Kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula sa basic hanggang medyo solid.
Una, unawain natin ang kahulugan at pormula ng halaga. At pagkatapos ay magdedesisyon tayo. Para sa iyong sariling kasiyahan.) Ang kahulugan ng halaga ay kasing simple ng isang moo. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga termino nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, ang formula ay dumating sa pagsagip.
Ang formula para sa halaga ay simple:
Alamin natin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa formula. Ito ay lilinaw ng maraming bagay.
S n - ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Resulta ng karagdagan lahat mga miyembro, kasama ang una Sa pamamagitan ng huli. Ito ay mahalaga. Eksakto silang nagdadagdag Lahat magkakasunod na miyembro, nang hindi lumalaktaw o lumalaktaw. At, tiyak, simula sa una. Sa mga problema tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng mga termino mula sa ikalima hanggang ikadalawampu - direktang aplikasyon mabibigo ang mga formula.)
a 1 - una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.
isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng serye. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit kapag inilapat sa halaga, ito ay napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.
n - numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito tumutugma sa bilang ng mga idinagdag na termino.
Tukuyin natin ang konsepto huli miyembro isang n. Mapanlinlang na tanong: sinong miyembro ang magiging huli kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?)
Upang makasagot nang may kumpiyansa, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at... basahin nang mabuti ang gawain!)
Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, isang pangwakas, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung ang pag-unlad ay ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinibigay: isang serye ng mga numero, o isang formula para sa ika-n na termino.
Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad hanggang sa terminong may numero n. Sa totoo lang, ganito ang buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa isang gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo... Ngunit hindi bale, sa mga halimbawa sa ibaba ay ipinapakita namin ang mga lihim na ito.)
Mga halimbawa ng mga gawain sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Una sa lahat, nakakatulong na impormasyon:
Ang pangunahing kahirapan sa mga gawaing kinasasangkutan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic ay tamang kahulugan mga elemento ng formula.
Ini-encrypt ng mga manunulat ng gawain ang mismong mga elementong ito na may walang hangganang imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan lamang ang mga ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa nang detalyado. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa isang tunay na GIA.
1. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino nito.
Magaling. Madali.) Upang matukoy ang halaga gamit ang formula, ano ang kailangan nating malaman? Unang miyembro a 1, huling termino isang n, oo ang numero ng huling miyembro n.
Saan ko makukuha ang numero ng huling miyembro? n? Oo, doon, sa kondisyon! Sinasabi nito: hanapin ang kabuuan unang 10 miyembro. Well, anong numero ang isasama nito? huling, ikasampung miyembro?) Hindi ka maniniwala, ang kanyang numero ay ikasampu!) Samakatuwid, sa halip na isang n Papalitan namin sa formula isang 10, at sa halip n- sampu. Uulitin ko, ang bilang ng huling miyembro ay kasabay ng bilang ng mga miyembro.
Ito ay nananatiling upang matukoy a 1 At isang 10. Ito ay madaling kalkulahin gamit ang formula para sa ika-n na termino, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi mo alam kung paano gawin ito? Dumalo sa nakaraang aralin, kung wala ito ay walang paraan.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
isang 10=2·10 - 3.5 =16.5
S n = S 10.
Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ang natitira na lang ay palitan ang mga ito at bilangin:
Ayan yun. Sagot: 75.
Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:
2. Dahil sa pag-unlad ng aritmetika (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; a 1 =2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 termino nito.
Agad naming isinulat ang sum formula:
Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng anumang termino sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng pagpapalit:
a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
Ito ay nananatiling palitan ang lahat ng mga elemento sa formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:
Sagot: 423.
Sa pamamagitan ng paraan, kung sa sum formula sa halip ng isang n Pinapalitan lang namin ang formula para sa ika-n na termino at makuha ang:
Ipakita natin ang mga katulad at kumuha ng bagong formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika:
 |
Tulad ng nakikita mo, hindi ito kinakailangan dito nth term isang n. Sa ilang problema, malaki ang naitutulong ng formula na ito, oo... Maaalala mo ang formula na ito. Posible ba sa tamang sandali madali itong ipakita, tulad dito. Pagkatapos ng lahat, kailangan mong laging tandaan ang formula para sa kabuuan at ang formula para sa ika-n na termino.)
Ngayon ang gawain sa anyo ng isang maikling pag-encrypt):
3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na mga multiple ng tatlo.
Wow! Ni ang iyong unang miyembro, o ang iyong huling, o pag-unlad sa lahat... Paano mabuhay!?
Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic mula sa kondisyon. Alam natin kung ano ang dalawang-digit na numero. Binubuo ang mga ito ng dalawang numero.) Anong dalawang-digit na numero ang magiging una? 10, siguro.) A huling bagay dobleng digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng mga three-digit...
Multiples of three... Hm... Ito ang mga numero na nahahati ng tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati... 12... ay nahahati! Kaya, may umuusbong. Maaari ka nang magsulat ng isang serye ayon sa mga kondisyon ng problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? tiyak! Ang bawat termino ay naiiba mula sa naunang isa sa pamamagitan ng mahigpit na tatlo. Kung magdagdag ka ng 2 o 4 sa isang termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang bagong numero ay hindi na nahahati sa 3. Maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic: d = 3. Ito ay magiging kapaki-pakinabang!)
Kaya, maaari naming ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:
Ano ang magiging numero? n huling miyembro? Ang sinumang mag-aakalang 99 ay maling mali... Ang mga numero ay palaging magkakasunod, ngunit ang aming mga miyembro ay tumalon sa tatlo. Hindi sila magkatugma.
Mayroong dalawang solusyon dito. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong isulat ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga miyembro gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa mga nag-iisip. Kailangan mong tandaan ang pormula para sa ika-n na termino. Kung ilalapat natin ang formula sa ating problema, makikita natin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad. Yung. n = 30.
Tingnan natin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Tumingin kami at nagagalak.) Inalis namin mula sa pahayag ng problema ang lahat ng kailangan upang makalkula ang halaga:
a 1= 12.
isang 30= 99.
S n = S 30.
Ang natitira na lang ay elementarya na aritmetika. Pinapalitan namin ang mga numero sa formula at kinakalkula:
Sagot: 1665
Isa pang uri ng tanyag na palaisipan:
4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Hanapin ang kabuuan ng mga termino mula ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.
Tinitingnan namin ang formula para sa halaga at... nagkakagulo kami.) Ang formula, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, kinakalkula ang halaga. mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula noong ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.
Maaari mong, siyempre, isulat ang buong pag-unlad sa isang serye, at magdagdag ng mga termino mula 20 hanggang 34. Ngunit... ito ay katangahan at tumatagal ng mahabang panahon, tama?)
May mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating serye sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay magiging mula sa unang termino hanggang sa ikalabinsiyam. Ikalawang bahagi - mula dalawampu't tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang bahagi S 1-19, idagdag natin ito sa kabuuan ng mga tuntunin ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34. Ganito:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Mula dito makikita natin na hanapin ang kabuuan S 20-34 maaaring gawin sa pamamagitan ng simpleng pagbabawas
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Ang parehong mga halaga sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Magsimula na tayo?
Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa pahayag ng problema:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at unang 34 na termino, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na termino. Kinakalkula namin ang mga ito gamit ang formula para sa nth term, tulad ng sa problema 2:
isang 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
isang 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
Walang natira. Mula sa kabuuan ng 34 na termino, ibawas ang kabuuan ng 19 na termino:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
Sagot: 262.5
Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na trick sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin isang bagay na mukhang hindi na kailangan - S 1-19. At pagkatapos ay nagpasiya sila S 20-34, itinatapon mula sa buong resulta hindi kailangan. Ang ganitong uri ng “pagkukunwari sa iyong mga tainga” ay kadalasang nagliligtas sa iyo sa masasamang problema.)
Sa araling ito, tiningnan natin ang mga problema kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)
Kapag nilulutas ang anumang problema na kinasasangkutan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekomenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing pormula mula sa paksang ito.
Formula para sa ika-n na termino:
Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin at sa kung anong direksyon ang iisipin upang malutas ang problema. Tumutulong.
At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.
5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.
Cool?) Nakatago ang pahiwatig sa tala sa problema 4. Well, makakatulong ang problema 3.
6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon: a 1 = -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na termino nito.
Hindi karaniwan?) Ito ay isang paulit-ulit na formula. Maaari mong basahin ang tungkol dito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga ganitong problema ay madalas na matatagpuan sa State Academy of Sciences.
7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang aking paboritong tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Mamuhay nang maganda nang hindi itinatanggi ang iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at sa bawat kasunod na araw ay gumastos ng 50 rubles nang higit pa kaysa sa nauna! Hanggang sa maubos ang pera. Ilang araw ng kaligayahan mayroon si Vasya?
Mahirap ba?) Makakatulong ba? karagdagang formula mula sa gawain 2.
Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
O arithmetic ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan kurso sa paaralan algebra. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Anong uri ng pag-unlad ito?
Bago lumipat sa tanong (kung paano mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa sa kung ano ang pinag-uusapan natin.
Anumang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, kapag isinalin sa wikang matematika, ay nasa anyo:
Narito ang i ay ang serial number ng elemento ng row a i. Kaya, sa pag-alam lamang ng isang panimulang numero, madali mong maibabalik ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na progression difference.
Madaling maipakita na para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng nth elemento sa pagkakasunud-sunod, dapat mong idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.
Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula
Bago ibigay ang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simple espesyal na kaso. Ang pag-unlad ay ibinigay natural na mga numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga termino sa progression (10), posibleng lutasin ang problema nang direkta, iyon ay, pagsama-samahin ang lahat ng elemento sa pagkakasunud-sunod.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod na isa sa pamamagitan ng parehong halaga d = 1, pagkatapos ay pairwise summation ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta. Talaga:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento ng serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), makakarating ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.
Kung i-generalize natin ang mga argumentong ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang isama ang lahat ng mga elemento sa isang hilera; ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n , pati na rin ang kabuuang bilang n mga tuntunin.
Ito ay pinaniniwalaan na unang naisip ni Gauss ang pagkakapantay-pantay na ito nang siya ay naghahanap ng solusyon sa isang problemang ibinigay ng kanyang guro sa paaralan: isama ang unang 100 integer.
Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula
Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (ang mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga problema ay kinakailangan na magsama ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gagawin?
Ang pinakamadaling paraan upang sagutin ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa m-th hanggang sa n-th. Upang malutas ang problema, dapat mong katawanin ang ibinigay na segment mula m hanggang n ng progression bilang bago serye ng numero. Sa ganyan ika-m-ika na representasyon ang terminong a m ang magiging una, at ang isang n ay mabibilang na n-(m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, ang sumusunod na expression ay makukuha:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Halimbawa ng paggamit ng mga formula
Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula sa itaas.
Nasa ibaba ang isang numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga termino nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:
Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay katumbas ng 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na termino ng pag-unlad. Iyon pala:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Ang pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa mga dulo ng algebraic progression na isinasaalang-alang, pati na rin ang pag-alam kung anong mga numero sa serye ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa kabuuan na nakuha sa nakaraang talata. Ito ay lalabas:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: hanapin muna ang kabuuan ng unang 12 elemento gamit ang karaniwang formula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan.
Bago tayo magsimulang magdesisyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika, isaalang-alang natin kung ano ang pagkakasunod-sunod ng numero, dahil ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang set ng numero, na ang bawat elemento ay may sariling serial number. Ang mga elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng sequence. Ang serial number ng isang sequence element ay ipinahiwatig ng isang index:
Ang unang elemento ng pagkakasunud-sunod;
Ang ikalimang elemento ng sequence;
- ang "nth" na elemento ng sequence, i.e. elementong "nakatayo sa pila" sa numero n.
May kaugnayan sa pagitan ng value ng isang sequence element at ang sequence number nito. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang isang sequence bilang isang function na ang argumento ay ang ordinal na numero ng elemento ng sequence. Sa madaling salita, masasabi natin iyan ang sequence ay isang function ng natural na argumento:
Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring itakda sa tatlong paraan:
1 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunod-sunod gamit ang isang talahanayan. Sa kasong ito, itinakda lang namin ang halaga ng bawat miyembro ng sequence.
Halimbawa, nagpasya ang isang tao na kumuha ng personal na pamamahala ng oras, at upang magsimula sa, bilangin kung gaano karaming oras ang ginugugol niya sa VKontakte sa isang linggo. Sa pamamagitan ng pagtatala ng oras sa talahanayan, makakatanggap siya ng isang sequence na binubuo ng pitong elemento:
Ang unang linya ng talahanayan ay nagpapahiwatig ng bilang ng araw ng linggo, ang pangalawa - ang oras sa minuto. Nakikita namin iyon, iyon ay, noong Lunes May isang taong gumugol ng 125 minuto sa VKontakte, iyon ay, noong Huwebes - 248 minuto, at, iyon ay, sa Biyernes 15 lamang.
2 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunod-sunod gamit ang nth term formula.
Sa kasong ito, ang pag-asa ng halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod sa numero nito ay direktang ipinahayag sa anyo ng isang formula.
Halimbawa, kung , pagkatapos
Upang mahanap ang halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod na may isang ibinigay na numero, pinapalitan namin ang numero ng elemento sa formula ng ika-n na termino.
Ginagawa natin ang parehong bagay kung kailangan nating hanapin ang halaga ng isang function kung alam ang halaga ng argumento. Pinapalitan namin ang halaga ng argumento sa equation ng function:
Kung, halimbawa, 
, Iyon
Hayaan akong tandaan muli na sa isang pagkakasunud-sunod, hindi tulad ng isang arbitrary na pagpapaandar ng numero, ang argumento ay maaari lamang maging isang natural na numero.
3 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang formula na nagpapahayag ng pagtitiwala sa halaga ng pagkakasunud-sunod na numero ng miyembro n sa mga halaga ng mga nakaraang miyembro. Sa kasong ito, hindi sapat na malaman lamang natin ang bilang ng miyembro ng sequence upang mahanap ang halaga nito. Kailangan nating tukuyin ang unang miyembro o unang ilang miyembro ng sequence.
Halimbawa, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod 
, 
Mahahanap natin ang mga halaga ng mga miyembro ng sequence sa pagkakasunod-sunod, simula sa pangatlo:
Iyon ay, sa bawat oras, upang mahanap ang halaga ng ika-n na termino ng pagkakasunud-sunod, bumalik tayo sa naunang dalawa. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy ng pagkakasunod-sunod ay tinatawag paulit-ulit, mula sa salitang Latin recurro- bumalik.
Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng arithmetic. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero.
Arithmetic progression ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero.
Tinatawag ang numero pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika. Ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic ay maaaring positibo, negatibo, o katumbas ng zero.
Kung title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} dumarami.
Halimbawa, 2; 5; 8; labing-isa;...
Kung , kung gayon ang bawat termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay bumababa.
Halimbawa, 2; -1; -4; -7;...
Kung , kung gayon ang lahat ng mga tuntunin ng pag-unlad ay katumbas ng parehong numero, at ang pag-unlad ay nakatigil.
Halimbawa, 2;2;2;2;...
Ang pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika:
Tingnan natin ang pagguhit.
Nakikita natin yan
, at sa parehong oras
Pagdaragdag ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang:
.
Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa 2:
Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang magkalapit:
Bukod dito, mula noong
, at sa parehong oras
, Iyon
, at samakatuwid
Ang bawat termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, na nagsisimula sa title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Formula ng ika-kataga.
Nakikita namin na ang mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika ay nakakatugon sa mga sumusunod na ugnayan:
at sa wakas
Nakakuha kami formula ng nth term.
MAHALAGA! Ang sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng at. Alam ang unang termino at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap mo ang alinman sa mga termino nito.
Ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic, ang mga kabuuan ng mga terminong katumbas ng layo mula sa mga sukdulan ay katumbas ng bawat isa:
Isaalang-alang ang isang arithmetic progression na may n termino. Hayaan ang kabuuan ng n mga tuntunin ng pag-unlad na ito ay katumbas ng .
Ayusin muna natin ang mga tuntunin ng pag-unlad sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod:
Idagdag natin nang pares:
Ang kabuuan sa bawat bracket ay , ang bilang ng mga pares ay n.
Nakukuha namin:
Kaya, ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan gamit ang mga formula:
Isaalang-alang natin paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika.
1 . Ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng formula ng ika-n na termino: . Patunayan na ang sequence na ito ay isang arithmetic progression.
Patunayan natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing termino ng sequence ay katumbas ng parehong numero.
Nalaman namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang katabing miyembro ng sequence ay hindi nakasalalay sa kanilang bilang at ito ay pare-pareho. Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ang pagkakasunud-sunod na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika.
2 . Nabigyan ng aritmetika na pag-unlad -31; -27;...
a) Maghanap ng 31 termino ng progression.
b) Tukuyin kung ang bilang 41 ay kasama sa pag-unlad na ito.
A) Nakikita natin iyan;
Isulat natin ang formula para sa ika-n na termino para sa ating pag-unlad.
Sa pangkalahatan 
Sa kaso natin 
, Kaya naman 
Arithmetic progression pangalanan ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero (mga tuntunin ng isang pag-unlad)
Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.
Kaya, sa pamamagitan ng pagtukoy sa hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito gamit ang formula
Mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika
1) Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na mga miyembro ng progression
Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng katabing odd (even) terms ng isang progression ay katumbas ng term na nasa pagitan ng mga ito, kung gayon ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Gamit ang pahayag na ito, napakadaling suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.
Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod
Madali itong i-verify kung isusulat mo ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign
Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa mga problema.
2) Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula gamit ang formula
Alalahaning mabuti ang pormula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika; ito ay kailangang-kailangan sa mga kalkulasyon at kadalasang matatagpuan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.
3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit bahagi ng pagkakasunud-sunod simula sa kth term nito, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo
4) Ang praktikal na interes ay ang paghahanap ng kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula
Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at nagpapatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.
Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4;7;...
Solusyon:
Ayon sa kondisyon na mayroon tayo
Tukuyin natin ang hakbang ng pag-unlad
Gamit ang isang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad
Halimbawa 2. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.
Solusyon:
Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula
Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad
Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic
Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung termino ng pag-unlad
Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang dami.
Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng denominator at isa sa mga termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression, ang kabuuan ng 50 termino nito simula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.
Solusyon:
Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression
at hanapin ang una
Batay sa una, makikita natin ang ika-50 termino ng pag-unlad
Paghahanap ng kabuuan ng bahagi ng pag-unlad
at ang kabuuan ng unang 100
Ang halaga ng pag-unlad ay 250.
Halimbawa 4.
Hanapin ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic kung:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Solusyon:
Isulat natin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito
Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga termino sa kabuuan
Nagsasagawa kami ng mga pagpapasimple
at lutasin ang quadratic equation
Sa dalawang halaga na natagpuan, ang numero 8 lamang ang umaangkop sa mga kondisyon ng problema. Kaya, ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad ay 111.
Halimbawa 5.
Lutasin ang equation
1+3+5+...+x=307.
Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso
Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(8\); \(labing-isa\); Ang \(14\)... ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat kasunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):
Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.
Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ang progression difference \(d\) ay katumbas ng minus anim.
At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas maliit kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.
Arithmetic progression notation
Ang pag-unlad ay ipinahiwatig ng isang maliit na titik ng Latin.
Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag mga miyembro(o mga elemento).
Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang isang pag-unlad ng aritmetika, ngunit may isang numerical index na katumbas ng bilang ng elemento sa pagkakasunud-sunod.
Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.
Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika
Sa prinsipyo, ang impormasyong ipinakita sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika (kabilang ang mga inaalok sa OGE).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:
Sagot: \(b_5=23\)
Halimbawa (OGE).
Ang unang tatlong termino ng isang pag-usad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:
|
Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba sa kapitbahay nito sa parehong numero. Alamin natin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa (unang negatibo) elemento na kailangan natin. |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(-3\)
Halimbawa (OGE).
Dahil sa ilang magkakasunod na elemento ng isang pag-unlad ng aritmetika: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elementong itinalaga ng titik \(x\).
Solusyon:
|
|
Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba ng pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
At ngayon madali na nating mahahanap ang ating hinahanap: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(7,5\).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:
|
Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan; binigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kalkulahin ang mga halaga nang paisa-isa, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Nahanap na ang kinakailangang halaga. |
Sagot: \(S_6=9\).
Halimbawa (OGE).
Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:
Sagot: \(d=7\).
Mahahalagang formula para sa pag-unlad ng aritmetika
Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat kasunod na elemento sa chain na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).
Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kapag ang pagpapasya sa "head-on" ay napaka-inconvenient. Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Dapat ba tayong magdagdag ng apat na \(385\) beses? O isipin na sa penultimate na halimbawa kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Mapapagod ka magbilang...
Samakatuwid, sa ganitong mga kaso hindi nila nilulutas ang mga bagay na "head-on", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) mga unang termino.
Formula ng \(n\)th term: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang termino ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
\(a_n\) – termino ng progression na may numerong \(n\).
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap kahit na ang tatlong-daan o ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.
Halimbawa.
Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:
Sagot: \(b_(246)=1850\).
Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan
\(a_n\) – ang huling summed term;
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang termino, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
Well, ngayon ay madali nating kalkulahin ang kinakailangang halaga. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(25)=1090\).
Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:
Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan
\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan ng \(n\) unang elemento;
\(a_1\) – ang unang summed term;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) – bilang ng mga elemento sa kabuuan.
Halimbawa.
Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Solusyon:
Sagot: \(S_(33)=-231\).
Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika
Ngayon nasa iyo na ang lahat kinakailangang impormasyon para sa paglutas ng halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan hindi mo lamang kailangan mag-apply ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang ☺)
Halimbawa (OGE).
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Nagsisimula kaming lutasin ang parehong bagay: una naming mahanap ang \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ngayon gusto kong palitan ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan... at dito lumalabas ang isang maliit na nuance - hindi natin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi namin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Ihihinto namin ang pagdaragdag ng mga elemento kapag naabot namin ang unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. Paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang pag-unlad ng arithmetic: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
Kailangan natin ang \(a_n\) upang maging mas malaki sa zero. Alamin natin kung anong \(n\) ito ang mangyayari. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
kalkulahin natin... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay mayroong \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
Kaya kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(65)=-630.5\).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang sa \(42\) element inclusive.
Solusyon:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Sa problemang ito kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Para sa ganoong kaso wala kaming formula. Paano magdesisyon? |
|
|
Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, ito ay ang apat na idinagdag namin sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-y elemento. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\) elemento. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Sagot: \(S=1683\).
Para sa pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.