Πώς να υπολογίσετε διακριτικά παραδείγματα. Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ας δουλέψουμε με τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτές είναι πολύ δημοφιλείς εξισώσεις! Στο πολύ γενική εικόναη τετραγωνική εξίσωση μοιάζει με αυτό:

Για παράδειγμα:

Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις...

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις;Εάν έχετε μια τετραγωνική εξίσωση μπροστά σας σε αυτή τη μορφή, τότε όλα είναι απλά. Θυμηθείτε τη μαγική λέξη διακριτική . Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση. Έτσι, ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το πρόσημο της ρίζας είναι αυτή διακριτική. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γΑυτός είναι ο τύπος που υπολογίζουμε. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, για την πρώτη εξίσωση ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Το γράφουμε λοιπόν:

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:

Αυτό είναι όλο.

Ποιες περιπτώσεις είναι δυνατές όταν χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο; Υπάρχουν μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Διακριτικός ίσο με μηδέν. Τότε έχετε μία λύση. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αυτό όμως παίζει ρόλο στις ανισότητες, όπου θα μελετήσουμε το θέμα πιο αναλυτικά.

3. Η διάκριση είναι αρνητική. Από αρνητικό αριθμό Τετραγωνική ρίζαδεν εξάγεται. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Κάνε αυτό!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ a = -6; b = -5; c = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε τις απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν περίπου 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα μειωθεί απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να γράψεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο έτσι φαίνεται. Δοκίμασε το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Τι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να γράψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Θα αποδειχθεί σωστά από μόνο του. Ειδικά αν χρησιμοποιείτε πρακτικές τεχνικές που περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα μπορεί να λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμηθήκαμε. Ή έμαθαν, που είναι επίσης καλό. Ξέρεις πώς να προσδιορίζεις σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως; προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Το κατάλαβες αυτό λέξη-κλειδίΕδώ - προσεχτικά;

Ωστόσο, οι τετραγωνικές εξισώσεις συχνά φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις . Μπορούν επίσης να επιλυθούν μέσω ενός διακριτικού. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. α, β και γ.

Το έχεις καταλάβει; Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ΕΝΑ ντο? Δεν είναι καθόλου εκεί! Λοιπόν ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο ντο,και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο και το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώ Με, ΕΝΑ σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία διάκριση. Ας εξετάσουμε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο ισούται με μηδέν αν και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες ισούται με μηδέν! Δεν με πιστεύεις; Εντάξει, τότε καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν!
Δεν δουλεύει; Αυτό είναι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x = 0, ή x = 4

Ολα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο είναι κατάλληλα. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τη χρήση ενός διαχωριστή.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:

Επίσης δύο ρίζες . x = +3 και x = -3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε τοποθετώντας το Χ εκτός αγκύλων, είτε απλώς μετακινώντας τον αριθμό προς τα δεξιά και στη συνέχεια εξάγοντας τη ρίζα.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις τεχνικές. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του Χ, η οποία είναι κάπως ακατανόητη, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες...

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Τα ίδια που οφείλονται στην απροσεξία... Για τα οποία αργότερα γίνεται επώδυνο και προσβλητικό...

Πρώτο ραντεβού. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό;
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Κατασκευάστε σωστά το παράδειγμα. Πρώτα, X τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ο ελεύθερος όρος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιάζεστε! Ένα μείον μπροστά από ένα Χ στο τετράγωνο μπορεί πραγματικά να σας αναστατώσει. Ξεχνιέται εύκολα... Ξεφορτωθείτε το μείον. Πως; Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε την επίλυση του παραδείγματος. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει τώρα να έχετε τις ρίζες 2 και -1.

Υποδοχή δεύτερη.Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένα ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν τα καταφέρουν, σημαίνει ότι κάπου έχουν ήδη μπλέξει. Ψάξτε για το σφάλμα. Εάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι σιΜε απεναντι απο οικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση επί κοινό παρονομαστήόπως περιγράφεται στο προηγούμενη ενότητα. Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα να απλοποιήσω το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα. Σας παρακαλούμε! Να τος.

Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!

Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το τετράγωνο του Χ, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Κλασματικές εξισώσεις. ODZ.

Συνεχίζουμε να κυριαρχούμε στις εξισώσεις. Γνωρίζουμε ήδη πώς να δουλεύουμε με γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις. Η τελευταία άποψη αριστερά - κλασματικές εξισώσεις. Ή αποκαλούνται επίσης πολύ πιο σεβαστά - κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις. Είναι το ίδιο.

Κλασματικές εξισώσεις.

Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές οι εξισώσεις περιέχουν απαραίτητα κλάσματα. Όχι όμως μόνο κλάσματα, αλλά κλάσματα που έχουν άγνωστο σε παρονομαστή. Τουλάχιστον σε ένα. Για παράδειγμα:

Να σας υπενθυμίσω ότι αν οι παρονομαστές είναι μόνο αριθμοί, αυτές είναι γραμμικές εξισώσεις.

Πώς να αποφασίσετε κλασματικές εξισώσεις? Πρώτα απ' όλα, ξεφορτωθείτε τα κλάσματα! Μετά από αυτό, η εξίσωση τις περισσότερες φορές μετατρέπεται σε γραμμική ή τετραγωνική. Και μετά ξέρουμε τι να κάνουμε... Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να μετατραπεί σε ταυτότητα, όπως 5=5 ή σε λάθος έκφραση, όπως 7=2. Αλλά αυτό συμβαίνει σπάνια. Θα το αναφέρω παρακάτω.

Πώς όμως να απαλλαγείτε από τα κλάσματα!; Πολύ απλό. Εφαρμόζοντας τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς.

Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με την ίδια παράσταση. Για να μειωθούν όλοι οι παρονομαστές! Όλα θα γίνουν αμέσως πιο εύκολα. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω με ένα παράδειγμα. Ας πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:

Πώς διδαχτήκατε στο δημοτικό; Μεταφέρουμε τα πάντα στη μία πλευρά, τα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή κ.λπ. Ξέχνα πώς φρικτό όνειρο! Αυτό πρέπει να κάνετε όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε κλάσματα. Ή δουλεύεις με ανισότητες. Και στις εξισώσεις, πολλαπλασιάζουμε αμέσως και τις δύο πλευρές με μια έκφραση που θα μας δώσει την ευκαιρία να μειώσουμε όλους τους παρονομαστές (δηλαδή, στην ουσία, με έναν κοινό παρονομαστή). Και ποια είναι αυτή η έκφραση;

Στην αριστερή πλευρά, η μείωση του παρονομαστή απαιτεί πολλαπλασιασμό με x+2. Και στα δεξιά, απαιτείται πολλαπλασιασμός με 2 Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 2 (x+2). Πολλαπλασιάζω:

Αυτός είναι ένας κοινός πολλαπλασιασμός των κλασμάτων, αλλά θα τον περιγράψω λεπτομερώς:

Παρακαλώ σημειώστε ότι δεν ανοίγω ακόμα την αγκύλη (x + 2)! Το γράφω λοιπόν στο σύνολό του:

Στην αριστερή πλευρά συστέλλεται πλήρως (x+2), και στα δεξιά 2. Αυτό που απαιτήθηκε! Μετά τη μείωση παίρνουμε γραμμικόςη εξίσωση:

Και όλοι μπορούν να λύσουν αυτήν την εξίσωση! x = 2.

Ας λύσουμε ένα άλλο παράδειγμα, λίγο πιο περίπλοκο:

Αν θυμηθούμε ότι 3 = 3/1, και 2x = 2x/ 1, μπορούμε να γράψουμε:

Και πάλι απαλλαγούμε από αυτό που δεν μας αρέσει πραγματικά - τα κλάσματα.

Βλέπουμε ότι για να μειώσουμε τον παρονομαστή με το Χ, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με (x – 2). Και μερικά δεν είναι εμπόδιο για εμάς. Λοιπόν, ας πολλαπλασιάσουμε. Ολααριστερή πλευρά και όλασωστη πλευρα:

Πάλι παρένθεση (x – 2)Δεν αποκαλύπτω. Δουλεύω με την αγκύλη στο σύνολό της σαν να ήταν ένας αριθμός! Αυτό πρέπει να γίνεται πάντα, διαφορετικά δεν θα μειωθεί τίποτα.

Με ένα αίσθημα βαθιάς ικανοποίησης μειώνουμε (x – 2)και παίρνουμε μια εξίσωση χωρίς κλάσματα, με χάρακα!

Τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες:

Φέρνουμε παρόμοια, μετακινούμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και παίρνουμε:

Κλασική τετραγωνική εξίσωση. Αλλά το μείον μπροστά δεν είναι καλό. Μπορείτε πάντα να το ξεφορτωθείτε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με -1. Αλλά αν κοιτάξετε προσεκτικά το παράδειγμα, θα παρατηρήσετε ότι είναι καλύτερο να διαιρέσετε αυτή την εξίσωση με -2! Με μια πτώση, το μείον θα εξαφανιστεί και οι πιθανότητες θα γίνουν πιο ελκυστικές! Διαιρέστε με -2. Στην αριστερή πλευρά - όρος με όρο και στα δεξιά - απλά διαιρέστε το μηδέν με -2, μηδέν και παίρνουμε:

Επιλύουμε μέσω της διάκρισης και ελέγχουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Παίρνουμε x = 1 και x = 3. Δύο ρίζες.

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση η εξίσωση μετά τον μετασχηματισμό έγινε γραμμική, αλλά εδώ γίνεται τετραγωνική. Συμβαίνει ότι αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, όλα τα Χ μειώνονται. Κάτι παραμένει, όπως 5=5. Αυτό σημαίνει ότι Το x μπορεί να είναι οτιδήποτε. Ό,τι κι αν είναι, θα μειώνεται. Και αποδεικνύεται καθαρή αλήθεια, 5=5. Αλλά, αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, μπορεί να αποδειχθεί εντελώς αναληθής, όπως 2=7. Και αυτό σημαίνει ότι χωρίς λύσεις! Οποιοδήποτε Χ αποδεικνύεται αναληθές.

Συνειδητοποίησα κύριος τρόποςλύσεις κλασματικές εξισώσεις ? Είναι απλό και λογικό. Αλλάζουμε την αρχική έκφραση έτσι ώστε να εξαφανίζονται όλα όσα δεν μας αρέσουν. Ή παρεμβαίνει. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηαυτά είναι κλάσματα. Το ίδιο θα κάνουμε με όλα τα είδη σύνθετα παραδείγματαμε λογάριθμους, ημίτονο και άλλες φρικαλεότητες. Εμείς ΠάνταΑς τα ξεφορτωθούμε όλα αυτά.

Ωστόσο, πρέπει να αλλάξουμε την αρχική έκφραση προς την κατεύθυνση που χρειαζόμαστε σύμφωνα με τους κανόνες, ναι... Η μαεστρία του οποίου είναι η προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Άρα το κατακτάμε.

Τώρα θα μάθουμε πώς να παρακάμψουμε ένα από αυτά κύριες ενέδρες στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους! Αλλά πρώτα, ας δούμε αν πέσεις σε αυτό ή όχι;

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα:

Το θέμα είναι ήδη γνωστό, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές (x – 2), παίρνουμε:

Σας θυμίζω, με παρένθεση (x – 2)Δουλεύουμε σαν με μια, ολοκληρωμένη έκφραση!

Εδώ δεν έγραψα πια ένα στους παρονομαστές, είναι αναξιοπρεπές... Και δεν τράβηξα αγκύλες στους παρονομαστές, εκτός από x – 2δεν υπάρχει τίποτα, δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε. Ας συντομεύσουμε:

Ανοίξτε τις παρενθέσεις, μετακινήστε τα όλα προς τα αριστερά και δώστε παρόμοιες:

Λύνουμε, ελέγχουμε, παίρνουμε δύο ρίζες. x = 2Και x = 3. Εξαιρετική.

Ας υποθέσουμε ότι η εργασία λέει να γράψετε τη ρίζα ή το άθροισμά τους, εάν υπάρχουν περισσότερες από μία ρίζες. Τι θα γράψουμε;

Εάν αποφασίσετε ότι η απάντηση είναι 5, εσείς έπεσαν σε ενέδρα. Και η εργασία δεν θα πιστωθεί σε εσάς. Μάταια δούλεψαν... Η σωστή απάντηση είναι 3.

Τι συμβαίνει;! Και προσπαθείς να κάνεις έναν έλεγχο. Αντικαταστήστε τις τιμές του αγνώστου σε πρωτότυποπαράδειγμα. Και αν σε x = 3όλα θα μεγαλώσουν μαζί υπέροχα, παίρνουμε 9 = 9, τότε πότε x = 2Θα διαιρεθεί με το μηδέν! Αυτό που δεν μπορείτε να κάνετε απολύτως. Που σημαίνει x = 2δεν είναι λύση και δεν λαμβάνεται υπόψη στην απάντηση. Αυτή είναι η λεγόμενη εξωγενής ή επιπλέον ρίζα. Απλώς το απορρίπτουμε. Η τελική ρίζα είναι μία. x = 3.

Πως και έτσι;! – Ακούω αγανακτισμένα επιφωνήματα. Μας έμαθαν ότι μια εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί με μια έκφραση! Αυτή είναι μια πανομοιότυπη μεταμόρφωση!

Ναι, πανομοιότυπο. Κάτω από μια μικρή συνθήκη - η έκφραση με την οποία πολλαπλασιάζουμε (διαιρούμε) - διαφορετικό από το μηδέν. ΕΝΑ x – 2στο x = 2ισούται με μηδέν! Άρα όλα είναι δίκαια.

Και τώρα τι μπορώ να κάνω;! Να μην πολλαπλασιάζονται με έκφραση; Πρέπει να ελέγχω κάθε φορά; Και πάλι είναι ασαφές!

Ήρεμα! Μην πανικοβάλλεστε!

Σε αυτή τη δύσκολη κατάσταση τρεις θα μας σώσουν μαγικά γράμματα. Ξέρω τι σκέφτεσαι. Σωστά! Αυτό ODZ . Τομέας Αποδεκτών Αξιών.

Ελπίζω ότι αφού μελετήσετε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να βρείτε τις ρίζες μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης.

Χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό, λύνονται μόνο πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικές εξισώσειςχρησιμοποιήστε άλλες μεθόδους που θα βρείτε στο άρθρο «Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων».

Ποιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρεις; Αυτό εξισώσεις της μορφής ax 2 + b x + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c δεν είναι ίσοι με μηδέν. Έτσι, για να λύσουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να υπολογίσουμε τη διάκριση D.

D = b 2 – 4ac.

Ανάλογα με την αξία του διακριτικού, θα γράψουμε την απάντηση.

Αν η διακρίνουσα ένας αρνητικός αριθμός(ΡΕ< 0),то корней нет.

Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε x = (-b)/2a. Όταν η διάκριση είναι θετικός αριθμός (D > 0),

τότε x 1 = (-b - √D)/2a, και x 2 = (-b + √D)/2a.

Για παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Απάντηση: 2.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Απάντηση: – 3,5; 1.

Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το διάγραμμα στο Σχήμα 1.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Απλά πρέπει να προσέξεις η εξίσωση γράφτηκε ως πολυώνυμο τυπική όψη

ΕΝΑ x 2 + bx + c,αλλιώς μπορεί να κάνεις λάθος. Για παράδειγμα, γράφοντας την εξίσωση x + 3 + 2x 2 = 0, μπορείτε κατά λάθος να αποφασίσετε ότι

a = 1, b = 3 και c = 2. Τότε

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 και τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό δεν είναι αλήθεια. (Βλ. λύση στο παράδειγμα 2 παραπάνω).

Επομένως, εάν η εξίσωση δεν γραφτεί ως πολυώνυμο της τυπικής φόρμας, πρώτα η πλήρης τετραγωνική εξίσωση πρέπει να γραφεί ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής (το μονώνυμο με τον μεγαλύτερο εκθέτη θα πρέπει να είναι πρώτο, δηλαδή ΕΝΑ x 2 , μετά με λιγότερα – bxκαι μετά ελεύθερο μέλος Με.

Όταν λύνετε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση και μια τετραγωνική εξίσωση με άρτιο συντελεστή στον δεύτερο όρο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλους τύπους. Ας εξοικειωθούμε με αυτούς τους τύπους. Εάν σε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση ο δεύτερος όρος έχει άρτιο συντελεστή (b = 2k), τότε μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 2.

Μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ανηγμένη αν ο συντελεστής στο x 2 ισούται με ένα και η εξίσωση παίρνει τη μορφή x 2 + px + q = 0. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να δοθεί για λύση ή μπορεί να ληφθεί διαιρώντας όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με τον συντελεστή ΕΝΑ, στέκεται στο x 2 .

Το σχήμα 3 δείχνει ένα διάγραμμα για την επίλυση του μειωμένου τετραγώνου
εξισώσεις. Ας δούμε ένα παράδειγμα εφαρμογής των τύπων που συζητούνται σε αυτό το άρθρο.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3

Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ο συντελεστής x σε αυτή την εξίσωση είναι ένας ζυγός αριθμός, δηλαδή b = 6 ή b = 2k, από όπου k = 3. Στη συνέχεια, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα του σχήματος D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3. Παρατηρώντας ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση διαιρούνται με το 3 και πραγματοποιώντας τη διαίρεση, παίρνουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + 2x – 2 = 0 Λύστε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους για το ανηγμένο τετραγωνικό
εξισώσεις σχήμα 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3.

Όπως μπορείτε να δείτε, όταν λύναμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους, λάβαμε την ίδια απάντηση. Επομένως, έχοντας κατακτήσει πλήρως τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο Σχήμα 1, θα είστε πάντα σε θέση να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη εξίσωση του τετραγώνου.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Το διακριτικό είναι ένας όρος πολλαπλών αξιών. Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για το διαχωριστικό ενός πολυωνύμου, το οποίο σας επιτρέπει να προσδιορίσετε εάν ένα δεδομένο πολυώνυμο έχει έγκυρες λύσεις. Ο τύπος για ένα τετραγωνικό πολυώνυμο εμφανίζεται στο σχολικό μάθημαάλγεβρα και ανάλυση. Πώς να βρείτε ένα διακριτικό; Τι χρειάζεται για να λυθεί η εξίσωση;

Ένα τετραγωνικό πολυώνυμο ή εξίσωση δεύτερου βαθμού ονομάζεται i * w ^ 2 + j * w + k ισούται με 0, όπου "i" και "j" είναι ο πρώτος και ο δεύτερος συντελεστής, αντίστοιχα, το "k" είναι μια σταθερά, που μερικές φορές ονομάζεται "απορριπτικός όρος" και "w" είναι μια μεταβλητή. Οι ρίζες του θα είναι όλες οι τιμές της μεταβλητής στην οποία μετατρέπεται σε ταυτότητα. Μια τέτοια ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως το γινόμενο των i, (w - w1) και (w - w2) ίσο με 0. Στην περίπτωση αυτή, είναι προφανές ότι αν ο συντελεστής «i» δεν γίνει μηδέν, τότε η συνάρτηση στο η αριστερή πλευρά θα γίνει μηδέν μόνο αν το x λάβει την τιμή w1 ή w2. Αυτές οι τιμές είναι το αποτέλεσμα του μηδενισμού του πολυωνύμου.

Για να βρεθεί η τιμή μιας μεταβλητής στην οποία εξαφανίζεται ένα τετραγωνικό πολυώνυμο, χρησιμοποιείται μια βοηθητική κατασκευή, η οποία βασίζεται στους συντελεστές της και ονομάζεται διάκριση. Αυτός ο σχεδιασμός υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο D ισούται με j * j - 4 * i * k. Γιατί χρησιμοποιείται;

Λέει αν υπάρχουν έγκυρα αποτελέσματα.
Βοηθά στον υπολογισμό τους.

Πώς δείχνει αυτή η τιμή την παρουσία πραγματικών ριζών:

Εάν είναι θετικό, τότε μπορούν να βρεθούν δύο ρίζες στην περιοχή των πραγματικών αριθμών.
Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε και οι δύο λύσεις είναι ίδιες. Μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μόνο μία λύση, και αυτή είναι από το πεδίο των πραγματικών αριθμών.
Αν η διακρίνουσα λιγότερο από το μηδέν, τότε το πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Επιλογές υπολογισμού για τη στερέωση υλικού

Για το άθροισμα (7 * w^2; 3 * w; 1) ίσο με 0Υπολογίζουμε το D χρησιμοποιώντας τον τύπο 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, παίρνουμε -19. Μια διακριτική τιμή κάτω από το μηδέν υποδηλώνει ότι δεν υπάρχουν αποτελέσματα στην πραγματική γραμμή.

Αν θεωρήσουμε 2 * w^2 - 3 * w + 1 ισοδύναμο με 0, τότε το D υπολογίζεται ως (-3) στο τετράγωνο μείον το γινόμενο των αριθμών (4; 2; 1) και ισούται με 9 - 8, δηλαδή 1. Μια θετική τιμή υποδεικνύει δύο αποτελέσματα στην πραγματική ευθεία.

Αν πάρουμε το άθροισμα (w ^ 2; 2 * w; 1) και το εξισώσουμε σε 0, το D υπολογίζεται ως δύο τετράγωνα μείον το γινόμενο των αριθμών (4; 1; 1). Αυτή η έκφραση θα απλοποιηθεί σε 4 - 4 και θα πάει στο μηδέν. Αποδεικνύεται ότι τα αποτελέσματα είναι τα ίδια. Εάν κοιτάξετε προσεκτικά αυτόν τον τύπο, θα καταστεί σαφές ότι πρόκειται για ένα "πλήρες τετράγωνο". Αυτό σημαίνει ότι η ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί με τη μορφή (w + 1) ^ 2 = 0. Έγινε προφανές ότι το αποτέλεσμα σε αυτό το πρόβλημα είναι "-1". Σε μια κατάσταση όπου το D είναι ίσο με 0, η αριστερή πλευρά της ισότητας μπορεί πάντα να συμπτύσσεται χρησιμοποιώντας τον τύπο "τετράγωνο του αθροίσματος".

Χρήση διαχωριστικού για τον υπολογισμό των ριζών

Αυτή η βοηθητική κατασκευή όχι μόνο δείχνει τον αριθμό των πραγματικών λύσεων, αλλά βοηθά και στην εύρεση τους. Γενικός τύποςΟ υπολογισμός για την εξίσωση δεύτερου βαθμού είναι:

w = (-j +/- d) / (2 * i), όπου d είναι η διάκριση στη δύναμη του 1/2.

Ας υποθέσουμε ότι η διάκριση είναι κάτω από το μηδέν, τότε το d είναι φανταστικό και τα αποτελέσματα είναι φανταστικά.

Το D είναι μηδέν, τότε το d ίσο με το D με την ισχύ του 1/2 είναι επίσης μηδέν. Λύση: -j / (2 * i). Θεωρώντας πάλι 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, βρίσκουμε αποτελέσματα ισοδύναμα με -2 / (2 * 1) = -1.

Ας υποθέσουμε ότι D > 0, τότε το d είναι πραγματικός αριθμός και η απάντηση εδώ χωρίζεται σε δύο μέρη: w1 = (-j + d) / (2 * i) και w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Και τα δύο αποτελέσματα θα είναι έγκυρα. Ας δούμε το 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Εδώ το διαχωριστικό και το d είναι ένα. Αποδεικνύεται ότι το w1 είναι ίσο με (3 + 1) διαιρούμενο με (2 * 2) ή 1 και το w2 είναι ίσο με (3 - 1) διαιρούμενο με 2 * 2 ή 1/2.

Το αποτέλεσμα της εξίσωσης μιας τετραγωνικής έκφρασης με το μηδέν υπολογίζεται σύμφωνα με τον αλγόριθμο:

Προσδιορισμός του αριθμού των έγκυρων λύσεων.
Υπολογισμός d = D^(1/2).
Εύρεση του αποτελέσματος σύμφωνα με τον τύπο (-j +/- d) / (2 * i).
Αντικατάσταση του ληφθέντος αποτελέσματος στην αρχική ισότητα για επαλήθευση.

Μερικές ειδικές περιπτώσεις

Ανάλογα με τους συντελεστές, η λύση μπορεί να είναι κάπως απλοποιημένη. Προφανώς, αν ο συντελεστής μιας μεταβλητής στη δεύτερη δύναμη είναι μηδέν, τότε προκύπτει γραμμική ισότητα. Όταν ο συντελεστής μιας μεταβλητής στην πρώτη ισχύ είναι μηδέν, τότε είναι δυνατές δύο επιλογές:

το πολυώνυμο επεκτείνεται σε διαφορά τετραγώνων όταν ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός.
για μια θετική σταθερά, δεν μπορούν να βρεθούν πραγματικές λύσεις.

Εάν ο ελεύθερος όρος είναι μηδέν, τότε οι ρίζες θα είναι (0; -j)

Υπάρχουν όμως και άλλες ειδικές περιπτώσεις που απλοποιούν την εξεύρεση λύσης.

Μειωμένη εξίσωση δεύτερου βαθμού

Το δεδομένο λέγεταιένα τέτοιο τετραγωνικό τριώνυμο όπου ο συντελεστής του κορυφαίου όρου είναι ένας. Για αυτήν την περίπτωση, ισχύει το θεώρημα του Vieta, το οποίο δηλώνει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον συντελεστή της μεταβλητής στην πρώτη δύναμη, πολλαπλασιαζόμενο με -1, και το γινόμενο αντιστοιχεί στη σταθερά "k".

Επομένως, το w1 + w2 ισούται με -j και το w1 * w2 ισούται με k εάν ο πρώτος συντελεστής είναι ένα. Για να επαληθεύσετε την ορθότητα αυτής της αναπαράστασης, μπορείτε να εκφράσετε w2 = -j - w1 από τον πρώτο τύπο και να τον αντικαταστήσετε στη δεύτερη ισότητα w1 * (-j - w1) = k. Το αποτέλεσμα είναι η αρχική ισότητα w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί, ότι i * w ^ 2 + j * w + k = 0 μπορεί να επιτευχθεί διαιρώντας με το "i". Το αποτέλεσμα θα είναι: w^2 + j1 * w + k1 = 0, όπου το j1 είναι ίσο με j/i και το k1 ίσο με k/i.

Ας δούμε τα ήδη λυμένα 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 με τα αποτελέσματα w1 = 1 και w2 = 1/2. Πρέπει να το διαιρέσουμε στο μισό, ως αποτέλεσμα w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Ας ελέγξουμε ότι οι συνθήκες του θεωρήματος ισχύουν για τα αποτελέσματα που βρέθηκαν: 1 + 1/2 = 3/ 2 και 1*1/2 = 1/2.

Ακόμη και δεύτερος παράγοντας

Αν ο συντελεστής μιας μεταβλητής στην πρώτη δύναμη (j) διαιρείται με το 2, τότε θα είναι δυνατό να απλοποιηθεί ο τύπος και να αναζητηθεί λύση μέσα από το ένα τέταρτο της διάκρισης D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. προκύπτει w = (-j +/- d/2) / i, όπου d/2 = D/4 στην ισχύ του 1/2.

Αν i = 1, και ο συντελεστής j είναι άρτιος, τότε η λύση θα είναι το γινόμενο του -1 και του μισού συντελεστή της μεταβλητής w, συν/πλην της ρίζας του τετραγώνου αυτού του μισού μείον τη σταθερά «k». Τύπος: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Ανώτερη διακριτική σειρά

Η διάκριση του τριωνύμου δεύτερου βαθμού που συζητήθηκε παραπάνω είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη ειδική περίπτωση. Στη γενική περίπτωση, η διάκριση ενός πολυωνύμου είναι πολλαπλασιασμένα τετράγωνα των διαφορών των ριζών αυτού του πολυωνύμου. Επομένως, μια διάκριση ίση με μηδέν υποδηλώνει την παρουσία τουλάχιστον δύο πολλαπλών λύσεων.

Θεωρήστε i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Ας υποθέσουμε ότι η διάκριση υπερβαίνει το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τρεις ρίζες στην περιοχή των πραγματικών αριθμών. Στο μηδέν υπάρχουν πολλές λύσεις. Αν ο Δ< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

βίντεο

Το βίντεό μας θα σας ενημερώσει λεπτομερώς για τον υπολογισμό της διάκρισης.

Δεν πήρατε απάντηση στην ερώτησή σας; Προτείνετε ένα θέμα στους συγγραφείς.

Χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό, λύνονται μόνο πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

D = b 2 – 4ac.

Ανάλογα με την αξία του διακριτικού, θα γράψουμε την απάντηση.

Εάν η διάκριση είναι αρνητικός αριθμός (Δ< 0),то корней нет.

Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε x = (-b)/2a. Όταν η διάκριση είναι θετικός αριθμός (D > 0),

τότε x 1 = (-b - √D)/2a, και x 2 = (-b + √D)/2a.

Για παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Απάντηση: 2.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Απάντηση: – 3,5; 1.

Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το διάγραμμα στο Σχήμα 1.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Απλά πρέπει να προσέξεις η εξίσωση γράφτηκε ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής

a = 1, b = 3 και c = 2. Τότε

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 και τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό δεν είναι αλήθεια. (Βλ. λύση στο παράδειγμα 2 παραπάνω).

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

ΣΕ σύγχρονη κοινωνίαΗ ικανότητα εκτέλεσης πράξεων με εξισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή στο τετράγωνο μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Απόδειξη αυτού μπορούν να βρεθούν στον σχεδιασμό των θαλάσσιων και ποταμόπλοια, αεροπλάνα και πυραύλους. Χρησιμοποιώντας τέτοιους υπολογισμούς, οι τροχιές της κίνησης των περισσότερων διαφορετικά σώματα, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε πεζοπορικές εκδρομές, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά τις αγορές και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.

Ας χωρίσουμε την έκφραση στους συντελεστές της

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η παράσταση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική.

Εάν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε οι υποδεικνυόμενες εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν αριστερή πλευράη έκφραση αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή, μια μεταβλητή στο τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (μια άγνωστη χωρίς τετράγωνο με τον συντελεστή της) και c (ένα ελεύθερο συστατικό, δηλαδή ένας συνηθισμένος αριθμός). Όλα αυτά στη δεξιά πλευρά είναι ίσα με 0. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο στερείται ενός από τα συστατικά στοιχεία του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι τιμές των μεταβλητών στις οποίες είναι εύκολο να βρεθούν, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.

Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε το x είναι βάζοντας τη μεταβλητή εκτός αγκύλων. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Στη συνέχεια, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα καταλήγει στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Παράδειγμα

x=0 ή 8x - 3 = 0

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.

Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό την επίδραση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο που λαμβάνεται ως η αρχή των συντεταγμένων. Εδώ ο μαθηματικός συμβολισμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε το χρόνο που περνά από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά θα μιλήσουμε για αυτό αργότερα.

Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης

Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσεις. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.

X 2 - 33x + 200 = 0

Αυτό το τετραγωνικό τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, ας μεταμορφώσουμε την έκφραση και ας την παραμετροποιήσουμε. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.

Παραδείγματα με επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.

Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x+1), (x-3) και (x+ 3).

Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -1; 3.

Τετραγωνική ρίζα

Άλλη περίπτωση ημιτελής εξίσωσηδεύτερης τάξης είναι μια έκφραση που αναπαρίσταται στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε δεξί μέροςείναι κατασκευασμένο από τα εξαρτήματα ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, ο ελεύθερος όρος μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και μετά εξάγεται η τετραγωνική ρίζα και από τις δύο πλευρές της ισότητας. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις μπορεί να είναι ισότητες που δεν περιέχουν όρο με καθόλου, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και παραλλαγές παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά είναι αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.

Υπολογισμός επιφάνειας γης

Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους καθορίστηκε σε μεγάλο βαθμό από την ανάγκη να προσδιοριστούν με τη μεγαλύτερη ακρίβεια οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων.

Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων που βασίζονται σε προβλήματα αυτού του είδους.

Ας πούμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο οικόπεδο, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας εάν γνωρίζετε ότι η έκτασή της είναι 612 m2.

Για να ξεκινήσουμε, ας δημιουργήσουμε πρώτα την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε με x το πλάτος της περιοχής, τότε το μήκος της θα είναι (x+16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι το εμβαδόν καθορίζεται από την παράσταση x(x+16), η οποία, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x(x+16) = 612.

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν ισούται καθόλου με 0, επομένως χρησιμοποιούνται διαφορετικές μέθοδοι εδώ.

Διακριτικός

Πρώτα από όλα, ας κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς, λοιπόν εμφάνισηαυτής της έκφρασης θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση σε μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c=-612.

Αυτό θα μπορούσε να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση διαχωριστή. Εδώ γίνονται οι απαραίτητοι υπολογισμοί σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική ποσότητα όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των απαιτούμενων ποσοτήτων σε μια εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει την ποσότητα πιθανές επιλογές. Αν D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους

Στην περίπτωσή μας, η διάκριση ισούται με: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό υποδηλώνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε k, η λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.

Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί οι διαστάσεις του οικοπέδου δεν μπορούν να μετρηθούν σε αρνητικές ποσότητες, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 m. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18 +16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18)=104(m2).

Παραδείγματα και εργασίες

Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερείς λύσεις αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή, θα πάρουμε τον τύπο της εξίσωσης που συνήθως ονομάζεται τυπική και θα την εξισώσουμε με το μηδέν.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Προσθέτοντας παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D = 49 - 48 = 1. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Ας τα υπολογίσουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο με 1.

2) Τώρα ας λύσουμε μυστήρια διαφορετικού είδους.

Ας μάθουμε αν υπάρχουν ρίζες εδώ x 2 - 4x + 5 = 1; Για να λάβουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση, ας μειώσουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη συνήθη μορφή και ας υπολογίσουμε τη διάκριση. Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση, γιατί αυτή δεν είναι καθόλου η ουσία του προβλήματος. Σε αυτή την περίπτωση, D = 16 - 20 = -4, που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Είναι βολικό να λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους και το διαχωριστικό, όταν η τετραγωνική ρίζα λαμβάνεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά της από εκείνον που έζησε τον 16ο αιώνα στη Γαλλία και έκανε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.

Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αθροίζονται αριθμητικά σε -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.

Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:

x 2 + 7x - 18 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Αφού ελέγξουμε, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι μεταβλητές τιμές ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.

Γράφημα παραβολής και εξίσωση

Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί νωρίτερα. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους λίγο πιο αναλυτικά. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια σχέση, σχεδιασμένη ως γράφημα, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα.

Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο αναδύονται οι κλάδοι της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b/2a. Και αντικαθιστώντας την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής, η οποία ανήκει στον άξονα τεταγμένων.

Η τομή των κλάδων μιας παραβολής με τον άξονα της τετμημένης

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τους δούμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το 0 λάβει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Από το γράφημα της παραβολής μπορείτε να προσδιορίσετε και τις ρίζες. Το αντίθετο ισχύει επίσης. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι ευκολότερο να κατασκευάσετε ένα γράφημα.

Από την ιστορία

Χρησιμοποιώντας εξισώσεις που περιείχαν μια τετράγωνη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια δεν έκαναν μόνο μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν τα εμβαδά των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγάλες ανακαλύψεις στους τομείς της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για την πραγματοποίηση αστρολογικών προβλέψεων.

Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την εποχή μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν ριζικά διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν εξοικειωμένοι με άλλες λεπτότητες που γνωρίζει κάθε σύγχρονος μαθητής.

Ίσως ακόμη νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία Baudhayama άρχισε να λύνει τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την εποχή του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφερόντουσαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις τα παλιά χρόνια. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στα έργα τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.