Σε παραγράφους 8.2.1 αποδείχθηκε ότι οι αλγεβρικές έννοιες είναι μέσα γενίκευσης, γλώσσα περιγραφής αριθμητικές πράξεις. Η έννοια της μαθηματικής έκφρασης είναι διαφορετικής φύσης από τις έννοιες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Οι σχέσεις μεταξύ αυτών των εννοιών μπορούν να θεωρηθούν σχέσεις μορφής και περιεχομένου: οι μαθηματικές εκφράσεις είναι μια από τις μορφές συμβολικού, γραπτού προσδιορισμού των αριθμητικών πράξεων. Μια αριθμητική έκφραση μπορεί επίσης να θεωρηθεί μια από τις μορφές ενός αριθμού, αφού κάθε αριθμητική παράσταση έχει μια ενιαία αριθμητική τιμή - έναν αριθμό.
Οι εκφράσεις εμφανίζονται στη διδασκαλία των μαθηματικών μόλις στην πρώτη τάξη εμφανίζονται εγγραφές της μορφής 2 + 3, 4 - 3 κατά τη μελέτη πραγματικών
εξισώσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης. Στην αρχή ονομάζονται έτσι: εγγραφή πρόσθεσης, εγγραφή αφαίρεσης. Όπως γνωρίζετε, αυτές οι καταχωρήσεις έχουν επίσης σωστά ονόματα: «άθροισμα», «διαφορά», τα οποία μπορούν να εισαχθούν σε ένα μάθημα μαζί με τις αντίστοιχες ενέργειες ή μετά από κάποιο χρονικό διάστημα. Και η έννοια της έκφρασης θα πρέπει να γίνει αντικείμενο μελέτης μόνο αφού οι μαθητές έχουν ήδη κάποια πρακτική εμπειρία στην αντιμετώπιση τέτοιων αρχείων. Σε αυτή την περίπτωση, ο δάσκαλος μπορεί να χρησιμοποιήσει τον όρο «έκφραση» στην ομιλία του, χωρίς να απαιτεί από τα παιδιά να τον χρησιμοποιούν, αλλά να τον εισάγει στο παθητικό λεξιλόγιο των μαθητών. Αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν Καθημερινή ζωήόταν τα παιδιά ακούν μια νέα λέξη που σχετίζεται με ένα οπτικά επισημασμένο αντικείμενο. Για παράδειγμα, δείχνοντας σε αρχεία πρόσθεσης και αφαίρεσης πολλά μαθήματα μετά την εισαγωγή αυτών των ενεργειών, ο δάσκαλος λέει: «Διαβάστε αυτές τις εγγραφές, αυτές τις εκφράσεις: ...», «Βρείτε στο σχολικό βιβλίο κάτω από τον αριθμό ... μια έκφραση στην οποία χρειάζεστε να αφαιρέσετε τρία από τα επτά. ...», «Δείτε αυτές τις εκφράσεις (εμφανίζει στον πίνακα). Διαβάστε αυτό που σας επιτρέπει να βρείτε έναν αριθμό 3 μεγαλύτερο από 5, ο οποίος περιέχει έναν αριθμό 3 μεγαλύτερο από 5. 3 λιγότερο από 5".
Κατά τη μελέτη αριθμητικών παραστάσεων σε δημοτικό σχολείοεξετάστε τις ακόλουθες έννοιες και μεθόδους δράσης.
Έννοιες: μαθηματική έκφραση, αριθμητική έκφραση (έκφραση), είδη αριθμητικών εκφράσεων(σε μια ενέργεια και σε πολλές ενέργειες, με και χωρίς παρενθέσεις, που περιέχουν ενέργειες ενός σταδίου και ενέργειες δύο σταδίων). την αριθμητική τιμή της έκφρασης· κανόνες της διαδικασίας; σύγκριση των σχέσεων.
Μέθοδοι δράσης: ανάγνωση εκφράσεων σε ένα ή δύο βήματα. καταγραφή εκφράσεων από υπαγόρευση σε ένα ή δύο βήματα. καθορισμός της σειράς των ενεργειών · υπολογισμός της σημασίας των εκφράσεων σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς των ενεργειών. Σύγκριση δύο αριθμητικών παραστάσεων. μετασχηματισμός έκφρασης - αντικατάσταση μιας έκφρασης με μια άλλη ίση με αυτήν με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών.
Εισαγωγή εννοιών.Μάθημα για την εισαγωγή της έννοιας της έκφρασηςΕίναι χρήσιμο να ξεκινήσετε συζητώντας τις σημειώσεις. Τι είδη εγγραφών υπάρχουν; Γιατί γράφουν οι άνθρωποι; Γιατί μαθαίνεις να γράφεις; Τι σημειώσεις κρατάμε όταν μελετάμε μαθηματικά; (Τα παιδιά στρέφονται στα τετράδια τους, στο σχολικό βιβλίο, σε προετοιμασμένες κάρτες με παραδείγματα σημειώσεων από αυτές που έκαναν οι μαθητές κατά τη διάρκεια της εκπαιδευτικής περιόδου.) Σε ποιες ομάδες μπορούν να χωριστούν οι σημειώσεις κατά τη μελέτη των μαθηματικών;
Ως αποτέλεσμα αυτής της συζήτησης, εστιάζουμε σε δύο κύριες ομάδες εγγραφών: την εγγραφή αριθμών και την καταγραφή αριθμητικών πράξεων. Οι εγγραφές αριθμητικών πράξεων, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε δύο ομάδες: χωρίς υπολογισμούς και με υπολογισμούς, δηλαδή της μορφής 2 + 3 και 2 + 3 = 5. Με βάση αυτή την ταξινόμηση, ενημερώνουμε τους μαθητές ότι η εγγραφή πρόσθεσης και αφαίρεσης της μορφής 2 + 3 και 7 -5, καθώς και κάθε εγγραφή που αποτελείται από τέτοιες εγγραφές, για παράδειγμα, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 και παρόμοια, συνήθως ονομάζονται (συμφωνείται να κληθεί) μαθηματικός
έκφραση,ή απλώς μια έκφραση. Περαιτέρω, όπως και με την εισαγωγή άλλων εννοιών, είναι απαραίτητο να εκτελεστούν καθήκοντα αναγνώρισης, διδάσκοντας μια καθολική εκπαιδευτική δράση - αναγνωρίζοντας αντικείμενα που σχετίζονται με την έννοια που μελετάται. Ο αριθμός των αναγνωρίσιμων αντικειμένων θα πρέπει να περιλαμβάνει αυτά που δεν διαθέτουν όλες τις γενικές (ουσιώδεις) ιδιότητες της έννοιας και επομένως δεν αντιπροσωπεύουν αυτή η έννοιακαι εμπίπτουν στην έννοια, αλλά έχουν διαφορετικές μεταβλητές (μη ουσιώδεις) ιδιότητες. Για παράδειγμα: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15- 3 = 12.
Εφόσον τα λήμματα, που ονομάζονται εκφράσεις, έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί, διαβαστεί και γραφτεί από μαθητές, είναι απαραίτητο να γενικεύσουμε τους τρόπους με τους οποίους διαβάζονται οι εν λόγω εκφράσεις. Για παράδειγμα, η έκφραση 17 - 10 μπορεί να διαβαστεί ως "η διαφορά μεταξύ των αριθμών 17 και 10", ως εργασία - "αφαίρεση 10 από το 17", "μειώστε τον αριθμό 17 κατά 10" ή "βρείτε έναν αριθμό μικρότερο από δεκαεπτά κατά δέκα» και χρησιμοποιώντας παρόμοια ονόματα διδάσκουμε στους μαθητές να καταγράφουν εκφράσεις. Στο μέλλον, οι ερωτήσεις: πώς να διαβάσετε μια γραπτή έκφραση και πώς να γράψετε μια ονομαστική έκφραση συζητούνται με την εμφάνιση νέων τύπων εκφράσεων.
Στο ίδιο μάθημα όπου εισάγουμε την έννοια της έκφρασης, εισάγουμε και την έννοια το νόημα της έκφρασης είναιο αριθμός που προκύπτει από την εκτέλεση όλων των αριθμητικών πράξεών του.
Για να συνοψίσουμε την εισαγωγή των εννοιών και να σχεδιάσουμε περαιτέρω εργασία, είναι χρήσιμο να συζητήσουμε τις ερωτήσεις σε αυτό ή σε επόμενα μαθήματα: Πόσες εκφράσεις υπάρχουν; Πώς μπορεί μια έκφραση να είναι παρόμοια με μια άλλη; Πώς μπορεί να διαφέρει από το άλλο; Πώς μοιάζουν όλες οι εκφράσεις μεταξύ τους; Τι μπορούν να μας πουν οι εκφράσεις; Τι μπορείτε να κάνετε με τις εκφράσεις; Τι χρειάζεστε (μπορείτε να μάθετε) μελετώντας εκφράσεις;
Απαντώντας στην τελευταία ερώτηση, μαζί με τους μαθητές, διατυπώνουμε μαθησιακούς στόχουςεπερχόμενες δραστηριότητες: μπορούμε να μάθουμε και θα μάθουμε διαβάστε και γράψτε εκφράσεις, βρείτε έννοιες εκφράσεων, συγκρίνετε εκφράσεις.
Εκφράσεις ανάγνωσης και γραφής.Εφόσον οι εκφράσεις είναι εγγραφές, πρέπει να είστε σε θέση να τις διαβάσετε. Οι κύριες μέθοδοι ανάγνωσης ορίζονται κατά την εισαγωγή ενεργειών. Μπορείτε να διαβάσετε την έκφραση ως όνομα, ως λίστα σημείων, ως εργασία ή ερώτηση. Αφού μελετήσετε τις σχέσεις «λιγότερο (περισσότερο) κατά», «λιγότερο (περισσότερο) σε» μεταξύ των αριθμών, οι εκφράσεις μπορούν επίσης να διαβαστούν ως δηλώσεις ή ερωτήσεις σχετικά με τις σχέσεις ισότητας και ανισότητας. Κάθε τρόπος ανάγνωσης αποκαλύπτει μια ορισμένη όψη του νοήματος της αντίστοιχης ενέργειας ή ενεργειών. Ως εκ τούτου, είναι πολύ χρήσιμο να ενθαρρύνουμε διαφορετικοί τρόποιΑΝΑΓΝΩΣΗ. Το δείγμα ανάγνωσης ορίζεται από τον δάσκαλο όταν εισάγει μια ενέργεια ή όταν εξετάζει την αντίστοιχη έννοια, ιδιότητα ή σχέση.
Η βάση της ανάγνωσης οποιασδήποτε έκφρασης είναι η ανάγνωση της έκφρασης σε μία ενέργεια. Η εκμάθηση της ανάγνωσης είναι σαν να μαθαίνεις να αγαπάς
ανάγνωση κατά την εκτέλεση εργασιών που απαιτούν τέτοια ανάγνωση. Αυτές μπορεί να είναι ειδικές εργασίες: «Διαβάστε τις εκφράσεις». Η ανάγνωση είναι απαραίτητη κατά τον έλεγχο των τιμών μιας έκφρασης (ανάγνωση της έκφρασης ως μέρος μιας ισότητας), κατά την αναφορά των αποτελεσμάτων μιας σύγκρισης. Η αντίστροφη ενέργεια είναι επίσης σημαντική: η εγγραφή μιας έκφρασης με το όνομά της ή την εργασία ή τη σχέση που καθορίζει. Οι μαθητές εκτελούν αυτού του είδους τις ενέργειες όταν διεξάγουν μαθηματικές υπαγορεύσεις, ειδικά σχεδιασμένες για να αναπτύξουν την ικανότητα να καταγράφουν εκφράσεις ή ως μέρος εργασιών για υπολογισμό, σύγκριση κ.λπ. Η ανάγνωση μαθηματικών εκφράσεων, η εκμάθηση της ανάγνωσης εκφράσεων δεν είναι μάλλον στόχος, αλλά μέσο της μάθησης - ένα μέσο για την ανάπτυξη της ομιλίας, ένα μέσο για την εμβάθυνση της κατανόησης του νοήματος των ενεργειών.
Ας δείξουμε με παραδείγματα πώς να διαβάζουμε τους κύριους τύπους απλών εκφράσεων:
1) 2 + 3 σε δύο προσθέστε τρία. προσθέστε τους αριθμούς δύο και τρεις. άθροισμα
μα νούμερα δύο και τρία? δύο συν τρία? βρείτε το άθροισμα των αριθμών δύο και τρία.
Βρείτε το άθροισμα των όρων δύο και τρία. βρείτε έναν αριθμό τρία μεγαλύτερο
από το νούμερο δύο? αύξηση δύο επί τρία? πρώτος όρος 2, δεύτερος
όρος 3, βρείτε το άθροισμα.
2) 5 - 3 από πέντε αφαιρούν (σε καμία περίπτωση "αφαίρεση 1"!) τρία.
Η διαφορά μεταξύ των αριθμών πέντε και τρία. πέντε μείον τρία? Βρές την διαφορά
αριθμοί πέντε και τρεις? minuend πέντε, subtrahend τρία, βρείτε χρόνους
ness? Βρείτε έναν αριθμό τρία μικρότερο από πέντε. πέντε μειώνουν
σε τρεις?
3) πάρτε 2 · 3 δύο ως όρο τρεις φορές. Πάρτε δύο τρεις φορές?
Δύο φορές τρία? γινόμενο των αριθμών δύο και τρία. πρώτα
παράγοντας δύο, δεύτερος παράγοντας τρία, βρείτε το προϊόν. βρείτε την παραγωγή
Διατηρώντας τους αριθμούς δύο και τρεις. δύο φορές τρία, τρεις φορές δύο? αύξηση δύο
τρεις φορές; Βρείτε έναν αριθμό τρεις φορές μεγαλύτερο από δύο. πρώτη παρτίδα
κάτοικος δύο, δεύτεροι τρεις, βρείτε τη δουλειά?
4) 12:4 δώδεκα διαιρούμενα με τέσσερα. πηλίκο δώδεκα
tsat και τέσσερα είναι το πηλίκο των δώδεκα και τεσσάρων). πηλίκο διαίρεσης
Δώδεκα επί τέσσερα? μέρισμα δώδεκα, διαιρέτης τέσσερα, βρίσκω
πηλίκο (για 13:4 - βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο). μειώστε 12 σε h
τρεις φορές; βρείτε έναν αριθμό τέσσερις φορές μικρότερο από το δώδεκα.
Η ανάγνωση εκφράσεων που περιέχουν περισσότερες από δύο ενέργειες προκαλεί κατώτεροι μαθητέςορισμένες δυσκολίες. Στο προγραμματισμένο θέμα προκύπτει, επομένως, η ικανότητα ανάγνωσης τέτοιων εκφράσεων μπορεί
1 «ΑΦΑΙΡΕΤΕ,... 1. ποιος (τι).Πάρτε το από κάποιον. με το ζόρι, να στερήσω από κάποιον κάτι. Ο. χρήματα. Ο. γιος. Ο. ελπίδα. Ο. κάποιος έχει το χρόνο του.(μετάφραση: αναγκάζω κάποιον να αφιερώσει χρόνο σε κάτι). Ο. η ζωή κάποιου.(σκοτώνω). 2. Τι.Απορρόφηση, αιτία κατανάλωση κάτι. Η δουλειά πήρε πολλή ενέργεια από κάποιον. 3. Τι.Πάρτε στην άκρη, χωρίστε από κάτι. Ο. σκάλα από τον τοίχο...." [Ozhegov S.I. Λεξικό/ S.I. Ozhegov, N.Yu.Shvedova. - Μ., 1949 -1994.]
μπορεί να τοποθετηθεί σε υψηλότερο ή υψηλό επίπεδοκατοχή μαθηματικού λόγου. Οι εκφράσεις με δύο ή περισσότερες ενέργειες στην τελευταία ενέργεια, τα συστατικά της οποίας θεωρούνται εκφράσεις, ονομάζονται. Ωστόσο, ορισμένα είδη εκφράσεων περιλαμβάνονται στα κείμενα των κανόνων. Γνώση των λεκτικών διατυπώσεων των κανόνων σημαίνει και γνώση των μεθόδων (μεθόδου) της ανάγνωσης. Για παράδειγμα, η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση ή ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός αθροίσματος με έναν αριθμό στο ίδιο το όνομα του κανόνα δίνει το όνομα μιας έκφρασης της μορφής ( ΕΝΑ+ □ ) · ου. Και στη διατύπωση της ιδιότητας, δύο τύποι εκφράσεων ονομάζονται: "Το γινόμενο ενός αθροίσματος με έναν αριθμό είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων κάθε όρου με αυτόν τον αριθμό." Οι μέθοδοι για την ανάγνωση παραστάσεων σε δύο ή περισσότερες ενέργειες μπορούν να καθοριστούν με οδηγίες αλγοριθμικού τύπου. Η υποενότητα 4.2 παρέχει ένα παράδειγμα τέτοιου αλγορίθμου. Η εκμάθηση των μεθόδων ανάγνωσης τέτοιων εκφράσεων πραγματοποιείται εκτελώντας τους ίδιους τύπους εργασιών όπως όταν μαθαίνετε να διαβάζετε εκφράσεις σε μία ενέργεια.
Εύρεση του νοήματος των εκφράσεων. Κανόνες της διαδικασίας.Από την αρχή της μελέτης των αριθμητικών πράξεων και της εμφάνισης των εκφράσεων, ένας κανόνας έχει γίνει σιωπηρά αποδεκτός: οι ενέργειες πρέπει να εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά με τη σειρά με την οποία γράφτηκαν. Το πρόβλημα της σειράς των ενεργειών αποκαλύπτεται όταν προκύπτουν δυσκολίες στην έκφραση ορισμένων αντικειμενικών καταστάσεων. Για παράδειγμα, πρέπει να πάρετε 7 μπλε κύβους, 2 λιγότερους λευκούς και να μάθετε πόσοι κύβοι έχουν ληφθεί συνολικά. Εκτελούμε σχεδόν όλες τις ενέργειες, δηλώνοντας τον αριθμό των κύβων με αριθμούς και τις ενέργειες με σημάδια αριθμητικών πράξεων. Ας μετρήσουμε 7 μπλε κύβους. Για να πάρουμε 2 λιγότερους λευκούς κύβους, ας αφήσουμε δύο μπλε κύβους στην άκρη για λίγο και, κάνοντας ζευγάρια, πάρουμε όσους λευκούς κύβους είναι οι μπλε κύβοι μείον δύο. Ας συνδυάσουμε τους λευκούς και μπλε κύβους. Οι ενέργειες μας με τους κύβους γράφονται με αριθμητικές πράξεις: 7 + 7-2. Αλλά σε μια τέτοια εγγραφή, οι ενέργειες πρέπει να γίνονται με τη σειρά εγγραφής και δεν είναι αυτές οι ενέργειες για τις οποίες συντάξαμε την εγγραφή! Υπάρχει μια αντίφαση. Πρέπει πρώτα να αφαιρέσουμε το 2 από το 7 (βρίσκουμε τον απαιτούμενο αριθμό λευκών κύβων) και στη συνέχεια να προσθέσουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 7 και 2 στο 7 - τον αριθμό των μπλε κύβων. Τι να κάνουμε;
Η διέξοδος από αυτήν και παρόμοιες καταστάσεις μπορεί να είναι η εξής: πρέπει να επισημάνετε με κάποιο τρόπο στην εγγραφή έκφρασης τη δράση ή τις ενέργειες που πρέπει να εκτελεστούν όχι με τη σειρά γραφής από αριστερά προς τα δεξιά. Και υπάρχει μια τέτοια μέθοδος επιλογής. Αυτό αγκύλες,που επινοήθηκαν ακριβώς για καταστάσεις όπου οι ενέργειες σε μια έκφραση πρέπει να εκτελούνται όχι με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. Με αγκύλες, η μαθηματική σημειογραφία των πρακτικών μας ενεργειών με κύβους θα μοιάζει με αυτό: 7 + (7 - 2). Οι ενέργειες που είναι γραμμένες σε αγκύλες συνήθως εκτελούνται πρώτα. Για να κυριαρχήσουμε και να εκχωρήσουμε αυτήν την ιδιότητα των παρενθέσεων, συνθέτουμε διαφορετικές εκφράσεις με τους μαθητές, βάζουμε παρενθέσεις σε αυτές με διαφορετικό τρόπο, υπολογίζουμε και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Αντικατάσταση
τσάι: μερικές φορές η αλλαγή της σειράς των ενεργειών δεν αλλάζει το νόημα της έκφρασης, και μερικές φορές αλλάζει. Για παράδειγμα, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.
Κατά την εισαγωγή παρενθέσεων, οι γενικά αποδεκτοί κανόνες για τη σειρά των ενεργειών δεν έχουν ακόμη μελετηθεί σαφώς, αν και εφαρμόζονται ήδη δύο κανόνες: α) εάν σε μια έκφραση χωρίς παρενθέσεις υπάρχει μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, τότε οι ενέργειες εκτελούνται στο σειρά γράφονται από αριστερά προς τα δεξιά. β) οι ενέργειες σε αγκύλες εκτελούνται πρώτα.
Το πρόβλημα της σειράς των ενεργειών εμφανίζεται ξανά έντονα μετά την εμφάνιση εκφράσεων που περιέχουν τις ενέργειες πολλαπλασιασμού και (ή) διαίρεσης και τις ενέργειες πρόσθεσης και (ή) αφαίρεσης. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η ανάγκη για διαδικαστικούς κανόνες μπορεί να γίνει αντιληπτή από τους μαθητές και είναι κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου που οι μαθητές μπορούν ήδη να συζητήσουν αυτό το πρόβλημα, να διατυπώσουν και να κατανοήσουν γενικά αποδεκτές διατυπώσεις εσωτερικού κανονισμού.
Η κατανόηση της ανάγκης για τέτοιους κανόνες μπορεί να επιτευχθεί με πειραματισμό με μια έκφραση πολλαπλών βημάτων. Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης 7 - 3 · 2 + 15: 5, εκτελώντας ενέργειες σε τρεις διαφορετικές ακολουθίες: 1) - · + (με τη σειρά εγγραφής). 2) - + ·: (πρώτα πρόσθεση και αφαίρεση, μετά πολλαπλασιασμός και διαίρεση). 3) ·: - + (πρώτα πολλαπλασιασμός και διαίρεση, μετά πρόσθεση και αφαίρεση). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τρεις διαφορετικές τιμές: 1) 4 (απομένουν 3). 2) 13 (υπόλοιπο 3); 3) 6. Συζητώντας την κατάσταση που έχει προκύψει με τους μαθητές, καταλήγουμε στο συμπέρασμα: πρέπει να συμφωνήσουμε και να αποδεχθούμε μόνο μία ακολουθία ως γενικά αποδεκτό κανόνα δράσης. Και αφού οι έννοιες των εκφράσεων υπολογίστηκαν πριν από εμάς, και μάλιστα για εκατοντάδες χρόνια, τότε, πιθανότατα, υπάρχουν ήδη τέτοιες συμφωνίες. Τα βρίσκουμε στο σχολικό βιβλίο.
Στη συνέχεια, συζητάμε με τους μαθητές την ανάγκη να γνωρίζουν αυτούς τους κανόνες και να μπορούν να τους εφαρμόζουν. Έχοντας δικαιολογήσει αυτή την ανάγκη για τον εαυτό τους, οι μαθητές μπορεί κάλλιστα να προσπαθήσουν να προσδιορίσουν μόνοι τους τους τύπους ακαδημαϊκή εργασία, ακολουθώντας τους οποίους θα μπορούν να θυμούνται τους κανόνες και να μάθουν να τους ακολουθούν με ακρίβεια. Ένας τέτοιος ορισμός των τύπων εκπαιδευτικής εργασίας μπορεί να περιγραφεί στην ομαδική εργασία και στο ίδιο μάθημα μπορούν να εκτελεστούν ορισμένοι τύποι τέτοιων εργασιών. Στη διαδικασία της ομαδικής εργασίας, οι μαθητές εξοικειώνονται με το περιεχόμενο των αντίστοιχων σελίδων του σχολικού βιβλίου και του τετραδίου για ανεξάρτητη εργασίαστο σχολικό βιβλίο, μπορούν να συμπληρώσουν οι ίδιοι τις μαθησιακές εργασίες, να ολοκληρώσουν μερικές από αυτές, να δοκιμάσουν τον εαυτό τους και στη συνέχεια να κάνουν μια αναφορά για την εργασία στην ομάδα σχετικά με αυτό που έχουν ήδη κατακτήσει ως αποτέλεσμα της εργασίας στην ομάδα. Για παράδειγμα: «Στην ομάδα μας, όλοι έμαθαν να καθορίζουν τη σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση σε τρεις ή τέσσερις ενέργειες, αναφερόμενοι στο κείμενο του κανόνα στο σχολικό βιβλίο και να υποδεικνύουν αυτή τη σειρά με αριθμούς ενεργειών πάνω από τα σημάδια ενεργειών στο η έκφραση." Στη συνέχεια, ο στόχος είναι να μάθουμε να βρίσκουμε τις έννοιες τέτοιων «μεγάλων» εκφράσεων - σε τρεις, τέσσερις ή περισσότερες ενέργειες σε πολλά μαθήματα.
αυτοί που εκτελούν μαθησιακές δραστηριότητεςγια να το πετύχει. Η μέθοδος εύρεσης των τιμών μιας σύνθετης έκφρασης μπορεί να παρουσιαστεί σε αλγοριθμική μορφή.
Αλγόριθμος για την εύρεση της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης(δίνονται με προφορικές οδηγίες με τη μορφή λίστας βημάτων).
1. Ανυπάρχουν παρενθέσεις στην έκφραση, Οτιεκτελέστε ενέργειες σε παρένθεση όπως σε μια έκφραση χωρίς παρένθεση. 2. Ανδεν υπάρχουν παρενθέσεις στην έκφραση, Οτι:ΕΝΑ) Ανστην έκφραση μόνο πρόσθεση και (ή) αφαίρεση ή μόνο πολλαπλασιασμός και (ή) διαίρεση, Οτιεκτελέστε αυτές τις ενέργειες με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. β) αν η παράσταση περιέχει ενέργειες από την ομαδική πρόσθεση - αφαίρεση και από τον ομαδικό πολλαπλασιασμό - διαίρεση, Οτιπρώτα εκτελέστε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, έπειτανα κάνετε πρόσθεση και αφαίρεση με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. 3. Το αποτέλεσμα της τελευταίας ενέργειας ονομάζεται τιμή της παράστασης.
Ιδιαίτερο ρόλο στη μάθηση παίζουν οι μέθοδοι εύρεσης των νοημάτων των εκφράσεων με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών. Τέτοιες μέθοδοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρώτα οι εκφράσεις μετασχηματίζονται με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών και μόνο τότε εφαρμόζονται οι κανόνες για τη σειρά των ενεργειών. Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε την τιμή της παράστασης: 23 + 78 + 77. Σύμφωνα με τον εσωτερικό κανονισμό, πρέπει πρώτα να προσθέσουμε το 78 στο 23 και να προσθέσουμε το 17 στο αποτέλεσμα. Ο κανόνας "Μπορείτε να προσθέσετε αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά" μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση ίση με αυτήν με μια άλλη σειρά ενεργειών 23 + 77 + 78. Έχοντας εκτελέσει τις ενέργειες σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς των ενεργειών, μπορούμε εύκολα να λάβουμε αποτέλεσμα 100 + 78 = 178.
Στην πραγματικότητα μαθηματική δραστηριότητα, η μαθηματική ανάπτυξη των μαθητών συμβαίνει ακριβώς όταν αναζητούν ορθολογική ή πρωτότυπους τρόπουςμετασχηματισμός των εκφράσεων ακολουθούμενος από βολικούς υπολογισμούς. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να αναπτυχθεί μια συνήθεια μεταξύ των μαθητών σε υπολογισμούς που δεν είναι υπολογιστές, να αναζητήσουν τρόπους για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς, να μετασχηματίσουν εκφράσεις έτσι ώστε αντί για δυσκίνητους, άσχημους υπολογισμούς, να βρεθεί η επιθυμητή τιμή της έκφρασης χρησιμοποιώντας απλές και όμορφες περιπτώσεις του υπολογισμού. Οι εργασίες διατυπώνονται για το σκοπό αυτό ως εξής: «Υπολογίστε με βολικό (ή ορθολογικό) τρόπο...».
Εύρεση της σημασίας των κυριολεκτικών εκφράσεων -μια σημαντική δεξιότητα που σχηματίζει ιδέες για μια μεταβλητή και αποτελεί τη βάση για την περαιτέρω κατανόηση της λειτουργικής εξάρτησης. Μια πολύ βολική μορφή εργασιών για την εύρεση των σημασιών των εκφράσεων γραμμάτων και για την παρατήρηση της εξάρτησης της σημασίας μιας έκφρασης από τις έννοιες των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτήν είναι η μορφή πίνακα. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον πίνακα. 8.1 οι μαθητές μπορούν να δημιουργήσουν έναν αριθμό εξαρτήσεων: εάν οι τιμές ΕΝΑείναι διαδοχικοί αριθμοί, μετά οι τιμές 2αυπάρχουν διαδοχικοί ζυγοί αριθμοί και οι τιμές 3α -κάθε τρίτο αριθμό, ξεκινώντας από την τιμή 3αστο χαμηλότερη τιμή ΕΝΑκαι τα λοιπά.
Πίνακας 8.1
Σύγκριση εκφράσεων.Οι σχέσεις που συνδέουν τις έννοιες των εκφράσεων μεταφέρονται σε εκφράσεις. Ο κύριος τρόπος σύγκρισης είναιβρίσκοντας τις τιμές των συγκριμένων παραστάσεων και σύγκριση τιμών έκφρασης. Αλγόριθμος σύγκρισης:
1. Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων που συγκρίνονται. 2. Συγκρίνετε τους αριθμούς που προέκυψαν. 3. Μεταφέρετε το αποτέλεσμα της σύγκρισης αριθμών σε παραστάσεις. Εάν χρειάζεται, βάλτε το κατάλληλο σημάδι ανάμεσα στις εκφράσεις. Τέλος.
Ακριβώς όπως κατά την εύρεση των σημασιών των εκφράσεων, οι μέθοδοι σύγκρισης που βασίζονται στις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων, εκτιμώνται οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων και ανισώσεων, καθώς μια τέτοια σύγκριση απαιτεί απαγωγικό συλλογισμό και επομένως εξασφαλίζει την ανάπτυξη λογικής σκέψης.
Για παράδειγμα, πρέπει να συγκρίνετε το 73 + 48 και το 73 + 50. Η ιδιότητα είναι γνωστή: "Εάν ένας όρος αυξηθεί ή μειωθεί κατά πολλές μονάδες, τότε το άθροισμα θα αυξηθεί ή θα μειωθεί κατά τον ίδιο αριθμό μονάδων." Επομένως, η τιμή της πρώτης παράστασης είναι μικρότερη από την τιμή της δεύτερης, που σημαίνει ότι η πρώτη παράσταση είναι μικρότερη από τη δεύτερη και η δεύτερη είναι μεγαλύτερη από την πρώτη. Συγκρίναμε εκφράσεις χωρίς να βρούμε τις τιμές των παραστάσεων, χωρίς να κάνουμε καμία αριθμητική πράξη, εφαρμόζοντας τη γνωστή ιδιότητα της πρόσθεσης. Για τέτοιες περιπτώσεις, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε εκφράσεις που γράφτηκαν χρησιμοποιώντας γενικευμένους συμβολισμούς. Συγκρίνετε εκφράσεις. © + φάΚαι © + (φά+ 4), © + φάΚαι © + (φά- 4).
Οι ενδιαφέρουσες μέθοδοι σύγκρισης βασίζονται στον μετασχηματισμό των εκφράσεων που συγκρίνονται - στην αντικατάστασή τους με ίσες. Για παράδειγμα: 18 · 4 και 18 + 18 + 18 + 18; 25 · (117 - 19) και 25 · 117 - 19; 25 · (117 -119) και 25 · 117 - - 19 · 117, κ.λπ. Μεταμορφώνοντας την έκφραση σε ένα μέρος με βάση τις ιδιότητες των ενεργειών, λαμβάνουμε εκφράσεις που μπορούν ήδη να συγκριθούν συγκρίνοντας αριθμούς - συστατικά της ίδιας ενέργειας.
Παράδειγμα. 126 + 487 και 428 + 150. Για σύγκριση, εφαρμόζουμε την ιδιότητα αντικατάστασης. Παίρνουμε: 487 + 126 και 428 και 150. Μεταμορφώστε την πρώτη παράσταση: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Τώρα πρέπει να συγκρίνετε τις εκφράσεις 463 + 150 και 428 + 150.
Αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις. Μετατροπή εκφράσεων.
Τι είναι μια έκφραση στα μαθηματικά; Γιατί χρειαζόμαστε μετατροπές εκφράσεων;
Η ερώτηση, όπως λένε, είναι ενδιαφέρουσα... Γεγονός είναι ότι αυτές οι έννοιες αποτελούν τη βάση όλων των μαθηματικών. Όλα τα μαθηματικά αποτελούνται από εκφράσεις και τους μετασχηματισμούς τους. Δεν είναι πολύ σαφές; ΑΣΕ με να εξηγήσω.
Ας πούμε ότι έχετε ένα κακό παράδειγμα μπροστά σας. Πολύ μεγάλο και πολύ σύνθετο. Ας πούμε ότι είσαι καλός στα μαθηματικά και δεν φοβάσαι τίποτα! Μπορείτε να δώσετε μια απάντηση αμέσως;
Θα πρέπει αποφασίζωαυτό το παράδειγμα. Με συνέπεια, βήμα προς βήμα, αυτό το παράδειγμα απλοποιώ. Με ορισμένους κανόνες, Φυσικά. Εκείνοι. κάνω μετατροπή έκφρασης. Όσο πιο επιτυχημένα πραγματοποιείτε αυτούς τους μετασχηματισμούς, τόσο πιο δυνατός είστε στα μαθηματικά. Εάν δεν ξέρετε πώς να κάνετε τους σωστούς μετασχηματισμούς, δεν θα μπορείτε να τους κάνετε στα μαθηματικά. Τίποτα...
Για να αποφύγετε ένα τόσο άβολο μέλλον (ή παρόν...), δεν βλάπτει να κατανοήσετε αυτό το θέμα.)
Πρώτα, ας μάθουμε τι είναι έκφραση στα μαθηματικά. Τι συνέβη αριθμητική παράστασηκαι τι είναι αλγεβρική παράσταση.
Τι είναι μια έκφραση στα μαθηματικά;
Έκφραση στα μαθηματικά- αυτή είναι μια πολύ ευρεία έννοια. Σχεδόν όλα όσα αντιμετωπίζουμε στα μαθηματικά είναι ένα σύνολο μαθηματικών εκφράσεων. Οποιαδήποτε παραδείγματα, τύποι, κλάσματα, εξισώσεις και ούτω καθεξής - όλα αποτελούνται από μαθηματικές εκφράσεις.
Το 3+2 είναι μια μαθηματική έκφραση. s 2 - d 2- αυτή είναι επίσης μια μαθηματική έκφραση. Τόσο ένα υγιές κλάσμα όσο και ένας άρτιος αριθμός είναι όλα μαθηματικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, η εξίσωση είναι:
5x + 2 = 12
αποτελείται από δύο μαθηματικές εκφράσεις που συνδέονται με ένα πρόσημο ίσου. Η μία έκφραση βρίσκεται στα αριστερά, η άλλη στα δεξιά.
ΣΕ γενική εικόναόρος " μαθηματική έκφραση"χρησιμοποιείται, πιο συχνά, για να αποφύγει το βουητό. Θα σας ρωτήσουν τι είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα, για παράδειγμα; Και πώς να απαντήσετε;!
Πρώτη απάντηση: "Αυτό είναι... μμμμμ... κάτι τέτοιο... στο οποίο... Μπορώ να γράψω ένα κλάσμα καλύτερα; Ποιό θέλεις?"
Η δεύτερη απάντηση: «Ένα συνηθισμένο κλάσμα είναι (με χαρά και χαρά!) μαθηματική έκφραση , που αποτελείται από αριθμητή και παρονομαστή!».
Η δεύτερη επιλογή θα είναι κάπως πιο εντυπωσιακή, σωστά;)
Αυτός είναι ο σκοπός της φράσης " μαθηματική έκφραση "πολύ καλό. Και σωστό και συμπαγές. Αλλά για Πρακτική εφαρμογηπρέπει να είναι καλά γνώστης συγκεκριμένους τύπους εκφράσεων στα μαθηματικά .
Το συγκεκριμένο είδος είναι άλλο θέμα. Αυτό Είναι τελείως διαφορετικό θέμα!Κάθε τύπος μαθηματικής έκφρασης έχει δικος μουένα σύνολο κανόνων και τεχνικών που πρέπει να χρησιμοποιούνται κατά τη λήψη μιας απόφασης. Για εργασία με κλάσματα - ένα σετ. Για εργασία με τριγωνομετρικές εκφράσεις - η δεύτερη. Για εργασία με λογάριθμους - το τρίτο. Και ούτω καθεξής. Κάπου αυτοί οι κανόνες συμπίπτουν, κάπου διαφέρουν έντονα. Αλλά μην φοβάστε αυτά τα τρομακτικά λόγια. Θα κατακτήσουμε τους λογάριθμους, την τριγωνομετρία και άλλα μυστηριώδη πράγματα στις κατάλληλες ενότητες.
Εδώ θα κατακτήσουμε (ή - επαναλάβουμε, ανάλογα με το ποιος...) δύο βασικούς τύπους μαθηματικών εκφράσεων. Αριθμητικές εκφράσεις και αλγεβρικές εκφράσεις.
Αριθμητικές εκφράσεις.
Τι συνέβη αριθμητική παράσταση? Αυτή είναι μια πολύ απλή έννοια. Το ίδιο το όνομα υπονοεί ότι πρόκειται για έκφραση με αριθμούς. Έτσι είναι. Μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς, αγκύλες και αριθμητικά σύμβολα ονομάζεται αριθμητική έκφραση.
Το 7-3 είναι μια αριθμητική έκφραση.
(8+3.2) Το 5.4 είναι επίσης μια αριθμητική έκφραση.
Και αυτό το τέρας:
επίσης αριθμητική έκφραση, ναι...
Ένας συνηθισμένος αριθμός, ένα κλάσμα, οποιοδήποτε παράδειγμα υπολογισμού χωρίς Χ και άλλα γράμματα - όλα αυτά είναι αριθμητικές εκφράσεις.
Κύριο σημάδι αριθμητικόςεκφράσεις - σε αυτό όχι γράμματα. Κανένας. Μόνο αριθμοί και μαθηματικά σύμβολα (αν χρειάζεται). Είναι απλό, σωστά;
Και τι μπορείτε να κάνετε με τις αριθμητικές εκφράσεις; Οι αριθμητικές εκφράσεις μπορούν συνήθως να μετρηθούν. Για να γίνει αυτό, συμβαίνει ότι πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες, να αλλάξετε τα σημάδια, να συντομεύσετε, να αλλάξετε όρους - π.χ. κάνω μετατροπές έκφρασης. Αλλά περισσότερα για αυτό παρακάτω.
Εδώ θα ασχοληθούμε με μια τόσο αστεία περίπτωση όταν με μια αριθμητική έκφραση δεν χρειάζεται να κάνεις τίποτα.Λοιπόν, τίποτα απολύτως! Αυτή η ευχάριστη λειτουργία - Να μην κάνω τίποτα)- εκτελείται όταν η έκφραση δεν έχει νόημα.
Πότε μια αριθμητική έκφραση δεν έχει νόημα;
Είναι ξεκάθαρο ότι αν δούμε κάποιο είδος abracadabra μπροστά μας, όπως
τότε δεν θα κάνουμε τίποτα. Επειδή δεν είναι ξεκάθαρο τι να κάνετε γι 'αυτό. Κάποιες ανοησίες. Ίσως μετρήσει τον αριθμό των συν...
Υπάρχουν όμως εξωτερικά αρκετά αξιοπρεπείς εκφράσεις. Για παράδειγμα αυτό:
(2+3) : (16 - 2 8)
Ωστόσο, αυτή η έκφραση επίσης δεν έχει νόημα! Για τον απλούστατο λόγο ότι στις δεύτερες αγκύλες -αν μετρήσεις- βγάζεις μηδέν. Αλλά δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν! Αυτή είναι μια απαγορευμένη πράξη στα μαθηματικά. Επομένως, δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα ούτε με αυτήν την έκφραση. Για οποιαδήποτε εργασία με μια τέτοια έκφραση, η απάντηση θα είναι πάντα η ίδια: "Η έκφραση δεν έχει νόημα!"
Για να δώσω μια τέτοια απάντηση, φυσικά, έπρεπε να υπολογίσω τι θα ήταν μέσα σε αγκύλες. Και μερικές φορές υπάρχουν πολλά πράγματα σε παρένθεση... Λοιπόν, δεν μπορείτε να κάνετε τίποτα για αυτό.
Δεν υπάρχουν τόσες πολλές απαγορευμένες πράξεις στα μαθηματικά. Υπάρχει μόνο ένα σε αυτό το θέμα. Διαίρεση με το μηδέν. Πρόσθετοι περιορισμοί που προκύπτουν σε ρίζες και λογάριθμους συζητούνται στα αντίστοιχα θέματα.
Λοιπόν, μια ιδέα για το τι είναι αριθμητική παράσταση- πήρε. Εννοια η αριθμητική έκφραση δεν έχει νόημα- συνειδητοποίησα. Ας προχωρήσουμε.
Αλγεβρικές εκφράσεις.
Αν εμφανίζονται γράμματα σε μια αριθμητική έκφραση, αυτή η έκφραση γίνεται... Η έκφραση γίνεται... Ναι! Γινεται αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα:
5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (α+β) 2; ...
Τέτοιες εκφράσεις λέγονται επίσης κυριολεκτικές εκφράσεις.Ή εκφράσεις με μεταβλητές.Είναι πρακτικά το ίδιο πράγμα. Εκφραση 5a +c, για παράδειγμα, και κυριολεκτική και αλγεβρική, και μια έκφραση με μεταβλητές.
Εννοια αλγεβρική έκφραση -ευρύτερο από το αριθμητικό. Το περιλαμβάνεικαι όλες τις αριθμητικές εκφράσεις. Εκείνοι. μια αριθμητική έκφραση είναι επίσης μια αλγεβρική έκφραση, μόνο χωρίς γράμματα. Κάθε ρέγγα είναι ψάρι, αλλά δεν είναι κάθε ψάρι ρέγγα...)
Γιατί αλφαβητικός- Είναι σαφές. Λοιπόν, αφού υπάρχουν γράμματα... Φράση έκφραση με μεταβλητέςΔεν είναι επίσης πολύ μπερδεμένο. Αν καταλαβαίνετε ότι κάτω από τα γράμματα κρύβονται αριθμοί. Όλα τα είδη αριθμών μπορούν να κρυφτούν κάτω από γράμματα... Και 5, και -18, και οτιδήποτε άλλο. Δηλαδή, ένα γράμμα μπορεί να είναι αντικαθιστώεπί διαφορετικούς αριθμούς. Γι' αυτό λέγονται τα γράμματα μεταβλητές.
Στην έκφραση y+5, Για παράδειγμα, στο- μεταβλητή τιμή. Ή απλά λένε " μεταβλητός", χωρίς τη λέξη «μέγεθος». Σε αντίθεση με το πέντε, που είναι σταθερή τιμή. Ή απλά - συνεχής.
Ορος αλγεβρική παράστασησημαίνει ότι για να δουλέψετε με αυτήν την έκφραση πρέπει να χρησιμοποιήσετε νόμους και κανόνες άλγεβρα. Αν αριθμητικήλειτουργεί με συγκεκριμένους αριθμούς, λοιπόν άλγεβρα- με όλους τους αριθμούς ταυτόχρονα. Ένα απλό παράδειγμα για διευκρίνιση.
Στην αριθμητική μπορούμε να το γράψουμε
Αλλά αν γράψουμε μια τέτοια ισότητα μέσω αλγεβρικών εκφράσεων:
α + β = β + α
θα αποφασίσουμε αμέσως Ολαερωτήσεις. Για όλους τους αριθμούςΕγκεφαλικό. Για κάθε τι άπειρο. Γιατί κάτω από τα γράμματα ΕΝΑΚαι σιυπονοείται Ολααριθμοί. Και όχι μόνο αριθμοί, αλλά ακόμη και άλλες μαθηματικές εκφράσεις. Έτσι λειτουργεί η άλγεβρα.
Πότε μια αλγεβρική έκφραση δεν έχει νόημα;
Τα πάντα σχετικά με την αριθμητική έκφραση είναι ξεκάθαρα. Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν εκεί. Και με γράμματα γίνεται να μάθουμε με τι χωρίζουμε;!
Ας πάρουμε για παράδειγμα αυτήν την έκφραση με μεταβλητές:
2: (ΕΝΑ - 5)
Βγαζει νοημα? Ποιός ξέρει? ΕΝΑ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ...
Οποιοδήποτε, οποιοδήποτε... Αλλά υπάρχει ένα νόημα ΕΝΑ, για την οποία αυτή η έκφραση ακριβώςδεν βγάζει νόημα! Και ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Ναί! Αυτό είναι 5! Αν η μεταβλητή ΕΝΑαντικαταστήστε (λένε «υποκατάστατο») με τον αριθμό 5, σε παρένθεση παίρνετε μηδέν. Που δεν μπορεί να χωριστεί. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι η έκφρασή μας δεν έχει νόημα, Αν α = 5. Αλλά για άλλες αξίες ΕΝΑβγαζει νοημα? Μπορείτε να αντικαταστήσετε άλλους αριθμούς;
Σίγουρα. Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε απλώς ότι η έκφραση
2: (ΕΝΑ - 5)
έχει νόημα για οποιεσδήποτε αξίες ΕΝΑ, εκτός από a = 5 .
Όλο το σύνολο των αριθμών που Μπορώη αντικατάσταση σε μια δεδομένη έκφραση ονομάζεται περιοχή αποδεκτές τιμές αυτή η έκφραση.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο. Εξετάζουμε την έκφραση με μεταβλητές και καταλαβαίνουμε: σε ποια τιμή της μεταβλητής προκύπτει η απαγορευμένη πράξη (διαίρεση με το μηδέν);
Και μετά φροντίστε να δείτε την ερώτηση της εργασίας. Τι ρωτάνε;
δεν έχει νόημα, το απαγορευμένο μας νόημα θα είναι η απάντηση.
Αν ρωτήσετε σε ποια τιμή μιας μεταβλητής η έκφραση έχει το νόημα(νιώστε τη διαφορά!), η απάντηση θα είναι όλους τους άλλους αριθμούςεκτός από το απαγορευμένο.
Γιατί χρειαζόμαστε το νόημα της έκφρασης; Είναι εκεί, δεν είναι... Ποια η διαφορά;! Το θέμα είναι ότι αυτή η έννοια γίνεται πολύ σημαντική στο λύκειο. Εξαιρετικά σημαντικό! Αυτή είναι η βάση για τέτοιες συμπαγείς έννοιες όπως ο τομέας των αποδεκτών τιμών ή ο τομέας μιας συνάρτησης. Χωρίς αυτό, δεν θα μπορείτε να λύσετε σοβαρές εξισώσεις ή ανισότητες καθόλου. Σαν αυτό.
Μετατροπή εκφράσεων. Μετασχηματισμοί ταυτότητας.
Μας γνωρίσαμε αριθμητικές και αλγεβρικές εκφράσεις. Καταλάβαμε τι σημαίνει η φράση «η έκφραση δεν έχει νόημα». Τώρα πρέπει να καταλάβουμε τι είναι μεταμόρφωση των εκφράσεων.Η απάντηση είναι απλή, σε σημείο ντροπής.) Πρόκειται για οποιαδήποτε ενέργεια με έκφραση. Αυτό είναι όλο. Αυτές τις μεταμορφώσεις κάνεις από την πρώτη δημοτικού.
Ας πάρουμε την cool αριθμητική έκφραση 3+5. Πώς μπορεί να μετατραπεί; Ναι, πολύ απλό! Υπολογίζω:
Αυτός ο υπολογισμός θα είναι ο μετασχηματισμός της έκφρασης. Μπορείτε να γράψετε την ίδια έκφραση διαφορετικά:
Εδώ δεν μετρήσαμε απολύτως τίποτα. Απλώς έγραψε την έκφραση σε διαφορετική μορφή.Αυτό θα είναι επίσης ένας μετασχηματισμός της έκφρασης. Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:
Και αυτό είναι επίσης μια μεταμόρφωση μιας έκφρασης. Μπορείτε να κάνετε όσες μεταμορφώσεις θέλετε.
Οποιοςδράση στην έκφραση όποιοςΗ σύνταξη του σε άλλη μορφή ονομάζεται μετασχηματισμός της έκφρασης. Και αυτό είναι όλο. Όλα είναι πολύ απλά. Αλλά υπάρχει ένα πράγμα εδώ πολύ σημαντικός κανόνας.Τόσο σημαντικό που μπορεί να ονομαστεί με ασφάλεια κύριος κανόναςόλα τα μαθηματικά. Παραβίαση αυτού του κανόνα αναπόφευκταοδηγεί σε σφάλματα. Μπαίνουμε σε αυτό;)
Ας πούμε ότι μεταμορφώσαμε την έκφρασή μας τυχαία, ως εξής:
Μετατροπή? Σίγουρα. Γράψαμε την έκφραση με διαφορετική μορφή, τι φταίει εδώ;
Δεν είναι έτσι.) Το θέμα είναι ότι οι μεταμορφώσεις "τυχαία"δεν ενδιαφέρονται καθόλου για τα μαθηματικά.) Όλα τα μαθηματικά χτίζονται σε μετασχηματισμούς στους οποίους εμφάνιση, αλλά η ουσία της έκφρασης δεν αλλάζει.Τρία συν πέντε μπορούν να γραφτούν με οποιαδήποτε μορφή, αλλά πρέπει να είναι οκτώ.
Μεταμορφώσεις, εκφράσεις που δεν αλλάζουν την ουσίαλέγονται πανομοιότυπο.
Ακριβώς μετασχηματισμοί ταυτότηταςκαι επιτρέψτε μας, βήμα προς βήμα, να μεταμορφωθούμε σύνθετο παράδειγμασε μια απλή έκφραση, τηρώντας την ουσία του παραδείγματος.Αν κάνουμε λάθος στην αλυσίδα των μετασχηματισμών, κάνουμε ΟΧΙ ταυτόσημο μετασχηματισμό, τότε θα αποφασίσουμε αλλοπαράδειγμα. Με άλλες απαντήσεις που δεν σχετίζονται με τις σωστές.)
Αυτός είναι ο κύριος κανόνας για την επίλυση οποιωνδήποτε εργασιών: διατήρηση της ταυτότητας των μετασχηματισμών.
Έδωσα ένα παράδειγμα με την αριθμητική έκφραση 3+5 για σαφήνεια. Στις αλγεβρικές εκφράσεις, οι μετασχηματισμοί ταυτότητας δίνονται με τύπους και κανόνες. Ας πούμε ότι στην άλγεβρα υπάρχει ένας τύπος:
a(b+c) = ab + ac
Αυτό σημαίνει ότι σε οποιοδήποτε παράδειγμα μπορούμε αντί για την έκφραση α(β+γ)μη διστάσετε να γράψετε μια έκφραση αβ + ακ. Και αντίστροφα. Αυτό ταυτόσημη μεταμόρφωση.Τα μαθηματικά μας δίνουν την επιλογή ανάμεσα σε αυτές τις δύο εκφράσεις. Και ποιο να γράψω - από συγκεκριμένο παράδειγμαΕξαρτάται.
Ενα άλλο παράδειγμα. Ένας από τους πιο σημαντικούς και απαραίτητους μετασχηματισμούς είναι η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Μπορείτε να δείτε τον σύνδεσμο για περισσότερες λεπτομέρειες, αλλά εδώ θα σας υπενθυμίσω απλώς τον κανόνα: Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, ή μια παράσταση που δεν είναι ίση με το μηδέν, το κλάσμα δεν θα αλλάξει.Ακολουθεί ένα παράδειγμα μετασχηματισμών ταυτότητας που χρησιμοποιούν αυτήν την ιδιότητα:
Όπως μάλλον μαντέψατε, αυτή η αλυσίδα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον...) Μια πολύ σημαντική ιδιότητα. Είναι αυτό που σας επιτρέπει να μετατρέψετε όλα τα είδη παραδειγμάτων τεράτων σε λευκά και χνουδωτά.)
Υπάρχουν πολλοί τύποι που ορίζουν πανομοιότυπους μετασχηματισμούς. Αλλά τα πιο σημαντικά είναι αρκετά λογικό ποσό. Ένας από τους βασικούς μετασχηματισμούς είναι η παραγοντοποίηση. Χρησιμοποιείται σε όλα τα μαθηματικά - από το δημοτικό έως το προχωρημένο. Ας ξεκινήσουμε με αυτόν. Στο επόμενο μάθημα.)
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Μια κυριολεκτική έκφραση (ή μεταβλητή έκφραση) είναι μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς, γράμματα και μαθηματικά σύμβολα. Για παράδειγμα, η ακόλουθη έκφραση είναι κυριολεκτική:
α+β+4
Χρησιμοποιώντας αλφαβητικές εκφράσεις μπορείτε να γράψετε νόμους, τύπους, εξισώσεις και συναρτήσεις. Η ικανότητα χειρισμού εκφράσεων γραμμάτων είναι το κλειδί για την καλή γνώση της άλγεβρας και των ανώτερων μαθηματικών.
Κάθε σοβαρό πρόβλημα στα μαθηματικά καταλήγει στην επίλυση εξισώσεων. Και για να μπορέσετε να λύσετε εξισώσεις, πρέπει να είστε σε θέση να εργαστείτε με κυριολεκτικές εκφράσεις.
Για να δουλέψετε με κυριολεκτικές εκφράσεις, πρέπει να είστε καλά γνώστες της βασικής αριθμητικής: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, βασικοί νόμοι των μαθηματικών, κλάσματα, πράξεις με κλάσματα, αναλογίες. Και όχι απλώς μελέτη, αλλά κατανόηση διεξοδικά.
Περιεχόμενο μαθήματοςΜεταβλητές
Τα γράμματα που περιέχονται σε κυριολεκτικές εκφράσεις ονομάζονται μεταβλητές. Για παράδειγμα, στην έκφραση α+β+4οι μεταβλητές είναι τα γράμματα έναΚαι σι. Αν αντικαταστήσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς αντί για αυτές τις μεταβλητές, τότε η κυριολεκτική έκφραση α+β+4θα μετατραπεί σε μια αριθμητική παράσταση της οποίας η τιμή μπορεί να βρεθεί.
Οι αριθμοί που αντικαθιστούν τις μεταβλητές καλούνται τιμές των μεταβλητών. Για παράδειγμα, ας αλλάξουμε τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι. Το σύμβολο ίσου χρησιμοποιείται για την αλλαγή τιμών
a = 2, b = 3
Έχουμε αλλάξει τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι. Μεταβλητός έναεκχωρήθηκε μια τιμή 2 , μεταβλητό σιεκχωρήθηκε μια τιμή 3 . Ως αποτέλεσμα, η κυριολεκτική έκφραση α+β+4μετατρέπεται σε κανονική αριθμητική έκφραση 2+3+4 του οποίου η τιμή μπορεί να βρεθεί:
2 + 3 + 4 = 9
Όταν οι μεταβλητές πολλαπλασιάζονται, γράφονται μαζί. Για παράδειγμα, εγγραφή αβσημαίνει το ίδιο με το λήμμα α×β. Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές έναΚαι σιαριθμοί 2 Και 3 , τότε παίρνουμε 6
2 × 3 = 6
Μπορείτε επίσης να γράψετε μαζί τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με μια παράσταση σε παρένθεση. Για παράδειγμα, αντί για a×(b + c)μπορεί να καταγραφεί α(β + γ). Εφαρμόζοντας τον νόμο κατανομής του πολλαπλασιασμού, προκύπτει a(b + c)=ab+ac.
Πιθανότητα
Σε κυριολεκτικές εκφράσεις μπορείτε συχνά να βρείτε μια σημείωση στην οποία ένας αριθμός και μια μεταβλητή γράφονται μαζί, για παράδειγμα 3α. Αυτό είναι στην πραγματικότητα μια συντομογραφία για τον πολλαπλασιασμό του αριθμού 3 με μια μεταβλητή. ένακαι αυτή η καταχώρηση μοιάζει 3×α .
Με άλλα λόγια η έκφραση 3αείναι το γινόμενο του αριθμού 3 και της μεταβλητής ένα. Αριθμός 3 σε αυτό το έργο καλούν συντελεστής. Αυτός ο συντελεστής δείχνει πόσες φορές θα αυξηθεί η μεταβλητή ένα. Αυτή η έκφραση μπορεί να διαβαστεί ως " ένατρεις φορές» ή «τρεις φορές ΕΝΑ", ή "αυξήστε την τιμή μιας μεταβλητής ένατρεις φορές», αλλά τις περισσότερες φορές διαβάζεται ως «τρεις ένα«
Για παράδειγμα, εάν η μεταβλητή έναίσο με 5 , τότε η τιμή της έκφρασης 3αθα είναι ίσο με 15.
3 × 5 = 15
Ομιλία σε απλή γλώσσα, ο συντελεστής είναι ο αριθμός που βρίσκεται πριν από το γράμμα (πριν από τη μεταβλητή).
Μπορεί να υπάρχουν πολλά γράμματα, για παράδειγμα 5αβ. Εδώ ο συντελεστής είναι ο αριθμός 5 . Αυτός ο συντελεστής δείχνει ότι το γινόμενο των μεταβλητών αλφάβητοπενταπλασιάζεται. Αυτή η έκφραση μπορεί να διαβαστεί ως " αλφάβητοπέντε φορές» ή «αυξήστε την αξία της έκφρασης αλφάβητοπέντε φορές» ή «πέντε αλφάβητο«.
Αν αντί για μεταβλητές αλφάβητοαντικαταστήστε τους αριθμούς 2, 3 και 4 και μετά την τιμή της παράστασης 5αβθα είναι ίσοι 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Μπορείτε να φανταστείτε διανοητικά πώς πολλαπλασιάστηκαν αρχικά οι αριθμοί 2, 3 και 4 και η τιμή που προέκυψε πενταπλασιάστηκε:
Το πρόσημο του συντελεστή αναφέρεται μόνο στον συντελεστή και δεν ισχύει για τις μεταβλητές.
Σκεφτείτε την έκφραση −6β. Μείον πριν από τον συντελεστή 6 , ισχύει μόνο για τον συντελεστή 6 , και δεν ανήκει στη μεταβλητή σι. Η κατανόηση αυτού του γεγονότος θα σας επιτρέψει να μην κάνετε λάθη στο μέλλον με σημάδια.
Ας βρούμε την αξία της έκφρασης −6βστο b = 3.
−6β −6×b. Για λόγους σαφήνειας, ας γράψουμε την έκφραση −6βσε διευρυμένη μορφή και αντικαταστήστε την τιμή της μεταβλητής σι
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης −6βστο b = −5
Ας γράψουμε την έκφραση −6βσε διευρυμένη μορφή
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης −5a+bστο α = 3Και b = 2
−5a+bαυτή είναι μια σύντομη φόρμα για −5 × a + b, οπότε για λόγους σαφήνειας γράφουμε την έκφραση −5×a+bσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών έναΚαι σι
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Μερικές φορές τα γράμματα γράφονται χωρίς συντελεστή, για παράδειγμα έναή αβ. Σε αυτή την περίπτωση, ο συντελεστής είναι μονάδα:
αλλά παραδοσιακά η μονάδα δεν είναι γραμμένη, έτσι απλά γράφουν έναή αβ
Εάν υπάρχει ένα μείον πριν από το γράμμα, τότε ο συντελεστής είναι ένας αριθμός −1 . Για παράδειγμα, η έκφραση −απραγματικά μοιάζει −1α. Αυτό είναι το γινόμενο του μείον ένα και της μεταβλητής ένα.Αποδείχθηκε έτσι:
−1 × a = −1a
Υπάρχει ένα μικρό αλιεύμα εδώ. Στην έκφραση −ασύμβολο μείον μπροστά από τη μεταβλητή έναστην πραγματικότητα αναφέρεται σε μια "αόρατη μονάδα" και όχι σε μια μεταβλητή ένα. Επομένως, θα πρέπει να είστε προσεκτικοί όταν επιλύετε προβλήματα.
Για παράδειγμα, αν δοθεί η έκφραση −ακαι μας ζητείται να βρούμε την τιμή του στο α = 2, τότε στο σχολείο αντικαταστήσαμε ένα δύο αντί για μια μεταβλητή ένακαι έλαβε απάντηση −2 , χωρίς να εστιάσουμε πολύ στο πώς εξελίχθηκε. Στην πραγματικότητα, μείον ένα πολλαπλασιάστηκε με τον θετικό αριθμό 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Αν δοθεί η έκφραση −ακαι πρέπει να βρείτε την αξία του a = −2, τότε αντικαθιστούμε −2 αντί για μεταβλητή ένα
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Για να αποφευχθούν λάθη, στην αρχή οι αόρατες μονάδες μπορούν να καταγραφούν ρητά.
Παράδειγμα 4.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης αλφάβητοστο a=2 , b=3Και c=4
Εκφραση αλφάβητο 1×a×b×c.Για λόγους σαφήνειας, ας γράψουμε την έκφραση αλφάβητο α, βΚαι ντο
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Παράδειγμα 5.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης αλφάβητοστο a=−2, b=−3Και c=−4
Ας γράψουμε την έκφραση αλφάβητοσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών α, βΚαι ντο
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Παράδειγμα 6.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης − αλφάβητοστο a=3, b=5 και c=7
Εκφραση − αλφάβητοαυτή είναι μια σύντομη φόρμα για −1×a×b×c.Για λόγους σαφήνειας, ας γράψουμε την έκφραση − αλφάβητοσε διευρυμένη μορφή και αντικαθιστούν τις τιμές των μεταβλητών α, βΚαι ντο
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Παράδειγμα 7.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης − αλφάβητοστο a=−2 , b=−4 και c=−3
Ας γράψουμε την έκφραση − αλφάβητοσε διευρυμένη μορφή:
−abc = −1 × a × b × c
Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές των μεταβλητών ένα , σιΚαι ντο
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Πώς να προσδιορίσετε τον συντελεστή
Μερικές φορές χρειάζεται να λύσετε ένα πρόβλημα στο οποίο πρέπει να προσδιορίσετε τον συντελεστή μιας έκφρασης. Βασικα, αυτή η εργασίαπολύ απλό. Αρκεί να μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους αριθμούς.
Για να προσδιορίσετε τον συντελεστή σε μια παράσταση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε ξεχωριστά τους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε αυτήν την έκφραση και να πολλαπλασιάσετε ξεχωριστά τα γράμματα. Ο αριθμητικός παράγοντας που προκύπτει θα είναι ο συντελεστής.
Παράδειγμα 1. 7m×5a×(−3)×n
Η έκφραση αποτελείται από πολλούς παράγοντες. Αυτό μπορεί να φανεί ξεκάθαρα αν γράψετε την έκφραση σε διευρυμένη μορφή. Δηλαδή τα έργα 7μΚαι 5αγράψτε το στη φόρμα 7×μΚαι 5×α
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Ας εφαρμόσουμε τον συνειρμικό νόμο του πολλαπλασιασμού, ο οποίος σας επιτρέπει να πολλαπλασιάσετε τους παράγοντες με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, θα πολλαπλασιάσουμε χωριστά τους αριθμούς και χωριστά θα πολλαπλασιάσουμε τα γράμματα (μεταβλητές):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 άτομα
Ο συντελεστής είναι −105 . Μετά την ολοκλήρωση, συνιστάται να τακτοποιήσετε το γράμμα με αλφαβητική σειρά:
−105 π.μ
Παράδειγμα 2.Να προσδιορίσετε τον συντελεστή στην παράσταση: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Ο συντελεστής είναι 6.
Παράδειγμα 3.Να προσδιορίσετε τον συντελεστή στην παράσταση: 
Ας πολλαπλασιάσουμε χωριστά αριθμούς και γράμματα:
Ο συντελεστής είναι −1. Λάβετε υπόψη ότι η μονάδα δεν καταγράφεται, καθώς συνηθίζεται να μην γράφετε τον συντελεστή 1.
Αυτές οι φαινομενικά απλούστερες εργασίες μπορούν να παίξουν ένα πολύ σκληρό αστείο μαζί μας. Συχνά αποδεικνύεται ότι το πρόσημο του συντελεστή έχει οριστεί εσφαλμένα: είτε λείπει το μείον είτε, αντίθετα, ορίστηκε μάταια. Για να αποφύγετε αυτά τα ενοχλητικά λάθη, πρέπει να μελετηθεί σε καλό επίπεδο.
Προσθήκες σε κυριολεκτικές εκφράσεις
Όταν προσθέτουμε πολλούς αριθμούς, προκύπτει το άθροισμα αυτών των αριθμών. Οι αριθμοί που προσθέτουν ονομάζονται προσθήκες. Μπορεί να υπάρχουν διάφοροι όροι, για παράδειγμα:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Όταν μια έκφραση αποτελείται από όρους, είναι πολύ πιο εύκολο να αξιολογηθεί γιατί η πρόσθεση είναι ευκολότερη από την αφαίρεση. Αλλά η έκφραση μπορεί να περιέχει όχι μόνο πρόσθεση, αλλά και αφαίρεση, για παράδειγμα:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
Σε αυτήν την έκφραση, οι αριθμοί 3 και 5 είναι υποκατηγορίες, όχι πρόσθετες. Όμως τίποτα δεν μας εμποδίζει να αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση. Στη συνέχεια, παίρνουμε πάλι μια έκφραση που αποτελείται από όρους:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Δεν έχει σημασία ότι οι αριθμοί −3 και −5 έχουν πλέον πρόσημο μείον. Το κύριο πράγμα είναι ότι όλοι οι αριθμοί σε αυτήν την έκφραση συνδέονται με ένα πρόσθετο πρόσημο, δηλαδή, η παράσταση είναι ένα άθροισμα.
Και οι δύο εκφράσεις 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Και 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) ίση με την ίδια τιμή - μείον ένα
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Έτσι, το νόημα της έκφρασης δεν θα υποφέρει αν κάπου αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση.
Μπορείτε επίσης να αντικαταστήσετε την αφαίρεση με πρόσθεση σε κυριολεκτικές εκφράσεις. Για παράδειγμα, εξετάστε την ακόλουθη έκφραση:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Για οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητών Α Β Γ ΔΚαι μικρόεκφράσεις 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Και 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) θα είναι ίση με την ίδια τιμή.
Πρέπει να είστε προετοιμασμένοι για το γεγονός ότι ένας δάσκαλος στο σχολείο ή ένας δάσκαλος σε ένα ινστιτούτο μπορεί να καλεί ζυγούς αριθμούς (ή μεταβλητές) που δεν είναι προσθήκες.
Για παράδειγμα, αν η διαφορά είναι γραμμένη στον πίνακα α − β, τότε ο δάσκαλος δεν θα το πει αυτό έναείναι ένα λεπτό, και σι- αφαιρέσιμο. Θα καλέσει και τις δύο μεταβλητές μία σε γενικές γραμμές — όροι. Και όλα αυτά επειδή η έκφραση της μορφής α − βο μαθηματικός βλέπει πώς το άθροισμα a+(−b). Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση γίνεται άθροισμα και οι μεταβλητές έναΚαι (−β)γίνονται όροι.
Παρόμοιοι όροι
Παρόμοιοι όροι- πρόκειται για όρους που έχουν το ίδιο γράμμα. Για παράδειγμα, εξετάστε την έκφραση 7α + 6β + 2α. Συστατικά 7αΚαι 2αέχουν το ίδιο γράμμα μέρος - μεταβλητή ένα. Οι όροι λοιπόν 7αΚαι 2αείναι παρόμοια.
Συνήθως, παρόμοιοι όροι προστίθενται για να απλοποιήσουν μια έκφραση ή να λύσουν μια εξίσωση. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται φέρνοντας παρόμοιους όρους.
Για να φέρετε παρόμοιους όρους, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές αυτών των όρων και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει με το μέρος του κοινού γράμματος.
Για παράδειγμα, ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους στην έκφραση 3α + 4α + 5α. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση, όλοι οι όροι είναι παρόμοιοι. Ας αθροίσουμε τους συντελεστές τους και ας πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος - με τη μεταβλητή ένα
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Παρόμοιοι όροι συνήθως λαμβάνονται υπόψη και το αποτέλεσμα καταγράφεται αμέσως:
3a + 4a + 5a = 12a
Επίσης, μπορεί κανείς να αιτιολογήσει ως εξής:
Υπήρχαν 3 μεταβλητές a , 4 ακόμη μεταβλητές a και 5 ακόμη μεταβλητές a προστέθηκαν σε αυτές. Ως αποτέλεσμα, πήραμε 12 μεταβλητές α
Ας δούμε πολλά παραδείγματα φέρνοντας παρόμοιους όρους. Λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτό το θέμα είναι πολύ σημαντικό, αρχικά θα καταγράψουμε κάθε μικρή λεπτομέρεια λεπτομερώς. Παρόλο που όλα είναι πολύ απλά εδώ, οι περισσότεροι άνθρωποι κάνουν πολλά λάθη. Κυρίως λόγω απροσεξίας, όχι άγνοιας.
Παράδειγμα 1. 3α + 2α + 6α + 8ένα
Ας αθροίσουμε τους συντελεστές σε αυτήν την παράσταση και ας πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
σχέδιο (3 + 2 + 6 + 8)×αΔεν χρειάζεται να το γράψετε, οπότε θα γράψουμε την απάντηση αμέσως
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Παράδειγμα 2.Δώστε παρόμοιους όρους στην έκφραση 2α+α
Δεύτερη περίοδος έναγραμμένο χωρίς συντελεστή, αλλά στην πραγματικότητα υπάρχει ένας συντελεστής μπροστά του 1 , το οποίο δεν βλέπουμε γιατί δεν είναι καταγεγραμμένο. Έτσι η έκφραση μοιάζει με αυτό:
2α + 1α
Τώρα ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή, αθροίζουμε τους συντελεστές και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
2α + α = 3α
2α+α, μπορείτε να σκεφτείτε διαφορετικά:
Παράδειγμα 3.Δώστε παρόμοιους όρους στην έκφραση 2a−a
Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση:
2a + (−a)
Δεύτερη περίοδος (−a)γραμμένο χωρίς συντελεστή, αλλά στην πραγματικότητα μοιάζει (−1a).Συντελεστής −1 πάλι αόρατο λόγω του ότι δεν καταγράφεται. Έτσι η έκφραση μοιάζει με αυτό:
2a + (−1a)
Τώρα ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Ας προσθέσουμε τους συντελεστές και ας πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Συνήθως γράφεται πιο σύντομα:
2a − a = a
Δίνοντας παρόμοιους όρους στην έκφραση 2a−aΜπορείτε να σκεφτείτε διαφορετικά:
Υπήρχαν 2 μεταβλητές a, αφαιρέστε μία μεταβλητή a, και ως αποτέλεσμα έμεινε μόνο μία μεταβλητή a
Παράδειγμα 4.Δώστε παρόμοιους όρους στην έκφραση 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Τώρα ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Ας προσθέσουμε τους συντελεστές και ας πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα με το συνολικό γράμμα
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Υπάρχουν εκφράσεις που περιέχουν αρκετές διάφορες ομάδεςπαρόμοιους όρους. Για παράδειγμα, 3α + 3β + 7α + 2β. Για τέτοιες εκφράσεις, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες όπως και για τις άλλες, δηλαδή προσθέτοντας τους συντελεστές και πολλαπλασιάζοντας το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος. Αλλά για να αποφύγετε λάθη, είναι βολικό διαφορετικές ομάδεςΟι όροι επισημαίνονται με διαφορετικές γραμμές.
Για παράδειγμα, στην έκφραση 3α + 3β + 7α + 2βτους όρους που περιέχουν μια μεταβλητή ένα, μπορούν να υπογραμμιστούν με μία γραμμή και οι όροι που περιέχουν μια μεταβλητή σι, μπορεί να τονιστεί με δύο γραμμές:
Τώρα μπορούμε να παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή, προσθέστε τους συντελεστές και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα που προκύπτει με το μέρος του συνολικού γράμματος. Αυτό πρέπει να γίνει και για τις δύο ομάδες όρων: για όρους που περιέχουν μια μεταβλητή ένακαι για όρους που περιέχουν μια μεταβλητή σι.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Και πάλι, επαναλαμβάνουμε, η έκφραση είναι απλή και παρόμοιοι όροι μπορούν να ληφθούν υπόψη:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Παράδειγμα 5.Δώστε παρόμοιους όρους στην έκφραση 5a − 6a −7b + β
Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Ας υπογραμμίσουμε παρόμοιους όρους με διαφορετικές γραμμές. Όροι που περιέχουν μεταβλητές έναυπογραμμίζουμε με μία γραμμή και οι όροι είναι τα περιεχόμενα των μεταβλητών σι, υπογραμμίστε με δύο γραμμές:
Τώρα μπορούμε να παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Δηλαδή, προσθέστε τους συντελεστές και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με το κοινό γράμμα:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Εάν η παράσταση περιέχει συνηθισμένους αριθμούς χωρίς συντελεστές γραμμάτων, τότε προστίθενται χωριστά.
Παράδειγμα 6.Δώστε παρόμοιους όρους στην έκφραση 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους. Αριθμοί −5 Και 7 δεν έχουν παράγοντες γράμματος, αλλά είναι παρόμοιοι όροι - απλώς πρέπει να προστεθούν. Και ο όρος 2βθα παραμείνει αμετάβλητο, αφού είναι το μόνο σε αυτή την έκφραση που έχει παράγοντα γράμμα σι,και δεν υπάρχει τίποτα να το προσθέσω με:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Οι όροι μπορούν να ταξινομηθούν έτσι ώστε οι όροι που έχουν το ίδιο γράμμα να βρίσκονται στο ίδιο μέρος της έκφρασης.
Παράδειγμα 7.Δώστε παρόμοιους όρους στην έκφραση 5t+2x+3x+5t+x
Δεδομένου ότι η έκφραση είναι ένα άθροισμα πολλών όρων, αυτό μας επιτρέπει να την αξιολογήσουμε με οποιαδήποτε σειρά. Επομένως, οι όροι που περιέχουν τη μεταβλητή t, μπορούν να γραφούν στην αρχή της έκφρασης και οι όροι που περιέχουν τη μεταβλητή Χστο τέλος της έκφρασης:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Τώρα μπορούμε να παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Το άθροισμα των αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. Αυτός ο κανόνας λειτουργεί επίσης για κυριολεκτικές εκφράσεις. Εάν η έκφραση περιέχει πανομοιότυπους όρους, αλλά με αντίθετα σημάδια, τότε μπορείτε να τους απαλλαγείτε στο στάδιο της μείωσης παρόμοιων όρων. Με άλλα λόγια, απλώς αφαιρέστε τα από την έκφραση, αφού το άθροισμά τους είναι μηδέν.
Παράδειγμα 8.Δώστε παρόμοιους όρους στην έκφραση 3t − 4t − 3t + 2t
Ας αντικαταστήσουμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου είναι δυνατόν:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Συστατικά 3tΚαι (−3t)είναι απέναντι. Το άθροισμα των αντίθετων όρων είναι μηδέν. Εάν αφαιρέσουμε αυτό το μηδέν από την παράσταση, η τιμή της παράστασης δεν θα αλλάξει, επομένως θα το αφαιρέσουμε. Και θα το αφαιρέσουμε απλώς διαγράφοντας τους όρους 3tΚαι (−3t)
Ως αποτέλεσμα, θα μας μείνει η έκφραση (−4t) + 2t. Σε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να προσθέσετε παρόμοιους όρους και να λάβετε την τελική απάντηση:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Ας γράψουμε εν συντομία τη λύση:
Απλοποίηση εκφράσεων
"απλοποιήστε την έκφραση" και παρακάτω είναι η έκφραση που πρέπει να απλοποιηθεί. Απλοποιήστε μια έκφρασησημαίνει να το κάνουμε πιο απλό και συντομότερο.
Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη απλοποιήσει εκφράσεις όταν μειώσουμε τα κλάσματα. Μετά τη μείωση, το κλάσμα έγινε πιο σύντομο και πιο κατανοητό.
Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Απλοποιήστε την έκφραση.
Αυτή η εργασία μπορεί κυριολεκτικά να κατανοηθεί ως εξής: "Εφαρμόστε οποιεσδήποτε έγκυρες ενέργειες σε αυτήν την έκφραση, αλλά κάντε την πιο απλή." .
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να μειώσετε το κλάσμα, δηλαδή να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με 2:
Τι άλλο μπορείς να κάνεις? Μπορείτε να υπολογίσετε το κλάσμα που προκύπτει. Τότε παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,5
Ως αποτέλεσμα, το κλάσμα απλοποιήθηκε στο 0,5.
Η πρώτη ερώτηση που πρέπει να κάνετε στον εαυτό σας όταν επιλύετε τέτοια προβλήματα πρέπει να είναι "Τί μπορεί να γίνει?" . Γιατί υπάρχουν ενέργειες που μπορείτε να κάνετε και υπάρχουν ενέργειες που δεν μπορείτε να κάνετε.
Αλλο σημαντικό σημείοΑυτό που πρέπει να θυμάστε είναι ότι η τιμή της έκφρασης δεν πρέπει να αλλάξει μετά την απλοποίηση της έκφρασης. Ας επιστρέψουμε στην έκφραση. Αυτή η έκφραση αντιπροσωπεύει μια διαίρεση που μπορεί να εκτελεστεί. Έχοντας εκτελέσει αυτή τη διαίρεση, παίρνουμε την τιμή αυτής της έκφρασης, η οποία είναι ίση με 0,5
Αλλά απλοποιήσαμε την έκφραση και πήραμε μια νέα απλοποιημένη έκφραση. Η τιμή της νέας απλοποιημένης έκφρασης εξακολουθεί να είναι 0,5
Αλλά προσπαθήσαμε επίσης να απλοποιήσουμε την έκφραση υπολογίζοντάς την. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε τελική απάντηση 0,5.
Έτσι, ανεξάρτητα από το πόσο απλοποιούμε την έκφραση, η τιμή των παραστάσεων που προκύπτουν είναι ίση με 0,5. Αυτό σημαίνει ότι η απλοποίηση πραγματοποιήθηκε σωστά σε κάθε στάδιο. Αυτό ακριβώς πρέπει να επιδιώκουμε όταν απλοποιούμε εκφράσεις - το νόημα της έκφρασης δεν πρέπει να υποφέρει από τις πράξεις μας.
Συχνά είναι απαραίτητο να απλοποιηθούν οι κυριολεκτικές εκφράσεις. Για αυτούς ισχύουν οι ίδιοι κανόνες απλοποίησης όπως και για τις αριθμητικές εκφράσεις. Μπορείτε να εκτελέσετε οποιεσδήποτε έγκυρες ενέργειες, αρκεί να μην αλλάξει η τιμή της έκφρασης.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1.Απλοποιήστε μια έκφραση 5,21 × t × 2,5
Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς χωριστά και να πολλαπλασιάσετε τα γράμματα χωριστά. Αυτή η εργασία μοιάζει πολύ με αυτήν που εξετάσαμε όταν μάθαμε να προσδιορίζουμε τον συντελεστή:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Η έκφραση λοιπόν 5,21 × t × 2,5απλοποιημένη σε 13.025ος.
Παράδειγμα 2.Απλοποιήστε μια έκφραση −0,4 × (−6,3b) × 2
Δεύτερο κομμάτι (−6,3b)μπορεί να μεταφραστεί σε μια μορφή κατανοητή σε εμάς, δηλαδή γραμμένη με τη μορφή ( −6,3)×b ,στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τους αριθμούς χωριστά και πολλαπλασιάστε τα γράμματα χωριστά:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Η έκφραση λοιπόν −0,4 × (−6,3b) × 2 απλοποιημένη σε 5.04β
Παράδειγμα 3.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Ας γράψουμε αυτή την έκφραση με περισσότερες λεπτομέρειες για να δούμε ξεκάθαρα πού είναι οι αριθμοί και πού τα γράμματα:
Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς χωριστά και ας πολλαπλασιάσουμε τα γράμματα χωριστά:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε −abc.Αυτή η λύση μπορεί να γραφτεί εν συντομία:
Όταν απλοποιούμε εκφράσεις, τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν κατά τη διάρκεια της διαδικασίας επίλυσης, και όχι στο τέλος, όπως κάναμε με τα συνηθισμένα κλάσματα. Για παράδειγμα, εάν κατά τη διάρκεια της επίλυσης συναντήσουμε μια έκφραση της μορφής , τότε δεν είναι καθόλου απαραίτητο να υπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και να κάνουμε κάτι σαν αυτό:
Ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί επιλέγοντας έναν παράγοντα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή και μειώνοντας αυτούς τους παράγοντες με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα τους. Με άλλα λόγια, χρήση στην οποία δεν περιγράφουμε λεπτομερώς σε τι χωρίστηκαν ο αριθμητής και ο παρονομαστής.
Για παράδειγμα, στον αριθμητή ο παράγοντας είναι 12 και στον παρονομαστή ο παράγοντας 4 μπορεί να μειωθεί κατά 4. Κρατάμε το τέσσερα στο μυαλό μας και διαιρώντας το 12 και το 4 με αυτό το τέσσερα, γράφουμε τις απαντήσεις δίπλα σε αυτούς τους αριθμούς, έχοντας πρώτα τα διαγράψει
Τώρα μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους μικρούς παράγοντες που προκύπτουν. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι λίγα από αυτά και μπορείτε να τα πολλαπλασιάσετε στο μυαλό σας:
Με την πάροδο του χρόνου, μπορεί να διαπιστώσετε ότι κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, οι εκφράσεις αρχίζουν να «παχαίνουν», επομένως είναι σκόπιμο να συνηθίσετε σε γρήγορους υπολογισμούς. Ό,τι μπορεί να υπολογιστεί στο μυαλό πρέπει να υπολογίζεται στο μυαλό. Ό,τι μπορεί να μειωθεί γρήγορα πρέπει να μειωθεί γρήγορα.
Παράδειγμα 4.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε
Παράδειγμα 5.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Ας πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς χωριστά και τα γράμματα χωριστά:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε μν.
Παράδειγμα 6.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Ας γράψουμε αυτή την έκφραση με περισσότερες λεπτομέρειες για να δούμε ξεκάθαρα πού είναι οι αριθμοί και πού τα γράμματα:
Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς χωριστά και τα γράμματα χωριστά. Για ευκολία υπολογισμού, το δεκαδικό κλάσμα −6,4 και ένας μικτός αριθμός μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε
Η λύση για αυτό το παράδειγμα μπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομη. Θα μοιάζει με αυτό:
Παράδειγμα 7.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Ας πολλαπλασιάσουμε χωριστά αριθμούς και χωριστά γράμματα. Για ευκολία υπολογισμού, ένας μεικτός αριθμός και δεκαδικάΤα 0,1 και 0,6 μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε Α Β Γ Δ. Αν παραλείψετε τις λεπτομέρειες, τότε αυτή την απόφασημπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομα:
Παρατηρήστε πώς το κλάσμα έχει μειωθεί. Νέοι παράγοντες που προκύπτουν ως αποτέλεσμα μείωσης προηγούμενων παραγόντων επιτρέπεται επίσης να μειωθούν.
Τώρα ας μιλήσουμε για το τι δεν πρέπει να κάνουμε. Κατά την απλοποίηση παραστάσεων, απαγορεύεται αυστηρά ο πολλαπλασιασμός αριθμών και γραμμάτων εάν η παράσταση είναι άθροισμα και όχι γινόμενο.
Για παράδειγμα, εάν θέλετε να απλοποιήσετε την έκφραση 5α+4β, τότε δεν μπορείτε να το γράψετε ως εξής:
Αυτό είναι το ίδιο σαν να μας ζητούσαν να προσθέσουμε δύο αριθμούς και να τους πολλαπλασιάσουμε αντί να τους προσθέσουμε.
Κατά την αντικατάσταση οποιωνδήποτε μεταβλητών τιμών έναΚαι σιέκφραση 5α +4βμετατρέπεται σε μια συνηθισμένη αριθμητική έκφραση. Ας υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές έναΚαι σιέχουν τις ακόλουθες έννοιες:
a = 2, b = 3
Τότε η τιμή της παράστασης θα είναι ίση με 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Αρχικά, εκτελείται ο πολλαπλασιασμός και στη συνέχεια προστίθενται τα αποτελέσματα. Και αν προσπαθούσαμε να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση πολλαπλασιάζοντας αριθμούς και γράμματα, θα παίρναμε τα εξής:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Αποδεικνύεται μια εντελώς διαφορετική έννοια της έκφρασης. Στην πρώτη περίπτωση λειτούργησε 22 , στη δεύτερη περίπτωση 120 . Αυτό σημαίνει ότι η απλοποίηση της έκφρασης 5α+4βεκτελέστηκε λανθασμένα.
Μετά την απλοποίηση της έκφρασης, η τιμή της δεν πρέπει να αλλάξει με τις ίδιες τιμές των μεταβλητών. Εάν, κατά την αντικατάσταση οποιωνδήποτε μεταβλητών τιμών στην αρχική έκφραση, προκύπτει μία τιμή, τότε μετά την απλοποίηση της έκφρασης, θα πρέπει να ληφθεί η ίδια τιμή όπως πριν από την απλοποίηση.
Με έκφραση 5α+4βπραγματικά δεν μπορείς να κάνεις τίποτα. Δεν το απλοποιεί.
Εάν μια έκφραση περιέχει παρόμοιους όρους, τότε μπορούν να προστεθούν εάν στόχος μας είναι να απλοποιήσουμε την έκφραση.
Παράδειγμα 8.Απλοποιήστε μια έκφραση 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
ή μικρότερη: 0,3a − 0,4a + a = 0,9α
Η έκφραση λοιπόν 0,3a−0,4a+aαπλοποιημένη σε 0,9α
Παράδειγμα 9.Απλοποιήστε μια έκφραση −7,5a − 2,5b + 4a
Για να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση, μπορούμε να προσθέσουμε παρόμοιους όρους:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
ή μικρότερη −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Ορος (−2,5b)παρέμεινε αμετάβλητο γιατί δεν υπήρχε τίποτα να το βάλεις.
Παράδειγμα 10.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Για να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση, μπορούμε να προσθέσουμε παρόμοιους όρους:
Ο συντελεστής ήταν για ευκολία υπολογισμού.
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε
Παράδειγμα 11.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Για να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση, μπορούμε να προσθέσουμε παρόμοιους όρους:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένο σε .
Σε αυτό το παράδειγμα, θα ήταν πιο κατάλληλο να προσθέσουμε πρώτα τον πρώτο και τον τελευταίο συντελεστή. Σε αυτή την περίπτωση θα είχαμε μια σύντομη λύση. Θα μοιάζει με αυτό:
Παράδειγμα 12.Απλοποιήστε μια έκφραση 
Για να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση, μπορούμε να προσθέσουμε παρόμοιους όρους:
Η έκφραση λοιπόν απλοποιημένη σε 
.
Ο όρος παρέμεινε αμετάβλητος, αφού δεν υπήρχε τίποτα να τον προσθέσω.
Αυτή η λύση μπορεί να γραφτεί πολύ πιο σύντομα. Θα μοιάζει με αυτό:
Η σύντομη λύση παρέλειψε τα βήματα της αντικατάστασης της αφαίρεσης με την πρόσθεση και της λεπτομέρειας του τρόπου με τον οποίο τα κλάσματα μειώθηκαν σε έναν κοινό παρονομαστή.
Μια άλλη διαφορά είναι ότι σε αναλυτική λύσηη απάντηση μοιάζει , αλλά εν συντομία ως . Στην πραγματικότητα, είναι η ίδια έκφραση. Η διαφορά είναι ότι στην πρώτη περίπτωση, η αφαίρεση αντικαθίσταται από την πρόσθεση, γιατί στην αρχή, όταν καταγράψαμε τη λύση σε λεπτομερή μορφή, αντικαταστήσαμε την αφαίρεση με την πρόσθεση όπου ήταν δυνατόν, και αυτή η αντικατάσταση διατηρήθηκε για την απάντηση.
Ταυτότητες. Πανομοιότυπα ίσες εκφράσεις
Μόλις απλοποιήσουμε οποιαδήποτε έκφραση, γίνεται πιο απλή και πιο σύντομη. Για να ελέγξετε εάν η απλοποιημένη έκφραση είναι σωστή, αρκεί να αντικαταστήσετε οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητής πρώτα στην προηγούμενη έκφραση που έπρεπε να απλοποιηθεί και στη συνέχεια στη νέα που απλοποιήθηκε. Εάν η τιμή και στις δύο παραστάσεις είναι η ίδια, τότε η απλοποιημένη έκφραση είναι αληθής.
Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Ας είναι απαραίτητο να απλοποιηθεί η έκφραση 2a×7b. Για να απλοποιήσετε αυτήν την έκφραση, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αριθμούς και γράμματα χωριστά:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Ας ελέγξουμε αν απλοποιήσαμε σωστά την έκφραση. Για να γίνει αυτό, ας αντικαταστήσουμε τυχόν τιμές των μεταβλητών έναΚαι σιπρώτα στην πρώτη έκφραση που έπρεπε να απλοποιηθεί και μετά στη δεύτερη, η οποία απλοποιήθηκε.
Αφήστε τις τιμές των μεταβλητών ένα , σιθα είναι ως εξής:
a = 4, b = 5
Ας τα αντικαταστήσουμε στην πρώτη έκφραση 2a×7b
Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις ίδιες τιμές μεταβλητής στην έκφραση που προέκυψε από την απλοποίηση 2a×7b, δηλαδή στην έκφραση 14αβ
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Το βλέπουμε όταν a=4Και b=5αξία της πρώτης έκφρασης 2a×7bκαι το νόημα της δεύτερης έκφρασης 14αβίσος
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Το ίδιο θα συμβεί και για οποιεσδήποτε άλλες τιμές. Για παράδειγμα, ας a=1Και b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Έτσι, για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών έκφρασης 2a×7bΚαι 14αβισούνται με την ίδια τιμή. Τέτοιες εκφράσεις λέγονται πανομοιότυπα ίσα.
Συμπεραίνουμε ότι ανάμεσα στις εκφράσεις 2a×7bΚαι 14αβμπορείς να βάλεις ίσο γιατί είναι ίσα με την ίδια τιμή.
2a × 7b = 14ab
Ισότητα είναι κάθε έκφραση που συνδέεται με σύμβολο ίσου (=).
Και ισότητα μορφής 2a×7b = 14abπου ονομάζεται Ταυτότητα.
Μια ταυτότητα είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών.
Άλλα παραδείγματα ταυτοτήτων:
α + β = β + α
a(b+c) = ab + ac
α(βγ) = (αβ)γ
Ναι, οι νόμοι των μαθηματικών που μελετήσαμε είναι ταυτότητες.
Οι αληθινές αριθμητικές ισότητες είναι επίσης ταυτότητες. Για παράδειγμα:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Αποφασίζοντας δύσκολη εργασίαΓια να διευκολυνθεί ο υπολογισμός, η σύνθετη παράσταση αντικαθίσταται με μια απλούστερη έκφραση που είναι πανομοιότυπη με την προηγούμενη. Αυτή η αντικατάσταση ονομάζεται ταυτόσημος μετασχηματισμός της έκφρασηςή απλά μεταμορφώνοντας την έκφραση.
Για παράδειγμα, απλοποιήσαμε την έκφραση 2a×7b, και πήρε μια πιο απλή έκφραση 14αβ. Αυτή η απλοποίηση μπορεί να ονομαστεί μετασχηματισμός ταυτότητας.
Μπορείτε συχνά να βρείτε μια εργασία που λέει «Αποδείξει ότι η ισότητα είναι ταυτότητα» και μετά δίνεται η ισότητα που πρέπει να αποδειχθεί. Συνήθως αυτή η ισότητα αποτελείται από δύο μέρη: το αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας. Το καθήκον μας είναι να πραγματοποιήσουμε μετασχηματισμούς ταυτότητας με ένα από τα μέρη της ισότητας και να αποκτήσουμε το άλλο μέρος. Ή εκτελέστε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και στις δύο πλευρές της ισότητας και βεβαιωθείτε ότι και οι δύο πλευρές της ισότητας περιέχουν τις ίδιες εκφράσεις.
Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι η ισότητα 0,5a × 5b = 2,5abείναι ταυτότητα.
Ας απλοποιήσουμε την αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς και τα γράμματα χωριστά:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Ως αποτέλεσμα ενός μικρού μετασχηματισμού ταυτότητας, αριστερή πλευράη ισότητα έγινε ίση με τη δεξιά πλευρά της ισότητας. Έτσι έχουμε αποδείξει ότι η ισότητα 0,5a × 5b = 2,5abείναι ταυτότητα.
Από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς μάθαμε να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε αριθμούς, να μειώνουμε κλάσματα, να προσθέτουμε παρόμοιους όρους και επίσης να απλοποιούμε ορισμένες εκφράσεις.
Αλλά αυτοί δεν είναι όλοι οι ίδιοι μετασχηματισμοί που υπάρχουν στα μαθηματικά. Υπάρχουν πολλοί ακόμη ίδιοι μετασχηματισμοί. Αυτό θα το δούμε περισσότερες από μία φορές στο μέλλον.
Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:
Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα VKontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα
Αριθμητικές εκφράσεις, μετατροπή αριθμητικών εκφράσεων (ορθολογικές και παράλογες). Οι φιλοι! Αυτό το άρθρο σας παρέχει τη λύση στα αριθμητικά ορθολογικά και παράλογες εκφράσεις. Αυτές είναι απλές εργασίες για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά· αρκεί να γνωρίζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων και των ριζών. Πρέπει επίσης να είστε σε θέση να εργαστείτε με κλάσματα (να βρείτε το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο, το πηλίκο τους). Η διαδικασία επίλυσης μιας τέτοιας εργασίας διαρκεί περίπου δύο λεπτά, όχι περισσότερο.Όχι πολλή θεωρία:
Σε απλή (μη μαθηματική) γλώσσα ορθολογικές εκφράσειςΑυτές είναι ακέραιες και κλασματικές εκφράσεις. Οι κλασματικές εκφράσεις συζητούνται παρακάτω.
Μια αλγεβρική έκφραση ονομάζεται παράλογη, αν στην έκφραση, μαζί με τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, εκτελείται και η πράξη της ανύψωσης σε μια λογική (όχι ακέραια) δύναμη.
Ένα συνηθισμένο κλάσμα είναι μια αναλογία της μορφής:
*Η ΣΧΕΣΗ είναι μια ενέργεια - ΔΙΙΧΡΩΣΗ (στην περίπτωση αυτή, το "a" διαιρείται με το "β").
Μπορεί επίσης να γραφτεί ως: a/b ή a:b (κάθετο και το σύμβολο ":" σημαίνει διαίρεση). Παραδείγματα κοινών κλασμάτων:
Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός 4 μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα 4/1. Υπάρχουν κλάσματα που μπορούν να μειωθούν, για παράδειγμα, 48/8 = 6. Μερικά μπορούν να αναπαρασταθούν ως τελικοί δεκαδικοί: ½ = 0,5 ¼ = 0,25.
Αν έχουμε έναν ακέραιο με ένα κλασματικό μέρος (μικτό κλάσμα) και πρέπει να εκτελέσουμε μια ενέργεια, τότε πρέπει να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα. Πως?
Έχουμε μια σειρά από τη φόρμα:
Για να πάρουμε έναν κλασματικό αριθμό ίσο με αυτόν, πολλαπλασιάζουμε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή και προσθέτουμε τον αριθμητή, γράφουμε το αποτέλεσμα στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος:
Για παράδειγμα:
Εάν πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα (διαφορά) δύο κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να μετατρέψετε τα κλάσματα σε τέτοια μορφή ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίσοι:
*Δηλαδή λάβαμε κοινό παρονομαστήπολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου. Δεν αναφέρω επίτηδες εδώ το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο γιατί για κάποιους που εγκατέλειψαν το σχολείο «πολύ καιρό» μπορεί να υπάρχει υπερφόρτωση πληροφοριών.
Το όλο θέμα της ενέργειας είναι να φέρει τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, αφού δεν μπορούν να προστεθούν κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Εάν τα κλάσματα έχουν κοινό παρονομαστή, τότε το αποτέλεσμα του αθροίσματος των κλασμάτων θα είναι ένα κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή και προστίθενται οι αριθμητές.
Εάν πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο δύο κλασμάτων, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμητών αυτών των κλασμάτων και ο παρονομαστής είναι ίσος με το γινόμενο των παρονομαστών:
Εάν ένα κλάσμα πρέπει να διαιρεθεί με ένα άλλο, τότε αυτή η ενέργεια καταλήγει στο γινόμενο του μερίσματος και στο αντίστροφο του διαιρέτη:
*Δηλαδή με απλά λόγια «αναποδογυρίζουμε» το κλάσμα με το οποίο διαιρούμε και αντικαθιστούμε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό.
Οι ιδιότητες του βαθμού και της ρίζας μπορούν να προβληθούν.
Ας δούμε τις εργασίες:
77387. Βρείτε την τιμή της παράστασης
Απάντηση: 8
77389. Βρείτε την τιμή της παράστασης
Απάντηση: 5
77391. Βρείτε την τιμή της παράστασης
Απάντηση: 10
77392. Βρείτε την τιμή της παράστασης
*Σε αυτό το πρόβλημα δεν χρειάζεται να υπολογίσετε τα γινόμενα και μετά την αναλογία. Κοιτάζοντας τους αριθμούς μπορείτε να δείτε ότι συρρικνώνονται όμορφα. Αρκεί να γίνουν απλοί μετασχηματισμοί και το παράδειγμα υπολογίζεται προφορικά.
Απάντηση: 10
86983. Βρείτε την τιμή της παράστασης
Απλοποιήστε χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων
και υπολογίστε:
Απάντηση: 702
61513. Βρείτε την τιμή της παράστασης
Απάντηση: 24
62385. Βρείτε την τιμή της παράστασης
Απάντηση: 2
62647. Βρείτε την τιμή της παράστασης
Απάντηση: 2
68141. Βρε
Ας προσδιορίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή:
Ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή. Αυτό σημαίνει ότι η αναλογία είναι ίση με ένα:
Απάντηση: 1
26745. Βρείτε την τιμή της παράστασης
*Αν οι ρίζες έχουν διαφορετικούς βαθμούς, τότε οι μετασχηματισμοί που περιλαμβάνουν την εισαγωγή εκφράσεων κάτω από μια ρίζα δεν μπορούν να εκτελεστούν. Απαιτείται να φέρουμε όλες τις ρίζες σε ίσους βαθμούς. Χρησιμοποιούμε το ακίνητο:
Απάντηση: 1
77405. Βρείτε την τιμή της παράστασης
*Επί τελικό στάδιομεταχειρισμένος:
Απάντηση: 7
Θα είναι χρήσιμο με επιδεικτικές εκφράσεις.
26900. Να βρείτε την τιμή της παράστασης
Μία από τις έννοιες στην άλγεβρα της 7ης τάξης είναι οι αριθμητικές εκφράσεις. Χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων. Τι είναι οι αριθμητικές εκφράσεις και πώς να τις χρησιμοποιήσουμε;
Ορισμός της έννοιας
Ποια έκφραση είναι αριθμητική έκφραση στην άλγεβρα; Με αυτόν τον τρόπο ορίζουν μια εγγραφή που αποτελείται από αριθμούς, αγκύλες και σημεία για αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση και πρόσθεση.
Η έννοια της αριθμητικής έκφρασης επιτρέπεται μόνο εάν η καταχώρηση φέρει σημασιολογικό φορτίο. Για παράδειγμα, η καταχώρηση 4-) δεν είναι αριθμητική έκφραση γιατί δεν έχει νόημα.
Παραδείγματα αριθμητικών παραστάσεων:
- 25x13;
- 32-4+8;
- 12x (25-5).
Χαρακτηριστικά της έννοιας
Μια αριθμητική παράσταση έχει πολλές ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για την επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων. Ας δούμε αυτές τις ιδιότητες με περισσότερες λεπτομέρειες. Για να το κάνετε αυτό, ας πάρουμε το ακόλουθο παράδειγμα - 45+21-(6x2).
Εννοια
Δεδομένου ότι μια αριθμητική παράσταση περιέχει σημάδια διαφόρων αριθμητικών πράξεων, μπορούν να εκτελεστούν και το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός. Αυτό ονομάζεται τιμή μιας αριθμητικής παράστασης. Πώς υπολογίζονται οι τιμές μιας αριθμητικής παράστασης; Αντιστοιχεί στους κανόνες για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων:
- σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση εκτελέστε ενέργειες ξεκινώντας από υψηλότερα επίπεδα– πολλαπλασιασμός, διαίρεση, πρόσθεση, αφαίρεση.
- εάν υπάρχουν πολλές ίδιες ενέργειες, εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
- Εάν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελέστε πρώτα ενέργειες σε αυτές.
- Κατά τον υπολογισμό των κλασμάτων, εκτελέστε πρώτα τις πράξεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή και μετά διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
Ας εφαρμόσουμε αυτούς τους κανόνες στο παράδειγμά μας.
- Αρχικά, ας βρούμε την τιμή σε αγκύλες: 6x2=12.
- Μετά κάνουμε την πρόσθεση: 45+21=66.
- Το τελευταίο βήμα είναι να βρείτε τη διαφορά: 66-12=54.
Άρα, ο αριθμός 54 θα είναι η τιμή της παράστασης 45+21-(6x2).
Για να διαβάσετε σωστά μια αριθμητική παράσταση, πρέπει να καθορίσετε ποια ενέργεια θα είναι η τελευταία στους υπολογισμούς. Στην έκφραση 45+21-(6x2), η τελευταία ενέργεια ήταν η αφαίρεση. Κατά συνέπεια, αυτή η έκφραση θα πρέπει να ονομάζεται «διαφορά». Εάν αντί για το σύμβολο «-» υπήρχε ένα σύμβολο «+», η έκφραση θα ονομαζόταν άθροισμα.
Εάν μια έκφραση δεν μπορεί να μετρηθεί, λέγεται ότι δεν έχει νόημα. Για παράδειγμα, η ακόλουθη έκφραση δεν έχει νόημα: 12:(4-4). Σε παρένθεση, η διαφορά είναι μηδέν. Αλλά σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι είναι αδύνατο να βρεθεί το νόημα της έκφρασης.
Ισότητα
Αυτό είναι το όνομα που δίνεται σε μια εγγραφή στην οποία δύο αριθμητικές εκφράσεις χωρίζονται με το σύμβολο "=". Για παράδειγμα, 45+21-(6x2)=66-12. Και τα δύο μέρη της εγγραφής είναι ίσα με τον αριθμό 54, που σημαίνει ότι είναι ίσα μεταξύ τους. Μια τέτοια ισότητα ονομάζεται αληθινή.
Αν γράψετε 45+21-(6x2)=35+12, αυτή η ισότητα θα είναι λανθασμένη. Στην αριστερή πλευρά της ισότητας η τιμή της έκφρασης είναι 54 και στη δεξιά - 57. Αυτοί οι αριθμοί δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει ότι η ισότητα είναι ψευδής.
Δείγμα εργασίας
Για να κατανοήσουμε καλύτερα το θέμα, ας δούμε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος. Πώς να λύσετε ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια αριθμητική παράσταση;
Δεδομένα: δύο αυτοκίνητα φεύγουν από το ένα σημείο στο άλλο. Θα πάρουν διαφορετικούς δρόμους. Το ένα αυτοκίνητο πρέπει να διανύσει 35 km και το άλλο - 42 km. Το πρώτο αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 70 χλμ/ώρα και το δεύτερο με 84 χλμ/ώρα Θα φτάσουν στον προορισμό τους την ίδια ώρα;
Λύση: Πρέπει να δημιουργήσετε δύο αριθμητικές εκφράσεις για να βρείτε τον χρόνο ταξιδιού για κάθε αυτοκίνητο. Αν αποδειχθούν τα ίδια, σημαίνει ότι τα αυτοκίνητα θα φτάσουν στον τελικό προορισμό την ίδια ώρα. Για να βρείτε τον χρόνο, πρέπει να διαιρέσετε την απόσταση με την ταχύτητα. 35 χλμ.: 70 χλμ./ώρα=0,5 ώρα 42 χλμ.: 84 χλμ./ώρα=0,5 ώρα.
Έτσι, και τα δύο αυτοκίνητα έφτασαν στον τελικό τους προορισμό σε μισή ώρα.
Τι μάθαμε;
Από το θέμα της άλγεβρας που μελετήθηκε στην 7η δημοτικού, μάθαμε ότι μια αριθμητική έκφραση είναι ένας συμβολισμός που αποτελείται από αριθμούς και σημεία αριθμητικών πράξεων. Μπορείτε να λύσετε προβλήματα χρησιμοποιώντας αριθμητικές παραστάσεις. Εάν η τελευταία ενέργεια σε μια αριθμητική παράσταση ήταν η αφαίρεση, τότε ονομάζεται «διαφορά». Αν αντί για το πρόσημο «-» υπάρχει το σύμβολο «+», η έκφραση ονομάζεται άθροισμα.