Μια άλλη πράξη που μπορεί να γίνει με συνηθισμένα κλάσματα είναι ο πολλαπλασιασμός. Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε τους βασικούς κανόνες του κατά την επίλυση προβλημάτων, να δείξουμε πώς ένα συνηθισμένο κλάσμα πολλαπλασιάζεται με έναν φυσικό αριθμό και πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τρία συνηθισμένα κλάσματα ή περισσότερα.
Ας γράψουμε πρώτα τον βασικό κανόνα:
Ορισμός 1
Αν πολλαπλασιάσουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα, τότε ο αριθμητής του κλάσματος που προκύπτει θα είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων και ο παρονομαστής θα είναι ίσος με το γινόμενο των παρονομαστών τους. Σε κυριολεκτική μορφή, για δύο κλάσματα a / b και c / d, αυτό μπορεί να εκφραστεί ως b · c d = a · c b · d.
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να εφαρμόσετε σωστά αυτόν τον κανόνα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά είναι ίση με μία αριθμητική μονάδα. Τότε το εμβαδόν του σχήματος θα είναι 1 τετράγωνο. μονάδα. Αν χωρίσουμε το τετράγωνο σε ίσα ορθογώνια με πλευρές ίσες με 1 4 και 1 8 αριθμητικές μονάδες, παίρνουμε ότι πλέον αποτελείται από 32 ορθογώνια (γιατί 8 4 = 32). Κατά συνέπεια, το εμβαδόν καθενός από αυτά θα είναι ίσο με το 1 32 του εμβαδού ολόκληρου του σχήματος, δηλ. 1 32 τετρ. μονάδες.
Έχουμε ένα σκιασμένο θραύσμα με πλευρές ίσες με 5 8 αριθμητικές μονάδες και 3 4 αριθμητικές μονάδες. Κατά συνέπεια, για να υπολογίσετε το εμβαδόν του, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το δεύτερο. Θα είναι ίσο με 5 8 · 3 4 τετρ. μονάδες. Αλλά μπορούμε απλά να μετρήσουμε πόσα ορθογώνια περιλαμβάνονται στο θραύσμα: υπάρχουν 15 από αυτά, που σημαίνει ότι η συνολική επιφάνεια είναι 15 32 τετραγωνικές μονάδες.
Αφού 5 3 = 15 και 8 4 = 32, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη ισότητα:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Επιβεβαιώνει τον κανόνα που διατυπώσαμε για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, ο οποίος εκφράζεται ως b · c d = a · c b · d. Λειτουργεί το ίδιο και για σωστά και για ακατάλληλα κλάσματα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων τόσο με διαφορετικούς όσο και με ίδιους παρονομαστές.
Ας δούμε λύσεις σε πολλά προβλήματα που περιλαμβάνουν πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων.
Παράδειγμα 1
Πολλαπλασιάστε το 7 11 με το 9 8.
Λύση
Αρχικά, ας υπολογίσουμε το γινόμενο των αριθμητών των υποδεικνυόμενων κλασμάτων πολλαπλασιάζοντας το 7 επί 9. Πήραμε 63. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το γινόμενο των παρονομαστών και παίρνουμε: 11 · 8 = 88. Ας συνθέσουμε δύο αριθμούς και η απάντηση είναι: 63 88.
Η όλη λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Απάντηση: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Εάν λάβουμε ένα αναγώγιμο κλάσμα στην απάντησή μας, πρέπει να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό και να εκτελέσουμε την αναγωγή του. Εάν λάβουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να διαχωρίσουμε ολόκληρο το μέρος από αυτό.
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το γινόμενο των κλασμάτων 4 15 και 55 6 .
Λύση
Σύμφωνα με τον κανόνα που μελετήθηκε παραπάνω, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Η εγγραφή λύσης θα μοιάζει με αυτό:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Πήραμε ένα αναγώγιμο κλάσμα, δηλ. ένα που διαιρείται με το 10.
Ας μειώσουμε το κλάσμα: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Ως αποτέλεσμα, πήραμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, από το οποίο επιλέγουμε ολόκληρο το μέρος και παίρνουμε έναν μικτό αριθμό: 22 9 = 2 4 9.
Απάντηση: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Για ευκολία στον υπολογισμό, μπορούμε επίσης να μειώσουμε τα αρχικά κλάσματα πριν εκτελέσουμε την πράξη πολλαπλασιασμού, για την οποία πρέπει να μειώσουμε το κλάσμα στη μορφή a · c b · d. Ας αποσυνθέσουμε τις τιμές των μεταβλητών σε απλούς παράγοντες και ας μειώσουμε τους ίδιους.
Ας εξηγήσουμε πώς μοιάζει με τη χρήση δεδομένων από μια συγκεκριμένη εργασία.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το γινόμενο 4 15 55 6.
Λύση
Ας γράψουμε τους υπολογισμούς με βάση τον κανόνα του πολλαπλασιασμού. Θα πάρουμε:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Αφού 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 και 6 = 2 3, τότε 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Απάντηση: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Αριθμητική παράσταση, στο οποίο λαμβάνει χώρα ο πολλαπλασιασμός των συνηθισμένων κλασμάτων, έχει μια μεταθετική ιδιότητα, δηλαδή, αν χρειαστεί, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων:
α β · γ δ = γ δ · α β = α · γ β · δ
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό
Ας γράψουμε αμέσως τον βασικό κανόνα και, στη συνέχεια, ας προσπαθήσουμε να τον εξηγήσουμε στην πράξη.
Ορισμός 2
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κοινό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή αυτού του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό. Στην περίπτωση αυτή, ο παρονομαστής του τελικού κλάσματος θα είναι ίσος με τον παρονομαστή του αρχικού συνηθισμένου κλάσματος. Ο πολλαπλασιασμός ενός ορισμένου κλάσματος a b με έναν φυσικό αριθμό n μπορεί να γραφτεί ως ο τύπος a b · n = a · n b.
Είναι εύκολο να κατανοήσετε αυτόν τον τύπο εάν θυμάστε ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα με παρονομαστή ίσο με ένα, δηλαδή:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Ας εξηγήσουμε την ιδέα μας με συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το γινόμενο 2 27 επί 5.
Λύση
Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αριθμητή του αρχικού κλάσματος με τον δεύτερο παράγοντα, παίρνουμε 10. Δυνάμει του κανόνα που αναφέρθηκε παραπάνω, θα λάβουμε ως αποτέλεσμα 10 27. Ολόκληρη η λύση δίνεται σε αυτή την ανάρτηση:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Απάντηση: 2 27 5 = 10 27
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα, συχνά πρέπει να συντομεύσουμε το αποτέλεσμα ή να το αναπαραστήσουμε ως μικτό αριθμό.
Παράδειγμα 5
Συνθήκη: υπολογίστε το γινόμενο 8 επί 5 12.
Λύση
Σύμφωνα με τον παραπάνω κανόνα, πολλαπλασιάζουμε τον φυσικό αριθμό με τον αριθμητή. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ότι 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Το τελικό κλάσμα έχει σημάδια διαιρετότητας με το 2, οπότε πρέπει να το μειώσουμε:
LCM (40, 12) = 4, άρα 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Τώρα το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος και να γράψουμε την έτοιμη απάντηση: 10 3 = 3 1 3.
Σε αυτήν την καταχώρηση μπορείτε να δείτε ολόκληρη τη λύση: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Θα μπορούσαμε επίσης να μειώσουμε το κλάσμα παραγοντοποιώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες, και το αποτέλεσμα θα ήταν ακριβώς το ίδιο.
Απάντηση: 5 12 8 = 3 1 3.
Μια αριθμητική έκφραση στην οποία ένας φυσικός αριθμός πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα έχει επίσης την ιδιότητα της μετατόπισης, δηλαδή η σειρά των παραγόντων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα:
a b · n = n · a b = a · n β
Πώς να πολλαπλασιάσετε τρία ή περισσότερα κοινά κλάσματα
Μπορούμε να επεκτείνουμε στη δράση του πολλαπλασιασμού των συνηθισμένων κλασμάτων τις ίδιες ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών. Αυτό προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό αυτών των εννοιών.
Χάρη στη γνώση των ιδιοτήτων συνδυασμού και αντικατάστασης, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τρία ή περισσότερα συνηθισμένα κλάσματα. Είναι αποδεκτό να αναδιατάξετε τους παράγοντες για μεγαλύτερη ευκολία ή να τακτοποιήσετε τις αγκύλες με τρόπο που να διευκολύνει την καταμέτρηση.
Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα πώς γίνεται αυτό.
Παράδειγμα 6
Πολλαπλασιάστε τα τέσσερα κοινά κλάσματα 1 20, 12 5, 3 7 και 5 8.
Λύση: Αρχικά, ας καταγράψουμε το έργο. Παίρνουμε 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε όλους τους αριθμητές και όλους τους παρονομαστές μαζί: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Πριν αρχίσουμε να πολλαπλασιάζουμε, μπορούμε να κάνουμε τα πράγματα λίγο πιο εύκολα με τον εαυτό μας και να συνυπολογίσουμε ορισμένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες για περαιτέρω μείωση. Αυτό θα είναι πιο εύκολο από το να μειώσετε το κλάσμα που προκύπτει που είναι ήδη έτοιμο.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280
Απάντηση: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.
Παράδειγμα 7
Πολλαπλασιάστε 5 αριθμούς 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Λύση
Για ευκολία, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε το κλάσμα 7 8 με τον αριθμό 8 και τον αριθμό 12 με το κλάσμα 5 36, καθώς οι μελλοντικές συντομογραφίες θα είναι προφανείς σε εμάς. Ως αποτέλεσμα, θα λάβουμε:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 103 2 3
Απάντηση: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Στα μαθήματα Γυμνασίου και Λυκείου, οι μαθητές κάλυψαν το θέμα «Κλάσματα». Ωστόσο, αυτή η έννοια είναι πολύ ευρύτερη από αυτή που δίνεται στη μαθησιακή διαδικασία. Σήμερα, η έννοια του κλάσματος συναντάται αρκετά συχνά και δεν μπορούν όλοι να υπολογίσουν οποιαδήποτε έκφραση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας κλάσματα.
Τι είναι ένα κλάσμα;
Έτσι συνέβη ιστορικά ότι κλασματικοί αριθμοίπροέκυψε από την ανάγκη μέτρησης. Όπως δείχνει η πρακτική, υπάρχουν συχνά παραδείγματα προσδιορισμού του μήκους ενός τμήματος και του όγκου ενός ορθογώνιου ορθογωνίου.
Αρχικά, οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της μετοχής. Για παράδειγμα, αν χωρίσετε ένα καρπούζι σε 8 μέρη, τότε κάθε άτομο θα πάρει το ένα όγδοο του καρπουζιού. Αυτό το ένα μέρος των οκτώ ονομάζεται μετοχή.
Μια μετοχή ίση με το ½ οποιασδήποτε αξίας ονομάζεται μισή. ⅓ - τρίτο; ¼ - ένα τέταρτο. Οι εγγραφές της μορφής 5/8, 4/5, 2/4 ονομάζονται συνηθισμένα κλάσματα. Ένα κοινό κλάσμα χωρίζεται σε αριθμητή και παρονομαστή. Ανάμεσά τους βρίσκεται η ράβδος κλάσματος ή η μπάρα κλάσματος. Η κλασματική γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί είτε ως οριζόντια είτε ως πλάγια γραμμή. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηαντιπροσωπεύει το σύμβολο της διαίρεσης.
Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται η ποσότητα ή το αντικείμενο. και ο αριθμητής είναι πόσες ίδιες μετοχές λαμβάνονται. Ο αριθμητής γράφεται πάνω από τη γραμμή του κλάσματος, ο παρονομαστής γράφεται κάτω από αυτήν.
Είναι πιο βολικό να εμφανίζονται συνηθισμένα κλάσματα σε μια ακτίνα συντεταγμένων. Εάν ένα μοναδιαίο τμήμα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη, τοποθετήστε ετικέτα σε κάθε μέρος Λατινικό γράμμα, τότε το αποτέλεσμα μπορεί να είναι εξαιρετικό οπτικό υλικό. Άρα, το σημείο Α δείχνει ένα μερίδιο ίσο με το 1/4 ολόκληρου του τμήματος μονάδας και το σημείο Β σημειώνει τα 2/8 ενός δεδομένου τμήματος.
Τύποι κλασμάτων
Τα κλάσματα μπορεί να είναι απλοί, δεκαδικοί και μικτές. Επιπλέον, τα κλάσματα μπορούν να χωριστούν σε σωστά και ακατάλληλα. Αυτή η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη για συνηθισμένα κλάσματα.
Σωστό κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερο από τον παρονομαστή. Κατά συνέπεια, ακατάλληλο κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του. Ο δεύτερος τύπος γράφεται συνήθως ως μικτός αριθμός. Αυτή η έκφραση αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, 1½. 1 - ολόκληρο μέρος, ½ - κλασματικό. Ωστόσο, εάν πρέπει να πραγματοποιήσετε κάποιους χειρισμούς με την έκφραση (διαίρεση ή πολλαπλασιασμός κλασμάτων, μείωση ή μετατροπή τους), ο μεικτός αριθμός μετατρέπεται σε ακατάλληλο κλάσμα.
Μια σωστή κλασματική έκφραση είναι πάντα μικρότερη από ένα και μια λανθασμένη είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 1.
Ως προς αυτήν την έκφραση, εννοούμε μια εγγραφή στην οποία αναπαρίσταται οποιοσδήποτε αριθμός, ο παρονομαστής της κλασματικής έκφρασης του οποίου μπορεί να εκφραστεί ως ένα με πολλά μηδενικά. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε το ακέραιο μέρος σε δεκαδικό συμβολισμό θα είναι ίσο με μηδέν.
Για να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να γράψετε ολόκληρο το μέρος, να το διαχωρίσετε από το κλάσμα χρησιμοποιώντας κόμμα και στη συνέχεια να γράψετε την έκφραση του κλάσματος. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μετά την υποδιαστολή ο αριθμητής πρέπει να περιέχει τον ίδιο αριθμό ψηφιακών χαρακτήρων όπως υπάρχουν μηδενικά στον παρονομαστή.
Παράδειγμα. Εκφράστε το κλάσμα 7 21 / 1000 με δεκαδικό συμβολισμό.
Αλγόριθμος για τη μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό και αντίστροφα
Είναι λάθος να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση σε ένα πρόβλημα, επομένως πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό:
- διαιρέστε τον αριθμητή με τον υπάρχοντα παρονομαστή.
- V συγκεκριμένο παράδειγμαατελές πηλίκο - ολόκληρο;
- και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους, με τον παρονομαστή να παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό: 47 / 5.
Λύση. 47: 5. Το μερικό πηλίκο είναι 9, το υπόλοιπο = 2. Άρα, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Μερικές φορές χρειάζεται να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα. Στη συνέχεια, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
- το ακέραιο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή της κλασματικής έκφρασης.
- το προϊόν που προκύπτει προστίθεται στον αριθμητή.
- το αποτέλεσμα γράφεται στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Αντιπροσωπεύστε τον αριθμό στο μικτή μορφήως ακατάλληλο κλάσμα: 9 8 / 10.
Λύση. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 είναι ο αριθμητής.
Απάντηση: 98 / 10.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Διάφορες αλγεβρικές πράξεις μπορούν να εκτελεστούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Για να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές δεν διαφέρει από τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
Συμβαίνει ότι μετά την εύρεση του αποτελέσματος πρέπει να μειώσετε το κλάσμα. Είναι επιτακτική ανάγκη να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η προκύπτουσα έκφραση. Φυσικά, δεν μπορεί κανείς να πει ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μια απάντηση είναι λάθος, αλλά είναι επίσης δύσκολο να το ονομάσουμε σωστή απάντηση.
Παράδειγμα. Να βρείτε το γινόμενο δύο συνηθισμένων κλασμάτων: ½ και 20/18.
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, μετά την εύρεση του προϊόντος, λαμβάνεται ένας αναγόμενος κλασματικός συμβολισμός. Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής σε αυτήν την περίπτωση διαιρούνται με το 4 και το αποτέλεσμα είναι η απάντηση 5 / 9.
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων
Το γινόμενο των δεκαδικών κλασμάτων είναι αρκετά διαφορετικό από το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων στην αρχή του. Έτσι, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως εξής:
- δύο δεκαδικά κλάσματα πρέπει να γράφονται το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
- πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους γραπτούς αριθμούς, παρά τα κόμματα, δηλαδή ως φυσικούς αριθμούς.
- μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κάθε αριθμό.
- στο αποτέλεσμα που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να μετρήσετε από τα δεξιά τόσα ψηφιακά σύμβολα όσα περιέχονται στο άθροισμα και στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή και να βάλετε ένα διαχωριστικό σύμβολο.
- αν υπάρχουν λιγότεροι αριθμοί στο γινόμενο, τότε πρέπει να γράψετε τόσα μηδενικά μπροστά τους για να καλύψετε αυτόν τον αριθμό, να βάλετε κόμμα και να προσθέσετε ολόκληρο το μέρος ίσο με μηδέν.
Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το γινόμενο δύο δεκαδικών κλασμάτων: 2,25 και 3,6.
Λύση.
Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων
Για να υπολογίσετε το γινόμενο δύο μικτών κλασμάτων, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:
- μετατρέψτε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.
- βρείτε το γινόμενο των αριθμητών.
- βρείτε το γινόμενο των παρονομαστών.
- γράψτε το αποτέλεσμα.
- απλοποιήστε την έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο.
Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 4½ και 6 2/5.
Πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με ένα κλάσμα (κλάσματα με έναν αριθμό)
Εκτός από την εύρεση του γινόμενου δύο κλασμάτων και μικτών αριθμών, υπάρχουν εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε με ένα κλάσμα.
Έτσι, για να βρείτε το προϊόν δεκαδικόςκαι έναν φυσικό αριθμό, χρειάζεστε:
- γράψτε τον αριθμό κάτω από το κλάσμα έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα πάνω από το άλλο.
- βρείτε το προϊόν παρά το κόμμα.
- στο αποτέλεσμα που προκύπτει, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος χρησιμοποιώντας κόμμα, μετρώντας από τα δεξιά τον αριθμό των ψηφίων που βρίσκονται μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κοινό κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να βρείτε το γινόμενο του αριθμητή και του φυσικού παράγοντα. Εάν η απάντηση παράγει ένα κλάσμα που μπορεί να μειωθεί, θα πρέπει να μετατραπεί.
Παράδειγμα. Υπολογίστε το γινόμενο των 5/8 και 12.
Λύση. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Απάντηση: 7 1 / 2.
Όπως μπορείτε να δείτε από το προηγούμενο παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να μειωθεί το αποτέλεσμα που προέκυψε και να μετατραπεί η εσφαλμένη κλασματική έκφραση σε μικτό αριθμό.
Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων αφορά επίσης την εύρεση του γινομένου ενός αριθμού σε μικτή μορφή και ενός φυσικού παράγοντα. Για να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε ολόκληρο το μέρος του μικτού παράγοντα με τον αριθμό, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με την ίδια τιμή και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Εάν είναι απαραίτητο, πρέπει να απλοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο το αποτέλεσμα που προκύπτει.
Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 9 5 / 6 και 9.
Λύση. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Απάντηση: 88 1 / 2.
Πολλαπλασιασμός με συντελεστές 10, 100, 1000 ή 0,1. 0,01; 0,001
Προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο επόμενος κανόνας. Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με το 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον παράγοντα μετά το ένα.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο 0,065 και 1000.
Λύση. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Απάντηση: 65.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 3,9 και 1000.
Λύση. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Απάντηση: 3900.
Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό και 0,1. 0,01; 0,001; 0,0001, κ.λπ., θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα στο προϊόν που προκύπτει προς τα αριστερά κατά τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες όσα μηδενικά είναι πριν από το ένα. Εάν χρειάζεται, γράφεται αρκετός αριθμός μηδενικών πριν από τον φυσικό αριθμό.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο των 56 και 0,01.
Λύση. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Απάντηση: 0,56.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 4 και 0,001.
Λύση. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Απάντηση: 0,004.
Έτσι, η εύρεση του γινομένου διαφορετικών κλασμάτων δεν θα πρέπει να προκαλεί δυσκολίες, εκτός ίσως από τον υπολογισμό του αποτελέσματος. σε αυτήν την περίπτωση, απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αριθμομηχανή.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Ως υπενθύμιση, για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:
Για παράδειγμα:
Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν τον χρειάζεται εδώ...
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αντιστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:
Για παράδειγμα:
Αν συναντήσετε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με ακέραιους και κλάσματα, είναι εντάξει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με ένα στον παρονομαστή - και προχωράμε! Για παράδειγμα:
Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:
Πώς μπορώ να κάνω αυτό το κλάσμα να φαίνεται αξιοπρεπές; Ναι, πολύ απλό! Χρησιμοποιήστε διαίρεση δύο σημείων:
Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά είναι εύκολο να κάνεις ένα λάθος σε ένα κλάσμα τριών ορόφων. Σημειώστε για παράδειγμα:
Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):
Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):
Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!
Τι καθορίζει τη σειρά διαίρεσης; Είτε με αγκύλες, είτε (όπως εδώ) με το μήκος οριζόντιων γραμμών. Αναπτύξτε το μάτι σας. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:
μετά διαιρέστε και πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!
Και μια άλλη πολύ απλή και σημαντική τεχνική. Σε δράσεις με πτυχία, θα σας είναι τόσο χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε το ένα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:
Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και αυτό συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανάποδα.
Αυτό είναι για πράξεις με κλάσματα. Το θέμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Σημείωση πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!
Πρακτικές συμβουλές:
1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Δεν είναι κοινές λέξεις, όχι καλές ευχές! Αυτό είναι επιτακτική ανάγκη! Κάνετε όλους τους υπολογισμούς για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους ως μια ολοκληρωμένη εργασία, εστιασμένη και ξεκάθαρη. Είναι καλύτερα να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές στο προσχέδιό σας παρά να ανακατεύεστε όταν κάνετε νοητικούς υπολογισμούς.
2. Σε παραδείγματα με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα - μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.
3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να σταματήσουν.
4. Μειώνουμε τις πολυεπίπεδες κλασματικές εκφράσεις σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (ακολουθούμε τη σειρά διαίρεσης!).
5. Διαιρέστε μια μονάδα με ένα κλάσμα στο κεφάλι σας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.
Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει οπωσδήποτε να ολοκληρώσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά για αυτό το θέμα και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα μπορέσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα...
Θυμηθείτε - η σωστή απάντηση είναι που έλαβε από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.
Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται ήδη για προετοιμασία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Λύνουμε το παράδειγμα, το ελέγχουμε, λύνουμε το επόμενο. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από την πρώτη έως την τελευταία. Αλλά μόνο Επειτακοιτάξτε τις απαντήσεις.
Υπολογίζω:
Εχεις αποφασίσει?
Αναζητούμε απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα επίτηδες άτακτα, μακριά από πειρασμούς, ας πούμε... Ιδού, οι απαντήσεις, γραμμένες με άνω τελείες.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πάνε καλά, χαίρομαι για σένα! Οι βασικοί υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι...
Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά αυτό διαλυτός Προβλήματα.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Ας συνεχίσουμε να μελετάμε πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Τώρα στο επίκεντρο πολλαπλασιάζοντας κοινά κλάσματα. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε έναν κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων και θα εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του κανόνα κατά την επίλυση παραδειγμάτων. Θα επικεντρωθούμε επίσης στον πολλαπλασιασμό ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό. Εν κατακλείδι, ας δούμε πώς να πολλαπλασιάσουμε τρία και περισσότεροκλάσματα.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κοινό κλάσμα
Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων: Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα προκύπτει ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμητών των κλασμάτων που πολλαπλασιάζονται και ο παρονομαστής είναι ίσος με το γινόμενο των παρονομαστών.
Δηλαδή, ο τύπος αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων a/b και c/d.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα που επεξηγεί τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων. Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά 1 μονάδα. , ενώ το εμβαδόν του είναι 1 μονάδα 2. Χωρίστε αυτό το τετράγωνο σε ίσα ορθογώνια με πλευρές 1/4 μονάδων. και 1/8 μονάδες. , ενώ το αρχικό τετράγωνο θα αποτελείται από 4·8=32 ορθογώνια, επομένως, το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου είναι το 1/32 του εμβαδού του αρχικού τετραγώνου, δηλαδή ισούται με 1/32 μονάδες 2 . Τώρα ας ζωγραφίσουμε μέρος του αρχικού τετραγώνου. Όλες οι ενέργειές μας αντικατοπτρίζονται στο παρακάτω σχήμα.
Οι πλευρές του σκιασμένου ορθογωνίου είναι 5/8 μονάδες. και 3/4 μονάδες. , που σημαίνει ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το γινόμενο των κλασμάτων 5/8 και 3/4, δηλαδή τις μονάδες 2. Αλλά το σκιασμένο ορθογώνιο αποτελείται από 15 «μικρά» ορθογώνια, που σημαίνει ότι το εμβαδόν του είναι 15/32 μονάδες 2. Ως εκ τούτου, . Εφόσον 5·3=15 και 8·4=32, η τελευταία ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως 
, που επιβεβαιώνει τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων της μορφής .
Σημειώστε ότι χρησιμοποιώντας τον αναφερόμενο κανόνα πολλαπλασιασμού, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τόσο σωστά όσο και ακατάλληλα κλάσματα, και κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές και κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.
Ας σκεφτούμε παραδείγματα πολλαπλασιασμού συνηθισμένων κλασμάτων.
Πολλαπλασιάστε το κοινό κλάσμα 7/11 με το κοινό κλάσμα 9/8.
Το γινόμενο των αριθμητών των πολλαπλασιασμένων κλασμάτων 7 και 9 είναι ίσο με 63 και το γινόμενο των παρονομαστών του 11 και του 8 είναι ίσο με 88. Έτσι, πολλαπλασιάζοντας τα κοινά κλάσματα 7/11 και 9/8 προκύπτει το κλάσμα 63/88.
Ακολουθεί μια σύντομη περίληψη της λύσης: 
.
Δεν πρέπει να ξεχνάμε τη μείωση του κλάσματος που προκύπτει εάν ο πολλαπλασιασμός έχει ως αποτέλεσμα ένα ανάγιμο κλάσμα και τον διαχωρισμό ολόκληρου του τμήματος από ένα ακατάλληλο κλάσμα.
Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα 4/15 και 55/6.
Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων: 
.
Προφανώς, το κλάσμα που προκύπτει είναι αναγωγίσιμο (το τεστ διαιρετότητας με το 10 μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος 220/90 έχουν κοινός πολλαπλασιαστής 10). Ας μειώσουμε το κλάσμα 220/90: gcd(220, 90)=10 και 
. Απομένει να απομονωθεί ολόκληρο το τμήμα από το προκύπτον ακατάλληλο κλάσμα: .
Σημειώστε ότι η αναγωγή ενός κλάσματος μπορεί να πραγματοποιηθεί πριν από τον υπολογισμό των γινομένων των αριθμητών και των γινομένων των παρονομαστών των πολλαπλασιασμένων κλασμάτων, δηλαδή όταν το κλάσμα έχει τη μορφή . Για να γίνει αυτό, οι αριθμοί a, b, c και d αντικαθίστανται από την παραγοντοποίησή τους σε πρώτους παράγοντες, μετά τους οποίους μειώνονται οι ίδιοι συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή.
Για διευκρίνιση, ας επιστρέψουμε στο προηγούμενο παράδειγμα.
Να υπολογίσετε το γινόμενο των κλασμάτων της μορφής .
Σύμφωνα με τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, έχουμε 
.
Αφού 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 και 6=2·3, τότε 
. Τώρα μειώνουμε τους κοινούς πρώτους παράγοντες: 
.
Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε τα γινόμενα στον αριθμητή και στον παρονομαστή και στη συνέχεια να απομονώσουμε ολόκληρο το τμήμα από το ακατάλληλο κλάσμα: 
.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων χαρακτηρίζεται από μια μεταθετική ιδιότητα, δηλαδή, τα πολλαπλασιασμένα κλάσματα μπορούν να ανταλλάσσονται: 
.
Πολλαπλασιασμός κοινού κλάσματος με φυσικό αριθμό
Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση κανόνες για τον πολλαπλασιασμό ενός κοινού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό: Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό δημιουργείται ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο του αριθμητή του κλάσματος που πολλαπλασιάζεται με τον φυσικό αριθμό και ο παρονομαστής είναι ίσος με τον παρονομαστή του κλάσματος που πολλαπλασιάζεται.
Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος a/b με έναν φυσικό αριθμό n έχει τη μορφή .
Ο τύπος προκύπτει από τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό δύο συνηθισμένων κλασμάτων της μορφής . Πράγματι, αντιπροσωπεύοντας έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, παίρνουμε 
.
Ας δούμε παραδείγματα πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Πολλαπλασιάστε το κλάσμα 2/27 με 5.
Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή 2 με τον αριθμό 5 δίνει το 10, επομένως, δυνάμει του κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, το γινόμενο του 2/27 επί 5 είναι ίσο με το κλάσμα 10/27.
Είναι βολικό να γράψετε ολόκληρη τη λύση ως εξής: 
.
Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, το κλάσμα που προκύπτει συχνά πρέπει να μειωθεί, και εάν είναι επίσης λανθασμένο, τότε αναπαρίσταται ως μεικτός αριθμός.
Πολλαπλασιάστε το κλάσμα 5/12 με τον αριθμό 8.
Σύμφωνα με τον τύπο πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, έχουμε 
. Προφανώς, το κλάσμα που προκύπτει είναι αναγωγίσιμο (το πρόσημο της διαιρετότητας με το 2 δείχνει τον κοινό διαιρέτη 2 του αριθμητή και του παρονομαστή). Ας μειώσουμε το κλάσμα 40/12: αφού LCM(40, 12)=4, τότε 
. Μένει να τονίσουμε ολόκληρο το κομμάτι: .
Εδώ είναι ολόκληρη η λύση: 
.
Σημειώστε ότι η αναγωγή θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί αντικαθιστώντας τους αριθμούς στον αριθμητή και στον παρονομαστή με τις αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες. Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση θα μοιάζει με αυτό: .
Ολοκληρώνοντας αυτό το σημείο, σημειώνουμε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό έχει μια μεταθετική ιδιότητα, δηλαδή, το γινόμενο ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό είναι ίσο με το γινόμενο αυτού του φυσικού αριθμού με το κλάσμα: 
.
Πολλαπλασιάζοντας τρία ή περισσότερα κλάσματα
Ο τρόπος που ορίσαμε τα συνηθισμένα κλάσματα και η λειτουργία του πολλαπλασιασμού με αυτά μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι όλες οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών ισχύουν και για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων.
Οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού καθιστούν δυνατό τον ξεκάθαρο προσδιορισμό πολλαπλασιάζοντας τρία ή περισσότερα κλάσματα και φυσικούς αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή, όλα συμβαίνουν κατ' αναλογία με τον πολλαπλασιασμό τριών ή περισσότερων φυσικών αριθμών. Συγκεκριμένα, τα κλάσματα και οι φυσικοί αριθμοί σε ένα προϊόν μπορούν να αναδιαταχθούν για ευκολία στον υπολογισμό, και ελλείψει παρενθέσεων που υποδεικνύουν τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες, μπορούμε να τακτοποιήσουμε μόνοι μας τις παρενθέσεις με οποιονδήποτε από τους αποδεκτούς τρόπους.
Ας δούμε παραδείγματα πολλαπλασιασμού πολλών κλασμάτων και φυσικών αριθμών.
Πολλαπλασιάστε τρία κοινά κλάσματα 1/20, 12/5, 3/7 και 5/8.
Ας γράψουμε το γινόμενο που πρέπει να υπολογίσουμε 
. Δυνάμει του κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, το γραπτό γινόμενο είναι ίσο με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμητών όλων των κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι ίσος με το γινόμενο των παρονομαστών: 
.
Πριν υπολογίσετε τα γινόμενα στον αριθμητή και στον παρονομαστή, συνιστάται να αντικαταστήσετε όλους τους παράγοντες με τις αποσυνθέσεις τους σε απλούς συντελεστές και να πραγματοποιήσετε αναγωγή (μπορείτε, φυσικά, να μειώσετε ένα κλάσμα μετά τον πολλαπλασιασμό, αλλά σε πολλές περιπτώσεις αυτό απαιτεί πολλά υπολογιστική προσπάθεια): .
.
Πολλαπλασιάστε πέντε αριθμούς 
.
Σε αυτό το προϊόν, είναι βολικό να ομαδοποιήσετε το κλάσμα 7/8 με τον αριθμό 8 και τον αριθμό 12 με το κλάσμα 5/36, αυτό θα απλοποιήσει τους υπολογισμούς, αφού με μια τέτοια ομαδοποίηση η μείωση είναι προφανής. Εχουμε
.
.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Θα εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων σε πολλές πιθανές επιλογές.
Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κλάσμα
Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση στην οποία πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων.
Προς την πολλαπλασιάζω κλάσμα προς κλάσμα, απαραίτητη:
- πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον αριθμητή του νέου κλάσματος.
- πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον παρονομαστή του νέου κλάσματος.
Πριν πολλαπλασιάσεις αριθμητές και παρονομαστές, ελέγξτε αν τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν. Η μείωση των κλασμάτων στους υπολογισμούς θα κάνει τους υπολογισμούς σας πολύ πιο εύκολους.
Πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό αριθμό
Για να γίνει ένα κλάσμα πολλαπλασιάστε με έναν φυσικό αριθμόΠρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή του κλάσματος.
Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, μην ξεχάσετε να το μετατρέψετε σε μικτό αριθμό, δηλαδή να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος.
Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών
Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.
Ένας άλλος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό
Μερικές φορές, όταν κάνετε υπολογισμούς, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός κοινού κλάσματος με έναν αριθμό.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, αυτή η έκδοση του κανόνα είναι πιο βολική στη χρήση εάν ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό χωρίς υπόλοιπο.
Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών: κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε πολλαπλασιάζοντας μεικτούς αριθμούς. Αρχικά, θα περιγράψουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών και θα εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του κανόνα κατά την επίλυση παραδειγμάτων. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τον πολλαπλασιασμό ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού. Τέλος, θα μάθουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε έναν μικτό αριθμό και ένα κοινό κλάσμα.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμώνμπορεί να αναχθεί στον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μετατρέψετε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.
Ας το γράψουμε κανόνας πολλαπλασιασμού μικτών αριθμών:
- Πρώτον, οι μικτοί αριθμοί που πολλαπλασιάζονται πρέπει να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα.
- Δεύτερον, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων με τα κλάσματα.
Ας δούμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα κατά τον πολλαπλασιασμό ενός μικτού αριθμού με έναν μικτό αριθμό.
Εκτελέστε πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών και .
Αρχικά, ας αναπαραστήσουμε τους μικτούς αριθμούς που πολλαπλασιάζονται ως ακατάλληλα κλάσματα: 
Και 
. Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών με τον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων: 
. Εφαρμόζοντας τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, παίρνουμε 
. Το κλάσμα που προκύπτει είναι μη αναγώγιμο (βλ. αναγώγιμα και μη αναγώγιμα κλάσματα), αλλά είναι ακατάλληλο (βλ. σωστά και ακατάλληλα κλάσματα), επομένως, για να λάβουμε την τελική απάντηση, μένει να απομονώσουμε ολόκληρο το τμήμα από το ακατάλληλο κλάσμα: .
Ας γράψουμε ολόκληρη τη λύση σε μια γραμμή: .
.
Για να ενισχύσετε τις δεξιότητες του πολλαπλασιασμού μικτών αριθμών, σκεφτείτε να λύσετε ένα άλλο παράδειγμα.
Κάντε τον πολλαπλασιασμό.
Αστείοι αριθμοί και είναι ίσοι με τα κλάσματα 13/5 και 10/9, αντίστοιχα. Επειτα 
. Σε αυτό το στάδιο, είναι καιρός να θυμηθούμε τη μείωση ενός κλάσματος: αντικαταστήστε όλους τους αριθμούς του κλάσματος με τις αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες και εκτελέστε μια αναγωγή πανομοιότυπων παραγόντων.
Πολλαπλασιάζοντας έναν μικτό και έναν φυσικό αριθμό
Μετά την αντικατάσταση ενός μικτού αριθμού με ένα ακατάλληλο κλάσμα, πολλαπλασιάζοντας έναν μικτό και έναν φυσικό αριθμόοδηγεί στον πολλαπλασιασμό ενός συνηθισμένου κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού.
Πολλαπλασιάστε έναν μικτό αριθμό και τον φυσικό αριθμό 45.
Ένας μεικτός αριθμός είναι ίσος με ένα κλάσμα, λοιπόν 
. Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στο κλάσμα που προκύπτει με τις αποσυνθέσεις τους σε πρώτους συντελεστές, ας κάνουμε μια αναγωγή και μετά επιλέγουμε ολόκληρο το τμήμα: .
.
Ο πολλαπλασιασμός ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού μερικές φορές πραγματοποιείται εύκολα χρησιμοποιώντας την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση. Στην περίπτωση αυτή, το γινόμενο ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων του ακέραιου μέρους με τον δεδομένο φυσικό αριθμό και του κλασματικού μέρους με τον δεδομένο φυσικό αριθμό, δηλαδή 
.
Υπολογίστε το γινόμενο.
Ας αντικαταστήσουμε τον μικτό αριθμό με το άθροισμα των ακέραιων και κλασματικών μερών, μετά από το οποίο εφαρμόζουμε την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: .
Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών και κλασμάτωνΕίναι πιο βολικό να τον αναγάγετε στον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων αναπαριστάνοντας τον μικτό αριθμό που πολλαπλασιάζεται ως ακατάλληλο κλάσμα.
Πολλαπλασιάστε τον μικτό αριθμό με το κοινό κλάσμα 4/15.
Αντικαθιστώντας τον μικτό αριθμό με ένα κλάσμα, παίρνουμε 
.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
§ 140. Ορισμοί. 1) Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός ακεραίων, δηλαδή: πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό (πολλαπλασιαστή) με έναν ακέραιο (παράγοντα) σημαίνει να συνθέσετε ένα άθροισμα πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.
Άρα πολλαπλασιάζοντας με το 5 σημαίνει ότι βρίσκουμε το άθροισμα:
2) Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού (πολλαπλασιαστής) με ένα κλάσμα (συντελεστής) σημαίνει εύρεση αυτού του κλάσματος του πολλαπλασιαστή.
Έτσι, θα ονομάσουμε τώρα πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα την εύρεση ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού, τον οποίο εξετάσαμε πριν.
3) Για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό (πολλαπλασιαστή) με έναν μικτό αριθμό (συντελεστή) σημαίνει να πολλαπλασιάσετε τον πολλαπλασιαστή πρώτα με τον ακέραιο αριθμό του πολλαπλασιαστή, μετά με το κλάσμα του πολλαπλασιαστή και να προσθέσετε τα αποτελέσματα αυτών των δύο πολλαπλασιασμών μαζί.
Για παράδειγμα:
Ο αριθμός που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό σε όλες αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται δουλειά, δηλαδή το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό ακεραίων.
Από αυτούς τους ορισμούς είναι σαφές ότι ο πολλαπλασιασμός των κλασματικών αριθμών είναι μια ενέργεια που είναι πάντα δυνατή και πάντα μονοσήμαντη.
§ 141. Η σκοπιμότητα των ορισμών αυτών.Για να κατανοήσουμε τη σκοπιμότητα εισαγωγής των δύο τελευταίων ορισμών του πολλαπλασιασμού στην αριθμητική, ας πάρουμε το ακόλουθο πρόβλημα:
Εργο. Ένα τρένο, που κινείται ομοιόμορφα, καλύπτει 40 km την ώρα. πώς να μάθετε πόσο χιλιόμετρα θα περάσουναυτό το τρένο σε δεδομένο αριθμό ωρών;
Αν παραμέναμε με αυτόν τον έναν ορισμό του πολλαπλασιασμού, ο οποίος υποδεικνύεται με ακέραια αριθμητική (προσθήκη ίσων όρων), τότε το πρόβλημά μας θα είχε τρεις διάφορες λύσεις, και συγκεκριμένα:
Εάν ο δεδομένος αριθμός ωρών είναι ακέραιος (για παράδειγμα, 5 ώρες), τότε για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει να πολλαπλασιάσετε 40 km με αυτόν τον αριθμό ωρών.
Εάν ένας δεδομένος αριθμός ωρών εκφράζεται ως κλάσμα (για παράδειγμα, μια ώρα), τότε θα πρέπει να βρείτε την τιμή αυτού του κλάσματος από 40 km.
Τέλος, εάν αναμειχθεί ο δεδομένος αριθμός ωρών (για παράδειγμα, ώρες), τότε τα 40 km θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τον ακέραιο που περιέχεται στον μικτό αριθμό και στο αποτέλεσμα προσθέστε ένα άλλο κλάσμα 40 km, το οποίο βρίσκεται στο μικτό αριθμός.
Οι ορισμοί που δίνουμε τα επιτρέπουν όλα αυτά πιθανές περιπτώσειςδώσε μια γενική απάντηση:
πρέπει να πολλαπλασιάσετε 40 km με έναν δεδομένο αριθμό ωρών, όποια κι αν είναι αυτή.
Έτσι, εάν το πρόβλημα αναπαρίσταται σε γενική εικόναΕτσι:
Ένα τρένο, κινούμενο ομοιόμορφα, καλύπτει v km σε μια ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει το τρένο σε t ώρες;
τότε, ανεξάρτητα από το ποιοι είναι οι αριθμοί v και t, μπορούμε να δώσουμε μία απάντηση: ο επιθυμητός αριθμός εκφράζεται με τον τύπο v · t.
Σημείωση. Η εύρεση κάποιου κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού, σύμφωνα με τον ορισμό μας, σημαίνει το ίδιο πράγμα με τον πολλαπλασιασμό ενός δεδομένου αριθμού με αυτό το κλάσμα. Επομένως, για παράδειγμα, η εύρεση του 5% (δηλαδή των πεντακοσίων) ενός δεδομένου αριθμού σημαίνει το ίδιο πράγμα με τον πολλαπλασιασμό ενός δεδομένου αριθμού με ή με ; Η εύρεση του 125% ενός δεδομένου αριθμού σημαίνει το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό αυτού του αριθμού με ή με κ.λπ.
§ 142. Σημείωση για το πότε αυξάνεται και πότε μειώνεται από τον πολλαπλασιασμό.
Ο πολλαπλασιασμός με ένα σωστό κλάσμα μειώνει τον αριθμό και ο πολλαπλασιασμός με ένα ακατάλληλο κλάσμα αυξάνει τον αριθμό εάν αυτό το ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα και παραμένει αμετάβλητο εάν είναι ίσο με ένα.
Σχόλιο. Κατά τον πολλαπλασιασμό κλασματικών αριθμών, καθώς και ακεραίων, το γινόμενο λαμβάνεται ίσο με μηδέν εάν κάποιος από τους παράγοντες ίσο με μηδένΕτσι, .
§ 143. Παραγωγή κανόνων πολλαπλασιασμού.
1) Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό. Έστω ένα κλάσμα πολλαπλασιασμένο με 5. Αυτό σημαίνει αυξημένο κατά 5 φορές. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα κατά 5 φορές, αρκεί να αυξήσετε τον αριθμητή του ή να μειώσετε τον παρονομαστή του κατά 5 φορές (§ 127).
Να γιατί:
Κανόνας 1. Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο αριθμό, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο. Αντίθετα, μπορείτε επίσης να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με τον δεδομένο ακέραιο αριθμό (αν είναι δυνατόν) και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.
Σχόλιο. Το γινόμενο ενός κλάσματος και του παρονομαστή του είναι ίσο με τον αριθμητή του.
Ετσι:
Κανόνας 2. Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο αριθμό με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος ως παρονομαστή.
Κανόνας 3. Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο παρονομαστή του γινομένου.
Σχόλιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί στον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν ακέραιο και ενός ακέραιου με ένα κλάσμα, αν θεωρήσουμε μόνο τον ακέραιο ως κλάσμα με παρονομαστή το ένα. Ετσι:
Έτσι, οι τρεις κανόνες που περιγράφονται τώρα περιέχονται σε έναν, ο οποίος γενικά μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
4) Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
Κανόνας 4ος. Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων. Για παράδειγμα:
§ 144. Αναγωγή κατά τον πολλαπλασιασμό. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, εάν είναι δυνατόν, είναι απαραίτητο να γίνει μια προκαταρκτική μείωση, όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγματα:
Μια τέτοια μείωση μπορεί να γίνει επειδή η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμόμια φορά.
§ 145. Αλλαγή προϊόντος με μεταβαλλόμενους παράγοντες.Όταν αλλάζουν οι παράγοντες, το γινόμενο των κλασματικών αριθμών θα αλλάξει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως το γινόμενο των ακεραίων (§ 53), δηλαδή: εάν αυξήσετε (ή μειώσετε) οποιονδήποτε παράγοντα πολλές φορές, τότε το γινόμενο θα αυξηθεί (ή θα μειωθεί) κατά το ίδιο ποσό.
Έτσι, αν στο παράδειγμα:
για να πολλαπλασιάσετε πολλά κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές τους μεταξύ τους και τους παρονομαστές μεταξύ τους και να κάνετε το πρώτο γινόμενο τον αριθμητή και το δεύτερο τον παρονομαστή του γινομένου.
Σχόλιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε τέτοια προϊόντα στα οποία ορισμένοι από τους συντελεστές του αριθμού είναι ακέραιοι ή μικτοί, αν θεωρήσουμε τον ακέραιο ως κλάσμα με παρονομαστή το ένα και μετατρέπουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα. Για παράδειγμα:
§ 147. Βασικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού.Αυτές οι ιδιότητες πολλαπλασιασμού που υποδείξαμε για τους ακέραιους αριθμούς (§ 56, 57, 59) ισχύουν και για τον πολλαπλασιασμό των κλασματικών αριθμών. Ας υποδείξουμε αυτές τις ιδιότητες.
1) Το προϊόν δεν αλλάζει όταν αλλάζουν οι παράγοντες.
Για παράδειγμα:
Πράγματι, σύμφωνα με τον κανόνα της προηγούμενης παραγράφου, το πρώτο γινόμενο είναι ίσο με το κλάσμα και το δεύτερο ίσο με το κλάσμα. Αλλά αυτά τα κλάσματα είναι τα ίδια, επειδή οι όροι τους διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των ακεραίων παραγόντων και το γινόμενο των ακεραίων δεν αλλάζει όταν αλλάζουν οι θέσεις των παραγόντων.
2) Το προϊόν δεν θα αλλάξει εάν οποιαδήποτε ομάδα παραγόντων αντικατασταθεί από το προϊόν τους.
Για παράδειγμα:
Τα αποτελέσματα είναι τα ίδια.
Από αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού μπορεί να εξαχθεί το ακόλουθο συμπέρασμα:
για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα γινόμενο, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με τον πρώτο παράγοντα, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό που προκύπτει με το δεύτερο κ.λπ.
Για παράδειγμα:
3) Κατανεμητικός νόμος πολλαπλασιασμού (σε σχέση με την πρόσθεση). Για να πολλαπλασιάσετε ένα άθροισμα με έναν αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ξεχωριστά με αυτόν τον αριθμό και να προσθέσετε τα αποτελέσματα.
Αυτός ο νόμος εξηγήθηκε από εμάς (§ 59) όπως εφαρμόζεται στους ακέραιους αριθμούς. Παραμένει αληθές χωρίς καμία αλλαγή για τους κλασματικούς αριθμούς.
Ας δείξουμε, μάλιστα, ότι η ισότητα
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση) παραμένει αληθινός ακόμα και όταν τα γράμματα αντιπροσωπεύουν κλασματικούς αριθμούς. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις.
1) Ας υποθέσουμε πρώτα ότι ο παράγοντας m είναι ακέραιος, για παράδειγμα m = 3 (a, b, c – οποιοιδήποτε αριθμοί). Σύμφωνα με τον ορισμό του πολλαπλασιασμού με έναν ακέραιο, μπορούμε να γράψουμε (περιοριζόμαστε σε τρεις όρους για απλότητα):
(α + β + γ) * 3 = (α + β + γ) + (α + β + γ) + (α + β + γ).
Με βάση τον συνειρμικό νόμο της πρόσθεσης, μπορούμε να παραλείψουμε όλες τις παρενθέσεις στη δεξιά πλευρά. Εφαρμόζοντας τον μεταθετικό νόμο της πρόσθεσης, και μετά πάλι τον συνειρμικό νόμο, μπορούμε προφανώς να ξαναγράψουμε σωστη πλευραΕτσι:
(α + α + α) + (β + β + β) + (γ + γ + γ).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Αυτό σημαίνει ότι ο διανεμητικός νόμος επιβεβαιώνεται σε αυτή την περίπτωση.
Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό
Ενότητες:Μαθηματικά
Τ τύπος μαθήματος: ONZ (ανακάλυψη νέας γνώσης - χρησιμοποιώντας την τεχνολογία της μεθόδου διδασκαλίας βάσει δραστηριοτήτων).
- Εξαγωγή μεθόδων για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
- Αναπτύξτε την ικανότητα να διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό.
- Επαναλάβετε και ενισχύστε τη διαίρεση των κλασμάτων.
- Εκπαιδεύστε την ικανότητα μείωσης κλασμάτων, ανάλυσης και επίλυσης προβλημάτων.
Υλικό επίδειξης εξοπλισμού:
1. Εργασίες ενημέρωσης γνώσεων:
2. Δοκιμαστική (ατομική) εργασία.
1. Εκτελέστε διαίρεση:
2. Εκτελέστε διαίρεση χωρίς να εκτελέσετε ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών: .
- Όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αλλά να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.
- Εάν ο αριθμητής διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό, τότε όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με αυτόν τον αριθμό, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
I. Κίνητρο (αυτοδιάθεση) για να εκπαιδευτικές δραστηριότητες.
- Οργανώστε την ενημέρωση των απαιτήσεων για τον μαθητή όσον αφορά τις εκπαιδευτικές δραστηριότητες («πρέπει»).
- Οργανώστε τις δραστηριότητες των μαθητών για τη δημιουργία θεματικών πλαισίων («μπορώ»).
- Δημιουργήστε συνθήκες ώστε ο μαθητής να αναπτύξει μια εσωτερική ανάγκη για ένταξη σε εκπαιδευτικές δραστηριότητες («θέλω»).
Οργάνωση εκπαιδευτική διαδικασίαστο στάδιο Ι.
Γειά σου! Χαίρομαι που σας βλέπω όλους στο μάθημα των μαθηματικών. Ελπίζω να είναι αμοιβαίο.
Παιδιά, τι νέες γνώσεις αποκτήσατε στο τελευταίο μάθημα; (Διαιρέστε τα κλάσματα).
Σωστά. Τι σας βοηθά να κάνετε τη διαίρεση των κλασμάτων; (Κανόνας, ιδιότητες).
Πού χρειαζόμαστε αυτή τη γνώση; (Σε παραδείγματα, εξισώσεις, προβλήματα).
Μπράβο! Τα πήγατε καλά στις εργασίες στο τελευταίο μάθημα. Θέλετε να ανακαλύψετε μόνοι σας νέες γνώσεις σήμερα; (Ναί).
Τότε - πάμε! Και το σύνθημα του μαθήματος θα είναι η δήλωση "Δεν μπορείς να μάθεις μαθηματικά βλέποντας τον γείτονά σου να τα κάνει!"
II. Ενημέρωση γνώσεων και επίλυση μεμονωμένων δυσκολιών σε μια δοκιμαστική ενέργεια.
- Οργανώστε την ενημέρωση των μαθησιακών μεθόδων δράσης επαρκείς για την οικοδόμηση νέας γνώσης. Καταγράψτε αυτές τις μεθόδους προφορικά (στον λόγο) και συμβολικά (τυπικό) και γενικεύστε τις.
- Οργανώστε την πραγματοποίηση νοητικών λειτουργιών και γνωστικές διαδικασίες, επαρκές για την κατασκευή νέας γνώσης.
- κίνητρο για μια δοκιμαστική ενέργεια και την ανεξάρτητη εφαρμογή και αιτιολόγησή της.
- Παρουσιάστε μια μεμονωμένη εργασία για μια δοκιμαστική ενέργεια και αναλύστε την προκειμένου να εντοπίσετε νέο εκπαιδευτικό περιεχόμενο.
- Οργανώστε τη στερέωση του εκπαιδευτικού στόχου και του θέματος του μαθήματος.
- Οργανώστε την υλοποίηση μιας δοκιμαστικής ενέργειας και διορθώστε τη δυσκολία.
- Οργανώστε μια ανάλυση των απαντήσεων που ελήφθησαν και καταγράψτε μεμονωμένες δυσκολίες στην εκτέλεση μιας δοκιμαστικής ενέργειας ή στην αιτιολόγησή της.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο II.
Μπροστά, με χρήση tablet (ατομικοί πίνακες).
1. Συγκρίνετε εκφράσεις:
(Αυτές οι εκφράσεις είναι ίσες)
Τι ενδιαφέροντα πράγματα προσέξατε; (Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του μερίσματος, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρέτη σε κάθε παράσταση αυξάνονται κατά τον ίδιο αριθμό φορές. Έτσι, τα μερίσματα και οι διαιρέτες στις εκφράσεις παριστάνονται με κλάσματα που είναι ίσα μεταξύ τους).
Βρείτε το νόημα της έκφρασης και γράψτε το στο tablet σας. (2)
Πώς μπορώ να γράψω αυτόν τον αριθμό ως κλάσμα;
Πώς εκτελέσατε τη δράση της διαίρεσης; (Τα παιδιά προφέρουν τον κανόνα, ο δάσκαλος αναρτά σύμβολα γραμμάτων στον πίνακα)
2. Υπολογίστε και καταγράψτε μόνο τα αποτελέσματα:
3. Προσθέστε τα αποτελέσματα και γράψτε την απάντηση. (2)
Ποιο είναι το όνομα του αριθμού που λήφθηκε στην εργασία 3; (Φυσικός)
Πιστεύετε ότι μπορείτε να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ναι, θα προσπαθήσουμε)
Δοκιμάστε αυτό.
4. Ατομική (δοκιμαστική) εργασία.
Εκτέλεση διαίρεσης: (μόνο για παράδειγμα)
Ποιον κανόνα χρησιμοποιήσατε για να διαιρέσετε; (Σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των κλασμάτων με τα κλάσματα)
Τώρα διαιρέστε το κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με απλούστερο τρόπο, χωρίς να εκτελέσετε ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών: (παράδειγμα β). Θα σου δώσω 3 δευτερόλεπτα για αυτό.
Ποιος δεν μπόρεσε να ολοκληρώσει την εργασία σε 3 δευτερόλεπτα;
Ποιος το έκανε? (δεν υπάρχουν τέτοια)
Γιατί; (Δεν ξέρουμε τον τρόπο)
Τι πήρες? (Δυσκολία)
Τι πιστεύετε ότι θα κάνουμε στην τάξη; (Διαιρέστε τα κλάσματα με φυσικούς αριθμούς)
Σωστά, ανοίξτε τα τετράδιά σας και σημειώστε το θέμα του μαθήματος: «Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό».
Γιατί αυτό το θέμα ακούγεται νέο όταν ξέρετε ήδη πώς να διαιρείτε τα κλάσματα; (Χρειάζομαι νέος τρόπος)
Σωστά. Σήμερα θα καθιερώσουμε μια τεχνική που απλοποιεί τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
III. Προσδιορισμός της τοποθεσίας και της αιτίας του προβλήματος.
- Οργανώστε την αποκατάσταση των ολοκληρωμένων εργασιών και καταγράψτε (λεκτικά και συμβολικά) το μέρος - βήμα, λειτουργία - όπου προέκυψε η δυσκολία.
- Οργανώστε τη συσχέτιση των ενεργειών των μαθητών με τη μέθοδο (αλγόριθμο) που χρησιμοποιείται και την καθήλωση στην εξωτερική ομιλία της αιτίας της δυσκολίας - των συγκεκριμένων γνώσεων, δεξιοτήτων ή ικανοτήτων που λείπουν για την επίλυση του αρχικού προβλήματος αυτού του τύπου.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο III.
Ποια εργασία έπρεπε να ολοκληρώσετε; (Διαιρέστε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χωρίς να περάσετε από ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών)
Τι σας δυσκολεύτηκε; (Δεν μπορούσα να αποφασίσω για για λίγογρήγορος τρόπος)
Τι στόχο βάζουμε στον εαυτό μας στο μάθημα; (Εύρημα γρήγορος τρόποςδιαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό)
Τι θα σε βοηθήσει; (Ήδη γνωστός κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων)
IV. Χτίζοντας ένα έργο για την έξοδο από ένα πρόβλημα.
- Αποσαφήνιση του στόχου του έργου.
- Επιλογή μεθόδου (διευκρίνιση).
- Προσδιορισμός μέσων (αλγόριθμος);
- Χτίζοντας ένα σχέδιο για την επίτευξη του στόχου.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο IV.
Ας επιστρέψουμε στην δοκιμαστική εργασία. Είπατε ότι μοιράσατε σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων; (Ναί)
Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε τον φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα; (Ναί)
Ποιο βήμα (ή βήματα) πιστεύετε ότι μπορεί να παραλειφθεί;
(Η αλυσίδα της λύσης είναι ανοιχτή στον πίνακα: 
Αναλύστε και βγάλτε συμπέρασμα. (Βήμα 1)
Εάν δεν υπάρχει απάντηση, τότε σας οδηγούμε σε ερωτήσεις:
Πού πήγε ο φυσικός διαιρέτης; (Στον παρονομαστή)
Έχει αλλάξει ο αριθμητής; (Οχι)
Ποιο βήμα λοιπόν μπορείτε να «παραλείψετε»; (Βήμα 1)
- Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
- Δεν αλλάζουμε τον αριθμητή.
- Παίρνουμε ένα νέο κλάσμα.
V. Υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου.
- Οργάνωση επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης για την υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου με στόχο την απόκτηση της γνώσης που λείπει.
- Οργανώστε την καταγραφή της κατασκευασμένης μεθόδου δράσης στην ομιλία και τα σημάδια (χρησιμοποιώντας ένα πρότυπο).
- Οργανώστε τη λύση στο αρχικό πρόβλημα και καταγράψτε πώς να ξεπεράσετε τη δυσκολία.
- Οργανώστε διευκρινίσεις γενικόςνέα γνώση.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο V.
Τώρα εκτελέστε γρήγορα τη δοκιμαστική θήκη με νέο τρόπο.
Τώρα μπορέσατε να ολοκληρώσετε γρήγορα την εργασία; (Ναί)
Εξηγήστε πώς το κάνατε αυτό; (Τα παιδιά μιλούν)
Αυτό σημαίνει ότι έχουμε αποκτήσει νέα γνώση: τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Μπράβο! Πείτε το ανά δύο.
Στη συνέχεια ένας μαθητής μιλάει στην τάξη. Διορθώνουμε τον κανόνα-αλγόριθμο προφορικά και με τη μορφή προτύπου στον πίνακα.
Τώρα εισάγετε τους χαρακτηρισμούς των γραμμάτων και σημειώστε τον τύπο για τον κανόνα μας.
Ο μαθητής γράφει στον πίνακα, λέγοντας τον κανόνα: όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αλλά να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.
(Όλοι γράφουν τον τύπο στο τετράδιό τους).
Τώρα αναλύστε ξανά την αλυσίδα επίλυσης της δοκιμαστικής εργασίας γυρίζοντας Ιδιαίτερη προσοχήστην απάντηση. Τι έκανες; (Ο αριθμητής του κλάσματος 15 διαιρέθηκε (μειώθηκε) με τον αριθμό 3)
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Φυσικό, διαιρέτης)
Πώς αλλιώς μπορείτε λοιπόν να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ελέγξτε: εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με αυτόν τον φυσικό αριθμό, τότε μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με αυτόν τον αριθμό, να γράψετε το αποτέλεσμα στον αριθμητή του νέου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο)
Καταγράψτε αυτή τη μέθοδο ως τύπο. (Ο μαθητής γράφει τον κανόνα στον πίνακα ενώ τον προφέρει. Όλοι γράφουν τον τύπο στο τετράδιό τους.)
Ας επιστρέψουμε στην πρώτη μέθοδο. Μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε εάν a:n? (Ναι αυτο γενική μέθοδος)
Και πότε είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο; (Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό χωρίς υπόλοιπο)
VI. Πρωτογενής εμπέδωση με προφορά στον εξωτερικό λόγο.
- Οργανώστε την αφομοίωση των παιδιών μιας νέας μεθόδου δράσης κατά την επίλυση τυπικών προβλημάτων με την προφορά τους στην εξωτερική ομιλία (μετωπικά, σε ζευγάρια ή ομάδες).
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VI.
Υπολογίστε με νέο τρόπο:
- Αρ. 363 (α; δ) - εκτελείται στο ταμπλό, εκφωνώντας τον κανόνα.
- Νο. 363 (ε; στ) - σε ζεύγη με έλεγχο σύμφωνα με το δείγμα.
VII. Ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο σύμφωνα με το πρότυπο.
- Οργανώνω αυτοεκτέλεσηΣτους μαθητές δίνονται εργασίες για έναν νέο τρόπο δράσης.
- Οργανώστε τον αυτοέλεγχο με βάση τη σύγκριση με το πρότυπο.
- Με βάση τα αποτελέσματα της εκτέλεσης ανεξάρτητη εργασίαοργανώνουν προβληματισμό για την αφομοίωση ενός νέου τρόπου δράσης.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VII.
Υπολογίστε με νέο τρόπο:
Οι μαθητές ελέγχουν το πρότυπο και σημειώνουν την ορθότητα της εκτέλεσης. Τα αίτια των σφαλμάτων αναλύονται και τα λάθη διορθώνονται.
Ο δάσκαλος ρωτά όσους μαθητές έκαναν λάθη, ποιος είναι ο λόγος;
Σε αυτό το στάδιο, είναι σημαντικό κάθε μαθητής να ελέγχει ανεξάρτητα την εργασία του.
Πριν λύσετε την εργασία 8), εξετάστε ένα παράδειγμα από το σχολικό βιβλίο:
IX. Προβληματισμός για μαθησιακές δραστηριότητες στην τάξη.
- Οργανώστε την καταγραφή του νέου περιεχομένου που αποκτήθηκε στο μάθημα.
- Οργανώστε μια στοχαστική ανάλυση των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων από την άποψη της εκπλήρωσης των απαιτήσεων που είναι γνωστές στους μαθητές.
- Οργανώστε την αξιολόγηση των μαθητών για τις δικές τους δραστηριότητες στο μάθημα.
- Οργανώστε την καταγραφή των ανεπίλυτων δυσκολιών στο μάθημα ως κατεύθυνση για μελλοντικές εκπαιδευτικές δραστηριότητες.
- Οργανώστε μια συζήτηση και καταγραφή των εργασιών για το σπίτι.
Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο ΙΧ.
Παιδιά, τι νέα γνώση ανακαλύψατε σήμερα; (Έμαθα πώς να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με απλό τρόπο)
Διατυπώστε μια γενική μέθοδο. (Λένε)
Με ποιον τρόπο και σε ποιες περιπτώσεις μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε; (Λένε)
Ποιο είναι το πλεονέκτημα της νέας μεθόδου;
Πετύχαμε το στόχο του μαθήματος; (Ναί)
Ποιες γνώσεις χρησιμοποιήσατε για να πετύχετε τον στόχο σας; (Λένε)
Σου πήγαν όλα;
Ποιες ήταν οι δυσκολίες;
Για να πολλαπλασιάσετε σωστά ένα κλάσμα με ένα κλάσμα ή ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να γνωρίζετε απλούς κανόνες. Τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς αυτούς τους κανόνες.
Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κλάσμα.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των αριθμητών και το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και επίσης πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ φορές 3)(7 \ φορές 3) = \frac(4)(7)\\\)
Το κλάσμα \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) μειώθηκε κατά 3.
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό.
Αρχικά, ας θυμηθούμε τον κανόνα, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον κανόνα κατά τον πολλαπλασιασμό.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) μετατράπηκε σε μικτό κλάσμα.
Με άλλα λόγια, Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή.Παράδειγμα:
\(\frac(2)(5) \φορές 3 = \frac(2 \χρόνες 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.
Για να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα, πρέπει πρώτα να αναπαραστήσετε κάθε μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα πολλαπλασιασμού. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή.
Παράδειγμα:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \χρόνες 23) (4 \ φορές 6) = \frac(3 \ φορές \χρώμα (κόκκινο) (3) \ φορές 23) (4 \ φορές 2 \ φορές \χρώμα(κόκκινο) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Πολλαπλασιασμός αντίστροφων κλασμάτων και αριθμών.
Το κλάσμα \(\bf \frac(a)(b)\) είναι το αντίστροφο του κλάσματος \(\bf \frac(b)(a)\), με την προϋπόθεση a≠0,b≠0.
Τα κλάσματα \(\bf \frac(a)(b)\) και \(\bf \frac(b)(a)\) ονομάζονται αμοιβαία κλάσματα. Το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Παράδειγμα:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Σχετικές ερωτήσεις:
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;
Απάντηση: Το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων είναι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμητή με έναν αριθμητή, ενός παρονομαστή με έναν παρονομαστή. Για να πάρετε το γινόμενο μικτών κλασμάτων, πρέπει να τα μετατρέψετε σε ακατάλληλο κλάσμα και να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες.
Πώς να πολλαπλασιάσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: δεν έχει σημασία αν τα κλάσματα έχουν ίδιους ή διαφορετικούς παρονομαστές, ο πολλαπλασιασμός γίνεται σύμφωνα με τον κανόνα εύρεσης του γινομένου ενός αριθμητή με αριθμητή, ενός παρονομαστή με έναν παρονομαστή.
Πώς να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα;
Απάντηση: πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να βρείτε το γινόμενο χρησιμοποιώντας τους κανόνες πολλαπλασιασμού.
Πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα;
Απάντηση: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή, αλλά αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο.
Παράδειγμα #1:
Υπολογίστε το γινόμενο: α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Λύση:
α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( κόκκινο) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Παράδειγμα #2:
Υπολογίστε τα γινόμενα ενός αριθμού και ενός κλάσματος: α) \(3 \times \frac(17)(23)\) β) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Λύση:
α) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
β) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \φορές 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Παράδειγμα #3:
Γράψτε το αντίστροφο του κλάσματος \(\frac(1)(3)\);
Απάντηση: \(\frac(3)(1) = 3\)
Παράδειγμα #4:
Υπολογίστε το γινόμενο δύο αμοιβαία αντίστροφων κλασμάτων: α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Λύση:
α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Παράδειγμα #5:
Τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να είναι:
α) ταυτόχρονα με σωστά κλάσματα·
β) ταυτόχρονα ακατάλληλα κλάσματα.
γ) ταυτόχρονα φυσικούς αριθμούς?
Λύση:
α) για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση, ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι σωστό, το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac(3)(2)\) - ένα ακατάλληλο κλάσμα. Απάντηση: όχι.
β) σε όλες σχεδόν τις απαριθμήσεις κλασμάτων αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, αλλά υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί που πληρούν την προϋπόθεση να είναι ταυτόχρονα ακατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, το ακατάλληλο κλάσμα είναι \(\frac(3)(3)\), το αντίστροφο κλάσμα του είναι ίσο με \(\frac(3)(3)\). Παίρνουμε δύο ακατάλληλα κλάσματα. Απάντηση: όχι πάντα υπό ορισμένες συνθήκες όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι.
γ) Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε, για παράδειγμα, 1, 2, 3, …. Αν πάρουμε τον αριθμό \(3 = \frac(3)(1)\), τότε το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι \(\frac(1)(3)\). Το κλάσμα \(\frac(1)(3)\) δεν είναι φυσικός αριθμός. Αν περάσουμε από όλους τους αριθμούς, το αντίστροφο του αριθμού είναι πάντα κλάσμα, εκτός από το 1. Αν πάρουμε τον αριθμό 1, τότε το αμοιβαίο κλάσμα του θα είναι \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Ο αριθμός 1 είναι ένας φυσικός αριθμός. Απάντηση: μπορούν ταυτόχρονα να είναι φυσικοί αριθμοί μόνο σε μία περίπτωση, αν αυτός είναι ο αριθμός 1.
Παράδειγμα #6:
Να γίνει το γινόμενο των μικτών κλασμάτων: α) \(4 \πλάσιο 2\frac(4)(5)\) β) \(1\frac(1)(4) \χρόνια 3\frac(2)(7)\ )
Λύση:
α) \(4 \φορές 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
β) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Παράδειγμα #7:
Μπορούν δύο αντίστροφοι να είναι μικτοί αριθμοί ταυτόχρονα;
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα μικτό κλάσμα \(1\frac(1)(2)\), να βρούμε το αντίστροφο κλάσμα του, για να το κάνουμε αυτό το μετατρέπουμε σε ακατάλληλο κλάσμα \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac(2)(3)\) . Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι ένα σωστό κλάσμα. Απάντηση: Δύο κλάσματα που είναι αμοιβαία αντίστροφα δεν μπορούν να είναι μικτές αριθμοί ταυτόχρονα.