :)

Ή αυτή η εξίσωση:

Τι να κάνετε με το ένα έβδομο; Μετακίνηση σωστά; Όχι, δεν μπορείς! Το ένα έβδομο συνδέεται με x πολλαπλασιασμό. Ο συντελεστής, καταλαβαίνετε. :) Δεν μπορείτε να διαχωρίσετε τον συντελεστή και να τον μετακινήσετε ξεχωριστά από το Χ. Μόνο ολόκληρη η έκφραση (1/7)x. Αλλά δεν υπάρχει ανάγκη. :) Ας θυμηθούμε ξανά τον πολλαπλασιασμό/διαίρεση. Τι μας σταματά; Το κλάσμα είναι 1/7, έτσι δεν είναι; Ας το ξεφορτωθούμε λοιπόν. Πως; Και ως αποτέλεσμα ποιας ενέργειας χάνουμε το κλάσμα; Το κλάσμα μας εξαφανίζεται όταν πολλαπλασιασμόςμε αριθμό ίσο με τον παρονομαστή του! Ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν και τις δύο πλευρές της εξίσωσής μας επί 7:

Στα αριστερά, τα επτά θα μειωθούν και θα παραμείνει μόνο ένα X, και στα δεξιά, αν θυμάστε τον πίνακα πολλαπλασιασμού, παίρνετε 21:

Τώρα ένα παράδειγμα για μαθητές γυμνασίου:

Για να φτάσουμε στο x και έτσι να λύσουμε την κακή μας τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει πρώτα να λάβουμε ένα καθαρό συνημίτονο στα αριστερά, χωρίς συντελεστές. Αλλά το δίδυμο μπαίνει εμπόδιο. :) Άρα διαιρούμε όλη την αριστερή πλευρά με το 2:

Αλλά τότε η δεξιά πλευρά θα πρέπει επίσης να διαιρεθεί με δύο: αυτό απαιτείται ήδη από τα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Διαιρέστε:

Το πήρα στα δεξιά αξία πίνακασυνημίτονο. Και τώρα λύθηκε η εξίσωση για τη γλυκιά ψυχή.)

Είναι όλα ξεκάθαρα με τον πολλαπλασιασμό/διαίρεση; Εξαιρετική! Αλλά… προσοχή!Σε αυτή τη μεταμόρφωση, παρά την απλότητά της, βρίσκεται μια πηγή πολύ ενοχλητικών λαθών! Λέγεται απώλεια ριζών Και απόκτηση ξένων ριζών .

Είπα ήδη παραπάνω ότι και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με οποιονδήποτε αριθμό ή έκφραση με x. Αλλά με μια σημαντική προειδοποίηση: η έκφραση με την οποία πολλαπλασιάζουμε (διαιρούμε) πρέπει να είναι διαφορετικό από το μηδέν . Είναι αυτό το σημείο, που πολλοί απλώς αγνοούν στην αρχή, που οδηγεί σε τέτοια ατυχή λάθη. Στην πραγματικότητα, το νόημα αυτού του περιορισμού είναι σαφές: ο πολλαπλασιασμός με το μηδέν είναι ανόητος και η διαίρεση γενικά δεν επιτρέπεται. Ας καταλάβουμε τι είναι τι; Ας ξεκινήσουμε με τη διαίρεση και απώλεια ρίζας .

Ας πούμε ότι έχουμε αυτή την εξίσωση:

Εδώ, τα χέρια κάποιου είναι πραγματικά φαγούρα για να πάρει και να διαιρέσει και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με κοινή αγκύλη(x-1):

Ας υποθέσουμε ότι η εργασία του Unified State Exam λέει να βρείτε το άθροισμα των ριζών αυτής της εξίσωσης. Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Τρία; Αν αποφασίσετε ότι είναι τρία, τότε εσείς έπεσαν σε ενέδρα. Ονομάζεται "απώλεια ρίζας". :) Τι συμβαίνει;

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες στην αρχική εξίσωση και ας συλλέξουμε τα πάντα στα αριστερά:

Πήραμε την κλασική τετραγωνική εξίσωση. Επιλύουμε μέσω της διάκρισης (ή μέσω του θεωρήματος του Vieta) και παίρνουμε δύο ρίζες:

Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι 1+3 = 4. Τέσσερα, όχι τρία! Πού «εξαφανίστηκε» η ρίζα μας;

x = 1

Με την πρώτη λύση; Και το δικό μας εξαφανίστηκε ακριβώς όταν χωρίζαμε και τα δύο μέρη με αγκύλες (x-1). Γιατί συνέβη; Και όλα αυτά επειδή στο x = 1 αυτή ακριβώς η αγκύλη (x-1) μηδενίζεται. Και έχουμε το δικαίωμα να διαιρούμε μόνο με μη μηδενική έκφραση! Πώς θα μπορούσε να αποφευχθεί η απώλεια αυτής της ρίζας; Και γενικά απώλεια ριζών; Για να γίνει αυτό, πρώτα, πριν διαιρέσουμε με κάποια παράσταση με ένα x, προσθέτουμε πάντα την προϋπόθεση ότι αυτή η παράσταση είναι διαφορετική από το μηδέν. Και βρίσκουμε μηδενικά αυτής της έκφρασης. Όπως αυτό (χρησιμοποιώντας την εξίσωσή μας ως παράδειγμα):

Και δεύτερον, για να μην εξαφανιστούν ορισμένες ρίζες κατά τη διαδικασία διαίρεσης, πρέπει να ελέγξουμε ξεχωριστά ως υποψήφιους για ρίζες Ολα μηδενικά της έκφρασής μας (αυτό με το οποίο διαιρούμε). Πως; Απλά βάλτε τα μέσα αρχική εξίσωσηκαι μετράνε. Στην περίπτωσή μας, ελέγχουμε ένα:

Όλα είναι δίκαια. Άρα, μία είναι η ρίζα!

Σε γενικές γραμμές, στο μέλλον, πάντα να προσπαθείτε να αποφεύγετε τμήματα στην έκφραση με Χ. Η απώλεια ριζών είναι πολύ επικίνδυνο και ενοχλητικό πράγμα! Χρησιμοποιήστε οποιεσδήποτε άλλες μεθόδους - ανοίγοντας στηρίγματα και ειδικά παραγοντοποίηση. Η παραγοντοποίηση είναι η απλούστερη και ασφαλή τρόποαποφύγετε την απώλεια ριζών. Για να το κάνουμε αυτό, συλλέγουμε τα πάντα στα αριστερά, μετά βγάζουμε τον κοινό παράγοντα (τον οποίο θέλουμε να «μειώσουμε» κατά) από αγκύλες, τον συνυπολογίζουμε σε παράγοντες και μετά εξισώνουμε κάθε παράγοντα που προκύπτει με το μηδέν. Για παράδειγμα, η εξίσωσή μας θα μπορούσε να λυθεί αρκετά ακίνδυνα όχι μόνο με αναγωγή σε τετραγωνικό, αλλά και με παραγοντοποίηση. Δες το και μονος σου:

Μετακινήστε ολόκληρη την παράσταση (x-1) προς τα αριστερά. Με πρόσημο μείον:

Βγάζουμε το (x-1) από αγκύλες ως κοινό παράγοντα και το παραγοντοποιούμε:

Το προϊόν είναι μηδέν όταν τουλάχιστον έναν από τους πολλαπλασιαστές ίσο με μηδέν . Τώρα εξισώνουμε (στο μυαλό μας!) κάθε παρένθεση με το μηδέν και παίρνουμε τις νόμιμες δύο ρίζες μας:

Και δεν χάθηκε ούτε μια ρίζα!

Ας δούμε τώρα την αντίθετη κατάσταση - απόκτηση ξένων ριζών. Αυτή η κατάσταση εμφανίζεται όταν πολλαπλασιασμός και οι δύο πλευρές της εξίσωσης στην έκφραση με x. Συχνά εμφανίζεται κατά την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, αυτή η απλή εξίσωση:

Είναι οικείο θέμα - πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με τον παρονομαστή για να απαλλαγούμε από το κλάσμα και να πάρουμε μια εξίσωση χάρακα:

Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με μηδέν και παίρνουμε δύο ρίζες:

Όλα δείχνουν να είναι καλά. Ας προσπαθήσουμε όμως να κάνουμε έναν βασικό έλεγχο. Και αν σε x = 0όλα θα μεγαλώσουν μαζί ωραία, παίρνουμε την ταυτότητα 2=2, τότε πότε x = 1Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τη διαίρεση με το μηδέν. Αυτό που δεν μπορείτε να κάνετε απολύτως. Το ένα δεν είναι κατάλληλο ως ρίζα της εξίσωσής μας. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι x = 1- τα λεγόμενα εξωγενής ρίζα . Η μία είναι η ρίζα της νέας μας εξίσωσης χωρίς κλάσμα x(x-1) = 0,Αλλά δεν είναιρίζα πρωτότυπο κλασματική εξίσωση. Πώς εμφανίζεται αυτή η ξένη ρίζα; Εμφανίζεται όταν και οι δύο πλευρές πολλαπλασιάζονται με τον παρονομαστή x-1.που στο x = 1απλά πάει στο μηδέν! Και έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάζουμε μόνο με μια έκφραση εκτός από το μηδέν!

Πώς να είσαι; Να μην πολλαπλασιαστεί καθόλου; Τότε δεν θα μπορούμε να λύσουμε τίποτα απολύτως. Πρέπει να ελέγχω κάθε φορά; Μπορώ. Αλλά είναι συχνά έντασης εργασίας εάν η αρχική εξίσωση είναι πολύ μπερδεμένη. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τρία μαγικά γράμματα έρχονται στη διάσωση - ODZ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕπεριοχή ρεπαραλείπεται Ζεπιτεύγματα. Και για να αποκλείσετε την εμφάνιση εξωτερικών ριζών, κατά τον πολλαπλασιασμό με μια παράσταση με ένα X, πρέπει πάντα να σημειώνετε επιπλέον το ODZ. Στην περίπτωσή μας:

Τώρα, με αυτόν τον περιορισμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με ασφάλεια και τις δύο πλευρές με τον παρονομαστή. Θα αποκλείσουμε όλες τις επιβλαβείς συνέπειες από τέτοιου είδους πολλαπλασιασμό (δηλαδή τις ξένες ρίζες) σύμφωνα με το DZ. Και θα πετάξουμε αλύπητα το δικό μας.

Έτσι, η εμφάνιση ξένων ριζών δεν είναι τόσο επικίνδυνη όσο η απώλεια: το ODZ είναι ένα ισχυρό πράγμα. Και σκληρός. Θα εξαφανίζει πάντα οτιδήποτε περιττό για εμάς. :) Ο ODZ και εγώ θα είμαστε φίλοι και θα γνωριστούμε πιο αναλυτικά σε ένα ξεχωριστό μάθημα.

Αυτοί είναι όλοι οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί.) Μόνο δύο. Ωστόσο, ένας άπειρος μαθητής μπορεί να έχει κάποιες δυσκολίες που σχετίζονται με αλληλουχίαοι εφαρμογές τους: σε ορισμένα παραδείγματα ξεκινούν με πολλαπλασιασμό (ή διαίρεση), σε άλλα - με μεταφορά. Για παράδειγμα, αυτή η γραμμική εξίσωση:

Από πού να αρχίσω; Μπορείτε να ξεκινήσετε με τη μεταφορά:

Ή μπορείτε πρώτα να διαιρέσετε και τα δύο μέρη κατά πέντε και στη συνέχεια να μεταφέρετε. Τότε οι αριθμοί θα γίνουν απλούστεροι και θα είναι ευκολότερο να μετρηθούν:

Όπως βλέπουμε, και οι δύο τρόποι είναι δυνατοί. Έτσι προκύπτει το ερώτημα για ορισμένους μαθητές: «Ποιο είναι το σωστό;» Απάντηση: "Σωστό από κάθε άποψη!" Όποιο είναι πιο βολικό για εσάς. :) Αρκεί οι πράξεις σου να μην έρχονται σε αντίθεση με τους κανόνες των μαθηματικών. Και η αλληλουχία αυτών των ίδιων ενεργειών εξαρτάται αποκλειστικά από τις προσωπικές προτιμήσεις και συνήθειες αυτού που αποφασίζει. Ωστόσο, με την εμπειρία, τέτοιες ερωτήσεις θα εξαφανιστούν από μόνες τους και στο τέλος δεν θα είναι τα μαθηματικά που θα σας κουμαντάρουν, αλλά θα κουμαντάρετε τα μαθηματικά. :)

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να πω ξεχωριστά για το λεγόμενο υπό όρους ταυτόσημους μετασχηματισμούς, ισχύει για κάποιες προϋποθέσεις. Για παράδειγμα, ανυψώνοντας και τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης στην ίδια ισχύ. Ή εξαγωγή της ρίζας και από τα δύο μέρη. Εάν ο εκθέτης είναι περιττός, τότε δεν υπάρχουν περιορισμοί - κατασκευάστε και εξάγετε χωρίς φόβο. Αλλά αν είναι άρτιος, τότε ένας τέτοιος μετασχηματισμός θα είναι πανομοιότυπος μόνο αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι μη αρνητικές. Για αυτές τις παγίδες θα μιλήσουμε αναλυτικά στο θέμα για τις παράλογες εξισώσεις.

Οδηγίες

Μέθοδος αντικατάστασηςΕκφράστε μια μεταβλητή και αντικαταστήστε την με μια άλλη εξίσωση. Μπορείτε να εκφράσετε οποιαδήποτε μεταβλητή κατά την κρίση σας. Για παράδειγμα, εκφράστε το y από τη δεύτερη εξίσωση:
x-y=2 => y=x-2 Στη συνέχεια αντικαταστήστε τα πάντα στην πρώτη εξίσωση:
2x+(x-2)=10 Μετακινήστε τα πάντα χωρίς το «x» στη δεξιά πλευρά και υπολογίστε:
2x+x=10+2
3x=12 Στη συνέχεια, για να πάρετε το x, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
x=4, λοιπόν, βρήκατε το «x. Βρείτε το "y. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το "x" στην εξίσωση από την οποία εκφράσατε το "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Κάντε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις προκύπτουσες τιμές στις εξισώσεις:
2*4+2=10
4-2=2
Τα άγνωστα βρέθηκαν σωστά!

Ένας τρόπος για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εξισώσεις Ξεφορτωθείτε οποιαδήποτε μεταβλητή αμέσως. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει με το «y.
Δεδομένου ότι στο "y" υπάρχει το σύμβολο "+" και στο δεύτερο "-", τότε μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία πρόσθεσης, δηλ. διπλώστε την αριστερή πλευρά με την αριστερή και τη δεξιά με τη δεξιά:
2x+y+(x-y)=10+2Μετατροπή:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Αντικαταστήστε το «x» σε οποιαδήποτε εξίσωση και βρείτε το «y»:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Με την 1η μέθοδο μπορείτε να δείτε ότι βρέθηκαν σωστά.

Εάν δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν ελαφρώς οι εξισώσεις.
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε «2x» και στη δεύτερη έχουμε απλώς «x». Για να μειωθεί το x κατά την πρόσθεση, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2:
x-y=2
2x-2y=4Στη συνέχεια αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Σημειώστε ότι αν υπάρχει ένα μείον πριν από το στήριγμα, μετά το άνοιγμα, αλλάξτε το στο αντίθετο:
2x+y-2x+2y=6
3υ=6
βρείτε y=2x εκφράζοντας από οποιαδήποτε εξίσωση, δηλ.
x=4

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Συμβουλή 2: Πώς να λύσετε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές

Η εξίσωση, γραμμένο σε γενική μορφή ax+bу+c=0, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές. Μια τέτοια εξίσωση περιέχει από μόνη της έναν άπειρο αριθμό λύσεων, επομένως στα προβλήματα συμπληρώνεται πάντα με κάτι - μια άλλη εξίσωση ή περιοριστικές συνθήκες. Ανάλογα με τις συνθήκες που παρέχει το πρόβλημα, να λύσετε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητέςπρέπει διαφορετικοί τρόποι.

Θα χρειαστείτε

• - γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.
• - δεύτερη εξίσωση ή πρόσθετες προϋποθέσεις.

Οδηγίες

Δεδομένου ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, λύστε το ως εξής. Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις στις οποίες βρίσκονται οι συντελεστές μεταβλητέςμικρότερο και εκφράζει μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα, x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτή την τιμή που περιέχει το y στη δεύτερη εξίσωση. Στην εξίσωση που προκύπτει θα υπάρχει μόνο μία μεταβλητή y, μετακινήστε όλα τα μέρη με το y στην αριστερή πλευρά και τα ελεύθερα προς τα δεξιά. Βρείτε το y και αντικαταστήστε με οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε το x.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Πολλαπλασιάστε μία από τις εξισώσεις με έναν αριθμό έτσι ώστε ο συντελεστής μιας από τις μεταβλητές, όπως x, να είναι ίδιος και στις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια αφαιρέστε τη μία από τις εξισώσεις από την άλλη (αν η δεξιά πλευρά δεν είναι ίση με 0, θυμηθείτε να αφαιρέσετε τις δεξιές πλευρές με τον ίδιο τρόπο). Θα δείτε ότι η μεταβλητή x έχει εξαφανιστεί και παραμένει μόνο μία μεταβλητή y. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει και αντικαταστήστε την τιμή του y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις αρχικές ισότητες. Βρείτε το x.

Ο τρίτος τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων είναι ο γραφικός. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων και γράψτε δύο γραμμές των οποίων οι εξισώσεις δίνονται στο σύστημά σας. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε οποιεσδήποτε δύο τιμές x στην εξίσωση και βρείτε το αντίστοιχο y - αυτές θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στη γραμμή. Ο πιο βολικός τρόπος για να βρείτε την τομή με τους άξονες συντεταγμένων είναι απλώς να αντικαταστήσετε τις τιμές x=0 και y=0. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών των δύο ευθειών θα είναι οι εργασίες.

Εάν υπάρχει μόνο μία γραμμική εξίσωση στις προβληματικές συνθήκες, τότε σας έχουν δοθεί πρόσθετες συνθήκες μέσω των οποίων μπορείτε να βρείτε μια λύση. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα για να βρείτε αυτές τις συνθήκες. Αν μεταβλητέςΤα x και y υποδεικνύουν απόσταση, ταχύτητα, βάρος - μη διστάσετε να ορίσετε το όριο x≥0 και y≥0. Είναι πολύ πιθανό το x ή το y να κρύβει τον αριθμό των μήλων κ.λπ. – τότε οι τιμές μπορούν να είναι μόνο . Εάν το x είναι η ηλικία του γιου, είναι σαφές ότι δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πατέρα του, οπότε υποδείξτε αυτό στις συνθήκες του προβλήματος.

Πηγές:

• πώς να λύσετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή

Από μόνο του την εξίσωσημε τρεις άγνωστοςέχει πολλές λύσεις, επομένως τις περισσότερες φορές συμπληρώνεται από δύο ακόμη εξισώσεις ή συνθήκες. Ανάλογα με το ποια είναι τα αρχικά δεδομένα, θα εξαρτηθεί σε μεγάλο βαθμό η πορεία της απόφασης.

Θα χρειαστείτε

• - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Οδηγίες

Εάν δύο από τα τρία συστήματα έχουν μόνο δύο από τα τρία άγνωστα, προσπαθήστε να εκφράσετε κάποιες μεταβλητές ως προς τις υπόλοιπες και να τις αντικαταστήσετε σε την εξίσωσημε τρεις άγνωστος. Ο στόχος σας σε αυτή την περίπτωση είναι να το μετατρέψετε σε κανονικό την εξίσωσημε άγνωστο άτομο. Εάν αυτό είναι , η περαιτέρω λύση είναι αρκετά απλή - αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε με άλλες εξισώσεις και βρείτε όλους τους άλλους άγνωστους.

Ορισμένα συστήματα εξισώσεων μπορούν να αφαιρεθούν από μια εξίσωση με μια άλλη. Δείτε αν είναι δυνατό να πολλαπλασιάσετε ένα από ή μια μεταβλητή έτσι ώστε δύο άγνωστα να ακυρωθούν ταυτόχρονα. Εάν υπάρχει μια τέτοια ευκαιρία, εκμεταλλευτείτε το πιθανότατα, η μετέπειτα λύση δεν θα είναι δύσκολη. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ομοίως, κατά την αφαίρεση των εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε ότι πρέπει να αφαιρεθεί και η δεξιά πλευρά.

Εάν οι προηγούμενες μέθοδοι δεν βοήθησαν, χρησιμοποιήστε με γενικό τρόπολύσεις οποιωνδήποτε εξισώσεων με τρία άγνωστος. Για να το κάνετε αυτό, ξαναγράψτε τις εξισώσεις με τη μορφή a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Τώρα δημιουργήστε έναν πίνακα συντελεστών για το x (A), έναν πίνακα αγνώστων (X) και έναν πίνακα ελεύθερων μεταβλητών (B). Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα των συντελεστών με τον πίνακα των αγνώστων, θα λάβετε έναν πίνακα ελεύθερων όρων, δηλαδή A*X=B.

Βρείτε τον πίνακα Α στην ισχύ (-1) βρίσκοντας πρώτα το , σημειώστε ότι δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Μετά από αυτό, πολλαπλασιάστε τον προκύπτοντα πίνακα με τον πίνακα Β, ως αποτέλεσμα θα λάβετε τον επιθυμητό πίνακα X, υποδεικνύοντας όλες τις τιμές.

Μπορείτε επίσης να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ορίζουσα Δ τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος. Στη συνέχεια, βρείτε διαδοχικά τρεις ακόμη ορίζουσες Δ1, Δ2 και Δ3, αντικαθιστώντας τις τιμές των ελεύθερων όρων αντί για τις τιμές των αντίστοιχων στηλών. Τώρα βρείτε το x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Πηγές:

• λύσεις εξισώσεων με τρεις αγνώστους

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι προκλητική και συναρπαστική. Πως πιο πολύπλοκο σύστημα, τόσο πιο ενδιαφέρον είναι να το λύσουμε. Τις περισσότερες φορές στα μαθηματικά ΛύκειοΥπάρχουν συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα, αλλά στα ανώτερα μαθηματικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές. Τα συστήματα μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους.

Οδηγίες

Η πιο κοινή μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η αντικατάσταση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε μια μεταβλητή ως προς την άλλη και να την αντικαταστήσετε με τη δεύτερη την εξίσωσησυστήματα, οδηγώντας έτσι την εξίσωσησε μία μεταβλητή. Για παράδειγμα, δίνονται οι ακόλουθες εξισώσεις: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Από τη δεύτερη παράσταση είναι βολικό να εκφράσουμε μία από τις μεταβλητές, μετακινώντας όλα τα άλλα στη δεξιά πλευρά της παράστασης, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε το πρόσημο του συντελεστή: x = 3-y.

Ανοίξτε τις αγκύλες: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Αντικαθιστούμε την τιμή y που προκύπτει: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Στην πρώτη παράσταση, όλοι οι όροι είναι 2, μπορείτε να αφαιρέσετε 2 από την αγκύλη στην κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: 2*(2x-y-3)=0. Τώρα και τα δύο μέρη της παράστασης μπορούν να μειωθούν κατά αυτόν τον αριθμό και στη συνέχεια να εκφραστούν ως y, αφού ο συντελεστής συντελεστή για αυτήν είναι ίσος με ένα: -y = 3-2x ή y = 2x-3.

Όπως και στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση με τη δεύτερη την εξίσωσηκαι παίρνουμε: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει στην παράσταση: y=2x -3;y=4-3=1.

Βλέπουμε ότι ο συντελεστής για το y είναι ίδιος σε τιμή, αλλά διαφορετικός σε πρόσημο, επομένως, αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις, θα απαλλαγούμε εντελώς από το y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 Αντικαταστήστε την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λάβετε y=1.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Διτετραγωνικό την εξίσωσηαντιπροσωπεύει την εξίσωσητέταρτο βαθμό, γενική μορφήπου παριστάνεται με την έκφραση ax^4 + bx^2 + c = 0. Η λύση του βασίζεται στη χρήση της μεθόδου αντικατάστασης αγνώστων. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΤο x^2 αντικαθίσταται από μια άλλη μεταβλητή. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι ένα συνηθισμένο τετράγωνο την εξίσωση, που πρέπει να λυθεί.

Οδηγίες

Λύστε το τετραγωνικό την εξίσωση, που προκύπτει από την αντικατάσταση. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε πρώτα την τιμή σύμφωνα με τον τύπο: D = b^2; 4ac. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές a, b, c είναι οι συντελεστές της εξίσωσής μας.

Να βρείτε τις ρίζες της διτετραγωνικής εξίσωσης. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τετραγωνική ρίζα των λυμάτων που ελήφθησαν. Εάν υπήρχε μία λύση, τότε θα υπάρχουν δύο - μια θετική και αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Αν υπήρχαν δύο λύσεις, η διτετραγωνική εξίσωση θα έχει τέσσερις ρίζες.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Ενας από κλασικές μεθόδουςΗ επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Gauss. Συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη των μεταβλητών όταν χρησιμοποιεί ένα σύστημα εξισώσεων απλές μεταμορφώσειςμεταφράζεται σε ένα σταδιακό σύστημα, από το οποίο βρίσκονται όλες οι μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία.

Οδηγίες

Πρώτα, φέρτε το σύστημα των εξισώσεων σε μια μορφή όπου όλοι οι άγνωστοι είναι σε μια αυστηρά καθορισμένη σειρά. Για παράδειγμα, όλα τα άγνωστα X θα εμφανίζονται πρώτα σε κάθε γραμμή, όλα τα Y θα έρχονται μετά τα X, όλα τα Z θα έρχονται μετά τα Y και ούτω καθεξής. Δεν πρέπει να υπάρχουν άγνωστοι στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης. Προσδιορίστε νοερά τους συντελεστές μπροστά από κάθε άγνωστο, καθώς και τους συντελεστές στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης.

Γραμμικές εξισώσεις. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Γραμμικές εξισώσεις.

Οι γραμμικές εξισώσεις δεν είναι το πιο δύσκολο θέμα στα σχολικά μαθηματικά. Υπάρχουν όμως κάποια κόλπα εκεί που μπορούν να προβληματίσουν ακόμη και έναν εκπαιδευμένο μαθητή. Ας το καταλάβουμε;)

Συνήθως μια γραμμική εξίσωση ορίζεται ως εξίσωση της μορφής:

τσεκούρι + σι = 0 Οπου α και β– τυχόν αριθμούς.

2x + 7 = 0. Εδώ a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Εδώ a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Εδώ a=12, b=1/2

Τίποτα περίπλοκο, σωστά; Ειδικά αν δεν προσέξετε τις λέξεις: "όπου α και β είναι οποιοιδήποτε αριθμοί"... Και αν το προσέξετε και το σκεφτείτε απρόσεκτα;) Άλλωστε, αν a=0, b=0(είναι δυνατοί αριθμοί;), τότε παίρνουμε μια αστεία έκφραση:

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Αν, ας πούμε, a=0,ΕΝΑ b=5,Αυτό αποδεικνύεται κάτι εντελώς παράλογο:

Που είναι ενοχλητικό και υπονομεύει την εμπιστοσύνη στα μαθηματικά, ναι...) Ειδικά κατά τη διάρκεια των εξετάσεων. Αλλά από αυτές τις περίεργες εκφράσεις πρέπει επίσης να βρείτε το Χ! Που δεν υπάρχει καθόλου. Και, παραδόξως, αυτό το Χ είναι πολύ εύκολο να βρεθεί. Θα μάθουμε να το κάνουμε αυτό. Σε αυτό το μάθημα.

Πώς να αναγνωρίσετε μια γραμμική εξίσωση από την εμφάνισή της; Εξαρτάται τι εμφάνιση.) Το κόλπο είναι ότι όχι μόνο οι εξισώσεις της μορφής ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις τσεκούρι + σι = 0 , αλλά και τυχόν εξισώσεις που μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή με μετασχηματισμούς και απλοποιήσεις. Και ποιος ξέρει αν πέφτει ή όχι;)

Μια γραμμική εξίσωση μπορεί να αναγνωριστεί ξεκάθαρα σε ορισμένες περιπτώσεις. Ας πούμε, εάν έχουμε μια εξίσωση στην οποία υπάρχουν μόνο άγνωστοι στον πρώτο βαθμό και αριθμοί. Και στην εξίσωση δεν υπάρχει κλάσματα διαιρούμενα με άγνωστος , είναι σημαντικό! Και διαίρεση κατά αριθμός,ή ένα αριθμητικό κλάσμα - είναι ευπρόσδεκτο! Για παράδειγμα:

Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση. Υπάρχουν κλάσματα εδώ, αλλά δεν υπάρχουν x στο τετράγωνο, ο κύβος κ.λπ., και δεν υπάρχουν x στους παρονομαστές, δηλ. Οχι διαίρεση με το x. Και εδώ είναι η εξίσωση

δεν μπορεί να ονομαστεί γραμμικό. Εδώ τα Χ είναι όλα στον πρώτο βαθμό, αλλά υπάρχουν διαίρεση με έκφραση με x. Μετά από απλοποιήσεις και μετασχηματισμούς, μπορείτε να πάρετε μια γραμμική εξίσωση, μια τετραγωνική εξίσωση ή οτιδήποτε θέλετε.

Αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατο να αναγνωρίσετε τη γραμμική εξίσωση σε κάποιο περίπλοκο παράδειγμα μέχρι να την λύσετε σχεδόν. Αυτό είναι αναστατωμένο. Αλλά στις εργασίες, κατά κανόνα, δεν ρωτούν για τη μορφή της εξίσωσης, σωστά; Οι εργασίες ζητούν εξισώσεις αποφασίζω.Αυτό με κάνει χαρούμενο.)

Επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ολόκληρη η λύση των γραμμικών εξισώσεων αποτελείται από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς των εξισώσεων. Παρεμπιπτόντως, αυτοί οι μετασχηματισμοί (δύο από αυτούς!) είναι η βάση των λύσεων όλες οι εξισώσεις των μαθηματικών.Με άλλα λόγια, η λύση όποιοςη εξίσωση ξεκινά με αυτούς ακριβώς τους μετασχηματισμούς. Στην περίπτωση των γραμμικών εξισώσεων, αυτή (η λύση) βασίζεται σε αυτούς τους μετασχηματισμούς και τελειώνει με μια πλήρη απάντηση. Είναι λογικό να ακολουθήσετε τον σύνδεσμο, σωστά;) Επιπλέον, υπάρχουν και παραδείγματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων εκεί.

Αρχικά, ας δούμε το απλούστερο παράδειγμα. Χωρίς καμία παγίδα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε αυτήν την εξίσωση.

x - 3 = 2 - 4x

Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση. Τα Χ είναι όλα στην πρώτη δύναμη, δεν υπάρχει διαίρεση με τα Χ. Αλλά, στην πραγματικότητα, δεν έχει σημασία για εμάς τι είδους εξίσωση είναι. Πρέπει να το λύσουμε. Το σχέδιο εδώ είναι απλό. Συλλέξτε τα πάντα με Χ στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, όλα χωρίς Χ (αριθμούς) στη δεξιά.

Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνετε μεταφορά - 4x προς την αριστερή πλευρά, με αλλαγή φυσικά, και - 3 - δεξιά. Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ο πρώτος ταυτόσημος μετασχηματισμός των εξισώσεων.Εκπληκτος; Αυτό σημαίνει ότι δεν ακολουθήσατε τον σύνδεσμο, αλλά μάταια...) Λαμβάνουμε:

x + 4x = 2 + 3

Εδώ είναι παρόμοια, θεωρούμε:

Τι χρειαζόμαστε για την απόλυτη ευτυχία; Ναι, για να υπάρχει ένα καθαρό Χ στα αριστερά! Πέντε είναι στο δρόμο. Να απαλλαγούμε από τα πέντε με τη βοήθεια ο δεύτερος ταυτόσημος μετασχηματισμός των εξισώσεων.Δηλαδή, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 5. Παίρνουμε μια έτοιμη απάντηση:

Ένα στοιχειώδες παράδειγμα, φυσικά. Αυτό είναι για προθέρμανση.) Δεν είναι πολύ σαφές γιατί θυμήθηκα πανομοιότυπες μεταμορφώσεις εδώ; ΕΝΤΑΞΕΙ. Ας πάρουμε τον ταύρο από τα κέρατα.) Ας αποφασίσουμε κάτι πιο στέρεο.

Για παράδειγμα, εδώ είναι η εξίσωση:

Από πού ξεκινάμε; Με Χ - προς τα αριστερά, χωρίς Χ - προς τα δεξιά; Θα μπορούσε να είναι έτσι. Με μικρά βήματα μακρύς δρόμος. Ή μπορείτε αμέσως, καθολικά και με δυνατό τρόπο. Εάν, φυσικά, έχετε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εξισώσεων στο οπλοστάσιό σας.

Σας κάνω μια βασική ερώτηση: Τι δεν σας αρέσει περισσότερο σε αυτή την εξίσωση;

95 στα 100 άτομα θα απαντήσουν: κλάσματα ! Η απάντηση είναι σωστή. Ας τα ξεφορτωθούμε λοιπόν. Επομένως, ξεκινάμε αμέσως με δεύτερος μετασχηματισμός ταυτότητας. Τι χρειάζεστε για να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα στα αριστερά επί, ώστε ο παρονομαστής να μειωθεί εντελώς; Σωστά, στο 3. Και στα δεξιά; Με 4. Αλλά τα μαθηματικά μας επιτρέπουν να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές κατά τον ίδιο αριθμό. Πώς μπορούμε να βγούμε; Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές επί 12! Εκείνοι. επί κοινό παρονομαστή. Τότε θα μειωθούν και τα τρία και τα τέσσερα. Μην ξεχνάτε ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε μέρος εξ ολοκλήρου. Δείτε πώς φαίνεται το πρώτο βήμα:

Επέκταση των παρενθέσεων:

Σημείωση! Αριθμητής (x+2)Το έβαλα σε παρένθεση! Αυτό συμβαίνει γιατί κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων πολλαπλασιάζεται ολόκληρος ο αριθμητής! Τώρα μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα:

Αναπτύξτε τις υπόλοιπες αγκύλες:

Όχι παράδειγμα, αλλά καθαρή απόλαυση!) Τώρα ας θυμηθούμε το ξόρκι από junior classes: με ένα Χ - προς τα αριστερά, χωρίς ένα Χ - προς τα δεξιά!Και εφαρμόστε αυτόν τον μετασχηματισμό:

Εδώ είναι μερικά παρόμοια:

Και διαιρέστε και τα δύο μέρη με το 25, δηλ. εφαρμόστε ξανά τον δεύτερο μετασχηματισμό:

Αυτό είναι όλο. Απάντηση: Χ=0,16

Παρακαλώ σημειώστε: για να φέρουμε την αρχική μπερδεμένη εξίσωση σε μια ωραία μορφή, χρησιμοποιήσαμε δύο (μόνο δύο!) μετασχηματισμοί ταυτότητας– μετάφραση αριστερά-δεξιά με αλλαγή προσήμου και πολλαπλασιασμός-διαίρεση εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό. Αυτή είναι μια καθολική μέθοδος! Θα συνεργαστούμε με αυτόν τον τρόπο όποιος εξισώσεις! Απολύτως οποιοσδήποτε. Γι' αυτό επαναλαμβάνω κουραστικά για αυτούς τους ίδιους μετασχηματισμούς όλη την ώρα.)

Όπως μπορείτε να δείτε, η αρχή της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων είναι απλή. Παίρνουμε την εξίσωση και την απλοποιούμε χρησιμοποιώντας πανομοιότυπους μετασχηματισμούς μέχρι να πάρουμε την απάντηση. Τα κύρια προβλήματα εδώ είναι στους υπολογισμούς, όχι στην αρχή της λύσης.

Αλλά... Υπάρχουν τέτοιες εκπλήξεις στη διαδικασία επίλυσης των πιο στοιχειωδών γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να σας οδηγήσουν σε μια ισχυρή αηδία...) Ευτυχώς, μπορούν να υπάρξουν μόνο δύο τέτοιες εκπλήξεις. Ας τις πούμε ειδικές περιπτώσεις.

Ειδικές περιπτώσεις στην επίλυση γραμμικών εξισώσεων.

Πρώτη έκπληξη.

Ας υποθέσουμε ότι συναντάτε μια πολύ βασική εξίσωση, κάτι σαν:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Ελαφρώς βαριεστημένο, το μετακινούμε με Χ αριστερά, χωρίς Χ - δεξιά... Με αλλαγή πρόσημου όλα είναι τέλεια... Παίρνουμε:

2x-5x+3x=5-2-3

Μετράμε, και... όπα!!! Παίρνουμε:

Αυτή η ισότητα από μόνη της δεν είναι απαράδεκτη. Το μηδέν είναι πραγματικά μηδέν. Όμως το Χ λείπει! Και πρέπει να γράψουμε στην απάντηση, με τι ισούται το x;Διαφορετικά, η λύση δεν μετράει, σωστά...) Αδιέξοδο;

Ηρεμία! Σε τέτοιες αμφίβολες περιπτώσεις, οι πιο γενικοί κανόνες θα σας σώσουν. Πώς να λύσετε εξισώσεις; Τι σημαίνει να λύνεις μια εξίσωση; Αυτό σημαίνει, βρείτε όλες τις τιμές του x που, όταν αντικατασταθούν στην αρχική εξίσωση, θα μας δώσουν τη σωστή ισότητα.

Αλλά έχουμε πραγματική ισότητα ήδησυνέβη! 0=0, πόσο πιο ακριβές;! Μένει να καταλάβουμε σε τι x συμβαίνει αυτό. Σε ποιες τιμές του X μπορούν να αντικατασταθούν πρωτότυποεξίσωση αν αυτά τα x θα μηδενιστούν ακόμα;Ελα;)

Ναί!!! Τα Χ μπορούν να αντικατασταθούν όποιος!Ποιες θέλετε; Τουλάχιστον 5, τουλάχιστον 0,05, τουλάχιστον -220. Ακόμα θα συρρικνωθούν. Αν δεν με πιστεύετε, μπορείτε να το ελέγξετε.) Αντικαταστήστε τις τιμές του X σε πρωτότυποεξίσωση και υπολογίστε. Όλη την ώρα θα λαμβάνετε την καθαρή αλήθεια: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 και ούτω καθεξής.

Ορίστε η απάντησή σας: x - οποιοσδήποτε αριθμός.

Η απάντηση μπορεί να γραφτεί με διαφορετικά μαθηματικά σύμβολα, η ουσία δεν αλλάζει. Αυτή είναι μια απολύτως σωστή και πλήρης απάντηση.

Δεύτερη έκπληξη.

Ας πάρουμε την ίδια στοιχειώδη γραμμική εξίσωση και ας αλλάξουμε μόνο έναν αριθμό σε αυτήν. Αυτό θα αποφασίσουμε:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Μετά από τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς, έχουμε κάτι ενδιαφέρον:

Σαν αυτό. Λύσαμε μια γραμμική εξίσωση και πήραμε μια περίεργη ισότητα. Με μαθηματικούς όρους, πήραμε ψευδής ισότητα.Και μιλώντας σε απλή γλώσσα, αυτό δεν είναι αληθινό. Ουρλιάζω. Ωστόσο, αυτή η ανοησία είναι ένας πολύ καλός λόγος η σωστή απόφασηεξισώσεις.)

Και πάλι σκεφτόμαστε με βάση γενικοί κανόνες. Αυτό που το x, όταν αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση, θα μας δώσει αληθήςισότητα; Ναι, κανένα! Δεν υπάρχουν τέτοια Χ. Ό,τι και να βάλεις, όλα θα μειωθούν, μόνο ανοησίες θα μείνουν.)

Ορίστε η απάντησή σας: δεν υπάρχουν λύσεις.

Αυτή είναι επίσης μια εντελώς πλήρης απάντηση. Στα μαθηματικά, τέτοιες απαντήσεις βρίσκονται συχνά.

Σαν αυτό. Τώρα, ελπίζω, η εξαφάνιση των Χ στη διαδικασία επίλυσης οποιασδήποτε (όχι μόνο γραμμικής) εξίσωσης δεν θα σας μπερδέψει καθόλου. Αυτό είναι ήδη γνωστό θέμα.)

Τώρα που αντιμετωπίσαμε όλες τις παγίδες γραμμικές εξισώσεις, είναι λογικό να τα επιλύσουμε.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Στο μάθημα των μαθηματικών της 7ης δημοτικού συναντάμε για πρώτη φορά εξισώσεις με δύο μεταβλητές, αλλά μελετώνται μόνο στο πλαίσιο συστημάτων εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γι' αυτό μια ολόκληρη σειρά προβλημάτων στα οποία εισάγονται ορισμένες συνθήκες στους συντελεστές της εξίσωσης που τους περιορίζουν ξεφεύγουν από τα μάτια μας. Επιπλέον, μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων όπως «Επίλυση εξίσωσης σε φυσικούς ή ακέραιους αριθμούς» αγνοούνται επίσης, αν και σε Υλικό Ενιαίας Κρατικής ΕξετάσεωνΚαι στις εισαγωγικές εξετάσεις, προβλήματα αυτού του είδους συναντώνται όλο και πιο συχνά.

Ποια εξίσωση θα ονομαστεί εξίσωση με δύο μεταβλητές;

Έτσι, για παράδειγμα, οι εξισώσεις 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ή xy = 12 είναι εξισώσεις σε δύο μεταβλητές.

Θεωρήστε την εξίσωση 2x – y = 1. Γίνεται αληθής όταν x = 2 και y = 3, επομένως αυτό το ζεύγος μεταβλητών τιμών είναι μια λύση στην εξίσου εξίσωση.

Έτσι, η λύση σε οποιαδήποτε εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (x; y), τιμές των μεταβλητών που μετατρέπουν αυτήν την εξίσωση σε μια αληθινή αριθμητική ισότητα.

Μια εξίσωση με δύο άγνωστους μπορεί:

ΕΝΑ) έχουν μια λύση.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + 5y 2 = 0 έχει μια μοναδική λύση (0; 0).

σι) έχουν πολλαπλές λύσεις.Για παράδειγμα, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 έχει 4 λύσεις: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) δεν έχουν λύσεις.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + y 2 + 1 = 0 δεν έχει λύσεις.

ΣΟΛ) έχουν άπειρες λύσεις.Για παράδειγμα, x + y = 3. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης θα είναι αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με 3. Το σύνολο των λύσεων αυτής της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με τη μορφή (k; 3 – k), όπου k είναι κάθε πραγματικό αριθμός.

Οι κύριες μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι μέθοδοι που βασίζονται σε παραγοντοποιητικές παραστάσεις, απομόνωση πλήρους τετραγώνου, χρήση των ιδιοτήτων μιας τετραγωνικής εξίσωσης, περιορισμένες εκφράσεις και μέθοδοι εκτίμησης. Η εξίσωση συνήθως μετατρέπεται σε μια μορφή από την οποία μπορεί να ληφθεί ένα σύστημα για την εύρεση των αγνώστων.

Παραγοντοποίηση

Παράδειγμα 1.

Λύστε την εξίσωση: xy – 2 = 2x – y.

Λύση.

Ομαδοποιούμε τους όρους για σκοπούς παραγοντοποίησης:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Από κάθε παρένθεση βγάζουμε έναν κοινό παράγοντα:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Έχουμε:

y = 2, x – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ή x = -1, y – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ετσι, η απάντηση είναι όλα τα ζεύγη της μορφής (x; 2), x € R και (-1; y), y € R.

Ίσο με μηδέν δεν είναι αρνητικοί αριθμοί

Παράδειγμα 2.

Λύστε την εξίσωση: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Λύση.

Ομαδοποίηση:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Τώρα κάθε βραχίονας μπορεί να διπλωθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνικής διαφοράς.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Το άθροισμα δύο μη αρνητικών παραστάσεων είναι μηδέν μόνο αν 3x – 2 = 0 και 2y – 3 = 0.

Αυτό σημαίνει x = 2/3 και y = 3/2.

Απάντηση: (2/3; 3/2).

Μέθοδος εκτίμησης

Παράδειγμα 3.

Λύστε την εξίσωση: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Λύση.

Σε κάθε παρένθεση επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Ας υπολογίσουμε τη σημασία των εκφράσεων στην παρένθεση.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 και (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα τουλάχιστον 2. Η ισότητα είναι δυνατή αν:

(x + 1) 2 + 1 = 1 και (y – 2) 2 + 2 = 2, που σημαίνει x = -1, y = 2.

Απάντηση: (-1; 2).

Ας γνωρίσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων με δύο μεταβλητές δευτέρου βαθμού. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην αντιμετώπιση της εξίσωσης ως τετράγωνο σε σχέση με κάποια μεταβλητή.

Παράδειγμα 4.

Λύστε την εξίσωση: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Λύση.

Ας λύσουμε την εξίσωση ως δευτεροβάθμια εξίσωση για το x. Ας βρούμε το διαχωριστικό:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Η εξίσωση θα έχει λύση μόνο όταν D = 0, δηλαδή αν y = 4. Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε ότι x = 3.

Απάντηση: (3; 4).

Συχνά σε εξισώσεις με δύο άγνωστα υποδεικνύουν περιορισμούς στις μεταβλητές.

Παράδειγμα 5.

Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Λύση.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Δεξί μέροςη εξίσωση που προκύπτει όταν διαιρείται με το 5 δίνει ένα υπόλοιπο 2. Επομένως, το x 2 δεν διαιρείται με το 5. Αλλά το τετράγωνο ενός αριθμού που δεν διαιρείται με το 5 δίνει ένα υπόλοιπο 1 ή 4. Έτσι, η ισότητα είναι αδύνατη και δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα 6.

Λύστε την εξίσωση: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Λύση.

Ας επισημάνουμε τα πλήρη τετράγωνα σε κάθε παρένθεση:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Αριστερή πλευράΗ εξίσωση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 3. Η ισότητα είναι δυνατή υπό την συνθήκη |x| – 2 = 0 και y + 3 = 0. Έτσι, x = ± 2, y = -3.

Απάντηση: (2; -3) και (-2; -3).

Παράδειγμα 7.

Για κάθε ζεύγος αρνητικών ακεραίων (x;y) που ικανοποιεί την εξίσωση
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, υπολογίστε το άθροισμα (x + y). Σημειώστε το μικρότερο ποσό στην απάντησή σας.

Λύση.

Ας επιλέξουμε πλήρη τετράγωνα:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Εφόσον τα x και y είναι ακέραιοι, τα τετράγωνά τους είναι επίσης ακέραιοι. Παίρνουμε το άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων ίσων με 37 αν προσθέσουμε 1 + 36. Επομένως:

(x – y) 2 = 36 και (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 και (y + 2) 2 = 36.

Λύνοντας αυτά τα συστήματα και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα x και y είναι αρνητικά, βρίσκουμε λύσεις: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Απάντηση: -17.

Μην απελπίζεστε αν δυσκολεύεστε να λύσετε εξισώσεις με δύο άγνωστα. Με λίγη εξάσκηση, μπορείτε να χειριστείτε οποιαδήποτε εξίσωση.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις σε δύο μεταβλητές;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τι συνέβη εκθετική εξίσωση? Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις μαζί τους δείκτεςκάποιους βαθμούς. Και μόνο εκεί! Είναι σημαντικό.

Εδώ είσαι παραδείγματα εκθετικές εξισώσεις :

3 x 2 x = 8 x+3

Σημείωση! Στις βάσεις των μοιρών (κάτω) - μόνο αριθμοί. ΣΕ δείκτεςμοίρες (παραπάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με Χ. Εάν, ξαφνικά, εμφανιστεί ένα Χ στην εξίσωση κάπου εκτός από έναν δείκτη, για παράδειγμα:

αυτό θα είναι μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες για την επίλυσή τους. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Εδώ θα ασχοληθούμε επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστην πιο αγνή του μορφή.

Στην πραγματικότητα, ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις δεν λύνονται πάντα καθαρά. Αλλά υπάρχουν ορισμένοι τύποιεκθετικές εξισώσεις που μπορούν και πρέπει να λυθούν. Αυτοί είναι οι τύποι που θα εξετάσουμε.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων.

Αρχικά, ας λύσουμε κάτι πολύ βασικό. Για παράδειγμα:

Ακόμη και χωρίς θεωρίες, με απλή επιλογή είναι σαφές ότι x = 2. Τίποτα περισσότερο, σωστά! Καμία άλλη αξία του Χ δεν λειτουργεί. Τώρα ας δούμε τη λύση αυτής της δύσκολης εκθετικής εξίσωσης:

Τι καναμε; Στην πραγματικότητα το πετάξαμε πανομοιότυπους λόγους(τρεις). Εντελώς πεταμένο. Και, τα καλά νέα είναι ότι χτυπήσαμε το καρφί στο κεφάλι!

Πράγματι, αν σε μια εκθετική εξίσωση υπάρχουν αριστερά και δεξιά το ίδιοαριθμοί σε οποιεσδήποτε δυνάμεις, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να αφαιρεθούν και οι εκθέτες μπορούν να εξισωθούν. Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Μένει να λύσουμε μια πολύ απλούστερη εξίσωση. Τέλεια, σωστά;)

Ωστόσο, ας θυμηθούμε σταθερά: Μπορείτε να αφαιρέσετε βάσεις μόνο όταν οι αριθμοί βάσης αριστερά και δεξιά βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση!Χωρίς γείτονες και συντελεστές. Ας πούμε στις εξισώσεις:

2 x +2 x+1 = 2 3, ή

δύο δεν μπορούν να αφαιρεθούν!

Λοιπόν, έχουμε κατακτήσει το πιο σημαντικό πράγμα. Πώς να μετακινηθείτε από τις κακές εκθετικές εκφράσεις σε απλούστερες εξισώσεις.

«Είναι καιροί!» - λες. «Ποιος θα έδινε ένα τόσο πρωτόγονο μάθημα για τεστ και εξετάσεις!;»

Πρέπει να συμφωνήσω. Κανείς δεν θα το δώσει. Αλλά τώρα ξέρετε πού να στοχεύσετε όταν λύνετε δύσκολα παραδείγματα. Είναι απαραίτητο να το φέρετε στη φόρμα όπου ο ίδιος αριθμός βάσης βρίσκεται στα αριστερά και στα δεξιά. Τότε όλα θα είναι πιο εύκολα. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι ένα κλασικό των μαθηματικών. Παίρνουμε το αρχικό παράδειγμα και το μετατρέπουμε στο επιθυμητό μαςμυαλό. Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, φυσικά.

Ας δούμε παραδείγματα που απαιτούν κάποια πρόσθετη προσπάθεια για να τα μειώσουμε στο απλούστερο. Ας τους φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, οι κύριοι κανόνες είναι δράσεις με πτυχία.Χωρίς γνώση αυτών των ενεργειών τίποτα δεν θα λειτουργήσει.

Στις ενέργειες με βαθμούς, πρέπει κανείς να προσθέσει προσωπική παρατηρητικότητα και ευρηματικότητα. Απαιτούμε ίδιοι αριθμοί-γήπεδα; Τα αναζητούμε λοιπόν στο παράδειγμα σε ρητή ή κρυπτογραφημένη μορφή.

Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη;

Ας μας δοθεί ένα παράδειγμα:

2 2x - 8 x+1 = 0

Η πρώτη έντονη ματιά είναι στο λόγους.Αυτοί... Είναι διαφορετικοί! Δύο και οκτώ. Αλλά είναι πολύ νωρίς για να αποθαρρυνθούμε. Ήρθε η ώρα να το θυμάστε αυτό

Δύο και οκτώ είναι συγγενείς στο βαθμό.) Είναι πολύ πιθανό να γράψουμε:

8 x+1 = (2 3) x+1

Αν θυμηθούμε τον τύπο από πράξεις με βαθμούς:

(a n) m = a nm,

αυτό λειτουργεί υπέροχα:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Το αρχικό παράδειγμα άρχισε να μοιάζει με αυτό:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Μεταφέρουμε 2 3 (x+1)προς τα δεξιά (κανείς δεν έχει ακυρώσει τις στοιχειώδεις πράξεις των μαθηματικών!), έχουμε:

2 2x = 2 3(x+1)

Αυτό είναι πρακτικά όλο. Αφαίρεση των βάσεων:

Λύνουμε αυτό το τέρας και παίρνουμε

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Σε αυτό το παράδειγμα, η γνώση των δυνάμεων των δύο μας βοήθησε. Εμείς αναγνωρισθείςσε οκτώ υπάρχει ένα κρυπτογραφημένο δύο. Αυτή η τεχνική (κρυπτογράφηση κοινών λόγων υπό διαφορετικούς αριθμούς) είναι μια πολύ δημοφιλής τεχνική στις εκθετικές εξισώσεις! Ναι, και σε λογάριθμους επίσης. Πρέπει να είστε σε θέση να αναγνωρίζετε δυνάμεις άλλων αριθμών σε αριθμούς. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Το γεγονός είναι ότι η αύξηση οποιουδήποτε αριθμού σε οποιαδήποτε δύναμη δεν είναι πρόβλημα. Πολλαπλασιάστε, ακόμα και στα χαρτιά, και αυτό είναι. Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε μπορεί να ανεβάσει το 3 στην πέμπτη δύναμη. Το 243 θα λειτουργήσει αν γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού.) Αλλά στις εκθετικές εξισώσεις, πολύ πιο συχνά δεν είναι απαραίτητο να αυξήσετε σε μια ισχύ, αλλά το αντίστροφο... Μάθετε ποιος αριθμός σε ποιο βαθμόκρύβεται πίσω από τον αριθμό 243, ή, ας πούμε, 343... Δεν θα σας βοηθήσει κανένας υπολογιστής εδώ.

Πρέπει να γνωρίζεις τις δυνάμεις κάποιων αριθμών όραμα, σωστά... Ας εξασκηθούμε;

Προσδιορίστε ποιες δυνάμεις και τι αριθμούς είναι οι αριθμοί:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Απαντήσεις (σε χάος, φυσικά!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε περίεργο γεγονός. Υπάρχουν πολύ περισσότερες απαντήσεις από τις εργασίες! Λοιπόν, συμβαίνει... Για παράδειγμα, 2 6, 4 3, 8 2 - αυτό είναι όλο 64.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε σημειώσει τις πληροφορίες σχετικά με την εξοικείωση με τους αριθμούς.) Επιτρέψτε μου επίσης να σας υπενθυμίσω ότι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων χρησιμοποιούμε όλααπόθεμα μαθηματικών γνώσεων. Συμπεριλαμβανομένων εκείνων από κατώτερες και μεσαίες τάξεις. Δεν πήγες κατευθείαν στο γυμνάσιο, σωστά;)

Για παράδειγμα, κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, η τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων συχνά βοηθά (γεια στην 7η τάξη!). Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Και πάλι, η πρώτη ματιά είναι στα θεμέλια! Οι βάσεις των μοιρών είναι διαφορετικές... Τρεις και εννιά. Αλλά θέλουμε να είναι το ίδιο. Λοιπόν, σε αυτήν την περίπτωση η επιθυμία εκπληρώνεται πλήρως!) Γιατί:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Χρησιμοποιώντας τους ίδιους κανόνες για την αντιμετώπιση πτυχίων:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Αυτό είναι υπέροχο, μπορείτε να το γράψετε:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Λοιπόν, τι ακολουθεί! Δεν μπορείς να πετάξεις τρίποντα... Αδιέξοδο;

Καθόλου. Θυμηθείτε τον πιο καθολικό και ισχυρό κανόνα απόφασης Ολοιμαθηματικές εργασίες:

Αν δεν ξέρετε τι χρειάζεστε, κάντε ό,τι μπορείτε!

Κοίτα, όλα θα πάνε καλά).

Τι υπάρχει σε αυτή την εκθετική εξίσωση Μπορώκάνω; Ναι, στην αριστερή πλευρά απλά ζητάει να βγει από αγκύλες! Ο συνολικός πολλαπλασιαστής των 3 2x υποδηλώνει ξεκάθαρα αυτό. Ας προσπαθήσουμε και μετά θα δούμε:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Το παράδειγμα γίνεται όλο και καλύτερο!

Θυμόμαστε ότι για την εξάλειψη των λόγων χρειαζόμαστε ένα καθαρό πτυχίο, χωρίς κανέναν συντελεστή. Ο αριθμός 70 μας ενοχλεί. Άρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 70, παίρνουμε:

Ωχ! Όλα έγιναν καλύτερα!

Αυτή είναι η τελική απάντηση.

Συμβαίνει, όμως, να επιτυγχάνεται η τροχοδρόμηση στην ίδια βάση, αλλά να μην είναι δυνατή η εξάλειψή τους. Αυτό συμβαίνει σε άλλους τύπους εκθετικών εξισώσεων. Ας κατακτήσουμε αυτό το είδος.

Αντικατάσταση μεταβλητής στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Πρώτα - ως συνήθως. Ας προχωρήσουμε σε μια βάση. Σε ένα δελτίο.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Παίρνουμε την εξίσωση:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Και εδώ είναι που κάνουμε παρέα. Οι προηγούμενες τεχνικές δεν θα λειτουργήσουν, όπως και να το δεις. Θα πρέπει να βγάλουμε μια άλλη ισχυρή και καθολική μέθοδο από το οπλοστάσιό μας. Λέγεται μεταβλητή αντικατάσταση.

Η ουσία της μεθόδου είναι εκπληκτικά απλή. Αντί για ένα σύνθετο εικονίδιο (στην περίπτωσή μας - 2 x) γράφουμε ένα άλλο, πιο απλό (για παράδειγμα - t). Μια τέτοια φαινομενικά ανούσια αντικατάσταση οδηγεί σε εκπληκτικά αποτελέσματα!) Όλα γίνονται ξεκάθαρα και κατανοητά!

Ας λοιπόν

Τότε 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Στην εξίσωσή μας αντικαθιστούμε όλες τις δυνάμεις με x με t:

Λοιπόν, σου ξημερώνει;) Τετραγωνικές εξισώσειςΈχεις ξεχάσει ακόμα; Επιλύοντας μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:

Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην σταματήσουμε, όπως συμβαίνει... Αυτή δεν είναι η απάντηση ακόμα, χρειαζόμαστε x, όχι t. Ας επιστρέψουμε στα Χ, δηλ. κάνουμε αντίστροφη αντικατάσταση. Πρώτα για το t 1:

Αυτό είναι,

Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο από το t 2:

Χμ... 2 x στα αριστερά, 1 στα δεξιά... Πρόβλημα; Καθόλου! Αρκεί να θυμάστε (από λειτουργίες με δυνάμεις, ναι...) ότι μια μονάδα είναι όποιοςαριθμός μέσα μηδέν βαθμό. Οποιος. Ό,τι χρειαστεί θα το εγκαταστήσουμε. Χρειαζόμαστε δύο. Που σημαίνει:

Αυτό είναι τώρα. Έχουμε 2 ρίζες:

Αυτή είναι η απάντηση.

Στο επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστο τέλος μερικές φορές καταλήγεις με κάποιο είδος αμήχανης έκφρασης. Τύπος:

Το επτά δεν μπορεί να μετατραπεί σε δύο μέσω μιας απλής ισχύος. Δεν είναι συγγενείς... Πώς να είμαστε; Κάποιος μπορεί να μπερδευτεί... Αλλά αυτός που διάβασε σε αυτόν τον ιστότοπο το θέμα "Τι είναι ο λογάριθμος;" , απλώς χαμογελά με φειδώ και σημειώνει με σταθερό χέρι την απολύτως σωστή απάντηση:

Δεν μπορεί να υπάρξει μια τέτοια απάντηση στα καθήκοντα "Β" στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Εκεί απαιτείται συγκεκριμένος αριθμός. Αλλά στις εργασίες "C" είναι εύκολο.

Αυτό το μάθημα παρέχει παραδείγματα επίλυσης των πιο κοινών εκθετικών εξισώσεων. Ας επισημάνουμε τα κύρια σημεία.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πρώτα απ 'όλα, εξετάζουμε λόγουςβαθμούς. Αναρωτιόμαστε αν είναι δυνατόν να τα φτιάξουμε πανομοιότυπο.Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας ενεργά δράσεις με πτυχία.Μην ξεχνάτε ότι οι αριθμοί χωρίς x μπορούν επίσης να μετατραπούν σε δυνάμεις!

2. Προσπαθούμε να φέρουμε την εκθετική εξίσωση στη μορφή όταν στα αριστερά και στα δεξιά υπάρχουν το ίδιοαριθμοί σε οποιεσδήποτε δυνάμεις. Χρησιμοποιούμε δράσεις με πτυχίαΚαι παραγοντοποίηση.Ό,τι μπορεί να μετρηθεί σε αριθμούς, το μετράμε.

3. Εάν η δεύτερη συμβουλή δεν λειτουργεί, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση μεταβλητής. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μια εξίσωση που μπορεί να λυθεί εύκολα. Τις περισσότερες φορές - τετράγωνο. Ή κλασματική, η οποία επίσης μειώνεται σε τετράγωνο.

4. Για να λύσετε επιτυχώς εκθετικές εξισώσεις, πρέπει να γνωρίζετε τις δυνάμεις ορισμένων αριθμών με όψη.

Ως συνήθως, στο τέλος του μαθήματος καλείστε να αποφασίσετε λίγο.) Μόνοι σας. Από απλό σε σύνθετο.

Λύστε εκθετικές εξισώσεις:

Πιο δύσκολο:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Βρείτε το προϊόν των ριζών:

2 3 + 2 x = 9

Συνέβη;

Καλά τότε το πιο περίπλοκο παράδειγμα(αποφάσισε, ωστόσο, στο μυαλό...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Τι πιο ενδιαφέρον; Τότε είναι ένα κακό παράδειγμα για εσάς. Αρκετά τραβηγμένο σε αυξημένη δυσκολία. Επιτρέψτε μου να υπενθυμίσω ότι σε αυτό το παράδειγμα, αυτό που σας σώζει είναι η εφευρετικότητα και ο πιο παγκόσμιος κανόνας για την επίλυση όλων των μαθηματικών προβλημάτων.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ένα απλούστερο παράδειγμα, για χαλάρωση):

9 2 x - 4 3 x = 0

Και για επιδόρπιο. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ναι ναι! Αυτή είναι μια εξίσωση μικτού τύπου! Το οποίο δεν λάβαμε υπόψη σε αυτό το μάθημα. Γιατί να τα εξετάσετε, πρέπει να λυθούν!) Αυτό το μάθημα είναι αρκετό για να λύσετε την εξίσωση. Λοιπόν, χρειάζεσαι εφευρετικότητα... Και μακάρι να σε βοηθήσει η έβδομη τάξη (αυτό είναι μια υπόδειξη!).

Απαντήσεις (σε αταξία, διαχωρισμένες με ερωτηματικά):

1; 2; 3; 4; δεν υπαρχουν λυσεις? 2; -2; -5; 4; 0.

Είναι όλα επιτυχημένα; Εξαιρετική.

Υπάρχει ένα πρόβλημα; Κανένα πρόβλημα! Στην Ειδική Ενότητα 555, όλες αυτές οι εκθετικές εξισώσεις επιλύονται με λεπτομερείς εξηγήσεις. Τι, γιατί και γιατί. Και, φυσικά, υπάρχουν πρόσθετες πολύτιμες πληροφορίες σχετικά με την εργασία με κάθε είδους εκθετικές εξισώσεις. Όχι μόνο αυτά.)

Μια τελευταία διασκεδαστική ερώτηση που πρέπει να εξετάσετε. Σε αυτό το μάθημα δουλέψαμε με εκθετικές εξισώσεις. Γιατί δεν είπα λέξη για την ODZ εδώ;Στις εξισώσεις, αυτό είναι πολύ σημαντικό πράγμα, παρεμπιπτόντως...

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.