Σε ένα από τα προηγούμενα άρθρα αναφέραμε ήδη τη δύναμη ενός αριθμού. Σήμερα θα προσπαθήσουμε να πλοηγηθούμε στη διαδικασία εύρεσης του νοήματός του. Επιστημονικά μιλώντας, θα καταλάβουμε πώς να ανεβάσουμε μια δύναμη σωστά. Θα καταλάβουμε πώς πραγματοποιείται αυτή η διαδικασία και ταυτόχρονα θα αγγίξουμε όλους τους πιθανούς εκθέτες: φυσικούς, παράλογους, ορθολογικούς, ακέραιους.

Λοιπόν, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στις λύσεις στα παραδείγματα και ας μάθουμε τι σημαίνει:

1. Ορισμός της έννοιας.
2. Ανέβασμα στην αρνητική τέχνη.
3. Ένας ολόκληρος δείκτης.
4. Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε μια παράλογη δύναμη.

Ακολουθεί ένας ορισμός που αντικατοπτρίζει επακριβώς το νόημα: "Η εκθετικότητα είναι ο ορισμός της τιμής μιας δύναμης ενός αριθμού."

Αντίστοιχα, η αύξηση του αριθμού α στο Άρθ. Το r και η διαδικασία εύρεσης της τιμής του βαθμού α με τον εκθέτη r είναι πανομοιότυπες έννοιες. Για παράδειγμα, εάν η εργασία είναι να υπολογίσετε την τιμή της ισχύος (0,6)6″, τότε μπορεί να απλοποιηθεί στην έκφραση "Αυξήστε τον αριθμό 0,6 στη δύναμη του 6".

Μετά από αυτό, μπορείτε να προχωρήσετε απευθείας στους κανόνες κατασκευής.

Ανέβασμα σε αρνητική δύναμη

Για λόγους σαφήνειας, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στην ακόλουθη αλυσίδα εκφράσεων:

110=0,1=1* 10 μείον 1 κ.σ.,

1100=0,01=1*10 σε μείον 2 μοίρες,

11000=0,0001=1*10 σε μείον 3 st.,

110000=0,00001=1*10 έως μείον 4 μοίρες.

Χάρη σε αυτά τα παραδείγματα, μπορείτε να δείτε ξεκάθαρα τη δυνατότητα να υπολογίζετε άμεσα το 10 σε οποιοδήποτε μείον βαθμό. Για το σκοπό αυτό, αρκεί απλώς να μετατοπίσετε το δεκαδικό στοιχείο:

• 10 έως -1 βαθμό - πριν από το ένα υπάρχει 1 μηδέν.
• σε -3 - τρία μηδενικά πριν από ένα.
• στο -9 υπάρχουν 9 μηδενικά κ.ο.κ.

Είναι επίσης εύκολο να καταλάβει κανείς από αυτό το διάγραμμα πόσα θα είναι 10 μείον 5 κ.σ. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη

Υπενθυμίζοντας τον ορισμό, λαμβάνουμε υπόψη ότι ο φυσικός αριθμός α στο άρθ. n ισούται με το γινόμενο n παραγόντων, καθένας από τους οποίους ισούται με a. Ας δείξουμε: (a*a*…a)n, όπου n είναι ο αριθμός των αριθμών που πολλαπλασιάζονται. Αντίστοιχα, για να αυξηθεί το a στο n, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το γινόμενο της ακόλουθης μορφής: a*a*…a διαιρούμενο με n φορές.

Από αυτό γίνεται φανερό ότι υψώνοντας στο φυσικό αγ. βασίζεται στην ικανότητα πολλαπλασιασμού(αυτό το υλικό καλύπτεται στην ενότητα για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών). Ας δούμε το πρόβλημα:

Ανεβάστε -2 στην 4η οδό.

Έχουμε να κάνουμε με έναν φυσικό δείκτη. Κατά συνέπεια, η πορεία της απόφασης θα έχει ως εξής: (-2) στο άρθ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Τώρα το μόνο που μένει είναι να πολλαπλασιάσουμε τους ακέραιους αριθμούς: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Παίρνουμε 16.

Απάντηση στο πρόβλημα:

(-2) στο Art. 4=16.

Παράδειγμα:

Υπολογίστε την τιμή: τρία σημεία δύο έβδομα στο τετράγωνο.

Αυτό το παράδειγμα είναι ίσο με το ακόλουθο γινόμενο: τρία σημεία δύο έβδομα πολλαπλασιαζόμενα επί τρία σημεία δύο έβδομα. Υπενθυμίζοντας πώς πολλαπλασιάζονται οι μικτές αριθμοί, ολοκληρώνουμε την κατασκευή:

• 3 βαθμοί 2 έβδομα πολλαπλασιασμένα με τον εαυτό τους.
• ισούται με 23 έβδομα πολλαπλασιαζόμενα επί 23 έβδομα.
• ισούται με 529 σαράντα ένατα.
• μειώνουμε και παίρνουμε 10 τριάντα εννέα σαράντα ένατα.

Απάντηση: 10 39/49

Όσον αφορά το ζήτημα της αύξησης σε έναν παράλογο εκθέτη, πρέπει να σημειωθεί ότι οι υπολογισμοί αρχίζουν να γίνονται μετά την ολοκλήρωση της προκαταρκτικής στρογγυλοποίησης της βάσης του βαθμού σε οποιοδήποτε ψηφίο που θα επέτρεπε τη λήψη της τιμής με δεδομένη ακρίβεια. Για παράδειγμα, πρέπει να τετραγωνίσουμε τον αριθμό P (pi).

Ξεκινάμε στρογγυλεύοντας το P στα εκατοστά και παίρνουμε:

P τετράγωνο = (3,14)2=9,8596. Ωστόσο, αν μειώσουμε το P στα δέκα χιλιοστά, παίρνουμε P = 3,14159. Τότε ο τετραγωνισμός δίνει έναν εντελώς διαφορετικό αριθμό: 9,8695877281.

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι σε πολλά προβλήματα δεν χρειάζεται να ανεβάζουμε παράλογους αριθμούς σε δυνάμεις. Κατά κανόνα, η απάντηση εισάγεται είτε με τη μορφή του πραγματικού βαθμού, για παράδειγμα, τη ρίζα του 6 στη δύναμη του 3, είτε, εάν η έκφραση το επιτρέπει, πραγματοποιείται ο μετασχηματισμός της: ρίζα 5 έως 7 μοίρες = 125 ρίζα του 5.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια ακέραια δύναμη

Αυτός ο αλγεβρικός χειρισμός είναι κατάλληλος λαμβάνουν υπόψη τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• για ακέραιους αριθμούς?
• για μηδενικό δείκτη.
• για θετικό ακέραιο εκθέτη.

Δεδομένου ότι σχεδόν όλοι οι θετικοί ακέραιοι συμπίπτουν με τη μάζα των φυσικών αριθμών, η ρύθμιση σε θετική ακέραια ισχύ είναι η ίδια διαδικασία με τη ρύθμιση στο Art. φυσικός. Αυτή η διαδικασίαπεριγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο.

Τώρα ας μιλήσουμε για τον υπολογισμό του st. μηδενικό. Έχουμε ήδη ανακαλύψει παραπάνω ότι η μηδενική ισχύς του αριθμού a μπορεί να προσδιοριστεί για οποιοδήποτε μη μηδενικό a (πραγματικό), ενώ το a στο Art. Το 0 θα ισούται με 1.

Αντίστοιχα, η αύξηση οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού στο μηδέν st. θα δώσει ένα.

Για παράδειγμα, 10 σε st. 0=1, (-3,65)0=1, και 0 σε st. Το 0 δεν μπορεί να προσδιοριστεί.

Προκειμένου να ολοκληρωθεί η αύξηση σε μια ακέραια ισχύ, μένει να αποφασίσουμε για τις επιλογές για αρνητικές ακέραιες τιμές. Θυμόμαστε ότι η Τέχνη. από a με ακέραιο εκθέτη -z θα οριστεί ως κλάσμα. Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι st. με θετική ακέραια τιμή, την τιμή της οποίας έχουμε ήδη μάθει να βρίσκουμε. Τώρα το μόνο που μένει είναι να εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής.

Παράδειγμα:

Υπολογίστε την τιμή του αριθμού 2 σε κύβους με αρνητικό ακέραιο εκθέτη.

Διαδικασία λύσης:

Σύμφωνα με τον ορισμό ενός βαθμού με αρνητικό εκθέτη, συμβολίζουμε: δύο μείον 3 μοίρες. ισούται με ένα προς δύο προς την τρίτη δύναμη.

Ο παρονομαστής υπολογίζεται απλά: δύο κύβους.

3 = 2*2*2=8.

Απάντηση: δύο προς το μείον 3η τέχνη. = ένα όγδοο.

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού θα τα χρειαστείτε; Γιατί πρέπει να αφιερώσετε χρόνο για να τα μελετήσετε;

Για να μάθετε τα πάντα σχετικά με τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας Καθημερινή ζωήδιαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά στην επιτυχία περνώντας το OGEή την Ενιαία Κρατική Εξέταση και εισαγωγή στο πανεπιστήμιο των ονείρων σας.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν βλέπετε gobbledygook αντί για τύπους, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκθετικότητα είναι μια μαθηματική πράξη όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση.

Τώρα θα τα εξηγήσω όλα ανθρώπινη γλώσσαμε πολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Όλοι έχουν δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα είναι εκεί; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με κόλα μπορεί να γραφτεί διαφορετικά: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες. Αρχικά παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Ποια άλλα έξυπνα κόλπα μέτρησης έχουν βρει οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι... Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο κεφάλι τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, αυτό θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται δεύτερος βαθμός; τετράγωνοαριθμοί και το τρίτο - κύβος? Τι σημαίνει? Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με το τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη του αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα με διαστάσεις ένα μέτρο επί ένα μέτρο. Η πισίνα βρίσκεται στη ντάκα σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Όμως... η πισίνα δεν έχει πάτο! Πρέπει να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την κάτω περιοχή της πισίνας.

Μπορείτε απλά να υπολογίσετε δείχνοντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν έχετε πλακάκια ένα μέτρο προς ένα μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα που έχεις δει τέτοια πλακάκια; Το πλακίδιο πιθανότατα θα είναι εκατοστά ανά εκατοστό. Και μετά θα βασανιστείτε «μετρώντας με το δάχτυλό σας». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάστε με και λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του; Τι σημαίνει? Εφόσον πολλαπλασιάζουμε τον ίδιο αριθμό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της «έκθεσης». (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση τους σε ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και υπάρχουν επίσης λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα στη δεύτερη δύναμη θα είναι (). Ή μπορούμε να πούμε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς: μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να υπολογίσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή... αν παρατηρήσετε ότι μια σκακιέρα είναι ένα τετράγωνο με πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε το οκτώ. Θα πάρετε κύτταρα. () Ετσι?

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητο, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ο πυθμένας είναι ένα μέτρο σε μέγεθος και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να μετρήσετε πόσους κύβους που μετρούν ένα μέτρο με ένα μέτρο θα χωράει στην πισίνα σας.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα...είκοσι δύο, είκοσι τρία...Πόσα πήρες; Δεν χάθηκε; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ίσος με κύβους... Πιο εύκολο, σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το απλοποίησαν και αυτό. Μειώσαμε τα πάντα σε μια ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να επωφεληθείτε από το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με το δάχτυλό σας, το κάνουν σε μία ενέργεια: τρεις κύβοι είναι ίσοι. Γράφεται ως εξής: .

Το μόνο που μένει είναι θυμηθείτε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσω επιτέλους ότι τα πτυχία εφευρέθηκαν από παραιτητές και πονηρούς για να λύσουν τα δικά τους προβλήματα ζωής, και για να μην σας δημιουργήσω προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, για κάθε εκατομμύριο που βγάζετε, βγάζετε άλλο ένα εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε εκατομμύριο που έχετε διπλασιάζεται στην αρχή κάθε έτους. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Εάν κάθεστε τώρα και «μετράτε με το δάχτυλό σας», σημαίνει ότι είστε πολύ σκληρά εργαζόμενοςκαι.. ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Τον πρώτο χρόνο λοιπόν – δύο πολλαπλασιασμένοι επί δύο... τον δεύτερο χρόνο – τι έγινε, με δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο... Σταμάτα! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του φορές. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε έναν διαγωνισμό και αυτός που μπορεί να μετρήσει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια... Αξίζει να θυμάστε τις δυνάμεις των αριθμών, δεν νομίζετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, για κάθε εκατομμύριο που βγάζετε, κερδίζετε άλλα δύο. Υπέροχο δεν είναι; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα στην τέταρτη δύναμη ισούται με ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - είναι ο αριθμός που βρίσκεται «στην κορυφή» της δύναμης του αριθμού. Όχι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται παρακάτω, στη βάση.

Εδώ είναι ένα σχέδιο για καλό μέτρο.

Λοιπόν, σε γενικές γραμμές, για να γενικεύουμε και να θυμόμαστε καλύτερα... Ένας βαθμός με βάση « » και εκθέτη « » διαβάζεται ως «στο βαθμό» και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στην καταμέτρηση κατά την απαρίθμηση αντικειμένων: ένα, δύο, τρία... Όταν μετράμε αντικείμενα, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε επίσης: «ένα τρίτο», ή «μηδέν σημείο πέντε». Αυτοί δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Τι νούμερα πιστεύετε ότι είναι αυτά;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και τον αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Τι σημαίνουν οι αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να υποδείξουν τα χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε στον χειριστή ρούβλια.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί... Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Εν ολίγοις, είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια ενός βαθμού του οποίου ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή, ακέραιος και θετικός).

1. Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
2. Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του:
3. Το να κάνεις κύβους έναν αριθμό σημαίνει να τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Η αύξηση ενός αριθμού σε μια φυσική δύναμη σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίων

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σας δείξω τώρα.

Ας δούμε: τι είναι Και ?

A-priory:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε πολλαπλασιαστές στους συντελεστές και το αποτέλεσμα είναι πολλαπλασιαστές.

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχουν οι ίδιοι λόγοι!
Επομένως, συνδυάζουμε τις δυνάμεις με τη βάση, αλλά παραμένει ένας ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για το προϊόν των δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν μπορείτε να το γράψετε αυτό.

2. αυτό είναι η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της φορές, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην ουσία, αυτό μπορεί να ονομαστεί "βγάζοντας τον δείκτη από αγκύλες". Αλλά δεν μπορείτε ποτέ να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, τελικά.

Ισχύς με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε εξουσίες του φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς ο ένας με τον άλλο, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε ο ένας με τον άλλο, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Θυμόμαστε τον απλό κανόνα από την 6η τάξη: «Το μείον για το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, λειτουργεί.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Κατάφερες?

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στο παράδειγμα 5) όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: τελικά, δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι ίση, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα για εξάσκηση

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν αγνοήσουμε την όγδοη δύναμη, τι βλέπουμε εδώ; Ας θυμηθούμε το πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο τύπος του συντομευμένου πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Ας δούμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Η σειρά των όρων είναι λάθος. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Ως δια μαγείας οι όροι άλλαξαν θέσεις. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε εύκολα να αλλάξουμε τα σημάδια στις παρενθέσεις.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή που λαμβάνονται με το σύμβολο " ") και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός μέσα μηδέν βαθμόίσο με ένα:

Όπως πάντα, ας αναρωτηθούμε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Ας εξετάσουμε κάποιο βαθμό με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε το ίδιο πράγμα που ήταν - . Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσετε για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μία πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιονδήποτε βαθμό - ανεξάρτητα από το πόσο πολλαπλασιάζετε το μηδέν με τον εαυτό του, θα εξακολουθείτε να έχετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στη μηδενική ισχύ, πρέπει να είναι ίσος. Λοιπόν, πόσα από αυτά είναι αλήθεια; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα δεν μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας πάμε παρακάτω. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν και αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητική δύναμη, ας κάνουμε όπως την τελευταία φορά: πολλαπλασιάστε έναν κανονικό αριθμό με τον ίδιο αριθμό σε μια αρνητική δύναμη:

Από εδώ είναι εύκολο να εκφράσετε αυτό που ψάχνετε:

Τώρα ας επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε έναν κανόνα:

Ένας αριθμός με αρνητική δύναμη είναι ο αντίστροφος του ίδιου αριθμού με θετική δύναμη. Αλλά συγχρόνως Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν ισούται με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις:

Ανάλυση προβλημάτων για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους πρέπει να είσαι προετοιμασμένος για οτιδήποτε! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τις λύσεις τους αν δεν μπορούσατε να τα λύσετε και θα μάθετε να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε το εύρος των αριθμών "κατάλληλων" ως εκθέτης.

Τώρα σκεφτείτε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: οτιδήποτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι και.

Για να καταλάβουμε τι είναι "κλασματικός βαθμός", θεωρήστε το κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα ας θυμηθούμε τον κανόνα για "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, ισούται με.

Δηλαδή, η ρίζα της ης δύναμης είναι η αντίστροφη πράξη της αύξησης σε μια δύναμη: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς αυτό ειδική περίπτωσημπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέτουμε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Ας θυμηθούμε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωθεί σε άρτια δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαγάγετε άρτιες ρίζες από αρνητικούς αριθμούς!

Αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματική ισχύ με άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή άλλων, αναγώγιμων κλασμάτων, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, αλλά αυτά είναι μόνο δύο διαφορετικές καταχωρήσειςτον ίδιο αριθμό.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Αλλά αν γράψουμε διαφορετικά τον δείκτη, θα ξαναμπούμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγουμε τέτοια παράδοξα, εξετάζουμε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

• - φυσικός αριθμός;
• - ακέραιος αριθμός

Παραδείγματα:

Οι ορθολογικοί εκθέτες είναι πολύ χρήσιμοι για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα για εξάσκηση

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα έρχεται το πιο δύσκολο κομμάτι. Τώρα θα το καταλάβουμε βαθμός με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Άλλωστε, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Κατά τη μελέτη πτυχίων με φυσικούς, ακέραιους και λογικούς εκθέτες, κάθε φορά δημιουργούσαμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...αριθμός στη μηδενική ισχύ- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχουν αρχίσει ακόμη να τον πολλαπλασιάζουν, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας συγκεκριμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή έναν αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος βαθμός- είναι σαν να είχε συμβεί κάποια «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, στις επιστήμες ένα πτυχίο με σύνθετος δείκτης, δηλαδή, ο δείκτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον συνηθισμένο κανόνα για την ανύψωση μιας δύναμης σε μια δύναμη:

Τώρα κοιτάξτε τον δείκτη. Δεν σου θυμίζει τίποτα; Ας θυμηθούμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

ΣΕ αυτή η υπόθεση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Ανάγουμε τα κλάσματα σε εκθέτες στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, χρησιμοποιούμε τις συνήθεις ιδιότητες των βαθμών:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Καθορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι μια έκφραση της μορφής: , όπου:

• — Βάση πτυχίου?
• - εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό δείκτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

Κατασκευή στον μηδενικό βαθμό:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος αριθμόςαριθμός:

(γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με).

Για άλλη μια φορά σχετικά με τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Ισχύς με λογικό εκθέτη

• - φυσικός αριθμός;
• - ακέραιος αριθμός

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίων

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

A-priory:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης παίρνουμε το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού είναι δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να υπάρχουν οι ίδιοι λόγοι. Επομένως, συνδυάζουμε τις δυνάμεις με τη βάση, αλλά παραμένει ένας ξεχωριστός παράγοντας:

Μια άλλη σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας - μόνο για προϊόν δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν μπορείτε να το γράψετε αυτό.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας ανασυγκροτήσουμε αυτό το έργο ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της φορές, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην ουσία, αυτό μπορεί να ονομαστεί "βγάζοντας τον δείκτη από αγκύλες". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά: !

Ας θυμηθούμε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, τελικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο έχουμε συζητήσει μόνο πώς θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμός. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε εξουσίες του φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς ο ένας με τον άλλο, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε ο ένας με τον άλλο, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Θυμόμαστε τον απλό κανόνα από την 6η τάξη: «Το μείον για το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με (), παίρνουμε - .

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό το πρόσημο θα αλλάζει. Μπορούμε να διατυπώσουμε το εξής απλούς κανόνες:

1. ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
2. Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
3. Ένας θετικός αριθμός σε οποιοδήποτε βαθμό είναι ένας θετικός αριθμός.
4. Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Κατάφερες? Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5) όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: τελικά, δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι ίση, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμόμαστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, πράγμα που σημαίνει ότι η βάση λιγότερο από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε μεταξύ τους, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν αναλύσουμε τον τελευταίο κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων:

Λύσεις :

Αν αγνοήσουμε την όγδοη δύναμη, τι βλέπουμε εδώ; Ας θυμηθούμε το πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο τύπος του συντομευμένου πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων!

Παίρνουμε:

Ας δούμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Η σειρά των όρων είναι λάθος. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας 3. Πώς όμως; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως μοιάζει με αυτό:

Ως δια μαγείας οι όροι άλλαξαν θέσεις. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε εύκολα να αλλάξουμε τα σημάδια στις παρενθέσεις. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: Όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορείτε να το αντικαταστήσετε με αλλάζοντας μόνο ένα μειονέκτημα που δεν μας αρέσει!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Λοιπόν τώρα ο τελευταίος κανόνας:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκταθούμε στην έννοια του πτυχίου και ας την απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα υπάρχουν συνολικά; φορές με πολλαπλασιαστές - τι σας θυμίζει αυτό; Αυτό δεν είναι τίποτα περισσότερο από έναν ορισμό μιας λειτουργίας πολλαπλασιασμός: Υπήρχαν μόνο πολλαπλασιαστές εκεί. Δηλαδή, αυτό, εξ ορισμού, είναι δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από τις πληροφορίες για τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητικούς).

Κατά τη μελέτη πτυχίων με φυσικούς, ακέραιους και λογικούς εκθέτες, κάθε φορά δημιουργούσαμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχουν αρχίσει ακόμη να τον πολλαπλασιάζουν, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα βέβαιο «κενός αριθμός», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό εκθέτη - είναι σαν να είχε συμβεί κάποια "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Είναι μάλλον ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, στην επιστήμη χρησιμοποιείται συχνά ένας βαθμός με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή ο εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να το ξεφορτωθούμε! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

1)

2)

3)

Απαντήσεις:

1. Ας θυμηθούμε τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων. Απάντηση: .
2. Ανάγουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
3. Τίποτα το ιδιαίτερο, χρησιμοποιούμε τις συνήθεις ιδιότητες των βαθμών:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΛΟΙ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

ένας βαθμός του οποίου ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή, ακέραιος και θετικός).

Ισχύς με λογικό εκθέτη

βαθμό, ο δείκτης του οποίου είναι αρνητικός και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

ένας βαθμός του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίων

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
• Ένας θετικός αριθμός σε οποιοδήποτε βαθμό είναι ένας θετικός αριθμός.
• Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
• Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΤΗ ΛΕΞΗ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Γράψτε παρακάτω στα σχόλια αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας χρησιμοποιώντας ιδιότητες πτυχίου.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Κατασκευή σε αρνητικό βαθμό– ένα από τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών, που συναντάται συχνά κατά την επίλυση αλγεβρικών προβλημάτων. Παρακάτω είναι αναλυτικές οδηγίες.

Πώς να ανεβείτε σε μια αρνητική δύναμη - θεωρία

Όταν ανεβάζουμε έναν αριθμό σε μια συνηθισμένη δύναμη, πολλαπλασιάζουμε την τιμή του αρκετές φορές. Για παράδειγμα, 3 3 = 3×3×3 = 27. Με αρνητικό κλάσμα ισχύει το αντίθετο. Γενική μορφήσύμφωνα με τον τύπο θα μοιάζει με αυτό: a -n = 1/a n. Έτσι, για να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να διαιρέσετε έναν με τον δεδομένο αριθμό, αλλά σε μια θετική δύναμη.

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - παραδείγματα σε συνηθισμένους αριθμούς

Έχοντας υπόψη τον παραπάνω κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Απάντηση: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Απάντηση -4 -2 = 1/16.

Γιατί όμως οι απαντήσεις στο πρώτο και στο δεύτερο παράδειγμα είναι ίδιες; Το γεγονός είναι ότι όταν ένας αρνητικός αριθμός αυξάνεται σε άρτια ισχύ (2, 4, 6, κ.λπ.), το πρόσημο γίνεται θετικό. Εάν ο βαθμός ήταν άρτιος, τότε το μείον θα παρέμενε:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Πώς να αυξήσετε τους αριθμούς από το 0 στο 1 σε αρνητική δύναμη

Θυμηθείτε ότι όταν ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1 αυξάνεται σε θετική ισχύ, η τιμή μειώνεται όσο αυξάνεται η ισχύς. Έτσι, για παράδειγμα, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Παράδειγμα 3: Υπολογίστε το 0,5 -2
Λύση: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Απάντηση: 0,5 -2 = 4

Ανάλυση (ακολουθία ενεργειών):

• Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0,5 στο κλασματικό κλάσμα 1/2. Είναι πιο εύκολο έτσι.
  Αύξηση 1/2 σε αρνητική ισχύ. 1/(2) -2 . Διαιρούμε το 1 με το 1/(2) 2, παίρνουμε 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Παράδειγμα 4: Υπολογίστε το 0,5 -3
Λύση: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Παράδειγμα 5: Υπολογίστε -0,5 -3
Λύση: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Απάντηση: -0,5 -3 = -8

Με βάση το 4ο και 5ο παράδειγμα, θα βγάλουμε αρκετά συμπεράσματα:

• Για έναν θετικό αριθμό στην περιοχή από 0 έως 1 (παράδειγμα 4), αυξημένο σε αρνητική ισχύ, είτε η ισχύς είναι άρτια είτε περιττή δεν είναι σημαντική, η τιμή της παράστασης θα είναι θετική. Σε αυτή την περίπτωση, όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή.
• Για έναν αρνητικό αριθμό στο εύρος από 0 έως 1 (παράδειγμα 5), αυξημένο σε αρνητική ισχύ, είτε η ισχύς είναι άρτια είτε περιττή δεν είναι σημαντική, η τιμή της παράστασης θα είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση, όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο χαμηλότερη είναι η τιμή.

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - την ισχύ ως κλασματικός αριθμός

Οι εκφράσεις αυτού του τύπου έχουν την εξής μορφή: a -m/n, όπου a είναι κανονικός αριθμός, m είναι ο αριθμητής του βαθμού, n ο παρονομαστής του βαθμού.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Υπολογίστε: 8 -1/3

Λύση (ακολουθία ενεργειών):

• Ας θυμηθούμε τον κανόνα για την αύξηση ενός αριθμού σε αρνητική δύναμη. Παίρνουμε: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Παρατηρήστε ότι ο παρονομαστής είναι 8 in κλασματική δύναμη. Η γενική μορφή υπολογισμού μιας κλασματικής ισχύος είναι η εξής: a m/n = n √8 m.
• Έτσι, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Παίρνουμε την κυβική ρίζα του οκτώ, που ισούται με 2. Από εδώ, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Απάντηση: 8 -1/3 = 2

Σε αυτό το υλικό θα δούμε τι είναι η δύναμη ενός αριθμού. Εκτός από τους βασικούς ορισμούς, θα διατυπώσουμε τι είναι οι δυνάμεις με φυσικούς, ακέραιους, λογικούς και παράλογους εκθέτες. Όπως πάντα, όλες οι έννοιες θα επεξηγηθούν με παραδείγματα προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αρχικά, ας διατυπώσουμε τον βασικό ορισμό του βαθμού με φυσικό εκθέτη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να θυμόμαστε τους βασικούς κανόνες του πολλαπλασιασμού. Ας διευκρινίσουμε εκ των προτέρων ότι προς το παρόν θα πάρουμε έναν πραγματικό αριθμό ως βάση (που συμβολίζεται με το γράμμα α) και έναν φυσικό αριθμό ως δείκτη (που συμβολίζεται με το γράμμα n).

Ορισμός 1

Η ισχύς ενός αριθμού α με φυσικό εκθέτη n είναι το γινόμενο του ν ου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με τον αριθμό α. Το πτυχίο γράφεται ως εξής: a n, και με τη μορφή τύπου η σύνθεσή του μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Για παράδειγμα, αν ο εκθέτης είναι 1 και η βάση είναι a, τότε η πρώτη δύναμη του a γράφεται ως Α'1. Δεδομένου ότι a είναι η τιμή του παράγοντα και 1 είναι ο αριθμός των παραγόντων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι α 1 = α.

Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να πούμε ότι ένα πτυχίο είναι μια βολική μορφή καταγραφής ένας μεγάλος αριθμόςίσους παράγοντες. Λοιπόν, μια καταγραφή της φόρμας 8 8 8 8μπορεί να συντομευτεί σε 8 4 . Με τον ίδιο τρόπο, ένα έργο μας βοηθά να αποφύγουμε την ηχογράφηση ένας μεγάλος αριθμόςόροι (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Το έχουμε ήδη συζητήσει στο άρθρο που είναι αφιερωμένο στον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών.

Πώς να διαβάσετε σωστά την καταχώριση πτυχίου; Η γενικά αποδεκτή επιλογή είναι "a στη δύναμη του n". Ή μπορείτε να πείτε "nth power of a" ή "anth power". Αν, ας πούμε, στο παράδειγμα συναντήσαμε το λήμμα 8 12 , μπορούμε να διαβάσουμε «8 στη 12η δύναμη», «8 στη δύναμη του 12» ή «12η δύναμη του 8».

Η δεύτερη και η τρίτη δύναμη των αριθμών έχουν τα δικά τους καθιερωμένα ονόματα: τετράγωνο και κύβος. Αν δούμε τη δεύτερη δύναμη, για παράδειγμα, τον αριθμό 7 (7 2), τότε μπορούμε να πούμε "7 τετράγωνο" ή "τετράγωνο του αριθμού 7". Ομοίως, ο τρίτος βαθμός διαβάζεται ως εξής: 5 3 - αυτός είναι ο "κύβος του αριθμού 5" ή "5 σε κύβους". Ωστόσο, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την τυπική σύνθεση "στη δεύτερη/τρίτη δύναμη"· αυτό δεν θα είναι λάθος.

Παράδειγμα 1

Ας δούμε ένα παράδειγμα βαθμού με φυσικό εκθέτη: για 5 7 πέντε θα είναι η βάση και επτά θα είναι ο εκθέτης.

Η βάση δεν χρειάζεται να είναι ακέραιος αριθμός: για το βαθμό (4 , 32) 9 η βάση θα είναι το κλάσμα 4, 32, και ο εκθέτης θα είναι εννέα. Προσοχή στις παρενθέσεις: αυτός ο συμβολισμός γίνεται για όλες τις δυνάμεις των οποίων οι βάσεις διαφέρουν από τους φυσικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Σε τι χρησιμεύουν οι παρενθέσεις; Βοηθούν στην αποφυγή λαθών στους υπολογισμούς. Ας πούμε ότι έχουμε δύο καταχωρήσεις: (− 2) 3 Και − 2 3 . Το πρώτο από αυτά σημαίνει έναν αρνητικό αριθμό μείον δύο αυξημένο σε δύναμη με φυσικό εκθέτη 3. ο δεύτερος είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στην αντίθετη τιμή του βαθμού 2 3 .

Μερικές φορές στα βιβλία μπορείτε να βρείτε μια ελαφρώς διαφορετική ορθογραφία της δύναμης ενός αριθμού - a^n(όπου a είναι η βάση και n ο εκθέτης). Δηλαδή το 4^9 είναι το ίδιο με 4 9 . Στην περίπτωση ν είναι πολυψήφιος αριθμός, λαμβάνεται σε αγκύλες. Για παράδειγμα, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Αλλά θα χρησιμοποιήσουμε τη σημειογραφία a nως πιο συνηθισμένο.

Είναι εύκολο να μαντέψετε πώς να υπολογίσετε την τιμή ενός εκθέτη με φυσικό εκθέτη από τον ορισμό του: χρειάζεται απλώς να πολλαπλασιάσετε ένα ν ο αριθμό φορές. Γράψαμε περισσότερα για αυτό σε άλλο άρθρο.

Η έννοια του βαθμού είναι το αντίστροφο μιας άλλης μαθηματικής έννοιας - της ρίζας ενός αριθμού. Αν γνωρίζουμε την τιμή της ισχύος και του εκθέτη, μπορούμε να υπολογίσουμε τη βάση της. Το πτυχίο έχει μερικά συγκεκριμένες ιδιότητες, χρήσιμο για την επίλυση προβλημάτων που συζητήσαμε σε ξεχωριστό υλικό.

Οι εκθέτες μπορούν να περιλαμβάνουν όχι μόνο φυσικούς αριθμούς, αλλά και οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές γενικά, συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών και των μηδενικών, επειδή ανήκουν επίσης στο σύνολο των ακεραίων.

Ορισμός 2

Η δύναμη ενός αριθμού με θετικό ακέραιο εκθέτη μπορεί να αναπαρασταθεί ως τύπος: .

Στην περίπτωση αυτή, n είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός.

Ας κατανοήσουμε την έννοια του μηδενικού βαθμού. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε μια προσέγγιση που λαμβάνει υπόψη την ιδιότητα πηλίκο για τις δυνάμεις με εξίσου. Διατυπώνεται ως εξής:

Ορισμός 3

Ισότητα a m: a n = a m − nθα ισχύει υπό τις ακόλουθες συνθήκες: m και n είναι φυσικοί αριθμοί, m< n , a ≠ 0 .

Η τελευταία συνθήκη είναι σημαντική γιατί αποφεύγει τη διαίρεση με το μηδέν. Εάν οι τιμές των m και n είναι ίσες, τότε έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: a n: a n = a n − n = a 0

Αλλά ταυτόχρονα a n: a n = 1 είναι το πηλίκο των ίσων αριθμών a nκαι ένα. Αποδεικνύεται ότι η μηδενική ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού είναι ίση με ένα.

Ωστόσο, μια τέτοια απόδειξη δεν ισχύει για το μηδέν προς τη μηδενική ισχύ. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε μια άλλη ιδιότητα των δυνάμεων - την ιδιότητα των προϊόντων δυνάμεων με ίσες βάσεις. Μοιάζει με αυτό: a m a n = a m + n .

Αν το n είναι ίσο με 0, τότε a m · a 0 = a m(Αυτή η ισότητα μας το αποδεικνύει επίσης a 0 = 1). Αλλά αν και είναι επίσης ίσο με μηδέν, η ισότητα μας παίρνει τη μορφή 0 m · 0 0 = 0 m, Θα ισχύει για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n, και δεν έχει σημασία με τι ακριβώς ισούται η τιμή του βαθμού 0 0 , δηλαδή μπορεί να είναι ίσος με οποιονδήποτε αριθμό και αυτό δεν θα επηρεάσει την ακρίβεια της ισότητας. Επομένως, μια σημείωση της φόρμας 0 0 δεν έχει το δικό του ιδιαίτερο νόημα και δεν θα του το αποδώσουμε.

Εάν θέλετε, είναι εύκολο να το ελέγξετε a 0 = 1συγκλίνει με την ιδιότητα πτυχίου (a m) n = a m nμε την προϋπόθεση ότι η βάση του βαθμού δεν είναι μηδέν. Έτσι, η ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με εκθέτη μηδέν είναι ένα.

Παράδειγμα 2

Ας δούμε ένα παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: Λοιπόν, 5 0 - μονάδα, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , και η τιμή 0 0 απροσδιόριστος.

Μετά τον μηδενικό βαθμό, πρέπει απλώς να καταλάβουμε τι είναι ο αρνητικός βαθμός. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε την ίδια ιδιότητα του γινομένου των δυνάμεων με ίσες βάσεις που χρησιμοποιήσαμε ήδη παραπάνω: a m · a n = a m + n.

Ας εισάγουμε τη συνθήκη: m = − n, τότε το a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Αποδεικνύεται ότι ένα ν και a−nέχουμε αμοιβαία αμοιβαία νούμερα.

Ως αποτέλεσμα, το a στην αρνητική ακέραια δύναμη δεν είναι τίποτα άλλο από το κλάσμα 1 a n.

Αυτή η διατύπωση επιβεβαιώνει ότι για έναν βαθμό με ακέραιο αρνητικό εκθέτη, ισχύουν όλες οι ίδιες ιδιότητες που έχει ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη (με την προϋπόθεση ότι η βάση δεν είναι ίση με μηδέν).

Παράδειγμα 3

Μια δύναμη a με αρνητικό ακέραιο εκθέτη n μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα 1 a n . Έτσι, a - n = 1 a n υπόκειται σε a ≠ 0και n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

Ας επεξηγήσουμε την ιδέα μας με συγκεκριμένα παραδείγματα:

Παράδειγμα 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Στο τελευταίο μέρος της παραγράφου, θα προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε όλα όσα έχουν ειπωθεί ξεκάθαρα σε έναν τύπο:

Ορισμός 4

Η δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη z είναι: a z = a z, e με l και z - θετικός ακέραιος 1, z = 0 και a ≠ 0, (για z = 0 και a = 0 το αποτέλεσμα είναι 0 0, το ορίζονται οι τιμές της παράστασης 0 0 δεν είναι) 1 a z, αν και z είναι αρνητικός ακέραιος και a ≠ 0 (αν z είναι αρνητικός ακέραιος και a = 0 παίρνετε 0 z, egoz η τιμή είναι απροσδιόριστη)

Τι είναι οι δυνάμεις με λογικό εκθέτη;

Εξετάσαμε περιπτώσεις όπου ο εκθέτης περιέχει έναν ακέραιο. Ωστόσο, μπορείτε να αυξήσετε έναν αριθμό σε δύναμη ακόμα και όταν ο εκθέτης του περιέχει έναν κλασματικό αριθμό. Αυτό ονομάζεται δύναμη με λογικό εκθέτη. Σε αυτή την ενότητα θα αποδείξουμε ότι έχει τις ίδιες ιδιότητες με άλλες δυνάμεις.

Τι είναι οι ορθολογικοί αριθμοί; Το σύνολο τους περιλαμβάνει τόσο ακέραιους όσο και κλασματικούς αριθμούς και οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν ως συνηθισμένα κλάσματα (τόσο θετικά όσο και αρνητικά). Ας διατυπώσουμε τον ορισμό της ισχύος ενός αριθμού a με κλασματικό εκθέτη m / n, όπου n είναι φυσικός αριθμός και m είναι ακέραιος.

Έχουμε κάποιο βαθμό με κλασματικό εκθέτη a m n . Για να ισχύει η ιδιότητα power to power, η ισότητα a m n n = a m n · n = a m πρέπει να είναι αληθής.

Δεδομένου του ορισμού της νης ρίζας και του ότι a m n n = a m, μπορούμε να δεχτούμε τη συνθήκη a m n = a m n εάν το m n έχει νόημα για τις δεδομένες τιμές των m, n και a.

Οι παραπάνω ιδιότητες ενός βαθμού με ακέραιο εκθέτη θα είναι αληθείς υπό την συνθήκη a m n = a m n .

Το κύριο συμπέρασμα από τη συλλογιστική μας είναι το εξής: η ισχύς ενός συγκεκριμένου αριθμού α με κλασματικό εκθέτη m / n είναι η ν η ρίζα του αριθμού α στην ισχύ m. Αυτό ισχύει εάν, για δεδομένες τιμές των m, n και a, η έκφραση a m n παραμένει σημαντική.

1. Μπορούμε να περιορίσουμε την τιμή της βάσης του βαθμού: ας πάρουμε το a, το οποίο για θετικές τιμές του m θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0, και για αρνητικές τιμές - αυστηρά μικρότερο (αφού για m ≤ 0 παίρνουμε 0 μ, αλλά τέτοιο πτυχίο δεν ορίζεται). Σε αυτήν την περίπτωση, ο ορισμός ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη θα μοιάζει με αυτό:

Μια δύναμη με κλασματικό εκθέτη m/n για κάποιο θετικό αριθμό a είναι η ν η ρίζα του a αυξημένη στην ισχύ m. Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως τύπος:

Για μια ισχύ με μηδενική βάση, αυτή η διάταξη είναι επίσης κατάλληλη, αλλά μόνο εάν ο εκθέτης της είναι θετικός αριθμός.

Μια ισχύς με βάση μηδέν και κλασματικό θετικό εκθέτη m/n μπορεί να εκφραστεί ως

0 m n = 0 m n = 0 με την προϋπόθεση ότι ο m είναι θετικός ακέραιος και ο n είναι φυσικός αριθμός.

Για αρνητικό λόγο m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Ας σημειώσουμε ένα σημείο. Εφόσον εισαγάγαμε την συνθήκη ότι το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, καταλήξαμε να απορρίψουμε ορισμένες περιπτώσεις.

Η έκφραση a m n μερικές φορές εξακολουθεί να έχει νόημα για ορισμένες αρνητικές τιμές του a και μερικές m. Έτσι, οι σωστές εγγραφές είναι (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, στις οποίες η βάση είναι αρνητική.

2. Η δεύτερη προσέγγιση είναι να εξετάσουμε χωριστά τη ρίζα a m n με άρτιους και περιττούς εκθέτες. Τότε θα χρειαστεί να εισαγάγουμε μια ακόμη συνθήκη: ο βαθμός a, στον εκθέτη του οποίου υπάρχει ένα αναγώγιμο κοινό κλάσμα, θεωρείται ο βαθμός a, στον εκθέτη του οποίου υπάρχει το αντίστοιχο μη αναγώγιμο κλάσμα. Αργότερα θα εξηγήσουμε γιατί χρειαζόμαστε αυτή την κατάσταση και γιατί είναι τόσο σημαντική. Έτσι, αν έχουμε τον συμβολισμό a m · k n · k , τότε μπορούμε να τον αναγάγουμε σε m n και να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς.

Αν το n είναι ένας περιττός αριθμός και η τιμή του m είναι θετική και το a είναι οποιοσδήποτε μη αρνητικός αριθμός, τότε το a m n έχει νόημα. Η προϋπόθεση για να είναι το α μη αρνητικό είναι απαραίτητη γιατί δεν μπορεί να εξαχθεί μια ρίζα ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό. Αν η τιμή του m είναι θετική, τότε το a μπορεί να είναι και αρνητικό και μηδέν, γιατί Η περιττή ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό.

Ας συνδυάσουμε όλους τους παραπάνω ορισμούς σε μια καταχώρηση:

Εδώ m/n σημαίνει μη αναγώγιμο κλάσμα, m είναι ακέραιος αριθμός και n κάθε φυσικός αριθμός.

Ορισμός 5

Για οποιοδήποτε συνηθισμένο αναγώγιμο κλάσμα m · k n · k ο βαθμός μπορεί να αντικατασταθεί από ένα m n .

Η ισχύς ενός αριθμού a με μη αναγώγιμο κλασματικό εκθέτη m / n – μπορεί να εκφραστεί ως m n σε τις ακόλουθες περιπτώσεις: - για κάθε πραγματικό α, ακέραιοι αριθμοί θετικές αξίες m και περιττές φυσικές τιμές n. Παράδειγμα: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό a, αρνητικές ακέραιες τιμές του m και περιττές τιμές του n, για παράδειγμα, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Για κάθε μη αρνητικό a, θετικό ακέραιο m και άρτιο n, για παράδειγμα, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Για κάθε θετικό a, αρνητικό ακέραιο m και άρτιο n, για παράδειγμα, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Στην περίπτωση άλλων τιμών, ο βαθμός με κλασματικό εκθέτη δεν προσδιορίζεται. Παραδείγματα τέτοιων βαθμών: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Ας εξηγήσουμε τώρα τη σημασία της συνθήκης που συζητήθηκε παραπάνω: γιατί να αντικαταστήσουμε ένα κλάσμα με έναν αναγώσιμο εκθέτη με ένα κλάσμα με έναν μη αναγώσιμο εκθέτη. Αν δεν το είχαμε κάνει αυτό, θα είχαμε τις ακόλουθες καταστάσεις, ας πούμε, 6/10 = 3/5. Τότε θα πρέπει να είναι αλήθεια (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , αλλά - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , και (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Ο ορισμός ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη, που παρουσιάσαμε πρώτος, είναι πιο βολικός στην πράξη από τον δεύτερο, επομένως θα συνεχίσουμε να τον χρησιμοποιούμε.

Ορισμός 6

Έτσι, η ισχύς ενός θετικού αριθμού a με κλασματικό εκθέτη m/n ορίζεται ως 0 m n = 0 m n = 0. Σε περίπτωση αρνητικής έναο συμβολισμός a m n δεν έχει νόημα. Ισχύς μηδέν για θετικούς κλασματικούς εκθέτες m/nορίζεται ως 0 m n = 0 m n = 0 , για αρνητικούς κλασματικούς εκθέτες δεν ορίζουμε το βαθμό μηδέν.

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι οποιοσδήποτε κλασματικός δείκτης μπορεί να γραφτεί τόσο με τη μορφή μικτού αριθμού όσο και με τη μορφή δεκαδικό κλάσμα: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Κατά τον υπολογισμό, είναι καλύτερο να αντικαταστήσετε τον εκθέτη με ένα συνηθισμένο κλάσμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό του εκθέτη με έναν κλασματικό εκθέτη. Για τα παραπάνω παραδείγματα παίρνουμε:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Τι είναι οι δυνάμεις με παράλογους και πραγματικούς εκθέτες;

Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί; Το σύνολο τους περιλαμβάνει τόσο λογικούς όσο και παράλογους αριθμούς. Επομένως, για να καταλάβουμε τι είναι ένας βαθμός με πραγματικό εκθέτη, πρέπει να ορίσουμε βαθμούς με λογικούς και παράλογους εκθέτες. Έχουμε ήδη αναφέρει ορθολογικά παραπάνω. Ας ασχοληθούμε βήμα-βήμα με τους παράλογους δείκτες.

Παράδειγμα 5

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν παράλογο αριθμό a και μια ακολουθία των δεκαδικών προσεγγίσεων του a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Για παράδειγμα, ας πάρουμε την τιμή a = 1,67175331. . . , Επειτα

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Μπορούμε να συσχετίσουμε ακολουθίες προσεγγίσεων με μια ακολουθία μοιρών a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Αν θυμηθούμε τι είπαμε νωρίτερα για την αύξηση των αριθμών σε ορθολογικές δυνάμεις, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε μόνοι μας τις τιμές αυτών των δυνάμεων.

Ας πάρουμε για παράδειγμα α = 3, τότε a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . και τα λοιπά.

Η ακολουθία των δυνάμεων μπορεί να μειωθεί σε έναν αριθμό, ο οποίος θα είναι η τιμή της ισχύος με βάση α και παράλογο εκθέτη α. Ως αποτέλεσμα: ένας βαθμός με έναν παράλογο εκθέτη της μορφής 3 1, 67175331. . μπορεί να μειωθεί στον αριθμό 6, 27.

Ορισμός 7

Η δύναμη ενός θετικού αριθμού α με παράλογο εκθέτη α γράφεται ως a . Η τιμή του είναι το όριο της ακολουθίας a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , όπου a 0 , a 1 , a 2 , . . . είναι διαδοχικές δεκαδικές προσεγγίσεις του άρρητου αριθμού α. Ένας βαθμός με μηδενική βάση μπορεί επίσης να οριστεί για θετικούς παράλογους εκθέτες, με 0 a = 0 Άρα, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Αλλά αυτό δεν μπορεί να γίνει για αρνητικές, αφού, για παράδειγμα, η τιμή 0 - 5, 0 - 2 π δεν ορίζεται. Μια μονάδα ανυψωμένη σε οποιαδήποτε παράλογη ισχύ παραμένει μια μονάδα, για παράδειγμα, και το 1 2, 1 5 στο 2 και το 1 - 5 θα είναι ίσο με 1.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Τύποι πτυχίωνχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναΟταν:

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Πολλαπλασιαζόμενες δυνάμεις του γ την ίδια βάσηοι δείκτες τους αθροίζονται:

είμαι·a n = a m + n .

2. Κατά τη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται:

3. Ισχύς του γινόμενου 2 ή περισσότεροοι παράγοντες είναι ίσοι με το γινόμενο των δυνάμεων αυτών των παραγόντων:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

(a m) n = a m n .

Κάθε τύπος παραπάνω ισχύει στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Επεμβάσεις με ρίζες.

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα ενός λόγου είναι ίση με τον λόγο του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον ριζικό αριθμό σε αυτήν την ισχύ:

4. Αν αυξήσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ενσωματώνονται nΗ ισχύς είναι ένας ριζικός αριθμός, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Αν μειώσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nεξάγετε τη ρίζα ταυτόχρονα n-η δύναμη ενός ριζικού αριθμού, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Ένας βαθμός με αρνητικό εκθέτη.Η ισχύς ενός ορισμένου αριθμού με έναν μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τη δύναμη του ίδιου αριθμού με έναν εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:

Τύπος είμαι:a n =a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ> n, αλλά και με Μ< n.

Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Στη φόρμουλα είμαι:a n =a m - nέγινε δίκαιο όταν m=n, απαιτείται η παρουσία μηδενικού βαθμού.

Πτυχίο με μηδενικό δείκτη.Η ισχύς οποιουδήποτε αριθμού, όχι ίσο με μηδέν, με μηδενικό εκθέτη ισούται με ένα.

Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Βαθμός με κλασματικό εκθέτη.Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό ΕΝΑεώς ένα βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του Μη δύναμη αυτού του αριθμού ΕΝΑ.