Εφαρμογή

Επίλυση οποιουδήποτε τύπου εξισώσεων διαδικτυακά στον ιστότοπο για μαθητές και μαθητές για την εμπέδωση του μελετημένου υλικού Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά. Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Υπάρχουν αλγεβρικές, παραμετρικές, υπερβατικές, συναρτησιακές, διαφορικές και άλλοι τύποι εξισώσεων. Ορισμένες κατηγορίες εξισώσεων έχουν αναλυτικές λύσεις, οι οποίες είναι βολικές επειδή όχι μόνο δίνουν την ακριβή τιμή της ρίζας, αλλά σας επιτρέπουν επίσης να γράψετε τη λύση στο μορφή ενός τύπου, ο οποίος μπορεί να περιλαμβάνει παραμέτρους. Οι αναλυτικές εκφράσεις επιτρέπουν όχι μόνο τον υπολογισμό των ριζών, αλλά και την ανάλυση της ύπαρξής τους και της ποσότητας τους ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων, κάτι που συχνά είναι ακόμη πιο σημαντικό για Πρακτική εφαρμογη, από τις συγκεκριμένες τιμές των ριζών. Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Η επίλυση μιας εξίσωσης είναι το καθήκον της εύρεσης τέτοιων τιμών των ορισμάτων στα οποία επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα. Επί πιθανές τιμέςμπορεί να επιβληθούν πρόσθετοι όροι στα ορίσματα (ακέραιος, πραγματικός κ.λπ.). Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση online άμεσα και με υψηλή ακρίβεια του αποτελέσματος. Τα ορίσματα για καθορισμένες συναρτήσεις (μερικές φορές ονομάζονται "μεταβλητές") ονομάζονται "άγνωστα" στην περίπτωση μιας εξίσωσης. Οι τιμές των αγνώστων στις οποίες επιτυγχάνεται αυτή η ισότητα ονομάζονται λύσεις ή ρίζες αυτής της εξίσωσης. Οι ρίζες λέγεται ότι ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση. Η επίλυση μιας εξίσωσης διαδικτυακά σημαίνει την εύρεση του συνόλου όλων των λύσεών της (ρίζες) ή την απόδειξη ότι δεν υπάρχουν ρίζες. Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Οι εξισώσεις των οποίων τα σύνολα ριζών συμπίπτουν ονομάζονται ισοδύναμες ή ίσες. Ισοδύναμες θεωρούνται και οι εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της συμμετρίας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη, τότε η δεύτερη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την πρώτη. Η ισοδυναμία των εξισώσεων έχει την ιδιότητα της μεταβατικότητας: αν μια εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια άλλη και η δεύτερη είναι ισοδύναμη με μια τρίτη, τότε η πρώτη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την τρίτη. Η ιδιότητα ισοδυναμίας των εξισώσεων μας επιτρέπει να πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς με αυτές, στις οποίες βασίζονται οι μέθοδοι επίλυσής τους. Επίλυση εξισώσεων online.. Εξισώσεις online. Ο ιστότοπος θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση διαδικτυακά. Οι εξισώσεις για τις οποίες είναι γνωστές οι αναλυτικές λύσεις περιλαμβάνουν αλγεβρικές εξισώσεις που δεν υπερβαίνουν τον τέταρτο βαθμό: γραμμική εξίσωση, τετραγωνική εξίσωση, κυβική εξίσωση και εξίσωση τέταρτου βαθμού. Οι αλγεβρικές εξισώσεις υψηλότερων βαθμών στη γενική περίπτωση δεν έχουν αναλυτική λύση, αν και μερικές από αυτές μπορούν να αναχθούν σε εξισώσεις χαμηλότερων βαθμών. Οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν υπερβατικές συναρτήσεις ονομάζονται υπερβατικές. Μεταξύ αυτών, είναι γνωστές για κάποιους αναλυτικές λύσεις τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού τα μηδενικά των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι γνωστά. Στη γενική περίπτωση, όταν δεν μπορεί να βρεθεί αναλυτική λύση, χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι. Οι αριθμητικές μέθοδοι δεν παρέχουν μια ακριβή λύση, αλλά επιτρέπουν μόνο σε κάποιον να περιορίσει το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η ρίζα σε μια συγκεκριμένη προκαθορισμένη τιμή. Επίλυση εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση.. Εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση.. Αντί για εξίσωση σε απευθείας σύνδεση, θα φανταστούμε πώς η ίδια έκφραση σχηματίζει μια γραμμική σχέση, όχι μόνο κατά μήκος μιας ευθείας εφαπτομένης, αλλά και στο ίδιο το σημείο καμπής του γραφήματος. Αυτή η μέθοδος είναι απαραίτητη ανά πάσα στιγμή στη μελέτη του θέματος. Συχνά συμβαίνει η επίλυση εξισώσεων να προσεγγίζει την τελική τιμή χρησιμοποιώντας άπειρους αριθμούς και γράφοντας διανύσματα. Είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα αρχικά δεδομένα και αυτή είναι η ουσία της εργασίας. Διαφορετικά, η τοπική συνθήκη μετατρέπεται σε τύπο. Αντιστροφή σε ευθεία γραμμή από μια δεδομένη συνάρτηση, την οποία ο υπολογιστής εξίσωσης θα υπολογίσει χωρίς μεγάλη καθυστέρηση στην εκτέλεση, η μετατόπιση θα χρησιμεύσει ως προνόμιο χώρου. Θα μιλήσουμε για την επιτυχία των μαθητών στο επιστημονικό περιβάλλον. Ωστόσο, όπως όλα τα παραπάνω, θα μας βοηθήσει στη διαδικασία εύρεσης και όταν λύσετε πλήρως την εξίσωση, αποθηκεύστε την απάντηση που προκύπτει στα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Οι ευθείες στο διάστημα τέμνονται σε ένα σημείο και αυτό το σημείο λέγεται τεμνόμενο από τις ευθείες. Το διάστημα στη γραμμή υποδεικνύεται όπως καθορίστηκε προηγουμένως. Θα δημοσιευτεί η υψηλότερη θέση για τη μελέτη των μαθηματικών. Η αντιστοίχιση μιας τιμής ορίσματος από μια παραμετρικά καθορισμένη επιφάνεια και η επίλυση της εξίσωσης online θα είναι σε θέση να περιγράψει τις αρχές της παραγωγικής πρόσβασης σε μια συνάρτηση. Η λωρίδα Möbius, ή το άπειρο όπως ονομάζεται, μοιάζει με οκτώ. Αυτή είναι μια μονόπλευρη επιφάνεια, όχι διπλής όψης. Σύμφωνα με την γενικά γνωστή σε όλους αρχή, θα δεχθούμε αντικειμενικά γραμμικές εξισώσειςγια τον βασικό προσδιορισμό ως έχει και στον κλάδο σπουδών. Μόνο δύο τιμές διαδοχικά δοσμένων ορισμάτων είναι σε θέση να αποκαλύψουν την κατεύθυνση του διανύσματος. Υποθέτοντας ότι μια άλλη λύση σε διαδικτυακές εξισώσεις είναι πολύ περισσότερα από την απλή επίλυση σημαίνει ότι θα λάβουμε ως αποτέλεσμα μια πλήρη έκδοση του αμετάβλητου. Χωρίς ολοκληρωμένη προσέγγισηΕίναι δύσκολο για τους μαθητές να μάθουν αυτό το υλικό. Όπως και πριν, για κάθε ειδική περίπτωση, ο βολικός και έξυπνος ηλεκτρονικός υπολογιστής εξισώσεων μας θα βοηθήσει όλους σε δύσκολες στιγμές, γιατί απλά πρέπει να καθορίσετε τις παραμέτρους εισόδου και το ίδιο το σύστημα θα υπολογίσει την απάντηση. Πριν ξεκινήσουμε την εισαγωγή δεδομένων, θα χρειαστούμε ένα εργαλείο εισαγωγής, το οποίο μπορεί να γίνει χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Ο αριθμός κάθε εκτίμησης της απάντησης θα οδηγήσει σε μια τετραγωνική εξίσωση στα συμπεράσματά μας, αλλά αυτό δεν είναι τόσο εύκολο να γίνει, γιατί είναι εύκολο να αποδειχθεί το αντίθετο. Η θεωρία, λόγω των χαρακτηριστικών της, δεν υποστηρίζεται από πρακτικές γνώσεις. Το να βλέπεις μια αριθμομηχανή κλασμάτων στο στάδιο της δημοσίευσης της απάντησης δεν είναι εύκολη υπόθεση στα μαθηματικά, καθώς η εναλλακτική της εγγραφής ενός αριθμού σε ένα σύνολο συμβάλλει στην αύξηση της ανάπτυξης της συνάρτησης. Ωστόσο, θα ήταν λάθος να μην μιλήσουμε για εκπαίδευση μαθητών, οπότε θα πούμε ο καθένας όσα χρειάζεται να γίνει. Η κυβική εξίσωση που βρέθηκε προηγουμένως θα ανήκει δικαιωματικά στο πεδίο ορισμού και θα περιέχει το χώρο των αριθμητικών τιμών, καθώς και συμβολικές μεταβλητές. Έχοντας μάθει ή απομνημονεύσει το θεώρημα, οι μαθητές μας θα αποδείξουν τον εαυτό τους μόνο με η καλύτερη πλευρά, και θα χαρούμε γι' αυτούς. Σε αντίθεση με τις τομές πολλαπλών πεδίων, οι διαδικτυακές μας εξισώσεις περιγράφονται από ένα επίπεδο κίνησης πολλαπλασιάζοντας δύο και τρεις αριθμητικές συνδυασμένες γραμμές. Ένα σύνολο στα μαθηματικά δεν ορίζεται μοναδικά. Η καλύτερη λύση, σύμφωνα με τους μαθητές, είναι η πλήρης καταγραφή της έκφρασης. Όπως ειπώθηκε στην επιστημονική γλώσσα, η αφαίρεση συμβολικών εκφράσεων δεν μπαίνει στην κατάσταση πραγμάτων, αλλά η λύση των εξισώσεων δίνει ένα σαφές αποτέλεσμα σε όλες τις γνωστές περιπτώσεις. Η διάρκεια του μαθήματος του δασκάλου εξαρτάται από τις ανάγκες αυτής της πρότασης. Η ανάλυση έδειξε την αναγκαιότητα όλων των υπολογιστικών τεχνικών σε πολλούς τομείς, και είναι απολύτως σαφές ότι μια αριθμομηχανή εξισώσεων είναι ένα απαραίτητο εργαλείο στα προικισμένα χέρια ενός μαθητή. Μια πιστή προσέγγιση στη μελέτη των μαθηματικών καθορίζει τη σημασία των απόψεων από διαφορετικές κατευθύνσεις. Θέλετε να προσδιορίσετε ένα από τα βασικά θεωρήματα και να λύσετε την εξίσωση με τέτοιο τρόπο, ανάλογα με την απάντηση της οποίας θα χρειαστεί περαιτέρω εφαρμογή της. Τα Analytics σε αυτόν τον τομέα κερδίζουν δυναμική. Ας ξεκινήσουμε από την αρχή και ας βγάλουμε τον τύπο. Έχοντας σπάσει το επίπεδο αύξησης της συνάρτησης, η ευθεία κατά μήκος της εφαπτομένης στο σημείο καμπής σίγουρα θα οδηγήσει στο γεγονός ότι η επίλυση της εξίσωσης σε απευθείας σύνδεση θα είναι μία από τις κύριες πτυχές στην κατασκευή του ίδιου γραφήματος από το όρισμα της συνάρτησης. Μια ερασιτεχνική προσέγγιση έχει το δικαίωμα να εφαρμοστεί εάν αυτή η συνθήκηδεν έρχεται σε αντίθεση με τα συμπεράσματα των μαθητών. Είναι η υποεργασία που θέτει την ανάλυση των μαθηματικών συνθηκών ως γραμμικές εξισώσεις στο υπάρχον πεδίο ορισμού του αντικειμένου που φέρεται στο παρασκήνιο. Το συμψηφισμό προς την κατεύθυνση της ορθογωνικότητας ακυρώνει το πλεονέκτημα μιας μοναδικής απόλυτης τιμής. Η διαδικτυακή επίλυση εξισώσεων Modulo δίνει τον ίδιο αριθμό λύσεων εάν ανοίξετε τις αγκύλες πρώτα με το σύμβολο συν και μετά με το σύμβολο μείον. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν διπλάσιες λύσεις και το αποτέλεσμα θα είναι πιο ακριβές. Σταθερό και σωστή αριθμομηχανήΟι εξισώσεις στο διαδίκτυο είναι η επιτυχία στην επίτευξη του επιδιωκόμενου στόχου στην εργασία που έχει θέσει ο δάσκαλος. Απαιτούμενη μέθοδοςφαίνεται δυνατή η επιλογή λόγω των σημαντικών διαφορών στις απόψεις μεγάλων επιστημόνων. Η προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση περιγράφει την καμπύλη των γραμμών, τη λεγόμενη παραβολή, και το πρόσημο θα καθορίσει την κυρτότητά της στο τετράγωνο σύστημα συντεταγμένων. Από την εξίσωση λαμβάνουμε τόσο τη διάκριση όσο και τις ίδιες τις ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Το πρώτο βήμα είναι να αναπαραστήσετε την έκφραση ως σωστό ή ακατάλληλο κλάσμα και να χρησιμοποιήσετε έναν υπολογιστή κλασμάτων. Ανάλογα με αυτό, θα διαμορφωθεί το σχέδιο για τους περαιτέρω υπολογισμούς μας. Τα μαθηματικά με θεωρητική προσέγγιση θα είναι χρήσιμα σε κάθε στάδιο. Σίγουρα θα παρουσιάσουμε το αποτέλεσμα ως κυβική εξίσωση, γιατί θα κρύψουμε τις ρίζες του σε αυτήν την έκφραση για να απλοποιήσουμε την εργασία για έναν φοιτητή σε ένα πανεπιστήμιο. Οποιεσδήποτε μέθοδοι είναι καλές εάν είναι κατάλληλες για επιφανειακή ανάλυση. Επιπλέον αριθμητικές πράξειςδεν θα οδηγήσει σε σφάλματα υπολογισμού. Καθορίζει την απάντηση με δεδομένη ακρίβεια. Χρησιμοποιώντας τη λύση των εξισώσεων, ας το παραδεχτούμε - η εύρεση της ανεξάρτητης μεταβλητής μιας δεδομένης συνάρτησης δεν είναι τόσο εύκολη, ειδικά κατά την περίοδο μελέτης παράλληλες γραμμέςστο άπειρο. Ενόψει της εξαίρεσης, η ανάγκη είναι πολύ προφανής. Η διαφορά πολικότητας είναι ξεκάθαρη. Από την εμπειρία της διδασκαλίας σε ινστιτούτα, ο δάσκαλός μας έμαθε κύριο μάθημα, στο οποίο οι εξισώσεις μελετήθηκαν διαδικτυακά με την πλήρη μαθηματική έννοια. Εδώ μιλούσαμε για υψηλότερες προσπάθειες και ειδικές δεξιότητες στην εφαρμογή της θεωρίας. Υπέρ των συμπερασμάτων μας, δεν πρέπει να κοιτάξουμε μέσα από ένα πρίσμα. Μέχρι πρόσφατα, πιστευόταν ότι ένα κλειστό σύνολο αυξάνεται γρήγορα στην περιοχή ως έχει και η λύση των εξισώσεων απλά πρέπει να διερευνηθεί. Στο πρώτο στάδιο δεν λάβαμε υπόψη τα πάντα πιθανές επιλογές, αλλά αυτή η προσέγγιση είναι πιο δικαιολογημένη από ποτέ. Οι επιπλέον ενέργειες με αγκύλες δικαιολογούν ορισμένες προόδους κατά μήκος των αξόνων τεταγμένων και τετμημένης, οι οποίες δεν μπορούν να παραβλεφθούν με γυμνό μάτι. Με την έννοια της εκτεταμένης αναλογικής αύξησης της συνάρτησης, υπάρχει ένα σημείο καμπής. Για άλλη μια φορά θα αποδείξουμε πώς απαραίτητη προϋπόθεσηθα εφαρμοστεί σε όλο το διάστημα μείωσης της μιας ή της άλλης φθίνουσας θέσης του διανύσματος. Σε έναν περιορισμένο χώρο, θα επιλέξουμε μια μεταβλητή από το αρχικό μπλοκ του σεναρίου μας. Ένα σύστημα που κατασκευάζεται ως βάση κατά μήκος τριών διανυσμάτων είναι υπεύθυνο για την απουσία της κύριας ροπής δύναμης. Ωστόσο, η αριθμομηχανή εξίσωσης παρήγαγε και βοήθησε στην εύρεση όλων των όρων της κατασκευασμένης εξίσωσης, τόσο πάνω από την επιφάνεια όσο και κατά μήκος παράλληλων γραμμών. Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο γύρω από το σημείο εκκίνησης. Έτσι, θα αρχίσουμε να κινούμαστε προς τα πάνω κατά μήκος των γραμμών τομής και η εφαπτομένη θα περιγράφει τον κύκλο σε όλο το μήκος του, με αποτέλεσμα μια καμπύλη που ονομάζεται involute. Παρεμπιπτόντως, ας πούμε μια μικρή ιστορία για αυτήν την καμπύλη. Το γεγονός είναι ότι ιστορικά στα μαθηματικά δεν υπήρχε η έννοια των ίδιων των μαθηματικών στην καθαρή κατανόησή τους όπως είναι σήμερα. Προηγουμένως, όλοι οι επιστήμονες ασχολούνταν με ένα κοινό καθήκον, δηλαδή την επιστήμη. Αργότερα, αρκετούς αιώνες αργότερα, όταν επιστημονικό κόσμογεμάτη με κολοσσιαία ποσότητα πληροφοριών, η ανθρωπότητα εξακολουθούσε να αναγνωρίζει πολλούς κλάδους. Παραμένουν ακόμη αναλλοίωτες. Κι όμως, κάθε χρόνο, επιστήμονες σε όλο τον κόσμο προσπαθούν να αποδείξουν ότι η επιστήμη είναι απεριόριστη και δεν θα λύσετε την εξίσωση αν δεν έχετε γνώσεις για τις φυσικές επιστήμες. Ίσως να μην είναι δυνατόν να τεθεί τελικά ένα τέλος. Το να σκέφτεσαι αυτό είναι τόσο άσκοπο όσο το να ζεσταίνεις τον αέρα έξω. Ας βρούμε το διάστημα στο οποίο το όρισμα, εάν η τιμή του είναι θετική, θα καθορίσει το μέτρο της τιμής σε μια απότομα αυξανόμενη κατεύθυνση. Η αντίδραση θα σας βοηθήσει να βρείτε τουλάχιστον τρεις λύσεις, αλλά θα πρέπει να τις ελέγξετε. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι πρέπει να λύσουμε την εξίσωση online χρησιμοποιώντας τη μοναδική υπηρεσία της ιστοσελίδας μας. Ας εισαγάγουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, κάντε κλικ στο κουμπί «ΛΥΣΗ» και λάβετε την ακριβή απάντηση μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Σε ειδικές περιπτώσεις, ας πάρουμε ένα βιβλίο για τα μαθηματικά και ας ελέγξουμε ξανά την απάντησή μας, δηλαδή, κοιτάξτε μόνο την απάντηση και όλα θα γίνουν ξεκάθαρα. Το ίδιο έργο για ένα τεχνητό πλεονάζον παραλληλεπίπεδο θα πετάξει έξω. Υπάρχει ένα παραλληλόγραμμο με τις παράλληλες πλευρές του και εξηγεί πολλές αρχές και προσεγγίσεις για τη μελέτη της χωρικής σχέσης της ανιούσας διαδικασίας συσσώρευσης κοίλου χώρου σε τύπους φυσικής μορφής. Οι διφορούμενες γραμμικές εξισώσεις δείχνουν την εξάρτηση της επιθυμητής μεταβλητής από το κοινό μας αυτή τη στιγμήχρονική λύση και πρέπει με κάποιο τρόπο να εξαγάγετε και να μειώσετε το ακατάλληλο κλάσμα σε μια μη τετριμμένη περίπτωση. Σημειώστε δέκα σημεία στην ευθεία γραμμή και σχεδιάστε μια καμπύλη σε κάθε σημείο προς τη δεδομένη κατεύθυνση, με το κυρτό σημείο προς τα πάνω. Χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες, η αριθμομηχανή εξίσωσης θα παρουσιάσει μια έκφραση με τέτοια μορφή που ο έλεγχος της για την εγκυρότητα των κανόνων θα είναι προφανής ακόμη και στην αρχή της εγγραφής. Το σύστημα ειδικών αναπαραστάσεων της σταθερότητας για τους μαθηματικούς έρχεται πρώτο, εκτός εάν προβλέπεται διαφορετικά από τον τύπο. Θα απαντήσουμε σε αυτό με μια λεπτομερή παρουσίαση μιας αναφοράς σχετικά με το θέμα της ισομορφικής κατάστασης ενός πλαστικού συστήματος σωμάτων και η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο θα περιγράψει την κίνηση κάθε υλικού σημείου σε αυτό το σύστημα. Σε επίπεδο εις βάθος έρευνας, θα χρειαστεί να διευκρινιστεί λεπτομερώς το ζήτημα των αναστροφών τουλάχιστον του κατώτερου στρώματος του χώρου. Με αύξουσα σειρά στο τμήμα ασυνέχειας της συνάρτησης, θα εφαρμόσουμε γενική μέθοδοςένας εξαιρετικός ερευνητής παρεμπιπτόντως συμπατριώτης μας και θα μιλήσουμε παρακάτω για τη συμπεριφορά του αεροπλάνου. Λόγω των ισχυρών χαρακτηριστικών μιας αναλυτικά καθορισμένης συνάρτησης, χρησιμοποιούμε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή εξισώσεων μόνο για τον επιδιωκόμενο σκοπό της εντός των παραγόμενων ορίων εξουσίας. Συλλογιζόμενοι περαιτέρω, θα επικεντρώσουμε την ανασκόπησή μας στην ομοιογένεια της ίδιας της εξίσωσης, δηλαδή ότι η δεξιά πλευρά της είναι ίση με μηδέν. Ας βεβαιωθούμε για άλλη μια φορά ότι η απόφασή μας στα μαθηματικά είναι σωστή. Για να αποφύγουμε μια ασήμαντη λύση, θα κάνουμε κάποιες προσαρμογές στις αρχικές συνθήκες για το πρόβλημα της ευστάθειας υπό όρους του συστήματος. Ας δημιουργήσουμε μια τετραγωνική εξίσωση, για την οποία γράφουμε δύο καταχωρήσεις χρησιμοποιώντας έναν γνωστό τύπο και βρίσκουμε τις αρνητικές ρίζες. Αν μια ρίζα είναι πέντε μονάδες μεγαλύτερη από τη δεύτερη και την τρίτη ρίζα, τότε κάνοντας αλλαγές σε κύριο επιχείρημαπαραμορφώνουμε έτσι τις αρχικές συνθήκες της δευτερεύουσας εργασίας. Από τη φύση του, κάτι ασυνήθιστο στα μαθηματικά μπορεί πάντα να περιγραφεί στο πλησιέστερο εκατοστό ενός θετικού αριθμού. Ο υπολογιστής κλασμάτων είναι αρκετές φορές ανώτερος από τους αναλόγους του σε παρόμοιους πόρους την καλύτερη στιγμή φόρτωσης διακομιστή. Στην επιφάνεια του διανύσματος ταχύτητας που αναπτύσσεται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, σχεδιάζουμε επτά γραμμές, λυγισμένες σε κατευθύνσεις αντίθετες μεταξύ τους. Η συγκρισιμότητα του ορίσματος της εκχωρημένης συνάρτησης είναι μπροστά από τις μετρήσεις του μετρητή υπολοίπου ανάκτησης. Στα μαθηματικά, μπορούμε να αναπαραστήσουμε αυτό το φαινόμενο μέσω μιας κυβικής εξίσωσης με φανταστικούς συντελεστές, καθώς και στη διπολική πρόοδο φθίνουσας ευθείας. Κρίσιμα σημείαΟι διαφορές θερμοκρασίας με πολλούς τρόπους περιγράφουν τη διαδικασία αποσύνθεσης μιας σύνθετης κλασματικής συνάρτησης σε παράγοντες. Εάν σας λένε να λύσετε μια εξίσωση, μην βιαστείτε να το κάνετε αμέσως, οπωσδήποτε πρώτα αξιολογήστε ολόκληρο το σχέδιο δράσης και μόνο μετά αποδεχτείτε η σωστή προσέγγιση. Σίγουρα θα υπάρχουν οφέλη. Η ευκολία στη δουλειά είναι εμφανής και το ίδιο ισχύει και στα μαθηματικά. Λύστε την εξίσωση διαδικτυακά. Όλες οι διαδικτυακές εξισώσεις αντιπροσωπεύουν έναν ορισμένο τύπο εγγραφής αριθμών ή παραμέτρων και μια μεταβλητή που πρέπει να προσδιοριστεί. Υπολογίστε αυτήν ακριβώς τη μεταβλητή, δηλαδή βρείτε συγκεκριμένες τιμές ή διαστήματα ενός συνόλου τιμών στις οποίες θα ισχύει η ταυτότητα. Οι αρχικές και οι τελικές συνθήκες εξαρτώνται άμεσα. ΣΕ κοινή απόφασηΟι εξισώσεις συνήθως περιλαμβάνουν κάποιες μεταβλητές και σταθερές, ορίζοντας τις οποίες θα λάβουμε ολόκληρες οικογένειες λύσεων για μια δεδομένη πρόταση προβλήματος. Σε γενικές γραμμές, αυτό δικαιολογεί τις προσπάθειες που καταβάλλονται για την αύξηση της λειτουργικότητας ενός χωρικού κύβου με πλευρά ίση με 100 εκατοστά. Μπορείτε να εφαρμόσετε ένα θεώρημα ή ένα λήμμα σε οποιοδήποτε στάδιο της κατασκευής μιας απάντησης. Ο ιστότοπος παράγει σταδιακά έναν υπολογιστή εξίσωσης εάν είναι απαραίτητο να εμφανιστεί η μικρότερη τιμή σε οποιοδήποτε διάστημα άθροισης προϊόντων. Στις μισές περιπτώσεις, μια τέτοια μπάλα, επειδή είναι κούφια, δεν πληροί πλέον τις απαιτήσεις για τον καθορισμό μιας ενδιάμεσης απάντησης. Τουλάχιστον στον άξονα τεταγμένων προς την κατεύθυνση της φθίνουσας αναπαράστασης διανυσμάτων, αυτή η αναλογία θα είναι αναμφίβολα βέλτιστη από την προηγούμενη έκφραση. Την ώρα που γραμμικές συναρτήσειςθα πραγματοποιηθεί μια πλήρης ανάλυση σημείων, στην πραγματικότητα θα συγκεντρώσουμε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς και τους διπολικούς επίπεδους χώρους μας. Αντικαθιστώντας μια μεταβλητή στην παράσταση που προκύπτει, θα λύσετε την εξίσωση βήμα προς βήμα και θα δώσετε την πιο λεπτομερή απάντηση με υψηλή ακρίβεια. Καλό θα ήταν από την πλευρά ενός μαθητή να ελέγξει ξανά τις ενέργειές του στα μαθηματικά. Η αναλογία στην αναλογία των κλασμάτων κατέγραψε την ακεραιότητα του αποτελέσματος σε όλους τους σημαντικούς τομείς δραστηριότητας του μηδενικού διανύσματος. Η επιπολαιότητα επιβεβαιώνεται στο τέλος των ολοκληρωμένων ενεργειών. Με μια απλή εργασία, οι μαθητές μπορεί να μην έχουν καμία δυσκολία εάν λύσουν την εξίσωση διαδικτυακά στο συντομότερο δυνατό χρόνο, αλλά μην ξεχνάτε όλους τους διαφορετικούς κανόνες. Ένα σύνολο υποσυνόλων τέμνεται σε μια περιοχή συγκλίνουσας σημειογραφίας. ΣΕ διαφορετικές περιπτώσειςτο προϊόν δεν έχει παραγοντοποιηθεί εσφαλμένα. Θα σας βοηθήσουμε να λύσετε την εξίσωση στο διαδίκτυο στην πρώτη μας ενότητα, αφιερωμένη στα βασικά των μαθηματικών τεχνικών για σημαντικά τμήματα για φοιτητές σε πανεπιστήμια και τεχνικές σχολές. Τα παραδείγματα απόκρισης δεν θα μας κρατήσουν σε αναμονή για αρκετές ημέρες, από τη διαδικασία καλύτερη αλληλεπίδρασηΗ διανυσματική ανάλυση με διαδοχική εύρεση λύσεων κατοχυρώθηκε με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας στις αρχές του περασμένου αιώνα. Αποδεικνύεται ότι οι προσπάθειες για τη δημιουργία σχέσεων με τη γύρω ομάδα δεν ήταν μάταιες· προφανώς κάτι άλλο χρειαζόταν πρώτα. Αρκετές γενιές αργότερα, επιστήμονες σε όλο τον κόσμο έκαναν τους ανθρώπους να πιστεύουν ότι τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών. Είτε πρόκειται για την αριστερή απάντηση είτε για τη δεξιά, παρόλα αυτά, οι εξαντλητικοί όροι πρέπει να γράφονται σε τρεις σειρές, αφού στην περίπτωσή μας σίγουρα θα μιλάμε μόνο για διανυσματική ανάλυση των ιδιοτήτων του πίνακα. Οι μη γραμμικές και οι γραμμικές εξισώσεις, μαζί με τις διτετραγωνικές εξισώσεις, έχουν ιδιαίτερη θέση στο βιβλίο μας για βέλτιστες πρακτικέςυπολογίζοντας την τροχιά της κίνησης στο χώρο όλων υλικά σημεία κλειστό σύστημα. Μια γραμμική ανάλυση του κλιμακωτού γινόμενου τριών διαδοχικών διανυσμάτων θα μας βοηθήσει να δώσουμε ζωή στην ιδέα. Στο τέλος κάθε δήλωσης, η εργασία γίνεται ευκολότερη με την εφαρμογή βελτιστοποιημένων αριθμητικών εξαιρέσεων σε όλες τις επικαλύψεις διαστήματος αριθμών που εκτελούνται. Μια διαφορετική κρίση δεν θα αντιπαραβάλει την απάντηση που βρέθηκε στο αυθαίρετο σχήμα ενός τριγώνου σε κύκλο. Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων περιέχει το απαιτούμενο ποσοστό περιθωρίου και η επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο συχνά αποκαλύπτει ένα ορισμένο κοινή ρίζαεξισώσεις σε αντίθεση με τις αρχικές συνθήκες. Η εξαίρεση παίζει ρόλο καταλύτη σε όλη την αναπόφευκτη διαδικασία εξεύρεσης μιας θετικής λύσης στον τομέα του ορισμού μιας συνάρτησης. Εάν δεν λέγεται ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε υπολογιστή, τότε ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής εξισώσεων είναι ο κατάλληλος για τα δύσκολα προβλήματά σας. Απλώς πρέπει να εισαγάγετε τα δεδομένα υπό όρους στη σωστή μορφή και ο διακομιστής μας θα εκδώσει μια πλήρη απάντηση που θα προκύψει το συντομότερο δυνατό. Μια εκθετική συνάρτηση αυξάνεται πολύ πιο γρήγορα από μια γραμμική. Το μαρτυρούν τα Ταλμούδ της λογοτεχνίας της έξυπνης βιβλιοθήκης. Θα εκτελέσει έναν υπολογισμό με τη γενική έννοια, όπως θα έκανε μια δεδομένη τετραγωνική εξίσωση με τρεις μιγαδικούς συντελεστές. Η παραβολή στο πάνω μέρος του ημιεπίπεδου χαρακτηρίζει την ευθύγραμμη παράλληλη κίνηση κατά μήκος των αξόνων του σημείου. Εδώ αξίζει να αναφέρουμε τη διαφορά δυναμικού στον χώρο εργασίας του αμαξώματος. Σε αντάλλαγμα για ένα μη βέλτιστο αποτέλεσμα, η αριθμομηχανή κλασμάτων μας καταλαμβάνει δικαίως την πρώτη θέση στη μαθηματική βαθμολογία της ανασκόπησης λειτουργικών προγραμμάτων από την πλευρά του διακομιστή. Η ευκολία χρήσης αυτής της υπηρεσίας θα εκτιμηθεί από εκατομμύρια χρήστες του Διαδικτύου. Εάν δεν ξέρετε πώς να το χρησιμοποιήσετε, θα χαρούμε να σας βοηθήσουμε. Θα θέλαμε επίσης να σημειώσουμε και να τονίσουμε ιδιαίτερα την κυβική εξίσωση από μια σειρά προβλημάτων του δημοτικού σχολείου, όταν είναι απαραίτητο να βρούμε γρήγορα τις ρίζες της και να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα επίπεδο. Ανώτερα πτυχίαη αναπαραγωγή είναι ένα από τα δύσκολα μαθηματικά προβλήματαστο ινστιτούτο και διατίθεται επαρκής αριθμός ωρών για τη φοίτησή του. Όπως όλες οι γραμμικές εξισώσεις, η δική μας δεν αποτελεί εξαίρεση σύμφωνα με πολλούς αντικειμενικούς κανόνες· κοιτάξτε από διαφορετικές οπτικές γωνίες και αποδεικνύεται ότι είναι απλή και επαρκής για να ορίσετε τις αρχικές συνθήκες. Το διάστημα της αύξησης συμπίπτει με το διάστημα κυρτότητας της συνάρτησης. Επίλυση εξισώσεων διαδικτυακά. Η μελέτη της θεωρίας βασίζεται σε διαδικτυακές εξισώσεις από πολλές ενότητες για τη μελέτη του κύριου κλάδου. Στην περίπτωση αυτής της προσέγγισης σε αβέβαια προβλήματα, είναι πολύ απλό να παρουσιαστεί η λύση των εξισώσεων σε μια προκαθορισμένη μορφή και όχι μόνο να εξαχθούν συμπεράσματα, αλλά και να προβλεφθεί το αποτέλεσμα μιας τόσο θετικής λύσης. Μια υπηρεσία στις καλύτερες παραδόσεις των μαθηματικών θα μας βοηθήσει να μάθουμε τη θεματική περιοχή, όπως συνηθίζεται στην Ανατολή. Στις καλύτερες στιγμές του χρονικού διαστήματος, παρόμοιες εργασίες πολλαπλασιάζονταν με έναν κοινό συντελεστή δέκα. Η αφθονία των πολλαπλασιασμών πολλαπλών μεταβλητών στην αριθμομηχανή εξίσωσης άρχισε να πολλαπλασιάζεται με την ποιότητα και όχι με τις ποσοτικές μεταβλητές όπως η μάζα ή το σωματικό βάρος. Προκειμένου να αποφευχθούν περιπτώσεις ανισορροπίας του υλικού συστήματος, η παραγωγή ενός τρισδιάστατου μετασχηματιστή στην ασήμαντη σύγκλιση των μη εκφυλισμένων μαθηματικών πινάκων είναι αρκετά προφανής σε εμάς. Ολοκληρώστε την εργασία και λύστε την εξίσωση στις δεδομένες συντεταγμένες, αφού το συμπέρασμα είναι άγνωστο εκ των προτέρων, όπως και όλες οι μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον μεταχωρικό χρόνο. Για μικρό χρονικό διάστημα, μετακινήστε τον κοινό παράγοντα έξω από την παρένθεση και διαιρέστε εκ των προτέρων και τις δύο πλευρές με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα. Από κάτω από το καλυμμένο υποσύνολο αριθμών που προκύπτει, εξάγετε με λεπτομερή τρόπο τριάντα τρία σημεία στη σειρά σε σύντομο χρονικό διάστημα. Στο βαθμό που με τον καλύτερο δυνατό τρόποΗ επίλυση μιας εξίσωσης στο διαδίκτυο είναι δυνατή για κάθε μαθητή. Κοιτώντας μπροστά, ας πούμε ένα σημαντικό αλλά βασικό πράγμα, χωρίς το οποίο θα είναι δύσκολο να ζήσει κανείς στο μέλλον. Τον περασμένο αιώνα, ο μεγάλος επιστήμονας παρατήρησε μια σειρά από μοτίβα στη θεωρία των μαθηματικών. Στην πράξη, το αποτέλεσμα δεν ήταν η αναμενόμενη εντύπωση των γεγονότων. Ωστόσο, κατ' αρχήν, αυτή ακριβώς η λύση των εξισώσεων στο διαδίκτυο βοηθά στη βελτίωση της κατανόησης και της αντίληψης μιας ολιστικής προσέγγισης στη μελέτη και στην πρακτική εμπέδωση του θεωρητικού υλικού που καλύπτουν οι μαθητές. Είναι πολύ πιο εύκολο να το κάνετε αυτό κατά τη διάρκεια της μελέτης σας.

=

Πρώτο επίπεδο

Εκθετικές εξισώσεις. Περιεκτικός Οδηγός (2019)

Γειά σου! Σήμερα θα συζητήσουμε μαζί σας πώς να λύσετε εξισώσεις που μπορεί να είναι είτε στοιχειώδεις (και ελπίζω ότι αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο, σχεδόν όλες θα είναι έτσι για εσάς), και αυτές που συνήθως δίνονται "για συμπλήρωση". Προφανώς να αποκοιμηθεί επιτέλους. Αλλά θα προσπαθήσω να κάνω ό,τι είναι δυνατόν, ώστε τώρα να μην μπείτε σε μπελάδες όταν αντιμετωπίζετε τέτοιου είδους εξισώσεις. Δεν θα παλεύω πια, αλλά θα σας πω αμέσως ένα μικρό μυστικό: σήμερα θα μελετήσουμε εκθετικές εξισώσεις.

Πριν προχωρήσετε στην ανάλυση τρόπων επίλυσής τους, θα σας περιγράψω αμέσως μια σειρά ερωτήσεων (αρκετά μικρές) που θα πρέπει να επαναλάβετε πριν βιαστείτε να επιτεθείτε σε αυτό το θέμα. Έτσι, για να πάρετε καλύτερο αποτέλεσμα, Σας παρακαλούμε, επαναλαμβάνω:

1. Ιδιότητες και
2. Λύση και εξισώσεις

Αλλεπάλληλος? Φοβερο! Τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να παρατηρήσετε ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι ένας αριθμός. Καταλαβαίνεις πώς ακριβώς το έκανα; Είναι αλήθεια? Τότε ας συνεχίσουμε. Τώρα απαντήστε στην ερώτησή μου, τι ισούται με την τρίτη δύναμη; Εχεις απολυτο δικιο: . Ποια δύναμη των δύο είναι το οκτώ; Αυτό είναι σωστό - το τρίτο! Επειδή. Λοιπόν, τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το εξής πρόβλημα: Επιτρέψτε μου να πολλαπλασιάσω τον αριθμό μόνος του μία φορά και να πάρω το αποτέλεσμα. Το ερώτημα είναι πόσες φορές πολλαπλασίασα μόνος μου; Μπορείτε φυσικά να το ελέγξετε απευθείας:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ευθυγραμμίζω)

Τότε μπορείτε να συμπεράνετε ότι πολλαπλασίασα με τον εαυτό μου φορές. Πώς αλλιώς μπορείτε να το ελέγξετε αυτό; Να πώς: απευθείας εξ ορισμού πτυχίου: . Αλλά, πρέπει να παραδεχτείτε, αν ρωτούσα πόσες φορές χρειάζεται να πολλαπλασιαστούν τα δύο από μόνα τους για να πάρω, ας πούμε, θα μου έλεγες: Δεν θα κοροϊδέψω τον εαυτό μου και θα πολλαπλασιάζομαι μόνος του μέχρι να γίνω μπλε στο πρόσωπο. Και θα είχε απόλυτο δίκιο. Γιατί πώς μπορείς γράψτε εν συντομία όλα τα βήματα(και η συντομία είναι η αδερφή του ταλέντου)

όπου - αυτά είναι τα ίδια "φορές", όταν πολλαπλασιάζεις από μόνος του.

Νομίζω ότι γνωρίζετε (και αν δεν ξέρετε, επειγόντως, πολύ επειγόντως επαναλάβετε τους βαθμούς!) ότι τότε το πρόβλημά μου θα γραφτεί στη μορφή:

Πώς μπορείτε να συμπεράνετε εύλογα ότι:

Έτσι, απαρατήρητη, έγραψα τα πιο απλά εκθετική εξίσωση:

Και μάλιστα τον βρήκα ρίζα. Δεν νομίζεις ότι όλα είναι τελείως ασήμαντα; Νομίζω ακριβώς το ίδιο. Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα για εσάς:

Αλλά τι να κάνουμε; Άλλωστε δεν μπορεί να γραφτεί ως δύναμη ενός (λογικού) αριθμού. Ας μην απελπιζόμαστε και ας σημειώσουμε ότι και οι δύο αυτοί αριθμοί εκφράζονται τέλεια μέσω της δύναμης του ίδιου αριθμού. Ποιό απ'όλα? Σωστά: . Στη συνέχεια, η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή:

Όπου, όπως ήδη καταλάβατε, . Ας μην καθυστερήσουμε άλλο και ας το γράψουμε ορισμός:

Στην περίπτωσή μας: .

Αυτές οι εξισώσεις λύνονται με την αναγωγή τους στη μορφή:

ακολουθούμενη από την επίλυση της εξίσωσης

Στην πραγματικότητα, στο προηγούμενο παράδειγμα κάναμε ακριβώς αυτό: πήραμε τα εξής: Και λύσαμε την απλούστερη εξίσωση.

Δεν φαίνεται τίποτα περίπλοκο, σωστά; Ας εξασκηθούμε πρώτα στα πιο απλά παραδείγματα:

Βλέπουμε πάλι ότι η δεξιά και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να αναπαρασταθούν ως δυνάμεις ενός αριθμού. Είναι αλήθεια ότι στα αριστερά αυτό έχει ήδη γίνει, αλλά στα δεξιά υπάρχει ένας αριθμός. Αλλά είναι εντάξει, γιατί η εξίσωσή μου θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε αυτό:

Τι έπρεπε να χρησιμοποιήσω εδώ; Ποιος κανόνας; Κανόνας "πτυχία εντός πτυχίων"που γράφει:

Κι αν:

Πριν απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας συμπληρώσουμε τον παρακάτω πίνακα:

Είναι εύκολο για εμάς να παρατηρήσουμε ότι όσο λιγότερο, τόσο μικρότερη αξία, αλλά παρόλα αυτά, όλες αυτές οι τιμές είναι μεγαλύτερες από το μηδέν. ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑ!!! Η ίδια ιδιότητα ισχύει ΓΙΑ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΒΑΣΗ ΜΕ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΕΙΚΤΗ!! (για οποιαδήποτε και). Τότε τι μπορούμε να συμπεράνουμε για την εξίσωση; Να τι είναι: αυτό δεν έχει ρίζες! Όπως κάθε εξίσωση δεν έχει ρίζες. Τώρα ας εξασκηθούμε και Ας λύσουμε απλά παραδείγματα:

Ας ελέγξουμε:

1. Εδώ δεν θα σας ζητηθεί τίποτα εκτός από γνώση των ιδιοτήτων των πτυχίων (που, παρεμπιπτόντως, σας ζήτησα να επαναλάβετε!) Κατά κανόνα, όλα οδηγούν στη μικρότερη βάση: , . Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: Το μόνο που χρειάζομαι είναι να χρησιμοποιήσω τις ιδιότητες των δυνάμεων: Κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών με τις ίδιες βάσεις, οι δυνάμεις προστίθενται και κατά τη διαίρεση αφαιρούνται.Τότε θα πάρω: Λοιπόν, τώρα με ήσυχη τη συνείδησή μου θα περάσω από την εκθετική εξίσωση στη γραμμική: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(στοίχιση)

2. Στο δεύτερο παράδειγμα, πρέπει να είμαστε πιο προσεκτικοί: το πρόβλημα είναι ότι στην αριστερή πλευρά δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον ίδιο αριθμό ως δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση μερικές φορές είναι χρήσιμο αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς ως γινόμενο δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις, αλλά τους ίδιους εκθέτες:

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα μοιάζει με: Τι μας έδωσε αυτό; Να τι: Αριθμοί με διαφορετικές βάσεις αλλά τους ίδιους εκθέτες μπορούν να πολλαπλασιαστούν.Σε αυτή την περίπτωση, οι βάσεις πολλαπλασιάζονται, αλλά ο δείκτης δεν αλλάζει:

Στην περίπτωσή μου αυτό θα δώσει:

\αρχή(στοίχιση)
& 4\cdot ((64)^(x))(25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(στοίχιση)

Δεν είναι κακό, σωστά;

3. Δεν μου αρέσει όταν, άσκοπα, έχω δύο όρους στη μία πλευρά της εξίσωσης και κανέναν στην άλλη (μερικές φορές, φυσικά, αυτό δικαιολογείται, αλλά τώρα δεν είναι τέτοια περίπτωση). Θα μετακινήσω τον όρο μείον προς τα δεξιά:

Τώρα, όπως και πριν, θα γράψω τα πάντα με βάση τις δυνάμεις των τριών:

Προσθέτω τις μοίρες στα αριστερά και παίρνω μια ισοδύναμη εξίσωση

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τη ρίζα του:

4. Όπως στο παράδειγμα τρία, ο όρος μείον έχει μια θέση στη δεξιά πλευρά!

Στα αριστερά μου, σχεδόν όλα είναι καλά, εκτός από τι; Ναι, με ενοχλεί ο «λάθος βαθμός» των δύο. Αλλά μπορώ εύκολα να το διορθώσω γράφοντας: . Eureka - στα αριστερά όλες οι βάσεις είναι διαφορετικές, αλλά όλες οι μοίρες είναι ίδιες! Ας πολλαπλασιαστούν αμέσως!

Εδώ πάλι όλα είναι ξεκάθαρα: (αν δεν καταλαβαίνεις πώς μαγικά πήρα την τελευταία ισότητα, κάνε ένα διάλειμμα για ένα λεπτό, πάρτε μια ανάσα και διαβάστε ξανά τις ιδιότητες του πτυχίου πολύ προσεκτικά. Ποιος είπε ότι μπορείτε να παραλείψετε ένα πτυχίο με αρνητικό εκθέτη; Λοιπόν, εδώ είμαι περίπου το ίδιο πράγμα με κανέναν). Τώρα θα πάρω:

\αρχή(στοίχιση)
& ((2)^(4\αριστερά((x) -9 \δεξιά)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(στοίχιση)

Εδώ είναι μερικά προβλήματα για να εξασκηθείτε, στα οποία θα δώσω μόνο τις απαντήσεις (αλλά σε «μικτή» μορφή). Λύστε τα, ελέγξτε τα και εσείς και εγώ θα συνεχίσουμε την έρευνά μας!

Ετοιμος? Απαντήσειςσαν αυτά:

1. οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ

Εντάξει, εντάξει, αστειεύτηκα! Ακολουθούν μερικά σκίτσα λύσεων (μερικά πολύ σύντομα!)

Δεν πιστεύετε ότι δεν είναι τυχαίο ότι το ένα κλάσμα στα αριστερά είναι το άλλο «ανεστραμμένο»; Θα ήταν αμαρτία να μην εκμεταλλευτείτε αυτό:

Αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά την επίλυση εκθετικές εξισώσεις, να το θυμάσαι καλά!

Τότε η αρχική εξίσωση θα γίνει ως εξής:

Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση, θα λάβετε τις ακόλουθες ρίζες:

2. Μια άλλη λύση: διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με την έκφραση στα αριστερά (ή δεξιά). Διαιρέστε με αυτό που βρίσκεται στα δεξιά, τότε παίρνω:

Πού (γιατί;!)

3. Δεν θέλω καν να επαναλάβω τον εαυτό μου, όλα έχουν ήδη «μασηθεί» τόσο πολύ.

4. ισοδύναμο με δευτεροβάθμια εξίσωση, ρίζες

5. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που δίνεται στο πρώτο πρόβλημα, τότε θα λάβετε ότι:

Η εξίσωση έχει μετατραπεί σε μια ασήμαντη ταυτότητα που ισχύει για οποιονδήποτε. Τότε η απάντηση είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Λοιπόν, τώρα έχετε εξασκηθεί στην επίλυση απλές εκθετικές εξισώσεις.Τώρα θέλω να σας δώσω μερικά παραδείγματα ζωής που θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε γιατί χρειάζονται καταρχήν. Εδώ θα δώσω δύο παραδείγματα. Το ένα από αυτά είναι αρκετά καθημερινό, αλλά το άλλο είναι πιο πιθανό να έχει επιστημονικό και όχι πρακτικό ενδιαφέρον.

Παράδειγμα 1 (εμπορικό)Αφήστε να έχετε ρούβλια, αλλά θέλετε να τα μετατρέψετε σε ρούβλια. Η τράπεζα σας προσφέρει να πάρετε αυτά τα χρήματα από εσάς με ετήσιο επιτόκιο με μηνιαία κεφαλαιοποίηση τόκων (μηνιαίο δεδουλευμένο). Το ερώτημα είναι πόσους μήνες χρειάζεται να ανοίξετε μια κατάθεση για να φτάσετε στο απαιτούμενο τελικό ποσό; Αρκετά εγκόσμιο έργο, έτσι δεν είναι; Ωστόσο, η επίλυσή του συνδέεται με την κατασκευή της αντίστοιχης εκθετικής εξίσωσης: Έστω - το αρχικό ποσό, - το τελικό ποσό, - το επιτόκιο της περιόδου, - ο αριθμός των περιόδων. Επειτα:

Στην περίπτωσή μας (αν ο συντελεστής είναι ετήσιος, τότε υπολογίζεται ανά μήνα). Γιατί χωρίζεται με; Εάν δεν γνωρίζετε την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση, θυμηθείτε το θέμα ""! Τότε παίρνουμε αυτή την εξίσωση:

Αυτή η εκθετική εξίσωση μπορεί να λυθεί μόνο χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή (του εμφάνισηυπαινίσσεται αυτό, και αυτό απαιτεί γνώση λογαρίθμων, με τους οποίους θα εξοικειωθούμε λίγο αργότερα), που θα κάνω: ... Έτσι, για να λάβουμε ένα εκατομμύριο, θα χρειαστεί να κάνουμε μια κατάθεση για ένα μήνα ( όχι πολύ γρήγορα, σωστά;).

Παράδειγμα 2 (μάλλον επιστημονικό).Παρά τη βέβαιη «απομόνωσή» του, σας συνιστώ να τον προσέχετε: «γλιστράει τακτικά στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!! (το πρόβλημα προέρχεται από την «πραγματική» έκδοση) Κατά τη διάρκεια της αποσύνθεσης ραδιενεργό ισότοποΗ μάζα του μειώνεται σύμφωνα με το νόμο, όπου (mg) είναι η αρχική μάζα του ισοτόπου, (ελάχ.) είναι ο χρόνος που έχει παρέλθει από την αρχική στιγμή, (ελάχ.) είναι ο χρόνος ημιζωής. Την αρχική χρονική στιγμή, η μάζα του ισοτόπου είναι mg. Ο χρόνος ημιζωής του είναι ελάχ. Μετά από πόσα λεπτά η μάζα του ισοτόπου θα είναι ίση με mg; Δεν πειράζει: απλώς λαμβάνουμε και αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα στον τύπο που μας προτείνεται:

Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά, «με την ελπίδα» ότι στα αριστερά θα πάρουμε κάτι εύπεπτο:

Λοιπόν, είμαστε πολύ τυχεροί! Είναι στα αριστερά και μετά ας προχωρήσουμε στην ισοδύναμη εξίσωση:

Πού είναι το min.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι εκθετικές εξισώσεις έχουν πολύ πραγματικές εφαρμογές στην πράξη. Τώρα θέλω να σας δείξω έναν άλλο (απλό) τρόπο επίλυσης εκθετικών εξισώσεων, ο οποίος βασίζεται σε κοινός πολλαπλασιαστήςεκτός παρενθέσεων ακολουθούμενη από ομαδοποίηση όρων. Μην σας τρομάζουν τα λόγια μου, αυτή τη μέθοδο την έχετε ήδη συναντήσει στην 7η δημοτικού όταν μελετούσατε πολυώνυμα. Για παράδειγμα, εάν έπρεπε να συνυπολογίσετε την έκφραση:

Ας ομαδοποιήσουμε: τον πρώτο και τον τρίτο όρο, καθώς και τον δεύτερο και τον τέταρτο. Είναι σαφές ότι το πρώτο και το τρίτο είναι η διαφορά των τετραγώνων:

και το δεύτερο και το τέταρτο έχουν κοινό παράγοντα 3:

Τότε η αρχική έκφραση είναι ισοδύναμη με αυτό:

Το πού να εξαχθεί ο κοινός παράγοντας δεν είναι πλέον δύσκολο:

Ως εκ τούτου,

Αυτό είναι περίπου αυτό που θα κάνουμε όταν λύνουμε εκθετικές εξισώσεις: ψάξτε για «κοινότητα» μεταξύ των όρων και βγάλτε το από αγκύλες και στη συνέχεια - ό,τι μπορεί, πιστεύω ότι θα είμαστε τυχεροί =)) Για παράδειγμα:

Στα δεξιά απέχει πολύ από το να είναι η ισχύς του επτά (το έλεγξα!) Και στα αριστερά - είναι λίγο καλύτερα, μπορείτε, φυσικά, να "κόψετε" τον παράγοντα α από τον δεύτερο από τον πρώτο όρο και στη συνέχεια να ασχοληθείτε με αυτά που πήρες, αλλά ας είμαστε πιο συνετοί μαζί σου. Δεν θέλω να ασχοληθώ με τα κλάσματα που σχηματίζονται αναπόφευκτα κατά την "επιλογή", οπότε δεν θα έπρεπε να το βγάλω; Τότε δεν θα έχω κλάσματα: όπως λένε, οι λύκοι τρέφονται και τα πρόβατα είναι ασφαλή:

Υπολογίστε την έκφραση σε αγκύλες. Μαγικά, μαγικά, αποδεικνύεται ότι (παραδόξως, αν και τι άλλο να περιμένουμε;).

Στη συνέχεια μειώνουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με αυτόν τον παράγοντα. Παίρνουμε: , από.

Εδώ είναι ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα (αρκετά, πραγματικά):

Τι πρόβλημα! Δεν έχουμε ένα κοινό σημείο εδώ! Δεν είναι απολύτως σαφές τι να κάνουμε τώρα. Ας κάνουμε ό,τι μπορούμε: πρώτα, μετακινήστε τα «τέσσερα» στη μία πλευρά και τα «πέντε» στην άλλη:

Τώρα ας βγάλουμε το "στρατηγό" αριστερά και δεξιά:

Και τώρα τι? Ποιο είναι το όφελος μιας τέτοιας ανόητης ομάδας; Με την πρώτη ματιά δεν φαίνεται καθόλου, αλλά ας το δούμε πιο βαθιά:

Λοιπόν, τώρα θα βεβαιωθούμε ότι στα αριστερά έχουμε μόνο την έκφραση c και στα δεξιά - όλα τα άλλα. Πώς το κάνουμε αυτό; Να πώς: Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης πρώτα με (έτσι απαλλαγούμε από τον εκθέτη στα δεξιά), και στη συνέχεια διαιρέστε και τις δύο πλευρές με (άρα απαλλαγούμε από τον αριθμητικό παράγοντα στα αριστερά). Τελικά παίρνουμε:

Απίστευτος! Στα αριστερά έχουμε μια έκφραση, και στα δεξιά έχουμε μια απλή έκφραση. Τότε αμέσως συμπεραίνουμε ότι

Ακολουθεί ένα άλλο παράδειγμα προς ενίσχυση:

Θα τον φέρω σύντομη λύση(χωρίς να ταλαιπωρείτε τον εαυτό σας με εξηγήσεις), προσπαθήστε να κατανοήσετε μόνοι σας όλες τις «λεπτότητες» της λύσης.

Τώρα για την τελική ενοποίηση του υλικού που καλύπτεται. Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα. Θα δώσω απλώς σύντομες συστάσεις και συμβουλές για την επίλυσή τους:

1. Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: Πού:
2. Ας παρουσιάσουμε την πρώτη έκφραση με τη μορφή: , διαιρέστε και τις δύο πλευρές και λάβετε αυτήν
3. , τότε η αρχική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή: Λοιπόν, τώρα μια υπόδειξη - ψάξτε πού εσείς και εγώ έχουμε ήδη λύσει αυτήν την εξίσωση!
4. Φανταστείτε πώς, πώς, αχ, καλά, μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές κατά, ώστε να έχετε την απλούστερη εκθετική εξίσωση.
5. Βγάλτε το από τις αγκύλες.
6. Βγάλτε το από τις αγκύλες.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Υποθέτω ότι μετά την ανάγνωση του πρώτου άρθρου, το οποίο μίλησε για τι είναι οι εκθετικές εξισώσεις και πώς να τις λύσουμε, έχεις κατακτήσει το απαραίτητο ελάχιστογνώσεις απαραίτητες για την επίλυση απλών παραδειγμάτων.

Τώρα θα εξετάσω μια άλλη μέθοδο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, αυτή είναι

«μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής» (ή αντικατάστασης).Επιλύει τα περισσότερα από τα «δύσκολα» προβλήματα στο θέμα των εκθετικών εξισώσεων (και όχι μόνο των εξισώσεων). Αυτή η μέθοδος είναι μια από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες στην πράξη. Αρχικά, σας συνιστώ να εξοικειωθείτε με το θέμα.

Όπως καταλάβατε ήδη από το όνομα, η ουσία αυτής της μεθόδου είναι να εισαγάγετε μια τέτοια αλλαγή μεταβλητής που η εκθετική σας εξίσωση θα μετατραπεί ως εκ θαύματος σε μια που μπορείτε να λύσετε εύκολα. Το μόνο που απομένει για εσάς μετά την επίλυση αυτής της πολύ «απλοποιημένης εξίσωσης» είναι να κάνετε μια «αντίστροφη αντικατάσταση»: δηλαδή να επιστρέψετε από το αντικατασταθέν στο αντικατασταθέν. Ας δείξουμε αυτό που μόλις είπαμε με ένα πολύ απλό παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Αυτή η εξίσωση λύνεται χρησιμοποιώντας μια «απλή αντικατάσταση», όπως την αποκαλούν απαξιωτικά οι μαθηματικοί. Στην πραγματικότητα, η αντικατάσταση εδώ είναι η πιο προφανής. Αρκεί να το δει κανείς

Τότε η αρχική εξίσωση θα μετατραπεί σε αυτό:

Εάν επιπλέον φανταστούμε πώς, τότε είναι απολύτως σαφές τι πρέπει να αντικατασταθεί: φυσικά, . Ποια γίνεται τότε η αρχική εξίσωση; Να τι:

Μπορείτε εύκολα να βρείτε τις ρίζες του μόνοι σας: . Τι πρέπει να κάνουμε τώρα? Ήρθε η ώρα να επιστρέψετε στην αρχική μεταβλητή. Τι ξέχασα να αναφέρω; Δηλαδή: κατά την αντικατάσταση ενός ορισμένου βαθμού με μια νέα μεταβλητή (δηλαδή κατά την αντικατάσταση ενός τύπου), θα με ενδιαφέρει μόνο θετικές ρίζες!Εσείς οι ίδιοι μπορείτε εύκολα να απαντήσετε γιατί. Έτσι, εσείς και εγώ δεν ενδιαφέρεστε, αλλά η δεύτερη ρίζα είναι αρκετά κατάλληλη για εμάς:

Τότε από πού.

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, στο προηγούμενο παράδειγμα, ένας αντικαταστάτης ζητούσε απλώς τα χέρια μας. Δυστυχώς, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, ας μην πάμε κατευθείαν στα θλιβερά πράγματα, αλλά ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα με μια αρκετά απλή αντικατάσταση

Παράδειγμα 2.

Είναι σαφές ότι πιθανότατα θα πρέπει να κάνουμε μια αντικατάσταση (αυτή είναι η μικρότερη από τις δυνάμεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωσή μας), αλλά πριν εισαγάγουμε μια αντικατάσταση, η εξίσωσή μας πρέπει να "προετοιμαστεί" γι 'αυτό, δηλαδή: , . Στη συνέχεια, μπορείτε να αντικαταστήσετε, ως αποτέλεσμα λαμβάνω την ακόλουθη έκφραση:

Ω φρίκη: μια κυβική εξίσωση με απολύτως τρομερούς τύπους για την επίλυσή της (καλά, μιλώντας σε γενική εικόνα). Αλλά ας μην απελπιζόμαστε αμέσως, αλλά ας σκεφτούμε τι πρέπει να κάνουμε. Θα προτείνω την εξαπάτηση: ξέρουμε ότι για να λάβουμε μια «όμορφη» απάντηση, πρέπει να την πάρουμε με τη μορφή κάποιας δύναμης τριών (γιατί θα ήταν έτσι, ε;). Ας προσπαθήσουμε να μαντέψουμε τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσής μας (θα αρχίσω να μαντεύω με δυνάμεις τριών).

Πρώτη εικασία. Όχι ρίζα. Αλίμονο και αχ...

.
Η αριστερή πλευρά είναι ίση.
Δεξί μέρος: !
Τρώω! Μαντέψαμε την πρώτη ρίζα. Τώρα τα πράγματα θα γίνουν πιο εύκολα!

Γνωρίζετε για το σχέδιο διαίρεσης "γωνιακό"; Φυσικά και ναι, το χρησιμοποιείς όταν διαιρείς έναν αριθμό με τον άλλο. Λίγοι όμως γνωρίζουν ότι το ίδιο μπορεί να γίνει και με τα πολυώνυμα. Υπάρχει ένα υπέροχο θεώρημα:

Εφαρμόζοντας την κατάστασή μου, αυτό μου λέει ότι διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με. Πώς γίνεται η διαίρεση; Ετσι:

Κοιτάζω με ποιο μονώνυμο πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω καθαρά, τότε:

Αφαιρώ την έκφραση που προκύπτει και παίρνω:

Τώρα, με τι πρέπει να πολλαπλασιάσω για να πάρω; Είναι σαφές ότι στις, τότε θα πάρω:

και πάλι αφαιρέστε την παράσταση που προκύπτει από την υπόλοιπη:

Καλά τελευταίο βήμα, πολλαπλασιάστε με και αφαιρέστε από την υπόλοιπη παράσταση:

Ούρα, ο διχασμός τελείωσε! Τι έχουμε συσσωρεύσει ιδιωτικά; Από μόνο του: .

Τότε πήραμε την ακόλουθη επέκταση του αρχικού πολυωνύμου:

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση:

Έχει ρίζες:

Τότε η αρχική εξίσωση:

έχει τρεις ρίζες:

Θα απορρίψουμε, φυσικά, την τελευταία ρίζα, αφού αυτή λιγότερο από το μηδέν. Και τα δύο πρώτα μετά την αντίστροφη αντικατάσταση θα μας δώσουν δύο ρίζες:

Απάντηση:..

Δεν ήθελα καθόλου να σας τρομάξω με αυτό το παράδειγμα· μάλλον, στόχος μου ήταν να δείξω ότι παρόλο που είχαμε μια αρκετά απλή αντικατάσταση, εντούτοις οδήγησε σε αρκετά σύνθετη εξίσωση, η λύση του οποίου απαιτούσε κάποιες ιδιαίτερες δεξιότητες από εμάς. Λοιπόν, κανείς δεν είναι απρόσβλητος από αυτό. Αλλά η αντικατάσταση σε σε αυτήν την περίπτωσηήταν αρκετά προφανές.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα με μια ελαφρώς λιγότερο προφανή αντικατάσταση:

Δεν είναι καθόλου σαφές τι πρέπει να κάνουμε: το πρόβλημα είναι ότι στην εξίσωσή μας υπάρχουν δύο διαφορετικές βάσεις και η μία βάση δεν μπορεί να ληφθεί από την άλλη ανεβάζοντάς την σε οποιαδήποτε (λογική, φυσικά) δύναμη. Ωστόσο, τι βλέπουμε; Και οι δύο βάσεις διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο και το γινόμενο τους είναι η διαφορά των τετραγώνων ίση με ένα:

Ορισμός:

Έτσι, οι αριθμοί που είναι οι βάσεις στο παράδειγμά μας είναι συζυγείς.

Σε αυτή την περίπτωση, το έξυπνο βήμα θα ήταν πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συζευγμένο αριθμό.

Για παράδειγμα, on, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα γίνει ίση με και η δεξιά. Αν κάνουμε μια αντικατάσταση, τότε η αρχική μας εξίσωση θα γίνει ως εξής:

τις ρίζες του, λοιπόν, και το θυμόμαστε αυτό, το καταλαβαίνουμε.

Απάντηση: , .

Κατά κανόνα, η μέθοδος αντικατάστασης είναι επαρκής για την επίλυση των περισσότερων εκθετικών εξισώσεων "σχολικής". Οι ακόλουθες εργασίες λαμβάνονται από την Ενιαία Κρατική Εξέταση C1 ( αυξημένο επίπεδοδυσκολίες). Είστε ήδη αρκετά μορφωμένοι για να λύσετε μόνοι σας αυτά τα παραδείγματα. Θα δώσω μόνο την απαιτούμενη αντικατάσταση.

1. Λύστε την εξίσωση:
2. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
3. Λύστε την εξίσωση: . Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα:

Και τώρα μερικές σύντομες εξηγήσεις και απαντήσεις:

1. Εδώ αρκεί να σημειώσουμε ότι... Τότε η αρχική εξίσωση θα είναι ισοδύναμη με αυτό: Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί αντικαθιστώντας την επιλογή Κάντε τους περαιτέρω υπολογισμούς μόνοι σας. Στο τέλος, η εργασία σας θα περιοριστεί στην επίλυση απλών τριγωνομετρικών προβλημάτων (ανάλογα με το ημίτονο ή το συνημίτονο). Θα εξετάσουμε λύσεις σε παρόμοια παραδείγματα σε άλλες ενότητες.
2. Εδώ μπορείτε να κάνετε ακόμη και χωρίς αντικατάσταση: απλώς μετακινήστε το υπόστρωμα προς τα δεξιά και αντιπροσωπεύστε και τις δύο βάσεις με δυνάμεις δύο: και μετά πηγαίνετε κατευθείαν στην τετραγωνική εξίσωση.
3. Η τρίτη εξίσωση λύνεται επίσης αρκετά τυπικά: ας φανταστούμε πώς. Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας, παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση: τότε,

   Ξέρετε ήδη τι είναι ο λογάριθμος, σωστά; Οχι? Τότε διάβασε το θέμα επειγόντως!

   Η πρώτη ρίζα προφανώς δεν ανήκει στο τμήμα, αλλά η δεύτερη είναι ασαφής! Θα το μάθουμε όμως πολύ σύντομα! Αφού, λοιπόν (αυτή είναι ιδιότητα του λογάριθμου!) Ας συγκρίνουμε:

   Αφαιρούμε και από τις δύο πλευρές και παίρνουμε:

   Αριστερή πλευράμπορεί να αναπαρασταθεί ως:

   πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με:

   μπορεί να πολλαπλασιαστεί με, τότε

   Στη συνέχεια συγκρίνετε:

   από τότε:

   Τότε η δεύτερη ρίζα ανήκει στο απαιτούμενο διάστημα

   Απάντηση:

Οπως βλέπεις, Η επιλογή των ριζών των εκθετικών εξισώσεων απαιτεί μια αρκετά βαθιά γνώση των ιδιοτήτων των λογαρίθμων, γι' αυτό σας συμβουλεύω να είστε όσο το δυνατόν πιο προσεκτικοί όταν λύνετε εκθετικές εξισώσεις. Όπως καταλαβαίνετε, στα μαθηματικά όλα είναι αλληλένδετα! Όπως είπε η δασκάλα μου στα μαθηματικά: «τα μαθηματικά, όπως και η ιστορία, δεν μπορούν να διαβαστούν από τη μια μέρα στην άλλη».

Κατά κανόνα, όλα Η δυσκολία στην επίλυση προβλημάτων Γ1 είναι ακριβώς η επιλογή των ριζών της εξίσωσης.Ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι η ίδια η εξίσωση λύνεται πολύ απλά. Κάνοντας μια αντικατάσταση, μειώνουμε την αρχική μας εξίσωση στο εξής:

Πρώτα ας δούμε την πρώτη ρίζα. Ας συγκρίνουμε και: από τότε. (ιδιοκτησία λογαριθμική συνάρτηση, στο). Τότε είναι ξεκάθαρο ότι η πρώτη ρίζα δεν ανήκει στο μεσοδιάστημά μας. Τώρα η δεύτερη ρίζα: . Είναι σαφές ότι (καθώς η συνάρτηση στο αυξάνεται). Μένει να συγκρίνουμε και...

αφού, λοιπόν, ταυτόχρονα. Με αυτόν τον τρόπο μπορώ να "οδηγήσω ένα μανταλάκι" μεταξύ του και. Αυτό το μανταλάκι είναι ένας αριθμός. Η πρώτη έκφραση είναι μικρότερη και η δεύτερη μεγαλύτερη. Τότε η δεύτερη έκφραση είναι μεγαλύτερη από την πρώτη και η ρίζα ανήκει στο διάστημα.

Απάντηση: .

Τέλος, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα εξίσωσης όπου η αντικατάσταση είναι αρκετά μη τυπική:

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με το τι μπορεί να γίνει και τι - κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει, αλλά είναι καλύτερα να μην το κάνουμε. Μπορείτε να φανταστείτε τα πάντα μέσα από τις δυνάμεις των τριών, δύο και έξι. Πού οδηγεί; Δεν θα οδηγήσει σε τίποτα: ένα συνονθύλευμα πτυχίων, μερικά από τα οποία θα είναι αρκετά δύσκολο να απαλλαγούμε. Τι χρειάζεται τότε; Ας σημειώσουμε ότι ένα Και τι θα μας δώσει αυτό; Και το γεγονός ότι μπορούμε να αναγάγουμε τη λύση αυτού του παραδείγματος στη λύση μιας αρκετά απλής εκθετικής εξίσωσης! Αρχικά, ας ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας ως εξής:

Τώρα ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με:

Εύρηκα! Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε, παίρνουμε:

Λοιπόν, τώρα είναι η σειρά σας να λύσετε προβλήματα επίδειξης και θα τους δώσω μόνο σύντομα σχόλια για να μην μπερδευτείτε ο σωστός δρόμος! Καλή τύχη!

1. Το πιο δύσκολο! Είναι τόσο δύσκολο να δεις αντικαταστάτη εδώ! Ωστόσο, αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί πλήρως χρησιμοποιώντας τονίζοντας ένα πλήρες τετράγωνο. Για την επίλυσή του αρκεί να σημειώσουμε ότι:

Τότε ορίστε η αντικατάστασή σας:

(Παρακαλώ σημειώστε ότι εδώ κατά την αντικατάστασή μας δεν μπορούμε να απορρίψουμε την αρνητική ρίζα!!! Γιατί νομίζετε;)

Τώρα για να λύσετε το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε μόνο δύο εξισώσεις:

Και τα δύο μπορούν να λυθούν με μια "τυπική αντικατάσταση" (αλλά το δεύτερο σε ένα παράδειγμα!)

2. Παρατηρήστε το και κάντε μια αντικατάσταση.

3. Αποσυνθέστε τον αριθμό σε συνπρωτικούς παράγοντες και απλοποιήστε την έκφραση που προκύπτει.

4. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με (ή, αν προτιμάτε) και κάντε την αντικατάσταση ή.

5. Παρατηρήστε ότι οι αριθμοί και είναι συζυγείς.

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Επιπλέον, ας δούμε έναν άλλο τρόπο - επίλυση εκθετικών εξισώσεων με τη μέθοδο του λογάριθμου. Δεν μπορώ να πω ότι η επίλυση εκθετικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο είναι πολύ δημοφιλής, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μόνο μπορεί να μας οδηγήσει σε η σωστή απόφασητην εξίσωσή μας. Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά για την επίλυση του λεγόμενου " μικτές εξισώσεις«: δηλαδή εκείνα όπου εμφανίζονται λειτουργίες διαφορετικών τύπων.

Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής:

στη γενική περίπτωση, μπορεί να λυθεί μόνο με τη λήψη λογαρίθμων και των δύο πλευρών (για παράδειγμα, στη βάση), στην οποία η αρχική εξίσωση θα μετατραπεί στο εξής:

Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:

Είναι σαφές ότι σύμφωνα με το ODZ της λογαριθμικής συνάρτησης, μας ενδιαφέρει μόνο. Αυτό όμως προκύπτει όχι μόνο από το ODZ του λογαρίθμου, αλλά για έναν ακόμη λόγο. Νομίζω ότι δεν θα σας είναι δύσκολο να μαντέψετε ποιο είναι.

Ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσής μας στη βάση:

Όπως μπορείτε να δείτε, λαμβάνοντας τον λογάριθμο της αρχικής μας εξίσωσης μας οδήγησε γρήγορα στη σωστή (και όμορφη!) απάντηση. Ας εξασκηθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα:

Δεν υπάρχει τίποτα λάθος και εδώ: ας πάρουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης στη βάση, τότε παίρνουμε:

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:

Ωστόσο κάτι μας έλειψε! Προσέξατε πού έκανα λάθος; Άλλωστε, λοιπόν:

που δεν ικανοποιεί την απαίτηση (σκέψου από πού προήλθε!)

Απάντηση:

Προσπαθήστε να γράψετε τη λύση των παρακάτω εκθετικών εξισώσεων:

Συγκρίνετε τώρα την απόφασή σας με αυτό:

1. Ας λογαριθμήσουμε και τις δύο πλευρές της βάσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι:

(η δεύτερη ρίζα δεν είναι κατάλληλη για εμάς λόγω αντικατάστασης)

2. Λογάριθμος προς τη βάση:

Ας μετατρέψουμε την έκφραση που προκύπτει στην ακόλουθη μορφή:

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ

Εκθετική εξίσωση

Εξίσωση της μορφής:

που ονομάζεται η απλούστερη εκθετική εξίσωση.

Ιδιότητες πτυχίων

Προσεγγίσεις για λύση

• Αναγωγή στην ίδια βάση
• Οδηγει σε τον ίδιο δείκτηβαθμούς
• Αντικατάσταση μεταβλητής
• Απλοποίηση της έκφρασης και εφαρμογή ενός από τα παραπάνω.

1º. Εκθετικές εξισώσειςονομάζονται εξισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή σε έναν εκθέτη.

Η επίλυση εκθετικών εξισώσεων βασίζεται στην ιδιότητα των δυνάμεων: δύο δυνάμεις με την ίδια βάση είναι ίσες αν και μόνο αν οι εκθέτες τους είναι ίσοι.

2º. Βασικές μέθοδοι επίλυσης εκθετικών εξισώσεων:

1) η απλούστερη εξίσωση έχει λύση.

2) μια εξίσωση της μορφής λογαριθμική ως προς τη βάση ένα μειώνω σε μορφή.

3) μια εξίσωση της μορφής είναι ισοδύναμη με την εξίσωση.

4) εξίσωση της μορφής ισοδυναμεί με την εξίσωση.

5) μια εξίσωση της μορφής ανάγεται μέσω αντικατάστασης σε μια εξίσωση και στη συνέχεια λύνεται ένα σύνολο απλών εκθετικών εξισώσεων.

6) εξίσωση με αντίστροφα Με αντικατάσταση ανάγονται σε μια εξίσωση και στη συνέχεια λύνουν ένα σύνολο εξισώσεων.

7) εξισώσεις ομοιογενείς ως προς a g(x)Και b g(x)δεδομένου ότι είδος μέσω αντικατάστασης μειώνονται σε μια εξίσωση και στη συνέχεια λύνεται ένα σύνολο εξισώσεων.

Ταξινόμηση εκθετικών εξισώσεων.

1. Οι εξισώσεις λύνονται πηγαίνοντας σε μία βάση.

Παράδειγμα 18. Λύστε την εξίσωση .

Λύση: Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι όλες οι βάσεις των δυνάμεων είναι δυνάμεις του αριθμού 5: .

2. Εξισώσεις που λύνονται περνώντας σε έναν εκθέτη.

Αυτές οι εξισώσεις λύνονται μετατρέποντας την αρχική εξίσωση στη μορφή , το οποίο ανάγεται στο απλούστερό του χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αναλογίας.

Παράδειγμα 19. Λύστε την εξίσωση:

3. Εξισώσεις που λύνονται βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

Εάν κάθε εκθέτης σε μια εξίσωση διαφέρει από τον άλλο κατά έναν ορισμένο αριθμό, τότε οι εξισώσεις λύνονται βάζοντας τον εκθέτη με τον μικρότερο εκθέτη εκτός παρενθέσεων.

Παράδειγμα 20. Λύστε την εξίσωση.

Λύση: Ας πάρουμε τη μοίρα με τον μικρότερο εκθέτη από αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

Παράδειγμα 21. Λύστε την εξίσωση

Λύση: Ας ομαδοποιήσουμε χωριστά στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης τους όρους που περιέχουν δυνάμεις με τη βάση 4, στη δεξιά πλευρά - με τη βάση 3 και, στη συνέχεια, βάλουμε τις δυνάμεις με τον μικρότερο εκθέτη εκτός παρενθέσεων:

4. Εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές (ή κυβικές) εξισώσεις.

Οι ακόλουθες εξισώσεις ανάγεται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση για τη νέα μεταβλητή y:

α) το είδος της αντικατάστασης, σε αυτή την περίπτωση·

β) το είδος της αντικατάστασης και .

Παράδειγμα 22. Λύστε την εξίσωση .

Λύση: Ας κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητής και ας λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση:

.

Απάντηση: 0; 1.

5. Εξισώσεις που είναι ομοιογενείς ως προς τις εκθετικές συναρτήσεις.

Μια εξίσωση της μορφής είναι μια ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού ως προς τους αγνώστους ένα xΚαι β x. Τέτοιες εξισώσεις μειώνονται διαιρώντας πρώτα και τις δύο πλευρές και στη συνέχεια αντικαθιστώντας τις σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Παράδειγμα 23. Λύστε την εξίσωση.

Λύση: Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:

Βάζοντας , παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση με ρίζες .

Τώρα το πρόβλημα καταλήγει στην επίλυση ενός συνόλου εξισώσεων . Από την πρώτη εξίσωση διαπιστώνουμε ότι . Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού για οποιαδήποτε τιμή Χ.

Απάντηση: -1/2.

6. Ορθολογικές εξισώσεις ως προς τις εκθετικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα 24. Λύστε την εξίσωση.

Λύση: Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 3 xκαι αντί για δύο παίρνουμε μια εκθετική συνάρτηση:

7. Εξισώσεις της φόρμας .

Τέτοιες εξισώσεις με ένα σύνολο αποδεκτές τιμές(ODZ), που προσδιορίζεται από τη συνθήκη, λαμβάνοντας τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης ανάγεται σε μια ισοδύναμη εξίσωση, η οποία με τη σειρά της είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο δύο εξισώσεων ή.

Παράδειγμα 25. Λύστε την εξίσωση: .

.

Διδακτικό υλικό.

Λύστε τις εξισώσεις:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Να βρείτε το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης .

27. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης .

Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

28. , όπου x 0- ρίζα της εξίσωσης ;

29. , όπου x 0– ολόκληρη η ρίζα της εξίσωσης .

Λύστε την εξίσωση:

31. ; 32. .

Απαντήσεις: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Θέμα Νο 8.

Εκθετικές ανισότητες.

1º. Μια ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή στον εκθέτη ονομάζεται εκθετική ανισότητα.

2º. Η λύση των εκθετικών ανισώσεων της μορφής βασίζεται στις ακόλουθες προτάσεις:

αν , τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με ?

αν , τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με .

Κατά την επίλυση εκθετικών ανισώσεων, χρησιμοποιούνται οι ίδιες τεχνικές όπως και κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Παράδειγμα 26. Λύστε την ανισότητα (μέθοδος μετάβασης σε μία βάση).

Λύση: Γιατί , τότε η δεδομένη ανισότητα μπορεί να γραφτεί ως: . Αφού , τότε αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την ανισότητα .

Επιλύοντας την τελευταία ανισότητα, παίρνουμε .

Παράδειγμα 27. Λύστε την ανίσωση: ( βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων).

Λύση: Ας βγάλουμε από αγκύλες στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης , στη δεξιά πλευρά της ανίσωσης και διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με (-2), αλλάζοντας το πρόσημο της ανίσωσης στο αντίθετο:

Από τότε, όταν μεταβαίνουμε στην ανισότητα των δεικτών, το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει και πάλι στο αντίθετο. Παίρνουμε. Έτσι, το σύνολο όλων των λύσεων αυτής της ανισότητας είναι το διάστημα.

Παράδειγμα 28. Επίλυση ανισότητας ( με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής).

Λύση: Αφήστε . Τότε αυτή η ανισότητα θα πάρει τη μορφή: ή , του οποίου η λύση είναι το διάστημα .

Από εδώ. Εφόσον η συνάρτηση αυξάνεται, τότε .

Διδακτικό υλικό.

Προσδιορίστε το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Σε ποιες αξίες ΧΤα σημεία στο γράφημα της συνάρτησης βρίσκονται κάτω από την ευθεία;

7. Σε ποιες αξίες ΧΤα σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκονται τουλάχιστον όσο η ευθεία;

Λύστε την ανισότητα:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Καθορίστε τη μεγαλύτερη ακέραια λύση της ανίσωσης .

14. Να βρείτε το γινόμενο του μεγαλύτερου ακέραιου και του μικρότερου ακέραιου αριθμού λύσεων στην ανίσωση .

Λύστε την ανισότητα:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης:

27. ; 28. .

29. Βρείτε το σύνολο τιμών ορισμάτων για τα οποία οι τιμές καθεμιάς από τις συναρτήσεις είναι μεγαλύτερες από 3:

Και .

Απαντήσεις: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )