Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των εφαρμογών του ολοκληρωτικού λογισμού. Σε αυτό το μάθημα θα αναλύσουμε την τυπική και πιο συνηθισμένη εργασία υπολογισμός του εμβαδού ενός επιπέδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Τέλος, ας το βρουν όλοι όσοι αναζητούν νόημα στα ανώτερα μαθηματικά. Ποτέ δεν ξέρεις. Θα πρέπει να το φέρουμε πιο κοντά στη ζωή εξοχική περιοχήστοιχειώδεις συναρτήσεις και να βρείτε το εμβαδόν του χρησιμοποιώντας ορισμένο ολοκλήρωμα.
Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει:
1) Κατανοήστε το αόριστο ολοκλήρωμα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Έτσι, τα ανδρείκελα θα πρέπει πρώτα να διαβάσουν το μάθημα Δεν.
2) Να είναι σε θέση να εφαρμόσει τον τύπο Newton-Leibniz και να υπολογίσει οριστικό ολοκλήρωμα. Μπορείτε να δημιουργήσετε ζεστές φιλικές σχέσεις με ορισμένα ολοκληρώματα στη σελίδα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Η εργασία "υπολογισμός του εμβαδού χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, Να γιατί επίκαιρο θέμαΟι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι επίσης εκεί. Τουλάχιστον, πρέπει να είστε σε θέση να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή, μια παραβολή και μια υπερβολή.
Ας ξεκινήσουμε με ένα καμπύλο τραπεζοειδές. Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης y = φά(Χ), άξονας ΒΟΔΙκαι γραμμές Χ = ένα; Χ = σι.
Το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα
Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει ένα πολύ καλό γεωμετρική σημασία. Στο μάθημα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνείπαμε ότι ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός. Και τώρα ήρθε η ώρα να αναφέρουμε ένα ακόμη χρήσιμο γεγονός. Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ. Αυτό είναι, το οριστικό ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα
Ολοκληρωτέου
ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο (μπορεί να σχεδιαστεί εάν είναι επιθυμητό) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με εμβαδόναντίστοιχο καμπύλο τραπεζοειδές.
Παράδειγμα 1
, , , .
Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Το πιο σημαντικό σημείο στην απόφαση είναι η κατασκευή του σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.
Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: αρχικάείναι προτιμότερο να κατασκευάζονται όλες οι ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο Επειτα– παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Η τεχνική κατασκευής σημείο προς σημείο βρίσκεται στο υλικό αναφοράς Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Εκεί μπορείτε επίσης να βρείτε πολύ χρήσιμο υλικό για το μάθημά μας - πώς να φτιάξετε γρήγορα μια παραβολή.
Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας κάνουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση y= 0 καθορίζει τον άξονα ΒΟΔΙ):
Δεν θα σκιάζουμε ένα καμπύλο τραπεζοειδές· εδώ είναι προφανές ποια περιοχή μιλάμε για. Η λύση συνεχίζεται ως εξής:
Στο τμήμα [-2; 1] γράφημα συνάρτησης y = Χ 2 + 2 βρίσκονται πάνω από τον άξοναΒΟΔΙ, Να γιατί:
Απάντηση: .
Ποιος έχει δυσκολίες με τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz
,
ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση"Με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος, περιορίζεται από γραμμές xy = 4, Χ = 2, Χ= 4 και άξονας ΒΟΔΙ.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Ολοκληρωμένη λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Τι να κάνετε εάν βρίσκεται το καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξοναΒΟΔΙ?
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = πρώην, Χ= 1 και άξονες συντεταγμένων.
Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Αν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται πλήρως κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ , τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση:
.
Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:
1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.
2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.
Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = 2Χ – Χ 2 , y = -Χ.
Λύση: Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής y = 2Χ – Χ 2 και ευθεία y = -Χ. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:
Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης ένα= 0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης σι= 3. Είναι συχνά πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:
Ας επαναλάβουμε ότι κατά την κατασκευή κατά σημείο, τα όρια ολοκλήρωσης καθορίζονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».
Και τώρα ο τύπος εργασίας:
Εάν στο τμήμα [ ένα; σι] κάποια συνεχής λειτουργία φά(Χ) μεγαλύτερο ή ίσο μεμερικοί συνεχής λειτουργία σολ(Χ), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτείτε πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.
Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως από το 2 Χ – ΧΤο 2 πρέπει να αφαιρεθεί - Χ.
Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:
Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή y = 2Χ – Χ 2 πάνω και ευθεία y = -Χπαρακάτω.
Στο τμήμα 2 Χ – Χ 2 ≥ -Χ. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση: .
Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. παράδειγμα Νο. 3) είναι ειδική περίπτωσηΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
.
Γιατί ο άξονας ΒΟΔΙδίνεται από την εξίσωση y= 0, και το γράφημα της συνάρτησης σολ(Χ) που βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Οτι
.
Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση
Παράδειγμα 5
Παράδειγμα 6
Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο έγινε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά από απροσεξία... Βρέθηκε η περιοχή της λάθος φιγούρας.
Παράδειγμα 7
Πρώτα ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε(κοιτάξτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένος ο αριθμός!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, συχνά αποφασίζουν ότι πρέπει να βρουν την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη πράσινος!
Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο επειδή υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:
1) Στο τμήμα [-1; 1] πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙτο γράφημα βρίσκεται ευθεία y = Χ+1;
2) Σε τμήμα πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙβρίσκεται η γραφική παράσταση μιας υπερβολής y = (2/Χ).
Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:
Απάντηση:
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις σε «σχολική» μορφή
και κάντε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:
Από το σχέδιο είναι σαφές ότι το ανώτερο όριο μας είναι "καλό": σι = 1.
Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο;! Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι είναι;
Μπορεί, ένα=(-1/3); Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι ένα=(-1/4). Τι γίνεται αν κατασκευάσαμε λάθος το γράφημα;
Σε τέτοιες περιπτώσεις πρέπει να ξοδέψεις Επιπλέον χρόνοςκαι να αποσαφηνίσουν αναλυτικά τα όρια της ολοκλήρωσης.
Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων
Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση:
.
Ως εκ τούτου, ένα=(-1/3).
Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη. Το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε αντικαταστάσεις και ζώδια. Οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι απλούστεροι. Στο τμήμα
, 
,
σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση: 
Για να ολοκληρώσουμε το μάθημα, ας δούμε δύο πιο δύσκολες εργασίες.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Λύση: Ας απεικονίσουμε αυτό το σχήμα στο σχέδιο.
Για να σχεδιάσετε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο πρέπει να γνωρίζετε εμφάνισηημιτονοειδή. Σε γενικές γραμμές, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, καθώς και ορισμένες τιμές ημιτόνου. Μπορούν να βρεθούν στον πίνακα τιμών τριγωνομετρικές συναρτήσεις . Σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, σε αυτήν την περίπτωση), είναι δυνατή η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης θα πρέπει να εμφανίζονται βασικά σωστά.
Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ενσωμάτωσης εδώ· προκύπτουν άμεσα από την προϋπόθεση:
– Το “x” αλλάζει από μηδέν σε “pi”. Ας πάρουμε μια περαιτέρω απόφαση:
Σε ένα τμήμα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y= αμαρτία 3 Χπου βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Να γιατί:
(1) Μπορείτε να δείτε πώς τα ημίτονο και τα συνημίτονα ενσωματώνονται σε περιττές δυνάμεις στο μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τσιμπάμε τον ένα κόλπο.
(2) Χρησιμοποιούμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα στη φόρμα
(3) Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή t=κοσ Χ, τότε: βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:
.
.
Σημείωση:Σημειώστε πώς λαμβάνεται το ολοκλήρωμα της εφαπτομένης στον κύβο· εδώ χρησιμοποιείται ένα συμπέρασμα της κύριας τριγωνομετρική ταυτότητα
.
Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές
Εφαρμογή του ολοκληρώματος στη λύση εφαρμοζόμενων προβλημάτων
Υπολογισμός επιφάνειας
Το οριστικό ολοκλήρωμα μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης f(x) είναι αριθμητικά ίσο μετο εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη y = f(x), τον άξονα O x και τις ευθείες x = a και x = b. Σύμφωνα με αυτό, ο τύπος εμβαδού γράφεται ως εξής:
Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού των επιφανειών των επίπεδων ψηφίων.
Εργασία Νο. 1. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Λύση.Ας κατασκευάσουμε ένα σχήμα του οποίου το εμβαδόν θα πρέπει να υπολογίσουμε.
y = x 2 + 1 είναι μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά μία μονάδα σε σχέση με τον άξονα O y (Εικόνα 1).
Εικόνα 1. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 + 1
Εργασία Νο. 2. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 – 1, y = 0 στην περιοχή από 0 έως 1.
 |
Λύση.Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή διακλαδώσεων που κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται σε σχέση με τον άξονα O y προς τα κάτω κατά μία μονάδα (Εικόνα 2).
Εικόνα 2. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 – 1
Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές
y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4.
Λύση.Η πρώτη από αυτές τις δύο ευθείες είναι μια παραβολή με τους κλάδους της στραμμένους προς τα κάτω, αφού ο συντελεστής x 2 είναι αρνητικός και η δεύτερη γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή που τέμνει και τους δύο άξονες συντεταγμένων.
Για να κατασκευάσουμε μια παραβολή, βρίσκουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – τετμημένη κορυφή; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 είναι η τεταγμένη του, N(1;9) είναι η κορυφή.
Τώρα ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:
Εξίσωση των δεξιών πλευρών μιας εξίσωσης της οποίας οι αριστερές πλευρές είναι ίσες.
Παίρνουμε 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ή x 2 – 12 = 0, εξ ου και 
.
Άρα, τα σημεία είναι τα σημεία τομής μιας παραβολής και μιας ευθείας γραμμής (Εικόνα 1).
Σχήμα 3 Γραφήματα συναρτήσεων y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4
Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία y = 2x – 4. Διέρχεται από τα σημεία (0;-4), (2;0) στους άξονες συντεταγμένων.
Για να κατασκευάσετε μια παραβολή, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα σημεία τομής της με τον άξονα 0x, δηλαδή τις ρίζες της εξίσωσης 8 + 2x – x 2 = 0 ή x 2 – 2x – 8 = 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, είναι εύκολο για να βρείτε τις ρίζες του: x 1 = 2, x 2 = 4.
Το σχήμα 3 δείχνει ένα σχήμα (παραβολικό τμήμα M 1 N M 2) που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.
Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι να βρεθεί η περιοχή αυτού του σχήματος. Το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο 
.
Εφαρμόζεται σε αυτή η συνθήκη, παίρνουμε το ολοκλήρωμα: 
2 Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής
Ο όγκος του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης y = f(x) γύρω από τον άξονα O x υπολογίζεται με τον τύπο:
Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα O y, ο τύπος μοιάζει με:
Εργασία Νο. 4. Προσδιορίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός κυρτού τραπεζίου που οριοθετείται από ευθείες x = 0 x = 3 και καμπύλη y = γύρω από τον άξονα O x.
Λύση.Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα (Εικόνα 4).
Εικόνα 4. Γράφημα της συνάρτησης y =
Ο απαιτούμενος όγκος είναι 
Εργασία Νο. 5. Να υπολογίσετε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός καμπυλωμένου τραπεζίου που οριοθετείται από την καμπύλη y = x 2 και ευθείες y = 0 και y = 4 γύρω από τον άξονα O y.
Λύση.Εχουμε:
Επιθεώρηση των ερωτήσεων
ΣΕ προηγούμενη ενότητααφιερωμένο στην ανάλυση της γεωμετρικής σημασίας ενός ορισμένου ολοκληρώματος, λάβαμε έναν αριθμό τύπων για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη αρνητική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη θετική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ] .
Αυτοί οι τύποι ισχύουν για επίλυση απλές εργασίες. Στην πραγματικότητα, συχνά θα πρέπει να δουλέψουμε με πιο σύνθετα στοιχεία. Από αυτή την άποψη, θα αφιερώσουμε αυτήν την ενότητα σε μια ανάλυση αλγορίθμων για τον υπολογισμό του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από συναρτήσεις σε ρητή μορφή, δηλ. όπως y = f(x) ή x = g(y).
ΘεώρημαΈστω οι συναρτήσεις y = f 1 (x) και y = f 2 (x) καθορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [ a ; b ] , και f 1 (x) ≤ f 2 (x) για οποιαδήποτε τιμή x από [ a ; β ] . Τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του σχήματος G, οριοθετημένος από τις ευθείες x = a, x = b, y = f 1 (x) και y = f 2 (x) θα μοιάζει με S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Ένας παρόμοιος τύπος θα ισχύει για την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = c, y = d, x = g 1 (y) και x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Απόδειξη
Ας δούμε τρεις περιπτώσεις για τις οποίες θα ισχύει ο τύπος.
Στην πρώτη περίπτωση, λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα της προσθετικότητας της περιοχής, το άθροισμα των εμβαδών του αρχικού σχήματος G και του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς G 1 είναι ίσο με το εμβαδόν του σχήματος G 2. Αυτό σημαίνει ότι
Επομένως, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Μπορούμε να εκτελέσουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την τρίτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.
Στη δεύτερη περίπτωση, η ισότητα είναι αληθής: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:
Αν και οι δύο συναρτήσεις είναι μη θετικές, παίρνουμε: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της γενικής περίπτωσης όταν y = f 1 (x) και y = f 2 (x) τέμνουν τον άξονα O x.
Σημειώνουμε τα σημεία τομής ως x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Αυτά τα σημεία χωρίζουν το τμήμα [a; b ] σε n μέρη x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, όπου α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Ως εκ τούτου,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Μπορούμε να κάνουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την πέμπτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.
Ας δείξουμε τη γενική περίπτωση στο γράφημα.
Ο τύπος S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x μπορεί να θεωρηθεί αποδεδειγμένος.
Τώρα ας προχωρήσουμε στην ανάλυση παραδειγμάτων υπολογισμού του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από τις γραμμές y = f (x) και x = g (y).
Θα ξεκινήσουμε την εξέταση οποιουδήποτε από τα παραδείγματα κατασκευάζοντας ένα γράφημα. Η εικόνα θα μας επιτρέψει να αναπαραστήσουμε σύνθετες φιγούρεςως ενώσεις απλούστερων μορφών. Εάν η κατασκευή γραφημάτων και σχημάτων σε αυτά σας δημιουργεί δυσκολίες, μπορείτε να μελετήσετε την ενότητα για τις βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, γεωμετρικός μετασχηματισμόςγραφήματα συναρτήσεων, καθώς και κατασκευή γραφημάτων κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης.
Παράδειγμα 1
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από την παραβολή y = - x 2 + 6 x - 5 και τις ευθείες γραμμές y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Λύση
Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
Στο τμήμα [ 1 ; 4 ] η γραφική παράσταση της παραβολής y = - x 2 + 6 x - 5 βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = - 1 3 x - 1 2. Από αυτή την άποψη, για να λάβουμε την απάντηση χρησιμοποιούμε τον τύπο που λήφθηκε νωρίτερα, καθώς και τη μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Απάντηση: S(G) = 13
Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα.
Παράδειγμα 2
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x + 2, y = x, x = 7.
Λύση
Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε μόνο μία ευθεία που βρίσκεται παράλληλα στον άξονα x. Αυτό είναι x = 7. Αυτό απαιτεί να βρούμε μόνοι μας το δεύτερο όριο ένταξης.
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα και ας σχεδιάσουμε πάνω του τις γραμμές που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.
Έχοντας το γράφημα μπροστά στα μάτια μας, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης θα είναι η τετμημένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της ευθείας y = x και της ημιπαραβολής y = x + 2. Για να βρούμε την τετμημένη χρησιμοποιούμε τις ισότητες:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Αποδεικνύεται ότι η τετμημένη του σημείου τομής είναι x = 2.
Εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι στο γενικό παράδειγμαστο σχέδιο, οι ευθείες y = x + 2, y = x τέμνονται στο σημείο (2; 2), επομένως τέτοιοι λεπτομερείς υπολογισμοί μπορεί να φαίνονται περιττοί. Το φέραμε εδώ λεπτομερής λύσημόνο επειδή είναι περισσότερα δύσκολες περιπτώσειςη λύση μπορεί να μην είναι τόσο προφανής. Αυτό σημαίνει ότι είναι πάντα καλύτερο να υπολογίζουμε αναλυτικά τις συντεταγμένες της τομής των γραμμών.
Στο διάστημα [ 2 ; 7] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x + 2. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το εμβαδόν:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Απάντηση: S (G) = 59 6
Παράδειγμα 3
Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τα γραφήματα των συναρτήσεων y = 1 x και y = - x 2 + 4 x - 2.
Λύση
Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα.
Ας ορίσουμε τα όρια της ολοκλήρωσης. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραμμών εξισώνοντας τις παραστάσεις 1 x και - x 2 + 4 x - 2. Με την προϋπόθεση ότι το x δεν είναι μηδέν, η ισότητα 1 x = - x 2 + 4 x - 2 γίνεται ισοδύναμη με την εξίσωση τρίτου βαθμού - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 με ακέραιους συντελεστές. Για να ανανεώσετε τη μνήμη σας σχετικά με τον αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, μπορούμε να ανατρέξουμε στην ενότητα «Επίλυση κυβικών εξισώσεων».
Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Διαιρώντας την παράσταση - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 με το διώνυμο x - 1, παίρνουμε: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Μπορούμε να βρούμε τις υπόλοιπες ρίζες από την εξίσωση x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Βρήκαμε το διάστημα x ∈ 1; 3 + 13 2, στο οποίο το σχήμα G περιέχεται πάνω από τη μπλε και κάτω από την κόκκινη γραμμή. Αυτό μας βοηθά να προσδιορίσουμε την περιοχή του σχήματος:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Απάντηση: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Παράδειγμα 4
Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις καμπύλες y = x 3, y = - log 2 x + 1 και τον άξονα της τετμημένης.
Λύση
Ας σχεδιάσουμε όλες τις γραμμές στο γράφημα. Μπορούμε να πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - log 2 x + 1 από τη γραφική παράσταση y = log 2 x αν την τοποθετήσουμε συμμετρικά γύρω από τον άξονα x και την μετακινήσουμε μία μονάδα προς τα πάνω. Η εξίσωση του άξονα x είναι y = 0.
Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής των ευθειών.
Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (0; 0). Αυτό συμβαίνει επειδή x = 0 είναι η μόνη πραγματική ρίζα της εξίσωσης x 3 = 0.
x = 2 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης - log 2 x + 1 = 0, άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = - log 2 x + 1 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (2; 0).
x = 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης x 3 = - log 2 x + 1 . Από αυτή την άποψη, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = - log 2 x + 1 τέμνονται στο σημείο (1; 1). Η τελευταία πρόταση μπορεί να μην είναι προφανής, αλλά η εξίσωση x 3 = - log 2 x + 1 δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες, καθώς η συνάρτηση y = x 3 είναι αυστηρά αύξουσα και η συνάρτηση y = - log 2 x + 1 είναι αυστηρά φθίνουσα.
Η περαιτέρω λύση περιλαμβάνει πολλές επιλογές.
Επιλογή 1
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε το σχήμα G ως άθροισμα δύο καμπυλόγραμμα τραπεζοειδή, που βρίσκεται πάνω από τον άξονα x, ο πρώτος από τον οποίο βρίσκεται κάτω από τη μέση γραμμή στο τμήμα x ∈ 0; 1, και το δεύτερο είναι κάτω από την κόκκινη γραμμή στο τμήμα x ∈ 1. 2. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή θα είναι ίση με S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Επιλογή Νο. 2
Το σχήμα G μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο σχημάτων, το πρώτο από τα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα x και κάτω από την μπλε γραμμή στο τμήμα x ∈ 0. 2, και το δεύτερο μεταξύ των κόκκινων και μπλε γραμμών στο τμήμα x ∈ 1; 2. Αυτό μας επιτρέπει να βρούμε την περιοχή ως εξής:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Σε αυτή την περίπτωση, για να βρείτε την περιοχή θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο της μορφής S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Στην πραγματικότητα, οι γραμμές που δέσμευαν το σχήμα μπορούν να αναπαρασταθούν ως συναρτήσεις του ορίσματος y.
Ας λύσουμε τις εξισώσεις y = x 3 και - log 2 x + 1 ως προς το x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Παίρνουμε την απαιτούμενη περιοχή:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Απάντηση: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Παράδειγμα 5
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Λύση
Με κόκκινη γραμμή σχεδιάζουμε τη γραμμή που ορίζεται από τη συνάρτηση y = x. Σχεδιάζουμε τη γραμμή y = - 1 2 x + 4 με μπλε χρώμα και τη γραμμή y = 2 3 x - 3 με μαύρο.
Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής.
Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Έλεγχος: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 όχι Είναι η λύση της εξίσωσης x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (4; 2) σημείο τομής i y = x και y = - 1 2 x + 4
Ας βρούμε το σημείο τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Έλεγχος: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (9 ; 3) σημείο a s y = x και y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Δεν υπάρχει λύση στην εξίσωση
Ας βρούμε το σημείο τομής των ευθειών y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) σημείο τομής y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3
Μέθοδος Νο. 1
Ας φανταστούμε το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος ως το άθροισμα των εμβαδών των μεμονωμένων σχημάτων.
Τότε το εμβαδόν του σχήματος είναι:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Μέθοδος Νο. 2
Το εμβαδόν του αρχικού σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο άλλων σχημάτων.
Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση της γραμμής σε σχέση με το x και μόνο μετά από αυτό εφαρμόζουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της περιοχής του σχήματος.
y = x ⇒ x = y 2 κόκκινη γραμμή y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 μαύρη γραμμή y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Η περιοχή λοιπόν είναι:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Όπως μπορείτε να δείτε, οι τιμές είναι οι ίδιες.
Απάντηση: S (G) = 11 3
Αποτελέσματα
Για να βρούμε το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται από δεδομένες γραμμές, πρέπει να κατασκευάσουμε γραμμές σε ένα επίπεδο, να βρούμε τα σημεία τομής τους και να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε την περιοχή. Σε αυτήν την ενότητα, εξετάσαμε τις πιο συνηθισμένες παραλλαγές εργασιών.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Στην πραγματικότητα, για να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός του εμβαδού χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, έτσι οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι ένα πολύ πιο πιεστικό ζήτημα. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη σας από τα γραφήματα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και, τουλάχιστον, να μπορείτε να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή και μια υπερβολή.
Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήνω αυτό το σχήμαπου βρίσκεται όχι λιγότεροάξονας x:
Επειτα το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία.
Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ.
Αυτό είναι,ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να κάνουν ένα σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.
Παράδειγμα 1
Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Πρώτα και η πιο σημαντική στιγμήλύσεις - σχέδιο σχεδίασης. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.
Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: αρχικάείναι προτιμότερο να κατασκευάζονται όλες οι ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο Επειτα- παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Είναι πιο κερδοφόρο να δημιουργείτε γραφήματα συναρτήσεων σημείο προς σημείο.
Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας σχεδιάσουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):
Στο τμήμα, βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης πάνω από τον άξονα, Να γιατί:
Απάντηση:
Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.
Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Αν εντοπίζεται καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξονα(ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση:
Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:
1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.
2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.
Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .
Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:
Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι.
Εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερα να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο..
Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.
Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:
Και τώρα η φόρμουλα εργασίας: Εάν υπάρχει κάποια συνεχής συνάρτηση στο τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο μεκάποια συνεχή συνάρτηση , τότε η περιοχή του σχήματος που οριοθετείται από τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τις γραμμές , , μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: 
Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκέφτεστε πού βρίσκεται η φιγούρα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα και, χοντρικά, σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.
Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από
Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:
Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.
Στο τμήμα, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση:
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .
Λύση: Αρχικά, ας κάνουμε ένα σχέδιο:
Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε(κοιτάξτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένος ο αριθμός!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, εμφανίζεται συχνά ένα "σφάλμα" που πρέπει να βρείτε την περιοχή μιας φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο χρώμα!
Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα.
Πραγματικά:
1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα μιας ευθείας γραμμής.
2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει μια γραφική παράσταση μιας υπερβολής.
Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:
Πρόβλημα 1(σχετικά με τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυρτού τραπεζοειδούς).
Στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xOy, δίνεται ένα σχήμα (βλ. σχήμα) που οριοθετείται από τον άξονα x, ευθείες x = a, x = b (a από ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο. Απαιτείται να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδές.
Λύση.Η Γεωμετρία μας δίνει συνταγές για τον υπολογισμό των εμβαδών των πολυγώνων και ορισμένων τμημάτων ενός κύκλου (τομέας, τμήμα). Χρησιμοποιώντας γεωμετρικές εκτιμήσεις, μπορούμε να βρούμε μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή της απαιτούμενης περιοχής, συλλογίζοντας ως εξής.
Ας χωρίσουμε το τμήμα [a; b] (βάση κυρτού τραπεζοειδούς) στο n ίσα μέρη; Αυτή η κατάτμηση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας σημεία x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Ας τραβήξουμε ευθείες γραμμές μέσα από αυτά τα σημεία παράλληλες στον άξονα y. Τότε το δεδομένο καμπυλόγραμμο τραπέζιο θα χωριστεί σε n μέρη, σε n στενές στήλες. Το εμβαδόν ολόκληρου του τραπεζοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των περιοχών των στηλών.
Ας εξετάσουμε την k-η στήλη ξεχωριστά, δηλ. ένα καμπύλο τραπεζοειδές του οποίου η βάση είναι ένα τμήμα. Ας το αντικαταστήσουμε με ένα ορθογώνιο με την ίδια βάση και ύψος ίσο με f(x k) (βλ. σχήμα). Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), όπου \(\Delta x_k \) είναι το μήκος του τμήματος. Είναι φυσικό να θεωρήσουμε το προϊόν που προκύπτει ως μια κατά προσέγγιση τιμή του εμβαδού της kth στήλης. 
Αν κάνουμε τώρα το ίδιο με όλες τις άλλες στήλες, θα καταλήξουμε στο εξής αποτέλεσμα: το εμβαδόν S ενός δεδομένου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν S n ενός κλιμακωτού σχήματος που αποτελείται από n ορθογώνια (βλ. σχήμα):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Εδώ, για λόγους ομοιομορφίας σημειογραφίας, υποθέτουμε ότι a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - μήκος του τμήματος, \(\Delta x_1 \) - μήκος του τμήματος, κ.λπ.; σε αυτήν την περίπτωση, όπως συμφωνήσαμε παραπάνω, \(\Δέλτα x_0 = \κουκκίδες = \Δέλτα x_(n-1) \)
Έτσι, \(S \περίπου S_n \), και αυτή η κατά προσέγγιση ισότητα είναι πιο ακριβής, όσο μεγαλύτερο είναι το n.
Εξ ορισμού, πιστεύεται ότι η απαιτούμενη περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι ίση με το όριο της ακολουθίας (S n):
$$ S = \lim_(n \έως \infty) S_n $$
Πρόβλημα 2(σχετικά με τη μετακίνηση ενός σημείου)
Κινείται σε ευθεία γραμμή υλικό σημείο. Η εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο εκφράζεται με τον τύπο v = v(t). Να βρείτε την κίνηση ενός σημείου σε μια χρονική περίοδο [a; σι].
Λύση.Αν η κίνηση ήταν ομοιόμορφη, τότε το πρόβλημα θα λυνόταν πολύ απλά: s = vt, δηλ. s = v(b-a). Για ανομοιόμορφη κίνηση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τις ίδιες ιδέες στις οποίες βασίστηκε η λύση στο προηγούμενο πρόβλημα.
1) Διαιρέστε το χρονικό διάστημα [a; β] σε n ίσα μέρη.
2) Θεωρήστε μια χρονική περίοδο και υποθέστε ότι κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου η ταχύτητα ήταν σταθερή, όπως και τη χρονική στιγμή t k. Υποθέτουμε λοιπόν ότι v = v(t k).
3) Ας βρούμε την κατά προσέγγιση τιμή της κίνησης του σημείου σε μια χρονική περίοδο· θα υποδηλώσουμε αυτήν την κατά προσέγγιση τιμή ως s k
\(s_k = v(t_k) \Δέλτα t_k \)
4) Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της μετατόπισης s:
\(s \περίπου S_n \) όπου
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Δέλτα t_(n-1) \)
5) Η απαιτούμενη μετατόπιση είναι ίση με το όριο της ακολουθίας (S n):
$$ s = \lim_(n \έως \infty) S_n $$
Ας συνοψίσουμε. Οι λύσεις σε διάφορα προβλήματα περιορίστηκαν στο ίδιο μαθηματικό μοντέλο. Πολλά προβλήματα από διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας οδηγούν στο ίδιο μοντέλο στη διαδικασία επίλυσης. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το μαθηματικό μοντέλο πρέπει να μελετηθεί ειδικά.
Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος
Ας δώσουμε μια μαθηματική περιγραφή του μοντέλου που δημιουργήθηκε στα τρία εξεταζόμενα προβλήματα για τη συνάρτηση y = f(x), συνεχής (αλλά όχι απαραίτητα μη αρνητικός, όπως υποτέθηκε στα εξεταζόμενα προβλήματα) στο διάστημα [a; σι]:
1) χωρίστε το τμήμα [a; β] σε n ίσα μέρη.
2) σχηματίστε το άθροισμα $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) υπολογίστε $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης αποδείχθηκε ότι αυτό το όριο υπάρχει στην περίπτωση μιας συνεχούς (ή τμηματικά συνεχούς) συνάρτησης. Ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης y = f(x) πάνω από το τμήμα [a; σι]και συμβολίζεται ως εξής:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Οι αριθμοί a και b ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης (κάτω και άνω, αντίστοιχα).
Ας επιστρέψουμε στις εργασίες που συζητήθηκαν παραπάνω. Ο ορισμός της περιοχής που δίνεται στο Πρόβλημα 1 μπορεί τώρα να ξαναγραφτεί ως εξής:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
εδώ S είναι η περιοχή του κυρτού τραπεζίου που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Αυτό είναι γεωμετρική έννοια ορισμένου ολοκληρώματος.
Ο ορισμός της μετατόπισης s ενός σημείου που κινείται σε ευθεία γραμμή με ταχύτητα v = v(t) κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου από t = a έως t = b, που δίνεται στο Πρόβλημα 2, μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
Τύπος Newton-Leibniz
Αρχικά, ας απαντήσουμε στο ερώτημα: ποια είναι η σχέση μεταξύ του οριστικού ολοκλήρωσης και του αντιπαράγωγου;
Η απάντηση βρίσκεται στο Πρόβλημα 2. Από τη μία πλευρά, η μετατόπιση s ενός σημείου που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα v = v(t) κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου από t = a έως t = b υπολογίζεται με ο τύπος
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Από την άλλη πλευρά, η συντεταγμένη ενός κινούμενου σημείου είναι μια αντιπαράγωγος για την ταχύτητα - ας τη συμβολίσουμε s(t). αυτό σημαίνει ότι η μετατόπιση s εκφράζεται με τον τύπο s = s(b) - s(a). Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
όπου s(t) είναι το αντιπαράγωγο του v(t).
Το παρακάτω θεώρημα αποδείχθηκε κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης.
Θεώρημα. Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [a; b], τότε ο τύπος είναι έγκυρος
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
όπου F(x) είναι το αντιπαράγωγο της f(x).
Ο δεδομένος τύπος συνήθως ονομάζεται Τύπος Newton-Leibnizπρος τιμήν του Άγγλου φυσικού Ισαάκ Νεύτωνα (1643-1727) και του Γερμανού φιλοσόφου Γκότφριντ Λάιμπνιτς (1646-1716), οι οποίοι το έλαβαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον και σχεδόν ταυτόχρονα.
Στην πράξη, αντί να γράφουν F(b) - F(a), χρησιμοποιούν τον συμβολισμό \(\left. F(x)\right|_a^b \) (μερικές φορές ονομάζεται διπλή αντικατάσταση) και, κατά συνέπεια, ξαναγράψτε τον τύπο Newton-Leibniz με αυτή τη μορφή:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \αριστερά. F(x)\right|_a^b \)
Κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, βρείτε πρώτα το αντιπαράγωγο και μετά πραγματοποιήστε διπλή αντικατάσταση.
Με βάση τον τύπο Newton-Leibniz, μπορούμε να λάβουμε δύο ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.
Ιδιοκτησία 1.Ολοκλήρωμα του αθροίσματος των συναρτήσεων ίσο με το άθροισμαολοκληρώματα:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Υπολογισμός των εμβαδών των επίπεδων σχημάτων με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος
Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε τις περιοχές όχι μόνο των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών, αλλά και των επίπεδων μορφών περισσότερο σύνθετου τύπου, για παράδειγμα αυτό που φαίνεται στο σχήμα. Το σχήμα P περιορίζεται από ευθείες x = a, x = b και γραφήματα συνεχών συναρτήσεων y = f(x), y = g(x), και στο τμήμα [a; b] ισχύει η ανισότητα \(g(x) \leq f(x) \). Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν S ενός τέτοιου σχήματος, θα προχωρήσουμε ως εξής:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Άρα, το εμβαδόν S ενός σχήματος που οριοθετείται από ευθείες x = a, x = b και γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f(x), y = g(x), συνεχές στο τμήμα και τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε x από το τμήμα [ένα; β] η ανισότητα \(g(x) \leq f(x) \) ικανοποιείται, υπολογισμένη με τον τύπο
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)