Ang teorama ay kailangan at sapat na kundisyon para sa isang nakasulat na may apat na gilid. Mga quadrilateral na nakasulat sa isang bilog

Matambok na may apat na gilid A B C D (\displaystyle \displaystyle ABCD) ay inscribed kung at kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay 180°, iyon ay, .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . (\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^(\circ ).)

Ang teorama ay Alok 22 sa book 3 ng Euclid Mga simula. Katulad nito, ang isang matambok na may apat na gilid ay isang inscribed kung at kung ang katabing anggulo ay katumbas ng kabaligtaran na panloob na anggulo.

p q = a c + b d . (\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.)

Kung dalawang linya, ang isa ay naglalaman ng isang segment AC, at ang isa ay isang segment BD, bumalandra sa isang punto P, pagkatapos ay apat na puntos A, B, C, D humiga sa bilog kung at kung lamang

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . (\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.)

Intersection point P maaaring humiga sa loob at labas ng bilog. Sa unang kaso, ito ay magiging isang inscribed quadrilateral A B C D, at sa pangalawa - isang inscribed quadrilateral ABCC. Kung ang intersection ay nasa loob, ang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ang produkto ng mga segment kung saan ang punto P ang paghahati ng isang dayagonal ay katumbas ng produkto ng mga segment ng isa pang dayagonal. Ang pahayag na ito ay kilala bilang intersecting chord theorem, dahil ang mga dayagonal ng naka-inscribe na quadrilateral ay mga chord ng circumscribed na bilog.

Matambok na may apat na gilid A B C D ay nakasulat kung at kung lamang

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))\tan (\frac (C)(2))=\tan (\frac (B)(2))\tan (\frac (D)(2))=1.

Square

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) (\displaystyle S=(\sqrt ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))))

Ang isang naka-inscribe na quadrilateral ay may pinakamataas na lugar sa lahat ng mga quadrilateral na may parehong pagkakasunod-sunod ng mga haba ng gilid. Ito ay isa pang kinahinatnan ng relasyong Bretschneider. Mapapatunayan ang claim gamit ang calculus.

Apat na hindi pantay na haba, bawat isa ay mas mababa sa kabuuan ng iba pang tatlo, ay gilid ng tatlo hindi magkatugma na may nakasulat na mga quadrilateral, at ayon sa pormula ni Brahmagupta, ang lahat ng mga tatsulok na ito ay may parehong lugar. Lalo na para sa mga party a, b, c At d gilid a maaaring magkatapat sa magkabilang panig b, c o d. Anumang dalawa sa tatlong naka-inscribe na quadrangle na ito ay may diagonal na parehong haba.

Lugar ng isang nakasulat na quadrilateral na may magkakasunod na panig a, b, c, d at anggulo B sa pagitan ng mga partido a At b maaaring ipahayag sa pamamagitan ng pormula

S = 1 2 (a b + c d) kasalanan ⁡ B (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ab+cd)\sin (B)) S = 1 2 (a c + b d) kasalanan ⁡ θ (\displaystyle S=(\tfrac (1)(2))(ac+bd)\sin (\theta ))

saan θ - anumang anggulo sa pagitan ng mga dayagonal. Kung ang anggulo A ay hindi isang tuwid na linya, ang lugar ay maaaring ipahayag ng formula

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan ⁡ A . (\displaystyle S=(\tfrac (1)(4))(a^(2)-b^(2)-c^(2)+d^(2))\tan (A).) S = 2 R 2 kasalanan ⁡ A kasalanan ⁡ B kasalanan ⁡ θ (\displaystyle S=2R^(2)\sin (A)\sin (B)\sin (\theta )) S ≤ 2 R 2 (\displaystyle S\leq 2R^(2)),

at ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagiging pagkakapantay-pantay kung at kung ang quadrilateral ay parisukat.

Mga dayagonal

may mga pang-itaas A, B, C, D(sa ayos na iyon) at ang mga partido a = AB, b = BC, c = CD At d = DA diagonal na haba p = AC At q = BD maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d (\displaystyle p=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd)))) q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c (\displaystyle q=(\sqrt (\frac ((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc)))) p q = a c + b d . (\displaystyle pq=ac+bd.)

Ayon kay Ang pangalawang teorama ni Ptolemy ,

p q = a d + b c a b + c d (\displaystyle (\frac (p)(q))=(\frac (ad+bc)(ab+cd)))

na may parehong notasyon tulad ng dati.

Para sa kabuuan ng mga diagonal mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay

p + q ≥ 2 a c + b d . (\displaystyle p+q\geq 2(\sqrt (ac+bd)).)

Ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay nagiging isang pagkakapantay-pantay kung at kung ang mga diagonal ay magkapareho ang haba, na maaaring ipakita gamit ang hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng arithmetic mean at ng geometric mean.

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . (\displaystyle (p+q)^(2)\leq (a+c)^(2)+(b+d)^(2).)

Sa anumang matambok na may apat na gilid, hinahati ng dalawang dayagonal ang may apat na gilid sa apat na tatsulok. Sa isang nakasulat na may apat na gilid, magkatulad ang magkasalungat na pares ng apat na tatsulok na ito.

Kung M At N ay ang mga midpoint ng mga diagonal AC At BD, Iyon

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | (\displaystyle (\frac (MN)(EF))=(\frac (1)(2))\left|(\frac (AC)(BD))-(\frac (BD)(AC))\right|)

saan E At F- mga punto ng intersection ng magkabilang panig.

Kung A B C D- isang inscribed quadrilateral at AC mga krus BD sa punto P, Iyon

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . (\displaystyle (\frac (AP)(CP))=(\frac (AB)(CB))\cdot (\frac (AD)(CD)).)

Mga formula ng anggulo

a, b, c, d, kalahating gilid s at anggulo A sa pagitan ng mga partido a At d trigonometriko function ng anggulo A pantay

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , (\displaystyle \cos A=(\frac (a^(2)+d^(2)-b^(2)-c^(2))(2(ad+bc))),) sin ⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , (\displaystyle \sin A=(\frac (2(\sqrt ((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)))))(ad tan ⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac ((s-a)(s-d))((s-b)(s-c)))).)

Para sa Angle θ sa pagitan ng mga dayagonal

tan ⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . (\displaystyle \tan (\frac (\theta )(2))=(\sqrt (\frac ((s-b)(s-d))((s-a)(s-c)))).)

Kung ang mga pagpapatuloy ng magkasalungat na panig a At c bumalandra sa isang anggulo phi (\displaystyle \phi ) , Iyon

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) (\displaystyle \cos (\frac (\phi )(2))=(\sqrt (\frac ((s-b)(s-d)(b+d)(2))(b+d)^(2)

Parameswar formula

Para sa isang inscribed quadrilateral na may mga gilid a, b, c, d(sa tinukoy na pagkakasunud-sunod) at semi-perimeter s radius ng circumscribed circle) ay ibinibigay ng formula

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . (\displaystyle R=(\frac (1)(4))(\sqrt (\frac ((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)))).)

Ang formula ay binuo ng isang Indian mathematician Vatasseri Parameswara noong ika-15 siglo.

Kung ang mga dayagonal ng isang nakasulat na may apat na gilid ay nagsalubong sa isang punto P, at ang mga midpoint ng mga diagonal ay V At W, kung gayon ang anticenter ng quadrilateral ay ang orthocenter ng tatsulok VWP, at ang vertex centroid ay nasa gitna ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal .

Sa isang nakasulat na quadrilateral na "area centroid" Ga, "vertex centroid" G v at intersection P nakahiga ang mga diagonal sa parehong linya. Para sa mga distansya sa pagitan ng mga puntong ito, ang pagkakapantay-pantay

P G a = 4 3 P G v. (\displaystyle PG_(a)=(\tfrac (4)(3))PG_(v).)

Iba pang mga ari-arian

• Sa isang inscribed quadrilateral A B C D na may gitna ng circumscribed na bilog O hayaan P- punto ng intersection ng mga diagonal AC At BD. Pagkatapos ang anggulo APB ay ang arithmetic mean ng mga anggulo AOB At COD. Ito ay isang direktang kinahinatnan ng inscribed angle theorem at tatsulok na panlabas na anggulo theorems.

• Kung ang isang naka-inscribe na quadrilateral ay may mga haba ng gilid na bumubuo ng isang arithmetic progression, kung gayon ang quadrilateral ay din panlabas na inilarawan.

Quadrangles ng Brahmagupta

Brahmagupta Quadrangle ay isang inscribed na quadrilateral na may integer na haba ng gilid, integer na diagonal na haba, at integer area. Lahat ng quadrilaterals ng Brahmagupta na may mga gilid a B C D, mga dayagonal e, f, lugar S, at ang radius ng circumscribed circle R ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-alis ng denominator sa mga sumusunod na expression (na may mga rational na parameter t, u At v):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] (\displaystyle a=) b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) (\displaystyle b=(1+u^(2))(v-t)(1+tv)) c = t (1 + u 2) (1 + v 2) (\displaystyle c=t(1+u^(2))(1+v^(2))) d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) (\displaystyle d=(1+v^(2))(u-t)(1+tu)) e = u (1 + t 2) (1 + v 2) (\displaystyle e=u(1+t^(2))(1+v^(2))) f = v (1 + t 2) (1 + u 2) (\displaystyle f=v(1+t^(2))(1+u^(2))) S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] (\displaystyle S=uv) 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . (\displaystyle 4R=(1+u^(2))(1+v^(2))(1+t^(2)).)

Mga katangian ng orthodiagonal inscribed quadrangles

Lugar at radius ng circumscribed na bilog

Hayaan para sa isang inscribed quadrilateral na orthodiagonal din (ibig sabihin, pagkakaroon ng mga perpendicular diagonal), ang intersection ng mga diagonal ay naghahati sa isang diagonal sa mga segment ng haba p 1 at p 2 , at hinahati ang isa pa sa mga segment ng haba q 1 at q 2. Pagkatapos (ang unang pagkakapantay-pantay ay Panukala 11 sa Archimedes' Lemmas)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2,

saan D -

o, sa pamamagitan ng mga gilid ng quadrilateral

R \u003d 1 2 a 2 + c 2 \u003d 1 2 b 2 + d 2. (\displaystyle R=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (a^(2)+c^(2)))=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (b^(2)+d^(2))).)

Ito rin ay sumusunod mula dito na

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . (\displaystyle a^(2)+b^(2)+c^(2)+d^(2)=8R^(2).)

Kaya, ayon sa formula ni Euler, ang radius ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga diagonal p At q at distansya x sa pagitan ng mga midpoint ng mga diagonal

R \u003d p 2 + q 2 + 4 x 2 8. (\displaystyle R=(\sqrt (\frac (p^(2)+q^(2)+4x^(2))(8))).)

Formula para sa lugar K ng isang inscribed orthodiagonal quadrilateral ay maaaring makuha nang direkta sa mga tuntunin ng mga gilid sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng Ptolemy's theorem (tingnan sa itaas) at ang formula para sa lugar ng isang orthodiagonal quadrilateral. Bilang resulta, nakukuha namin

Panitikan

• Claudi Alsina, Roger Nelson. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Kabanata 4.3 Cyclic, tangential, at bicentric quadrilaterals. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelson. Sa mga diagonal ng isang cyclic quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2007. - V. 7.
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry: Isang Panimula sa Modernong Geometry ng Triangle at Circle. - ika-2. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2.(org. 1952)
• =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
• Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Muling binisita ang Geometry. 3.2 Paikot na quadrangles; Pormula ni Brahmagupta - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2. Pagsasalin G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Mga bagong pakikipagtagpo sa geometry. 3.2 Inscribed quadrangles; Ang teorama ni Brahmagupta. - Moscow: "Science", 1978. - (Library of the mathematical circle).
• Crux Mathematicorum. Mga hindi pagkakapantay-pantay na iminungkahi sa Crux Mathematicorum. - 2007.
• D. Fraivert. Ang teorya ng isang inscribable quadrilateral at isang bilog na bumubuo ng mga Pascal point // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 42. - P. 81–107. - DOI:10.18642/jmsaa_7100121742 .
• C. V. Durell, A. Robson. advanced na trigonometrya. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8.(orig. 1930)
• Mowaffaq Hajja. Isang kundisyon para maging cyclic ang isang circumscriptible quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2008. - V. 8.
• Larry Hoehn. Circumradius ng isang cyclic quadrilateral // Mathematical Gazette. - 2000. - T. 84, hindi. 499 Marso.
• Ross Honsberger. Mga Episode sa Nineteenth at Twentieth Century Euclidean Geometry. - Cambridge University Press, 1995. - V. 37. - (Bagong Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0.
• Roger A. Johnson. Advanced na Euclidean Geometry. - Dover Publ, 2007.(orig. 1929)
• Tomas Pedro. Pag-maximize sa lugar ng isang quadrilateral // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34, hindi. 4 Setyembre.
• Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Mga Mapanghamong Problema sa Geometry. - ika-2. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1. Kabanata: Mga Solusyon: 4-23 Patunayan na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat ng mga segment na ginawa ng dalawang perpendicular chord ay katumbas ng parisukat ng sukat ng diameter ng ibinigay na bilog.

• , Pagsasalin mula sa edisyong Ruso V.V. Prasolov. Mga problema sa planimetry. Pagtuturo. - ika-5. - Moscow: MTSNMO OAO "Mga aklat-aralin sa Moscow", 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya

• Sa Euclidean geometry, may nakasulat na quadrilateral ay isang quadrilateral kung saan ang lahat ng vertices ay nakahiga sa parehong bilog. Ang bilog na ito ay tinatawag na circumscribed na bilog quadrilateral, at ang mga vertices ay sinasabing nakahiga sa parehong bilog. Ang gitna ng bilog na ito at ang radius nito ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit gitna At radius circumscribed na bilog. Iba pang mga termino para sa quadrilateral na ito: quadrilateral ay namamalagi sa parehong bilog, ang mga gilid ng huling quadrilateral ay ang mga chord ng bilog. Karaniwang ipinapalagay na ang convex quadrilateral ay isang convex quadrilateral. Ang mga formula at katangian na ibinigay sa ibaba ay wasto sa convex case.
• Sabi nila kung ang isang bilog ay maaaring paligiran sa isang may apat na gilid, Iyon ang may apat na gilid ay nakasulat sa bilog na ito, at kabaliktaran.

Pangkalahatang pamantayan para sa isang quadrilateral na isusulat

• Tungkol sa isang matambok na may apat na gilid $\backslash pi$ radian), iyon ay:

$\backslash angle\; A+\backslash angle\; C\; =\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ$

o sa notasyon ng figure:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Posibleng ilarawan ang isang bilog sa paligid ng anumang may apat na gilid, kung saan ang apat na perpendicular bisector ng mga gilid nito (o mga mediatrice ng mga gilid nito, iyon ay, mga patayo sa mga gilid na dumadaan sa kanilang mga midpoint) ay nagsalubong sa isang punto.
• Posibleng i-circumscribe ang isang bilog tungkol sa anumang quadrilateral na may isang panlabas na anggulo na katabi ibinigay na panloob na anggulo, eksaktong katumbas ng isa pang panloob na anggulo sa tapat ibinigay na panloob na sulok. Sa katunayan, ang kundisyong ito ay ang kondisyon ng antiparallelism ng dalawang magkasalungat na gilid ng quadrilateral. Sa fig. ang panlabas at katabing panloob na sulok ng berdeng pentagon ay ipinapakita sa ibaba.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• interseksyon X maaaring panloob o panlabas sa bilog. Sa unang kaso, makuha namin ang inscribed quadrilateral ay A B C D, at sa huling kaso nakakakuha tayo ng inscribed quadrilateral ABCC. Kapag tumatawid sa loob ng isang bilog, ang equation ay nagsasabi na ang produkto ng mga haba ng mga segment kung saan ang punto X divides isang dayagonal ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga segment kung saan ang punto X hinahati ang iba pang dayagonal. Ang kundisyong ito ay kilala bilang "intersecting chords theorem". Sa aming kaso, ang mga diagonal ng inscribed quadrilateral ay ang mga chord ng bilog.
• Isa pang pamantayan sa pagiging karapat-dapat. Matambok na may apat na gilid A B C D ang isang bilog ay nakasulat kung at kung lamang

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(2))=1.$

Partikular na pamantayan para sa isang quadrilateral na ilalagay

Ang naka-inscribe na simple (walang mga intersection sa sarili) na may apat na gilid ay matambok. Ang isang bilog ay maaaring bilugan sa isang matambok na may apat na gilid kung at kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo nito ay 180° ( $\backslash pi$ radian). Maaari mong ilarawan ang isang bilog sa paligid:

• anumang antiparalelogram
• anumang parihaba ( espesyal na kaso parisukat)
• anumang isosceles trapezoid
• anumang quadrilateral na may dalawang magkasalungat na anggulo sa kanan.

Ari-arian

Mga formula na may diagonal

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

Sa huling formula ng pares ng mga katabing gilid ng numerator a At d, b At c ipahinga ang kanilang mga dulo sa isang dayagonal na haba e. Ang isang katulad na pahayag ay humahawak para sa denominator.

• Mga Formula para sa Diagonal na Haba(mga kahihinatnan ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ At $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Mga formula na may mga sulok

Para sa isang inscribed quadrilateral na may pagkakasunod-sunod ng mga gilid a , b , c , d, na may semiperimeter p at anggulo A sa pagitan ng mga partido a At d, trigonometriko function ng anggulo A ay ibinigay ng mga formula

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Sulok θ sa pagitan ng mga dayagonal ay :p.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Kung magkabilang panig a At c bumalandra sa isang anggulo φ , pagkatapos ito ay katumbas ng

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

saan p ay isang semi-perimeter. :p.31

Radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang quadrilateral

Formula ng Parameshvara (Parameshvara)

Kung may apat na gilid na may magkasunod na panig a , b , c , d at semiperimeter p ang isang bilog ay nakasulat, pagkatapos ang radius nito ay Parameswar formula:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Ito ay binuo ng Indian mathematician na si Parameswar noong ika-15 siglo (c. 1380-1460)

• Isang matambok na quadrilateral (tingnan ang figure sa kanan) na nabuo ng apat na data diretso ni Mikel, ay nakasulat sa isang bilog kung at kung ang Miquel ay tumuturo M ng may apat na gilid ay namamalagi sa linyang nagdurugtong sa dalawa sa anim na punto ng intersection ng mga linya (yaong mga hindi vertices ng quadrilateral). Ibig sabihin, kapag M namamalagi sa EF.

Criterion na ang isang may apat na gilid na binubuo ng dalawang tatsulok ay nakasulat sa ilang bilog

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Ang huling kundisyon ay nagbibigay ng isang expression para sa dayagonal f isang may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog, sa mga haba ng apat na gilid nito ( a, b, c, d). Ang formula na ito ay agad na sumusunod kapag nagpaparami at nagtutumbas sa bawat isa sa kaliwa at kanang bahagi ng mga formula na nagpapahayag ng kakanyahan. Ang una at pangalawang teorema ni Ptolemy(tingnan sa itaas).

Criterion na ang isang quadrilateral na pinutol ng isang tuwid na linya mula sa isang tatsulok ay nakasulat sa ilang bilog

• Ang isang tuwid na linya, na antiparallel sa gilid ng tatsulok at intersecting ito, ay pinuputol ang isang may apat na gilid mula dito, sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring palaging circumscribed.
• Bunga. Malapit sa isang antiparallelogram, kung saan ang dalawang magkabilang panig ay antiparallel, palaging posible na ilarawan ang isang bilog.

Lugar ng isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog

Mga variant ng Brahmagupta Formula

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ kung saan ang p ay ang semiperimeter ng quadrilateral. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Iba pang mga formula ng lugar

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

saan θ alinman sa mga anggulo sa pagitan ng mga dayagonal. Sa kondisyon na ang anggulo A ay hindi tuwid, ang lugar ay maaari ding ipahayag bilang :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

saan R ay ang radius ng circumscribed circle. Bilang direktang resulta, mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay

$S\backslash le\; 2R^2,$

kung saan ang pagkakapantay-pantay ay posible kung at tanging kung ang quadrilateral na ito ay isang parisukat.

Quadrangles ng Brahmagupta

Brahmagupta Quadrangle ay isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog na may mga integer na haba ng gilid, integer diagonal, at integer area. Lahat ng posibleng Brahmagupta quadrilaterals na may mga gilid a , b , c , d, na may mga dayagonal e , f, na may lugar S, at ang radius ng circumscribed na bilog R ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-alis ng mga denominador ng mga sumusunod na expression na kinasasangkutan ng mga rational parameter t , u, At v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Mga halimbawa

• Ang mga pribadong quadrilateral na nakasulat sa isang bilog ay: parihaba, parisukat, isosceles o isosceles trapezoid, antiparallelogram.

Mga quadrilateral na nakasulat sa isang bilog na may patayo na mga diagonal (nakalagay na orthodiagonal quadrilaterals)

Mga katangian ng mga quadrilateral na nakasulat sa isang bilog na may mga patayong diagonal

Radius ng circumscribed na bilog at lugar

Para sa isang may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog na may patayo na mga diagonal, ipagpalagay na ang intersection ng mga diagonal ay naghahati ng isang dayagonal sa mga segment ng haba p 1 at p 2 , at hinahati ang iba pang dayagonal sa mga segment ng haba q 1 at q 2. Pagkatapos (Ang unang pagkakapantay-pantay ay ang Proposisyon 11 sa Archimedes " Aklat ng Lemmas)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

saan D- diameter ng bilog. Totoo ito dahil ang mga dayagonal ay patayo sa chord ng bilog. Mula sa mga equation na ito ay sumusunod na ang radius ng circumscribed na bilog R maaaring isulat sa anyo

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

o sa mga tuntunin ng mga gilid ng isang quadrilateral sa anyo

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Ito rin ay sumusunod mula dito na

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Para sa inscribed orthodiagonal quadrilaterals, ang theorem ni Brahmagupta ay nagtataglay ng:

Kung ang isang naka-inscribe na quadrilateral ay may mga perpendicular diagonal na nagsa-intersect sa isang punto $M$, pagkatapos ay dalawang pares ng antimediatris dumaan sa punto $M$.

Magkomento. Sa teorama na ito, antimediatris unawain ang segment $F.E.$ quadrilateral sa figure sa kanan (sa pamamagitan ng pagkakatulad sa perpendicular bisector (mediatrix) sa gilid ng tatsulok). Ito ay patayo sa isang gilid at sabay-sabay na dumadaan sa midpoint ng kabaligtaran na bahagi ng quadrilateral.

Sumulat ng isang pagsusuri sa artikulong "Mga Quadangle na nakasulat sa isang bilog"

Mga Tala

1. Bradley, Christopher J. (2007), Ang Algebra ng Geometry: Cartesian, Areal at Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . May nakasulat na mga quadrilateral.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, p. 202, OCLC
4. Durell, C.V. & Robson, A. (2003), Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
6. Johnson, Roger A., Advanced na Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (Marso 2000), "Circumradius ng isang cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: Isang Panimula sa Modernong Geometry ng Triangle at Circle(2nd ed.), Courier Dover, ss. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), . Mga Episode sa Nineteenth at Twentieth Century Euclidean Geometry, vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(Ingles) sa website ng Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald at Greitzer, Samuel L. (1967), . Muling binisita ang Geometry, Mathematical Association of America, pp. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), . Mga Kayamanan sa Mathematical Olympiad, Springer, ss. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin ng Australian Mathematical Society T. 59(2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Advanced na Euclidean Geometry, Dover Publ. co., 2007
21. , Kasama. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (Setyembre 2003), "Pag-maximize ng lugar ng isang quadrilateral", Ang College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Victor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), . Mga Mapanghamong Problema sa Geometry(2nd ed.), Courier Dover, ss. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

Tingnan din

Sa bilang ng mga panig Tama mga tatsulok Quadrilaterals Tingnan din

Naglalaman ang artikulo ng maiikling ("Harvard") na mga sanggunian sa mga publikasyong hindi nakalista o hindi wastong inilarawan sa seksyong bibliograpiko. Listahan ng mga hindi gumaganang link: , , , , , , , , , , - Well, ano, Cossack ko? (Tinawag ni Marya Dmitrievna si Natasha na isang Cossack) - sinabi niya, hinahaplos si Natasha gamit ang kanyang kamay, na lumapit sa kanyang kamay nang walang takot at masayang masaya. - Alam kong babae ang gayuma, ngunit mahal ko ito. Naglabas siya ng mga hikaw na yakhon na hugis peras mula sa kanyang malaking reticule at, ibinigay ito kay Natasha, na nagniningning at namumula sa kaarawan, agad na tumalikod sa kanya at bumaling kay Pierre. – Eh, eh! mabait! halika rito," sabi niya sa isang mapanuksong tahimik at manipis na boses. - Halika, mahal ko... At ibinulong niya ang kanyang manggas nang mas mataas pa. Lumapit si Pierre, walang muwang na nakatingin sa kanya sa pamamagitan ng kanyang salamin. "Halika, halika, mahal!" Sinabi ko sa iyong ama ang katotohanan na nag-iisa, nang siya ay nangyari, at pagkatapos ay inuutusan ka ng Diyos. Huminto siya. Tahimik ang lahat, naghihintay sa darating, at pakiramdam na mayroon lamang paunang salita. - Okay, walang sasabihin! mabuting bata! ... Ang ama ay nakahiga sa kama, at nilibang niya ang kanyang sarili, inilagay niya ang quarter sa isang oso na nakasakay sa kabayo. Mahiya ka, dad, mahiya ka! Mas mabuting pumunta sa digmaan. Tumalikod siya at nag-alok ng kamay sa konte, na halos hindi mapigilang matawa. - Well, well, sa mesa, mayroon akong tsaa, oras na ba? sabi ni Marya Dmitrievna. Nagpatuloy ang pagbibilang kay Marya Dmitrievna; pagkatapos ay ang kondesa, na pinamumunuan ng isang hussar koronel, ang tamang tao kung kanino dapat maabutan ni Nikolai ang rehimyento. Kasama ni Anna Mikhailovna si Shinshin. Inilahad ni Berg ang kamay niya kay Vera. Nakangiting pumunta si Julie Karagina kasama si Nikolai sa mesa. Sa likod nila ay dumating ang iba pang mga mag-asawa, na nag-uunat sa bulwagan, at sa likod nilang lahat ay nag-iisa, mga bata, tagapagturo at mga tagapamahala. Ang mga waiter ay gumalaw, ang mga upuan ay nagkakalansing, tumugtog ang musika sa mga stall ng koro, at ang mga panauhin ay nanirahan. Ang tunog ng home music ng count ay napalitan ng mga tunog ng kutsilyo at tinidor, boses ng mga bisita, tahimik na yabag ng mga waiter. Sa isang dulo ng mesa, nakaupo ang kondesa sa ulunan. Sa kanan ay si Marya Dmitrievna, sa kaliwa ay si Anna Mikhailovna at iba pang mga bisita. Sa kabilang dulo ay nakaupo ang isang bilang, sa kaliwa ay isang hussar koronel, sa kanan Shinshin at iba pang mga bisitang lalaki. Sa isang gilid ng mahabang mesa, ang nakatatandang kabataan: si Vera sa tabi ni Berg, si Pierre sa tabi ni Boris; sa kabilang banda, mga bata, tagapagturo at tagapangasiwa. Mula sa likod ng kristal, mga bote at mga plorera ng prutas, sinulyapan ng konte ang kanyang asawa at ang kanyang high cap na may mga asul na laso at masipag na nagbuhos ng alak sa kanyang mga kapitbahay, hindi nakakalimutan ang kanyang sarili. Ang Countess, din, dahil sa mga pinya, na hindi nakakalimutan ang kanyang mga tungkulin bilang isang babaing punong-abala, ay nagbigay ng makabuluhang mga sulyap sa kanyang asawa, na ang kalbo ng ulo at mukha, tila sa kanya, ay malinaw na nakikilala sa pamamagitan ng kanilang pamumula mula sa kulay-abo na buhok. Nagkaroon ng isang regular na babble sa ladies 'end; palakas ng palakas ang mga boses na narinig sa lalaki, lalo na ang hussar colonel, na kumain at uminom ng marami, namumula nang parami na ang bilang ay naging halimbawa na sa ibang mga panauhin. Si Berg, na may banayad na ngiti, ay nagsalita kay Vera tungkol sa katotohanan na ang pag-ibig ay isang pakiramdam na hindi makalupa, ngunit makalangit. Tinawag ni Boris ang kanyang bagong kaibigan na si Pierre ang mga panauhin na nasa mesa at nakipagpalitan ng tingin kay Natasha, na nakaupo sa tapat niya. Bahagyang nagsalita si Pierre, tumingin sa mga bagong mukha at kumain ng marami. Simula sa dalawang sopas, kung saan pinili niya ang a la tortue, [tortoise,] at kulebyaki, at hanggang sa grouse, hindi niya pinalampas ang isang ulam at ni isang alak, na misteryosong inilabas ng mayordomo sa isang bote na nakabalot sa isang napkin mula sa likod ng balikat ng kanyang kapitbahay, na nagsasabi ng alinman sa "Drey Madeira"", o "Hungaryan na alak." Pinalitan niya ang una sa apat na baso ng kristal ng monogram ng count, na nakatayo sa harap ng bawat aparato, at uminom nang may kasiyahan, na tumitingin nang higit at mas kaaya-aya sa mga panauhin. Si Natasha, na nakaupo sa tapat niya, ay tumingin kay Boris, habang ang mga batang babae na labintatlo ay nakatingin sa batang lalaki na una nilang hinalikan at kung kanino sila umiibig. Ang parehong hitsura niya kung minsan ay bumaling kay Pierre, at sa ilalim ng hitsura ng nakakatawa, masiglang batang babae na ito ay gusto niyang tumawa sa kanyang sarili, hindi alam kung bakit. Si Nikolai ay nakaupo sa malayo mula sa Sonya, sa tabi ni Julie Karagina, at muli, na may parehong hindi sinasadyang ngiti, may sinabi siya sa kanya. Si Sonya ay ngumiti nang malaki, ngunit tila siya ay pinahirapan ng paninibugho: siya ay namutla, pagkatapos ay namula, at buong lakas ay nakinig sa sinasabi nina Nikolai at Julie sa isa't isa. Ang governess ay tumingin sa paligid na hindi mapakali, na parang inihahanda ang kanyang sarili para sa isang pagtanggi, kung may nakaisip na saktan ang mga bata. Sinubukan ng tutor ng Aleman na kabisaduhin ang mga kategorya ng mga pagkain, dessert at alak upang mailarawan ang lahat nang detalyado sa isang liham sa kanyang pamilya sa Alemanya, at labis na nasaktan sa katotohanan na ang mayordomo, na may bote na nakabalot sa isang napkin, ay pinalibutan siya. Sumimangot ang Aleman, sinubukang ipakita na ayaw niyang tumanggap ng alak na ito, ngunit nasaktan dahil walang gustong maunawaan na kailangan niya ng alak hindi upang pawiin ang kanyang uhaw, hindi dahil sa kasakiman, ngunit dahil sa matapat na pag-usisa. Sa dulong lalaki ng mesa ay lalong naging masigla ang usapan. Sinabi ng koronel na ang manifesto na nagdedeklara ng digmaan ay nai-publish na sa Petersburg, at ang kopya, na siya mismo ang nakakita, ay naihatid na ngayon sa pamamagitan ng courier sa commander-in-chief. - At bakit mahirap para sa atin na makipaglaban kay Bonaparte? sabi ni Shinshin. - II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Ibinagsak na niya ang pagmamataas mula sa Austria. Natatakot ako na hindi tayo dumating ngayon.] Ang koronel ay isang matapang, matangkad at mapagmahal na Aleman, halatang nangangampanya at makabayan. Nasaktan siya sa sinabi ni Shinshin. "At pagkatapos, kami ay isang matabang soberanya," sabi niya, binibigkas ang e sa halip na e at b sa halip na b. "Pagkatapos, na alam ito ng emperador. Sinabi niya sa kanyang manifesto na hindi siya maaaring tumingin nang walang pakialam sa mga panganib na nagbabanta sa Russia, at na ang seguridad ng imperyo, ang dignidad nito at ang kabanalan ng mga alyansa, "sabi niya, sa ilang kadahilanan lalo na nakasandal sa salitang "mga unyon", na parang ito ang buong diwa ng bagay. At sa kanyang hindi nagkakamali, opisyal na alaala, inulit niya pambungad na pananalita manifesto ... "at ang pagnanais, ang nag-iisa at kailangang-kailangan na layunin ng soberanya, na kung saan ay upang magtatag ng kapayapaan sa Europa sa matatag na batayan - sila ay nagpasya na ilipat ngayon bahagi ng hukbo sa ibang bansa at gumawa ng mga bagong pagsisikap upang makamit" ang intensyon na ito ". "Narito kung bakit, kami ay isang karapat-dapat na soberanya," pagtatapos niya, na may pagtuturo na umiinom ng isang baso ng alak at lumingon sa bilang para sa pampatibay-loob. - Connaissez vous le proverbe: [Alam mo ang salawikain:] "Yerema, Yerema, kung uupo ka sa bahay, patalasin mo ang mga spindle mo," sabi ni Shinshin, nanginginig at nakangiti. – Cela nous convient a merveille. [This is by the way for us.] Bakit Suvorov - at siya ay nahati, isang plate couture, [sa ulo,] at nasaan na ang ating mga Suvorov ngayon? Je vous demande un peu, [Tinatanong kita] - patuloy na tumatalon mula sa Russian hanggang Pranses sinabi niya. "Dapat tayong lumaban hanggang sa araw pagkatapos ng patak ng dugo," sabi ng koronel, na humampas sa mesa, "at mamatay para sa ating emperador, at pagkatapos ay magiging maayos ang lahat." At upang makipagtalo hangga't maaari (lalo niyang inilabas ang kanyang boses sa salitang "posible"), hangga't maaari," natapos niya, muling bumaling sa bilang. - Kaya hinuhusgahan namin ang mga lumang hussars, iyon lang. At paano mo hahatulan, binata at batang hussar? idinagdag niya, lumingon kay Nikolai, na, nang marinig na ang bagay ay tungkol sa digmaan, iniwan ang kanyang kausap at tumingin sa lahat ng kanyang mga mata at nakinig nang buong tainga sa koronel. "Lubos akong sumasang-ayon sa iyo," sagot ni Nikolai, namumula, pinihit ang plato at muling inayos ang mga baso na may determinado at desperado na tingin, na para bang sa kasalukuyan ay nasa malaking panganib siya, "Kumbinsido ako na ang mga Ruso ay dapat mamatay o manalo," sabi niya, na nararamdaman ang kanyang sarili, tulad ng iba, pagkatapos na sabihin ang salita, na ito ay masyadong masigasig at pompo sa kasalukuyan. - C "est bien beau ce que vous venez de dire, [Wonderful! what you said is wonderful]," sabi ni Julie, na nakaupo sa tabi niya, bumuntong-hininga. Nanginginig ang buong katawan ni Sonya at namula sa tenga, sa likod ng tenga at sa leeg at balikat, habang nagsasalita si Nikolai. Nakinig si Pierre sa mga talumpati ng koronel at tumango ang ulo. “Ang ganda niyan,” sabi niya. "Isang tunay na hussar, binata," sigaw ng koronel, muling hinampas ang mesa. - Anong pinagsasabi mo diyan? Biglang narinig ang bass voice ni Marya Dmitrievna sa kabilang mesa. Ano ba ang pinaghahampas mo sa mesa? lumingon siya sa hussar, “kanino ka natutuwa? tama, sa tingin mo na ang Pranses ay nasa harap mo? "Sinasabi ko ang totoo," nakangiting sabi ng hussar. "It's all about the war," sigaw ng count sa kabila ng mesa. "Pagkatapos ng lahat, ang aking anak na lalaki, si Marya Dmitrievna, ang aking anak ay darating. - At mayroon akong apat na anak na lalaki sa hukbo, ngunit hindi ako nagdadalamhati. Ang lahat ay kalooban ng Diyos: mamamatay ka na nakahiga sa kalan, at ang Diyos ay maawa sa labanan, "ang makapal na tinig ni Marya Dmitrievna ay tumunog nang walang anumang pagsisikap, mula sa kabilang dulo ng mesa. - Ito ay totoo. At muling tumutok ang pag-uusap - ang mga babae sa kanilang dulo ng mesa, ang mga lalaki sa kanila. "Ngunit hindi ka magtatanong," sabi ng nakababatang kapatid kay Natasha, "ngunit hindi ka magtatanong!" "Magtatanong ako," sagot ni Natasha. Biglang umaliwalas ang mukha niya, nagpapahayag ng desperado at masayang determinasyon. Siya ay bumangon sa kalahati, inanyayahan si Pierre, na nakaupo sa tapat niya, na makinig nang isang sulyap, at lumingon sa kanyang ina: - Inay! ang parang bata niyang boses sa dibdib ay umalingawngaw sa buong mesa. - Anong gusto mo? natatakot na tanong ng kondesa, ngunit, nang makita sa mukha ng kanyang anak na ito ay isang kalokohan, mahigpit niyang iwinagayway ang kanyang kamay, gumawa ng pananakot at negatibong kilos sa kanyang ulo. Natahimik ang usapan. - Inay! anong cake ang magiging? - Ang boses ni Natasha ay naging mas matatag, nang hindi nabasag. Gustong sumimangot ng Countess, ngunit hindi niya magawa. Inalog ni Marya Dmitrievna ang kanyang makapal na daliri. "Cossack," pagbabanta niya. Karamihan sa mga bisita ay tumingin sa mga matatanda, hindi sigurado kung paano gawin ang pagkabansot na ito. - Narito ako! sabi ng Countess. - Inay! ano ang magiging cake? Si Natasha ay sumigaw nang matapang at kapritsoso nang masigla, tiwala nang maaga na ang kanyang panlilinlang ay matatanggap na mabuti. Si Sonya at ang matabang Petya ay nagtatago sa tawanan. "Kaya nagtanong ako," bulong ni Natasha sa kanyang nakababatang kapatid na lalaki at kay Pierre, na muli niyang tiningnan. "Ice cream, ngunit hindi ka nila ibibigay," sabi ni Marya Dmitrievna. Nakita ni Natasha na walang dapat ikatakot, at samakatuwid ay hindi rin siya natatakot kay Marya Dmitrievna. — Marya Dmitrievna? anong ice cream! Ayoko ng butter. - Karot. - Hindi ano? Marya Dmitrievna, alin? halos mapasigaw siya. - Gusto ko malaman! Si Marya Dmitrievna at ang kondesa ay tumawa, at sumunod ang lahat ng mga panauhin. Ang lahat ay hindi natawa sa sagot ni Marya Dmitrievna, ngunit sa hindi maintindihan na katapangan at kagalingan ng babaeng ito, na alam kung paano at nangahas na tratuhin si Marya Dmitrievna sa ganitong paraan. Nahuli lang si Natasha nang sabihin sa kanya na magkakaroon ng pinya. Inihain ang champagne bago ang ice cream. Muli ay nagsimulang tumugtog ang musika, hinalikan ng konde ang kondesa, at ang mga panauhin, bumangon, ay bumati sa kondesa, nag-clink ng mga baso sa mesa kasama ang bilang, ang mga bata, at ang isa't isa. Muling nagsitakbuhan ang mga waiter, ang mga upuan ay nagkakalansing, at sa parehong pagkakasunud-sunod, ngunit sa mas mapupulang mukha, ang mga bisita ay bumalik sa drawing room at ang pag-aaral ng count. Ang mga mesa sa Boston ay pinaghiwalay, ginawa ang mga party, at ang mga bisita ng count ay pinapasok sa dalawang sala, isang sofa at isang library. Ang bilang, na ikinakalat ang kanyang mga baraha na parang isang fan, ay halos hindi mapigilan ang ugali ng isang hapong idlip at pinagtawanan ang lahat. Ang kabataan, na inuudyukan ng kondesa, ay nagtipon sa paligid ng clavichord at alpa. Si Julie ang una, sa kahilingan ng lahat, na tumugtog ng isang piyesa na may mga pagkakaiba-iba sa alpa at, kasama ang iba pang mga batang babae, ay nagsimulang magtanong kina Natasha at Nikolai, na kilala sa kanilang musika, na kumanta ng isang bagay. Si Natasha, na tinawag na isang malaki, ay tila ipinagmamalaki ito, ngunit sa parehong oras ay nahihiya siya. - Ano ang kakantahin natin? tanong niya. "Ang susi," sagot ni Nikolai. - Well, bilisan natin. Boris, halika rito, - sabi ni Natasha. - Nasaan si Sonya? Luminga-linga siya sa paligid at, nang makitang wala sa silid ang kanyang kaibigan, hinabol siya. Tumatakbo sa silid ni Sonya at hindi nahanap ang kanyang kaibigan doon, tumakbo si Natasha sa nursery - at wala si Sonya. Napagtanto ni Natasha na si Sonya ay nasa koridor sa isang dibdib. Ang dibdib sa koridor ay ang lugar ng kalungkutan ng babaeng kabataang henerasyon ng bahay ng mga Rostov. Sa katunayan, si Sonya, sa kanyang maaliwalas na kulay rosas na damit, na dinudurog ito, ay humiga sa maruming guhit na kama ng balahibo ng nars, sa dibdib, at, tinakpan ang kanyang mukha ng kanyang mga daliri, umiyak nang mapait, nanginginig sa kanyang hubad na mga balikat. Ang mukha ni Natasha, masigla, buong araw, ay biglang nagbago: ang kanyang mga mata ay huminto, pagkatapos ay ang kanyang malapad na leeg ay nanginginig, ang mga sulok ng kanyang mga labi ay lumuhod. – Sonya! ano ka?... Ano, ano ang problema mo? Woo wow!… At si Natasha, na ikinakalat ang kanyang malaking bibig at naging ganap na pangit, umungal na parang bata, hindi alam ang dahilan at dahil lamang sa pag-iyak ni Sonya. Gustong iangat ni Sonya ang kanyang ulo, gustong sumagot, ngunit hindi niya magawa at lalo pang nagtago. Umiiyak si Natasha, nakaupo sa isang asul na featherbed at niyakap ang kaibigan. Inipon ang kanyang lakas, tumayo si Sonya, nagsimulang punasan ang kanyang mga luha at sinabi. - Si Nikolenka ay pupunta sa isang linggo, ang kanyang ... papel ... ay lumabas ... sinabi niya sa akin mismo ... Oo, hindi ako iiyak ... (ipinakita niya ang papel na hawak niya sa kanyang kamay: ito ay tula na isinulat ni Nikolai) Hindi ako iiyak, ngunit hindi mo ... walang makakaintindi ... kung anong uri ng kaluluwa ang mayroon siya. At muli siyang umiyak dahil napakabuti ng kanyang kaluluwa. "Ito ay mabuti para sa iyo ... hindi ako naiinggit ... mahal kita, at si Boris din," sabi niya, na iniipon ng kaunti ang kanyang lakas, "ang cute niya ... walang mga hadlang para sa iyo. At pinsan ko si Nikolai... kailangan... ang metropolitan mismo... at imposible iyon. At pagkatapos, kung ang aking ina ... (itinuring ni Sonya ang kondesa at tinawag ang kanyang ina), sasabihin niya na sinisira ko ang karera ni Nikolai, wala akong puso, na ako ay hindi nagpapasalamat, ngunit tama ... sa pamamagitan ng Diyos ... (siya ay tumawid sa sarili) Mahal na mahal ko siya, at kayong lahat, si Vera lamang ang nag-iisa ... Bakit? Anong ginawa ko sa kanya? Lubos akong nagpapasalamat sa iyo na ikalulugod kong isakripisyo ang lahat, ngunit wala akong ... Hindi na nakapagsalita si Sonya at muling itinago ang ulo sa kanyang mga kamay at feather bed. Nagsimulang kumalma si Natasha, ngunit malinaw sa kanyang mukha na naiintindihan niya ang kahalagahan ng kalungkutan ng kanyang kaibigan. – Sonya! bigla niyang sabi na para bang nahulaan niya tunay na dahilan lungkot ng pinsan. “Tama, kinausap ka ba ni Vera pagkatapos kumain?” Oo? - Oo, si Nikolai mismo ang sumulat ng mga tula na ito, at isinulat ko ang iba; natagpuan niya ang mga ito sa aking mesa at sinabi na ipapakita niya ang mga ito kay mama, at sinabi rin na ako ay walang utang na loob, na hinding-hindi siya papayagan ni mama na pakasalan ako, at pakakasalan niya si Julie. Nakita mo kung paano niya kasama siya buong araw ... Natasha! Para saan?… At muli siya ay umiyak ng mapait. Binuhat siya ni Natasha, niyakap at, nakangiti sa pamamagitan ng kanyang mga luha, sinimulan siyang aliwin. “Sonya, huwag kang magtiwala sa kanya, mahal, huwag. Naaalala mo ba kung paano kaming tatlo nag-usap ni Nikolenka sa sofa room; remember after dinner? Pagkatapos ng lahat, napagpasyahan namin kung paano ito magiging. Hindi ko maalala kung paano, ngunit tandaan kung paano maayos ang lahat at posible ang lahat. Ang kapatid ni Uncle Shinshin ay kasal sa isang pinsan, at kami ay pangalawang pinsan. At sinabi ni Boris na ito ay posible. Alam mo, sinabi ko sa kanya ang lahat. At siya ay napakatalino at napakahusay," sabi ni Natasha ... "Ikaw, Sonya, huwag kang umiyak, mahal ko, sinta, Sonya. At hinalikan siya nito, tumatawa. - Ang pananampalataya ay masama, ang Diyos ay sumama sa kanya! At magiging maayos ang lahat, at hindi niya sasabihin sa kanyang ina; Sasabihin ni Nikolenka sa kanyang sarili, at hindi man lang niya inisip si Julie. At hinalikan siya nito sa ulo. Bumangon si Sonya, at ang kuting ay lumakas, ang kanyang mga mata ay kumikinang, at tila handa siyang iwagayway ang kanyang buntot, tumalon sa kanyang malambot na mga paa at muling laruin ang bola, dahil ito ay nararapat para sa kanya. - Sa tingin mo? tama? Sa Diyos? aniya, mabilis na inayos ang damit at buhok. - Tama, sa Diyos! - sagot ni Natasha, itinuwid ang kanyang kaibigan sa ilalim ng isang scythe isang hibla ng magaspang na buhok na nalaglag. At nagtawanan silang dalawa. - Well, kantahin natin ang "Key". - Pumunta tayo sa. - At alam mo, ang matabang Pierre na ito, na nakaupo sa tapat ko, ay nakakatawa! Biglang sabi ni Natasha, napatigil. - Napakasaya ko! At tumakbo si Natasha sa corridor. Si Sonya, na tinatanggal ang himulmol at itinatago ang mga tula sa kanyang dibdib, sa leeg na may nakausli na mga buto ng dibdib, na may magaan, masayang mga hakbang, na may namumula na mukha, ay tumakbo pagkatapos ni Natasha sa kahabaan ng koridor patungo sa sofa. Sa kahilingan ng mga panauhin, kinanta ng mga kabataan ang "Key" quartet, na labis na nagustuhan ng lahat; pagkatapos ay kinanta muli ni Nikolai ang kantang natutunan niya. Sa isang magandang gabi, sa liwanag ng buwan, Isipin na masaya ka Na may ibang tao sa mundo Sino ang nag-iisip tungkol sa iyo! Na siya, na may magandang kamay, Naglalakad kasama ang gintong alpa, Sa marubdob nitong pagkakaisa Tumatawag sa sarili, tumatawag sa iyo! Isa pang araw, dalawa, at ang paraiso ay darating ... Pero ah! hindi mabubuhay ang kaibigan mo! At hindi pa niya natatapos ang pag-awit ng mga huling salita, nang sa bulwagan ay naghanda ang mga kabataan para sa pagsasayaw at ang mga musikero sa mga koro ay nagkalat ang kanilang mga paa at umubo. Si Pierre ay nakaupo sa sala, kung saan si Shinshin, tulad ng isang bisita mula sa ibang bansa, ay nagsimula ng isang pampulitikang pag-uusap sa kanya na nakakainip para kay Pierre, na sinamahan ng iba. Nang magsimula ang musika, pumasok si Natasha sa sala at, dumiretso kay Pierre, tumatawa at namumula, sinabi: “Sinabi sa akin ni Nanay na yayain kang sumayaw. "Natatakot akong malito ang mga figure," sabi ni Pierre, "ngunit kung gusto mong maging guro ko ... At ibinigay niya ang kanyang makapal na kamay, ibinaba iyon sa payat na babae. Habang nagse-set up ang mga mag-asawa at nagtatayo ang mga musikero, naupo si Pierre kasama ang kanyang maliit na babae. Si Natasha ay ganap na masaya; nakipagsayaw siya sa isang malaking galing sa ibang bansa. Umupo siya sa harap ng lahat at nakipag-usap sa kanya na parang isang malaki. May hawak siyang pamaypay, na ibinigay sa kanya ng isang binibini upang hawakan. At, pinagtibay ang pinaka-sekular na pose (alam ng Diyos kung saan at kailan niya ito natutunan), siya, pinapaypayan ang sarili gamit ang isang fan at nakangiti sa pamamagitan ng fan, nakipag-usap sa kanyang ginoo. - Ano ito, ano ito? Tingnan mo, tingnan mo, - sabi ng matandang kondesa, dumaan sa bulwagan at itinuro si Natasha. Namula si Natasha at tumawa. - Well, ano ka, nanay? Well, ano ang hinahanap mo? Ano ang nakakagulat dito? Sa gitna ng ikatlong ecossaise nagsimulang gumalaw ang mga upuan sa drawing-room, kung saan naglalaro ang bilang at si Marya Dmitrievna, at karamihan ng pinarangalan na mga panauhin at matatandang lalaki, na nag-uunat pagkatapos ng mahabang upuan at naglalagay ng mga pitaka at mga pitaka sa kanilang mga bulsa, ay lumabas sa mga pintuan ng bulwagan. Si Marya Dmitrievna ay lumakad sa harap kasama ang bilang, kapwa may masayang mukha. Sa mapaglarong kagandahang-loob, na parang sa isang ballet na paraan, ang bilang ay pinalawak ang kanyang bilugan na kamay kay Marya Dmitrievna. Siya ay umayos, at ang kanyang mukha ay lumiwanag sa isang partikular na matapang na mapait na ngiti, at sa sandaling ang huling pigura ng ecossaise ay naisayaw, ipinalakpak niya ang kanyang mga kamay sa mga musikero at sumigaw sa mga koro, lumingon sa unang biyolin: - Semyon! Kilala mo ba si Danila Kupor? Iyon ang paboritong sayaw ng konte, sinayaw niya noong kabataan niya. (Si Danilo Kupor ay talagang isang Anglaise figure.) "Tingnan mo si tatay," sigaw ni Natasha sa buong bulwagan (ganap na nakakalimutan na siya ay sumasayaw kasama ang isang malaki), yumuko ang kanyang kulot na ulo sa kanyang mga tuhod at sumabog sa kanyang malakas na pagtawa sa buong bulwagan. Sa katunayan, ang lahat ng nasa bulwagan ay nakatingin na may ngiti ng kagalakan sa masayang matandang lalaki, na, sa tabi ng kanyang marangal na ginang, si Marya Dmitrievna, na mas matangkad sa kanya, ay binilog ang kanyang mga braso, nanginginig ang mga ito sa oras, itinuwid ang kanyang mga balikat, pinaikot ang kanyang mga binti, bahagyang itinatak ang kanyang mga paa, at sa isang mas malawak na ngiti sa kanyang bilog na mukha ay inihahanda ang madla para sa kung ano ang mangyayari. Sa sandaling narinig ang masasayang, mapanghamon na tunog ni Danila Kupor, na katulad ng isang masayang kalansing, ang lahat ng mga pinto ng bulwagan ay biglang ginawa, sa isang banda, ng lalaki, sa kabilang banda, ng mga babaeng nakangiting mukha ng mga patyo na lumabas upang tingnan ang masayang ginoo. - Atin ang ama! Agila! malakas na sabi ni yaya mula sa isang pinto. Mahusay na sumayaw at alam ito ng konte, ngunit hindi alam ng kanyang ginang kung paano at ayaw niyang sumayaw nang mahusay. Nakatayo ng tuwid ang kanyang malaking katawan makapangyarihang mga kamay(ibinigay niya ang reticule sa kondesa); tanging ang kanyang mabagsik ngunit magandang mukha lamang ang sumayaw. Kung ano ang ipinahayag sa buong bilog na pigura ng bilang, kasama si Marya Dmitrievna ay ipinahayag lamang sa isang mas at mas nakangiting mukha at isang kibot na ilong. Ngunit, sa kabilang banda, kung ang bilang, higit pa at higit na nagkakalat, ay nabihag ng mga manonood sa di-inaasahang mga deft trick at light jumps ng kanyang malambot na mga binti, si Marya Dmitrievna, na may kaunting kasigasigan sa paggalaw ng kanyang mga balikat o pag-ikot ng kanyang mga braso nang paikot-ikot at pag-stomp, ay hindi gaanong nakagawa ng impresyon sa merito, na pinahahalagahan ng lahat sa kanyang katatagan. Lalong naging masigla ang sayaw. Ang mga katapat ay hindi makatawag pansin sa kanilang sarili sa loob ng isang minuto at hindi man lang sinubukang gawin ito. Ang lahat ay inookupahan ng bilang at Marya Dmitrievna. Hinila ni Natasha ang mga manggas at damit ng lahat ng naroroon, na hindi na inalis ang tingin sa mga mananayaw, at hiniling na tumingin sila kay papa. Sa mga pagitan ng sayaw, huminga ng malalim ang konte, kumaway at sumigaw sa mga musikero na tumugtog nang mas mabilis. Pabilis ng pabilis, pabilis ng pabilis, parami nang parami, ang bilang ay umikot, ngayon ay naka-tiptoe, ngayon ay naka-takong, nagmamadaling umikot kay Marya Dmitrievna at, sa wakas, ibinaling ang kanyang ginang sa kanyang pwesto, ginawa ang huling hakbang, itinaas ang kanyang malambot na binti mula sa likuran, yumuko ang kanyang pawisan na ulo na may nakangiting mukha at bilog na kumakaway. kanang kamay kasama ng dagundong ng palakpakan at tawanan, lalo na si Natasha. Parehong huminto ang mga mananayaw, huminga ng malalim at nagpupunas ng mga panyo ng cambric. "Ganito sila sumayaw noong panahon natin, ma chere," sabi ng konde. - Ay oo Danila Kupor! ' sabi ni Marya Dmitrievna, nagpakawala ng kanyang hininga nang mabigat at tuloy-tuloy, at itinaas ang kanyang mga manggas. Habang ang ikaanim na anglaise ay isinasayaw sa bulwagan sa Rostov's sa mga tunog ng pagod na mga musikero na wala sa tono, at ang mga pagod na waiter at kusinero ay naghahanda ng hapunan, ang ikaanim na stroke ay naganap kay Count Bezukhim. Inihayag ng mga doktor na walang pag-asa na gumaling; ang pasyente ay binigyan ng isang bingi na pag-amin at pakikipag-isa; Ang mga paghahanda ay ginawa para sa unction, at ang bahay ay puno ng kaguluhan at pagkabalisa ng pag-asa, karaniwan sa gayong mga sandali. Sa labas ng bahay, sa likod ng mga tarangkahan, nagsisiksikan ang mga tagapangasiwa, nagtatago sa paparating na mga karwahe, naghihintay ng mayamang utos para sa libing ng konde. Ang Commander-in-Chief ng Moscow, na patuloy na nagpadala ng mga adjutant upang malaman ang tungkol sa posisyon ng bilang, nang gabing iyon siya mismo ay dumating upang magpaalam sa sikat na nobleman ni Catherine, Count Bezukhim. Puno ang napakagandang reception room. Ang lahat ay tumayo nang may paggalang nang ang kumander-in-chief, na nag-iisa sa pasyente sa loob ng halos kalahating oras, ay umalis doon, bahagyang sumasagot sa mga busog at sinusubukan sa lalong madaling panahon na lampasan ang mga mata ng mga doktor, klerigo at mga kamag-anak na nakatitig sa kanya. Si Prinsipe Vasily, na naging payat at mas maputla sa mga araw na ito, ay nakita ang pinuno ng kumander at tahimik na inulit ang isang bagay sa kanya ng maraming beses. Matapos makita ang commander-in-chief, si Prinsipe Vasily ay nakaupo nang mag-isa sa bulwagan sa isang upuan, itinapon ang kanyang mga binti nang mataas sa kanyang mga binti, ipinatong ang kanyang siko sa kanyang tuhod at ipinikit ang kanyang mga mata gamit ang kanyang kamay. Pagkaraan ng ilang oras na pag-upo sa ganito, siya ay bumangon at sa hindi pangkaraniwang pagmamadali na mga hakbang, tumingin sa paligid na may takot na mga mata, dumaan sa isang mahabang koridor sa likod na kalahati ng bahay, patungo sa matandang prinsesa. Ang mga nasa madilim na silid ay nag-usap sa kanilang mga sarili sa hindi pantay na bulong at tumahimik sa bawat oras, at sa mga mata na puno ng tanong at pag-asa ay lumingon sa pinto na patungo sa mga silid ng naghihingalong lalaki at naglalabas ng mahinang tunog kapag may umalis o pumasok dito. "Ang limitasyon ng tao," sabi ng matandang lalaki, isang klerigo, sa ginang na umupo sa tabi niya at walang muwang na nakinig sa kanya, "ang limitasyon ay itinakda, ngunit hindi mo ito malalampasan." - Sa tingin ko hindi pa huli ang lahat para mag-unction? - pagdaragdag ng isang espirituwal na titulo, tanong ng ginang, na parang wala siyang opinyon sa bagay na ito.

"Circumscribed Circle" nakita natin na ang isang bilog ay maaaring paligiran sa anumang tatsulok. Iyon ay, para sa anumang tatsulok mayroong isang bilog na ang lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay "umupo" dito. Ganito:

Tanong: Masasabi rin ba ang tungkol sa quadrilateral? Totoo ba na palaging magkakaroon ng isang bilog kung saan ang lahat ng apat na vertices ng quadrilateral ay "umupo"?

Ito pala ay HINDI TOTOO! HINDI LAGING may quadrilateral ang maaaring isulat sa isang bilog. Mayroong isang napakahalagang kondisyon:

Sa aming pagguhit:

.

Tingnan, ang mga anggulo at kasinungalingan sa tapat ng bawat isa, na nangangahulugan na sila ay kabaligtaran. Paano naman ang mga kanto? Parang opposite din sila? Posible bang kumuha ng mga sulok at sa halip na mga sulok at?

Syempre kaya mo! Ang pangunahing bagay ay ang quadrangle ay may ilang dalawang magkasalungat na anggulo, ang kabuuan nito ay magiging. Ang natitirang dalawang anggulo pagkatapos ang kanilang mga sarili ay magdadagdag din. Hindi naniniwala? Siguraduhin natin. Tingnan mo:

Hayaan. Naaalala mo ba kung ano ang kabuuan ng lahat ng apat na anggulo ng anumang quadrilateral? Tiyak, . Iyon ay - palagi! . Ngunit, → .

Magic straight!

Kaya tandaan na mahigpit:

Kung ang isang quadrilateral ay nakasulat sa isang bilog, kung gayon ang kabuuan ng alinman sa dalawa sa magkasalungat na anggulo nito ay

at kabaliktaran:

Kung ang isang may apat na gilid ay may dalawang magkasalungat na anggulo na ang kabuuan ay pantay, kung gayon ang gayong may apat na gilid ay nakasulat.

Hindi namin patunayan ang lahat ng ito dito (kung interesado ka, tingnan ang mga susunod na antas ng teorya). Ngunit tingnan natin kung ano ang hahantong sa kamangha-manghang katotohanang ito, na ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang naka-inscribe na quadrilateral ay pantay.

Halimbawa, ang tanong ay pumasok sa isip, posible bang ilarawan ang isang bilog sa paligid ng isang paralelogram? Subukan muna natin ang "poke method".

Kahit papaano ay hindi ito gumagana.

Ngayon ilapat ang kaalaman:

ipagpalagay na kahit papaano ay nagawa naming magkasya ang isang bilog sa isang paralelogram. Kung gayon ito ay tiyak na:, iyon ay.

At ngayon alalahanin natin ang mga katangian ng isang paralelogram:

Ang bawat paralelogram ay may magkasalungat na anggulo.

Nakuha namin iyon

At ano ang tungkol sa mga sulok? Well, pareho siyempre.

Nakasulat → →

Paralelogram→ →

Kamangha-manghang, tama?

Ito ay lumabas na kung ang isang paralelogram ay nakasulat sa isang bilog, kung gayon ang lahat ng mga anggulo nito ay pantay, iyon ay, ito ay isang rektanggulo!

At sa parehong oras - ang gitna ng bilog ay tumutugma sa intersection point ng mga diagonal ng parihaba na ito. Ito, kumbaga, ay nakalakip bilang isang bonus.

Well, nangangahulugan iyon na nalaman namin na ang isang paralelogram na nakasulat sa isang bilog - parihaba.

Ngayon pag-usapan natin ang trapezoid. Ano ang mangyayari kung ang isang trapezoid ay nakasulat sa isang bilog? At ito ay lumiliko out ito ay isosceles trapezoid. Bakit?

Hayaang ang trapezoid ay nakasulat sa isang bilog. At muli, ngunit dahil sa paralelismo ng mga linya at.

Kaya, mayroon tayong: → → isang isosceles trapezoid.

Kahit na mas madali kaysa sa isang parihaba, tama? Ngunit kailangan mong tandaan na matatag - madaling gamitin:

Ilista natin ang karamihan pangunahing mga pahayag padaplis sa isang may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog:

1. Ang isang quadrilateral ay nakasulat sa isang bilog kung at kung ang kabuuan ng dalawang magkasalungat na anggulo nito ay
2. Parallelogram na nakasulat sa isang bilog parihaba at ang gitna ng bilog ay tumutugma sa punto ng intersection ng mga diagonal
3. Ang isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog ay isosceles.

May nakasulat na may apat na gilid. Average na antas

Ito ay kilala na para sa anumang tatsulok mayroong isang circumscribed na bilog (pinatunayan namin ito sa paksang "Circumscribed circle"). Ano ang masasabi tungkol sa quadrilateral? Dito lumalabas na HINDI LAHAT ng may apat na gilid ay maaaring isulat sa isang bilog, ngunit mayroong ganitong teorama:

Ang isang quadrilateral ay nakasulat sa isang bilog kung at kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo nito ay.

Sa aming pagguhit -

Subukan nating maunawaan kung bakit? Sa madaling salita, papatunayan natin ngayon ang teorama na ito. Ngunit bago patunayan, kailangan mong maunawaan kung paano gumagana ang assertion mismo. Napansin mo ba ang mga salitang "noon at pagkatapos lamang" sa pahayag? Ang ganitong mga salita ay nangangahulugan na ang mga mapaminsalang mathematician ay nagtulak ng dalawang pahayag sa isa.

Pag-decipher:

1. "Pagkatapos" ay nangangahulugang: Kung ang isang may apat na gilid ay nakasulat sa isang bilog, kung gayon ang kabuuan ng alinman sa dalawa sa magkasalungat na mga anggulo nito ay pantay.
2. Ang ibig sabihin ng "noon lang" ay: Kung ang isang quadrilateral ay may dalawang magkasalungat na anggulo, ang kabuuan nito ay pantay, kung gayon ang naturang quadrilateral ay maaaring isulat sa isang bilog.

Tulad ni Alice: "Sa tingin ko kung ano ang sinasabi ko" at "Sinasabi ko kung ano ang iniisip ko".

Ngayon alamin natin kung bakit pareho ang 1 at 2 ay totoo?

Una 1.

Hayaang ang quadrilateral ay nakasulat sa isang bilog. Minarkahan namin ang sentro nito at iguhit ang radii at. Ano ang mangyayari? Naaalala mo ba na ang isang naka-inscribe na anggulo ay kalahati ng katumbas na gitnang anggulo? Kung naaalala mo - naaangkop na ngayon, at kung hindi gayon - tingnan ang paksa "Bilog. Nakasulat na anggulo".

Nakasulat

Nakasulat

Pero tingnan mo: .

Nakukuha namin na kung - ay inscribed, pagkatapos

Well, ito ay malinaw na at din nagdadagdag up. (dapat ding isaalang-alang).

Ngayon ang "vice versa", iyon ay, 2.

Hayaang lumabas na ang kabuuan ng alinmang dalawang magkasalungat na anggulo ng isang quadrilateral ay pantay. Sabihin nating hayaan

Hindi pa namin alam kung maaari naming ilarawan ang isang bilog sa paligid nito. Ngunit alam naming sigurado na kami ay garantisadong magagawang ilarawan ang isang bilog sa paligid ng isang tatsulok. Kaya gawin na natin.

Kung ang punto ay hindi "umupo" sa bilog, kung gayon hindi maiiwasang lumabas ito sa labas o sa loob.

Isaalang-alang natin ang parehong mga kaso.

Hayaan muna ang punto sa labas. Pagkatapos ay nag-intersect ang segment sa bilog sa isang punto. Kumonekta at. Ang resulta ay may nakasulat na (!) quadrilateral.

Alam na natin ang tungkol sa kanya na ang kabuuan ng kanyang kabaligtaran na mga anggulo ay pantay, iyon ay, ngunit sa kondisyon na mayroon tayo.

Dapat pala ganito.

Ngunit hindi ito maaaring sa anumang paraan, dahil - ang panlabas na sulok para sa at nangangahulugan .

At sa loob? Gawin natin ang isang katulad na bagay. Hayaan ang punto sa loob.

Pagkatapos ang pagpapatuloy ng segment ay nag-intersect sa bilog sa isang punto. Muli - isang inscribed quadrilateral, at ayon sa kondisyon ay dapat itong masiyahan, ngunit - isang panlabas na anggulo para sa at ibig sabihin, iyon ay, muli, hindi ito maaaring iyon.

Iyon ay, ang isang punto ay hindi maaaring nasa labas o sa loob ng bilog - na nangangahulugang ito ay nasa bilog!

Napatunayan ang buong teorama!

Ngayon tingnan natin kung ano ang magandang kahihinatnan na ibinibigay ng theorem na ito.

Bunga 1

Ang parallelogram na nakasulat sa isang bilog ay maaari lamang maging isang parihaba.

Intindihin natin kung bakit ganoon. Hayaang ang paralelogram ay nakasulat sa isang bilog. Pagkatapos ay dapat itong gawin.

Ngunit mula sa mga katangian ng isang paralelogram, alam natin iyon.

At pareho, siyempre, para sa mga anggulo at.

Kaya ang parihaba ay lumabas - lahat ng mga sulok ay kasama.

Ngunit, bilang karagdagan, mayroong isa pang karagdagang kaaya-ayang katotohanan: ang gitna ng bilog na nakapaligid sa parihaba ay tumutugma sa intersection point ng mga diagonal.

Intindihin natin kung bakit. Sana ay natatandaan mong mabuti na ang anggulo na nakabatay sa diameter ay isang tamang anggulo.

diameter,

diameter

at samakatuwid ang sentro. Iyon lang.

Bunga 2

Ang isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog ay isosceles.

Hayaang ang trapezoid ay nakasulat sa isang bilog. Pagkatapos.

At saka.

Napag-usapan na ba natin ang lahat? Hindi naman. Sa katunayan, may isa pang "lihim" na paraan upang makilala ang isang nakasulat na may apat na gilid. Bubuo kami ng pamamaraang ito nang hindi masyadong mahigpit (ngunit malinaw), ngunit patunayan lamang namin ito sa huling antas ng teorya.

Kung sa isang quadrilateral isa ay maaaring obserbahan tulad ng isang larawan tulad ng dito sa figure (dito ang mga anggulo "tumingin" sa gilid ng mga punto at ay pantay-pantay), at pagkatapos ay tulad ng isang quadrilateral ay isang inscribed isa.

Ito ay isang napakahalagang pagguhit - sa mga problema ay kadalasang mas madaling mahanap pantay na anggulo kaysa sa kabuuan ng mga anggulo at.

Sa kabila ng kumpletong kakulangan ng higpit sa aming pagbabalangkas, ito ay tama, at higit pa rito, ito ay palaging tinatanggap ng mga tagasuri ng USE. Dapat kang sumulat ng ganito:

"- inscribed" - at magiging maayos ang lahat!

Huwag kalimutan ito mahalagang katangian- tandaan ang larawan, at marahil ito ay mahuli ang iyong mata sa oras kapag nilutas ang problema.

May nakasulat na may apat na gilid. Maikling paglalarawan at mga pangunahing formula

Kung ang isang quadrilateral ay nakasulat sa isang bilog, kung gayon ang kabuuan ng alinman sa dalawa sa magkasalungat na anggulo nito ay

at kabaliktaran:

Kung ang isang may apat na gilid ay may dalawang magkasalungat na anggulo na ang kabuuan ay pantay, kung gayon ang gayong may apat na gilid ay nakasulat.

Ang isang quadrilateral ay nakasulat sa isang bilog kung at kung ang kabuuan ng dalawang magkasalungat na anggulo nito ay pantay.

Parallelogram na nakasulat sa isang bilog- kinakailangang isang parihaba, at ang gitna ng bilog ay tumutugma sa punto ng intersection ng mga diagonal.

Ang isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog ay isosceles.

Kakailanganin mong

• - quadrilateral na may ibinigay na mga parameter;
• - compass;
• - pinuno;
• - protraktor;
• - calculator;
• - papel.

Pagtuturo

Sukatin ang lahat ng sulok ng quadrilateral na ibinigay sa iyo. Hanapin ang mga kabuuan ng magkasalungat na anggulo. Isulat ang isang quadrilateral bilog posible lamang kung ang mga kabuuan ng magkasalungat na anggulo ay 180°. Kaya, upang bumuo ng inilarawan bilog palaging nasa paligid ng isang parisukat, at isang trapezoid.

gumuhit bilog na may radius R. Tukuyin ang sentro nito. Bilang , ito ay tinutukoy ng O. Humanap ng di-makatwirang punto sa mismong bilog at tawagan itong anumang titik. Sabihin nating magiging point A. Ang iyong karagdagang aksyon mula sa katotohanan na ang quadrilateral ay ibinigay sa iyo. Ang mga dayagonal ng isang parisukat ay patayo sa isa't isa at ang radii ng circumscribed na bilog. Samakatuwid, bumuo ng dalawang diameters, ang anggulo sa pagitan ay 90°. Ang mga punto ng kanilang intersection sa bilog Ikonekta ang mga ito sa serye na may mga tuwid na linya.

Upang magkasya ang isang rektanggulo, kailangan mong malaman ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal o ang mga sukat ng mga gilid. Sa pangalawang kaso, ang anggulo ay magiging posible gamit ang Pythagorean theorem, sines o cosine. Gumuhit ng isa sa mga diameters. Markahan ito, halimbawa, ng mga puntong A at C. Mula sa puntong O, na nasa gitna din ng dayagonal, itabi ang anggulo sa pagitan ng mga dayagonal. Iguhit ang pangalawang diameter sa gitna at sa bagong punto. Sa parehong paraan tulad ng sa kaso ng isang parisukat, ikonekta sa serye ang mga punto ng intersection ng diameters na may bilog Yu.

Upang makabuo ng isosceles trapezoid, maghanap ng arbitrary point sa bilog. Bumuo mula dito ng chord na katumbas ng upper o lower base. Hanapin ang midpoint nito at gumuhit ng diameter na patayo dito at sa gitna ng bilog. Itabi sa diameter ng taas ng trapezoid. Gumuhit ng patayo sa puntong ito sa magkabilang direksyon hanggang sa mag-intersect ito bilog Yu. Pagsamahin ang mga dulo.

Nakatutulong na payo

Kapag gumuhit ng inscribed polygons sa AutoCAD, hanapin muna ang drop-down na box na "Draw" sa pangunahing menu, at sa loob nito ang function na "Polygon". Ang bilang ng mga gilid ng parisukat ay nakatakda kaagad. Pagkatapos itong lumabas sa screen, pumunta sa function na "Inscribed/Circumscribed Polygon." Ang nais na gusali ay agad na lilitaw sa screen.

Upang bumuo ng isang trapezoid o parihaba sa programang ito, hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga diagonal. Ito rin ang magiging sentro ng circumscribed na bilog.

Ang trapezoid ay isang flat quadrangular figure, ang dalawang gilid nito (bases) ay parallel, at ang iba pang dalawang (sides) ay hindi dapat magkaparehas. Kung ang lahat ng apat na vertices ng isang trapezoid ay nasa parehong bilog, ang quadrilateral na ito ay sinasabing nakasulat dito. Hindi mahirap magtayo ng gayong pigura.

Kakailanganin mong

• Papel, lapis, parisukat, kumpas.

Pagtuturo

Kung walang karagdagang mga kinakailangan para sa isang nakasulat na trapezoid, maaari kang magkaroon ng mga gilid ng anumang haba. Samakatuwid, simulan ang pagbuo mula sa isang arbitrary, halimbawa, sa ibabang kaliwang quarter. Italaga ito sa letrang A - narito ang isa sa mga vertices na nakasulat bilog trapezoid.

Gumuhit ng pahalang na linya na nagsisimula sa A at nagtatapos sa intersection ng bilog yu sa kanang ibaba. Markahan ang intersection na ito ng titik B. Ang itinayong segment AB ay ang mas mababang base ng trapezoid.

Anuman maginhawang paraan gumuhit ng isang linya na kahanay sa ibabang base, sa itaas ng gitna. Halimbawa, kung mayroon kang magagamit, maaari itong gawin tulad nito: ikabit ito sa base ng AB at gumuhit ng pantulong na patayo na linya. Pagkatapos ay ilakip ang tool sa guideline sa itaas ng gitna ng bilog at gumuhit ng mga patayo sa magkabilang gilid nito, na nagtatapos sa bawat isa sa intersection na may bilog Yu. Ang dalawang perpendicular na ito ay dapat nakahiga sa isa at pagkatapos ay bumubuo sila sa itaas na base ng trapezoid. Markahan ang kaliwang extreme point ng base na ito ng letrang D, at ang kanang extreme point ng letter C.

Kung walang parisukat, ngunit mayroong isang compass, kung gayon ang pagtatayo ng itaas na base ay magiging mas madali. Maglagay ng arbitrary point sa itaas na kaliwang bahagi ng bilog. Ang tanging kondisyon ay hindi ito dapat na matatagpuan mahigpit na patayo sa itaas ng punto A, kung hindi man ang itinayo na pigura ay magiging isang parisukat. Markahan ang punto ng titik D at markahan ang distansya sa pagitan ng mga punto A at D sa compass. Pagkatapos ay itakda ang compass sa punto B at markahan ang punto na tumutugma sa nakabinbing distansya sa kanang bahagi sa itaas ng bilog. Italaga ito sa titik C at iguhit ang itaas na base sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga punto D at C.

Iguhit ang mga gilid ng isang nakasulat na trapezoid sa pamamagitan ng pagguhit ng mga segment ng linya AD at BC.

Mga kaugnay na video

Ayon sa kahulugan, inilarawan bilog dapat dumaan sa lahat ng sulok ng vertices ng ibinigay na polygon. Hindi mahalaga kung anong uri ng polygon ito - isang tatsulok, isang parisukat, isang parihaba, isang trapezoid o iba pa. Hindi rin mahalaga kung ito ay isang regular o hindi regular na polygon. Kinakailangan lamang na isaalang-alang na mayroong mga polygon sa paligid kung saan bilog hindi mailalarawan. maaaring palaging ilarawan bilog sa paligid ng tatsulok. Para sa quadrilaterals, bilog maaaring ilarawan ang tungkol sa isang parisukat o parihaba o isang isosceles trapezoid.

Kakailanganin mong

• Binigyan ng polygon
• Tagapamahala
• parisukat
• Lapis
• Kumpas
• Protractor
• Mga talahanayan ng mga sine at cosine
• Mga konsepto at formula sa matematika
• Pythagorean theorem
• Sine theorem
• Cosine theorem
• Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok

Pagtuturo

Bumuo ng polygon na may ibinigay na mga parameter at kung posible bang mag-circumscribe sa paligid nito bilog. Kung bibigyan ka ng quadrilateral, kalkulahin ang kabuuan ng mga magkasalungat na anggulo nito. Ang bawat isa sa kanila ay dapat na katumbas ng 180 °.

Upang ilarawan bilog, kailangan mong kalkulahin ang radius nito. Tandaan kung saan ang gitna ng bilog ay nasa iba't ibang polygons. Sa isang tatsulok, ito ay nasa punto ng intersection ng lahat ng mga altitude ng ibinigay na tatsulok. Sa isang parisukat at mga parihaba - sa intersection point ng mga diagonal, para sa isang trapezoid - sa intersection point ng axis ng symmetry sa linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid, at para sa anumang iba pang convex polygon - sa intersection point mid-perpendiculars sa mga gilid.

Kalkulahin ang diameter ng isang bilog na nakapaligid sa isang parisukat at isang parihaba gamit ang Pythagorean theorem. Magkakapantay ito parisukat na ugat mula sa kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid ng parihaba. Para sa isang parisukat na ang lahat ng panig ay pantay, ang dayagonal ay katumbas ng parisukat na ugat ng dalawang beses ang parisukat ng gilid. Hatiin ang diameter ng 2 upang makuha ang radius.

Kalkulahin ang radius ng circumscribed na bilog para sa tatsulok. Dahil ang mga parameter ng tatsulok ay ibinigay sa mga kondisyon, kalkulahin ang radius gamit ang formula R = a/(2 sinA), kung saan ang a ay isa sa mga gilid ng tatsulok, ? ay ang kabaligtaran na anggulo. Sa halip na bahaging ito, maaari mong kunin ang gilid at ang anggulo sa tapat nito.

Kalkulahin ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang trapezoid. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) Kalkulahin ang mga nawawalang halaga. Ang taas ay maaaring kalkulahin gamit ang sine o cosine theorem, ang mga haba ng mga gilid ng trapezoid at ang mga anggulo ay ibinibigay sa mga kondisyon. Alam ang taas at isinasaalang-alang ang pagkakatulad ng mga tatsulok, kalkulahin ang dayagonal. Pagkatapos nito, nananatili itong kalkulahin ang radius gamit ang formula sa itaas.

Mga kaugnay na video

Nakatutulong na payo

Upang kalkulahin ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isa pang polygon, magsagawa ng isang serye ng mga karagdagang konstruksyon. Kumuha ng mga mas simpleng figure na alam mo ang mga parameter.

Ang gawain ay pumasok bilog polygon kadalasan ay maaaring malito ang isang may sapat na gulang. Kailangang ipaliwanag ng isang bata sa paaralan ang kanyang desisyon, kaya ang mga magulang ay nagsu-surf sa world wide web upang maghanap ng solusyon.

Pagtuturo

gumuhit bilog. Ilagay ang compass needle sa gilid ng bilog, ngunit huwag baguhin ang radius. Gumuhit ng dalawang arko na tumatawid bilog sa pamamagitan ng pag-ikot ng compass sa kanan at sa kaliwa.

Ilipat ang compass needle sa paligid ng bilog sa punto kung saan ang arko ay nagsalubong dito. Lumiko muli ang compass at gumuhit ng dalawa pang arko, na tumatawid sa balangkas ng bilog. Ang pamamaraang ito ulitin hanggang sa intersection sa unang punto.

gumuhit bilog. Gumuhit ng diameter sa gitna nito, ang mga linya ay dapat na pahalang. Bumuo ng patayo sa pamamagitan ng gitna ng bilog, kumuha ng patayong linya (NE, halimbawa).

Hatiin ang radius sa kalahati. Markahan ang puntong ito sa linya ng diameter (lagyan ito ng label na A). Bumuo bilog nakasentro sa punto A at radius AC. Kapag tumatawid sa pahalang na linya makakakuha ka ng isa pang punto (halimbawa, D). Bilang resulta, ang segment na CD ang magiging gilid ng pentagon na gusto mong i-inscribe.

Itabi ang mga kalahating bilog, na ang radius ay katumbas ng CD, kasama ang tabas ng bilog. Kaya, ang orihinal bilog ay hahatiin ng lima pantay na bahagi. Ikonekta ang mga tuldok sa isang linya. Ang problema ng inscribing isang pentagon bilog natapos din.

Ang mga sumusunod ay inilalarawan sa pamamagitan ng pagpasok sa bilog parisukat. Gumuhit ng linya ng diameter. Kumuha ng protractor. Ilagay ito sa intersection point ng diameter na may gilid ng bilog. Palawakin ang compass sa haba ng radius.

Gumuhit ng dalawang arko sa intersection na may bilog yu, iniikot ang compass sa isang direksyon at sa isa pa. Ilipat ang binti ng compass sa tapat na punto at gumuhit ng dalawa pang arko na may parehong solusyon. Ikonekta ang mga tuldok.

Square ang diameter, hatiin sa dalawa, at kunin ang ugat. Bilang isang resulta, makakakuha ka ng gilid ng parisukat, na madaling magkasya bilog. Buksan ang compass sa haba na ito. Ilagay ang kanyang karayom bilog at gumuhit ng arko na bumabagtas sa isang gilid ng bilog. Ilipat ang binti ng compass sa resultang punto. Gumuhit muli ng isang arko.

Ulitin ang pamamaraan at gumuhit ng dalawa pang puntos. Ikonekta ang lahat ng apat na tuldok. Ito ay isang mas madaling paraan upang magkasya ang isang parisukat bilog.

Isaalang-alang ang problema ng pag-angkop sa bilog. gumuhit bilog. Kumuha ng isang punto nang hindi sinasadya sa bilog - ito ang magiging tuktok ng tatsulok. Mula sa puntong ito, pinapanatili ang compass, gumuhit ng isang arko sa intersection na may bilog Yu. Ito ang magiging pangalawang peak. Bumuo ng ikatlong vertex mula dito sa katulad na paraan. Ikonekta ang mga tuldok sa isang linya. Natagpuan ang solusyon.

Mga kaugnay na video

Madali mong maipagkasya ang isang parisukat sa isang bilog gamit ang mga tool sa pagguhit. Ngunit ang gawaing ito ay nalutas kahit na sa kanilang kumpletong kawalan. Kinakailangan lamang na tandaan ang ilang mga katangian ng isang parisukat.

Kakailanganin mong

• -kumpas
• - lapis
• -gon
• -gunting

Pagtuturo

Gumuhit sa gawain. Malinaw, ang diameter ng bilog ay ang dayagonal ng nakasulat dito. Alalahanin ang kilalang pag-aari ng isang parisukat: ang mga dayagonal nito ay magkaparehong patayo. Gamitin ang ugnayang ito ng mga dayagonal kapag gumagawa ng isang parisukat.

Gumuhit ng diameter sa isang bilog. Mula sa gitna, gamit ang isang parisukat, iguhit ang pangalawang diameter sa isang anggulo na 90 degrees hanggang sa una. Ikonekta ang mga intersection point ng perpendicular diameters sa isang bilog at kumuha ng isang parisukat na nakasulat sa bilog na ito.

Kung ang iyong tool sa pagguhit ay isang compass, gumuhit ng isang bilog. Markahan ang isang arbitrary na punto sa bilog at gumuhit ng diameter sa pamamagitan nito gamit ang isang tuwid na gilid. Ngayon ay kailangan mong gumamit ng compass upang hatiin ang kalahati ng bilog sa pagitan ng mga dulo ng diameter sa dalawang pantay na bahagi. Mula sa mga punto ng intersection ng diameter na may bilog, gumawa ng dalawang notches, pinapanatili ang solusyon ng compass na hindi nagbabago. Iguhit ang pangalawang diameter sa pamamagitan ng intersection point ng mga serif na ito at sa gitna ng bilog. Malinaw, ito ay magiging patayo sa una.

Kung wala kang mga tool sa pagguhit, maaari mong gupitin ang isang bilog na may hangganan ng isang ibinigay na bilog. Tiklupin ang ginupit na hugis nang eksakto sa kalahati. Subukang muli ang operasyon. Kinakailangan na pagsamahin ang mga dulo ng fold line, pagkatapos ay ang mga hubog na seksyon ay tutugma nang walang karagdagang pagsisikap. Ayusin ang mga linya ng karagdagan. Ngayon palawakin ang bilog. Ang mga linya ng fold ay malinaw na nakikita. Ibaluktot ang mga segment ng bilog sa pagitan ng mga intersection point ng mga linya ng fold gamit ang bilog at gupitin ang mga segment na ito. Ang mga hiwa na linya ay ang mga gilid ng nais na parisukat. Ilagay ang ginupit na parisukat sa ibinigay na bilog, ihanay ang gitna nito sa intersection point ng mga fold lines ng bilog. Ang mga vertex ng parisukat ay nakahiga sa bilog, na kinakailangang gawin.

Ang isang bilog ay sinasabing nakasulat sa isang polygon kung ito ay ganap na nasa loob ng polygon na iyon. Ang bawat panig ng inilarawan na pigura ay may isang karaniwang punto sa bilog.

Ang isang quadrilateral ay nakasulat sa isang bilog kung ang lahat ng mga vertex nito ay nasa bilog. Ang nasabing bilog ay nakapaligid sa isang may apat na gilid.

Kung paanong hindi lahat ng may apat na gilid ay maaaring i-circumscribe sa isang bilog, kaya hindi lahat ng may apat na gilid ay maaaring isulat sa isang bilog.

Ang isang matambok na may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog ay may katangian na ang magkasalungat na mga anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180°. Kaya, ibinigay ang isang may apat na gilid ABCD na may anggulo A kabaligtaran sa anggulo C at anggulo B kabaligtaran sa anggulo D, pagkatapos ay ∠A + ∠C = 180° at ∠B + ∠D = 180°.

Sa pangkalahatan, kung ang isang pares ng magkasalungat na anggulo ng isang quadrilateral ay nagdaragdag ng hanggang 180°, ang isa pang pares ay magdadagdag ng hanggang sa parehong halaga. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na para sa isang matambok na may apat na gilid ang kabuuan ng mga anggulo ay palaging 360°. Sa turn, ang katotohanang ito ay sumusunod mula sa katotohanan na para sa convex polygons, ang kabuuan ng mga anggulo ay tinutukoy ng formula na 180 ° * (n - 2), kung saan ang n ay ang bilang ng mga anggulo (o panig).

Maaari mong patunayan ang inscribed quadrilateral property gaya ng mga sumusunod. Hayaang nakalagay ang quadrilateral ABCD sa bilog O. Kinakailangang patunayan na ∠B + ∠D = 180°.

Ang anggulo B ay nakasulat sa isang bilog. Tulad ng alam mo, ang gayong anggulo ay katumbas ng kalahati ng arko kung saan ito nakasalalay. Sa kasong ito, ang anggulo B ay nakasalalay sa arc ADC, kaya ∠B = ½◡ADC. (Dahil ang arko ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng radii na bumubuo nito, maaari nating isulat na ∠B = ½∠AOC, na ang loob ay naglalaman ng punto D.)

Sa kabilang banda, ang anggulo D ng quadrangle ay nakasalalay sa arko ABC, iyon ay, ∠D = ½◡ABC.

Dahil ang mga gilid ng mga anggulo B at D ay nagsalubong sa bilog sa parehong mga punto (A at C), hinahati lamang nila ang bilog sa dalawang arko - ◡ADC at ◡ABC. Dahil ang kabuuang bilog ay 360°, pagkatapos ay ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Kaya, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nakuha:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Ipahayag ang kabuuan ng mga anggulo:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Kunin natin ang ½ sa bracket:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Palitan natin ang kabuuan ng mga arko ng kanilang numerical na halaga:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Nalaman namin na ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang inscribed quadrilateral ay 180°. Ito ang kailangang patunayan.

Ang katotohanan na ang isang naka-inscribe na quadrilateral ay may ganitong katangian (ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay 180°) ay hindi nangangahulugan na ang anumang quadrilateral na ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay 180° ay maaaring ma-inscribe sa isang bilog. Bagaman sa katunayan ito ay. Itong katotohanan tinawag tanda ng isang nakasulat na may apat na gilid at binabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang matambok na quadrilateral ay 180 °, kung gayon ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid nito (o nakasulat sa isang bilog).

Maaari mong patunayan ang pamantayan para sa isang naka-inscribe na quadrilateral sa pamamagitan ng kontradiksyon. Hayaang bigyan ang ABCD ng quadrilateral na ang magkasalungat na anggulo B at D ay nagdaragdag ng hanggang 180°. Sa kasong ito, ang anggulo D ay hindi namamalagi sa bilog. Pagkatapos ay kukuha kami sa linya na naglalaman ng segment na CD ng isang punto E tulad na ito ay namamalagi sa bilog. Makakakuha ka ng nakasulat na quadrilateral ABCE. Ang quadrilateral na ito ay may magkasalungat na anggulo B at E, na nangangahulugang nagdaragdag sila ng hanggang 180°. Ito ay sumusunod mula sa pag-aari ng isang inscribed quadrilateral.

Lumalabas na ∠B + ∠D = 180° at ∠B + ∠E = 180°. Gayunpaman, ang anggulo D ng quadrilateral ABCD na may kinalaman sa triangle AED ay panlabas, at samakatuwid mas anggulo E ng tatsulok na ito. Kaya, kami ay dumating sa isang kontradiksyon. Kaya kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang may apat na gilid ay 180°, kung gayon maaari itong palaging nakasulat sa isang bilog.