1. Η ουσία της μεθόδου μετασχηματισμού, η θέση της μέσα σχολικό μάθημαγεωμετρία.

2. Τύποι μετασχηματισμών:

α) κινήσεις και τις ιδιότητές τους· ισότητα αριθμών·

β) μετασχηματισμός ομοιότητας. παρόμοια στοιχεία.

3. Εφαρμογές της μεθόδου των μετασχηματισμών.

(1) Για διαφορετικούς συγγραφείς εγχειριδίων γεωμετρίας για σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, οι μετασχηματισμοί καταλαμβάνουν διαφορετικές θέσεις ως προς τον όγκο και το επίπεδο αυστηρότητας. ΣΕ οδηγός μελέτηςυπό την επιμέλεια του A. N. Kolmogorov, οι μετασχηματισμοί χρησιμεύουν ως βάση για την απόδειξη πολλών θεωρημάτων (ένα ειδικό αξίωμα της κινητικότητας είναι αφιερωμένο στην αιτιολόγησή τους). Το εγχειρίδιο του A. P. Kiselev δεν λέει απολύτως τίποτα για μετασχηματισμούς.

Στη Γεωμετρία 7-11 A. V. Pogorelov, το θέμα του μετασχηματισμού των σχημάτων εξετάζεται στην όγδοη τάξη. Το θέμα δεν είναι μεγάλο. Η έννοια του «μετασχηματισμού» προέρχεται σε οπτικο-διαισθητικό επίπεδο: «Αν κάθε σημείο μιας δεδομένης φιγούρας μετατοπιστεί με κάποιο τρόπο, τότε θα πάρουμε μια νέα φιγούρα. Αυτός ο αριθμός λέγεται ότι προκύπτει από έναν μετασχηματισμό από το δεδομένο.

Ο περιγραφικός ορισμός συνοδεύεται από σχέδιο. Δίνεται ο ορισμός της κίνησης και εξετάζονται οι ιδιότητές της. Περαιτέρω, συγκεκριμένοι τύποι μετασχηματισμών ορίζονται σαφώς. Σε αυτό το σεμινάριο, η συμμετρία ως προς ένα σημείο, η συμμετρία ως προς μια ευθεία, η ομοιογένεια και η ομοιότητα ορίζονται ως μετασχηματισμοί με τις αντίστοιχες ιδιότητες. Η παράλληλη μετάφραση ορίζεται ως ένας μετασχηματισμός σε μορφή συντεταγμένων. και η στροφή ορίζεται ως ένα είδος κίνησης. Ταυτόχρονα με τον ορισμό των μετασχηματισμών, δίνεται επίσης μια μέθοδος κατασκευής μορφών υπό μετασχηματισμούς.

Στον οδηγό μελέτης γεωμετρία 7-9 (συγγραφείς: L. S. Atanasyan και άλλοι), το υλικό για τους μετασχηματισμούς παρουσιάζεται από το θέμα "Κίνηση" στην τάξη 9. Αυτό είναι το τελευταίο θέμα σε αυτό το σεμινάριο. Εδώ εισάγονται οι έννοιες της «χαρτογράφησης ενός επιπέδου στον εαυτό του», «κίνηση» και εξετάζονται οι κύριοι τύποι κινήσεων. Επιπλέον, κατανοήστε σημαντική ερώτησηγια τη σύνδεση των εννοιών επικαλύψειςΚαι κινήσεις, αποδεικνύεται η ισοδυναμία τους.

Κύριος σκοπός του θέματος είναι να εξοικειωθούν οι μαθητές με την έννοια της κίνησης σε ένα επίπεδο, με συγκεκριμένα είδη κίνησης: κεντρική και αξονική συμμετρία, παράλληλη μετάφραση, περιστροφή. Η έννοια της χαρτογράφησης ενός επιπέδου στον εαυτό του θεωρείται μόνο ως βάση για την εισαγωγή της έννοιας της κίνησης. Η χαρτογράφηση ενός επιπέδου στον εαυτό του σε οπτικό-διαισθητικό επίπεδο εξετάζεται με τη συμμετοχή των εννοιών της αξονικής και κεντρικής συμμετρίας που είναι ήδη γνωστές στους μαθητές.

Από το πρόγραμμα δευτεροβάθμιο σχολείοστα μαθηματικά δεν παρέχει ακόμη λεπτομερή μελέτη διάφορες ιδιότητεςαπό αυτούς τους μετασχηματισμούς, τότε το ζήτημα της χρήσης μετασχηματισμών θα πρέπει να ληφθεί ως προαιρετικές τάξεις ή να εξεταστεί στην τάξη ενός μαθηματικού κύκλου. Όπως προαναφέρθηκε, στο μάθημα της γεωμετρίας ενός σχολείου γενικής εκπαίδευσης δεν μπαίνουν στις λεπτομέρειες του μαθηματικού ορισμού της έννοιας «μεταμόρφωση». Αλλά ένας δάσκαλος μαθηματικών πρέπει να κατανοήσει ότι στη γεωμετρία ένας μετασχηματισμός (στην περίπτωση ενός επιπέδου) νοείται ως «μια χαρτογράφηση ολόκληρου του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία κάθε σημείο Χχαρτογραφημένο σε ένα μόνο σημείο Χ 1 , και κάθε σημείο ΥΤο 1 αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο Υ».

Για τους μαθητές, μιλάμε για μετασχηματισμό σχημάτων. Ένα σχήμα, σε αντίθεση με ένα επίπεδο, είναι πεπερασμένο, επομένως η έννοια του μετασχηματισμού μορφών είναι πιο προσιτή. Οι μαθητές μπορούν να πουν ότι ο μετασχηματισμός ενός επιπέδου είναι συνάρτηση, επιπλέον, σχηματισμός, αλλά στη γεωμετρία μιλάμε για την αντιστοιχία σημείων, όχι για αριθμούς.

(2) Μεταξύ των μετασχηματισμών που μελετήθηκαν στο σχολείο, υπάρχουν δύο τύποι αυτών: μετασχηματισμός κίνησης και μετασχηματισμός ομοιότητας. Δεν μελετώνται όλοι οι τύποι μετασχηματισμών στο σχολείο.

«Η μετατροπή μιας φιγούρας σε άλλη ονομάζεται κίνηση εάν διατηρεί την απόσταση μεταξύ των σημείων, δηλ. μεταφράζει οποιαδήποτε δύο σημεία ΧΚαι Υένα σχήμα ανά τελεία Χ 1 και Υ 1 άλλο σχήμα έτσι ώστε XY = Χ 1 Υ 1".

Εάν ληφθεί υπόψη η διαδοχική εκτέλεση δύο ή περισσότερων μετασχηματισμών, τότε το αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαδοχικής εκτέλεσης μετασχηματισμών στη γεωμετρία ονομάζεται σύνθεσημεταμορφώσεις.

Σε αυτό το σεμινάριο, δίνεται μόνο μία ιδιότητα σύνθεσης: δύο κινήσεις που εκτελούνται διαδοχικά δίνουν ξανά κίνηση.

Εξετάζεται επίσης ο μετασχηματισμός αντίστροφος προς τον δεδομένο. Αποδεικνύεται ότι ένας μετασχηματισμός αντίστροφος σε κίνηση είναι κίνηση.

Η ιδιότητα είναι σιωπηρά παρούσα: η σύνθεση του μετασχηματισμού του αντιστρόφου της είναι ο ταυτόσημος μετασχηματισμός.

Οι μαθητές θα πρέπει να κατανοήσουν ότι αφού αποδείξουν τις ιδιότητες της κίνησης, είναι δυνατό να λειτουργήσουν όχι μόνο με σημεία, αλλά και να υποβάλουν τμήματα, ευθείες γραμμές, ακτίνες, γωνίες κ.λπ. σε μετασχηματισμούς. Και μπορείτε να είστε απολύτως βέβαιοι ότι οι φιγούρες που έχουν υποβληθεί στον μετασχηματισμό της κίνησης θα έχουν το ίδιο όνομα: τα τμήματα θα μετατραπούν σε τμήματα, οι γωνίες σε γωνίες κ.λπ. Επιπλέον, τα τμήματα θα πάνε σε ίσα τμήματα, οι γωνίες σε ίσες γωνίες κ.λπ.

Στο εγχειρίδιο του A. V. Pogorelov, αποδεικνύεται ότι η συμμετρία ως προς ένα σημείο είναι κίνηση (χρησιμοποιώντας το πρώτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων). Η συμμετρία ως προς μια ευθεία είναι κίνηση (αποδεικνύεται με τη μέθοδο των συντεταγμένων). Στη δεύτερη περίπτωση, ως άξονας y επιλέγεται ο άξονας συμμετρίας.

Το επόμενο βήμα στις μαθησιακές κινήσεις είναι η χρήση τους για τον προσδιορισμό ισότηταφιγούρες.

Η ισότητα των σχημάτων σε διαφορετικά μαθήματα σχολικής γεωμετρίας εισάγεται με διαφορετικούς τρόπους. Μερικές φορές ο γενικός ορισμός " ισοψηφία” δεν δίνεται καθόλου, μερικές φορές μπαίνει αμέσως. Στο σχολικό βιβλίο A.V. Ο Pogorelov εισήγαγε αρχικά την έννοια της ισότητας συγκεκριμένων σχημάτων (τμήματα, γωνίες, τρίγωνα) και στη συνέχεια έδωσε γενικός ορισμόςισότητα μορφών χρησιμοποιώντας την έννοια της κίνησης: " Δύο σχήματα λέγονται ίσα αν μεταφερθούν από το ένα στο άλλο με κίνηση.

Αποδείχθηκαν σημαντικό γεγονός: η ισότητα των τριγώνων, που ορίζεται μέσω του συνδυασμού τους από την κίνηση, και η ισότητα, όπως την έχουμε καταλάβει μέχρι τώρα, εκφράζουν το ίδιο πράγμα. Με άλλα λόγια, μπορεί κανείς να αποδείξει την ισοδυναμία των δύο ορισμών. Η απόδειξη αποτελείται από δύο μέρη: 1) από την υπόθεση ότι 2 τρίγωνα αλφάβητοΚαι ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1 συνδυάζονται με κίνηση, αποδεικνύεται η ισότητα των αντίστοιχων γωνιών και πλευρών τους. 2) Υποτίθεται ότι οι αντίστοιχες πλευρές και γωνίες αυτών των τριγώνων είναι ίσες και αποδεικνύεται ότι μπορούν να συνδυαστούν με κίνηση.

Το πρώτο μέρος της απόδειξης βασίζεται στον ορισμό της κίνησης και στην ιδιότητά της ότι οι γωνίες διατηρούνται σε κίνηση. Η λύση στο δεύτερο μέρος του προβλήματος εξαρτάται από τη θέση των τριγώνων. Εξετάστε μια από τις παραλλαγές της απόδειξης, διαφορετική από αυτή που δίνεται στο σχολικό βιβλίο από τον A.V. Πογκορέλοφ. Τρίγωνο ΕΝΑ 2 ΣΕ 1 ΜΕ 2 που προέρχεται από τρίγωνο αλφάβητοπαράλληλη μετάφραση προς την κατεύθυνση που δίνει η ακτίνα AA 2 για απόσταση AA 2. Τρίγωνο ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1 που προκύπτει από τρίγωνο ΕΝΑ 2 ΣΕ 1 ΜΕ 2 περιστρέφοντας τη γωνία α δεξιόστροφα (βλ. Εικ. 1).

Ο κύριος σκοπός της μελέτης αυτού του θέματος είναι να εισαγάγει τους μαθητές σε παραδείγματα γεωμετρικών μετασχηματισμών.

Όταν εργάζεστε σε ένα θέμα, η κύρια προσοχή πρέπει να δοθεί στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων κατασκευής εικόνων των απλούστερων μορφών (σημεία, τμήματα, τρίγωνα) με συγκεκριμένες κινήσεις. Σε αυτή την περίπτωση, η ιδιότητα της κίνησης χρησιμοποιείται σε οπτικό-διαισθητικό επίπεδο, τα αντίστοιχα θεωρήματα μπορούν να θεωρηθούν χωρίς απόδειξη. Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι μαθητές θα πρέπει να εξοικειωθούν με παραδείγματα σχημάτων που έχουν συμμετρία.

Γενική έννοιασχετικά με την ισότητα των αριθμών μπορεί να εξεταστεί μόνο σε ένα εισαγωγικό σχέδιο (για παράδειγμα, σε μια μορφή διάλεξης) χωρίς μεταγενέστερη αναπαραγωγή των στοιχείων από τους μαθητές.

Στον οδηγό μελέτης γεωμετρία 7-9 Λ.Σ. Atanasyan και άλλοι, το θέμα της "Κίνησης" ξεκινά με την εισαγωγή της έννοιας της χαρτογράφησης ενός επιπέδου στον εαυτό του, ο ορισμός της οποίας δίνεται περιγραφικά.

Η μελέτη του θέματος ξεκινά με την επανάληψη της έννοιας ενός σημείου συμμετρικό ως προς ένα δεδομένο σημείο ( κεντρική συμμετρία) και δεδομένη γραμμή ( αξονική συμμετρία).

Νωρίς, στην 8η τάξη, οι μαθητές θεωρούσαν την κεντρική και την αξονική συμμετρία ως ιδιότητα γεωμετρικά σχήματα. Τώρα, αυτές οι, γενικά, οικείες έννοιες εισάγονται ως παραδείγματα χαρτογράφησης ενός επιπέδου στον εαυτό του. Κατά την επανάληψη, οι μαθητές θα πρέπει να οδηγηθούν στην έννοια της διατήρησης της απόστασης μεταξύ των σημείων. Οι παρακάτω εργασίες μπορούν να εξυπηρετήσουν αυτόν τον σκοπό.

1. Χτίστε σημεία ΕΝΑ 1 , ΣΕ 1 , συμμετρικό σε σημεία ΕΝΑΚαι ΣΕσχετικά ευθεία μεγάλο(βλ. Εικ. 2α – 2γ).

2. Υπάρχει σημείο στο επίπεδο για το οποίο δεν υπάρχει σημείο συμμετρικό ως προς τη δεδομένη ευθεία;

3. Να αποδείξετε ότι σε κάθε μία από τις περιπτώσεις 2a – 2b ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 = ΑΒ.

4. Κρεμάστε σημεία ΕΝΑ 1 και ΣΕ 1 , συμμετρικό σε σημεία ΕΝΑΚαι ΣΕσε σχέση με το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, εάν α) σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕβρίσκεται στη γραμμή ΑΒ; β) σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕδεν βρίσκεται σε ευθεία γραμμή ΑΒ.

5. Υπάρχει τέτοιο σημείο στο επίπεδο για το οποίο δεν υπάρχει σημείο συμμετρικό ως προς αυτό το σημείο;

6. Να αποδείξετε ότι σε καθεμία από τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν στο πρόβλημα 4 ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 = ΑΒ.

Τώρα μπορούμε να εισαγάγουμε την έννοια της χαρτογράφησης ενός επιπέδου στον εαυτό του και να το απεικονίσουμε με παραδείγματα κεντρικής και αξονικής συμμετρίας. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι όταν ένα αεροπλάνο χαρτογραφείται στον εαυτό του, πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

1) Κάθε σημείο στο επίπεδο συνδέεται με κάποιο σημείο του επιπέδου.

2) Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχίζεται σε κάποιο σημείο του επιπέδου.

Μετά από αυτό, μπορείτε να εξετάσετε τις εργασίες για επιδιόρθωση αυτή η έννοια.

Τώρα, με βάση τις εργασίες 3 και 6 που συζητήθηκαν παραπάνω, εισάγουμε την έννοια της κίνησης:

"Η κίνηση ενός επιπέδου είναι μια χαρτογράφηση ενός επιπέδου στον εαυτό του που διατηρεί την απόσταση."

Μετά από αυτό, εξετάζεται το θεώρημα της αντιστοίχισης τμημάτων και το συμπέρασμά του. Οι μαθητές θα πρέπει να επικεντρωθούν στο γεγονός ότι η απόδειξη αποτελείται από 2 μέρη:

1) αποδεικνύεται ότι κάθε σημείο Rαυτό το τμήμα MNχαρτογραφημένο σε κάποιο σημείο R 1 κόψιμο Μ 1 Ν 1 ;

2) αποδεικνύεται ότι σε κάθε σημείο R 1 κόψιμο Μ 1 Ν 1 περνάει κάποιο σημείο Rαυτό το τμήμα MN.

Το στοιχείο "Επικάλυψη και κίνηση" είναι προαιρετικό, αλλά σε μια καλά προετοιμασμένη τάξη, μπορεί να ληφθεί υπόψη. Αυτό το υλικό μπορεί να παρουσιαστεί σε μορφή διάλεξης. Η έννοια της επιβολής, βάσει της οποίας καθορίστηκε η ισότητα των μορφών, είναι μια από τις βασικές (απροσδιόριστες) έννοιες σε αυτό το μάθημα της γεωμετρίας. Οι επικαλύψεις είναι τέτοιες αντιστοιχίσεις του επιπέδου στον εαυτό του, οι οποίες έχουν τις ιδιότητες που εκφράζονται στα αξιώματα 7 - 13 (Atanasyan L.S. et al. Geo. 7-9).

Η κίνηση είναι μια καθορισμένη έννοια: είναι μια χαρτογράφηση ενός επιπέδου στον εαυτό του που διατηρεί την απόσταση.

Από τον ορισμό της κίνησης και τα αξιώματα της επιβολής προκύπτει άμεσα ότι οποιαδήποτε επικάλυμμαείναι κίνηση. Αποδεικνύεται και ο αντίστροφος ισχυρισμός: οποιαδήποτε κίνησηείναι επικάλυμμα.

Έτσι, η έννοια της επιβολής συμπίπτει με την έννοια της κίνησης.

Δεν χρειάζεται να απαιτείται από τους μαθητές να αποδείξουν τα γεγονότα που αναφέρονται στην παράγραφο 115.

Το υλικό για την παράλληλη μετάφραση και περιστροφή δύο ακόμη τύπων κινήσεων μπορεί επίσης να παρουσιαστεί με τη μορφή διάλεξης. Είναι χρήσιμο να επιστήσουμε την προσοχή των μαθητών στο γεγονός ότι κατά τη διάρκεια της παράλληλης μετάφρασης, μια γραμμή χαρτογραφείται σε μια γραμμή παράλληλη προς αυτήν ή στον εαυτό της. Από αυτό ακολουθεί μια απλή μέθοδος για την κατασκευή εικόνων γραμμών και τμημάτων με παράλληλη μετάφραση.

Αποδεικνύοντας ότι η παράλληλη μετάφραση και η εναλλαγή είναι κινήσεις, οι δυνατοί μαθητές μπορούν να καταλάβουν από το σχολικό βιβλίο μόνοι τους στην τάξη, ακολουθούμενη από μια γενική συζήτηση. Δεν θα πρέπει να απαιτείται από τους αδύναμους μαθητές να αναπαράγουν στοιχεία.

Στο τέλος του κεφαλαίου δίνονται γεωμετρικά προβλήματα, για τη λύση των οποίων προτείνεται η χρήση κινήσεων.

Μερικά από αυτά τα προβλήματα δίνονται με λύσεις.

(2β) Παίζει ο μετασχηματισμός της ομοιότητας σημαντικός ρόλοςστη γεωμετρία. Αυτό είναι κατανοητό. Ο πραγματικός μας χώρος έχει μια ομάδα ομοιότητας. Όλα τα γεωμετρικά αντικείμενα του χώρου, εάν σχηματίζονται από ευθύγραμμα τμήματα, μπορούν να χωριστούν σε 2 σύνολα: παρόμοια και διαφορετικά σχήματα. Στο σύνολο παρόμοιων σχημάτων μπορεί να υπάρχουν ίσα. Η έννοια της ομοιότητας των μορφών σε ένα παιδί προκύπτει πολύ νωρίτερα από την έννοια του μεγέθους τους. Αυτό οφείλεται στις ιδιαιτερότητες της οπτικής αντίληψης: Δύο φιγούρες διαφορετικά μεγέθη, αλλά πανομοιότυπα σε μορφή δεν διαφέρουν.

Το σχήμα των σχημάτων δεν αλλάζει όταν αλλάζει η απόσταση από την οποία είναι ορατό το σχήμα. Τα κύρια σημάδια της αμετάβλητης μορφής μιας φιγούρας είναι ισότηταγωνίες και αναλογικότητατα αντίστοιχα τμήματα.

Στο σχολικό βιβλίο A.V. Pogorelov Geometry 7 – 11 του ορισμού του μετασχηματισμού ομοιότητας εισάγεται παρόμοια με τον ορισμό της κίνησης:

Ο μετασχηματισμός ενός σχήματος F σε σχήμα F 1 ονομάζεται μετασχηματισμός ομοιότητας εάν, κατά τη διάρκεια αυτού του μετασχηματισμού, η απόσταση μεταξύ των σημείων αυξάνεται (ή μειώνεται) κατά τον ίδιο αριθμό φορών.

Αυτό σημαίνει ότι αν αυθαίρετα σημεία ΕΝΑΚαι ΣΕφιγούρες φάκάτω από αυτόν τον μετασχηματισμό πηγαίνετε σε σημεία ΕΝΑ 1 και ΣΕ 1 φιγούρες φά 1, λοιπόν ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 = kAB. Αριθμός κονομάζεται συντελεστής ομοιότητας.

Μετά την εισαγωγή αυτής της έννοιας, αποδεικνύεται ότι ομοιογένειαείναι ένας μετασχηματισμός ομοιότητας. Το γεγονός αυτό αποδεικνύεται με τη μέθοδο του διανύσματος. Ομοίως, ως προς την κίνηση, αποδεικνύεται ότι κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας τρία σημεία ΕΝΑ, ΣΕ, ΜΕ, ξαπλωμένος σε μία ευθεία, πηγαίνετε σε τρία σημεία ΕΝΑ 1 , ΣΕ 1 , ΜΕ 1 που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, και διατηρείται η σειρά της αμοιβαίας διευθέτησής τους. Από αυτό προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός ομοιότητας μετατρέπει τις γραμμές σε γραμμές, τις ακτίνες σε ακτίνες, τα τμήματα σε τμήματα.

Χρησιμοποιώντας την ομοιογένεια, αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός ομοιότητας διατηρεί τις γωνίες μεταξύ των ημιευθειών.

Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν ότι κάθε μετασχηματισμός ομοιότητας δεν είναι ομοιογένεια.

Με τη βοήθεια της έννοιας του μετασχηματισμού ομοιότητας, δίνεται ένας ορισμός παρόμοιων σχημάτων. Στο σχολικό βιβλίο A.V. Ο Pogorelov δίνει αρχικά έναν ορισμό όμοιων σχημάτων: «Δύο σχήματα ονομάζονται όμοια εάν μεταφράζονται το ένα στο άλλο με μετασχηματισμό ομοιότητας».

Το ειδικό σύμβολο ~ () χρησιμοποιείται για να δηλώσει τέτοιους αριθμούς. φά ~ φά 1).

Στη συνέχεια εξετάζεται η ομοιότητα των τριγώνων.

Ηχογραφήθηκε ∆ αλφάβητο~∆ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1, υποτίθεται ότι οι κορυφές που ταιριάζουν με τον μετασχηματισμό ομοιότητας βρίσκονται στις αντίστοιχες θέσεις, δηλ. ΕΝΑπηγαίνει σε ΕΝΑ 1 κ.λπ.

Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού ομοιότητας προκύπτει ότι παρόμοια τρίγωναοι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες και οι αντίστοιχες πλευρές ανάλογες.

Η απόδειξη των σημείων ομοιότητας πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την έννοια της ομοιοθείας. Τα σημάδια ομοιότητας των ορθογώνιων τριγώνων εξετάζονται χωριστά.

Το θέμα "Πολύγωνα" ασχολείται με το ζήτημα της ομοιότητας των κανονικών κυρτών πολυγώνων.

Το θέμα "Περιοχές σχημάτων" ασχολείται με το εμβαδόν παρόμοιων σχημάτων: "οι περιοχές όμοιων σχημάτων συσχετίζονται με τα τετράγωνα των αντίστοιχων γραμμικών τους διαστάσεων."

Η έννοια του μετασχηματισμού μορφών στο χώρο εισάγεται με τον ίδιο τρόπο όπως σε ένα επίπεδο. Ωστόσο, υπάρχουν ορισμένα χαρακτηριστικά.

Όταν εξετάζουμε τον μετασχηματισμό της συμμετρίας στο χώρο, εκτός από τη συμμετρία ως προς ένα σημείο και μια ευθεία, προστίθεται και η συμμετρία ως προς ένα επίπεδο. Μια νέα ιδιότητα της κίνησης στο διάστημα είναι ότι η κίνηση μετατρέπει τα επίπεδα σε επίπεδα. Μια νέα ιδιότητα για παράλληλη μετάφραση στο χώρο είναι η ακόλουθη ιδιότητα: κατά την παράλληλη μετάφραση στο χώρο, κάθε επίπεδο περνά είτε μέσα του είτε σε επίπεδο παράλληλο με αυτό.

Κατά την εξέταση του θέματος "Ομοιότητες χωρικών σχημάτων", προστίθενται οι ακόλουθες δηλώσεις: "ο μετασχηματισμός ομοιότητας μετατρέπει τα επίπεδα σε επίπεδα" και "ο μετασχηματισμός ομοιότητας στο χώρο μετατρέπει οποιοδήποτε επίπεδο που δεν διέρχεται από το κέντρο ομοθείας σε παράλληλο επίπεδο (ή στον εαυτό του πότε κ=1).

Όταν εξετάζουμε μετασχηματισμούς στο χώρο, μπορεί κανείς να περιοριστεί στις διαισθητικές οπτικές αναπαραστάσεις του και να μην επικεντρωθεί στην εξαγωγή των γεγονότων που χρησιμοποιούνται. Και η κύρια έμφαση πρέπει να δοθεί στη χρήση μετασχηματισμών στην απόδειξη θεωρημάτων και στην επίλυση προβλημάτων.

Στο σχολικό βιβλίο Λ.Σ. Atanasyan και άλλοι στην 8η τάξη στο Κεφάλαιο VII, εξετάζεται το θέμα "Παρόμοια Τρίγωνα", το οποίο ξεκινά με την εισαγωγή της έννοιας των αναλογικών τμημάτων. Οι μαθητές εξηγούνται ότι Καθημερινή ζωήπρέπει να αντιμετωπίσετε αντικείμενα του ίδιου σχήματος, αλλά διαφορετικών μεγεθών. Τέτοια αντικείμενα είναι τα πρωτότυπα τέτοιων γεωμετρικών σχημάτων. Η εστίαση είναι σε παρόμοια τρίγωνα. Η ομοιότητα των τριγώνων εισάγεται όχι με τη βοήθεια ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, αλλά μέσω της ισότητας των γωνιών και της αναλογικότητας όμοιων πλευρών. Τα σημάδια ομοιότητας τριγώνων αποδεικνύονται πολύ απλά, με βάση το θεώρημα: «Αν η γωνία ενός τριγώνου ίσο με τη γωνίαένα άλλο τρίγωνο, τότε τα εμβαδά αυτών των τριγώνων συσχετίζονται ως το γινόμενο των πλευρών που περιέχουν ίσες γωνίες.

Μετά την απόδειξη των σημείων ομοιότητας, παρουσιάζεται η εφαρμογή της ομοιότητας στην απόδειξη θεωρημάτων και στην επίλυση προβλημάτων. Ως πρακτικές εφαρμογές της ομοιότητας τριγώνων, περιγράφονται μέθοδοι αλλαγής του ύψους ενός αντικειμένου και της απόστασης από ένα απρόσιτο σημείο. Δίνεται μια ιδέα για την εφαρμογή της μεθόδου ομοιότητας στην επίλυση κατασκευαστικών προβλημάτων.

Σε πολύ σύντομη μορφήπώς να προσδιορίσετε την ομοιότητα αυθαίρετων σχημάτων. σύμβολα που χρησιμοποιούνται: ∆ αλφάβητο~∆ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1 (τρίγωνο αλφάβητοπαρόμοιο με ένα τρίγωνο ΕΝΑ 1 ΣΕ 1 ΜΕ 1). Δίνεται η έννοια των κεντρικών μορφών: «κάθε σημείο Μφιγούρες φάχαρτογραφημένο σημείο Μ 1 επίπεδο έτσι ώστε τα σημεία ΜΚαι Μ 1 βρίσκεται σε μια ακτίνα με αρχή σε κάποιο σταθερό σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, Εξάλλου ΟΜ 1 = kOM(Βλέπε Εικ. 3). Ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας σύγκρισης, προκύπτει ένα σχήμα F 1, παρόμοιο με το σχήμα φά. Σε αυτή την περίπτωση, τα στοιχεία φάΚαι φά 1 ονομάζονται σαν κέντρο.

(3) Η μέθοδος μετασχηματισμού χρησιμοποιείται όταν εξετάζονται διάφορα θεωρητικά ζητήματαμάθημα γεωμετρίας: Εφαρμογή της κίνησης στον προσδιορισμό της ισότητας των σχημάτων: εφαρμογή μετασχηματισμού ομοιότητας στη μελέτη όμοιων τριγώνων (στο εγχειρίδιο του A.V. Pogorelov); η παράλληλη μετάφραση και τα διανύσματα συνδέονται στενά.

Η μέθοδος μετασχηματισμού χρησιμοποιείται ευρέως στην επίλυση διαφόρων γεωμετρικών προβλημάτων. Ωστόσο, οι μαθητές δεν εξοικειώνονται με τη χρήση αυτής της μεθόδου στην επίλυση προβλημάτων στα σχολικά μαθήματα μαθηματικών. Αυτή η ερώτηση υποβάλλεται σε προαιρετικές ή εξωσχολικές δραστηριότητες.

Η μέθοδος των μετασχηματισμών χρησιμοποιείται στην επίλυση προβλημάτων για απόδειξη, για κατασκευή, για την επίλυση των λεγόμενων γεωμετρικών προβλημάτων για την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούνται όλοι οι τύποι μετασχηματισμών.

Σελίδα 1

Οι μετασχηματισμοί των σχημάτων μελετώνται στην πορεία της γεωμετρίας στο επίπεδο και στο χώρο. Εάν κάθε σημείο μιας δεδομένης φιγούρας σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα μετατοπιστεί με κάποιο τρόπο, τότε θα πάρουμε ένα νέο σχήμα. Αυτός ο αριθμός λέγεται ότι προκύπτει από έναν μετασχηματισμό από το δεδομένο.

Ο μετασχηματισμός του σχήματος F σε F2 είναι μετασχηματισμός ομοιότητας, αφού διατηρεί τη σχέση των αποστάσεων μεταξύ των αντίστοιχων σημείων, αλλά αυτός ο μετασχηματισμός δεν είναι ομοιογένεια.

Ο μετασχηματισμός ενός σχήματος F σε σχήμα F ονομάζεται μετασχηματισμός που μοιάζει με κέντρο ή ομοιοθεία.

Η μετατροπή ενός σχήματος F σε σχήμα P ονομάζεται μετασχηματισμός ομοιότητας εάν, κατά τη διάρκεια αυτού του μετασχηματισμού, οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων αλλάζουν (αυξάνονται ή μειώνονται) κατά τον ίδιο αριθμό φορών.

Έστω ο μετασχηματισμός του σχήματος F στο σχήμα FI μεταφέρει διάφορα σημεία του σχήματος F σε διαφορετικούς φούρνους του σχήματος F. Έστω ένα αυθαίρετο σημείο X του σχήματος F να περάσει στο σημείο X του σχήματος F κατά τη διάρκεια αυτού του μετασχηματισμού. το αντίστροφο του δεδομένου. Ένας μετασχηματισμός αντίστροφος προς την κίνηση είναι επίσης κίνηση.

Στη γεωμετρία, ο μετασχηματισμός μορφών αυτής της φύσης ονομάζεται μετασχηματισμός ομοιότητας.

Στην περίπτωση αυτή, ο μετασχηματισμός ενός σχήματος νοείται ως μετατόπισή του. Ανάμεσα στους μετασχηματισμούς ξεχωρίζουν οι κινήσεις και οι μετασχηματισμοί ομοιότητας. Θεωρούνται συγκεκριμένοι τύποι κινήσεων: αξονική συμμετρία, κεντρική συμμετρία, περιστροφή, παράλληλη μετάφραση. Ένας ιδιαίτερος τύπος μετασχηματισμού ομοιότητας είναι η ομοθεία.

Οι αριθμοί που αντιστοιχούν σε αυτόν τον μετασχηματισμό ονομάζονται. Μια φιγούρα που συμπίπτει με την αμοιβαία πολική της, ονομάζεται.

Στη γεωμετρία, τέτοιοι μετασχηματισμοί σχημάτων ονομάζονται παρόμοιοι.

Με τον όρο μετατόπιση εννοούμε έναν τέτοιο μετασχηματισμό σχημάτων, όταν όλα τα σημεία τους, χωρίς να αλλάξουν τη σχετική θέση, την αλλάζουν σε σχέση με τα σταθερά επίπεδα προβολής. Με μια επίπεδη-παράλληλη κίνηση, όλα τα σημεία του σχήματος κινούνται προς τα μέσα παράλληλα επίπεδα. Αυτά είναι συνήθως επίπεδα επίπεδα ή επίπεδα προβολής. Οι γραμμές κατά τις οποίες κινούνται τα σημεία ονομάζονται τροχιές τους, είναι επίπεδες καμπύλες.

Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις είναι ευεργετική χρήσημετατρέποντας μια φιγούρα σε παρόμοια φιγούρα. Αυτή η ομοιότητα διατηρεί τις γωνίες, αλλά μπορεί να αλλάξει τις αποστάσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, όλες οι αποστάσεις αυξάνονται (ή μειώνονται) με τον ίδιο λόγο, που ονομάζεται συντελεστής ομοιότητας.

Είναι συχνά δυνατό να καταλήξουμε σε μια λύση ενός προβλήματος μέσω της μεθόδου μετασχηματισμού σχημάτων, και ακόμη και σε πολλές περιπτώσεις η επιτυχία αυτής της μεθόδου μπορεί να προβλεφθεί με μια ματιά. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην αντικατάσταση του δεδομένου ή επιθυμητού σχήματος, ή κάποιου μέρους τους, με ένα νέο σχήμα που σχετίζεται με την αρχική οριστική κατασκευή και επιτρέπει τη λύση του προβλήματος ή την προσέγγιση της λύσης του. Προς το παρόν, θα εξετάσουμε μόνο τέτοιους μετασχηματισμούς στους οποίους το νέο σχήμα είναι ίσο με το παλιό και διαφέρει από αυτό μόνο στη θέση του.

Η κατασκευή της Desarguesian διαμόρφωσης οδηγεί σε μια ενδιαφέρουσα συνέπεια που σχετίζεται με τους μετασχηματισμούς των μορφών και την κατασκευή προοπτικών προβολών. Κατά την επίλυση του προηγούμενου προβλήματος, δόθηκαν πέντε σημεία - μια γραμμή Desargues που ορίζεται από δύο σημεία M και P, ένα σημείο Desargues S και δύο σημεία A και A που βρίσκονται σε μια άκρη της πυραμίδας στα διάφορα τμήματα της. Για δύο άλλα σημεία ενός τμήματος της πυραμίδας (της βάσης της) Β και Γ, τα αντίστοιχα σημεία Β και Γ βρέθηκαν σε άλλο τμήμα. Αντίστοιχα σημεία είναι σημεία που βρίσκονται στην ίδια άκρη.

75. Παραδείγματα μετασχηματισμών σχημάτων.

Οι μετασχηματισμοί των σχημάτων μελετώνται στην πορεία της γεωμετρίας στο επίπεδο και στο χώρο. Εάν κάθε σημείο μιας δεδομένης φιγούρας σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα μετατοπιστεί με κάποιο τρόπο, τότε θα πάρουμε ένα νέο σχήμα. Αυτός ο αριθμός λέγεται ότι προκύπτει από έναν μετασχηματισμό από το δεδομένο. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα μετασχηματισμών σχήματος.

1. Συμμετρία ως προς ένα σημείο (κεντρική συμμετρία). Η συμμετρία ως προς ένα σημείο ορίζεται ως εξής. Έστω το Ο σταθερό σημείο και το Χ αυθαίρετο. Ένα σημείο ονομάζεται συμμετρικό προς το σημείο Χ ως προς το σημείο Ο αν τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία και το συμμετρικό προς το σημείο Ο είναι το ίδιο το σημείο Ο. Στο Σχήμα 203, τα σημεία Χ και είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς το σημείο Ο .

Έστω F- δεδομένο σχήμακαι το Ο είναι ένα σταθερό σημείο του επιπέδου. Ο μετασχηματισμός ενός σχήματος F σε σχήμα στο οποίο κάθε σημείο του Χ πηγαίνει σε ένα σημείο συμμετρικό προς το Χ ως προς ένα δεδομένο σημείο Ο ονομάζεται μετασχηματισμός συμμετρίας γύρω από το σημείο Ο. Το σχήμα 204 δείχνει ένα συμμετρικό ως προς το κέντρο Ο.

Το σχήμα 205 δείχνει δύο κύβους συμμετρικούς ως προς το σημείο Ο.

Αν ο μετασχηματισμός συμμετρίας για το σημείο Ο μεταφράζεται

φιγουράρει στον εαυτό του, τότε το σχήμα ονομάζεται κεντρικά συμμετρικό και το σημείο Ο είναι το κέντρο συμμετρίας του. Για παράδειγμα, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα κεντρικά συμμετρικό σχήμα. Το κέντρο της συμμετρίας του είναι το σημείο τομής των διαγωνίων (Εικ. 206, α). Ένας κύκλος με κέντρο Ο είναι επίσης ένα κεντρικά συμμετρικό σχήμα με κέντρο συμμετρίας Ο (Εικ. 206, β) Όλα τα σχήματα που παρατίθενται είναι επίπεδα.

Στο διάστημα, όπως και στο επίπεδο, υπάρχουν πολλά παραδείγματα κεντρικά συμμετρικών μορφών. Για παράδειγμα, το Σχήμα 207 δείχνει τα ακόλουθα σχήματα: έναν κύβο, μια σφαίρα, ένα παραλληλεπίπεδο.

2. Συμμετρία ως προς μια ευθεία (αξονική συμμετρία). Ας είμαι μια σταθερή ευθεία γραμμή (Εικ. 208). Ένα σημείο λέγεται συμμετρικό σε ένα σημείο Χ ως προς την ευθεία Ι, αν η ευθεία είναι κάθετη στην ευθεία Ι και όπου Ο είναι το σημείο τομής των ευθειών και Ι. Αν το σημείο Χ βρίσκεται στην ευθεία Ι, τότε το σημείο που είναι συμμετρικό σε αυτό είναι το ίδιο το σημείο Χ. Το σημείο συμμετρικό προς το σημείο είναι το σημείο Χ. Στο σχήμα 208 και τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία I.

Ο μετασχηματισμός του σχήματος F στο οποίο κάθε σημείο Χ πηγαίνει σε ένα σημείο συμμετρικό ως προς την ευθεία Ι ονομάζεται μετασχηματισμός συμμετρίας ως προς την ευθεία I. Στην περίπτωση αυτή, τα σχήματα ονομάζονται συμμετρικά ως προς την

γραμμή I. Το σχήμα 208, b δείχνει κύκλους συμμετρικούς ως προς τη γραμμή I.

Το σχήμα 209 δείχνει δύο σφαίρες συμμετρικές ως προς τη γραμμή I.

Εάν ένας μετασχηματισμός συμμετρίας ως προς την ευθεία I μετατρέπει το σχήμα F στον εαυτό του, τότε το σχήμα ονομάζεται συμμετρικό ως προς την ευθεία 19 και η ευθεία I ονομάζεται άξονας συμμετρίας του σχήματος.

Για παράδειγμα, οι ευθείες γραμμές που διέρχονται από το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου παράλληλες προς τις πλευρές του είναι οι άξονες συμμετρίας του ορθογωνίου (Εικ. 210, α). Οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι οι άξονες συμμετρίας του (Εικ. 210, β). Ο κύκλος είναι συμμετρικός ως προς κάθε ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του (Εικ. 210, γ). Όλα αυτά τα στοιχεία είναι επίπεδα.

Στο διάστημα, όπως και στο επίπεδο, υπάρχουν πολλά παραδείγματα μορφών που έχουν άξονες συμμετρίας. Το σχήμα 211 δείχνει τα ακόλουθα σχήματα: αυτό κυβοειδές, κώνος, κανονική τετραγωνική πυραμίδα.

3. Συμμετρία ως προς το επίπεδο. Έστω ένα αυθαίρετο σταθερό επίπεδο. Από το σημείο Χ, μια κάθετη χαμηλώνεται στο επίπεδο α (Ο είναι το σημείο τομής της με το επίπεδο α) και στη συνέχειά της πέρα ​​από το σημείο Ο

αναβάλλω την περικοπή ίσοι ΠόντοιΧ και ονομάζονται συμμετρικά ως προς το επίπεδο a (Εικ. 212).

Ο μετασχηματισμός του σχήματος F στο οποίο κάθε σημείο X του σχήματος F πηγαίνει σε ένα σημείο συμμετρικό προς το X ως προς το επίπεδο α ονομάζεται μετασχηματισμός συμμετρίας ως προς το επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, τα σχήματα ονομάζονται συμμετρικά με σεβασμό στο αεροπλάνο

Το Σχήμα 213 δείχνει δύο σφαίρες συμμετρικές ως προς το επίπεδο α.

Εάν ένας μετασχηματισμός συμμετρίας ως προς ένα επίπεδο μετασχηματίζει ένα σχήμα στον εαυτό του, τότε το σχήμα λέγεται συμμετρικό ως προς το επίπεδο· το επίπεδο α ονομάζεται επίπεδο συμμετρίας.

Το σχήμα 214 δείχνει δύο επίπεδα συμμετρίας της σφαίρας. Σημειώστε ότι η σφαίρα έχει άπειρο αριθμό τέτοιων επιπέδων συμμετρίας. Ο κύβος έχει επίσης επίπεδα συμμετρίας. Το σχήμα 215 δείχνει δύο από αυτά.

4. Ομογένεια. Έστω F ένα δεδομένο σχήμα και O ένα σταθερό σημείο (Εικ. 216). Ας σχεδιάσουμε μια ακτίνα μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο Χ του σχήματος F και ας σχεδιάσουμε πάνω της ένα τμήμα ίσο με το πού είναι ένας θετικός αριθμός. Ο μετασχηματισμός ενός σχήματος, στον οποίο κάθε σημείο του Χ πηγαίνει σε ένα σημείο κατασκευασμένο με τον καθορισμένο τρόπο, ονομάζεται ομοιογένεια ως προς

ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

Μετασχηματισμός σχήματος F σε σχήμα F που ονομάζεται μετασχηματισμός ομοιότητας , εάν, κάτω από αυτόν τον μετασχηματισμό, οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων αλλάζουν ίσες φορές (Εικ. 1). Αυτό σημαίνει ότι εάν αυθαίρετα σημεία X, Y Σχήματα F όταν μετασχηματίζουν την ομοιότητα, πηγαίνουν στα σημεία Χ", Υ" φιγούρες F", μετά Χ"Υ" = κ-ΧΥ , όπου ο αριθμός κ -- το ίδιο για όλα τα σημεία Χ, Υ . Αριθμός k που ονομάζεται συντελεστής ομοιότητας . Για k = l ο μετασχηματισμός της ομοιότητας είναι προφανώς μια κίνηση.

Έστω F ένα δεδομένο σχήμα και O ένα σταθερό σημείο (Εικ. 2). Ας τραβήξουμε μια ακτίνα OX μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο X του σχήματος F και σχεδιάζουμε πάνω της το τμήμα OX" ίσο με k; OX, όπου k είναι ένας θετικός αριθμός. ομοιογένεια ως προς το κέντρο O. Ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής ομοθείας, τα σχήματα F και F» ονομάζονται ομοθετικά.

Θεώρημα 1. Η ομοιογένεια είναι ένας μετασχηματισμός ομοιότητας

Απόδειξη.Έστω O το κέντρο ομοιοθείας, k ο συντελεστής ομοθείας, X και Y δύο αυθαίρετα σημεία του σχήματος (Εικ. 3)

Εικ.3

Κάτω από την ομοιογένεια, τα σημεία Χ και Υ πηγαίνουν στα σημεία Χ" και Υ" στις ακτίνες OX και OY, αντίστοιχα, και OX" = k?OX, OY" = k?OY. Αυτό συνεπάγεται τις διανυσματικές ισότητες OX" = kOX, OY" = kOY.

Αφαιρώντας αυτές τις ισότητες όρος προς όρο, παίρνουμε: OY "-OX" = k (OY- OX).

Αφού OY "- OX" \u003d X "Y", OY -OX \u003d XY, μετά X "Y" \u003d kXY. Ως εκ τούτου, /X"Y"/=k /XY/, δηλ. X"Y" = kXY. Επομένως, η ομοιογένεια είναι ένας μετασχηματισμός ομοιότητας. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ο μετασχηματισμός ομοιότητας χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη κατά τη δημιουργία σχεδίων εξαρτημάτων μηχανής, κατασκευών, κατόψεων εδάφους κ.λπ. Αυτές οι εικόνες είναι παρόμοιες μετατροπές φανταστικών εικόνων σε πλήρες μέγεθος. Ο παράγοντας ομοιότητας ονομάζεται κλίμακα. Για παράδειγμα, εάν ένα κομμάτι εδάφους απεικονίζεται σε κλίμακα 1:100, τότε αυτό σημαίνει ότι ένα εκατοστό στο σχέδιο αντιστοιχεί σε 1 m στο έδαφος.

Εργο.Το σχήμα 4 δείχνει ένα σχέδιο του κτήματος σε κλίμακα 1:1000. Προσδιορίστε τις διαστάσεις του κτήματος (μήκος και πλάτος).

Λύση.Το μήκος και το πλάτος του κτήματος στην κάτοψη είναι 4 εκ. και 2,7 εκ. Εφόσον η κάτοψη είναι κατασκευασμένη σε κλίμακα 1:1000, οι διαστάσεις του κτήματος είναι 2,7 x 1000 εκ. = 27 μ., 4 x 100 εκ. = 40 m, αντίστοιχα.

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ

Όπως και για την κίνηση, αποδεικνύεται ότι κάτω από τον μετασχηματισμό ομοιότητας, τρία σημεία A, B, C, που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, περνούν σε τρία σημεία A 1 , B 1 , C 1 , που βρίσκονται επίσης στην ίδια ευθεία. Επιπλέον, εάν το σημείο Β βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α και Γ, τότε το σημείο Β 1 βρίσκεται μεταξύ των σημείων Α 1 και Γ 1. Από αυτό προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός ομοιότητας μετατρέπει τις γραμμές σε γραμμές, τις ημιευθείες σε ημιευθείες, τα τμήματα σε τμήματα.

Ας αποδείξουμε ότι ο μετασχηματισμός ομοιότητας διατηρεί τις γωνίες μεταξύ των ημιευθειών.

Πράγματι, ας μετατραπεί η γωνία ABC με τον μετασχηματισμό ομοιότητας με τον συντελεστή k στη γωνία A 1 B 1 C 1 (Εικ. 5). Υποβάλλουμε τη γωνία ΑΒΓ σε μετασχηματισμό ομοθείας ως προς την κορυφή της Β με τον συντελεστή ομοθείας k. Σε αυτήν την περίπτωση, τα σημεία Α και Γ θα πάνε στα σημεία Α 2 και Γ 2. Τα τρίγωνα A 2 BC 2 και A 1 B 1 C 1 είναι ίσα στο τρίτο κριτήριο. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα των γωνιών A 2 BC 2 και A 1 B 1 C 1. Επομένως, οι γωνίες ABC και A 1 B 1 C 1 είναι ίσες, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Οι άνθρωποι πάντα ασχολούνταν με μεταμορφώσεις μορφών. Ήδη ο άνθρωπος της Λίθινης Εποχής, που απεικονίζει ζώα των σπηλαίων στους τοίχους, πραγματικά παρήγαγε τη μετατροπή των χωρικών σωμάτων σε επίπεδες φιγούρες. Κοιτάζοντας τη σκιά ενός αντικειμένου ηλιόλουστη μέρα, βλέπουμε το αποτέλεσμα παράλληλου σχεδιασμού ΑΚΤΙΝΕΣ του ΗΛΙΟΥαυτό το αντικείμενο στην επιφάνεια του δαπέδου ή του εδάφους. Και οι ακτίνες που προέρχονται από τη λάμπα εκτελούν τον κεντρικό σχεδιασμό (Εικ. 8.20)

Οι πιο σημαντικοί από τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς είναι κινήσεις και ομοιότητες που είναι γνωστές σε εσάς από την επιπεδομετρία. Ας εξετάσουμε αυτούς τους μετασχηματισμούς στο διάστημα.

§ 25. ΚΙΝΗΣΕΙΣ

25.1. Μεταμορφώσεις σχημάτων.

Αποδεικνύοντας στο Κεφάλαιο 1 ότι κάποιο σχήμα F έχει κεντρική ή κατοπτρική συμμετρία, συσχετίσαμε κάθε σημείο X του σχήματος F με κάποιο σημείο X αυτού του σχήματος, συμμετρικό προς το σημείο X ως προς το κέντρο ή το επίπεδο, δηλ. έκανε κάποια μεταμόρφωση

Θυμηθείτε ότι, γενικά, ο μετασχηματισμός f (ή η αντιστοίχιση f) του σχήματος F συνίσταται στο γεγονός ότι κάθε σημείο του Χ συνδέεται με κάποιο σημείο Χ (Εικ. 25.1). Όλα τα σημεία Χ σχηματίζουν κάποιο σχήμα F, το οποίο λέγεται ότι λαμβάνεται με μετασχηματισμό (εμφάνιση) από το σχήμα

Λέγεται επίσης ότι το σημείο Χ είναι η εικόνα του σημείου Χ

κατά τον μετασχηματισμό και γράφουν, και για το σχήμα F λένε ότι είναι η εικόνα του σχήματος F κατά τη μετατροπή και γράφουν

Εάν, κάτω από έναν δεδομένο μετασχηματισμό, διαφορετικά σημεία του σχήματος αντιστοιχούν σε διαφορετικές εικόνες, τότε ο μετασχηματισμός ονομάζεται ένα προς ένα. Για παράδειγμα, η προβολή του χώρου σε ένα επίπεδο δεν είναι μετασχηματισμός ένας προς έναν, αφού διαφορετικά σημεία στο χώρο μπορούν να έχουν την ίδια προβολή. Και η προβολή ενός επιπέδου σε ένα επίπεδο σε μια διεύθυνση που δεν είναι παράλληλη με αυτά τα επίπεδα είναι ένας μετασχηματισμός ένας προς έναν.

Έστω το σχήμα F που προκύπτει ως αποτέλεσμα ενός μετασχηματισμού f από το σχήμα F. Τότε κάθε σημείο του σχήματος F είναι η εικόνα μόνο ενός (ενός) σημείου X του σχήματος F. Πράγματι, διαφορετικά το ο μετασχηματισμός θα έπαιρνε δύο διαφορετικά σημεία του σχήματος στο ίδιο σημείο X F, κάτι που είναι αδύνατο επειδή ο μετασχηματισμός είναι ένα προς ένα. Επομένως, κάθε σημείο X του σχήματος F μπορεί να συσχετιστεί με το μοναδικό σημείο X του σχήματος F, η εικόνα του οποίου κάτω από τον μετασχηματισμό f είναι το σημείο X. Έτσι, ορίζουμε τη μετατροπή του σχήματος F στο σχήμα F, που ονομάζεται αντίστροφο του μετασχηματισμού f και που συμβολίζεται Αν ο μετασχηματισμός έχει το αντίστροφο , τότε ονομάζεται αντιστρεπτός.

Από αυτούς τους ορισμούς προκύπτει ευθέως ότι εάν ένας μετασχηματισμός f είναι αντιστρεπτός, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός του είναι επίσης αναστρέψιμος, και επομένως οι μετασχηματισμοί f και ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφοι.

Έστω ο μετασχηματισμός να πάρει το σχήμα F στο σχήμα G και ο μετασχηματισμός g να πάρει το σχήμα G στο σχήμα (εικ. 25.2). Εάν, κατά τη μετατροπή, το σημείο X του σχήματος F πέρασε στο σημείο του σχήματος G και τότε το σημείο Y, κατά τη μετατροπή g, πέρασε στο σημείο του σχήματος H, τότε το σημείο X πέρασε στο σημείο Ζ. Αυτό γράφεται ως εξής: