IN prethodni odeljak posvećen analizi geometrijsko značenje definitivnog integrala, dobili smo niz formula za izračunavanje površine zakrivljeni trapez:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .
Ove formule su primjenjive za rješavanje jednostavni zadaci. U stvarnosti, često ćemo morati da radimo sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. kao y = f(x) ili x = g(y).
TeoremaNeka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] , i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Zatim formula za izračunavanje površine figure G, ograničena linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) imat će oblik S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Slična formula će biti primenljiva za površinu figure ograničenu linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dokaz
Pogledajmo tri slučaja za koja će formula vrijediti.
U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbir površina originalne figure G i krivolinijskog trapeza G 1 jednak je površini figure G 2. To znači da
Dakle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posljednju tranziciju možemo izvesti koristeći treće svojstvo određenog integrala.
U drugom slučaju, jednakost je tačna: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Ako su obe funkcije nepozitivne, dobijamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Idemo dalje na razmatranje opšteg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku osu O x.
Tačke presjeka označavamo sa x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove tačke dijele segment [a; b ] na n dijelova x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
dakle,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posljednju tranziciju možemo napraviti koristeći peto svojstvo određenog integrala.
Ilustrujmo opšti slučaj na grafu.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.
Pređimo sada na analizu primjera izračunavanja površine figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).
Započet ćemo naše razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafa. Slika će nam omogućiti da predstavimo složene figure kao sindikati jednostavnijih figura. Ako vam konstrukcija grafova i figura na njima stvara poteškoće, možete proučiti dio o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijska transformacija grafove funkcija, kao i konstruisanje grafova tokom proučavanja funkcije.
Primjer 1
Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i pravim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Rješenje
Nacrtajmo linije na grafu u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Na segmentu [ 1 ; 4 ] grafik parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad prave linije y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da bismo dobili odgovor koristimo formulu dobijenu ranije, kao i metodu izračunavanja definitivnog integrala pomoću Newton-Leibnizove formule:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odgovor: S(G) = 13
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 2
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.
Rješenje
IN u ovom slučaju imamo samo jednu pravu liniju paralelnu sa x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.
Napravimo graf i nacrtajmo na njemu linije date u iskazu problema.
Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa tačke preseka grafika prave linije y = x i poluparabole y = x + 2. Da bismo pronašli apscisu koristimo jednakosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ispada da je apscisa presječne tačke x = 2.
Skrećemo vam pažnju da u opšti primjer na crtežu se prave y = x + 2, y = x seku u tački (2; 2), pa se ovakvi detaljni proračuni mogu činiti nepotrebnim. Donijeli smo ovo ovdje detaljno rješenje samo zato što ih ima više teški slučajevi rješenje možda nije tako očigledno. To znači da je uvijek bolje analitički izračunati koordinate presjeka linija.
Na intervalu [ 2 ; 7] grafik funkcije y = x nalazi se iznad grafika funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračunavanje površine:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odgovor: S (G) = 59 6
Primjer 3
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.
Rješenje
Nacrtajmo linije na grafikonu.
Hajde da definišemo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate tačaka presjeka pravih izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uslovom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednačini trećeg stepena - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 sa cjelobrojnim koeficijentima. Da biste osvježili vaše pamćenje algoritma za rješavanje ovakvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak “Rješavanje kubnih jednadžbi”.
Koren ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Podijelimo izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobijamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Preostale korijene možemo pronaći iz jednačine x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojem se lik G nalazi iznad plave i ispod crvene linije. Ovo nam pomaže da odredimo površinu figure:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primjer 4
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osom apscise.
Rješenje
Nacrtajmo sve linije na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafa y = log 2 x ako ga postavimo simetrično oko x-ose i pomaknemo za jednu jedinicu gore. Jednačina x-ose je y = 0.
Označimo tačke preseka pravih.
Kao što se vidi sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 seku se u tački (0; 0). Ovo se dešava zato što je x = 0 jedini pravi koren jednačine x 3 = 0.
x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u tački (2; 0).
x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . U tom smislu, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 seku se u tački (1; 1). Posljednja izjava možda nije očigledna, ali jednačina x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 striktno rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je striktno opadajuće.
Dalje rješenje uključuje nekoliko opcija.
Opcija #1
Lik G možemo zamisliti kao zbir dva krivolinijska trapeza koja se nalaze iznad x-ose, od kojih se prvi nalazi ispod srednje linije na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opcija br. 2
Slika G se može predstaviti kao razlika dvije figure, od kojih se prva nalazi iznad x-ose i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a druga između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućava da pronađemo područje na sljedeći način:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
U ovom slučaju, da biste pronašli površinu morat ćete koristiti formulu oblika S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju figuru mogu se predstaviti kao funkcije argumenta y.
Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Dobijamo potrebnu površinu:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Primjer 5
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Rješenje
Crvenom linijom iscrtavamo liniju definiranu funkcijom y = x. Plavom bojom nacrtamo liniju y = - 1 2 x + 4, a crnom liniju y = 2 3 x - 3.
Označimo tačke ukrštanja.
Nađimo točke presjeka grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjerite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) presječna tačka i y = x i y = - 1 2 x + 4
Nađimo točku presjeka grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjerite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) tačka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednačine
Nađimo točku presjeka pravih y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) tačka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3
Metoda br. 1
Zamislimo površinu željene figure kao zbir površina pojedinih figura.
Tada je površina figure:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda br. 2
Površina originalne figure može se predstaviti kao zbir dvije druge figure.
Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.
y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Dakle, područje je:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kao što vidite, vrijednosti su iste.
Odgovor: S (G) = 11 3
Rezultati
Da bismo pronašli površinu figure koja je ograničena datim linijama, trebamo konstruirati linije na ravni, pronaći njihove točke presjeka i primijeniti formulu da pronađemo površinu. U ovom dijelu smo ispitali najčešće varijante zadataka.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Počinjemo razmatrati stvarni proces izračunavanja dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.
Dvostruki integral numerički jednaka površini ravna figura (regija integracije). Ovo najjednostavniji oblik dvostruki integral, kada je funkcija dvije varijable jednaka jednoj: .
Hajde da prvo razmotrimo problem u opšti pogled. Sada ćete biti prilično iznenađeni koliko je sve zaista jednostavno! Izračunajmo površinu ravne figure ograničene linijama. Radi određenosti, pretpostavljamo da je na segmentu . Površina ove figure je brojčano jednaka:
Opišimo područje na crtežu: 
Odaberimo prvi način za prelazak područja: 
ovako: 
I odmah važna tehnička tehnika: iterirani integrali se mogu posebno izračunati. Prvo unutrašnji integral, pa spoljni integral. Ova metoda Toplo ga preporučujem početnicima u ovoj temi.
1) Izračunajmo unutrašnji integral, a integracija se vrši preko varijable “y”: 
Neodređeni integral je ovdje najjednostavniji, a zatim se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, s jedinom razlikom da granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo smo zamijenili gornju granicu u “y” (antiderivativna funkcija), a zatim donju granicu
2) Rezultat dobijen u prvom paragrafu mora se zamijeniti eksternim integralom: 
Kompaktniji prikaz cjelokupnog rješenja izgleda ovako:
Rezultirajuća formula 
je upravo radna formula za izračunavanje površine ravne figure pomoću "običnog" određenog integrala! Gledajte lekciju Izračunavanje površine pomoću određenog integrala, tu je na svakom koraku!
To je, problem izračunavanja površine pomoću dvostrukog integrala nije mnogo drugačije iz problema pronalaženja površine pomoću određenog integrala! U stvari, to je ista stvar!
Shodno tome, ne bi trebalo biti nikakvih poteškoća! Neću se osvrtati na mnogo primjera, jer ste se vi, zapravo, više puta susreli s ovim zadatkom.
Primjer 9
Rješenje: Opišimo područje na crtežu: 
Odaberemo sljedeći redoslijed obilaženja područja: 
Ovdje i dalje neću se zadržavati na tome kako preći područje, jer su u prvom pasusu data vrlo detaljna objašnjenja.
ovako: 
Kao što sam već napomenuo, za početnike je bolje da izračunaju iterirane integrale odvojeno, a ja ću se držati iste metode:
1) Prvo, koristeći Newton-Leibniz formulu, bavimo se unutrašnjim integralom: 
2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se u eksterni integral: 
Tačka 2 je zapravo pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.
odgovor:
Ovo je tako glup i naivan zadatak.
Zanimljiv primjer za samostalno rješenje:
Primjer 10
Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama , ,
Približan uzorak finalizacija rješenja na kraju lekcije.
U primjerima 9-10 mnogo je isplativije koristiti prvu metodu prelaska područja; radoznali čitatelji, inače, mogu promijeniti redoslijed obilaska i izračunati površine pomoću druge metode. Ako ne pogriješite, tada ćete, naravno, dobiti iste vrijednosti površine.
Ali u nekim slučajevima, drugi način prelaska područja je učinkovitiji, a na kraju tečaja za mlade štrebere, pogledajmo još nekoliko primjera na ovu temu:
Primjer 11
Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama,
Rješenje: Radujemo se dvije parabole s quirk koje leže na njihovim stranama. Nema potrebe da se smiješite, slične stvari se često dešavaju u više integrala.
Kako je najlakše napraviti crtež?
Zamislimo parabolu u obliku dvije funkcije:
– gornja grana i – donja grana.
Slično, zamislite parabolu u obliku gornjeg i donjeg 
grane.
Zatim, crtanje pravila grafova po tačkama, što rezultira tako bizarnom figurom: 
Izračunavamo površinu figure pomoću dvostrukog integrala prema formuli:
Šta će se dogoditi ako odaberemo prvi način prelaska područja? Prvo, ovo područje će se morati podijeliti na dva dijela. I drugo, posmatraćemo ovu tužnu sliku: 
. Integrali, naravno, nisu super-komplikovanog nivoa, ali... postoji stara matematička izreka: onima koji su blizu korena ne treba test.
Stoga, iz nesporazuma datog u uvjetu, izražavamo inverzne funkcije: 
Inverzne funkcije u ovom primjeru imaju prednost što specificiraju cijelu parabolu odjednom bez ikakvih listova, žira, grana i korijena.
Prema drugoj metodi, obilazak područja će biti sljedeći: 
ovako: 
Kako kažu, osjetite razliku.
1) Bavimo se unutrašnjim integralom:
Zamjenjujemo rezultat u vanjski integral:
Integracija preko varijable “y” ne bi trebala biti zbunjujuća; da postoji slovo “zy”, bilo bi sjajno integrirati preko njega. Mada ko je pročitao drugi pasus lekcije Kako izračunati zapreminu obrtnog tela, on više ne doživljava ni najmanju nespretnost sa integracijom po "Y" metodi.
Obratite pažnju i na prvi korak: integrand je paran, a interval integracije je simetričan oko nule. Dakle, segment se može prepoloviti, a rezultat se može udvostručiti. Ova tehnika je detaljno komentarisana u lekciji. Efikasne metode izračunavanje određenog integrala.
Šta dodati…. Sve!
odgovor:
Da biste testirali svoju tehniku integracije, možete pokušati izračunati . Odgovor bi trebao biti potpuno isti.
Primjer 12
Koristeći dvostruki integral, izračunajte površinu ravne figure ograničene linijama 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Zanimljivo je primijetiti da ako pokušate koristiti prvi način prelaska područja, figura više neće morati biti podijeljena na dva, već na tri dijela! I, shodno tome, dobijamo tri para ponovljenih integrala. Ponekad se to desi.
Majstorska klasa je privedena kraju i vrijeme je da pređemo na velemajstorski nivo - Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Pokušaću da ne budem toliko manijalan u drugom članku =)
Želim ti uspjeh!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2:Rješenje:
Oslikajmo područje na crtežu:
Odaberemo sljedeći redoslijed obilaženja područja:
ovako: 
Pređimo na inverzne funkcije:
ovako: 
odgovor:
Primjer 4:Rješenje:
Pređimo na direktne funkcije:
Napravimo crtež:
Promijenimo redoslijed prelaska područja:
odgovor:
U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. S formulisanjem ovakvog problema prvi put se susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili proučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.
Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:
- Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
- Sposobnost rješavanja određenog integrala koristeći dobro poznatu Newton-Leibnizovu formulu;
- Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
- Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.
Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:
1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Ovako rješavamo problem grafička metoda. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.
2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.
3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronaći površinu figure. Hajde da razmotrimo različiti primjeri o pronalaženju površine figure pomoću integrala.
3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a prije b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:
Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Kojim linijama je lik ograničen? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, date prave linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno sa osom OU, su granične linije figure lijevo i desno. Pa y = 0, to je i x-osa, koja ograničava sliku odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti sa slike s lijeve strane. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.
3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.
Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koja potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što data funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.
Članak nije dovršen.
Idemo dalje na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo analizirati tipičan i najčešći zadatak izračunavanje površine ravne figure pomoću određenog integrala. Konačno, neka ga pronađu svi oni koji traže smisao u višoj matematici. Nikad ne znaš. Morat ćemo to približiti u životu seoska vikendica elementarne funkcije i pronađu njegovu površinu pomoću određenog integrala.
Da biste uspješno savladali gradivo, morate:
1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjem nivou. Stoga, lutke prvo treba da pročitaju lekciju Ne.
2) Biti u stanju primijeniti Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose sa određenim integralima Definitivni integral. Primjeri rješenja. Zadatak „izračunati površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, Zbog toga aktuelno pitanje Vaše znanje i vještine crtanja će također biti tu. Kao minimum, morate biti u stanju da konstruišete pravu liniju, parabolu i hiperbolu.
Počnimo sa zakrivljenim trapezom. Zakrivljeni trapez je ravna figura ograničena grafikom neke funkcije y = f(x), osa OX i linije x = a; x = b.
Površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu
Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivni integral. Primjeri rješenja rekli smo da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jedno korisna činjenica. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA. To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Razmotrimo definitivni integral
Integrand
definira krivulju na ravnini (može se nacrtati po želji), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.
Primjer 1
, , , .
Ovo je tipična izjava o dodjeli. Najvažnija tačka rješenja - crtež. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.
Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda– parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Tehnika gradnje točka po tačku može se naći u referentni materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.
U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da je jednadžba y= 0 određuje os OX):
Nećemo zasjeniti zakrivljeni trapez, ovdje je očito koje područje mi pričamo o tome. Rješenje se nastavlja ovako:
Na segmentu [-2; 1] graf funkcije y = x 2+2 nalazi se iznad oseOX, Zbog toga:
odgovor: .
Koji ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule
,
uputiti na predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja. Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadrata, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.
Primjer 2
Izračunajte površinu figure ograničene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os OX.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovineOX?
Primjer 3
Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = e-x, x= 1 i koordinatne ose.
Rješenje: Napravimo crtež:
Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod ose OX , tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:
.
Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.
Primjer 4
Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama y = 2x – x 2 , y = -x.
Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Prilikom konstruisanja crteža u problemima površine, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole y = 2x – x 2 i ravno y = -x. To se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:
To znači da je donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:
Ponovimo da se pri tački konstruisanja granice integracije najčešće određuju „automatski“.
A sada radna formula:
Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veće ili jednako neki kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule:
Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, već bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koja je ISPOD.
U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, dakle od 2 x – x 2 se mora oduzeti – x.
Završeno rješenje može izgledati ovako:
Željena figura ograničena je parabolom y = 2x – x 2 na vrhu i ravno y = -x ispod.
Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:
odgovor: .
Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi primjer br. 3) je poseban slučaj formule
.
Jer osovina OX dato jednačinom y= 0, i graf funkcije g(x) koji se nalazi ispod ose OX, To
.
A sada par primjera za vlastito rješenje
Primjer 5
Primjer 6
Pronađite površinu figure ograničenu linijama
Prilikom rješavanja problema koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje... Pronađena je površina pogrešne figure.
Primjer 7
Prvo napravimo crtež:
Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često odluče da moraju pronaći područje figure koje je zasjenjeno zeleno!
Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:
1) Na segmentu [-1; 1] iznad ose OX graf se nalazi pravo y = x+1;
2) Na segmentu iznad ose OX lociran je graf hiperbole y = (2/x).
Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:
odgovor:
Primjer 8
Izračunajte površinu figure ograničene linijama
Predstavimo jednačine u "školskom" obliku
i napravite crtež tačku po tačku:
Iz crteža je jasno da je naša gornja granica "dobra": b = 1.
Ali koja je donja granica?! Jasno je da ovo nije ceo broj, ali šta je to?
Možda, a=(-1/3)? Ali gdje je garancija da je crtež napravljen sa savršenom preciznošću, može se ispostaviti da je tako a=(-1/4). Šta ako smo pogrešno napravili graf?
U takvim slučajevima morate potrošiti Dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.
Nađimo tačke preseka grafova
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:
.
dakle, a=(-1/3).
Dalje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Izračuni ovdje nisu najjednostavniji. Na segmentu
, 
,
prema odgovarajućoj formuli:
odgovor: 
Da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.
Primjer 9
Izračunajte površinu figure ograničene linijama
Rješenje: Hajde da prikažemo ovu cifru na crtežu.
Da biste nacrtali crtež tačku po tačku, morate znati izgled sinusoidi. Općenito, korisno je znati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke sinusne vrijednosti. Mogu se naći u tabeli vrednosti trigonometrijske funkcije . U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju), moguće je konstruirati šematski crtež, na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.
Ovdje nema problema sa granicama integracije, one proizlaze direktno iz uslova:
– “x” se mijenja od nule do “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:
Na segmentu, graf funkcije y= greh 3 x nalazi se iznad ose OX, Zbog toga:
(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Otkinemo jedan sinus.
(2) Koristimo glavni trigonometrijski identitet u obliku
(3) Promijenimo varijablu t=cos x, tada se: nalazi iznad ose, dakle:
.
.
Bilješka: zapazite kako se uzima integral tangente u kocki; ovdje se koristi posljedica glavnog trigonometrijski identitet
.
Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama
Primena integrala za rešavanje primenjenih problema
Obračun površine
Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = f(x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:
Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.
Zadatak br. 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Rješenje. Konstruirajmo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.
y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena prema gore za jednu jedinicu u odnosu na O y osu (slika 1).
Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1
Zadatak br. 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.
 |
Rješenje. Grafikon ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena u odnosu na osu O y dolje za jednu jedinicu (slika 2).
Slika 2. Grafikon funkcije y = x 2 – 1
Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama
y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.
Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola čije su grane usmjerene prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga prava je prava koja seče obje koordinatne ose.
Da bismo konstruisali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa temena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.
Sada pronađimo tačke preseka parabole i prave tako što ćemo rešiti sistem jednačina:
Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.
Dobijamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle 
.
Dakle, tačke su presečne tačke parabole i prave (slika 1).
Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4
Konstruirajmo pravu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osa.
Da biste konstruisali parabolu, možete koristiti i njene tačke preseka sa osom 0x, odnosno korenima jednačine 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietinu teoremu, lako je da nađemo njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.
Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.
Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala prema formuli 
.
Primijenjeno na ovo stanje, dobijamo integral: 
2 Izračunavanje zapremine tela rotacije
Zapremina tijela dobivena rotacijom krive y = f(x) oko ose O x izračunava se po formuli:
Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:
Zadatak br. 4. Odrediti zapreminu tijela dobivenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivom y = oko ose O x.
Rješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).
Slika 4. Grafikon funkcije y =
Potrebna zapremina je 
Zadatak br. 5. Izračunajte zapreminu tela dobijenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y.
Rješenje. Imamo:
Pregledajte pitanja