File FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008
Sertifikat Ukrajine br. 27312
KRATAK DOKAZ FERmatove posljednje teoreme
Fermatova posljednja teorema je formulirana na sljedeći način: Diofantova jednačina (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
A n + B n = C n * /1/
Gdje n- pozitivan cijeli broj veći od dva nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima A , B , WITH .
DOKAZ
Iz formulacije Fermatove posljednje teoreme slijedi: ako n je pozitivan cijeli broj veći od dva, tada pod uvjetom da su dva od tri broja A , IN ili WITH- pozitivni cijeli brojevi, jedan od ovih brojeva nije pozitivan cijeli broj.
Dokaz konstruišemo na osnovu fundamentalne aritmetičke teoreme, koja se zove „teorema jedinstvenosti faktorizacije” ili „teorema jedinstvenosti faktorizacije složenih celih brojeva”. Mogući su parni i neparni eksponenti n . Razmotrimo oba slučaja.
1. Prvi slučaj: eksponent n - neparan broj.
U ovom slučaju, izraz /1/ se transformira prema poznatim formulama na sljedeći način:
A n + IN n = WITH n /2/
Vjerujemo u to A I B– pozitivni cijeli brojevi.
Brojevi A , IN I WITH moraju biti međusobno prosti brojevi.
Iz jednačine /2/ slijedi da za date vrijednosti brojeva A I B faktor ( A + B ) n , WITH.
Pretpostavimo da je broj SA - pozitivan cijeli broj. Uzimajući u obzir prihvaćeni uslovi i osnovna teorema aritmetike, uslov mora biti zadovoljen :
WITH n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/
gdje je faktor Dn D
Iz jednačine /3/ slijedi:
Iz jednačine /3/ također slijedi da je broj [ Cn = A n + Bn ] pod uslovom da je broj WITH ( A + B ) n. Međutim, poznato je da:
A n + Bn < ( A + B ) n /5/
dakle:
- razlomak broj, manje od jedan. /6/
Razlomak broj.
n
Za neparne eksponente n >2 broj:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Iz analize jednačine /2/ slijedi da je za neparan eksponent n broj:
WITH n = A n + IN n = (A+B)
sastoji se od dva specifična algebarska faktora, i za bilo koju vrijednost eksponenta n algebarski faktor ostaje nepromijenjen ( A + B ).
dakle, velika teorema Nosač nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima s neparnim eksponentom n >2.
2. Drugi slučaj: eksponent n - čak broj .
Suština Fermatove posljednje teoreme se neće promijeniti ako prepišemo jednačinu /1/ na sljedeći način:
A n = Cn - Bn /7/
U ovom slučaju, jednačina /7/ se transformira na sljedeći način:
A n = C n - B n = ( WITH +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/
Mi to prihvatamo WITH I IN- cijeli brojevi.
Iz jednačine /8/ slijedi da za date vrijednosti brojeva B I C faktor (C+ B ) ima istu vrijednost za bilo koju vrijednost eksponenta n , stoga je djelitelj broja A .
Pretpostavimo da je broj A– cijeli broj. Uzimajući u obzir prihvaćene uslove i osnovnu teoremu aritmetike, uslov mora biti zadovoljen :
A n = C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/
gdje je faktor Dn mora biti cijeli broj i stoga broj D također mora biti cijeli broj.
Iz jednačine /9/ slijedi:
/10/
Iz jednačine /9/ također slijedi da je broj [ A n = WITH n - Bn ] pod uslovom da je broj A– cijeli broj, mora biti djeljiv brojem (C+ B ) n. Međutim, poznato je da:
WITH n - Bn < (С+ B ) n /11/
dakle:
- razlomak manji od jedan. /12/
Razlomak broj.
Iz toga slijedi da je za neparnu vrijednost eksponenta n jednačina /1/ posljednje Fermatove teoreme nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
Za parne eksponente n >2 broj:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Dakle, Fermatova posljednja teorema nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima i za parne eksponente n >2.
Iz navedenog slijedi opšti zaključak: jednadžba /1/ Fermatove posljednje teoreme nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima A, B I WITH pod uslovom da je eksponent n >2.
DODATNO OBRAZLOŽENJE
U slučaju kada je eksponent n – paran broj, algebarski izraz ( Cn - Bn ) razlaže se na algebarske faktore:
C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/
C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/
C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/
C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/
Navedimo primjere u brojevima.
PRIMJER 1: B=11; C=35.
C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;
C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;
C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;
C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .
PRIMJER 2: B=16; C=25.
C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;
C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;
C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.
Iz analize jednačina /13/, /14/, /15/ i /16/ i odgovarajućih numeričkih primjera slijedi:
Za dati eksponent n , ako je paran broj, broj A n = C n - Bn dekomponuje na dobro definisan broj dobro definisanih algebarskih faktora;
Za bilo koji eksponent n , ako je paran broj, u algebarskom izrazu ( Cn - Bn ) uvijek postoje množitelji ( C - B ) I ( C + B ) ;
Svakom algebarski faktor odgovara dobro definisanom numeričkom faktoru;
Za date brojeve IN I WITH numerički faktori mogu biti prosti brojevi ili složeni numerički faktori;
Svaki složeni numerički faktor je proizvod prostih brojeva koji su djelimično ili potpuno odsutni u drugim kompozitnim numeričkim faktorima;
Veličina prostih brojeva u sastavu kompozitnih numeričkih faktora raste sa povećanjem ovih faktora;
Najveći kompozitni numerički faktor koji odgovara najvećem algebarskom faktoru uključuje najveći prost broj na stepen manji od eksponenta n(najčešće u prvom stepenu).
ZAKLJUČCI: Dodatni dokazi podržavaju zaključak da Fermatova posljednja teorema nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
mašinski inženjer
Sudeći po popularnosti upita "Fermatova teorema - kratak dokaz" ovaj matematički problem zaista zanima mnoge ljude. Ovu teoremu prvi je iznio Pierre de Fermat 1637. godine na rubu kopije Aritmetike, gdje je tvrdio da ima rješenje koje je preveliko da stane na ivicu.
Prvi uspješan dokaz objavljen je 1995. godine, potpuni dokaz Fermatove teoreme Andrew Wilesa. To je opisano kao "zapanjujući napredak" i dovelo je do toga da Wiles dobije Abelovu nagradu 2016. Iako je relativno kratko opisan, dokaz Fermatove teoreme je također dokazao veliki dio teoreme modularnosti i otvorio nove pristupe brojnim drugim problemima i učinkovitim metodama za podizanje modularnosti. Ova dostignuća su unapredila matematiku za 100 godina. Dokaz Fermatove male teoreme danas nije nešto neobično.
Nerešeni problem podstakao je razvoj algebarske teorije brojeva u 19. veku i potragu za dokazom teoreme modularnosti u 20. veku. Ovo je jedna od najistaknutijih teorema u istoriji matematike i prije potpunog dokaza Fermatove posljednje teoreme metodom dijeljenja, bila je u Ginisovoj knjizi rekorda kao "najteži matematički problem", jedna od karakteristika što je da ima najveći broj neuspješan dokaz.
Istorijska referenca
Pitagorina jednadžba x 2 + y 2 = z 2 ima beskonačan broj pozitivnih cjelobrojnih rješenja za x, y i z. Ova rješenja su poznata kao Pitagorina trojstva. Oko 1637. Fermat je na rubu knjige napisao da je više opšta jednačina a n + b n = c n nema rješenja u prirodnim brojevima ako je n cijeli broj veći od 2. Iako je sam Fermat tvrdio da ima rješenje za svoj problem, nije ostavio nikakve detalje o njegovom dokazu. Elementarni dokaz Fermatove teoreme, koji je naveo njen tvorac, bio je prije njegov hvalisavi izum. Knjiga velikog francuskog matematičara otkrivena je 30 godina nakon njegove smrti. Ova jednačina, nazvana Fermatova posljednja teorema, ostala je neriješena u matematici tri i po stoljeća.
Teorema je na kraju postala jedan od najznačajnijih neriješenih problema u matematici. Pokušaji da se ovo dokaže izazvali su značajan napredak u teoriji brojeva, a vremenom je Fermatova posljednja teorema postala poznata kao neriješen problem u matematici.
Kratka istorija dokaza
Ako je n = 4, kao što je Fermat sam dokazao, dovoljno je dokazati teoremu za indekse n, koji su prosti brojevi. U naredna dva stoljeća (1637-1839) pretpostavka je dokazana samo za proste brojeve 3, 5 i 7, iako je Sophie Germain ažurirala i dokazala pristup koji se primjenjuje na cijelu klasu prostih brojeva. Sredinom 19. stoljeća, Ernst Kummer je proširio ovo i dokazao teoremu za sve regularne proste brojeve, što je uzrokovalo da se nepravilni prosti brojevi analiziraju pojedinačno. Nadovezujući se na Kummerov rad i koristeći sofisticirano kompjutersko istraživanje, drugi matematičari su uspjeli proširiti rješenje teoreme, s ciljem da pokriju sve glavne eksponente do četiri miliona, ali dokaz za sve eksponente još uvijek nije bio dostupan (što znači da su matematičari općenito smatrali rješenjem teoremi nemoguće, izuzetno teško ili nedostižno sa trenutnim znanjem).
Rad Shimura i Taniyama
Godine 1955. japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama sumnjali su da postoji veza između eliptičkih krivulja i modularnih oblika, dvije potpuno različite oblasti matematike. U to vrijeme poznata kao Taniyama-Shimura-Weil pretpostavka i (na kraju) kao teorema modularnosti, stajala je sama za sebe, bez očigledne veze sa Fermatovom posljednjom teoremom. Naširoko se smatralo važnom matematičkom teoremom za sebe, ali se smatralo (kao i Fermatov teorem) nemoguće dokazati. Istovremeno, dokaz Fermatove velike teoreme (metodom dijeljenja i upotrebom složenih matematičkih formula) izveden je tek pola stoljeća kasnije.
Godine 1984. Gerhard Frey je uočio očiglednu vezu između ova dva prethodno nepovezana i neriješena problema. Potpuni dokaz da su dvije teoreme bile blisko povezane objavio je 1986. Ken Ribet, koji je izgradio djelomični dokaz Jean-Pierre Serresa, koji je dokazao sve osim jednog dijela, poznatog kao "epsilon pretpostavka". Jednostavno rečeno, ovi radovi Freya, Serresa i Ribea pokazali su da ako se teorema modularnosti može dokazati za barem polustabilnu klasu eliptičkih krivulja, onda bi prije ili kasnije bio otkriven i dokaz Fermatove posljednje teoreme. Svako rješenje koje može biti kontradiktorno Fermatovoj posljednjoj teoremi također se može koristiti za proturječnost teoremi modularnosti. Stoga, ako se teorema o modularnosti pokaže istinitom, onda po definiciji ne može postojati rješenje koje je u suprotnosti s posljednjom Fermatovom teoremom, što znači da je trebalo uskoro biti dokazano.
Iako su obje teoreme bile teški problemi u matematici, smatrani nerješivima, rad dvojice Japanaca bio je prvi prijedlog o tome kako bi se posljednja Fermatova teorema mogla proširiti i dokazati za sve brojeve, a ne samo za neke. Istraživačima koji su odabrali temu istraživanja bila je važna činjenica da je, za razliku od Fermatove posljednje teoreme, teorema modularnosti bila glavno aktivno područje istraživanja za koje je razvijen dokaz, a ne samo istorijska neobičnost, tako da je vrijeme provedeno na rad na tome bi mogao biti opravdan sa profesionalne tačke gledišta. Međutim, opći konsenzus je bio da rješavanje Taniyama-Shimura pretpostavke nije praktično.
Fermatova posljednja teorema: Wilesov dokaz
Nakon što je saznao da je Ribet dokazao da je Freyeva teorija tačna, engleski matematičar Andrew Wiles, koji je bio zainteresiran za Fermatovu posljednju teoremu od djetinjstva i imao iskustva u radu s eliptičkim krivuljama i srodnim poljima, odlučio je pokušati dokazati Taniyama-Shimura pretpostavku kao način da dokazati posljednju Fermatovu teoremu. Godine 1993, šest godina nakon što je objavio svoj cilj, dok je tajno radio na problemu rješavanja teoreme, Wiles je uspio dokazati srodnu pretpostavku, koja će mu zauzvrat pomoći da dokaže Fermatovu posljednju teoremu. Wilesov dokument bio je ogroman po veličini i obimu.
Greška je otkrivena u jednom dijelu njegovog originalnog rada tokom recenzije i zahtijevala je još godinu dana saradnje sa Richardom Taylorom da bi se zajednički riješio teorem. Kao rezultat toga, Wilesov konačni dokaz Fermatove posljednje teoreme nije dugo čekao. Godine 1995. objavljen je u mnogo manjem obimu od Wilesovog prethodnog matematičkog rada, jasno pokazujući da nije pogriješio u svojim prethodnim zaključcima o mogućnosti dokazivanja teoreme. Wilesovo postignuće je naširoko izvještavano u popularnoj štampi i popularizirano u knjigama i televizijskim programima. Preostale dijelove Taniyama-Shimura-Weil pretpostavke, koji su sada dokazani i poznati su kao teorema modularnosti, naknadno su dokazali drugi matematičari koji su gradili na Wilesovom radu između 1996. i 2001. godine. Za svoje postignuće, Wiles je nagrađen i dobio je brojne nagrade, uključujući Abelovu nagradu 2016.
Wilesov dokaz Fermatove posljednje teoreme je poseban slučaj rješenja teoreme modularnosti za eliptičke krive. Međutim, ovo je najpoznatiji slučaj tako velike matematičke operacije. Uz rješavanje Ribetove teoreme, britanski matematičar je dobio i dokaz Fermatove posljednje teoreme. Fermatova posljednja teorema i teorema modularnosti su moderni matematičari gotovo univerzalno smatrali nedokazivim, ali Andrew Wiles je uspio dokazati cijelom naučnom svijetu da čak i stručnjaci mogu pogriješiti.
Wiles je prvi put najavio svoje otkriće u srijedu, 23. juna 1993. u predavanju na Cambridgeu pod naslovom "Modularni oblici, eliptične krive i Galois reprezentacije". Međutim, u septembru 1993. godine utvrđeno je da su njegovi proračuni sadržavali grešku. Godinu dana kasnije, 19. septembra 1994. godine, u, kako bi rekao, „naj važna tačka svoj radni vek“, Wiles je naišao na otkriće koje mu je omogućilo da ispravi rešenje problema do tačke u kojoj bi moglo da zadovolji matematičku zajednicu.
Karakteristike rada
Dokaz Fermatove teoreme Andrewa Wilesa koristi mnoge tehnike iz algebarske geometrije i teorije brojeva i ima mnogo razgranaka u ovim oblastima matematike. On također koristi standardne konstrukcije moderne algebarske geometrije, kao što su kategorija shema i Iwasawa teorija, kao i druge metode 20. stoljeća koje nisu bile dostupne Pierreu Fermau.
Dva članka koja sadrže dokaze imaju ukupno 129 stranica i pisana su tokom sedam godina. John Coates je ovo otkriće opisao kao jedno od najvećih dostignuća teorije brojeva, a John Conway ga je nazvao glavnim matematičkim dostignućem 20. stoljeća. Wiles je, da bi dokazao posljednju Fermatovu teoremu dokazujući teorem modularnosti za poseban slučaj polustabilnih eliptičkih krivulja, razvio moćne metode za podizanje modularnosti i otkrio nove pristupe brojnim drugim problemima. Za rješavanje posljednje Fermatove teoreme proglašen je vitezom i dobio je druge nagrade. Kada je objavljeno da je Wiles osvojio Abelovu nagradu, Norveška akademija nauka opisala je njegovo postignuće kao "čudesan i elementaran dokaz Fermatove posljednje teoreme".
Kako je bilo
Jedan od ljudi koji je analizirao Wilesov originalni rukopis rješenja teoreme bio je Nick Katz. Tokom svog pregleda, Britancu je postavio niz pitanja koja pojašnjavaju, što je natjeralo Wilesa da prizna da njegov rad jasno sadrži prazninu. Došlo je do greške u jednom kritičnom dijelu dokaza koji je dao procjenu naloga specifična grupa: Ojlerov sistem korišten za proširenje Kolyvaginove i Flachove metode bio je nepotpun. Greška, međutim, nije učinila njegov rad beskorisnim – svaki dio Wilesovog rada bio je vrlo značajan i inovativan sam po sebi, kao i mnoga razvoja i metode koje je stvorio tokom svog rada i koji su uticali na samo jedan dio rukopis. Međutim, ovaj originalni rad, objavljen 1993., zapravo nije pružio dokaz Fermatove posljednje teoreme.
Wiles je proveo skoro godinu dana pokušavajući da ponovo otkrije rešenje teoreme, prvo sam, a zatim u saradnji sa svojim bivši student Richarda Taylora, ali činilo se da je sve bilo uzaludno. Do kraja 1993. proširile su se glasine da je Wilesov dokaz propao u testiranju, ali nije poznato koliko je neuspjeh bio ozbiljan. Matematičari su počeli vršiti pritisak na Wilesa da otkrije detalje svog rada, bilo da je završen ili ne, kako bi šira zajednica matematičara mogla istražiti i koristiti sve što je postigao. Umjesto da brzo ispravi svoju grešku, Wiles je samo otkrio dodatne složenosti u dokazu Fermatove posljednje teoreme i konačno shvatio koliko je to teško.
Wiles navodi da je ujutro 19. septembra 1994. godine bio na ivici odustajanja i odustajanja, te se gotovo pomirio sa činjenicom da nije uspio. Bio je voljan objaviti svoje nedovršeno djelo kako bi drugi mogli nadograditi na njemu i otkriti gdje je pogriješio. Engleski matematičar odlučio je sebi dati posljednju šansu i zadnji put analizirao je teoremu kako bi pokušao razumjeti glavne razloge zašto njegov pristup nije uspio, kada je iznenada shvatio da Kolyvagin-Flac pristup neće funkcionisati sve dok nije uključio i Iwasawinu teoriju u proces dokazivanja, čime je učinio da funkcioniše.
Dana 6. oktobra, Wiles je zamolio tri kolege (uključujući Faltinsa) da ga pregledaju novi posao, a 24. oktobra 1994. godine predao je dva rukopisa - "Modularne eliptične krive i Fermatova posljednja teorema" i "Teorijske osobine prstena nekih Heckeovih algebri", od kojih je drugi Wiles napisao zajedno s Taylorom i dokazao da su potrebni određeni uslovi. za opravdanje ispravljenog koraka u glavnom članku.
Ova dva rada su recenzirana i konačno objavljena kao izdanje punog teksta u izdanju Annals of Mathematics iz maja 1995. godine. Andrewovi novi proračuni bili su široko analizirani i na kraju prihvaćeni od strane naučne zajednice. Ovi radovi su uspostavili teoremu modularnosti za polustabilne eliptičke krive, posljednji korak ka dokazivanju Fermatove posljednje teoreme, 358 godina nakon što je stvorena.
Istorija Velikog problema
Rješavanje ove teoreme se vekovima smatra najvećim problemom u matematici. Godine 1816. i ponovo 1850. godine, Francuska akademija nauka ponudila je nagradu za opšti dokaz Fermaove poslednje teoreme. Godine 1857. Akademija je Kummeru dodijelila 3.000 franaka i zlatnu medalju za njegovo istraživanje idealnih brojeva, iako se on nije prijavio za nagradu. Briselska akademija mu je 1883. ponudila još jednu nagradu.
Wolfskehl nagrada
Godine 1908. njemački industrijalac i matematičar amater Paul Wolfskehl zavještao je 100.000 zlatnih maraka (velika suma za to vrijeme) Getingenskoj akademiji nauka kao nagradu za potpuni dokaz Fermatove posljednje teoreme. Akademija je 27. juna 1908. objavila devet pravila o dodjeli nagrada. Između ostalog, ova pravila su zahtijevala objavljivanje dokaza u recenziranom časopisu. Nagrada je trebala biti dodijeljena tek dvije godine nakon objavljivanja. Konkurs je trebao isteći 13. septembra 2007. - otprilike vek nakon što je počeo. Dana 27. juna 1997. Wiles je primio Wolfschelovu nagradu, a zatim još 50.000 dolara. U martu 2016. dobio je 600.000 eura od norveške vlade kao dio Abelove nagrade za svoj „zapanjujući dokaz Fermatove posljednje teoreme koristeći pretpostavku modularnosti za polustabilne eliptičke krive, otkrivajući nova era u teoriji brojeva." Bio je to svjetski trijumf za skromnog Engleza.
Prije Wilesovog dokaza, Fermatova teorema, kao što je ranije spomenuto, stoljećima se smatrala apsolutno nerješivom. Hiljade netačnih dokaza u drugačije vrijeme su predstavljeni Wolfskehlovoj komisiji, što je iznosilo približno 10 stopa (3 metra) prepiske. Samo u prvoj godini postojanja nagrade (1907-1908) podnesena je 621 prijava koja je tvrdila da rješava teoremu, iako se do 1970-ih ovaj broj smanjio na otprilike 3-4 prijave mjesečno. Prema F. Schlichtingu, Wolfschelovom recenzentu, većina dokaza bila je zasnovana na elementarnim metodama koje se podučavaju u školama i često su ih iznosili "ljudi sa tehničko obrazovanje, ali neuspješnu karijeru." Prema istoričaru matematike Howardu Avesu, Fermatova posljednja teorema postavila je svojevrsni rekord – to je teorema s najviše netačnih dokaza.
Fermatove lovorike pripale su Japancima
Kao što je ranije spomenuto, oko 1955. godine japanski matematičari Goro Shimura i Yutaka Taniyama otkrili su moguću vezu između dvije naizgled potpuno različite grane matematike - eliptičkih krivulja i modularnih oblika. Rezultirajuća teorema modularnosti (tada poznata kao Taniyama-Shimura pretpostavka) iz njihovog istraživanja navodi da je svaka eliptična kriva modularna, što znači da se može povezati s jedinstvenom modularnom formom.
Teorija je u početku odbačena kao malo vjerovatna ili vrlo spekulativna, ali je ozbiljnije shvaćena kada je teoretičar brojeva Andre Weyl pronašao dokaze koji podržavaju japanske nalaze. Kao rezultat toga, pretpostavka se često nazivala Taniyama-Shimura-Weil pretpostavka. Postao je dio Langlandsovog programa, koji je lista važnih hipoteza koje zahtijevaju dokaz u budućnosti.
Čak i nakon ozbiljne pažnje, moderni matematičari su ovu pretpostavku prepoznali kao izuzetno teško ili možda nemoguće dokazati. Sada upravo ova teorema čeka Andrewa Wilesa, koji bi svojim rješenjem mogao iznenaditi cijeli svijet.
Fermatova teorema: Perelmanov dokaz
Uprkos popularnom mitu, ruski matematičar Grigorij Perelman, uz svu svoju genijalnost, nema nikakve veze sa Fermaovom teoremom. Što, međutim, ni na koji način ne umanjuje njegove brojne usluge naučnoj zajednici.
Malo je vjerovatno da je prošla niti jedna godina u životu našeg uredničkog tima, a da nije dobio desetak dokaza Fermatove teoreme. Sada, nakon “pobjede” nad njom, tok je splasnuo, ali nije presušio.
Naravno, ovaj članak ne objavljujemo kako bismo ga potpuno osušili. I to ne u svoju odbranu - da smo, kažu, zato ćutali, ni sami još nismo bili zreli da razgovaramo o tako složenim problemima.
Ali ako vam se članak zaista čini kompliciranim, pogledajte pravo do kraja. Morat ćete osjetiti da su strasti privremeno splasnule, nauka nije gotova, a uskoro će novi dokazi novih teorema biti poslani urednicima.
Čini se da dvadeseti vijek nije bio uzaludan. Prvo, ljudi su na trenutak stvorili drugo Sunce eksplozijom hidrogenske bombe. Zatim su hodali po Mjesecu i konačno dokazali Fermatovu čuvenu teoremu. Od ova tri čuda, prva dva su svima dobro poznata, jer su izazvala ogromna društvene posledice. Naprotiv, treće čudo izgleda kao samo još jedna naučna igračka - u rangu sa teorijom relativnosti, kvantnom mehanikom i Gedelovom teoremom o nepotpunosti aritmetike. Međutim, relativnost i kvanti doveli su fizičare do hidrogenske bombe, a istraživanja matematičara ispunila su naš svijet kompjuterima. Hoće li se ova serija čuda nastaviti iu 21. vijeku? Da li je moguće pratiti vezu između najnovijih naučnih igračaka i revolucija u našem svakodnevnom životu? Da li nam ovaj odnos omogućava da napravimo uspješna predviđanja? Pokušajmo ovo razumjeti koristeći Fermatovu teoremu kao primjer.
Prvo napomenimo da je rođena mnogo kasnije od svog prirodnog termina. Uostalom, prvi poseban slučaj Fermaove teoreme je Pitagorina jednadžba X 2 + Y 2 = Z 2, koja povezuje dužine stranica pravougaonog trougla. Dokazavši ovu formulu prije dvadeset pet stoljeća, Pitagora je odmah postavio pitanje: ima li u prirodi mnogo trouglova u kojima obje stranice i hipotenuza imaju cijelu dužinu? Izgleda da su Egipćani poznavali samo jedan takav trougao - sa stranicama (3, 4, 5). Ali nije teško pronaći druge opcije: na primjer (5, 12, 13), (7, 24, 25) ili (8, 15, 17). U svim ovim slučajevima, dužina hipotenuze ima oblik (A 2 + B 2), gdje su A i B relativno prosti brojevi različitih pariteta. U ovom slučaju, dužine krakova su jednake (A 2 - B 2) i 2AB.
Primećujući ove odnose, Pitagora je lako dokazao da je bilo koja trojka brojeva (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) rešenje jednačine X 2 + Y 2 = Z 2 i da definiše a pravougaonik sa međusobnim prostim dužinama stranica. Takođe je jasno da je broj različitih trojki ove vrste beskonačan. Ali da li sva rješenja Pitagorine jednadžbe imaju ovaj oblik? Pitagora nije mogao ni dokazati ni opovrgnuti takvu hipotezu i ostavio je ovaj problem svojim potomcima ne fokusirajući se na njega. Ko želi da istakne svoje neuspehe? Čini se da je nakon toga problem cjelobrojnih pravokutnih trouglova ležao u zaboravu sedam stoljeća - sve dok se u Aleksandriji nije pojavio novi matematički genije po imenu Diofant.
O njemu znamo malo, ali je jasno: on uopšte nije bio kao Pitagora. Osjećao se kao kralj u geometriji, pa čak i izvan nje - bilo u muzici, astronomiji ili politici. Prva aritmetička veza između dužina stranica zvučne harfe, prvi model svemira iz koncentričnih sfera koje nose planete i zvijezde, sa Zemljom u centru, i konačno, prva republika naučnika u italijanskom gradu Crotone - ovo su Pitagorina lična dostignuća. Čemu je Diofant, skromni istraživač velikog Muzeja, koji je odavno prestao da bude ponos gradske gomile, mogao da se suprotstavi takvim uspesima?
Samo jedno: bolje razumijevanje drevnog svijeta brojeva, čije zakone Pitagora, Euklid i Arhimed jedva da su imali vremena da osete. Imajte na umu da Diofant još nije savladao pozicijski sistem za snimanje velikih brojeva, ali je znao šta negativni brojevi i vjerovatno je proveo mnogo sati razmišljajući o tome zašto je proizvod dva negativna broja pozitivan. Svijet cijelih brojeva je prvi put otkriven Diofantu kao poseban svemir, različit od svijeta zvijezda, segmenata ili poliedara. Glavno zanimanje naučnika ovog svijeta je rješavanje jednačina; pravi majstor pronalazi sva moguća rješenja i dokazuje da drugih rješenja nema. Ovo je Diofant uradio sa kvadratna jednačina Pitagora, a zatim pomislio: da li slična kubna jednadžba X 3 + Y 3 = Z 3 ima barem jedno rješenje?
Diofant nije uspio pronaći takvo rješenje, a neuspješan je i njegov pokušaj da dokaže da rješenja nema. Stoga je, dokumentirajući rezultate svog rada u knjizi „Aritmetika“ (ovo je bio prvi svjetski udžbenik iz teorije brojeva), Diofant detaljno analizirao Pitagorinu jednačinu, ali nije rekao ni riječi o mogućim generalizacijama ove jednačine. Ili bi moglo: na kraju krajeva, Diofant je bio taj koji je prvi predložio notaciju za stepene celih brojeva! Ali nažalost: koncept „problematske knjige“ bio je stran helenskoj nauci i pedagogiji, a objavljivanje spiskova neriješenih problema smatralo se nepristojnom aktivnošću (samo je Sokrat postupio drugačije). Ako ne možete riješiti problem, šutite! Diofant je utihnuo, a ta tišina je trajala četrnaest vekova - sve do nastupanja Novog doba, kada je ponovo oživelo interesovanje za proces ljudskog mišljenja.
Ko nije ni o čemu maštao na prelazu iz 16. u 17. vijek! Neumorni kalkulator Kepler pokušao je da pogodi odnos između udaljenosti od Sunca do planeta. Pitagora nije uspio. Kepler je postigao uspjeh nakon što je naučio integrirati polinome i druge jednostavne funkcije. Naprotiv, vizionar Descartes nije volio duge proračune, ali je on bio taj koji je prvi predstavio sve tačke ravni ili prostora kao skupove brojeva. Ovaj podebljani model svodi svaki geometrijski problem o oblicima na neki algebarski problem o jednadžbama – i obrnuto. Na primjer, cjelobrojna rješenja Pitagorine jednadžbe odgovaraju cjelobrojnim točkama na površini konusa. Površina koja odgovara kubičnoj jednadžbi X 3 + Y 3 = Z 3 izgleda komplikovanije, njena geometrijska svojstva nisu ništa sugerisala Pierreu Fermau, te je morao utabati nove puteve kroz džunglu cijelih brojeva.
Godine 1636. Diofantova knjiga pala je u ruke mladog advokata iz Tuluza, upravo prevedena na latinski sa grčkog originala, koji je slučajno sačuvan u nekom vizantijskom arhivu i koji je u Italiju donio jedan od rimskih bjegunaca u vrijeme turska pustoš. Čitajući elegantan argument o Pitagorinoj jednadžbi, Fermat se zapitao: da li je moguće pronaći rješenje koje se sastoji od tri kvadratna broja? Ne postoje mali brojevi ove vrste: to je lako provjeriti grubom silom. Šta je sa velikim odlukama? Bez kompjutera, Fermat ne bi mogao da izvede numerički eksperiment. Ali je primijetio da je za svako “veliko” rješenje jednačine X 4 + Y 4 = Z 4 moguće konstruirati manje rješenje. To znači da zbir četvrtih stepena dva cela broja nikada nije jednak istom stepenu trećeg broja! Šta je sa zbirom dvije kocke?
Inspirisan uspehom za stepen 4, Fermat je pokušao da modifikuje "metod spuštanja" za stepen 3 - i uspeo je. Pokazalo se da je nemoguće napraviti dvije male kocke od onih pojedinačnih kockica u koje je razbacana velika kocka s cijelom dužinom ruba. Trijumfalni Fermat napravio je kratku bilješku na marginama Diofantove knjige i poslao pismo u Pariz s detaljnom porukom o svom otkriću. Ali nije dobio odgovor - iako su obično prestonički matematičari brzo reagovali na najnoviji uspeh svog usamljenog kolege rivala u Tuluzu. Sta je bilo?
Vrlo je jednostavno: sredinom 17. vijeka aritmetika je izašla iz mode. Veliki uspjesi talijanskih algebraista 16. vijeka (kada su riješene polinomske jednačine stupnjeva 3 i 4) nisu postali početak opšte naučne revolucije, jer nisu dopuštali rješavanje novih svijetlih problema u susjednim oblastima nauke. E sad, da je Kepler uspio da pogodi orbite planeta koristeći čistu aritmetiku... Ali, nažalost, ovo je zahtijevalo matematičku analizu. To znači da se mora razvijati – do potpunog trijumfa matematičkih metoda u prirodnim naukama! Ali analiza izrasta iz geometrije, dok aritmetika ostaje polje zabave za besposlene advokate i druge ljubitelje vječne nauke o brojevima i brojkama.
Dakle, Fermatovi aritmetički uspjesi su se pokazali neblagovremenim i ostali su necijenjeni. To ga nije uznemirilo: za slavu matematičara bile su dovoljne činjenice diferencijalnog računa, analitičke geometrije i teorije vjerovatnoće koje su mu bile otkrivene prvi put. Sva ova Fermatova otkrića odmah su ušla u zlatni fond nove evropske nauke, dok je teorija brojeva izbledela u pozadinu narednih sto godina - dok je nije oživeo Ojler.
Ovaj „kralj matematičara“ iz 18. veka bio je šampion u svim primenama analize, ali nije zanemario aritmetiku, jer su nove metode analize dovele do neočekivanih činjenica o brojevima. Ko bi rekao da je beskonačan zbir inverznih kvadrata (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) jednak π 2 /6? Koji je Helen mogao predvidjeti da će slični nizovi omogućiti dokazivanje iracionalnosti broja π?
Takvi uspjesi natjerali su Ojlera da pažljivo ponovo pročita Fermatove sačuvane rukopise (na sreću, sin velikog Francuza ih je uspio objaviti). Istina, dokaz "velike teoreme" za stepen 3 nije sačuvan, ali Ojler ga je lako obnovio sa samo jednom naznakom "metode spuštanja", i odmah pokušao da ovu metodu prenese na sledeći jednostavan stepen - 5.
Nije tako! U Eulerovom rasuđivanju pojavili su se kompleksni brojevi koje je Fermat uspio previdjeti (ovo je uobičajeno mnoštvo otkrivača). Ali faktoring kompleksnih cijelih brojeva je delikatna stvar. Čak ni Ojler to nije u potpunosti razumio i ostavio je „Fermatov problem“ po strani, žureći da dovrši svoje glavno djelo - udžbenik „Osnove analize“, koji je trebao pomoći svakom talentiranom mladiću da se izjednači s Leibnizom i Eulerom. Izdavanje udžbenika završeno je u Sankt Peterburgu 1770. godine. Ali Ojler se nikada nije vratio Fermatovoj teoremi, jer je bio siguran da nova naučna omladina neće zaboraviti sve što su njegove ruke i um dotakli.
Tako se i dogodilo: Ojlerov nasljednik u teoriji brojeva bio je Francuz Adrien Legendre. Krajem 18. vijeka završio je dokaz Fermatove teoreme za stepen 5 - i iako nije uspio za velike proste potencije, sastavio je još jedan udžbenik iz teorije brojeva. Neka njegovi mladi čitaoci nadmaše autora kao što su čitaoci „Matematičkih principa prirodne filozofije“ nadmašili velikog Njutna! Legendre nije bio ravan Njutnu ili Ojleru, ali među njegovim čitaocima bila su dva genija: Carl Gauss i Evariste Galois.
Tako visoku koncentraciju genija pogodila je Francuska revolucija, koja je proglasila državni kult razuma. Nakon toga, svaki talentovani naučnik se osećao kao Kolumbo ili Aleksandar Veliki, sposoban da otkrije ili osvoji novi svijet. Mnogi su u tome uspjeli, zbog čega je u 19. vijeku naučno-tehnološki napredak postao glavni pokretač ljudske evolucije, a toga su bili svjesni svi razumni vladari (počev od Napoleona).
Gaus je po karakteru bio blizak Kolumbu. Ali on (kao Njutn) nije znao kako da zaokupi maštu vladara ili studenata lepim govorima, pa je stoga svoje ambicije ograničio na sferu naučnih pojmova. Ovdje je mogao raditi sve što je htio. Na primjer, iz nekog razloga drevni problem trisekcije ugla ne može se riješiti pomoću šestara i ravnala. Uz pomoć kompleksnih brojeva koji predstavljaju tačke ravni, Gauss prevodi ovaj problem na jezik algebre - i dobija opštu teoriju izvodljivosti određenih geometrijskih konstrukcija. Tako se u isto vrijeme pojavio rigorozan dokaz o nemogućnosti konstruiranja pravilnog 7- ili 9-kuta sa šestarom i ravnalom, te metoda za konstruiranje pravilnog 17-kuta, koju su imali najmudriji geometri Helade. nikad sanjao.
Naravno, takav uspjeh ne dolazi uzalud: moramo izmisliti nove koncepte koji odražavaju suštinu stvari. Njutn je uveo tri takva koncepta: fluksiju (derivaciju), fluentnu (integralnu) i redove stepena. Bili su dovoljni za stvaranje matematičke analize i prvog naučnog modela fizičkog svijeta, uključujući mehaniku i astronomiju. Gauss je također predstavio tri nova koncepta: vektorski prostor, polje i prsten. Iz njih je izrasla nova algebra, koja je podredila grčku aritmetiku i teoriju numeričkih funkcija koju je stvorio Newton. Ostalo je još podrediti logiku koju je stvorio Aristotel algebri: tada bi bilo moguće, koristeći proračune, dokazati deducibilnost ili neizvodljivost bilo koje naučne izjave iz datog skupa aksioma! Na primjer, da li je Fermatova teorema izvedena iz aksioma aritmetike, ili Euklidov postulat o paralelnim linijama iz drugih aksioma planimetrije?
Gauss nije imao vremena da ostvari ovaj drski san - iako je daleko odmaknuo i pretpostavio mogućnost postojanja egzotičnih (nekomutativnih) algebri. Samo je odvažni Rus Nikolaj Lobačevski uspeo da konstruiše prvu neeuklidsku geometriju, a prvu nekomutativnu algebru (Teoriju grupa) izgradio je Francuz Evariste Galoa. I tek dugo nakon Gaussove smrti - 1872. - mladi Nijemac Felix Klein shvatio je da se raznolikost mogućih geometrija može dovesti u korespondenciju jedan-na-jedan sa raznolikošću mogućih algebri. Jednostavno rečeno, svaka geometrija je definirana svojom grupom simetrije - dok opća algebra proučava sve moguće grupe i njihova svojstva.
Ali takvo razumijevanje geometrije i algebre došlo je mnogo kasnije, a napad na Fermatovu teoremu nastavljen je za vrijeme Gaussovog života. On je sam zanemario Fermatov teorem iz principa: nije kraljevska stvar da odlučuje individualni zadaci, koji se ne uklapaju u svijetle naučna teorija! Ali Gaussovi učenici, naoružani njegovom novom algebrom i klasičnom analizom Newtona i Eulera, zaključili su drugačije. Prvo, Peter Dirichlet je dokazao Fermatov teorem za stepen 7 koristeći prsten kompleksnih cijelih brojeva generiran korijenima ovog stepena od jedan. Tada je Ernst Kummer proširio Dirichletovu metodu na SVE osnovne moći (!) - tako mu se učinilo u žaru trenutka, i on je trijumfovao. Ali ubrzo je došla otrežnjujuća spoznaja: dokaz je besprijekoran samo ako se svaki element prstena može jedinstveno razložiti na osnovne faktore! Za obične cijele brojeve ova je činjenica bila poznata Euklidu, ali je samo Gauss dao rigorozni dokaz za to. Šta je sa kompleksnim cijelim brojevima?
Prema „principu najvećeg nestašluka“, može i TREBA postojati dvosmislena faktorizacija! Čim je Kummer naučio da izračuna stepen dvosmislenosti koristeći metode matematičke analize, otkrio je ovaj prljavi trik u prstenu za stepen 23. Gauss nije imao vremena da nauči o ovoj verziji egzotične komutativne algebre, ali Gaussovi učenici razvila novu prelijepu Teoriju ideala umjesto još jednog prljavog trika. Istina, to nije posebno pomoglo u rješavanju Fermatovog problema: samo je njegova prirodna složenost postala jasnija.
Tokom 19. stoljeća, ovaj drevni idol zahtijevao je sve više žrtava od svojih obožavatelja u obliku novih složenih teorija. Nije iznenađujuće da su se do početka dvadesetog veka vernici obeshrabrili i pobunili, odbacujući svog nekadašnjeg idola. Riječ "fermatist" postala je prljavi nadimak među profesionalnim matematičarima. I iako je dodijeljena značajna nagrada za potpuni dokaz Fermatove teoreme, njeni podnositelji su uglavnom bili samouvjerene neznalice. Najmoćniji matematičari tog vremena - Poincaré i Hilbert - naglašeno su izbjegavali ovu temu.
1900. Hilbert nije uključio Fermatovu teoremu u svoju listu od dvadeset tri najvažniji problemi, suočavajući se sa matematikom dvadesetog veka. Istina, on je u njihov niz uključio i opći problem rješivosti Diofantovih jednačina. Nagovještaj je bio jasan: slijedite primjer Gausa i Galoisa, stvarajte opšte teorije novi matematički objekti! Onda će jednog lijepog (ali ne unaprijed predvidljivog) dana stari trn sam ispasti.
Upravo tako je postupio veliki romantičar Henri Poincaré. Zanemarujući mnoge “vječne” probleme, čitavog života proučavao je SIMMETRIJE određenih predmeta matematike ili fizike: bilo funkcije kompleksne varijable, bilo putanje nebeskih tijela, bilo algebarske krive ili glatke varijante (ovo su višedimenzionalne generalizacije krivih linija). Motiv njegovih postupaka bio je jednostavan: ako dva različita objekta imaju slične simetrije, to znači da između njih može postojati unutrašnji odnos, koji još nismo u stanju da shvatimo! Na primjer, svaka od dvodimenzionalnih geometrija (Euklidska, Lobačevskog ili Rimannova) ima svoju grupu simetrija koja djeluje na ravan. Ali tačke ravni su kompleksni brojevi: na taj način se djelovanje bilo koje geometrijske grupe prenosi u bezgranični svijet složenih funkcija. Moguće je i potrebno proučavati najsimetričnije od ovih funkcija: AUTOMORFIČNE (koje podležu Euklidskoj grupi) i MODULARNE (koje podležu grupi Lobačevskog)!
Na ravni postoje i eliptične krive. Oni ni na koji način nisu povezani sa elipsom, već su dati jednadžbama oblika Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX i stoga se sijeku s bilo kojom pravom u tri boda. Ova činjenica nam omogućava da uvedemo množenje među tačkama eliptičke krive - da je pretvorimo u grupu. Algebarska struktura ove grupe odražava geometrijska svojstva krive; možda je jedinstveno određena njenom grupom? Ovo pitanje vrijedi proučiti, jer se za neke krive grupa koja nas zanima ispada modularna, odnosno povezana je s geometrijom Lobačevskog...
Tako je razmišljao Poincaré, zavodeći matematičku mladež Evrope, ali na početku dvadesetog veka ta iskušenja nisu dovela do svetlih teorema ili hipoteza. Drugačije je ispalo s Hilbertovim pozivom: proučavati opća rješenja Diofantovih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima! Godine 1922. mladi Amerikanac Lewis Mordell povezao je skup rješenja takve jednadžbe (ovo je vektorski prostor određene dimenzije) sa geometrijskim rodom kompleksne krive koju daje ova jednačina. Mordell je došao do zaključka da ako je stepen jednačine dovoljno velik (više od dva), tada se dimenzija prostora rješenja izražava u terminima roda krive, te je prema tome ova dimenzija KONAČNA. Naprotiv – na stepen 2, Pitagorina jednačina ima BESKRAJNU DIMENZIONALNU porodicu rješenja!
Naravno, Mordel je vidio vezu između svoje hipoteze i Fermatove teoreme. Ako postane poznato da je za svaki stepen n > 2 prostor cjelobrojnih rješenja Fermatove jednadžbe konačno dimenzionalan, to će pomoći da se dokaže da takvih rješenja uopće nema! Ali Mordel nije vidio način da dokaže svoju hipotezu - i iako je živ dug zivot, ali nije čekao da se ova hipoteza transformiše u Faltingsov teorem. To se dogodilo 1983. godine - u sasvim drugoj eri, nakon velikih uspjeha algebarske topologije varijeteta.
Poincaré je ovu nauku stvorio kao slučajno: želeo je da zna šta su trodimenzionalne mnogostrukosti. Na kraju krajeva, Riemann je shvatio strukturu svih zatvorenih površina i dobio vrlo jednostavan odgovor! Ako u trodimenzionalnom ili multidimenzionalnom slučaju nema takvog odgovora, morate smisliti sistem algebarskih invarijanti varijeteta koji određuje njegovu geometrijsku strukturu. Najbolje je da takve invarijante budu elementi nekih grupa - komutativnih ili nekomutativnih.
Čudno je da je Poincaréov odvažni plan bio uspješan: proveden je od 1950. do 1970. zahvaljujući naporima mnogih geometara i algebraista. Do 1950. bilo je tiho nagomilavanje različitih metoda za klasifikaciju sorti, a nakon ovog datuma, činilo se da se nakupila kritična masa ljudi i ideja i izbila je eksplozija, uporediva sa izumom matematičke analize u 17. veku. Ali analitička revolucija se protezala na vek i po, pokrivajući kreativne biografiječetiri generacije matematičara - od Newtona i Leibniza do Fouriera i Cauchyja. Naprotiv, topološka revolucija dvadesetog veka dogodila se u roku od dvadeset godina - zahvaljujući velikom broju njenih učesnika. Istovremeno se formirala velika generacija samouvjerenih mladih matematičara, koji su iznenada ostali bez posla u svojoj istorijskoj domovini.
Sedamdesetih su pohrlili u susjedna područja matematike i teorijske fizike. Mnogi su stvorili svoje naučne škole na desetinama univerziteta u Evropi i Americi. Danas između ovih centara kruži mnogo učenika različitih uzrasta i nacionalnosti, različitih sposobnosti i sklonosti, i svi žele da se proslave po nekom otkriću. U ovom pandemonijumu su konačno dokazane Mordellova pretpostavka i Fermatova teorema.
Međutim, prva lasta, nesvjesna svoje sudbine, odrasla je u Japanu u gladnim i nezaposlenim poslijeratnim godinama. Lastavica se zvala Yutaka Taniyama. Godine 1955. ovaj heroj je napunio 28 godina i odlučio je (zajedno sa prijateljima Goro Shimura i Takauji Tamagawa) da oživi matematička istraživanja u Japanu. Gdje početi? Naravno, uz prevazilaženje izolacije od stranih kolega! Tako su 1955. tri mlada Japanca organizovala prvu međunarodnu konferenciju o algebri i teoriji brojeva u Tokiju. Očigledno je bilo lakše to učiniti u Japanu, prevaspitanom od strane Amerikanaca, nego u Rusiji, zamrznutoj od Staljina...
Među počasnim gostima bila su i dva heroja iz Francuske: Andre Weil i Jean-Pierre Serre. Ovdje su Japanci imali veliku sreću: Weyl je bio priznati šef francuskih algebraista i član Burbakijeve grupe, a mladi Serre je igrao sličnu ulogu među topolozima. U žustrim raspravama sa njima, japanskoj omladini su pucale glave, topili su im se mozgovi, ali su se na kraju iskristalisale takve ideje i planovi koji su se teško mogli roditi u drugačijem okruženju.
Jednog dana Taniyama se obratio Weilu s pitanjem o eliptičnim krivuljama i modularnim funkcijama. Francuz u početku nije ništa razumio: Tanijama nije bio majstor izražavanja na engleskom. Tada je suština stvari postala jasna, ali Taniyama nije mogao dati preciznu formulaciju svojim nadama. Sve što je Weil mogao odgovoriti mladom Japancu bilo je da će, ako bude imao veliku sreću u smislu inspiracije, iz njegovih nejasnih hipoteza proizaći nešto korisno. Ali za sada je malo nade za ovo!
Očigledno, Weil nije primijetio nebesku vatru u Tanijaminom pogledu. I tu je bila vatra: činilo se da je na trenutak Japanca obuzela neukrotiva misao pokojnog Poincaréa! Taniyama se uvjerio da je svaka eliptička kriva generirana modularnim funkcijama - točnije, "uniformizirana je modularnom formom". Avaj, ova tačna formulacija nastala je mnogo kasnije - u razgovorima između Tanijame i njegovog prijatelja Šimure. A onda je Tanijama izvršio samoubistvo u napadu depresije... Njegova hipoteza je ostala bez vlasnika: nije bilo jasno kako to dokazati ni gdje testirati, pa je zato dugo niko nije shvaćao ozbiljno. Prvi odgovor stigao je tek trideset godina kasnije - skoro kao u Fermatovo doba!
Led je pukao 1983. godine, kada je dvadesetsedmogodišnji Nijemac Gerd Faltings cijelom svijetu objavio: Mordellova hipoteza je dokazana! Matematičari su bili oprezni, ali Faltings je bio pravi Nemac: nije bilo praznina u njegovom dugom i složenom dokazu. Jednostavno je došlo vrijeme, činjenice i koncepti su se nakupili - i sada je jedan talentovani algebraista, oslanjajući se na rezultate deset drugih algebraista, uspio riješiti problem koji je svog vlasnika čekao šezdeset godina. Ovo nije neuobičajeno u matematici dvadesetog veka. Vrijedi se prisjetiti prastarog problema kontinuuma u teoriji skupova, dvije Burnsideove pretpostavke u teoriji grupa ili Poincaréove pretpostavke u topologiji. Konačno, u teoriji brojeva, došlo je vrijeme da se pobere žetva dugogodišnjih usjeva... Koji će vrh biti sljedeći u nizu koji će osvojiti matematičari? Hoće li se Ojlerov problem, Riemannova hipoteza ili Fermatova teorema zaista urušiti? Dobro je!
I dvije godine nakon Faltingsovog otkrića, u Njemačkoj se pojavio još jedan nadahnuti matematičar. Njegovo ime je bilo Gerhard Frey i tvrdio je nešto čudno: da je Fermatova teorema IZVEDENA iz Tanijamine pretpostavke! Nažalost, u stilu iznošenja svojih misli, Frey je više podsjećao na nesretnog Taniyamu nego na svog jasnog sunarodnjaka Faltingsa. U Nemačkoj Freya niko nije razumeo, a on je otišao u inostranstvo - u slavni grad Prinston, gde su, posle Ajnštajna, navikli da nema takvih posetilaca. Nije uzalud Barry Mazur, svestrani topolog i jedan od heroja nedavnog napada na glatke mnogostruke, tu je sagradio svoje gnijezdo. I učenik, Ken Ribet, odrastao je pored Mazura, jednako iskusan u zamršenostima topologije i algebre, ali se još ni u čemu nije proslavio.
Kada je prvi put čuo Freyeve govore, Ribet je zaključio da je to glupost i pseudonaučna fantastika (Vejl je verovatno na isti način reagovao na Tanijamina otkrića). Ali Ribet nije mogao zaboraviti ovu “fantaziju” i s vremena na vrijeme joj se vraćao u mislima. Šest mjeseci kasnije, Ribet je vjerovao da postoji nešto korisno u Freyevim fantazijama, a godinu dana kasnije odlučio je da i sam gotovo zna kako da dokaže Freyovu čudnu hipotezu. Ali neke "rupe" su ostale, a Ribet je odlučio da se ispovjedi svom šefu Mazuru. Pažljivo je slušao učenika i mirno odgovorio: „Da, sve si uradio! Ovdje trebate primijeniti transformaciju F, ovdje trebate koristiti leme B i K i sve će poprimiti besprijekoran oblik! Tako je Ribet napravio skok iz tame u besmrtnost, koristeći katapult u liku Freya i Mazura. Iskreno rečeno, sve njih - zajedno sa pokojnim Tanijamom - treba smatrati dokazom Fermatove posljednje teoreme.
Ali evo problema: oni su svoju izjavu izveli iz hipoteze Tanijame, koja sama po sebi nije dokazana! Šta ako je nevjerna? Matematičari odavno znaju da „sve proizlazi iz laži.” Ako je Tanijamina pretpostavka pogrešna, onda je Ribetovo besprijekorno rezonovanje bezvrijedno! Hitno moramo dokazati (ili opovrgnuti) Taniyaminu pretpostavku - inače će neko poput Faltingsa dokazati Fermatov teorem na drugačiji način. On će postati heroj!
Malo je vjerovatno da ćemo ikada saznati koliko je mladih ili iskusnih algebraista napalo Fermatov teorem nakon Faltingsovog uspjeha ili nakon Ribetove pobjede 1986. Svi su nastojali da rade u tajnosti, da u slučaju neuspjeha ne bi bili uvršteni u zajednicu “lutaka”-farmatičara. Poznato je da je najsrećniji od svih, Endru Vajls iz Kembridža, tek početkom 1993. okusio pobedu. Ovo nije toliko usrećilo Wilesa koliko ga je uplašilo: šta ako se otkrije greška ili praznina u njegovom dokazu Tanijamina pretpostavke? Tada mu je propala naučna reputacija! Trebate pažljivo zapisati dokaz (ali to će biti na desetine stranica!) i ostaviti ga na šest mjeseci ili godinu dana, da biste ga onda mirno i pedantno pročitali... Ali šta ako tokom ovog kada neko objavi svoj dokaz? Oh, nevolje...
Međutim, Wiles je smislio dvostruki način da brzo provjeri svoj dokaz. Prvo, morate vjerovati nekom od svojih pouzdanih kolega prijatelja i reći mu cijeli niz obrazloženja. Izvana, sve greške su jasnije! Drugo, pametni studenti i postdiplomci moraju pročitati poseban kurs na ovu temu: ovi pametnjakovi neće propustiti nijednu grešku predavača! Samo im nemojte reći konačni cilj kursa do posljednjeg trenutka - inače će cijeli svijet znati za to! I naravno, takvu publiku treba tražiti dalje od Kembridža - bolje čak ni u Engleskoj, nego u Americi... Šta može biti bolje od dalekog Princetona?
Wiles se tamo uputio u proljeće 1993. Njegov strpljivi prijatelj Niklas Katz je nakon slušanja Wilesovog dugog izvještaja otkrio brojne nedostatke u njemu, ali su se sve lako ispravile. Ali postdiplomski studenti s Prinstona ubrzo su pobjegli sa Wilesovog specijalnog kursa, ne želeći slijediti hirovite misli predavača, koji ih je vodio Bog zna gdje. Nakon takvog (ne posebno dubokog) ispitivanja njegovog rada, Wiles je odlučio da je vrijeme da otkrije veliko čudo svijetu.
U junu 1993. u Kembridžu je održana još jedna konferencija posvećena “Iwasawa teoriji”, popularnoj grani teorije brojeva. Wiles je odlučio da ga iskoristi da predstavi svoj dokaz Taniyamine pretpostavke, ne objavljujući glavni rezultat do samog kraja. Izvještaj je trajao dugo, ali je bio uspješan; novinari su postepeno počeli da pristižu, osjećajući nešto. Konačno je udario grom: Fermatova teorema je dokazana! Opšte veselje nije bilo zasjenjeno nikakvim sumnjama: činilo se da je sve jasno... Ali dva mjeseca kasnije, Katz je, pročitavši posljednji Wilesov tekst, primijetio još jednu rupu u njemu. Određena tranzicija u zaključivanju bila je zasnovana na “Ojlerovom sistemu” - ali ono što je Wiles izgradio nije bio takav sistem!
Wiles je provjerio usko grlo i shvatio da je napravio grešku. Još gore: nejasno je kako zamijeniti pogrešno rezonovanje! Nakon toga su počeli najmračniji mjeseci Wilesovog života. Prethodno je slobodno sintetizirao dokaz bez presedana iz dostupnog materijala. Sada je vezan za uski i jasan zadatak - bez uvjerenja da on ima rješenje i da će ga moći pronaći u dogledno vrijeme. Nedavno, Frey nije mogao odoljeti istoj borbi - a sada je njegovo ime bilo zaklonjeno imenom uspješnog Ribeta, iako se Freyeva nagađanja pokazala tačnom. Šta će se dogoditi sa MOJOM pretpostavkom i MOJIM imenom?
Ovaj težak rad trajao je tačno godinu dana. U septembru 1994. Wiles je bio spreman priznati poraz i prepustiti Taniyama hipotezu uspješnijim nasljednicima. Donijevši ovu odluku, počeo je polako ponovo čitati svoj dokaz - od početka do kraja, slušajući ritam rasuđivanja, ponovno proživljavajući zadovoljstvo uspješnih nalaza. Došavši do "prokletog" mjesta, Wiles, međutim, mentalno nije čuo lažnu notu. Da li je njegovo razmišljanje zaista bilo besprijekorno, a greška je nastala tek tokom VERBALNOG opisa mentalne slike? Ako ovdje nema „Eulerovog sistema“, šta se onda ovdje krije?
Odjednom mi je pala na pamet jednostavna misao: „Eulerov sistem“ ne funkcioniše tamo gde je Ivasavina teorija primenljiva. Zašto ovu teoriju ne primijeniti direktno – srećom, i sam Wiles je blizak i upoznat s njom? A zašto ovaj pristup nije isprobao od samog početka, nego se zanio tuđom vizijom problema? Wiles se više nije mogao sjetiti ovih detalja - i nije bilo od koristi. Izveo je potrebno rezonovanje u okviru Iwasawine teorije i sve je ispalo za pola sata! Tako je sa zakašnjenjem od godinu dana posljednja praznina u dokazu Tanijamine pretpostavke zatvorena. Konačni tekst je grupa recenzenata iz poznatog matematičkog časopisa ostavljena na komadiće, a godinu dana kasnije izjavili su da sada nema grešaka. Tako je 1995. godine posljednja Fermatova hipoteza umrla u tristo šezdesetoj godini njegovog života, pretvorivši se u dokazanu teoremu koja će neizbježno biti uključena u udžbenike teorije brojeva.
Sumirajući trovekovnu galamu oko Fermaove teoreme, moramo izvući čudan zaključak: ovaj herojski ep se možda i nije dogodio! Zaista, Pitagorina teorema izražava jednostavnu i važnu vezu između vizualnog prirodni objekti- dužine segmenata. Ali isto se ne može reći za Fermaovu teoremu. Više liči na kulturnu nadgradnju na naučnom supstratu - poput dostizanja Sjevernog pola Zemlje ili leta na Mjesec. Podsjetimo da su oba ova podviga pisci opjevali mnogo prije njihovog ostvarenja – još u antičko doba, nakon pojave Euklidovih elemenata, ali prije pojave Diofantove aritmetike. To znači da se tada javila društvena potreba za intelektualnim podvizima ove vrste – barem zamišljenim! Ranije su Helenima bilo dosta Homerovih pesama, kao što je Francuzima bilo dosta religioznih hobija sto godina pre Fermata. Ali onda su se religiozne strasti smirile - i nauka je stala pored njih.
U Rusiji su takvi procesi počeli prije sto i po godina, kada je Turgenjev stavio Jevgenija Bazarova u ravan s Jevgenijem Onjeginom. Istina, pisac Turgenjev je slabo razumio motive postupaka naučnika Bazarova i nije se usudio da ih pjeva, ali to su ubrzo učinili naučnik Ivan Sečenov i prosvećeni novinar Jules Verne. Spontanoj naučnoj i tehnološkoj revoluciji potrebna je kulturna ljuska da bi prodrla u umove većine ljudi, tako da se naučna fantastika pojavljuje prvo, a zatim naučnopopularna literatura (uključujući časopis „Znanje je moć“).
Istovremeno, konkretna naučna tema uopšte nije bitna za širu javnost, a nije od velike važnosti čak ni za izvođače. Dakle, čuvši za postizanje Sjevernog pola od strane Pearyja i Cooka, Amundsen je odmah promijenio cilj svoje već pripremljene ekspedicije - i ubrzo stigao do Južnog pola, ispred Scotta za mjesec dana. Kasnije je uspješan let Jurija Gagarina oko Zemlje prisilio predsjednika Kennedyja da promijeni prethodni cilj američkog svemirskog programa u skuplji, ali mnogo impresivniji: spuštanje ljudi na Mjesec.
Još ranije je pronicljivi Hilbert odgovorio na naivno pitanje studenata: “Rješenje kog naučnog problema bi sada bilo najkorisnije”? - odgovorio je u šali: "Uhvati muvu na suprotnoj strani Meseca!" Na zbunjeno pitanje: "Zašto je ovo potrebno?" - stigao je jasan odgovor: „OVO nikome ne treba! Ali razmislite o tim naučnim metodama i tehnička sredstva, koje ćemo morati razviti da riješimo takav problem - i koliko drugih lijepih problema ćemo riješiti na tom putu!
Upravo to se dogodilo sa Fermaovom teoremom. Ojler je to mogao promašiti.
U ovom slučaju bi neki drugi problem postao idol matematičara - možda i iz teorije brojeva. Na primjer, Eratostenov problem: postoji li konačan ili beskonačan broj prostih brojeva blizanaca (kao što su 11 i 13, 17 i 19 i tako dalje)? Ili Ojlerov problem: da li je svaki paran broj zbir dva prosta broja? Ili: postoji li algebarski odnos između brojeva π i e? Ova tri problema još uvek nisu rešena, iako su se matematičari u dvadesetom veku primetno približili razumevanju njihove suštine. Ali ovo stoljeće je također iznjedrilo mnoge nove, ništa manje zanimljive probleme, posebno na ukrštanju matematike s fizikom i drugim granama prirodnih nauka.
Davne 1900. Hilbert je identifikovao jednu od njih: stvoriti kompletan sistem aksioma matematičke fizike! Stotinu godina kasnije, ovaj problem je daleko od rješenja, makar samo zato što arsenal matematičkih alata u fizici stalno raste, a nemaju svi striktno opravdanje. Ali nakon 1970. teorijska fizika se podijelila u dvije grane. Jedna (klasična) još od vremena Njutna bavi se modeliranjem i prognoziranjem ODRŽIVIH procesa, druga (nova) pokušava da formalizuje interakciju NESTABILNIH procesa i načine njihovog upravljanja. Jasno je da se ove dvije grane fizike moraju aksiomatizirati odvojeno.
Prvi od njih će se verovatno rešiti za dvadeset-pedeset godina...
A što nedostaje drugoj grani fizike - onoj koja je zadužena za sve vrste evolucije (uključujući čudne fraktale i čudne atraktore, ekologiju biocenoza i Gumiljovljevu teoriju strasti)? Malo je vjerovatno da ćemo to uskoro shvatiti. Ali obožavanje naučnika novom idolu već je postalo masovna pojava. Vjerovatno će se ovdje odvijati ep, uporediv s trovjekovnom biografijom Fermatove teoreme. Tako se na raskrsnicama različitih nauka rađaju novi idoli - slični religioznim, ali složeniji i dinamičniji...
Očigledno, čovjek ne može ostati ličnost, a da s vremena na vrijeme ne ruši stare idole i stvara nove - u bolu i sa radošću! Pjer Ferma je imao sreću da je u sudbonosnom trenutku bio blizu žarišta rođenja novog idola - i uspeo je da ostavi trag svoje ličnosti na novorođenčetu. Na takvoj sudbini se može pozavidjeti i nije grijeh oponašati je.
Sergej Smirnov
"Znanje je moć"
Dakle, Fermatova posljednja teorema (često nazvana Fermatova posljednja teorema), koju je 1637. godine formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, vrlo je jednostavna po prirodi i razumljiva svima sa srednjom stručnom spremom. Kaže da formula a na stepen od n + b na stepen od n = c na stepen od n nema prirodna (tj. ne razlomka) rešenja za n > 2. Sve izgleda jednostavno i jasno, ali najbolji matematičari i obični amateri više od tri i po vijeka mučili su se s traženjem rješenja.
Zašto je tako poznata? Sad ćemo saznati...
Postoji li mnogo dokazanih, nedokazanih i još nedokazanih teorema? Ovdje se radi o tome da Fermatova posljednja teorema predstavlja najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatova posljednja teorema je nevjerovatno težak problem, a ipak njenu formulaciju može razumjeti svako ko ima nivo 5. razreda. srednja škola, ali dokaz nije ni za svakog profesionalnog matematičara. Ni u fizici, ni u hemiji, ni u biologiji, ni u matematici ne postoji nijedan problem koji bi se mogao tako jednostavno formulisati, a koji je tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?
Počnimo od Pitagorinih pantalona. Formulacija je zaista jednostavna - na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "pitagorine pantalone su jednake na sve strane." Problem izgleda tako jednostavno jer je zasnovan na matematičkoj izjavi koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama.
U 5. veku pne. Pitagora je osnovao pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali cjelobrojne trojke koje zadovoljavaju jednakost x²+y²=z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opšte formule da ih pronađem. Vjerovatno su pokušali tražiti trojke ili više visoki stepeni. Uvjereni da to nije uspjelo, pitagorejci su napustili svoje beskorisne pokušaje. Članovi bratstva bili su više filozofi i esteti nego matematičari.
Odnosno, lako je odabrati skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x²+y²=z²
Počevši od 3, 4, 5 - zaista, mlađi učenik razumije da je 9 + 16 = 25.
Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.
I tako dalje. Šta ako uzmemo sličnu jednačinu x³+y³=z³? Možda ima i takvih brojeva?
I tako dalje (slika 1).
Dakle, ispada da NISU. Ovdje počinje trik. Jednostavnost je očigledna, jer je teško dokazati ne prisustvo nečega, već, naprotiv, njegovo odsustvo. Kada trebate dokazati da rješenje postoji, možete i trebate jednostavno predstaviti ovo rješenje.
Dokazivanje odsustva je teže: na primjer, neko kaže: takva i takva jednačina nema rješenja. Staviti ga u lokvicu? lako: bam - i evo ga, rješenje! (dati rješenje). I to je to, protivnik je poražen. Kako dokazati odsustvo?
Recite: “Nisam našao takva rješenja”? Ili možda niste dobro izgledali? Šta ako postoje, samo veoma veliki, veoma veliki, takvi da čak ni super-moćni kompjuter još uvek nema dovoljno snage? Ovo je ono što je teško.
To se može vizuelno prikazati ovako: ako uzmete dva kvadrata odgovarajućih veličina i rastavite ih na jedinične kvadrate, onda iz ove gomile jediničnih kvadrata dobijete treći kvadrat (slika 2):
Ali hajde da uradimo isto sa trećom dimenzijom (slika 3) – ne radi. Nema dovoljno kocki, ili su ostale viška:
Ali francuski matematičar iz 17. veka Pjer de Ferma sa entuzijazmom je proučavao opštu jednačinu x n +y n =z n . I konačno, zaključio sam: za n>2 ne postoje cjelobrojna rješenja. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Ostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: „Pronašao sam zaista nevjerovatan dokaz za ovu tvrdnju, ali su margine ovdje preuske da bi ga sadržavale.”
Zapravo, teorema bez dokaza naziva se hipoteza. Ali Fermat ima reputaciju da nikada ne pravi greške. Čak i ako nije ostavio dokaze o izjavi, ona je naknadno potvrđena. Štaviše, Fermat je dokazao svoju tezu za n=4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u istoriju kao Fermatova poslednja teorema.
Nakon Ferma, veliki umovi kao što je Leonhard Euler radili su na potrazi za dokazom (1770. godine predložio je rješenje za n = 3),
Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi naučnici su zajedno pronašli dokaz za n = 5 1825.), Gabriel Lamé (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Do sredine 1980-ih postalo je jasno da naučni svet je na putu do konačnog rješenja Fermatove posljednje teoreme, ali tek 1993. godine matematičari su vidjeli i vjerovali da je trovjekovni ep o pronalaženju dokaza Fermatove posljednje teoreme praktično završen.
Lako se pokazuje da je dovoljno dokazati Fermatov teorem samo za jednostavno n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za kompozit n, dokaz ostaje važeći. Ali ima beskonačno mnogo prostih brojeva...
Godine 1825., koristeći metodu Sophie Germain, matematičarke, Dirichlet i Legendre su nezavisno dokazale teoremu za n=5. Godine 1839, koristeći istu metodu, Francuz Gabriel Lame je pokazao istinitost teoreme za n=7. Postepeno je teorema dokazana za skoro svih n manje od sto.
Konačno, nemački matematičar Ernst Kumer je u briljantnoj studiji pokazao da je, koristeći metode matematike 19. veka, teorema iz opšti pogled ne može se dokazati. Nagrada Francuske akademije nauka, ustanovljena 1847. za dokaz Fermaove teoreme, ostala je nedodijeljena.
Godine 1907. bogati njemački industrijalac Paul Wolfskehl odlučio je sebi oduzeti život zbog neuzvraćene ljubavi. Kao pravi Nijemac, odredio je datum i vrijeme samoubistva: tačno u ponoć. Posljednjeg dana napravio je testament i pisao pisma prijateljima i rođacima. Stvari su se završile prije ponoći. Mora se reći da je Paul bio zainteresovan za matematiku. Nemajući ništa drugo da radi, otišao je u biblioteku i počeo da čita Kumerov čuveni članak. Odjednom mu se učinilo da je Kummer pogriješio u rasuđivanju. Wolfskel je počeo analizirati ovaj dio članka s olovkom u rukama. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazu je popunjena. I sam razlog za samoubistvo sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je poderao oproštajna pisma i prepisao testament.
Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili prilično iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 tekućih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog naučnog društva iz Getingena, koje je iste godine raspisalo konkurs za Wolfskehl nagradu. Osoba koja je dokazala Fermatovu teoremu dobila je 100.000 maraka. Za pobijanje teoreme nije dodijeljen ni fening...
Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatove posljednje teoreme beznadežnim zadatkom i odlučno je odbijala gubiti vrijeme na tako beskorisnu vježbu. Ali amateri su se oduševili. Nekoliko sedmica nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Univerzitet u Getingenu. Profesor E.M. Landau, čija je odgovornost bila da analizira poslate dokaze, podijelio je kartice svojim studentima:
Dragi. . . . . . . .
Hvala vam što ste mi poslali rukopis s dokazom Fermatove posljednje teoreme. Prva greška je na stranici ... u redu... . Zbog toga ceo dokaz gubi na validnosti.
Profesor E. M. Landau
Godine 1963. Paul Cohen je, oslanjajući se na Gödelove nalaze, dokazao nerješivost jednog od Hilbertova dvadeset tri problema - hipoteze kontinuuma. Šta ako je i Fermatova posljednja teorema neodlučiva?! Ali pravi fanatici Velike Teoreme nisu bili razočarani. Pojava kompjutera iznenada je dala matematičare nova metoda dokaz. Nakon Drugog svjetskog rata, timovi programera i matematičara dokazali su Fermatovu posljednju teoremu za sve vrijednosti od n do 500, zatim do 1.000, a kasnije i do 10.000.
Osamdesetih godina, Samuel Wagstaff je podigao granicu na 25.000, a 1990-ih matematičari su izjavili da je Fermatova posljednja teorema tačna za sve vrijednosti od n do 4 miliona. Ali ako od beskonačnosti oduzmete čak i trilion triliona, on neće postati manji. Matematičare statistika ne uvjerava. Dokazati Veliku teoremu značilo je dokazati je za SVE n ide u beskonačnost.
Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su istraživati modularne forme. Ovi oblici generiraju nizove brojeva, svaki sa svojom serijom. Igrom slučaja, Taniyama je uporedio ove serije sa serijama generisanim eliptičnim jednačinama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, a eliptičke jednadžbe su algebarske. Nikada nije pronađena nikakva veza između tako različitih objekata.
Međutim, nakon pažljivog testiranja, prijatelji su iznijeli hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima blizanca - modularni oblik, i obrnuto. Upravo je ova hipoteza postala temelj čitavog smjera u matematici, ali sve dok hipoteza Taniyama-Shimura nije dokazana, cijela zgrada bi se svakog trenutka mogla srušiti.
Godine 1984. Gerhard Frey je pokazao da rješenje Fermatove jednačine, ako postoji, može biti uključeno u neku eliptičku jednačinu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet je dokazao da ova hipotetička jednačina ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od sada je Fermatova posljednja teorema bila neraskidivo povezana s Taniyama-Shimura pretpostavkom. Pošto smo dokazali da je bilo koja eliptična kriva modularna, zaključujemo da ne postoji eliptična jednadžba s rješenjem Fermatove jednačine, a Fermatova posljednja teorema bi bila odmah dokazana. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura, a sve je manje bilo nade za uspjeh.
Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliku teoremu, shvatio je da ne može odustati od nje. Kao školarac, student i postdiplomac pripremao se za ovaj zadatak.
Saznavši za otkrića Kena Ribeta, Wiles je bezglavo upao u dokazivanje pretpostavke Tanijama-Šimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. „Shvatio sam da sve što ima bilo kakve veze sa Fermaovom poslednjom teoremom izaziva preveliko interesovanje... Previše gledalaca očigledno ometa postizanje cilja.” Sedam godina napornog rada se isplatilo; Wiles je konačno završio dokaz Taniyama-Shimura pretpostavke.
Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatove posljednje teoreme (Wiles je pročitao svoj senzacionalni rad na konferenciji na Sir Isaac Newton Institute u Cambridgeu), rad na kojem je trajao više od sedam godina.
Dok se hajka nastavila u štampi, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i tačnim. Wiles je proveo nemirno ljeto čekajući povratne informacije od recenzenata, nadajući se da će uspjeti dobiti njihovo odobrenje. Krajem avgusta vještaci su ocijenili da je presuda nedovoljno obrazložena.
Ispostavilo se da ova odluka sadrži grubu grešku, iako je generalno ispravna. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć čuvenog specijaliste za teoriju brojeva Richarda Taylora, a već 1994. godine objavili su ispravljeni i prošireni dokaz teoreme. Najnevjerovatnije je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu “Annals of Mathematics”. Ali ni tu se priča nije završila – konačna tačka je postignuta tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i “idealna”, s matematičke tačke gledišta, verzija dokaza.
“...pola minuta nakon početka svečane večere povodom njenog rođendana, poklonio sam Nady rukopis kompletnog dokaza” (Andrew Wales). Nisam li još rekao da su matematičari čudni ljudi?
Ovoga puta nije bilo sumnje u dokaze. Dva članka su podvrgnuta najpažljivijoj analizi i objavljena su u maju 1995. u Annals of Mathematics.
Od tog trenutka je prošlo dosta vremena, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje da je Fermatova posljednja teorema nerješiva. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju raditi u tom smjeru - malo je onih koji su zadovoljni da Velika teorema zahtijeva rješenje od 130 stranica!
Stoga su sada napori mnogih matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih naučnika) bačeni u potragu za jednostavnim i konciznim dokazom, ali ovaj put, najvjerovatnije, neće voditi nikuda...
Pierre Fermat je tvrdio da:
nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke ili bikvadrat na dva bikvadrata, i općenito je nemoguće razložiti bilo koji stepen veći od dva na dva stepena s istim eksponentom.
Kako pristupiti dokazu ove Fermatove tvrdnje?
(slika za privlačenje pažnje)
Zamislimo da smo pronašli ili konstruirali pravokutni trokut sa sljedećim stranicama: kateta - , i hipotenuze gdje je (p, q, k, n)- prirodni brojevi. Tada, po Pitagorinoj teoremi, dobijamo ili . Dakle, ako pronađemo ili konstruiramo takav trokut, onda ćemo pobiti Fermata. Ako dokažemo da takav trokut ne postoji, onda ćemo dokazati teoremu.
Pošto se iskaz bavi prirodnim brojevima, naći ćemo koliko je jednaka razlika kvadrata dva neparna prirodna broja. One. hajde da rešimo jednačinu. Da bismo to učinili, konstruirat ćemo pravokutne trokute čija je hipotenuza jednaka , a noga jednaka , gdje i (a > b). Zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, možete izračunati drugu nogu koristeći formulu (1) , ili (2) . Našli smo da su strane ovih trokuta jednake i . Tako da možemo ponoviti Sve parovi brojeva a I b iz prirodnog skupa (nazovimo ove brojeve „generatorima“ ovog identiteta) i dobijemo Sve mogući trouglovi sa datim svojstvima , . Dokažimo neophodnost ovu odluku. Hajde da prepišemo (1) kao . Pošto Z i Y nisu parni brojevi, što znači da možemo napisati (Z - Y) = 2b i (Z + Y) = 2a. Rešavajući ih za Z i Y, dobijamo Z = (a + b) i Y = (a - b). Tada možemo napisati da je X = 4ab i, zamjenjujući ove vrijednosti u (1) , primićemo .
Bilješka
Da bi se izbeglo dobijanje sličnih trouglova, i s obzirom na to Z I Y- neparni brojevi po uslovu, brojevi a I b moraju biti relativno prosti i različitih pariteta. Nadalje ćemo pretpostaviti da je broj paran a. Organizirati raspodjelu pravokutnih trouglova u skupu prirodnih brojeva N, postupimo na sljedeći način: od ovog skupa oduzimamo sve brojeve koji su parni stepen prirodnih brojeva. Označimo ovaj skup sa , gdje n- prirodni broj. Zatim od preostalih prirodnih brojeva oduzimamo sve brojeve koji su neparni (≥3) stepena prirodnih brojeva i označavamo skup ovih brojeva kao . Preostali prirodni brojevi će formirati skup čiji su brojevi prirodni brojevi na prvi stepen. Označimo ovaj skup sa . Očigledno, kombinacija ova 3 skupa je skup prirodnih brojeva, ili . Predstavimo skup kao niz = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………). Predstavimo skupove u obliku serija. Tada će skup biti matrica koja se sastoji od beskonačnog broja redova, svaki red će se sastojati od brojeva u nizu podignutih na stepen 2n, A n- postoji broj reda. Dakle, prvi red se sastoji od kvadrata svih brojeva u nizu, drugi red se sastoji od 4 stepena ovih brojeva, itd. Razmotrimo skup, koji će biti matrica koja se sastoji od beskonačnog broja redova, od kojih će se svaki red sastojati od brojeva u nizu podignutih na stepen 2n+1. (n je broj linije). Dakle, prvi red ove matrice se sastoji od kocki brojeva u nizu, drugi red se sastoji od brojeva u nizu na peti stepen, itd. Hajde da razmotrimo set. Jer , tada ćemo prihvatiti isti algoritam za konstruisanje trouglova (vidi gore). Nađimo "generatore" identiteta. To će biti brojevi, gdje , napravimo identitet: (3) , dobili smo puno pravokutnih trouglova sa cijelim stranicama. Ovdje - hipotenuza, - krak i - drugi krak. Za pobijanje Fermatove tvrdnje potrebno je da strane X, Y, Zželjeni trougao je bio jednak (4) . Gdje su (p, q, k, n) prirodni brojevi. Po Pitagorinoj teoremi imaćemo ili
a Fermatova tvrdnja će biti opovrgnuta. Iz identiteta je jasno da . Razmotrimo posljednju jednakost, u ovoj jednakosti" str"ni pod kojim okolnostima" a I b" neće biti prirodan broj ako . To znači da u razmatranom skupu trouglova ne postoji niti jedan trokut sa traženim stranicama (4)
.Sada pogledajmo set. Označimo (2n+1) kako " m", tada u skupu dobijamo pravouglove trougle opisane identitom (6) . Ako možemo konstruirati pravokutni trokut X, Y, Z sa strankama (7) , gdje , tada ćemo opovrgnuti Fermatovu izjavu, jer po Pitagorinoj teoremi i (p, q i k) su prirodni brojevi. Potrebno je. Uzimajući u obzir posljednju jednakost, primjećujemo da “ str" ne može biti prirodan broj za bilo koju vrijednost " a I b", , Ako . To znači da u ovom skupu trouglova ne postoji niti jedan trokut sa traženim stranicama (7) .
Međutim, iz navedenog je jasno da se cijeli dokaz svodi na analizu broja, gdje je "" za bilo koji prirodni " a I b"neće biti prirodan broj na stepen" m/2" Or (8) pod istim uslovima neće biti prirodan broj na stepen “m”. Iz dokaza je jasno da su “generatori” identiteta (6) su brojevi "" iz serije Ali, analizirajući (8) , možete zamijeniti broj umjesto "". Pošto postoji paran broj (vidi napomenu), onda je to prirodan broj. Nakon zamjene (8) dobijamo , odnosno prirodne brojeve na stepen od “m”. Nakon što je izvršio gornju zamjenu u identitetu (6) , i označavajući sa , dobijamo sljedeći identitet: . Dobili smo skup pravokutnih trouglova sa stranicama. Ako su (k, q, p) prirodni brojevi na neparan stepen, tj. gdje je r bilo koji neparan broj, i . Da bi se pobio Fermat potrebno je da: U posljednjoj jednakosti za bilo koju prirodnu a I b, su prirodni brojevi, ali prve dvije jednakosti su nemoguće, jer ako je “ m I r» bilo koji neparni brojevi, onda su to iracionalni brojevi, a brojevi u zagradama prirodni brojevi. Ako su (k, q, p) prirodni brojevi na paran stepen, tj. , tada dobijamo sljedeće jednakosti (5) . U ovoj verziji posljednja jednakost je nemoguća, jer Izdvajanjem m korijena stepena sa obje strane jednakosti dobijamo, tj. u zagradi je iracionalan broj, a - je prirodan broj. To znači da ni u ovom skupu nije pronađen „potreban“ trougao. To znači da za bilo koje odd « m„Fermatova izjava je tačna, a samim tim i tačna, za sve proste eksponente „m ≥ 3“.
Ostaje da se pronađe dokaz teoreme za parne eksponente. Od (5) slijedi da ako u kanonskom proširenju parnog eksponenta postoji neparan prost broj, onda je Fermatova izjava za ovaj eksponent tačna. Očigledno, svi parni brojevi ispunjavaju ovaj uslov osim broja " 4 "i brojevi koji su višekratni od četiri, tj. 8, 16, 32, 64 … itd. U proširenju ovih brojeva postoji samo prost broj 2 . Stoga gornji dokaz ne daje odgovor za ove moći.
Dakle, ostaje dokazati teoremu za “ n=4" Može se pretpostaviti da je Fermat imao opći dokaz, ali ne i potpun. Možda zato nije zapisao svoj iskaz. I samo nekoliko godina kasnije, stvorivši svoju metodu "beskonačnog ili neodređenog spuštanja", dokazao je da ne postoji pravokutni trokut sa cijelim stranicama čija bi površina bila jednaka kvadratu prirodnog broja. Nakon ovoga, dokaz teoreme za “ n=4“Nije bilo teško. Fermat je zapisao ovaj dokaz. I pokazalo se da je teorema potpuno dokazana.
Tagovi: Fermatova teorema, kratak dokaz