Aplikasyon

Paglutas ng anumang uri ng mga equation online sa site para sa mga mag-aaral at mag-aaral upang pagsamahin ang pinag-aralan na materyal. Paglutas ng mga equation online. Mga equation online. Mayroong algebraic, parametric, transendental, functional, differential at iba pang uri ng mga equation. Ang ilang mga klase ng equation ay may mga analytical na solusyon, na maginhawa dahil hindi lamang nila binibigyan ng eksaktong halaga ang ugat, ngunit pinapayagan ka ring isulat ang solusyon sa anyo ng isang formula, na maaaring may kasamang mga parameter. Ang mga analytical expression ay nagbibigay-daan hindi lamang upang kalkulahin ang mga ugat, ngunit din upang pag-aralan ang kanilang pag-iral at ang kanilang dami depende sa mga halaga ng parameter, na kadalasang mas mahalaga para sa praktikal na aplikasyon, kaysa sa mga tiyak na halaga ng mga ugat. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Ang paglutas ng isang equation ay ang gawain ng paghahanap ng mga naturang halaga ng mga argumento kung saan nakamit ang pagkakapantay-pantay na ito. Naka-on posibleng mga halaga maaaring ipataw ang mga argumento karagdagang kondisyon(integer, real, atbp.). Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Maaari mong lutasin ang equation online kaagad at may mataas na katumpakan ng resulta. Ang mga argumento sa mga tinukoy na function (minsan ay tinatawag na "mga variable") ay tinatawag na "hindi alam" sa kaso ng isang equation. Ang mga halaga ng mga hindi alam kung saan nakamit ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na mga solusyon o ugat ng equation na ito. Sinasabing ang mga ugat ay nagbibigay-kasiyahan sa equation na ito. Ang paglutas ng isang equation online ay nangangahulugan ng paghahanap ng hanay ng lahat ng mga solusyon nito (mga ugat) o pagpapatunay na walang mga ugat. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Ang mga equation na ang mga hanay ng mga ugat ay nagtutugma ay tinatawag na katumbas o katumbas. Ang mga equation na walang mga ugat ay itinuturing din na katumbas. Ang equation ng equation ay may pag-aari ng symmetry: kung ang isang equation ay katumbas ng isa pa, ang pangalawang equation ay katumbas ng una. Ang pagkakapareho ng mga equation ay may katangian ng transitivity: kung ang isang equation ay katumbas ng isa pa, at ang pangalawa ay katumbas ng isang ikatlo, kung gayon ang unang equation ay katumbas ng pangatlo. Ang pag-aari ng equivalence ng mga equation ay nagpapahintulot sa amin na magsagawa ng mga pagbabagong-anyo sa kanila, kung saan nakabatay ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Ang site ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation online. Ang mga equation kung saan kilala ang mga analytical na solusyon ay ang mga algebraic equation na hindi mas mataas kaysa sa ikaapat na degree: linear equation, quadratic equation, cubic equation at fourth degree equation. Algebraic equation Sa pangkalahatang kaso, ang mga equation ng mas mataas na degree ay walang analytical na solusyon, bagama't ang ilan sa mga ito ay maaaring bawasan sa mga equation ng mas mababang degree. Ang mga equation na kinabibilangan ng mga transendental na function ay tinatawag na transendental. Kabilang sa mga ito, ang mga analytical na solusyon ay kilala para sa ilan trigonometriko equation, dahil mga zero trigonometriko function kilalang kilala. Sa pangkalahatang kaso, kapag hindi mahanap ang isang analytical na solusyon, ginagamit ang mga numerical na pamamaraan. Ang mga numerical na pamamaraan ay hindi nagbibigay ng eksaktong solusyon, ngunit pinapayagan lamang ng isa na paliitin ang pagitan kung saan ang ugat ay namamalagi sa isang tiyak na paunang natukoy na halaga. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online.. Sa halip na isang equation online, iisipin natin kung paano bumubuo ang parehong expression ng isang linear na relasyon, hindi lamang sa isang tuwid na tangent, kundi pati na rin sa pinakadulo ng inflection ng graph. Ang pamamaraang ito ay kailangang-kailangan sa lahat ng oras sa pag-aaral ng paksa. Madalas na nangyayari na ang paglutas ng mga equation ay lumalapit sa panghuling halaga sa pamamagitan ng paggamit ng walang katapusang mga numero at pagsulat ng mga vector. Kinakailangang suriin ang paunang data at ito ang kakanyahan ng gawain. Kung hindi, ang lokal na kundisyon ay mako-convert sa isang formula. Pagbabaligtad sa isang tuwid na linya mula sa isang ibinigay na function, na kakalkulahin ng calculator ng equation nang walang pagkaantala sa pagpapatupad, ang offset ay magsisilbing isang pribilehiyo ng espasyo. Pag-uusapan natin ang tagumpay ng mga mag-aaral sa kapaligirang pang-agham. Gayunpaman, tulad ng lahat ng nasa itaas, makakatulong ito sa amin sa proseso ng paghahanap at kapag nalutas mo nang buo ang equation, iimbak ang resultang sagot sa mga dulo ng segment ng tuwid na linya. Ang mga linya sa espasyo ay nagsalubong sa isang punto at ang puntong ito ay tinatawag na intersected ng mga linya. Ang agwat sa linya ay ipinahiwatig bilang naunang tinukoy. Ang pinakamataas na post para sa pag-aaral ng matematika ay ilalathala. Ang pagtatalaga ng isang halaga ng argumento mula sa parametrically specified surface at paglutas ng equation online ay magagawang balangkasin ang mga prinsipyo ng produktibong pag-access sa isang function. Ang strip ng Möbius, o infinity kung tawagin, ay parang figure na walo. Ito ay isang panig na ibabaw, hindi dalawang panig. Ayon sa prinsipyong karaniwang alam ng lahat, talagang tatanggapin namin linear na equation para sa pangunahing pagtatalaga bilang ay at sa larangan ng pag-aaral. Dalawang halaga lamang ng sunud-sunod na ibinigay na mga argumento ang makakapagpakita ng direksyon ng vector. Ipagpalagay na ang isa pang solusyon sa mga online na equation ay higit pa sa paglutas lamang nito ay nangangahulugan ng pagkuha ng isang ganap na bersyon ng invariant bilang resulta. Kung wala pinagsamang diskarte Mahirap para sa mga mag-aaral na matutunan ang materyal na ito. Tulad ng dati, para sa bawat espesyal na kaso, ang aming maginhawa at matalinong online na calculator ng equation ay makakatulong sa lahat sa mahihirap na oras, dahil kailangan mo lamang tukuyin ang mga parameter ng input at ang system mismo ay kalkulahin ang sagot. Bago tayo magsimulang magpasok ng data, kakailanganin natin ng input tool, na maaaring gawin nang walang labis na kahirapan. Ang bilang ng bawat pagtatantya ng sagot ay hahantong sa isang parisukat na equation sa aming mga konklusyon, ngunit hindi ito napakadaling gawin, dahil madaling patunayan ang kabaligtaran. Ang teorya, dahil sa mga katangian nito, ay hindi sinusuportahan ng praktikal na kaalaman. Ang pagtingin sa isang fraction calculator sa yugto ng pag-publish ng sagot ay hindi isang madaling gawain sa matematika, dahil ang alternatibong pagsulat ng isang numero sa isang set ay nakakatulong upang mapataas ang paglago ng function. Gayunpaman, hindi tama na hindi pag-usapan ang tungkol sa pagsasanay ng mag-aaral, kaya bawat isa ay magsasabi kung gaano ito kailangang gawin. Ang dating nahanap na cubic equation ay nararapat na mapabilang sa domain ng kahulugan at naglalaman ng espasyo ng mga numerical na halaga, pati na rin ang mga simbolikong variable. Ang pagkakaroon ng natutunan o kabisado ang teorama, ang aming mga mag-aaral ay patunayan ang kanilang mga sarili lamang sa ang pinakamagandang bahagi, at magiging masaya tayo para sa kanila. Hindi tulad ng maraming intersection ng field, ang aming mga online na equation ay inilalarawan ng isang plane of motion sa pamamagitan ng pag-multiply ng dalawa at tatlong numerical na pinagsamang linya. Ang isang set sa matematika ay hindi natukoy nang natatangi. Ang pinakamahusay na solusyon, ayon sa mga mag-aaral, ay isang kumpletong pag-record ng expression. Tulad ng sinabi sa pang-agham na wika, ang abstraction ng mga simbolikong expression ay hindi pumapasok sa estado ng mga gawain, ngunit ang solusyon ng mga equation ay nagbibigay ng isang hindi malabo na resulta sa lahat ng mga kilalang kaso. Ang tagal ng aralin ng guro ay nakasalalay sa mga pangangailangan para sa panukalang ito. Ang pagsusuri ay nagpakita ng pangangailangan ng lahat ng computational techniques sa maraming lugar, at ito ay ganap na malinaw na ang isang equation calculator ay isang kailangang-kailangan na tool sa likas na kakayahan ng isang mag-aaral. Ang isang tapat na diskarte sa pag-aaral ng matematika ay tumutukoy sa kahalagahan ng mga pananaw mula sa iba't ibang direksyon. Gusto mong tukuyin ang isa sa mga pangunahing theorems at lutasin ang equation sa paraang, depende sa sagot kung saan magkakaroon ng karagdagang pangangailangan para sa aplikasyon nito. Nagkakaroon ng momentum ang Analytics sa lugar na ito. Magsimula tayo sa simula at makuha ang formula. Ang pagkakaroon ng paglabag sa antas ng pagtaas ng function, ang linya sa kahabaan ng tangent sa inflection point ay tiyak na hahantong sa katotohanan na ang paglutas ng equation online ay isa sa mga pangunahing aspeto sa pagbuo ng parehong graph mula sa argumento ng function. Ang isang amateur na diskarte ay may karapatang mailapat kung kondisyong ito hindi sumasalungat sa mga konklusyon ng mga mag-aaral. Ito ang subtask na naglalagay ng pagsusuri ng mga kundisyon sa matematika bilang mga linear na equation sa umiiral na domain ng kahulugan ng bagay na dinadala sa background. Kinansela ng netting sa direksyon ng orthogonality ang bentahe ng isang solong ganap na halaga. Nagbibigay ng parehong bilang ng mga solusyon ang modulo solving equation online kung bubuksan mo muna ang mga bracket na may plus sign at pagkatapos ay may minus sign. Sa kasong ito, magkakaroon ng dalawang beses na mas maraming mga solusyon, at ang resulta ay magiging mas tumpak. Matatag at tamang calculator Ang mga equation online ay tagumpay sa pagkamit ng nilalayon na layunin sa gawaing itinakda ng guro. Kinakailangang pamamaraan tila posible na pumili dahil sa mga makabuluhang pagkakaiba sa mga pananaw ng mga dakilang siyentipiko. Ang nagreresultang quadratic equation ay naglalarawan sa curve ng mga linya, ang tinatawag na parabola, at ang sign ay tutukoy sa convexity nito sa square coordinate system. Mula sa equation ay nakuha natin ang parehong discriminant at ang mga ugat mismo ayon sa theorem ni Vieta. Ang unang hakbang ay ang katawanin ang expression bilang isang wasto o hindi wastong fraction at gumamit ng fraction calculator. Depende dito, mabubuo ang plano para sa aming mga karagdagang kalkulasyon. Ang matematika na may teoretikal na diskarte ay magiging kapaki-pakinabang sa bawat yugto. Tiyak na ipapakita namin ang resulta bilang isang cubic equation, dahil itatago namin ang mga ugat nito sa expression na ito upang gawing simple ang gawain para sa isang mag-aaral sa isang unibersidad. Ang anumang mga pamamaraan ay mabuti kung ang mga ito ay angkop para sa mababaw na pagsusuri. Ang mga sobrang aritmetika na operasyon ay hindi hahantong sa mga error sa pagkalkula. Tinutukoy ang sagot nang may ibinigay na katumpakan. Gamit ang solusyon ng mga equation, harapin natin ito - ang paghahanap ng independiyenteng variable ng isang naibigay na function ay hindi napakadali, lalo na sa panahon ng pag-aaral. parallel lines sa infinity. Sa pagtingin sa pagbubukod, ang pangangailangan ay napakalinaw. Ang pagkakaiba ng polarity ay malinaw. Mula sa karanasan ng pagtuturo sa mga institute, natuto ang aming guro pangunahing aralin, kung saan pinag-aralan ang mga equation online sa buong matematikal na kahulugan. Dito pinag-uusapan natin ang mas mataas na pagsisikap at mga espesyal na kasanayan sa paglalapat ng teorya. Sa pabor sa aming mga konklusyon, hindi dapat tumingin sa isang prisma. Hanggang kamakailan lamang, pinaniniwalaan na ang isang saradong hanay ay mabilis na tumataas sa rehiyon kung ano ito at ang solusyon ng mga equation ay kailangan lamang na siyasatin. Sa unang yugto ay hindi namin isinasaalang-alang ang lahat posibleng mga opsyon, ngunit ang diskarteng ito ay mas makatwiran kaysa dati. Ang mga karagdagang aksyon na may mga bracket ay nagbibigay-katwiran sa ilang mga pag-unlad sa kahabaan ng ordinate at abscissa axes, na hindi maaaring makaligtaan sa mata. Sa kahulugan ng isang malawak na proporsyonal na pagtaas sa function, mayroong isang inflection point. Muli nating patunayan kung paano kinakailangang kondisyon ay ilalapat sa buong agwat ng pagbaba ng isa o isa pang pababang posisyon ng vector. Sa isang limitadong espasyo, pipili kami ng variable mula sa unang bloke ng aming script. Ang isang sistema na itinayo bilang batayan kasama ang tatlong mga vector ay responsable para sa kawalan ng pangunahing sandali ng puwersa. Gayunpaman, ang calculator ng equation ay nakabuo at tumulong sa paghahanap ng lahat ng mga termino ng itinayong equation, parehong nasa itaas ng ibabaw at kasama ang mga parallel na linya. Gumuhit tayo ng bilog sa paligid ng panimulang punto. Kaya, magsisimula kaming umakyat sa mga linya ng seksyon, at ilalarawan ng tangent ang bilog sa buong haba nito, na nagreresulta sa isang curve na tinatawag na involute. Sa pamamagitan ng paraan, sabihin natin ang isang maliit na kasaysayan tungkol sa curve na ito. Ang katotohanan ay ang kasaysayan sa matematika ay walang konsepto ng matematika mismo sa dalisay nitong pag-unawa tulad ng ngayon. Noong nakaraan, ang lahat ng mga siyentipiko ay nakikibahagi sa isang karaniwang gawain, iyon ay, agham. Nang maglaon, makalipas ang ilang siglo, nang siyentipikong mundo na puno ng napakalaking dami ng impormasyon, natukoy pa rin ng sangkatauhan ang maraming disiplina. Nananatili pa rin silang hindi nagbabago. Gayunpaman, bawat taon, sinusubukan ng mga siyentipiko sa buong mundo na patunayan na ang agham ay walang limitasyon, at hindi mo malulutas ang equation maliban kung mayroon kang kaalaman sa mga natural na agham. Maaaring hindi posible na wakasan ito. Ang pag-iisip tungkol dito ay walang kabuluhan gaya ng pagpapainit ng hangin sa labas. Hanapin natin ang pagitan kung saan ang argumento, kung ang halaga nito ay positibo, ay tutukuyin ang modulus ng halaga sa isang mabilis na pagtaas ng direksyon. Tutulungan ka ng reaksyon na makahanap ng hindi bababa sa tatlong solusyon, ngunit kakailanganin mong suriin ang mga ito. Magsimula tayo sa katotohanang kailangan nating lutasin ang equation online gamit ang natatanging serbisyo ng ating website. Ilagay natin ang magkabilang panig ng ibinigay na equation, i-click ang "SOLVE" na buton at makuha ang eksaktong sagot sa loob lamang ng ilang segundo. SA mga espesyal na kaso Kumuha tayo ng isang libro sa matematika at i-double check ang ating sagot, ibig sabihin, tingnan lamang ang sagot at magiging malinaw ang lahat. Ang parehong proyekto para sa isang artificial redundant parallelepiped ay lilipad. Mayroong parallelogram na may magkatulad na mga gilid, at ipinapaliwanag nito ang maraming mga prinsipyo at diskarte sa pag-aaral ng spatial na relasyon ng pataas na proseso ng pag-iipon ng guwang na espasyo sa mga natural na formula na anyo. Ang mga hindi maliwanag na linear na equation ay nagpapakita ng pag-asa ng nais na variable sa aming karaniwan sa sandaling ito solusyon sa oras at kailangan mong kahit papaano ay kunin at bawasan ang hindi tamang bahagi sa isang hindi maliit na kaso. Markahan ang sampung puntos sa tuwid na linya at gumuhit ng kurba sa bawat punto sa ibinigay na direksyon, na ang matambok na punto ay nakataas. Nang walang anumang mga espesyal na paghihirap, ang aming calculator ng equation ay magpapakita ng isang expression sa isang form na ang pagsusuri nito para sa bisa ng mga patakaran ay magiging halata kahit na sa simula ng pag-record. Ang sistema ng mga espesyal na representasyon ng katatagan para sa mga mathematician ay nauuna, maliban kung iba ang ibinigay ng formula. Sasagutin namin ito ng isang detalyadong pagtatanghal ng isang ulat sa paksa ng isomorphic na estado ng isang plastic system ng mga katawan at ang paglutas ng mga equation sa online ay ilalarawan ang paggalaw ng bawat materyal na punto sa sistemang ito. Sa antas ng malalim na pananaliksik, kakailanganing linawin nang detalyado ang isyu ng pagbabaligtad ng hindi bababa sa mas mababang layer ng espasyo. Sa pagtaas ng order sa seksyon ng discontinuity ng function, mag-a-apply kami pangkalahatang pamamaraan isang mahusay na mananaliksik, sa pamamagitan ng paraan, ang ating kababayan, at pag-uusapan natin sa ibaba ang tungkol sa pag-uugali ng eroplano. Dahil sa malalakas na katangian ng isang function na tinukoy ng analytical, ginagamit lang namin ang online na calculator ng equation para sa nilalayon nitong layunin sa loob ng mga hinangong limitasyon ng awtoridad. Nangangatuwiran pa, itutuon namin ang aming pagsusuri sa homogeneity ng equation mismo, iyon ay, ang kanang bahagi nito ay katumbas ng zero. Muli nating tiyakin na tama ang ating desisyon sa matematika. Upang maiwasan ang pagkuha ng isang maliit na solusyon, gagawa kami ng ilang mga pagsasaayos sa mga paunang kondisyon para sa problema ng kondisyon na katatagan ng system. Gumawa tayo ng isang quadratic equation, kung saan isinusulat natin ang dalawang entry gamit ang isang kilalang formula at hanapin ang mga negatibong ugat. Kung ang isang ugat ay limang yunit na mas malaki kaysa sa pangalawa at pangatlong ugat, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paggawa ng mga pagbabago sa pangunahing argumento sa gayon ay binabaluktot namin ang mga paunang kondisyon ng subtask. Sa mismong likas na katangian nito, ang isang bagay na hindi karaniwan sa matematika ay maaaring palaging ilarawan sa pinakamalapit na daan ng isang positibong numero. Ang fraction calculator ay ilang beses na mas mataas kaysa sa mga analogue nito sa mga katulad na mapagkukunan sa pinakamahusay na sandali ng pag-load ng server. Sa ibabaw ng velocity vector na lumalaki kasama ang ordinate axis, gumuhit kami ng pitong linya, na nakatungo sa mga direksyon sa tapat ng bawat isa. Ang pagkakapantay-pantay ng itinalagang argumento ng function ay nauuna sa mga pagbabasa ng counter ng balanse sa pagbawi. Sa matematika, maaari nating katawanin ang hindi pangkaraniwang bagay na ito sa pamamagitan ng isang cubic equation na may mga haka-haka na koepisyent, gayundin sa bipolar na pag-unlad ng mga pababang linya. Mga kritikal na puntos Ang mga pagkakaiba sa temperatura sa maraming paraan ay naglalarawan sa proseso ng pagkabulok ng isang kumplikadong fractional function sa mga salik. Kung sasabihin sa iyo na lutasin ang isang equation, huwag magmadali na gawin ito kaagad, tiyak na suriin muna ang buong plano ng aksyon, at pagkatapos ay gawin ang tamang diskarte. Tiyak na magkakaroon ng mga benepisyo. Ang kadalian ng trabaho ay halata, at ang parehong ay totoo sa matematika. Lutasin ang equation online. Ang lahat ng online na equation ay kumakatawan sa isang partikular na uri ng talaan ng mga numero o parameter at isang variable na kailangang matukoy. Kalkulahin ang napaka variable na ito, iyon ay, maghanap ng mga tiyak na halaga o pagitan ng isang hanay ng mga halaga kung saan ang pagkakakilanlan ay mananatili. Ang mga paunang at panghuling kondisyon ay direktang nakasalalay. SA karaniwang desisyon Karaniwang kasama sa mga equation ang ilang variable at constants, sa pamamagitan ng pagtatakda kung saan makakakuha tayo ng buong pamilya ng mga solusyon para sa isang ibinigay na pahayag ng problema. Sa pangkalahatan, binibigyang-katwiran nito ang mga pagsisikap na namuhunan sa pagtaas ng paggana ng isang spatial cube na may gilid na katumbas ng 100 sentimetro. Maaari kang maglapat ng theorem o lemma sa anumang yugto ng pagbuo ng sagot. Ang site ay unti-unting gumagawa ng isang equation calculator, kung kinakailangan, sa anumang agwat ng pagsusuma ng mga palabas na produkto pinakamaliit na halaga. Sa kalahati ng mga kaso, ang naturang bola, na guwang, ay hindi na nakakatugon sa mga kinakailangan para sa pagtatakda ng isang intermediate na sagot. Hindi bababa sa ordinate axis sa direksyon ng pagbaba ng representasyon ng vector, ang proporsyon na ito ay walang alinlangan na mas mahusay kaysa sa nakaraang expression. Sa oras kung kailan mga linear na function isasagawa ang isang kumpletong pagsusuri sa punto, sa katunayan, pagsasama-samahin namin ang lahat ng aming mga kumplikadong numero at bipolar planar space. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable sa resultang expression, malulutas mo ang equation nang hakbang-hakbang at ibibigay ang pinakadetalyadong sagot na may mataas na katumpakan. Magiging magandang paraan sa bahagi ng isang mag-aaral na suriin muli ang kanyang mga aksyon sa matematika. Ang proporsyon sa ratio ng mga fraction ay naitala ang integridad ng resulta sa lahat ng mahahalagang lugar ng aktibidad ng zero vector. Kinumpirma ang triviality sa pagtatapos ng mga nakumpletong aksyon. Sa isang simpleng gawain, maaaring hindi mahihirapan ang mga mag-aaral kung malulutas nila ang equation online sa pinakamaikling posibleng panahon, ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa lahat ng iba't ibang panuntunan. Ang isang set ng mga subset ay nagsalubong sa isang rehiyon ng convergent notation. SA iba't ibang kaso ang produkto ay hindi maling na-factor. Tutulungan kang lutasin ang equation online sa aming unang seksyon, na nakatuon sa mga pangunahing kaalaman ng mga pamamaraan sa matematika para sa mahahalagang seksyon para sa mga mag-aaral sa mga unibersidad at teknikal na kolehiyo. Ang mga halimbawa ng tugon ay hindi magpapanatili sa amin na maghintay ng ilang araw, mula noong proseso pinakamahusay na pakikipag-ugnayan Ang pagsusuri ng vector na may sunud-sunod na paghahanap ng mga solusyon ay na-patent sa simula ng huling siglo. Lumalabas na ang mga pagsisikap na magtatag ng mga ugnayan sa nakapaligid na koponan ay hindi nawalan ng kabuluhan; malinaw na kailangan muna ng iba. Pagkalipas ng ilang henerasyon, pinaniwalaan ng mga siyentipiko sa buong mundo ang mga tao na ang matematika ay ang reyna ng mga agham. Kung ito ay ang kaliwang sagot o ang kanan, lahat ng pareho, ang mga kumpletong termino ay dapat na nakasulat sa tatlong mga hilera, dahil sa aming kaso ay tiyak na pag-uusapan lamang natin ang tungkol sa pagsusuri ng vector ng mga katangian ng matrix. Ang mga nonlinear at linear na equation, kasama ang mga biquadratic equation, ay may espesyal na lugar sa aming aklat tungkol sa pinakamahusay na kasanayan pagkalkula ng tilapon ng paggalaw sa espasyo ng lahat materyal na puntos saradong sistema. Ang isang linear na pagsusuri ng scalar product ng tatlong magkakasunod na vectors ay makakatulong sa atin na bigyang-buhay ang ideya. Sa dulo ng bawat pahayag, ginagawang mas madali ang gawain sa pamamagitan ng pagpapatupad ng mga naka-optimize na numerical exception sa mga overlay ng espasyo ng numero na ginagawa. Ang ibang paghatol ay hindi maghahambing sa nahanap na sagot sa di-makatwirang hugis ng isang tatsulok sa isang bilog. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector ay naglalaman ng kinakailangang porsyento ng margin at ang paglutas ng mga equation online ay madalas na nagpapakita ng isang tiyak karaniwang ugat mga equation kumpara sa mga paunang kondisyon. Ang pagbubukod ay gumaganap ng papel ng isang katalista sa buong hindi maiiwasang proseso ng paghahanap ng isang positibong solusyon sa larangan ng pagtukoy ng isang function. Kung hindi sinabi na hindi ka maaaring gumamit ng isang computer, kung gayon ang isang online na calculator ng equation ay tama lamang para sa iyong mga mahihirap na problema. Kailangan mo lang ipasok ang iyong conditional data sa tamang format at maglalabas ang aming server ng ganap na resultang sagot sa pinakamaikling panahon. Ang isang exponential function ay tumataas nang mas mabilis kaysa sa isang linear. Ang mga Talmud ng matalinong literatura sa aklatan ay nagpapatotoo dito. Magsasagawa ng pagkalkula sa pangkalahatang kahulugan bilang isang ibinigay na quadratic equation na may tatlong kumplikadong coefficient na gagawin. Ang parabola sa itaas na bahagi ng kalahating eroplano ay nagpapakilala sa rectilinear parallel motion kasama ang mga axes ng punto. Narito ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng potensyal na pagkakaiba sa lugar ng pagtatrabaho ng katawan. Bilang kapalit para sa isang suboptimal na resulta, ang aming fraction calculator ay nararapat na sumasakop sa unang posisyon sa mathematical rating ng pagsusuri ng mga functional program sa gilid ng server. Ang kadalian ng paggamit ng serbisyong ito ay pahahalagahan ng milyun-milyong mga gumagamit ng Internet. Kung hindi mo alam kung paano ito gamitin, ikalulugod naming tulungan ka. Nais din naming lalo na tandaan at i-highlight ang cubic equation mula sa isang bilang ng mga problema sa elementarya, kapag kinakailangan upang mabilis na mahanap ang mga ugat nito at bumuo ng isang graph ng function sa isang eroplano. Ang mas mataas na antas ng pagpaparami ay isa sa pinakamahirap mga problema sa matematika sa instituto at sapat na bilang ng oras ang inilalaan para sa pag-aaral nito. Tulad ng lahat ng mga linear na equation, ang sa amin ay walang pagbubukod ayon sa maraming layunin na mga patakaran; tumingin mula sa iba't ibang mga punto ng view, at ito ay naging simple at sapat upang itakda ang mga paunang kondisyon. Ang pagitan ng pagtaas ay tumutugma sa pagitan ng convexity ng function. Paglutas ng mga equation online. Ang pag-aaral ng teorya ay batay sa mga online na equation mula sa maraming mga seksyon sa pag-aaral ng pangunahing disiplina. Sa kaso ng diskarteng ito sa hindi tiyak na mga problema, napakasimpleng ipakita ang solusyon sa mga equation sa isang paunang natukoy na anyo at hindi lamang gumuhit ng mga konklusyon, ngunit mahulaan din ang kinalabasan ng naturang positibong solusyon. Ang isang serbisyo sa pinakamahusay na mga tradisyon ng matematika ay makakatulong sa amin na matutunan ang paksa, tulad ng kaugalian sa Silangan. Sa pinakamahusay na mga sandali ng agwat ng oras, ang mga katulad na gawain ay pinarami ng isang karaniwang kadahilanan na sampu. Ang kasaganaan ng pagpaparami ng maraming variable sa calculator ng equation ay nagsimulang dumami sa kalidad sa halip na mga quantitative variable gaya ng masa o timbang ng katawan. Upang maiwasan ang mga kaso ng kawalan ng timbang ng materyal na sistema, ang derivation ng isang three-dimensional na transpormer sa walang kuwentang convergence ng mga non-degenerate mathematical matrice ay medyo halata sa amin. Kumpletuhin ang gawain at lutasin ang equation sa ibinigay na mga coordinate, dahil ang konklusyon ay hindi alam nang maaga, tulad ng lahat ng mga variable na kasama sa post-space time. Sa maikling panahon, alisin ang karaniwang salik mula sa mga panaklong at hatiin ang magkabilang panig ng pinakamalaking karaniwang salik nang maaga. Mula sa ilalim ng nagreresultang sakop na subset ng mga numero, i-extract sa isang detalyadong paraan tatlumpu't tatlong puntos sa isang hilera sa isang maikling panahon. Sa lawak na sa pinakamahusay na posibleng paraan Ang paglutas ng isang equation online ay posible para sa bawat mag-aaral. Sa hinaharap, sabihin natin ang isang mahalaga ngunit pangunahing bagay, kung wala ito ay mahirap mabuhay sa hinaharap. Sa huling siglo, napansin ng mahusay na siyentipiko ang isang bilang ng mga pattern sa teorya ng matematika. Sa pagsasagawa, ang resulta ay hindi lubos na inaasahang impresyon ng mga kaganapan. Gayunpaman, sa prinsipyo, ang mismong solusyon na ito ng mga equation online ay nakakatulong upang mapabuti ang pag-unawa at pang-unawa ng isang holistic na diskarte sa pag-aaral at praktikal na pagsasama-sama ng teoretikal na materyal na sakop ng mga mag-aaral. Mas madaling gawin ito sa oras ng iyong pag-aaral.

=

Ang anumang wika ay maaaring magpahayag ng parehong impormasyon sa iba't ibang salita at mga rebolusyon. Ang wikang matematika ay walang pagbubukod. Ngunit ang parehong expression ay maaaring katumbas na nakasulat sa iba't ibang paraan. At sa ilang mga sitwasyon, ang isa sa mga entry ay mas simple. Pag-uusapan natin ang tungkol sa pagpapasimple ng mga expression sa araling ito.

Ang mga tao ay nakikipag-usap iba't ibang wika. Para sa amin, ang isang mahalagang paghahambing ay ang pares na "Wikang Ruso - wikang matematika". Ang parehong impormasyon ay maaaring ipaalam sa iba't ibang wika. Ngunit, bukod dito, maaari itong bigkasin sa iba't ibang paraan sa isang wika.

Halimbawa: "Si Petya ay kaibigan ni Vasya", "Si Vasya ay kaibigan ni Petya", "Si Petya at Vasya ay magkaibigan". Iba ang sinabi, pero pareho lang. Mula sa alinman sa mga pariralang ito ay mauunawaan natin kung ano ang pinag-uusapan natin.

Tingnan natin ang pariralang ito: "Ang batang si Petya at ang batang si Vasya ay magkaibigan." Naiintindihan namin ang ibig naming sabihin pinag-uusapan natin. Gayunpaman, hindi namin gusto ang tunog ng pariralang ito. Hindi ba natin maaaring pasimplehin ito, sabihin ang parehong bagay, ngunit mas simple? "Boy and boy" - maaari mong sabihin nang isang beses: "Magkaibigan sina Petya at Vasya."

"Boys"... Hindi ba malinaw sa pangalan nila na hindi sila babae? Inalis namin ang "mga lalaki": "Magkaibigan sina Petya at Vasya." At ang salitang "kaibigan" ay maaaring mapalitan ng "mga kaibigan": "Si Petya at Vasya ay magkaibigan." Bilang resulta, ang una, mahaba, pangit na parirala ay pinalitan ng katumbas na pahayag na mas madaling sabihin at mas madaling maunawaan. Pinasimple namin ang pariralang ito. Ang pasimplehin ay nangangahulugang sabihin ito nang mas simple, ngunit hindi mawala o baluktutin ang kahulugan.

Sa wikang matematika, halos pareho ang nangyayari. Isa at iisang bagay ang masasabi, iba ang pagkakasulat. Ano ang ibig sabihin ng pasimplehin ang isang expression? Nangangahulugan ito na para sa orihinal na expression mayroong maraming mga katumbas na expression, iyon ay, ang mga iyon ay pareho ang ibig sabihin. At mula sa lahat ng iba't ibang ito dapat nating piliin ang pinakasimpleng, sa aming opinyon, o ang pinaka-angkop para sa aming karagdagang mga layunin.

Halimbawa, isaalang-alang numeric na expression. Ito ay magiging katumbas ng .

Katumbas din ito ng unang dalawa: .

Lumalabas na pinasimple namin ang aming mga expression at natagpuan ang pinakamaikling katumbas na expression.

Para sa mga numeric na expression, palaging kailangan mong gawin ang lahat at makuha ang katumbas na expression bilang isang solong numero.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng literal na pagpapahayag . Malinaw, ito ay magiging mas simple.

Kapag pinasimple ang mga literal na expression, kinakailangang gawin ang lahat ng posibleng aksyon.

Kailangan bang gawing simple ang isang expression? Hindi, kung minsan ay mas maginhawa para sa atin na magkaroon ng katumbas ngunit mas mahabang pagpasok.

Halimbawa: kailangan mong ibawas ang isang numero mula sa isang numero.

Posibleng kalkulahin, ngunit kung ang unang numero ay kinakatawan ng katumbas nitong notasyon: , kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging madalian: .

Iyon ay, ang isang pinasimple na expression ay hindi palaging kapaki-pakinabang para sa amin para sa karagdagang mga kalkulasyon.

Gayunpaman, kadalasan ay nahaharap tayo sa isang gawain na parang "pasimplehin ang expression."

Pasimplehin ang expression: .

Solusyon

1) Isagawa ang mga aksyon sa una at pangalawang bracket: .

2) Kalkulahin natin ang mga produkto: .

Malinaw, ang huling expression ay may mas simpleng anyo kaysa sa una. Pinasimple namin ito.

Upang gawing simple ang expression, dapat itong mapalitan ng katumbas (katumbas).

Upang matukoy ang katumbas na expression na kailangan mo:

1) isagawa ang lahat ng posibleng aksyon,

2) gamitin ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati upang gawing simple ang mga kalkulasyon.

Mga katangian ng pagdaragdag at pagbabawas:

1. Commutative property ng karagdagan: ang muling pagsasaayos ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan.

2. Combinative property ng karagdagan: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong numero sa unang numero.

3. Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan mula sa isang numero: upang ibawas ang isang kabuuan mula sa isang numero, maaari mong ibawas ang bawat termino nang hiwalay.

Mga katangian ng multiplikasyon at paghahati

1. Commutative property ng multiplication: ang muling pagsasaayos ng mga salik ay hindi nagbabago sa produkto.

2. Combinative property: upang i-multiply ang isang numero sa produkto ng dalawang numero, maaari mo muna itong i-multiply sa unang factor, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang produkto sa pangalawang factor.

3. Distributive property ng multiplication: upang ma-multiply ang isang numero sa isang sum, kailangan mong i-multiply ito sa bawat term nang hiwalay.

Tingnan natin kung paano talaga namin ginagawa ang mga kalkulasyon ng kaisipan.

Kalkulahin:

Solusyon

1) Isipin natin kung paano

2) Isipin natin ang unang salik bilang kabuuan bit terms at gawin ang pagpaparami:

3) maaari mong isipin kung paano at gawin ang pagpaparami:

4) Palitan ang unang salik ng katumbas na kabuuan:

Ang distributive law ay maaari ding gamitin sa reverse side: .

Sundin ang mga hakbang:

1) 2)

Solusyon

1) Para sa kaginhawahan, maaari mong gamitin ang batas sa pamamahagi, gamitin lamang ito sa kabaligtaran na direksyon - alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

2) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket

Kinakailangang bumili ng linoleum para sa kusina at pasilyo. Lugar ng kusina - , pasilyo - . Mayroong tatlong uri ng mga linoleum: para sa, at rubles para sa. Magkano ang bawat halaga? tatlong uri linoleum? (Larawan 1)

kanin. 1. Ilustrasyon para sa pahayag ng problema

Solusyon

Paraan 1. Maaari mong hiwalay na malaman kung magkano ang pera na kakailanganin upang bumili ng linoleum para sa kusina, at pagkatapos ay ilagay ito sa pasilyo at idagdag ang mga resultang produkto.

Unang antas

Pag-convert ng mga Expression. Detalyadong teorya (2019)

Madalas nating marinig ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwang nakikita natin ang ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Ito ay mas simple," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain.

Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lamang!) Isang ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang aktibidad na ito, kailangan mong magawa hawakan ang mga fraction At salik na polynomial.

Samakatuwid, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Nabasa mo na ba? Kung oo, handa ka na ngayon.

Tara na! (Let's go!)

Mahalagang paalaala!Kung nakikita mo ang gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

Mga Pangunahing Operasyon sa Pagpapasimple ng Expression

Ngayon tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimpleng isa ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Kinuha mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw sa matematika ang mga titik sa halip na mga numero.

Katulad- ito ay mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik.

Halimbawa, sa kabuuan, ang mga katulad na termino ay at.

Naaalala mo ba?

Magbigay ng katulad- nangangahulugan ng pagdaragdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at pagkuha ng isang termino.

Paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay.

Halimbawa, ang isang sulat ay isang upuan. Kung gayon, ano ang katumbas ng ekspresyon?

Dalawang upuan at tatlong upuan, ilan ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito: .

Upang maiwasan ang kalituhan, hayaan iba't ibang titik kumakatawan sa iba't ibang bagay.

Halimbawa, - ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ay isang mesa.

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients.

Halimbawa, sa isang monomial ang coefficient ay pantay. At sa loob nito ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng mga katulad ay:

Mga halimbawa:

Magbigay ng mga katulad:

Mga sagot:

2. (at katulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Ito ay kadalasan ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression.

Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ay kailangan ang resultang expression factorize, iyon ay, ipinakita sa anyo ng isang produkto.

Lalo na ito mahalaga sa mga fraction: kung tutuusin, para mabawasan ang fraction, Ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga pamamaraan ng pag-factor ng mga expression nang detalyado sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan.

Upang gawin ito, lutasin ang ilang mga halimbawa (kailangan mong i-factor ang mga ito)

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

3. Pagbawas ng isang fraction.

Well, ano ang maaaring maging mas kaaya-aya kaysa sa pagtawid sa bahagi ng numerator at denominator at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Iyan ang kagandahan ng pagbabawas.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang mabawasan ang isang fraction kailangan mo:

1) numerator at denominator factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan , maaari silang ma-cross out.

Mga halimbawa:

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang karaniwang pagkakamali kapag nagpapaikli. Bagama't simple ang paksang ito, maraming tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi nauunawaan iyon bawasan- ibig sabihin nito hatiin numerator at denominator ay magkaparehong numero.

Walang mga pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay isang kabuuan.

Halimbawa: kailangan nating gawing simple.

Ginagawa ito ng ilang tao: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

Gagawin ito ng "pinakamatalino":

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, na nangangahulugang maaari itong mabawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi naka-factor.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay factorized, na nangangahulugan na maaari mong bawasan ito, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mo itong hatiin kaagad sa:

Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay factorized:

Ang operasyong arithmetic na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng isang expression ay ang "master" na operasyon.

Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay factorized).

Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi naka-factor (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang palakasin ito, lutasin ang ilang mga halimbawa sa iyong sarili:

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na factorization:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang pamilyar na operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang salik at idagdag/ibawas ang mga numerator.

Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominador at medyo prime, iyon ay, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Dito, una sa lahat, kino-convert namin ang mga halo-halong praksiyon sa mga hindi wasto, at pagkatapos ay ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay ganap na naiibang usapin kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: hinahanap natin ang common denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang factor at idagdag/bawas ang mga numerator:

Ngayon sa numerator maaari kang magbigay ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

Mga sagot:

b) Ang mga denominador ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng isang karaniwang denominador na walang mga titik:

· una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang salik;

· pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng mga karaniwang salik nang paisa-isa;

· at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, isinasaalang-alang muna natin ang mga ito sa mga pangunahing salik:

Bigyang-diin natin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isa-isa nating isulat ang mga karaniwang salik at idagdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Balik tayo sa mga letra. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

· salik ang mga denominador;

· tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) salik;

· isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses;

· paramihin ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) salik ang mga denominador:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi binibigyang diin) na mga kadahilanan:

So may common denominator dito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominador, lahat lamang ay may iba't ibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Anong natutunan mo?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag binawasan mo ang mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Kaya multiply sa. At i-multiply sa:

Tatawagin natin ang mga expression na hindi maaaring i-factorize na "elementary factor."

Halimbawa, - ito ay isang elementary factor. - Pareho. Ngunit hindi: maaari itong i-factorize.

Paano ang expression? elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang “”).

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At haharapin natin sila sa parehong paraan.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may multiplier. Mapupunta ito sa karaniwang denominator sa antas (tandaan kung bakit?).

Ang kadahilanan ay elementarya, at wala silang isang karaniwang kadahilanan, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Bago mo i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

Malaki! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Gaya ng dati, i-factorize natin ang mga denominator. Sa unang denominator ay inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang karaniwang mga kadahilanan. Ngunit kung titingnan mong mabuti, magkatulad sila... At totoo:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, ito ay naging ganito: sa loob ng bracket ay ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras ang pag-sign sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon, dalhin natin ito sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Suriin natin ngayon.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito kailangan nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito: .

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang bahagyang parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Ano ang gagawin kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, ang parehong bagay! Una sa lahat, tiyakin natin na ang maximum na bilang ng mga salik sa mga denominator ay pareho:

Pakitandaan: kung babaguhin mo ang mga sign sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga palatandaan sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay muling nagbabago sa kabaligtaran. Bilang resulta, ito (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin ang buong unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idagdag dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Iyon ay, ito ay lumalabas na ganito:

Hmm... Malinaw kung ano ang gagawin sa mga fraction. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan nating gawing fraction ang dalawa! Tandaan natin: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling nakalimutan mo). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na ngayon. At nasa unahan natin ang pinakasimple, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numerical expression? Tandaan sa pamamagitan ng pagkalkula ng kahulugan ng expression na ito:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, hayaan mong ipaalala ko sa iyo.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong ilang mga multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari silang gawin sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang expression sa mga bracket ay sinusuri nang wala sa turn!

Kung ang ilang mga bracket ay pinarami o hinati sa isa't isa, una naming kalkulahin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung marami pang bracket sa loob ng bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Kapag kinakalkula ang isang expression, ano ang dapat mong gawin muna? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pamamaraan para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit ito ay hindi katulad ng isang expression na may mga titik?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga operasyong aritmetika kailangan mong gawin ang mga algebraic, iyon ay, ang mga pagkilos na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para ma-factorize, kailangan mong gamitin ang I o ilagay lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinapasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon tayo ay may pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay ipakita ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idinagdag:

Imposibleng pasimplehin ang ekspresyong ito nang higit pa; ang lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Pagpaparami ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas simple.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

OK tapos na ang lahat Ngayon. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Solusyon:

Una sa lahat, tukuyin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

Una, idagdag natin ang mga fraction sa panaklong, kaya sa halip na dalawang fraction ay makakakuha tayo ng isa.

Pagkatapos ay gagawa tayo ng dibisyon ng mga fraction. Well, idagdag natin ang resulta sa huling fraction.

Bibilangin ko ang mga hakbang sa eskematiko:

Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon sa pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang punto na lumitaw ang mga katulad sa ating bansa, ipinapayong ilabas agad ang mga ito.

2. Ang parehong naaangkop sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling lumitaw ang pagkakataon upang mabawasan, dapat itong samantalahin. Ang pagbubukod ay para sa mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At kung ano ang ipinangako sa simula pa lamang:

Mga sagot:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong mga halimbawa, pagkatapos ay pinagkadalubhasaan mo ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

MGA PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) ang mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket, paglalapat nito, atbp.
• Pagbawas ng isang fraction: Ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, na hindi nagbabago sa halaga ng fraction.
  1) numerator at denominator factorize
  2) kung ang numerator at denominator ay may mga karaniwang kadahilanan, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Ang isang algebraic expression kung saan, kasama ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at multiplikasyon, ay gumagamit din ng paghahati sa mga expression ng titik, ay tinatawag na isang fractional algebraic expression. Ito ay, halimbawa, ang mga expression

Tinatawag namin ang isang algebraic fraction na isang algebraic expression na may anyo ng isang quotient ng dibisyon ng dalawang integer algebraic expression (halimbawa, monomials o polynomials). Ito ay, halimbawa, ang mga expression

Ang pangatlo sa mga expression).

Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga fractional algebraic expression ay kadalasang naglalayong kumatawan sa kanila sa anyo ng isang algebraic fraction. Upang mahanap ang common denominator, ginagamit ang factorization ng mga denominator ng mga fraction - mga termino upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kapag binabawasan ang mga algebraic fraction, ang mahigpit na pagkakakilanlan ng mga expression ay maaaring lumabag: ito ay kinakailangan upang ibukod ang mga halaga ng mga dami kung saan ang kadahilanan kung saan ang pagbawas ay ginawa ay naging zero.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng magkaparehong pagbabago ng mga fractional algebraic expression.

Halimbawa 1: Pasimplehin ang isang expression

Ang lahat ng mga termino ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator (ito ay maginhawa upang baguhin ang sign sa denominator ng huling termino at ang sign sa harap nito):

Ang aming expression ay katumbas ng isa para sa lahat ng mga halaga maliban sa mga halagang ito; ito ay hindi natukoy at ang pagbabawas ng fraction ay ilegal).

Halimbawa 2. Ilarawan ang expression bilang isang algebraic fraction

Solusyon. Ang expression ay maaaring kunin bilang isang karaniwang denominator. Nahanap namin nang sunud-sunod:

Mga ehersisyo

1. Hanapin ang mga halaga ng mga algebraic na expression para sa tinukoy na mga halaga ng parameter:

2. I-factorize.

Ang literal na expression (o variable expression) ay isang mathematical expression na binubuo ng mga numero, titik, at mathematical na simbolo. Halimbawa, literal ang sumusunod na expression:

a+b+4

Gamit ang mga alphabetic expression maaari kang sumulat ng mga batas, formula, equation at function. Ang kakayahang manipulahin ang mga expression ng titik ay ang susi sa mabuting kaalaman sa algebra at mas mataas na matematika.

Anumang seryosong problema sa matematika ay bumababa sa paglutas ng mga equation. At upang malutas ang mga equation, kailangan mong makapagtrabaho sa mga literal na expression.

Upang gumana sa mga literal na expression, kailangan mong maging mahusay sa mga pangunahing aritmetika: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga pangunahing batas ng matematika, mga praksyon, mga operasyon na may mga fraction, mga proporsyon. At hindi lang basta mag-aral, kundi intindihin ng maigi.

Nilalaman ng aralin

Mga variable

Ang mga titik na nakapaloob sa mga literal na pagpapahayag ay tinatawag mga variable. Halimbawa, sa expression a+b+4 ang mga variable ay ang mga titik a At b. Kung papalitan natin ang anumang mga numero sa halip ng mga variable na ito, pagkatapos ay ang literal na expression a+b+4 ay magiging isang numerical expression na ang halaga ay makikita.

Ang mga numero na pinapalitan para sa mga variable ay tinatawag mga halaga ng mga variable. Halimbawa, baguhin natin ang mga halaga ng mga variable a At b. Ang equal sign ay ginagamit upang baguhin ang mga halaga

a = 2, b = 3

Binago namin ang mga halaga ng mga variable a At b. Variable a nagtalaga ng halaga 2 , variable b nagtalaga ng halaga 3 . Bilang resulta, ang literal na pagpapahayag a+b+4 nagiging regular na numeric na expression 2+3+4 na ang halaga ay matatagpuan:

2 + 3 + 4 = 9

Kapag pinarami ang mga variable, isinusulat ang mga ito nang magkasama. Halimbawa, itala ab pareho ang ibig sabihin ng entry a×b. Kung papalitan natin ang mga variable a At b numero 2 At 3 , pagkatapos ay makakakuha tayo ng 6

2 × 3 = 6

Maaari mo ring isulat nang magkasama ang multiplikasyon ng isang numero sa pamamagitan ng isang expression sa panaklong. Halimbawa, sa halip na a×(b + c) maaaring isulat a(b + c). Ang paglalapat ng batas ng pamamahagi ng multiplikasyon, nakukuha natin a(b + c)=ab+ac.

Odds

Sa literal na mga expression madalas kang makakahanap ng notasyon kung saan ang isang numero at isang variable ay nakasulat nang magkasama, halimbawa 3a. Ito ay talagang isang shorthand para sa pagpaparami ng numero 3 sa isang variable. a at mukhang ang entry na ito 3×a .

Sa madaling salita, ang expression 3a ay ang produkto ng bilang 3 at ang variable a. Numero 3 sa gawaing ito na tinatawag nila koepisyent. Ipinapakita ng koepisyent na ito kung gaano karaming beses tataas ang variable a. Ang ekspresyong ito ay mababasa bilang " a tatlong beses" o "tatlong beses A", o "pataasin ang halaga ng isang variable a tatlong beses", ngunit kadalasang binabasa bilang "tatlo a«

Halimbawa, kung ang variable a katumbas ng 5 , pagkatapos ay ang halaga ng expression 3a ay magiging katumbas ng 15.

3 × 5 = 15

nagsasalita sa simpleng wika, ang koepisyent ay ang numero na nauuna sa titik (bago ang variable).

Maaaring mayroong ilang mga titik, halimbawa 5abc. Narito ang koepisyent ay ang numero 5 . Ang koepisyent na ito ay nagpapakita na ang produkto ng mga variable abc tumataas ng limang beses. Ang ekspresyong ito ay mababasa bilang " abc limang beses" o "pataasin ang halaga ng expression abc limang beses" o "lima abc«.

Kung sa halip na mga variable abc palitan ang mga numero 2, 3 at 4, pagkatapos ay ang halaga ng expression 5abc magiging pantay 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Maaari mong isipin kung paano unang pinarami ang mga numero 2, 3 at 4, at ang nagresultang halaga ay tumaas ng limang beses:

Ang tanda ng koepisyent ay tumutukoy lamang sa koepisyent at hindi nalalapat sa mga variable.

Isaalang-alang ang ekspresyon −6b. Minus bago ang koepisyent 6 , nalalapat lamang sa koepisyent 6 , at hindi kabilang sa variable b. Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magpapahintulot sa iyo na huwag magkamali sa hinaharap na may mga palatandaan.

Hanapin natin ang halaga ng expression −6b sa b = 3.

−6b −6×b. Para sa kalinawan, isulat natin ang expression −6b sa pinalawak na anyo at palitan ang halaga ng variable b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression −6b sa b = −5

Isulat natin ang ekspresyon −6b sa pinalawak na anyo

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Halimbawa 3. Hanapin ang halaga ng isang expression −5a+b sa a = 3 At b = 2

−5a+b ito ay isang maikling anyo para sa −5 × a + b, kaya para sa kalinawan isinusulat namin ang expression −5×a+b sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a At b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Minsan ang mga titik ay isinusulat nang walang koepisyent, halimbawa a o ab. Sa kasong ito, ang koepisyent ay pagkakaisa:

ngunit tradisyonal na ang yunit ay hindi nakasulat, kaya sila ay nagsusulat lamang a o ab

Kung mayroong isang minus bago ang titik, kung gayon ang koepisyent ay isang numero −1 . Halimbawa, ang expression −a actually mukhang −1a. Ito ang produkto ng minus one at ang variable a. Ito ay naging ganito:

−1 × a = −1a

May maliit na catch dito. Sa pagpapahayag −a minus sign sa harap ng variable a aktwal na tumutukoy sa isang "invisible unit" sa halip na isang variable a. Samakatuwid, dapat kang maging maingat sa paglutas ng mga problema.

Halimbawa, kung ibinigay ang expression −a at hinihiling sa amin na hanapin ang halaga nito sa a = 2, pagkatapos sa paaralan ay pinalitan namin ang dalawa sa halip na isang variable a at nakatanggap ng sagot −2 , nang hindi masyadong nakatuon sa kung paano ito naging resulta. Sa katunayan, ang minus one ay pinarami ng positibong numero 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Kung bibigyan ng ekspresyon −a at kailangan mong hanapin ang halaga nito sa a = −2, pagkatapos ay pinapalitan namin −2 sa halip na isang variable a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Upang maiwasan ang mga pagkakamali, sa una ang mga hindi nakikitang yunit ay maaaring isulat nang tahasan.

Halimbawa 4. Hanapin ang halaga ng isang expression abc sa a=2 , b=3 At c=4

Pagpapahayag abc 1×a×b×c. Para sa kalinawan, isulat natin ang expression abc a, b At c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Halimbawa 5. Hanapin ang halaga ng isang expression abc sa a=−2 , b=−3 At c=−4

Isulat natin ang ekspresyon abc sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a, b At c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Halimbawa 6. Hanapin ang halaga ng isang expression − abc sa a=3 , b=5 at c=7

Pagpapahayag − abc ito ay isang maikling anyo para sa −1×a×b×c. Para sa kalinawan, isulat natin ang expression − abc sa pinalawak na anyo at palitan ang mga halaga ng mga variable a, b At c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Halimbawa 7. Hanapin ang halaga ng isang expression − abc sa a=−2 , b=−4 at c=−3

Isulat natin ang ekspresyon − abc sa pinalawak na anyo:

−abc = −1 × a × b × c

Palitan natin ang mga halaga ng mga variable a , b At c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Paano matukoy ang koepisyent

Minsan kailangan mong lutasin ang isang problema kung saan kailangan mong matukoy ang koepisyent ng isang expression. Talaga, ang gawaing ito napakasimple. Ito ay sapat na upang makapag-multiply ng mga numero nang tama.

Upang matukoy ang koepisyent sa isang expression, kailangan mong hiwalay na i-multiply ang mga numero na kasama sa expression na ito at hiwalay na i-multiply ang mga titik. Ang resultang numerical factor ay ang coefficient.

Halimbawa 1. 7m×5a×(−3)×n

Ang expression ay binubuo ng ilang mga kadahilanan. Malinaw itong makikita kung isusulat mo ang expression sa pinalawak na anyo. Ibig sabihin, ang mga gawa 7m At 5a isulat ito sa anyo 7×m At 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Ilapat natin ang nag-uugnay na batas ng multiplikasyon, na nagbibigay-daan sa iyong paramihin ang mga salik sa anumang pagkakasunud-sunod. Ibig sabihin, hiwalay naming i-multiply ang mga numero at hiwalay na i-multiply ang mga titik (mga variable):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Ang koepisyent ay −105 . Matapos makumpleto, ipinapayong ayusin ang bahagi ng titik sa pagkakasunud-sunod ng alpabeto:

−105am

Halimbawa 2. Tukuyin ang coefficient sa expression: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Ang koepisyent ay 6.

Halimbawa 3. Tukuyin ang coefficient sa expression:

I-multiply natin ang mga numero at titik nang hiwalay:

Ang koepisyent ay −1. Pakitandaan na ang yunit ay hindi naisulat, dahil kaugalian na hindi isulat ang koepisyent 1.

Ang mga tila pinakasimpleng gawain ay maaaring gumanap ng isang napakalupit na biro sa atin. Madalas na lumalabas na ang tanda ng koepisyent ay naitakda nang hindi tama: alinman ang minus ay nawawala o, sa kabaligtaran, ito ay itinakda nang walang kabuluhan. Upang maiwasan ang mga nakakainis na pagkakamali, dapat itong pag-aralan sa isang mahusay na antas.

Addends sa literal na mga expression

Kapag nagdadagdag ng ilang mga numero, ang kabuuan ng mga numerong ito ay nakuha. Ang mga numerong nagdaragdag ay tinatawag na mga addend. Maaaring may ilang termino, halimbawa:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kapag ang isang expression ay binubuo ng mga termino, mas madaling suriin dahil mas madali ang pagdaragdag kaysa pagbabawas. Ngunit ang expression ay maaaring maglaman ng hindi lamang karagdagan, kundi pati na rin ang pagbabawas, halimbawa:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Sa expression na ito, ang mga numero 3 at 5 ay subtrahends, hindi addends. Ngunit walang pumipigil sa amin na palitan ang pagbabawas ng karagdagan. Pagkatapos ay muli tayong nakakakuha ng isang expression na binubuo ng mga termino:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Hindi mahalaga na ang mga numerong −3 at −5 ay mayroon na ngayong minus sign. Ang pangunahing bagay ay ang lahat ng mga numero sa expression na ito ay konektado sa pamamagitan ng isang tanda ng karagdagan, iyon ay, ang expression ay isang kabuuan.

Parehong expression 1 + 2 − 3 + 4 − 5 At 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) katumbas ng parehong halaga - minus one

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Kaya, ang kahulugan ng expression ay hindi magdurusa kung papalitan natin ang pagbabawas ng karagdagan sa isang lugar.

Maaari mo ring palitan ang pagbabawas ng karagdagan sa mga literal na expression. Halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod na expression:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Para sa anumang mga halaga ng mga variable a B C D At s mga ekspresyon 7a + 6b − 3c + 2d − 4s At 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ay magiging katumbas ng parehong halaga.

Dapat kang maging handa sa katotohanan na ang isang guro sa paaralan o isang guro sa isang institute ay maaaring tumawag ng kahit na mga numero (o mga variable) na hindi mga addend.

Halimbawa, kung ang pagkakaiba ay nakasulat sa pisara a−b, tapos hindi sasabihin ng teacher yan a ay isang minuto, at b- mababawas. Tatawagin niya ang parehong mga variable na may isang karaniwang salita - mga tuntunin. At lahat dahil ang pagpapahayag ng anyo a−b nakikita ng mathematician kung paano ang kabuuan a+(−b). Sa kasong ito, ang expression ay nagiging isang kabuuan, at ang mga variable a At (−b) maging terms.

Mga katulad na termino

Mga katulad na termino- ito ay mga termino na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, isaalang-alang ang expression 7a + 6b + 2a. Mga bahagi 7a At 2a magkaroon ng parehong bahagi ng titik - variable a. Kaya ang mga tuntunin 7a At 2a ay parehas.

Karaniwan, ang mga katulad na termino ay idinaragdag upang gawing simple ang isang expression o malutas ang isang equation. Ang operasyong ito ay tinatawag nagdadala ng mga katulad na termino.

Upang magdala ng mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang mga coefficient ng mga terminong ito, at i-multiply ang resultang resulta sa karaniwang bahagi ng titik.

Halimbawa, ipakita natin ang mga katulad na termino sa expression 3a + 4a + 5a. SA sa kasong ito, magkatulad ang lahat ng termino. Pagsamahin natin ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik - sa variable a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Ang mga katulad na termino ay kadalasang dinadala sa isip at ang resulta ay isusulat kaagad:

3a + 4a + 5a = 12a

Gayundin, ang isa ay maaaring mangatuwiran tulad ng sumusunod:

Mayroong 3 variable a , 4 pang variable a at 5 pang variable a ang idinagdag sa kanila. Bilang resulta, nakakuha kami ng 12 variable a

Tingnan natin ang ilang halimbawa ng pagdadala ng mga katulad na termino. Isinasaalang-alang na ang paksang ito ay napakahalaga, sa una ay isusulat namin nang detalyado ang bawat maliit na detalye. Kahit na ang lahat ay napaka-simple dito, karamihan sa mga tao ay nagkakamali. Pangunahin dahil sa kawalan ng pansin, hindi kamangmangan.

Halimbawa 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Pagsamahin natin ang mga coefficient sa expression na ito at i-multiply ang resultang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

disenyo (3 + 2 + 6 + 8)×a Hindi mo kailangang isulat ito, kaya isusulat namin kaagad ang sagot

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Halimbawa 2. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 2a+a

Pangalawang termino a nakasulat na walang coefficient, ngunit sa katunayan ay may isang coefficient sa harap nito 1 , na hindi natin nakikita dahil hindi ito naitala. Kaya ang expression ay ganito:

2a + 1a

Ngayon ipakita natin ang mga katulad na termino. Iyon ay, idinaragdag namin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Isulat natin ang solusyon nang maikli:

2a + a = 3a

2a+a, maaari kang mag-isip nang iba:

Halimbawa 3. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 2a−a

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan:

2a + (−a)

Pangalawang termino (−a) nakasulat na walang koepisyent, ngunit sa katotohanan ay parang (−1a). Coefficient −1 muli invisible dahil sa ang katunayan na ito ay hindi naitala. Kaya ang expression ay ganito:

2a + (−1a)

Ngayon ipakita natin ang mga katulad na termino. Idagdag natin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Karaniwang isinusulat nang mas maikli:

2a − a = a

Pagbibigay ng magkatulad na termino sa pagpapahayag 2a−a Maaari kang mag-isip nang iba:

Mayroong 2 variable a, ibawas ang isang variable a, at bilang resulta mayroon na lamang isang variable na natitira

Halimbawa 4. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Ngayon ipakita natin ang mga katulad na termino. Idagdag natin ang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa kabuuang bahagi ng titik

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Isulat natin ang solusyon nang maikli:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

May mga expression na naglalaman ng ilan iba't ibang grupo magkatulad na termino. Halimbawa, 3a + 3b + 7a + 2b. Para sa mga naturang expression, ang parehong mga patakaran ay nalalapat tulad ng para sa iba, ibig sabihin, pagdaragdag ng mga coefficient at pagpaparami ng resulta ng resulta sa karaniwang bahagi ng titik. Ngunit upang maiwasan ang mga pagkakamali, ito ay maginhawa iba't ibang grupo Ang mga termino ay naka-highlight sa iba't ibang mga linya.

Halimbawa, sa expression 3a + 3b + 7a + 2b yaong mga terminong naglalaman ng variable a, ay maaaring salungguhitan ng isang linya, at ang mga terminong iyon na naglalaman ng variable b, ay maaaring bigyang-diin ng dalawang linya:

Ngayon ay maaari nating ipakita ang mga katulad na termino. Iyon ay, idagdag ang mga coefficient at i-multiply ang resultang resulta sa kabuuang bahagi ng titik. Dapat itong gawin para sa parehong pangkat ng mga termino: para sa mga terminong naglalaman ng variable a at para sa mga terminong naglalaman ng variable b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Muli, inuulit namin, ang expression ay simple, at ang mga katulad na termino ay maaaring ibigay sa isip:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Halimbawa 5. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 5a − 6a −7b + b

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Salungguhitan natin ang magkatulad na termino na may magkakaibang linya. Mga tuntunin na naglalaman ng mga variable a sinalungguhitan namin ang isang linya, at ang mga termino ay ang mga nilalaman ng mga variable b, salungguhitan ng dalawang linya:

Ngayon ay maaari nating ipakita ang mga katulad na termino. Iyon ay, idagdag ang mga coefficient at i-multiply ang resultang resulta sa karaniwang bahagi ng titik:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Kung ang expression ay naglalaman ng mga ordinaryong numero na walang mga kadahilanan ng titik, pagkatapos ay idinagdag ang mga ito nang hiwalay.

Halimbawa 6. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Ipakita natin ang mga katulad na termino. Numero −5 At 7 walang mga kadahilanan ng titik, ngunit ang mga ito ay magkatulad na mga termino - kailangan lang nilang idagdag. At ang termino 2b ay mananatiling hindi magbabago, dahil ito lamang ang nasa ekspresyong ito na may salik ng titik b, at walang maidaragdag dito:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Isulat natin ang solusyon nang maikli:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Maaaring i-order ang mga termino upang ang mga terminong iyon na may parehong bahagi ng titik ay matatagpuan sa parehong bahagi ng expression.

Halimbawa 7. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 5t+2x+3x+5t+x

Dahil ang expression ay isang kabuuan ng ilang mga termino, ito ay nagbibigay-daan sa amin upang suriin ito sa anumang pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, ang mga terminong naglalaman ng variable t, ay maaaring isulat sa simula ng expression, at ang mga terminong naglalaman ng variable x sa dulo ng expression:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Ngayon ay maaari nating ipakita ang mga katulad na termino:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Isulat natin ang solusyon nang maikli:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero. Gumagana rin ang panuntunang ito para sa mga literal na expression. Kung ang expression ay naglalaman ng magkaparehong mga termino, ngunit may kabaligtaran na mga palatandaan, maaari mong alisin ang mga ito sa yugto ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Sa madaling salita, alisin lamang ang mga ito mula sa expression, dahil ang kanilang kabuuan ay zero.

Halimbawa 8. Magbigay ng magkatulad na termino sa expression 3t − 4t − 3t + 2t

Palitan natin ang pagbabawas ng karagdagan kung posible:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Mga bahagi 3t At (−3t) ay kabaligtaran. Ang kabuuan ng magkasalungat na termino ay zero. Kung aalisin natin ang zero na ito sa expression, hindi magbabago ang value ng expression, kaya aalisin natin ito. At aalisin namin ito sa pamamagitan lamang ng pagtawid sa mga tuntunin 3t At (−3t)

Bilang resulta, maiiwan tayo sa expression (−4t) + 2t. Sa expression na ito, maaari kang magdagdag ng mga katulad na termino at makuha ang huling sagot:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Isulat natin ang solusyon nang maikli:

Pinapasimple ang mga Ekspresyon

"pasimplehin ang expression" at sa ibaba ay ang expression na kailangang pasimplehin. Pasimplehin ang isang expression nangangahulugang ginagawa itong mas simple at mas maikli.

Sa katunayan, pinasimple na namin ang mga expression kapag nagbawas kami ng mga fraction. Pagkatapos ng pagbabawas, ang fraction ay naging mas maikli at mas madaling maunawaan.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa. Pasimplehin ang expression.

Ang gawaing ito ay maaaring literal na maunawaan bilang mga sumusunod: "Ilapat ang anumang wastong pagkilos sa expression na ito, ngunit gawin itong mas simple." .

Sa kasong ito, maaari mong bawasan ang fraction, ibig sabihin, hatiin ang numerator at denominator ng fraction ng 2:

Ano pa ang magagawa mo? Maaari mong kalkulahin ang resultang fraction. Pagkatapos ay makuha namin ang decimal na bahagi na 0.5

Bilang resulta, ang fraction ay pinasimple sa 0.5.

Ang unang tanong na kailangan mong itanong sa iyong sarili kapag nilutas ang mga naturang problema ay dapat “Ano ang maaaring gawin?” . Dahil may mga aksyon na kaya mong gawin, at may mga aksyon na hindi mo magagawa.

Isa pa mahalagang punto Ang dapat tandaan ay ang halaga ng expression ay hindi dapat magbago pagkatapos pasimplehin ang expression. Balik tayo sa expression. Ang expression na ito ay kumakatawan sa isang dibisyon na maaaring isagawa. Matapos maisagawa ang dibisyong ito, nakukuha namin ang halaga ng expression na ito, na katumbas ng 0.5

Ngunit pinasimple namin ang expression at nakakuha ng bagong pinasimpleng expression. Ang halaga ng bagong pinasimple na expression ay 0.5 pa rin

Ngunit sinubukan din naming gawing simple ang expression sa pamamagitan ng pagkalkula nito. Bilang resulta, nakatanggap kami ng panghuling sagot na 0.5.

Kaya, gaano man natin gawing simple ang expression, ang halaga ng mga resultang expression ay katumbas pa rin ng 0.5. Nangangahulugan ito na ang pagpapasimple ay naisagawa nang tama sa bawat yugto. Ito mismo ang dapat nating pagsikapan kapag pinasimple ang mga expression - ang kahulugan ng expression ay hindi dapat magdusa mula sa ating mga aksyon.

Kadalasang kinakailangan na gawing simple ang mga literal na pagpapahayag. Ang parehong mga panuntunan sa pagpapasimple ay nalalapat sa kanila tulad ng para sa mga numerical na expression. Maaari kang magsagawa ng anumang wastong pagkilos, hangga't hindi nagbabago ang halaga ng expression.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1. Pasimplehin ang isang expression 5.21s × t × 2.5

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari mong i-multiply nang hiwalay ang mga numero at hiwalay na i-multiply ang mga titik. Ang gawaing ito ay halos kapareho sa isang tinitingnan namin noong natutunan naming matukoy ang koepisyent:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Kaya ang expression 5.21s × t × 2.5 pinasimple sa ika-13,025.

Halimbawa 2. Pasimplehin ang isang expression −0.4 × (−6.3b) × 2

Pangalawang piraso (−6.3b) maaaring isalin sa isang anyo na naiintindihan natin, ibig sabihin ay nakasulat sa anyo ( −6,3)×b , pagkatapos ay i-multiply ang mga numero nang hiwalay at i-multiply ang mga titik nang hiwalay:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

Kaya ang expression −0.4 × (−6.3b) × 2 pinasimple sa 5.04b

Halimbawa 3. Pasimplehin ang isang expression

Isulat natin ang ekspresyong ito nang mas detalyado upang malinaw na makita kung nasaan ang mga numero at kung nasaan ang mga titik:

Ngayon, i-multiply natin ang mga numero nang hiwalay at hiwalay na i-multiply ang mga titik:

Kaya ang expression pinasimple sa −abc. Ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang maikli:

Kapag pinasimple ang mga expression, ang mga fraction ay maaaring bawasan sa panahon ng proseso ng solusyon, at hindi sa pinakadulo, tulad ng ginawa namin sa mga ordinaryong fraction. Halimbawa, kung sa kurso ng paglutas ay nakatagpo tayo ng isang expression ng form , kung gayon hindi kinakailangan na kalkulahin ang numerator at denominator at gumawa ng isang bagay tulad nito:

Ang isang fraction ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng pagpili ng isang salik sa parehong numerator at sa denominator at pagbabawas ng mga salik na ito sa pamamagitan ng kanilang pinakamalaking karaniwang salik. Sa madaling salita, gamit kung saan hindi namin inilalarawan nang detalyado kung ano ang hinati ng numerator at denominator.

Halimbawa, sa numerator ang factor ay 12 at sa denominator ang factor 4 ay maaaring bawasan ng 4. Pinananatili natin ang apat sa ating isip, at hinahati ang 12 at 4 sa apat na ito, isusulat natin ang mga sagot sa tabi ng mga numerong ito, na unang natawid ang mga ito

Ngayon ay maaari mong i-multiply ang mga resultang maliliit na salik. Sa kasong ito, kakaunti ang mga ito at maaari mong i-multiply ang mga ito sa iyong isip:

Sa paglipas ng panahon, maaari mong makita na kapag nilutas ang isang partikular na problema, ang mga expression ay nagsisimulang "tumaba," kaya ipinapayong masanay sa mabilis na mga kalkulasyon. Kung ano ang maaaring kalkulahin sa isip ay dapat kalkulahin sa isip. Kung ano ang maaaring mabilis na mabawasan ay dapat mabawasan nang mabilis.

Halimbawa 4. Pasimplehin ang isang expression

Kaya ang expression pinasimple sa

Halimbawa 5. Pasimplehin ang isang expression

I-multiply natin nang hiwalay ang mga numero at hiwalay ang mga titik:

Kaya ang expression pinasimple sa mn.

Halimbawa 6. Pasimplehin ang isang expression

Isulat natin ang ekspresyong ito nang mas detalyado upang malinaw na makita kung nasaan ang mga numero at kung nasaan ang mga titik:

Ngayon, i-multiply natin nang hiwalay ang mga numero at hiwalay ang mga titik. Para sa kadalian ng pagkalkula, ang decimal na fraction −6.4 at isang halo-halong numero ay maaaring i-convert sa mga ordinaryong fraction:

Kaya ang expression pinasimple sa

Ang solusyon para sa halimbawang ito ay maaaring maisulat nang mas maikli. Magiging ganito ang hitsura:

Halimbawa 7. Pasimplehin ang isang expression

Magkahiwalay nating i-multiply ang mga numero at magkahiwalay ang mga letra. Para sa kadalian ng pagkalkula, isang halo-halong numero at mga decimal Ang 0.1 at 0.6 ay maaaring i-convert sa mga ordinaryong fraction:

Kaya ang expression pinasimple sa a B C D. Kung laktawan mo ang mga detalye, kung gayon desisyong ito maaaring maisulat nang mas maikli:

Pansinin kung paano nabawasan ang fraction. Ang mga bagong salik na nakuha bilang resulta ng pagbabawas ng mga nakaraang salik ay pinapayagan ding mabawasan.

Ngayon ay pag-usapan natin kung ano ang hindi dapat gawin. Kapag pinasimple ang mga expression, mahigpit na ipinagbabawal ang pagpaparami ng mga numero at titik kung ang expression ay isang kabuuan at hindi isang produkto.

Halimbawa, kung gusto mong gawing simple ang expression 5a+4b, kung gayon hindi mo ito maisusulat ng ganito:

Ito ay katulad ng kung hiniling sa amin na magdagdag ng dalawang numero at pinarami namin ang mga ito sa halip na idagdag ang mga ito.

Kapag pinapalitan ang anumang mga variable na halaga a At b pagpapahayag 5a +4b nagiging ordinaryong numerical expression. Ipagpalagay natin na ang mga variable a At b may mga sumusunod na kahulugan:

a = 2, b = 3

Kung gayon ang halaga ng expression ay magiging katumbas ng 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Una, ginagawa ang multiplikasyon, at pagkatapos ay idinagdag ang mga resulta. At kung sinubukan nating gawing simple ang expression na ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga numero at titik, makukuha natin ang sumusunod:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Ito ay lumiliko ng isang ganap na naiibang kahulugan ng expression. Sa unang kaso ito ay nagtrabaho 22 , sa pangalawang kaso 120 . Nangangahulugan ito na pinasimple ang expression 5a+4b ginawang mali.

Matapos gawing simple ang expression, ang halaga nito ay hindi dapat magbago sa parehong mga halaga ng mga variable. Kung, kapag pinapalitan ang anumang mga variable na halaga sa orihinal na expression, isang halaga ang nakuha, pagkatapos ay pagkatapos na gawing simple ang expression, ang parehong halaga ay dapat makuha tulad ng bago ang pagpapasimple.

Sa pagpapahayag 5a+4b wala ka talagang magagawa. Hindi nito pinasimple.

Kung ang isang expression ay naglalaman ng mga katulad na termino, maaari silang idagdag kung ang aming layunin ay gawing simple ang expression.

Halimbawa 8. Pasimplehin ang isang expression 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

o mas maikli: 0.3a − 0.4a + a = 0.9a

Kaya ang expression 0.3a−0.4a+a pinasimple sa 0.9a

Halimbawa 9. Pasimplehin ang isang expression −7.5a − 2.5b + 4a

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

o mas maikli −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

Termino (−2.5b) nanatiling hindi nagbabago dahil walang mailalagay dito.

Halimbawa 10. Pasimplehin ang isang expression

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

Ang koepisyent ay para sa kadalian ng pagkalkula.

Kaya ang expression pinasimple sa

Halimbawa 11. Pasimplehin ang isang expression

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

Kaya ang expression pinasimple sa .

Sa halimbawang ito, mas angkop na idagdag muna ang una at huling coefficient. Sa kasong ito magkakaroon tayo ng maikling solusyon. Ito ay magiging ganito:

Halimbawa 12. Pasimplehin ang isang expression

Upang gawing simple ang expression na ito, maaari tayong magdagdag ng mga katulad na termino:

Kaya ang expression pinasimple sa .

Ang termino ay nanatiling hindi nabago, dahil walang maidaragdag dito.

Ang solusyon na ito ay maaaring maisulat nang mas maikli. Magiging ganito ang hitsura:

Nilaktawan ng maikling solusyon ang mga hakbang ng pagpapalit ng pagbabawas ng karagdagan at pagdedetalye kung paano binawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang isa pang pagkakaiba ay sa detalyadong solusyon parang ang sagot , ngunit sa madaling salita bilang . Sa katunayan, pareho sila ng ekspresyon. Ang pagkakaiba ay sa unang kaso, ang pagbabawas ay pinalitan ng karagdagan, dahil sa simula, nang isulat namin ang solusyon sa detalyadong anyo, pinalitan namin ang pagbabawas ng karagdagan hangga't maaari, at ang kapalit na ito ay napanatili para sa sagot.

Mga pagkakakilanlan. Magkaparehong mga expression

Sa sandaling pinasimple namin ang anumang expression, nagiging mas simple at mas maikli. Upang suriin kung tama ang pinasimple na expression, sapat na upang palitan muna ang anumang mga variable na halaga sa nakaraang expression na kailangang pasimplehin, at pagkatapos ay sa bago na pinasimple. Kung pareho ang value sa parehong expression, totoo ang pinasimpleng expression.

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa. Hayaang kailangang gawing simple ang pagpapahayag 2a×7b. Upang pasimplehin ang expression na ito, maaari mong i-multiply nang hiwalay ang mga numero at titik:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Suriin natin kung pinasimple natin nang tama ang expression. Upang gawin ito, palitan natin ang anumang mga halaga ng mga variable a At b una sa unang expression na kailangang gawing simple, at pagkatapos ay sa pangalawa, na pinasimple.

Hayaan ang mga halaga ng mga variable a , b ay magiging ganito:

a = 4, b = 5

Ipalit natin sila sa unang expression 2a×7b

Ngayon ay palitan natin ang parehong mga variable na halaga sa expression na nagresulta mula sa pagpapasimple 2a×7b, lalo na sa expression 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Nakikita natin na kapag a=4 At b=5 halaga ng unang pagpapahayag 2a×7b at ang kahulugan ng pangalawang pagpapahayag 14ab pantay

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Ang parehong ay mangyayari para sa anumang iba pang mga halaga. Halimbawa, hayaan a=1 At b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Kaya, para sa anumang mga halaga ng mga variable ng expression 2a×7b At 14ab ay katumbas ng parehong halaga. Ang mga ganitong ekspresyon ay tinatawag magkaparehong pantay.

Napagpasyahan namin na sa pagitan ng mga expression 2a×7b At 14ab pwede kang maglagay ng equal sign dahil pareho sila ng value.

2a × 7b = 14ab

Ang pagkakapantay-pantay ay anumang pagpapahayag na konektado sa pamamagitan ng pantay na tanda (=).

At pagkakapantay-pantay ng anyo 2a×7b = 14ab tinawag pagkakakilanlan.

Ang pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable.

Iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Oo, ang mga batas ng matematika na aming pinag-aralan ay mga pagkakakilanlan.

Ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay mga pagkakakilanlan din. Halimbawa:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pagpapasya mahirap na pagsubok Upang gawing mas madali ang pagkalkula, ang kumplikadong expression ay pinapalitan ng isang mas simpleng expression na kaparehong katumbas ng nauna. Ang kapalit na ito ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng ekspresyon o simple lang pagbabago ng ekspresyon.

Halimbawa, pinasimple namin ang expression 2a×7b, at nakakuha ng mas simpleng expression 14ab. Ang pagpapasimpleng ito ay maaaring tawaging pagbabago ng pagkakakilanlan.

Madalas mong mahahanap ang isang gawain na nagsasabing "patunayan na ang pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan" at pagkatapos ay ibinigay ang pagkakapantay-pantay na kailangang patunayan. Karaniwan ang pagkakapantay-pantay na ito ay binubuo ng dalawang bahagi: ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Ang aming gawain ay magsagawa ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan sa isa sa mga bahagi ng pagkakapantay-pantay at makuha ang iba pang bahagi. O magsagawa ng magkaparehong pagbabago sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay at siguraduhing ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng parehong mga expression.

Halimbawa, patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay 0.5a × 5b = 2.5ab ay isang pagkakakilanlan.

Pasimplehin natin ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito. Upang gawin ito, i-multiply nang hiwalay ang mga numero at titik:

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

Bilang resulta ng maliit na pagbabago ng pagkakakilanlan, kaliwang bahagi ang pagkakapantay-pantay ay naging pantay sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Kaya napatunayan natin na ang pagkakapantay-pantay 0.5a × 5b = 2.5ab ay isang pagkakakilanlan.

Mula sa magkatulad na pagbabagong-anyo, natutunan nating magdagdag, magbawas, magparami at hatiin ang mga numero, bawasan ang mga fraction, magdagdag ng magkatulad na termino, at pasimplehin din ang ilang expression.

Ngunit ang mga ito ay hindi lahat ng magkatulad na pagbabagong umiiral sa matematika. Marami pang magkakaparehong pagbabago. Makikita natin ito nang higit sa isang beses sa hinaharap.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong grupo VKontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso tungkol sa mga bagong aralin