Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Za ovo pratimo dobro poznati algoritam:
1 . Pronalaženje ODZ funkcija.
2 . Pronalaženje derivacije funkcije
3 . Izjednačavanje derivacije sa nulom
4 . Pronalazimo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:
Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.
Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.
5 . Mi nalazimo maksimalne i minimalne tačke funkcije.
IN na maksimalnoj tački funkcije, derivacija mijenja predznak iz “+” u “-”.
IN minimalna tačka funkcijederivat mijenja znak iz "-" u "+".
6 . Pronalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,
- zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim tačkama, i odaberite najveći od njih ako trebate pronaći najveću vrijednost funkcije
- ili usporedite vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na minimalnim tačkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije
Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na segmentu, ovaj algoritam se može značajno smanjiti.
Razmotrite funkciju 
. Grafikon ove funkcije izgleda ovako:
Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja problema iz Otvorene banke zadataka za
1 . Zadatak B15 (br. 26695)
Na segmentu.
1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x
Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, a izvod je pozitivan za sve vrijednosti x. Posljedično, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.
Odgovor: 5.
2 . Zadatak B15 (br. 26702)
Pronađite najveću vrijednost funkcije 
na segmentu.
1. ODZ funkcije title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Izvod je jednak nuli na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:
Stoga, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .
Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za izvod na sljedeći način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3. Zadatak B15 (br. 26708)
Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.
Interval sadrži dva broja: i
Postavimo znakove. Da bismo to učinili, određujemo predznak derivacije u tački x=0: 
. Prilikom prolaska kroz tačke i, derivacija mijenja predznak.
Opišimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:
Očigledno, tačka je minimalna tačka (u kojoj derivacija mijenja predznak iz “-” u “+”), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, trebate uporediti vrijednosti funkcije na minimalnoj tački i na lijevom kraju segmenta, .
Ponekad u problemima B15 postoje “loše” funkcije za koje je teško naći izvod. Ranije se to događalo samo na oglednim testovima, ali sada su ovi zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti prilikom pripreme za pravi Jedinstveni državni ispit.
U ovom slučaju rade druge tehnike, od kojih je jedna monotono.
Kaže se da je funkcija f (x) monotono rastuća na segmentu ako za bilo koje točke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi sljedeće:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Kaže se da je funkcija f (x) monotono opadajuća na segmentu ako za bilo koje točke x 1 i x 2 ovog segmenta vrijedi sljedeće:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, to je manje f(x).
Na primjer, logaritam se monotono povećava ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0< a < 1. Не забывайте про область prihvatljive vrijednosti logaritam: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Aritmetički kvadratni (i ne samo kvadratni) korijen monotono raste u cijeloj domeni definicije:
Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: povećava se za a > 1 i smanjuje se za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Konačno, stepeni sa negativnim eksponentom. Možete ih napisati kao razlomak. Imaju tačku prekida u kojoj je razbijena monotonija.
Sve ove funkcije se nikada ne nalaze u svom čistom obliku. Oni dodaju polinome, razlomke i druge gluposti, što otežava izračunavanje izvoda. Pogledajmo šta se dešava u ovom slučaju.
Koordinate vrha parabole
Najčešće se argument funkcije zamjenjuje sa kvadratni trinom oblika y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola za koju nas zanima:
- Grane parabole mogu ići gore (za a > 0) ili dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Vrh parabole je tačka ekstrema kvadratne funkcije u kojoj ova funkcija poprima svoj minimum (za a > 0) ili maksimum (a< 0) значение.
Od najvećeg interesa je vrh parabole, čija se apscisa izračunava po formuli:
Dakle, pronašli smo tačku ekstrema kvadratne funkcije. Ali ako je originalna funkcija monotona, za nju će tačka x 0 takođe biti tačka ekstrema. Dakle, formulirajmo ključno pravilo:
Ekstremne tačke kvadratnog trinoma i kompleksne funkcije u koju je uključen poklapaju se. Stoga, možete tražiti x 0 za kvadratni trinom i zaboraviti na funkciju.
Iz gornjeg rezonovanja ostaje nejasno koju tačku dobijamo: maksimum ili minimum. Međutim, zadaci su posebno osmišljeni tako da to nije bitno. Procijenite sami:
- Ne postoji segment u iskazu problema. Stoga, nema potrebe za izračunavanjem f(a) i f(b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema;
- Ali postoji samo jedna takva tačka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.
Dakle, rješavanje problema je uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka:
- Napišite jednačinu parabole y = ax 2 + bx + c i pronađite njen vrh koristeći formulu: x 0 = −b /2a ;
- Pronađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako ne dodatni uslovi ne, to će biti odgovor.
Na prvi pogled, ovaj algoritam i njegovo obrazloženje mogu izgledati komplikovano. Namjerno ne objavljujem dijagram "golog" rješenja, jer je nepromišljena primjena takvih pravila prepuna grešaka.
Pogledajmo stvarne probleme iz probni Jedinstveni državni ispit u matematici - tu se ova tehnika najčešće nalazi. Istovremeno ćemo se pobrinuti da na ovaj način mnogi problemi s B15 postanu gotovo usmeni.
Pod korijenom se sastoji kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Grafikon ove funkcije je parabola sa granama prema gore, pošto je koeficijent a = 1 > 0.
Tem parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Budući da su grane parabole usmjerene prema gore, u tački x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 poprima svoju minimalnu vrijednost.
Korijen se monotono povećava, što znači da je x 0 minimalna tačka cijele funkcije. Imamo:
Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Pod logaritmom se opet nalazi kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola sa granama prema gore, jer a = 1 > 0.
Tem parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Dakle, u tački x 0 = −1 kvadratna funkcija poprima svoju minimalnu vrijednost. Ali funkcija y = log 2 x je monotona, pa:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponent sadrži kvadratnu funkciju y = 1 − 4x − x 2 . Hajde da to prepišemo normalna forma: y = −x 2 − 4x + 1.
Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Originalna funkcija je eksponencijalna, monotona je, tako da će najveća vrijednost biti u pronađenoj tački x 0 = −2:
Pažljiv čitalac će vjerovatno primijetiti da nismo ispisali raspon dozvoljenih vrijednosti korijena i logaritma. Ali to nije bilo potrebno: unutra se nalaze funkcije čije su vrijednosti uvijek pozitivne.
Posljedice iz domene funkcije
Ponekad jednostavno pronalaženje vrha parabole nije dovoljno za rješavanje problema B15. Vrijednost koju tražite možda leži na kraju segmenta, a nikako u tački ekstrema. Ako problem uopće ne ukazuje na segment, pogledajte raspon prihvatljivih vrijednosti originalna funkcija. naime:
Imajte na umu ponovo: nula može biti ispod korijena, ali nikada u logaritmu ili nazivniku razlomka. Pogledajmo kako to funkcionira na konkretnim primjerima:
Zadatak. Pronađite najveću vrijednost funkcije:
Ispod korijena je opet kvadratna funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Njegov graf je parabola, ali se grana prema dolje jer je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadratni korijen negativnog broja ne postoji.
Zapisujemo raspon dozvoljenih vrijednosti (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Sada pronađimo vrh parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Tačka x 0 = −1 pripada ODZ segmentu - i to je dobro. Sada izračunavamo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a:
y(−3) = y(1) = 0
Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći - ovo je broj 2.
Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Unutar logaritma nalazi se kvadratna funkcija y = 6x − x 2 − 5. Ovo je parabola sa granama nadole, ali u logaritmu ne može biti negativni brojevi, pa ispisujemo ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Ovo razlikuje logaritam od korijena, gdje nam krajevi segmenta dosta odgovaraju.
Tražimo vrh parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Tem parabole odgovara prema ODZ-u: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ali pošto nas ne zanimaju krajevi segmenta, izračunavamo vrijednost funkcije samo u tački x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
Proces traženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (graf funkcije) u helikopteru, pucanje na određene točke iz topa velikog dometa i odabir vrlo posebne tačke sa ovih tačaka za kontrolne udarce. Bodovi se biraju na određeni način i prema određena pravila. Po kojim pravilima? O tome ćemo dalje.
Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b] , zatim dopire do ovog segmenta najmanje I najviše vrijednosti . Ovo se može dogoditi bilo u ekstremne tačke, ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje I najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na intervalu [ a, b] , potrebno je izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične tačke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.
Neka, na primjer, želite odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, morate pronaći sve kritične tačke, ležeći na [ a, b] .
Kritična tačka nazvana tačka u kojoj definirana funkcija, i ona derivat ili jednako nuli ili ne postoji. Zatim treba izračunati vrijednosti funkcije na kritičnim tačkama. I na kraju, treba uporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) I f(b)). Najveći od ovih brojeva će biti najveća vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .
Problemi nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .
Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije
Primjer 1. Pronađite najmanji i najveća vrijednost funkcije 
na segmentu [-1, 2]
.
Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju sa nulom () i dobijemo dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, dovoljno je izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u tački, jer tačka ne pripada segmentu [-1, 2]. Ove vrijednosti funkcije su: , , . Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, postiže se na desnom kraju segmenta - u tački , i najveći(takođe crveno na grafikonu), jednako 9, - u kritičnoj tački.
Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu i ovaj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, već granične točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici je kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.
Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.
Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .
Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:
.
Izjednačavamo derivaciju sa nulom, što nam daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:
Hajde da uporedimo ove vrednosti. Zaključak: jednako -5/13, u tački i najveća vrijednost jednako 1 u tački .
Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije
Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije ne daju učenicima za rješavanje primjere koji su složeniji od onih o kojima se upravo raspravljalo, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, čiji su brojilac i nazivnik polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima ima onih koji vole prisiljavati učenike da razmišljaju u potpunosti (tabela izvedenica). Stoga će se koristiti logaritamska i trigonometrijska funkcija.
Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .
Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :
Derivat izjednačavamo sa nulom, što daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:
Rezultat svih radnji: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u tački i u tački i najveća vrijednost, jednako e², u tački.
Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije 
na segmentu .
Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije:
Izjednačavamo derivaciju sa nulom:
Jedina kritična tačka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:
zaključak: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u tački .
U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (maksimalnih) vrijednosti funkcije, u pravilu se svodi na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već one vrijednosti argumenta na kojima se oni postižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - sastavljanje funkcija koje opisuju pojavu ili proces koji se razmatra.
Primjer 8. Rezervoar kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda sa kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti kalajisan. Koje veličine rezervoara treba da bude tako da se za pokrivanje koristi najmanja količina materijala?
Rješenje. Neka x- osnovna strana, h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njen volumen. Površina rezervoara se izražava formulom, tj. je funkcija dvije varijable. Da izrazim S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:
Hajde da ispitamo ovu funkciju do njenog ekstrema. Definiran je i diferencijabilan svuda u ]0, +∞[ i
.
Izjednačavamo derivaciju sa nulom () i nalazimo kritičnu tačku. Osim toga, kada izvod ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti tačka ekstrema. Dakle, ovo je jedina kritična tačka. Provjerimo prisustvo ekstremuma koristeći drugi dovoljan znak. Nađimo drugi izvod. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dostigne minimum 
. Od ovoga minimum je jedini ekstrem ove funkcije, to je njen najniža vrijednost
. Dakle, strana dna rezervoara treba da bude 2 m, a visina treba da bude .
Primjer 9. Od tačke A nalazi se na željezničkoj pruzi, do tač WITH, koji se nalazi na udaljenosti od njega l, teret mora biti transportovan. Cijena transporta jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom je jednaka , a autoputem je jednaka . Do koje tačke M linije željeznica treba izgraditi autoput za prevoz tereta A V WITH bio najekonomičniji (odjeljak AB pretpostavlja se da je željeznica ravna)?
Dragi prijatelji! Grupa zadataka vezanih za izvod uključuje zadatke - uslov daje graf funkcije, nekoliko tačaka na ovom grafu i pitanje je:
U kom trenutku je izvod najveći (najmanji)?
Da ukratko ponovimo:
Izvod u tački jednak je nagibu tangente koja prolaziovu tačku na grafikonu.
UGlobalni koeficijent tangente, zauzvrat, jednak je tangentu ugla nagiba ove tangente.
*Ovo se odnosi na ugao između tangente i x-ose.
1. Na intervalima rastuće funkcije derivacija ima pozitivna vrijednost.
2. U intervalima svog smanjenja, derivat ima negativnu vrijednost.
Razmotrite sljedeću skicu:
U tačkama 1,2,4, derivacija funkcije ima negativnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju opadajućim intervalima.
U tačkama 3,5,6 derivacija funkcije ima pozitivnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju rastućim intervalima.
Kao što vidite, sve je jasno sa značenjem derivacije, odnosno nije uopće teško odrediti koji predznak ima (pozitivan ili negativan) u određenoj tački grafa.
Štaviše, ako mentalno konstruišemo tangente u ovim tačkama, videćemo da prave koje prolaze kroz tačke 3, 5 i 6 formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o, a prave koje prolaze kroz tačke 1, 2 i 4 formiraju sa osom oX uglovi se kreću od 90 o do 180 o.
*Odnos je jasan: tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima rastućih funkcija formiraju se sa osom oX oštri uglovi, tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima opadajućih funkcija formiraju tupe uglove sa osom oX.
Sada važno pitanje!
Kako se mijenja vrijednost derivata? Uostalom, tangenta je u različitim tačkama na grafu kontinuirana funkcija formira različite uglove u zavisnosti od toga kroz koju tačku na grafu prolazi.
*Ili, govoreći jednostavnim jezikom, tangenta se nalazi kao da je "horizontalno" ili "vertikalno". pogledajte:
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 90° do 180°
Stoga, ako imate pitanja:
— u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima najmanju vrijednost?
- u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima najveću vrijednost?
tada je za odgovor potrebno razumjeti kako se vrijednost tangente kuta tangente mijenja u rasponu od 0 do 180 o.
*Kao što je već spomenuto, vrijednost derivacije funkcije u tački jednaka je tangentu ugla nagiba tangente na osu oX.
Vrijednost tangente se mijenja na sljedeći način:
Kada se ugao nagiba prave linije promeni od 0° do 90°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, se menja od 0 do +∞;
Kada se ugao nagiba prave linije promeni sa 90° na 180°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, menja se u skladu sa –∞ na 0.
To se može jasno vidjeti iz grafa tangentne funkcije:
Jednostavno rečeno:
Pod kutom nagiba tangente od 0° do 90°
Što je bliže 0 o, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na pozitivnoj strani).
Što je ugao bliži 90°, to će se vrijednost derivacije više povećati prema +∞.
Sa tangentnim uglom nagiba od 90° do 180°
Što je bliže 90 o, to će se vrijednost derivacije više smanjivati prema –∞.
Što je ugao bliži 180°, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na negativnoj strani).
317543. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 2. U kojoj od ovih tačaka je izvod najveći? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima na kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 1), a dvije intervalima na kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 2).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 1 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 2 pozitivnu vrijednost. Stoga u u ovom slučaju potrebno je analizirati tačke –2 i 2 i odrediti koja će od njih imati najveću vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangente ugla između prave a i ose apscise će biti veća vrijednost tangenta ugla između prave b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački –2 biti najveća.
Mi ćemo odgovoriti sljedeće pitanje: U kojoj tački –2, –1, 1 ili 2 je izvod najnegativniji? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Derivat će imati negativnu vrijednost u tačkama koje pripadaju opadajućim intervalima, pa razmotrimo tačke –2 i 1. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz njih:
Vidimo to tupi ugao između prave linije b i ose oX je "bliže" 180 O , stoga će njegova tangenta biti veća od tangente ugla koji formiraju prava linija a i osa oX.
Dakle, u tački x = 1, vrijednost derivacije će biti najveća negativna.
317544. Slika prikazuje grafik funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 4. U kojoj je od ovih tačaka derivacija najmanja? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima u kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 4), a dvije intervalima u kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 1).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 4 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 1 pozitivnu vrijednost. Stoga je u ovom slučaju potrebno analizirati tačke –1 i 4 i odrediti koja će od njih imati najmanju vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangenta ugla između prave a i apscisne ose bit će veća od vrijednosti tangente ugla između prave linije b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački x = 4 biti najmanja.
Odgovor: 4
Nadam se da vas nisam "preopteretio" količinom pisanja. U stvari, sve je vrlo jednostavno, samo trebate razumjeti svojstva derivata, njegove geometrijsko značenje i kako se tangenta ugla menja od 0 do 180 o.
1. Prvo odredite predznake derivacije u tim tačkama (+ ili -) i odaberite potrebne tačke (u zavisnosti od postavljenog pitanja).
2. Konstruirajte tangente u ovim tačkama.
3. Koristeći tangesoidni graf, šematski označite uglove i prikažiteAlexander.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Neka funkcija y =f(X) je kontinuiran na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili na unutrašnjoj tački segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.
Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:
1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);
2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;
3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno kada x=A i x = b;
4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.
Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije
na segmentu.
Pronalaženje kritičnih tačaka:
Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
u tački x= 3 i u tački x= 0.
Proučavanje funkcije za konveksnost i pregibnu tačku.
Funkcija y = f (x) pozvao konveksnost između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno), ako njegov graf leži iznad tangente.
Tačka kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.
Algoritam za ispitivanje konveksnosti i tačke savijanja:
1. Naći kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.
2. Nacrtajte kritične tačke na brojevnoj pravoj, dijeleći je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.
3. Ako se pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.
Asimptote grafa funkcije. Proučavanje funkcije za asimptote.
Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke na grafu do ove prave teži nuli kako se tačka na grafu neograničeno pomera od početka.
Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.
Definicija. Prava linija se zove vertikalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.
gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.
Primjer.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – tačka prekida.
Definicija. Pravo y =A pozvao horizontalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , ako
Primjer.
|
x | |||
|
y |
Definicija. Pravo y =kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , gdje
Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova.
Algoritam za istraživanje funkcijay = f(x) :
1. Pronađite domenu funkcije D (y).
2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (ako x= 0 i at y = 0).
3. Ispitati parnost i neparnost funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).
4. Naći asimptote grafa funkcije.
5. Naći intervale monotonosti funkcije.
6. Pronađite ekstreme funkcije.
7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i pregibne tačke grafa funkcije.
8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.
Primjer. Istražite funkciju i izgradite njen graf.
1) D (y) =
x= 4 – tačka prekida.
2) Kada x = 0,
(0; ‒ 5) – tačka preseka sa oh.
At y = 0,
3)
y(‒
x)=
funkcija opšti pogled(ni par ni neparan).
4) Ispitujemo asimptote.
a) vertikalno
b) horizontalno
c) pronaći kose asimptote gdje
‒jednačina kosih asimptota
5) U ovoj jednačini nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.
6)
Ove kritične tačke dijele cijeli domen definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate prikladno je prikazati u obliku sljedeće tabele.