Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο από τον τύπο του εμβαδού. Ενδιαφέρουσες ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς

Οικοτροφείο ΦΓΚΟΥ "ΜΚΚ" του Υπουργείου Άμυνας της Ρωσικής Ομοσπονδίας "

"ΕΓΚΡΙΝΩ"

Επικεφαλής χωριστού κλάδου

(μαθηματικά, πληροφορική και ΤΠΕ)

Yu. V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« Το τραπεζοειδές και οι ιδιότητές του»

Μεθοδική ανάπτυξη

καθηγητής μαθηματικών

Shatalina Elena Dmitrievna

Θεωρείται και

στη συνεδρίαση του PMO με ημερομηνία _________________

Αριθμός πρωτοκόλλου ______

Μόσχα

2015

Πίνακας περιεχομένων

Εισαγωγή 2

Ορισμοί 3

Ιδιότητες ισοσκελές τραπέζιο 4

Εγγεγραμμένοι και περιγεγραμμένοι κύκλοι 7

Ιδιότητες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων τραπεζοειδών 8

Μέσες τιμές σε τραπεζοειδές 12

Ιδιότητες ενός αυθαίρετου τραπεζοειδούς 15

Σημάδια τραπεζοειδούς 18

Πρόσθετες κατασκευές σε τραπεζοειδές 20

Τραπεζοειδής περιοχή 25

10. Συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

Εφαρμογή

Αποδείξεις ορισμένων ιδιοτήτων ενός τραπεζοειδούς 27

Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία

Εργασίες με θέμα "Τραπέιο" αυξημένης πολυπλοκότητας

Δοκιμή επαλήθευσης με θέμα "Τραπεζοειδής"

Εισαγωγή

αυτή η δουλειάαφιερωμένο σε ένα γεωμετρικό σχήμα που ονομάζεται τραπεζοειδές. «Μια συνηθισμένη φιγούρα», λες, αλλά δεν είναι. Περιέχει πολλά μυστικά και μυστήρια, αν κοιτάξετε προσεκτικά και εμβαθύνετε στη μελέτη του, θα ανακαλύψετε πολλά νέα πράγματα στον κόσμο της γεωμετρίας, εργασίες που δεν έχουν λυθεί πριν θα σας φαίνονται εύκολες.

Trapeze - η ελληνική λέξη trapezion - "τραπέζι". Δάνεια. τον 18ο αιώνα από λατ. γλώσσα, όπου το τραπέζι είναι ελληνικό. Είναι τετράπλευρο με δύο αντίθετες πλευρές παράλληλες. Το τραπέζι βρίσκεται για πρώτη φορά από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Ποσειδώνιο (2ος αιώνας π.Χ.). Υπάρχουν πολλά στη ζωή μας διαφορετικές φιγούρες. Στην 7η τάξη γνωρίσαμε από κοντά το τρίγωνο, στην 8η δημοτικού, σχολικό πρόγραμμα σπουδώναρχίσαμε να μελετάμε το τραπεζοειδές. Αυτή η φιγούρα μας ενδιέφερε, και στο σχολικό βιβλίο απίθανα λίγα γράφονται γι' αυτό. Ως εκ τούτου, αποφασίσαμε να πάρουμε αυτό το θέμα στα χέρια μας και να βρούμε πληροφορίες για το τραπεζοειδές. τις ιδιότητές του.

Η εργασία εξετάζει τις ιδιότητες γνωστές στους μαθητές από την ύλη που καλύπτει το σχολικό βιβλίο, αλλά σε μεγαλύτερο βαθμό άγνωστες ιδιότητες που είναι απαραίτητες για την επίλυση απαιτητικές εργασίες. Πως περισσότερη ποσότηταεργασίες, τόσο περισσότερες ερωτήσεις προκύπτουν κατά την επίλυσή τους. Η απάντηση σε αυτές τις ερωτήσεις μερικές φορές μοιάζει με μυστήριο, μαθαίνοντας νέες ιδιότητες του τραπεζοειδούς, ασυνήθιστες μεθόδους επίλυσης προβλημάτων, καθώς και την τεχνική των πρόσθετων κατασκευών, σταδιακά ανακαλύπτουμε τα μυστικά του τραπεζοειδούς. Στο Διαδίκτυο, εάν σκοράρετε σε μια μηχανή αναζήτησης, υπάρχει πολύ λίγη βιβλιογραφία σχετικά με μεθόδους επίλυσης προβλημάτων σχετικά με το θέμα "τραπέζιο". Στη διαδικασία της εργασίας για το έργο, βρέθηκε ένας μεγάλος όγκος πληροφοριών που θα βοηθήσουν τους μαθητές σε μια βαθιά μελέτη της γεωμετρίας.

Τραπέζιο.

Ορισμοί

Τραπέζιο Ένα τετράπλευρο με μόνο ένα ζεύγος πλευρών παράλληλες (και το άλλο ζεύγος πλευρών όχι παράλληλες).

Οι παράλληλες πλευρές ενός τραπεζοειδούς ονομάζονταιλόγους. Οι άλλες δύο είναι οι πλευρές .
Αν οι πλευρές είναι ίσες, ονομάζεται τραπεζοειδέςισοσκελής.

Ένα τραπέζιο που έχει ορθές γωνίες στην πλευρά του ονομάζεταιορθογώνιο .

Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ονομάζεταιμέση γραμμή του τραπεζίου.

Η απόσταση μεταξύ των βάσεων ονομάζεται ύψος του τραπεζοειδούς.

2 . Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζοειδούς

3. Οι διαγώνιοι ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι ίσες.

1
0. Η προβολή της πλευρικής πλευράς ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς στη μεγαλύτερη βάση είναι ίση με τη μισή διαφορά των βάσεων και η προβολή της διαγώνιου ίση με το άθροισμα των βάσεων.

3. Εγγεγραμμένος και περιγεγραμμένος κύκλος

Εάν το άθροισμα των βάσεων ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών, τότε μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτό.

μι
Εάν το τραπεζοειδές είναι ισοσκελές, τότε μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω του.

4 . Ιδιότητες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων τραπεζοειδών

2. Εάν ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, τότε

το άθροισμα των μηκών των βάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών. Επομένως, το μήκος της πλευρικής πλευράς είναι ίσο με το μήκος της μέσης γραμμής του τραπεζοειδούς.

4 . Εάν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπεζοειδές, τότε οι πλευρές από το κέντρο του είναι ορατές υπό γωνία 90 °.

Ε αν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπεζοειδές, που αγγίζει μια από τις πλευρές, το χωρίζει σε τμήματα Μκαι ν , τότε η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με το γεωμετρικό μέσο αυτών των τμημάτων.

1

0 . Εάν ο κύκλος είναι χτισμένος στη μικρότερη βάση του τραπεζοειδούς ως διάμετρος, διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων και αγγίζει την κάτω βάση, τότε οι γωνίες του τραπεζοειδούς είναι 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Μέσες τιμές σε τραπεζοειδές

γεωμετρικό μέσο

Σε οποιοδήποτε τραπεζοειδές με βάσεις ένα Και σι Για ένα > σιτην ανισότητα :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ α

6. Ιδιότητες αυθαίρετου τραπεζοειδούς

1
. Τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου και τα μέσα των πλευρών βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

2. Οι διχοτόμοι των γωνιών που γειτνιάζουν με μία από τις πλευρές του τραπεζοειδούς είναι κάθετες και τέμνονται σε σημείο που βρίσκεται στη μέση του τραπεζοειδούς, δηλαδή όταν τέμνονται σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ίση με την πλευρά.

3. Τα τμήματα ευθείας παράλληλης προς τις βάσεις τραπεζοειδούς, που τέμνουν τις πλευρές και τις διαγώνιες του τραπεζοειδούς, που περικλείονται μεταξύ της πλευράς της διαγωνίου, είναι ίσα.

Το σημείο τομής της προέκτασης των πλευρών ενός αυθαίρετου τραπεζοειδούς, το σημείο τομής των διαγωνίων του και τα μεσαία σημεία των βάσεων βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή.

5. Όταν τέμνονται οι διαγώνιοι ενός αυθαίρετου τραπεζοειδούς, σχηματίζονται τέσσερα τρίγωνα με κοινή κορυφή και τα τρίγωνα που γειτνιάζουν με τις βάσεις είναι παρόμοια και τα τρίγωνα δίπλα στις πλευρές είναι ίσα (δηλαδή έχουν ίσα εμβαδά).

6. Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός αυθαίρετου τραπεζοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών, προστιθέμενο σε διπλό προϊόνλόγους.

ρε 1 2 + ρε 2 2 = ντο 2 + ρε 2 + 2 αβ

7
. Σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο, η διαφορά των τετραγώνων των διαγωνίων είναι ίση με τη διαφορά των τετραγώνων των βάσεων ρε 1 2 - ρε 2 2 = ένα 2 – σι 2

8 . Ευθείες γραμμές που τέμνουν τις πλευρές της γωνίας κόβουν ανάλογα τμήματα από τις πλευρές της γωνίας.

9. Ένα τμήμα παράλληλο προς τις βάσεις και που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων διαιρείται από το τελευταίο στο μισό.

7. Σημάδια τραπεζοειδούς

8 . Πρόσθετες κατασκευές σε τραπεζοειδές

1. Το τμήμα που συνδέει τα μεσαία σημεία των πλευρών είναι η μέση γραμμή του τραπεζίου.

2
. Ένα τμήμα παράλληλο σε μία από τις πλευρές ενός τραπεζοειδούς, το ένα άκρο του οποίου συμπίπτει με το μέσο της άλλης πλευράς, το άλλο ανήκει στη γραμμή που περιέχει τη βάση.

3
. Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις πλευρές ενός τραπεζοειδούς, μια ευθεία γραμμή τραβιέται μέσω της κορυφής της μικρότερης βάσης, παράλληλη προς την πλάγια πλευρά. Βγαίνει ένα τρίγωνο με πλευρές ίσες με τις πλευρές του τραπεζοειδούς και τη διαφορά των βάσεων. Σύμφωνα με τον τύπο του Heron, βρίσκεται το εμβαδόν του τριγώνου και, στη συνέχεια, το ύψος του τριγώνου, το οποίο είναι ίσο με το ύψος του τραπεζοειδούς.

4

. Το ύψος ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς, που προέρχεται από την κορυφή της μικρότερης βάσης, διαιρεί τη μεγαλύτερη βάση σε τμήματα, το ένα από τα οποία είναι ίσο με τη μισή διαφορά των βάσεων και το άλλο με το μισό άθροισμα των βάσεων του τραπεζοειδές, δηλαδή η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς.

5. Τα ύψη του τραπεζοειδούς, χαμηλωμένα από τις κορυφές της μιας βάσης, κόβονται σε ευθεία γραμμή που περιέχει την άλλη βάση, τμήμα ίσο με την πρώτη βάση.

6
. Ένα τμήμα παράλληλο σε μία από τις διαγώνιους ενός τραπεζοειδούς τραβιέται μέσα από μια κορυφή - ένα σημείο που είναι το άκρο μιας άλλης διαγωνίου. Το αποτέλεσμα είναι ένα τρίγωνο με δύο πλευρές ίσες με τις διαγώνιες του τραπεζοειδούς και το τρίτο - ίσο με το άθροισμαλόγους

7
.Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων είναι ίσο με τη μισή διαφορά των βάσεων του τραπεζοειδούς.

8. Οι διχοτόμοι των γωνιών που γειτνιάζουν με μία από τις πλευρές του τραπεζίου, είναι κάθετες και τέμνονται σε σημείο που βρίσκεται στη μέση του τραπεζοειδούς, δηλ. όταν τέμνονται σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ίση με το πλευρά.

9. Η διχοτόμος της γωνίας ενός τραπεζίου αποκόπτει ένα ισοσκελές τρίγωνο.

1
0. Οι διαγώνιοι ενός αυθαίρετου τραπεζοειδούς σχηματίζουν δύο παρόμοια τρίγωναμε συντελεστή ομοιότητας ίσο με τον λόγο των βάσεων, και δύο τρίγωνα ίσου εμβαδού δίπλα στις πλευρές.

1
1. Οι διαγώνιοι ενός αυθαίρετου τραπεζοειδούς στη τομή σχηματίζουν δύο όμοια τρίγωνα με συντελεστή ομοιότητας ίσο με τον λόγο των βάσεων και δύο ίσα τρίγωνα δίπλα στις πλευρές.

1
2. Η συνέχιση των πλευρών του τραπεζοειδούς στη διασταύρωση καθιστά δυνατή την εξέταση παρόμοιων τριγώνων.

13. Εάν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, τότε σχεδιάζεται το ύψος του τραπεζοειδούς - το γεωμετρικό μέσο γινόμενο των βάσεων του τραπεζοειδούς ή το διπλάσιο του γεωμετρικού μέσου γινόμενου των πλευρικών τμημάτων στα οποία χωρίζεται με το σημείο Επικοινωνία.

9. Εμβαδόν τραπεζοειδούς

1 . Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους μικρό = ½( ένα + σι) ηή

Π

Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο της μέσης γραμμής του τραπεζοειδούς και του ύψους μικρό = Μ η .

2. Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο μιας πλευράς και μιας κάθετης που τραβιέται από το μέσο της άλλης πλευράς στη γραμμή που περιέχει την πρώτη πλευρά.

Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς με εγγεγραμμένη ακτίνα κύκλου ίση με rκαι γωνία στη βάσηα :

10. Συμπέρασμα

ΠΟΥ, ΠΩΣ ΚΑΙ ΣΕ ΤΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Ο ΤΡΑΠΕΖΙΟΣ;

Trapeze στον αθλητισμό: Το Trapeze είναι σίγουρα μια προοδευτική εφεύρεση της ανθρωπότητας. Έχει σχεδιαστεί για να ανακουφίζει τα χέρια μας, να κάνει το περπάτημα σε windsurfer άνετο και εύκολο. Το περπάτημα σε μια σύντομη σανίδα δεν έχει καθόλου νόημα χωρίς τραπεζοειδές, καθώς χωρίς αυτό είναι αδύνατο να κατανεμηθεί σωστά η έλξη μεταξύ των βημάτων και των ποδιών και να επιταχυνθεί αποτελεσματικά.

Τράπεζο στη μόδα: Το τραπέζι στα ρούχα ήταν δημοφιλές στο Μεσαίωνα, στη ρωμανική εποχή του 9ου-11ου αιώνα. Εκείνη την εποχή, η βάση των γυναικείων ενδυμάτων ήταν οι χιτώνες μέχρι το πάτωμα, ο χιτώνας επεκτάθηκε πολύ προς το κάτω μέρος, γεγονός που δημιουργούσε το αποτέλεσμα ενός τραπεζοειδούς. Η αναβίωση της σιλουέτας έγινε το 1961 και έγινε ο ύμνος της νιότης, της ανεξαρτησίας και της πολυπλοκότητας. Τεράστιο ρόλο στη διάδοση του τραπεζιού έπαιξε το εύθραυστο μοντέλο Leslie Hornby, γνωστό ως Twiggy. Ένα κοντό κορίτσι με ανορεξική σωματική διάπλαση και τεράστια μάτια έγινε σύμβολο της εποχής και τα αγαπημένα της ρούχα ήταν κοντά φορέματατραπεζοειδές.

Τράπεζο στη φύση: Το τραπεζοειδές βρίσκεται και στη φύση. Ένα άτομο έχει τραπεζοειδή μυ, σε μερικούς ανθρώπους το πρόσωπο έχει το σχήμα τραπεζοειδούς. Τα πέταλα λουλουδιών, οι αστερισμοί και φυσικά το όρος Κιλιμάντζαρο έχουν επίσης σχήμα τραπεζοειδούς.

Τράπεζο στην καθημερινότητα: Το τραπέζι χρησιμοποιείται και στην καθημερινή ζωή, γιατί το σχήμα του είναι πρακτικό. Βρίσκεται σε είδη όπως: κουβάς εκσκαφέα, τραπέζι, βίδα, μηχανή.

Το τραπεζοειδές είναι σύμβολο της αρχιτεκτονικής των Ίνκας. Η κυρίαρχη στυλιστική μορφή στην αρχιτεκτονική των Ίνκας είναι απλή αλλά χαριτωμένη, το τραπέζιο. Όχι μόνο έχει λειτουργική αξία, αλλά και σοβαρά περιορισμένα έργα τέχνης. Τραπεζοειδή πόρτες, παράθυρα και κόγχες τοίχων βρίσκονται σε κτίρια όλων των τύπων, τόσο σε ναούς όσο και σε λιγότερο σημαντικά κτίρια, πιο χονδροειδείς, θα λέγαμε, κτίρια. Το τραπεζοειδές συναντάται και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική. Αυτή η μορφή κτιρίων είναι ασυνήθιστη, επομένως τέτοια κτίρια προσελκύουν πάντα τα βλέμματα των περαστικών.

Τραπέζιο στη μηχανική: Το τραπεζοειδές χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό εξαρτημάτων στο διαστημικές τεχνολογίεςκαι στην αεροπορία. Για παράδειγμα, μερικά ηλιακούς συλλέκτες διαστημικούς σταθμούςέχουν σχήμα τραπεζοειδούς γιατί έχουν μεγάλη περιοχή, πράγμα που σημαίνει ότι συσσωρεύουν περισσότερο ηλιακό en

Στον 21ο αιώνα, οι άνθρωποι σχεδόν δεν σκέφτονται τη σημασία των γεωμετρικών σχημάτων στη ζωή τους. Δεν τους ενδιαφέρει καθόλου το σχήμα του τραπεζιού, των ποτηριών ή του τηλεφώνου τους. Απλώς επιλέγουν τη μορφή που είναι πρακτική. Αλλά η χρήση του αντικειμένου, ο σκοπός του, το αποτέλεσμα της εργασίας μπορεί να εξαρτηθεί από τη μορφή αυτού ή εκείνου του πράγματος. Σήμερα σας παρουσιάσαμε ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρωπότητας - το τραπεζοειδές. Σου ανοίξαμε την πόρτα υπέροχος κόσμοςφιγούρες, σας είπαν τα μυστικά του τραπεζοειδούς και έδειξε ότι η γεωμετρία είναι γύρω μας.

Βιβλιογραφία

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Mathematics Theory and Problems. Βιβλίο 1 Φροντιστήριογια αιτούντες Μ.1998 Εκδοτικός Οίκος ΜΠΕΗ.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., Σχολή προπανεπιστημιακής κατάρτισης. Μαθηματικά. Διδακτικό βοήθημα 4 μέρος Μ2004

Gordin R.K. Planimetry. Βιβλίο εργασιών.

Ivanov A.A.,. Ivanov A.P., Μαθηματικά: Οδηγός προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση και εισαγωγή στα πανεπιστήμια-M: Εκδοτικός Οίκος MIPT, 2003-288. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό εκπαιδευτικό ίδρυμα επιπρόσθετη εκπαίδευσηπαιδιά "ZFTSh του Ινστιτούτου Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας ( κρατικό Πανεπιστήμιο)". Μαθηματικά. Planimetry. Εργασίες Νο 2 για τις 10 τάξεις (εκδ. έτος 2012-2013).

Pigolkina T.S., Planimetry (μέρος 1) Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια του Εισαχθέντος. Μ., εκδοτικός οίκος της Ρωσικής ανοιχτό Πανεπιστήμιο 1992.

Sharygin I.F. Επιλεγμένα προβλήματα στη γεωμετρία των ανταγωνιστικών εξετάσεων στα πανεπιστήμια (1987-1990) Περιοδικό Lvov Quantor 1991.

Εγκυκλοπαίδεια "Avanta plus", Mathematics M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Εφαρμογή

1. Απόδειξη ορισμένων ιδιοτήτων τραπεζοειδούς.

1. Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς παράλληλου προς τις βάσεις του τέμνει τις πλευρές του τραπεζίου σε σημείακ Και μεγάλο . Να αποδείξετε ότι αν οι βάσεις ενός τραπεζίου είναι ίσες ΕΝΑ Και σι , Οτι μήκος τμήματος KL ίσο με το γεωμετρικό μέσο των βάσεων του τραπεζοειδούς. Απόδειξη

ΑφήνωΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ - σημείο τομής των διαγωνίων,ΕΝΑ Δ = α, ήλιος = σι . Απευθείας KL παράλληλα με τη βάσηΕΝΑ Δ , ως εκ τούτου,κ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ║ ΕΝΑ Δ , τρίγωναΣΕ κ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Καικακό παρόμοια, επομένως

(1)

(2)

Αντικαθιστούμε το (2) σε (1) , παίρνουμε ΚΟ=

Ομοίως LO= Τότε κ μεγάλο = ΚΟ + LO =

ΣΕ για οποιοδήποτε τραπεζοειδές, τα μέσα των βάσεων, το σημείο τομής των διαγωνίων και το σημείο τομής της προέκτασης των πλευρών βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Απόδειξη: Αφήστε τις προεκτάσεις των πλευρών να τέμνονται σε ένα σημείοΠΡΟΣ ΤΗΝ. Μέσα από την τελείαΠΡΟΣ ΤΗΝ και σημείοΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ διαγώνιες διασταυρώσειςτραβήξτε μια ευθεία γραμμή ΚΟ.

Ας δείξουμε ότι αυτή η γραμμή χωρίζει τις βάσεις στη μέση.

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ορίζωVM = χ, MS = y, ΕΝΑ = Και, Η ΝΔ = v . Εχουμε:

∆ VKM ~ ∆AKN →

σι

ντο

∆ MK ντο ~ ∆NKD → →

Εργασία έργου" Ενδιαφέρουσες ιδιότητεςτραπέζιο » Ολοκληρώθηκε: μαθητές της 10ης τάξης Kudzaeva Elina Bazzaeva Diana MKOU γυμνάσιο γυμνασίου σελ. N.Batako Επικεφαλής: Gagieva A.O. 20/11/2015

Σκοπός της εργασίας: Εξετάστε τις ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς, που στο σχολικό μάθημαοι γεωμετρίες δεν μελετώνται, αλλά κατά την επίλυση γεωμετρικών ΧΡΗΣΗ ΕργασιώνΑπό το διευρυμένο τμήμα C 4, μερικές φορές είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και να μπορούμε να εφαρμόζουμε ακριβώς αυτές τις ιδιότητες.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς: Αν ένα τραπεζοειδές χωρίζεται με μια ευθεία παράλληλη προς τις βάσεις του, ίση με a και b, σε δύο ισομεγέθη τραπεζοειδή. Τότε το τμήμα αυτής της ευθείας, που περικλείεται μεταξύ των πλευρών, είναι ίσο με B k

Ιδιότητα τμήματος που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς. Το τμήμα παράλληλο προς τις βάσεις, που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων είναι: α σε γ

Ιδιότητες τραπεζοειδούς: Ένα τμήμα ευθείας γραμμής παράλληλο προς τις βάσεις του τραπεζοειδούς, που περικλείεται στο εσωτερικό του τραπεζοειδούς, χωρίζεται από τις διαγώνιες του σε τρία μέρη. Τότε τα τμήματα που γειτνιάζουν με τις πλευρές είναι ίσα μεταξύ τους. MP=OK R M O K

Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζοειδούς: Εάν ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπέζιο, τότε η ακτίνα του κύκλου είναι ο μέσος όρος ανάλογος των τμημάτων στα οποία το εφαπτομενικό σημείο χωρίζει την πλευρά. O S W A D. E O

Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζοειδούς: Αν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στη βάση του τραπεζοειδούς, τότε η διαγώνιος του είναι κάθετη στην πλευρά O A B C D

Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζοειδούς: Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ισοσκελές τραπεζοειδές εάν η πλευρική πλευρά είναι ίση με τη μέση γραμμή του. C V A D h

1) Εάν η συνθήκη του προβλήματος λέει ότι ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθες ιδιότητες: 1. Το άθροισμα των βάσεων του τραπεζοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών. 2. Οι αποστάσεις από την κορυφή του τραπεζοειδούς έως τα εφαπτομενικά σημεία του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίσες. 3. Το ύψος ενός ορθογώνιου τραπεζίου είναι ίσο με τη μικρότερη πλευρική του πλευρά και ίσο με τη διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου. 4. Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τραπεζοειδούς. 5. Εάν το εφαπτομενικό σημείο διαιρεί την πλευρική πλευρά σε τμήματα m και n, τότε η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με

Ιδιότητες ορθογώνιου τραπεζοειδούς στο οποίο εγγράφεται κύκλος: 1) Τετράγωνο που σχηματίζεται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, τα εφαπτόμενα σημεία και την κορυφή του τραπεζοειδούς είναι ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά είναι ίση με την ακτίνα. (Το ΑΜΟΕ και το ΒΚΟΜ είναι τετράγωνα με πλευρά r). 2) Εάν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο, τότε το εμβαδόν του τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο των βάσεων του: S=AD*BC

Απόδειξη: Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του: Σημειώστε CF=m , FD=n . Εφόσον οι αποστάσεις από τις κορυφές στα σημεία επαφής είναι ίσες, το ύψος του τραπεζοειδούς είναι ίσο με δύο ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου, και

I. Οι διχοτόμοι των γωνιών στην πλάγια πλευρά του τραπεζοειδούς τέμνονται υπό γωνία 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (ως εσωτερική μονόπλευρη με AD∥BC και τομή AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (γιατί οι διχοτόμοι διχοτομούν τις γωνίες). 3) Εφόσον το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180º, στο τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, άρα ∠AKB=180-90=90º. Συμπέρασμα: Οι διχοτόμοι των γωνιών στην πλάγια πλευρά του τραπεζοειδούς τέμνονται κάθετα. Αυτή η πρόταση χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων σε ένα τραπέζιο στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος.

Εγώ Ι Έστω ότι η διχοτόμος της γωνίας ABC τέμνει την πλευρά AD στο σημείο S. Τότε το τρίγωνο ABS είναι ισοσκελές με τη βάση BS. Επομένως, η διχοτόμος του AK είναι επίσης διάμεσος, δηλαδή το σημείο K είναι το μέσο του BS. Αν M και N είναι τα μέσα των πλευρών του τραπεζοειδούς, τότε το MN είναι η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς και το MN∥AD. Δεδομένου ότι τα M και K είναι τα μέσα των AB και BS, το MK είναι η μέση γραμμή του τριγώνου ABS και MK∥AS. Δεδομένου ότι μόνο μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί μέσα από το σημείο Μ και παράλληλη προς τη δεδομένη, το σημείο Κ βρίσκεται στη μέση του τραπεζοειδούς.

III. Το σημείο τομής των διχοτόμων οξειών γωνιών στη βάση του τραπεζοειδούς ανήκει σε άλλη βάση. Στην περίπτωση αυτή, τα τρίγωνα ABK και DCK είναι ισοσκελές τρίγωνα με βάσεις AK και DK, αντίστοιχα. Έτσι, BC=BK+KC=AB+CD. Συμπέρασμα: Αν οι διχοτόμοι των οξέων γωνιών ενός τραπεζίου τέμνονται σε σημείο που ανήκει στη μικρότερη βάση, τότε η μικρότερη βάση ισούται με το άθροισμα των πλευρών του τραπεζοειδούς. Σε ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, στην περίπτωση αυτή, η μικρότερη βάση είναι διπλάσια από το μέγεθος της πλευρικής πλευράς.

I V. Σημείο τομής διχοτόμων αμβλείες γωνίεςστη βάση του τραπεζοειδούς ανήκει σε άλλη βάση. Στην περίπτωση αυτή τα τρίγωνα ABF και DCF είναι ισοσκελή τρίγωνα με βάσεις BF και CF αντίστοιχα. Εξ ου και AD=AF+FD=AB+CD. Συμπέρασμα: Αν οι διχοτόμοι των αμβλειών γωνιών ενός τραπεζοειδούς τέμνονται σε σημείο που ανήκει στη μεγαλύτερη βάση, τότε η μεγαλύτερη βάση ισούται με το άθροισμα των πλευρών του τραπεζοειδούς. Ένα ισοσκελές τραπεζοειδές σε αυτή την περίπτωση έχει μεγαλύτερη βάση διπλάσια από την πλευρά.

Αν ένα ισοσκελές τραπεζοειδές με πλευρές α, β, γ, μπορεί να εγγραφεί το d και να περιγραφούν κύκλοι γύρω του, τότε η περιοχή του τραπεζοειδούς είναι ίση με

Ένα τραπεζοειδές είναι ένα γεωμετρικό σχήμα με τέσσερις γωνίες. Κατά την κατασκευή ενός τραπεζοειδούς, είναι σημαντικό να λάβετε υπόψη ότι δύο αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες, ενώ οι άλλες δύο, αντίθετα, δεν είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτή η λέξη ήρθε στη σύγχρονη εποχή από Αρχαία Ελλάδακαι ακουγόταν σαν «τραπέτζιον», που σήμαινε «τραπέζι», «τραπεζαρία».

Αυτό το άρθρο μιλά για τις ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς περιγεγραμμένου κύκλου. Θα εξετάσουμε επίσης τους τύπους και τα στοιχεία αυτού του σχήματος.

Στοιχεία, τύποι και σημάδια τραπεζοειδούς γεωμετρικού σχήματος

Οι παράλληλες πλευρές σε αυτό το σχήμα ονομάζονται βάσεις και αυτές που δεν είναι παράλληλες ονομάζονται πλευρές. Με την προϋπόθεση ότι οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, το τραπέζι θεωρείται ισοσκελές. Ένα τραπεζοειδές, οι πλευρές του οποίου βρίσκονται κάθετες στη βάση υπό γωνία 90 °, ονομάζεται ορθογώνιο τραπέζιο.

Αυτό το φαινομενικά απλό σχήμα έχει έναν σημαντικό αριθμό ιδιοτήτων που είναι εγγενείς σε αυτό, τονίζοντας τα χαρακτηριστικά του:

Εάν σχεδιάσετε μια μέση γραμμή κατά μήκος των πλευρών, τότε θα είναι παράλληλη με τις βάσεις. Αυτό το τμήμα θα είναι ίσο με το 1/2 της διαφοράς βάσης.
Κατά την κατασκευή διχοτόμου από οποιαδήποτε γωνία τραπεζίου, σχηματίζεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Από τις ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς που περιβάλλεται γύρω από έναν κύκλο, είναι γνωστό ότι το άθροισμα των παράλληλων πλευρών πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των βάσεων.
Κατά την κατασκευή διαγώνιων τμημάτων, όπου μία από τις πλευρές είναι η βάση του τραπεζοειδούς, τα τρίγωνα που προκύπτουν θα είναι παρόμοια.
Κατά την κατασκευή διαγώνιων τμημάτων, όπου μία από τις πλευρές είναι πλευρική, τα τρίγωνα που προκύπτουν θα έχουν ίσο εμβαδόν.
Εάν συνεχίσετε τις πλευρικές γραμμές και δημιουργήσετε ένα τμήμα από το κέντρο της βάσης, τότε η γωνία που σχηματίζεται θα είναι ίση με 90 °. Το τμήμα που συνδέει τις βάσεις θα είναι ίσο με το 1/2 της διαφοράς τους.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς περιγεγραμμένου σε κύκλο

Ο εγκλεισμός ενός κύκλου σε ένα τραπεζοειδές είναι δυνατός μόνο υπό μία προϋπόθεση. Αυτή η συνθήκηείναι ότι το άθροισμα των πλευρών πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των βάσεων. Για παράδειγμα, κατά την κατασκευή ενός τραπεζοειδούς AFDM, ισχύει AF + DM = FD + AM. Μόνο σε αυτή την περίπτωση, ένας κύκλος μπορεί να περικλείεται σε ένα τραπεζοειδές.

Λοιπόν, περισσότερα για τις ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς περιγεγραμμένου σε έναν κύκλο:

Εάν ένας κύκλος περικλείεται σε ένα τραπεζοειδές, τότε για να βρείτε το μήκος της γραμμής του που τέμνει το σχήμα στο μισό, πρέπει να βρείτε το 1/2 του αθροίσματος των μηκών των πλευρών.

Κατά την κατασκευή ενός τραπεζοειδούς περιγεγραμμένου γύρω από έναν κύκλο, η σχηματιζόμενη υποτείνουσα είναι πανομοιότυπη με την ακτίνα του κύκλου και το ύψος του τραπεζοειδούς είναι επίσης η διάμετρος του κύκλου.

Μια άλλη ιδιότητα ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς που περιβάλλεται γύρω από έναν κύκλο είναι ότι η πλευρική του πλευρά είναι αμέσως ορατή από το κέντρο του κύκλου υπό γωνία 90°.

Λίγα περισσότερα για τις ιδιότητες ενός τραπεζοειδούς κλεισμένου σε κύκλο

Μόνο ένα ισοσκελές τραπεζοειδές μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να πληρούνται οι συνθήκες υπό τις οποίες το κατασκευασμένο τραπεζοειδές AFDM θα πληροί τις ακόλουθες απαιτήσεις: AF + DM = FD + MA.

Το θεώρημα του Πτολεμαίου λέει ότι σε ένα τραπεζοειδές που περικλείεται σε κύκλο, το γινόμενο των διαγωνίων είναι πανομοιότυπο και ίσο με το άθροισμα του πολλαπλασιασμένου αντίθετες πλευρές. Αυτό σημαίνει ότι κατά την κατασκευή ενός κύκλου περιγεγραμμένου γύρω από το τραπεζοειδές AFDM, ισχύει: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Στις σχολικές εξετάσεις, αρκετά συχνά υπάρχουν προβλήματα που απαιτούν επίλυση προβλημάτων με τραπεζοειδές. Ενας μεγάλος αριθμός απόΤα θεωρήματα πρέπει να απομνημονεύονται, αλλά αν δεν μάθεις αμέσως, δεν έχει σημασία. Είναι καλύτερο να καταφεύγετε περιοδικά σε υποδείξεις στα σχολικά βιβλία, έτσι ώστε αυτή η γνώση από μόνη της, χωρίς μεγάλη δυσκολία, να χωράει στο μυαλό σας.

Σε αυτό το άρθρο, θα προσπαθήσουμε να αντικατοπτρίσουμε τις ιδιότητες του τραπεζοειδούς όσο το δυνατόν πληρέστερα. Ειδικότερα, θα μιλήσουμε για κοινά χαρακτηριστικάκαι ιδιότητες τραπεζοειδούς, καθώς και για τις ιδιότητες εγγεγραμμένου τραπεζοειδούς και περί κύκλου εγγεγραμμένου σε τραπεζοειδές. Θα θίξουμε επίσης τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς και ορθογώνιου τραπεζοειδούς.

Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας τις εξεταζόμενες ιδιότητες θα σας βοηθήσει να τακτοποιήσετε τα πράγματα στο μυαλό σας και να θυμάστε καλύτερα το υλικό.

Trapeze και all-all-all

Αρχικά, ας θυμηθούμε εν συντομία τι είναι ένα τραπεζοειδές και ποιες άλλες έννοιες συνδέονται με αυτό.

Έτσι, ένα τραπεζοειδές είναι ένα τετράπλευρο σχήμα, δύο από τις πλευρές του οποίου είναι παράλληλες μεταξύ τους (αυτές είναι οι βάσεις). Και δύο δεν είναι παράλληλες - αυτές είναι οι πλευρές.

Σε ένα τραπεζοειδές, το ύψος μπορεί να παραλειφθεί - κάθετο στις βάσεις. Η μεσαία γραμμή και οι διαγώνιοι σχεδιάζονται. Και επίσης από οποιαδήποτε γωνία του τραπεζοειδούς είναι δυνατό να σχεδιάσετε μια διχοτόμο.

Pro διάφορες ιδιότητεςπου σχετίζονται με όλα αυτά τα στοιχεία και τους συνδυασμούς τους, θα μιλήσουμε τώρα.

Ιδιότητες των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς

Για να γίνει πιο σαφές, κατά την ανάγνωση, σκιαγράφησε το τραπέζιο ACME σε ένα κομμάτι χαρτί και σχεδίασε διαγώνιες σε αυτό.

Αν βρείτε τα μεσαία σημεία καθεμιάς από τις διαγωνίους (ας τα ονομάσουμε αυτά τα σημεία X και T) και τα συνδέσετε, θα έχετε ένα τμήμα. Μία από τις ιδιότητες των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς είναι ότι το τμήμα XT βρίσκεται στη μέση γραμμή. Και το μήκος του μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τη διαφορά των βάσεων με δύο: XT \u003d (a - b) / 2.
Μπροστά μας είναι το ίδιο τραπεζοειδές ACME. Οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο Ο. Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα AOE και IOC που σχηματίζονται από τα τμήματα των διαγωνίων μαζί με τις βάσεις του τραπεζοειδούς. Αυτά τα τρίγωνα είναι παρόμοια. Ο συντελεστής ομοιότητας k τριγώνων εκφράζεται ως προς τον λόγο των βάσεων του τραπεζοειδούς: k = ΑΕ/ΚΜ.
Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων AOE και IOC περιγράφεται με τον συντελεστή k 2 .
Όλα το ίδιο τραπέζιο, οι ίδιες διαγώνιοι που τέμνονται στο σημείο Ο. Μόνο που αυτή τη φορά θα εξετάσουμε τρίγωνα που σχημάτισαν τα διαγώνια τμήματα μαζί με τις πλευρές του τραπεζοειδούς. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΚΟ και ΕΜΟ είναι ίσα - τα εμβαδά τους είναι ίδια.
Μια άλλη ιδιότητα ενός τραπεζοειδούς περιλαμβάνει την κατασκευή διαγωνίων. Έτσι, αν συνεχίσουμε τις πλευρές του ΑΚ και του ΜΕ προς την κατεύθυνση της μικρότερης βάσης, τότε αργά ή γρήγορα θα διασταυρωθούν σε κάποιο σημείο. Στη συνέχεια, τραβήξτε μια ευθεία γραμμή μέσα από τα μεσαία σημεία των βάσεων του τραπεζοειδούς. Τέμνει τις βάσεις στα σημεία Χ και Τ.
Αν τώρα επεκτείνουμε την ευθεία ΧΤ, τότε αυτή θα ενώσει το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζοειδούς Ο, το σημείο στο οποίο τέμνονται οι προεκτάσεις των πλευρών και τα μέσα των βάσεων των Χ και Τ.
Μέσα από το σημείο τομής των διαγωνίων, σχεδιάζουμε ένα τμήμα που θα συνδέει τις βάσεις του τραπεζοειδούς (Το T βρίσκεται στη μικρότερη βάση του KM, το X - στο μεγαλύτερο AE). Το σημείο τομής των διαγωνίων διαιρεί αυτό το τμήμα στην ακόλουθη αναλογία: TO/OH = KM/AE.
Και τώρα μέσα από το σημείο τομής των διαγωνίων σχεδιάζουμε ένα τμήμα παράλληλο με τις βάσεις του τραπεζοειδούς (α και β). Το σημείο τομής θα το χωρίσει σε δύο ίσα μέρη. Μπορείτε να βρείτε το μήκος ενός τμήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο 2ab/(a + b).

Ιδιότητες της μέσης γραμμής τραπεζοειδούς

Σχεδιάστε τη μεσαία γραμμή στο τραπέζι παράλληλα με τις βάσεις του.

Το μήκος της μέσης γραμμής ενός τραπεζοειδούς μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τα μήκη των βάσεων και διαιρώντας τα στη μέση: m = (a + b)/2.
Εάν σχεδιάσετε οποιοδήποτε τμήμα (ύψος, για παράδειγμα) και στις δύο βάσεις του τραπεζοειδούς, η μεσαία γραμμή θα το χωρίσει σε δύο ίσα μέρη.

Ιδιότητα της διχοτόμου τραπεζοειδούς

Διαλέξτε οποιαδήποτε γωνία του τραπεζοειδούς και σχεδιάστε μια διχοτόμο. Πάρτε, για παράδειγμα, τη γωνία KAE του τραπεζοειδούς μας ACME. Έχοντας ολοκληρώσει την κατασκευή μόνοι σας, μπορείτε εύκολα να δείτε ότι η διχοτόμος κόβει από τη βάση (ή τη συνέχισή της σε μια ευθεία γραμμή έξω από το ίδιο το σχήμα) ένα τμήμα του ίδιου μήκους με την πλευρά.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς γωνίας

Όποιο από τα δύο ζεύγη γωνιών που γειτνιάζουν με την πλευρά και να επιλέξετε, το άθροισμα των γωνιών σε ένα ζεύγος είναι πάντα 180 0: α + β = 180 0 και γ + δ = 180 0 .
Συνδέστε τα μεσαία σημεία των βάσεων του τραπεζοειδούς με ένα τμήμα ΤΧ. Ας δούμε τώρα τις γωνίες στις βάσεις του τραπεζοειδούς. Εάν το άθροισμα των γωνιών για οποιαδήποτε από αυτές είναι 90 0, το μήκος του τμήματος TX είναι εύκολο να υπολογιστεί με βάση τη διαφορά στα μήκη των βάσεων, διαιρεμένη στο μισό: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Αν τραβηχτούν παράλληλες γραμμές στις πλευρές της γωνίας ενός τραπεζοειδούς, θα χωρίσουν τις πλευρές της γωνίας σε αναλογικά τμήματα.

Ιδιότητες ισοσκελούς (ισοσκελούς) τραπεζοειδούς

Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, οι γωνίες σε οποιαδήποτε από τις βάσεις είναι ίσες.
Τώρα φτιάξτε ξανά ένα τραπεζοειδές για να είναι πιο εύκολο να φανταστείτε περί τίνος πρόκειται. Κοιτάξτε προσεκτικά τη βάση του ΑΕ - η κορυφή της αντίθετης βάσης του Μ προβάλλεται σε ένα ορισμένο σημείο της ευθείας που περιέχει το ΑΕ. Η απόσταση από την κορυφή Α έως το σημείο προβολής της κορυφής Μ και η μέση γραμμή ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι ίσες.
Λίγα λόγια για την ιδιότητα των διαγωνίων ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς - τα μήκη τους είναι ίσα. Και επίσης οι γωνίες κλίσης αυτών των διαγωνίων στη βάση του τραπεζοειδούς είναι οι ίδιες.
Μόνο κοντά σε ένα ισοσκελές τραπέζιο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος, καθώς το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός τετραγώνου είναι 180 0 - απαιτούμενη προϋπόθεσηγια αυτό.
Η ιδιότητα ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο - εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί κοντά σε ένα τραπεζοειδές, είναι ισοσκελές.
Από τα χαρακτηριστικά ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς προκύπτει η ιδιότητα του ύψους ενός τραπεζοειδούς: αν οι διαγώνιες του τέμνονται σε ορθή γωνία, τότε το μήκος του ύψους είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των βάσεων: h = (a + b)/2.
Σχεδιάστε ξανά την ευθεία ΤΧ μέσα από τα μέσα των βάσεων του τραπεζοειδούς - σε ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι κάθετο στις βάσεις. Και ταυτόχρονα, το ΤΧ είναι ο άξονας συμμετρίας ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς.
Αυτή τη φορά χαμηλώστε στη μεγαλύτερη βάση (ας την ονομάσουμε α) το ύψος από την αντίθετη κορυφή του τραπεζοειδούς. Θα πάρετε δύο κοψίματα. Το μήκος του ενός μπορεί να βρεθεί εάν τα μήκη των βάσεων προστεθούν και διαιρεθούν στο μισό: (α+β)/2. Παίρνουμε το δεύτερο όταν αφαιρέσουμε το μικρότερο από τη μεγαλύτερη βάση και διαιρούμε τη διαφορά που προκύπτει με δύο: (α – β)/2.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς εγγεγραμμένου σε κύκλο

Δεδομένου ότι μιλάμε ήδη για ένα τραπεζοειδές εγγεγραμμένο σε κύκλο, ας σταθούμε σε αυτό το θέμα με περισσότερες λεπτομέρειες. Συγκεκριμένα, πού βρίσκεται το κέντρο του κύκλου σε σχέση με το τραπέζιο. Και εδώ, συνιστάται να μην είστε πολύ τεμπέλης για να σηκώσετε ένα μολύβι και να σχεδιάσετε αυτό που θα συζητηθεί παρακάτω. Έτσι θα καταλάβετε πιο γρήγορα και θα θυμάστε καλύτερα.

Η θέση του κέντρου του κύκλου καθορίζεται από τη γωνία κλίσης της διαγωνίου του τραπεζοειδούς προς την πλευρά του. Για παράδειγμα, μια διαγώνιος μπορεί να αναδυθεί από την κορυφή ενός τραπεζοειδούς σε ορθή γωνία προς το πλάι. Σε αυτή την περίπτωση, η μεγαλύτερη βάση τέμνει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ακριβώς στη μέση (R = ½AE).
Η διαγώνιος και η πλευρά μπορούν να συναντηθούν από κάτω οξεία γωνία- τότε το κέντρο του κύκλου είναι μέσα στο τραπεζοειδές.
Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου μπορεί να βρίσκεται έξω από το τραπεζοειδές, πέρα από τη μεγάλη βάση του, εάν υπάρχει αμβλεία γωνία μεταξύ της διαγώνιου του τραπεζοειδούς και της πλευρικής πλευράς.
Η γωνία που σχηματίζεται από τη διαγώνιο και τη μεγάλη βάση του τραπεζοειδούς ACME (εγγεγραμμένη γωνία) είναι το ήμισυ της κεντρικής γωνίας που αντιστοιχεί σε αυτό: MAE = ½ ΜΟΥ.
Συνοπτικά δύο τρόποι για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Μέθοδος 1: κοιτάξτε προσεκτικά το σχέδιό σας - τι βλέπετε; Θα παρατηρήσετε εύκολα ότι η διαγώνιος χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα. Η ακτίνα μπορεί να βρεθεί μέσω του λόγου της πλευράς του τριγώνου προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας, πολλαπλασιαζόμενο επί δύο. Για παράδειγμα, R \u003d AE / 2 * sinAME. Ομοίως, ο τύπος μπορεί να γραφτεί για οποιαδήποτε από τις πλευρές και των δύο τριγώνων.
Μέθοδος δεύτερη: βρίσκουμε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου μέσα από την περιοχή του τριγώνου που σχηματίζεται από τη διαγώνιο, την πλευρά και τη βάση του τραπεζοειδούς: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ιδιότητες τραπεζοειδούς περιγεγραμμένου σε κύκλο

Μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο σε ένα τραπεζοειδές εάν πληρούται μια προϋπόθεση. Περισσότερα για αυτό παρακάτω. Και μαζί αυτός ο συνδυασμός φιγούρων έχει μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

Εάν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπέζιο, το μήκος της μέσης γραμμής του μπορεί να βρεθεί εύκολα προσθέτοντας τα μήκη των πλευρών και διαιρώντας το άθροισμα που προκύπτει στο μισό: m = (c + d)/2.
Για ένα τραπεζοειδές ACME, που περιβάλλεται γύρω από έναν κύκλο, το άθροισμα των μηκών των βάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών: ΑΚ + ΜΕ = ΚΜ + ΑΕ.
Από αυτή την ιδιότητα των βάσεων ενός τραπεζοειδούς προκύπτει η αντίστροφη πρόταση: σε αυτό το τραπέζι μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος, το άθροισμα των βάσεων του οποίου είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών.
Το σημείο εφαπτομένης ενός κύκλου με ακτίνα r εγγεγραμμένη σε ένα τραπέζιο χωρίζει την πλευρική πλευρά σε δύο τμήματα, ας τα ονομάσουμε α και β. Η ακτίνα ενός κύκλου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: r = √ab.
Και ένα ακόμη ακίνητο. Για να μην μπερδευτείτε, κάντε μόνοι σας αυτό το παράδειγμα. Έχουμε το παλιό καλό τραπεζοειδές ACME, περιγεγραμμένο γύρω από έναν κύκλο. Σε αυτό σχεδιάζονται διαγώνιοι που τέμνονται στο σημείο Ο. Τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΕΟΜ που σχηματίζονται από τα τμήματα των διαγωνίων και οι πλευρές είναι ορθογώνια.
Τα ύψη αυτών των τριγώνων, χαμηλωμένα στις υποτείνουσες (δηλαδή, στις πλευρές του τραπεζοειδούς), συμπίπτουν με τις ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου. Και το ύψος του τραπεζοειδούς είναι το ίδιο με τη διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Ιδιότητες ορθογώνιου τραπεζοειδούς

Ένα τραπεζοειδές λέγεται ορθογώνιο, η μία από τις γωνίες του είναι ορθή. Και οι ιδιότητές του πηγάζουν από αυτή την περίσταση.

Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές έχει μια από τις πλευρές κάθετη στις βάσεις.
Το ύψος και η πλευρά του τραπεζοειδούς που γειτνιάζει με ορθή γωνία, είναι ίσα. Αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς ( γενικός τύπος S = (a + b) * h/2) όχι μόνο μέσω του ύψους, αλλά και μέσω της πλευράς δίπλα στη σωστή γωνία.
Για ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές, οι γενικές ιδιότητες των τραπεζοειδών διαγωνίων που περιγράφηκαν ήδη παραπάνω είναι σχετικές.

Αποδείξεις ορισμένων ιδιοτήτων ενός τραπεζοειδούς

Ισότητα γωνιών στη βάση ισοσκελούς τραπεζοειδούς:

Πιθανότατα μαντέψατε ήδη ότι εδώ χρειαζόμαστε και πάλι το τραπέζιο ACME - σχεδιάστε ένα ισοσκελές τραπέζιο. Σχεδιάστε μια ευθεία ΜΤ από την κορυφή Μ παράλληλη στην πλευρά της ΑΚ (ΜΤ || ΑΚ).

Το τετράπλευρο ΑΚΜΤ που προκύπτει είναι ένα παραλληλόγραμμο (ΑΚ || ΜΤ, ΚΜ || ΑΤ). Εφόσον ME = KA = MT, το ∆ MTE είναι ισοσκελές και MET = MTE.

ΑΚ || ΜΤ, άρα ΜΤΕ = ΚΑΕ, ΜΕΤ = ΜΤΕ = ΚΑΕ.

Όπου ΑΚΜ = 180 0 - ΜΕΤ = 180 0 - ΚΑΕ = ΚΜΕ.

Q.E.D.

Τώρα, με βάση την ιδιότητα του ισοσκελούς τραπεζοειδούς (ισότητα των διαγωνίων), αποδεικνύουμε ότι τραπεζίου Το ACME είναι ισοσκελές:

Αρχικά, ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή ΜΧ – ΜΧ || ΚΕ. Παίρνουμε ένα παραλληλόγραμμο KMHE (βάση - MX || KE και KM || EX).

Το ΔAMH είναι ισοσκελές, αφού AM = KE = MX, και MAX = ΜΕΑ.

MX || ΚΕ, ΚΕΑ = ΜΧΕ, άρα ΜΑΕ = ΜΧΕ.

Αποδείχθηκε ότι τα τρίγωνα AKE και EMA είναι ίσα μεταξύ τους, επειδή το AM \u003d KE και το AE είναι η κοινή πλευρά των δύο τριγώνων. Και επίσης MAE \u003d MXE. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ΑΚ = ΜΕ, και ως εκ τούτου προκύπτει ότι το τραπεζοειδές ΑΚΜΕ είναι ισοσκελές.

Εργασία για επανάληψη

Οι βάσεις του τραπεζοειδούς ACME είναι 9 cm και 21 cm, η πλευρά του ΚΑ, ίση με 8 cm, σχηματίζει γωνία 150 0 με μικρότερη βάση. Πρέπει να βρείτε την περιοχή του τραπεζοειδούς.

Λύση: Από την κορυφή Κ χαμηλώνουμε το ύψος στη μεγαλύτερη βάση του τραπεζοειδούς. Και ας αρχίσουμε να κοιτάμε τις γωνίες του τραπεζοειδούς.

Οι γωνίες AEM και KAN είναι μονόπλευρες. Που σημαίνει ότι αθροίζονται μέχρι 1800. Επομένως, KAN = 30 0 (με βάση την ιδιότητα των γωνιών του τραπεζοειδούς).

Σκεφτείτε τώρα το ορθογώνιο ∆ANK (νομίζω ότι αυτό το σημείο είναι προφανές στους αναγνώστες χωρίς περαιτέρω απόδειξη). Από αυτό βρίσκουμε το ύψος του τραπεζοειδούς KH - σε ένα τρίγωνο είναι ένα πόδι, το οποίο βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 30 0. Επομένως, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Η περιοχή του τραπεζοειδούς βρίσκεται με τον τύπο: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Επίλογος

Εάν μελετήσατε προσεκτικά και προσεκτικά αυτό το άρθρο, δεν ήσασταν πολύ τεμπέλης να σχεδιάσετε τραπεζοειδή για όλες τις παραπάνω ιδιότητες με ένα μολύβι στα χέρια σας και να τα αναλύσετε στην πράξη, θα πρέπει να έχετε μάθει καλά το υλικό.

Φυσικά, υπάρχουν πολλές πληροφορίες εδώ, ποικίλες και μερικές φορές ακόμη και συγκεχυμένες: δεν είναι τόσο δύσκολο να συγχέουμε τις ιδιότητες του τραπεζοειδούς που περιγράφεται με τις ιδιότητες του εγγεγραμμένου. Είδες όμως ο ίδιος ότι η διαφορά είναι τεράστια.

Τώρα έχετε μια λεπτομερή περίληψη όλων κοινές ιδιότητεςτραπεζοειδές. Και συγκεκριμένες ιδιότητεςκαι σημάδια τραπεζοειδών ισοσκελές και ορθογώνιες. Είναι πολύ βολικό στη χρήση για προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις. Δοκιμάστε το μόνοι σας και μοιραστείτε το σύνδεσμο με τους φίλους σας!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Καλό απόγευμα! Ω, αυτοί οι περιγεγραμμένοι ή εγγεγραμμένοι κύκλοι, γεωμετρικά σχήματα. Είναι τόσο δύσκολο να μπερδευτείς. τι και πότε.

Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε πρώτα με τη διατύπωση. Μας δίνεται ένας κύκλος που οριοθετείται περίπου . Με άλλα λόγια, αυτό το τραπεζοειδές είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο.

Ας θυμηθούμε ότι μπορούμε να περιγράψουμε μόνο έναν κύκλο γύρω. Και ένα ισοσκελές τραπέζιο, με τη σειρά του, είναι ένα τραπεζοειδές του οποίου οι πλευρές είναι ίσες.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το πρόβλημα. Γνωρίζουμε ότι οι βάσεις του ισοσκελούς τραπεζοειδούς ADCB είναι 6 (DC) και 4 (AB). Και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι 4. Πρέπει να βρείτε το ύψος του τραπεζοειδούς FK.

FK είναι το ύψος του τραπεζοειδούς. πρέπει να το βρούμε, αλλά πριν από αυτό, να θυμάστε ότι το σημείο Ο είναι το κέντρο του κύκλου. Και OS, OD, OA, OB - γνωστές ακτίνες.

Στο OFC γνωρίζουμε την υποτείνουσα, που είναι η ακτίνα του κύκλου, και το πόδι FC = μισή βάση DC = 3 cm (επειδή DF = FC).

Τώρα ας βρούμε ΑΠΟ:

Και στο ορθογώνιο τρίγωνοΟΚΒ γνωρίζουμε και την υποτείνουσα, αφού είναι η ακτίνα του κύκλου. Και το KB είναι το μισό του AB. KB = 2 εκ. Και, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, υπολογίζουμε το τμήμα ΟΚ: