1. Suština metode transformacije, njeno mjesto u školski kurs geometrija.

2. Vrste transformacija:

a) kretanja i njihova svojstva; jednakost figura;

b) transformacija sličnosti; slične brojke.

3. Primjena metode transformacije.

(1) Kod različitih autora udžbenika za srednje škole iz geometrije transformacije zauzimaju različite pozicije po obimu i stepenu strogosti. IN udžbenik uredio A. N. Kolmogorov, transformacije služe kao osnova za dokaz mnogih teorema (njihov poseban aksiom mobilnosti posvećen je njihovom opravdanju). Udžbenik A.P. Kiseleva ne govori ništa o transformacijama.

U geometriji 7-11 A.V. Pogorelove, tema transformacije figura se razmatra u osmom razredu. Tema nije velikog obima. Koncept „transformacije“ izveden je na vizuelnom i intuitivnom nivou: „Ako se svaka tačka date figure pomeri na neki način, onda ćemo dobiti novu figuru. Kažu da se ova cifra dobija transformacijom iz ove.”

Opisna definicija je popraćena slikom. Daje se definicija kretanja i razmatraju se njegova svojstva. Zatim su jasno definisane specifične vrste transformacija. U ovom tutorijalu, simetrija oko tačke, simetrija oko prave, homotetija i sličnost se definišu kao transformacije sa odgovarajućim svojstvima; paralelno prevođenje se definiše kao transformacija u koordinatnom obliku; a okretanje se definiše kao vrsta kretanja. Uz definiciju transformacija, dat je i metod za konstruisanje figura tokom transformacija.

U udžbeniku Geometrija 7-9 (autori: L. S. Atanasyan i drugi) materijal o transformacijama je predstavljen pod temom „Kretanja“ u 9. razredu. Ovo je posljednja tema u ovom tutorijalu. Ovdje se uvode koncepti „preslikavanja ravni na sebe“, „kretanja“ i razmatraju se glavne vrste kretanja. Osim toga, on razumije važno pitanje o povezanosti pojmova preklapanja I pokret, njihova ekvivalencija je dokazana.

Osnovni cilj teme je upoznavanje učenika sa pojmom kretanja u ravni, sa specifičnim tipovima kretanja: centralna i aksijalna simetrija, paralelno prevođenje, rotacija. Koncept preslikavanja ravni na sebe smatra se samo osnovom za uvođenje koncepta kretanja. Preslikavanje ravni na sebe na vizuelnom i intuitivnom nivou razmatra se korišćenjem koncepata aksijalne i centralne simetrije koji su već poznati studentima.

Od programa srednja škola u matematici još ne pruža detaljnu studiju razna svojstva od navedenih transformacija, onda pitanje upotrebe transformacija treba preneti u izbornu nastavu ili razmotriti na časovima matematičkog kruga. Kao što je već spomenuto, školski predmet geometrije za opće obrazovanje ne ulazi u detalje o matematičkoj definiciji koncepta „transformacije“. Ali nastavnik matematike treba da shvati da se u geometriji transformacija (u slučaju ravni) shvata kao „preslikavanje cele ravni na samu sebe, u kojoj svaka tačka X prikazano u jednoj tački X 1, iu svakoj tački Y 1 odgovara jednoj tački Y».

Sa učenicima razgovaramo o transformaciji oblika. Figura je, za razliku od ravni, konačna, pa je koncept transformacije figura pristupačniji. Učenicima se može reći da je transformacija ravni funkcija i obrazovanje, ali u geometriji govorimo o korespondenciji tačaka, a ne brojeva.

(2) Među transformacijama koje se proučavaju u školi postoje dvije vrste: kretanje i transformacija sličnosti. Ne izučavaju se sve vrste transformacija u školi.

„Transformacija jedne figure u drugu naziva se kretanjem ako se održava razmak između tačaka, tj. prevodi bilo koje dvije tačke X I Y jedna cifra na bodove X 1 i Y 1 druga figura tako da XY = X 1 Y 1 ".

Ako se razmatra uzastopno izvođenje dvije ili više transformacija, onda se rezultat takvog uzastopnog izvođenja transformacija u geometriji naziva kompozicija transformacije.

U ovom tutorijalu dato je samo jedno svojstvo kompozicije: dva pokreta izvedena uzastopno proizvode pokret.

Razmatra se i inverzna transformacija ove. Dokazano je da je transformacija inverzna kretanju kretanje.

Postoji implicitno svojstvo: sastav transformacije njenog inverza je identična transformacija.

Učenici treba da shvate da je nakon dokazivanja svojstava kretanja moguće operirati ne samo sa tačkama, već i sa transformacijama segmenata, pravih linija, zraka, uglova itd. I možete biti potpuno sigurni da će se figure koje su bile podvrgnute transformaciji kretanja pretvoriti u iste: segmenti će se pretvoriti u segmente, uglovi u uglove itd.; Štaviše, segmenti će se pretvoriti u jednake segmente, uglovi u jednake uglove itd.

U udžbeniku A.V. Pogorelova je dokazano da je simetrija oko tačke kretanje (koristeći prvi kriterijum za jednakost trouglova); simetrija u odnosu na pravu je kretanje (dokazana koordinatnom metodom). U drugom slučaju, os simetrije se bira kao ordinatna osa.

Sljedeći korak u proučavanju pokreta je njihovo korištenje za određivanje jednakost figure.

Jednakost figura se uvodi na različite načine u različitim školskim predmetima geometrije. Ponekad je opća definicija " jednake brojke” se uopšte ne daje, ponekad se uvodi odmah. U udžbeniku A.V. Pogorelov prvo uvodi koncept jednakosti određenih figura (segmenata, uglova, trokuta), a zatim daje opšta definicija jednakost figura koristeći koncept kretanja: “ Dvije figure se nazivaju jednakim ako se kretanjem pretvore jedna u drugu.”

To je dokazano važna činjenica: jednakost trouglova, određena njihovom kombinacijom kretanjem, i jednakost, kako smo je do sada shvatali, izražavaju isto. Drugim riječima, moguće je dokazati ekvivalentnost dvije definicije. Dokaz se sastoji iz dva dela: 1) iz pretpostavke da su 2 trougla ABC I A 1 IN 1 WITH 1 se kombiniraju kretanjem, dokazuje se jednakost njihovih odgovarajućih uglova i stranica; 2) pretpostavlja se da ti trouglovi imaju jednake odgovarajuće stranice i uglove i dokazano je da se mogu kombinovati kretanjem.

Prvi dio dokaza oslanja se na definiciju kretanja i njegovu osobinu da se uglovi održavaju tokom kretanja. Rješenje drugog dijela zadatka ovisi o lokaciji trokuta. Razmotrimo jednu od opcija dokaza, različitu od one koju je dao u udžbeniku A.V. Pogorelova. Trougao A 2 IN 1 WITH 2 je izvedeno iz trougla ABC paralelna translacija u smjeru određenom snopom aa 2 po udaljenosti aa 2. Trougao A 1 IN 1 WITH 1 je izvedeno iz trougla A 2 IN 1 WITH 2 okretanjem za ugao α u smjeru kazaljke na satu (vidi sliku 1).

Osnovni cilj proučavanja ove teme je upoznavanje učenika sa primjerima geometrijskih transformacija.

Prilikom rada na temi, glavnu pažnju treba posvetiti razvoju vještina konstruiranja slika najjednostavnijih figura (tačaka, segmenata, trokuta) s određenim pokretima. Svojstvo kretanja se koristi na vizuelnom i intuitivnom nivou; odgovarajuće teoreme se mogu razmatrati bez dokaza. Prilikom rješavanja zadataka učenici treba da se upoznaju sa primjerima figura koje imaju simetriju.

Opšti koncept o jednakosti cifara može se razmatrati samo uvodno (na primjer, u formi predavanja) bez naknadne reprodukcije dokaza od strane studenata.

U udžbeniku geometrija 7-9 HP. Atanasyana i drugih, tema „Kretanje“ počinje uvođenjem koncepta preslikavanja ravni na sebe, čija je definicija data deskriptivno.

Proučavanje teme počinje ponavljanjem koncepta tačke simetrične oko date tačke ( centralna simetrija) i dati red ( aksijalna simetrija).

Ranije, u 8. razredu, učenici su centralnu i aksijalnu simetriju smatrali svojstvom geometrijski oblici. Sada se ovi, općenito, poznati koncepti uvode kao primjeri preslikavanja ravni na samu sebe. Tokom pregleda studente treba upoznati sa konceptom održavanja udaljenosti između tačaka. Nešto poput sljedećih zadataka može poslužiti ovoj svrsi.

1. Iscrtajte tačke A 1 , IN 1, simetrično prema tačkama A I IN relativno ravno l(vidi Sl. 2a – 2c).

2. Postoji li tačka na ravni za koju ne postoji tačka simetrična u odnosu na datu pravu?

3. Dokazati da je u svakom od slučajeva 2a – 2b A 1 IN 1 = AB.

4. Sačekaj malo A 1 i IN 1, simetrično prema tačkama A I IN u odnosu na tačku O, ako a) tačka O leži na segmentu AB; b) tačka O ne leži na pravoj liniji AB.

5. Postoji li takva tačka u ravni za koju ne postoji tačka simetrična u odnosu na ovu tačku?

6. Dokazati to u svakom od 4 slučaja razmatrana u zadatku A 1 IN 1 = AB.

Sada možemo uvesti koncept preslikavanja ravni na samu sebe i ilustrirati ga primjerima centralne i aksijalne simetrije. Važno je naglasiti da su prilikom preslikavanja ravni na sebe ispunjena 2 uslova:

1) Svaka tačka u ravni je povezana sa jednom tačkom na ravni;

2) Svaka tačka na ravni se stavlja u korespondenciju sa nekom tačkom na ravni.

Nakon toga možete razmotriti zadatke konsolidacije ovaj koncept.

Sada, na osnovu zadataka 3 i 6 o kojima smo gore govorili, uvodimo koncept kretanja:

„Kretanje aviona je mapiranje aviona na sebe, uz očuvanje udaljenosti.”

Nakon toga, razmatra se teorema o preslikavanju segmenta i njegova posljedica. Učenike treba podsjetiti da se dokaz sastoji od 2 dijela:

1) dokazano je da svaka tačka R ovog segmenta MN mapira do određene tačke R 1 segment M 1 N 1 ;

2) dokazano je da u svakoj tački R 1 segment M 1 N 1 neki poen prolazi R ovog segmenta MN.

Stavka Overlay and Movement je opciona, ali se može uzeti u obzir u dobro pripremljenom času. Ovaj materijal se može prezentirati u obliku predavanja. Koncept superpozicije, na osnovu kojeg je utvrđena jednakost figura, jedan je od osnovnih (nedefiniranih) pojmova u ovom predmetu geometrije. Nametanja su takva preslikavanja ravni na sebe koja imaju svojstva izražena u aksiomima 7 – 13 (Atanasyan L.S. et al. Geo. 7-9).

Kretanje je definisan koncept: to je preslikavanje ravni na sebe, uz očuvanje udaljenosti.

Iz definicije kretanja i aksioma nametanja odmah slijedi da bilo koji preklapanje je pokret. Dokazano je i obrnuto: bilo koji pokret je nametanje.

Dakle, koncept superpozicije koincidira sa konceptom kretanja.

Nema potrebe da se od učenika traži da dokažu činjenice navedene u paragrafu 115.

Materijal o paralelnom prevođenju i rotaciji još dva tipa pokreta može se predstaviti iu obliku predavanja. Korisno je skrenuti pažnju učenika na činjenicu da se kod paralelnog prevođenja prava preslikava na pravu paralelnu njoj ili na samu sebe. Iz ovoga sledi jednostavan metod za konstruisanje slika pravih linija i segmenata sa paralelnim prevođenjem.

Jaki učenici mogu sami na času ispitati dokaz da su paralelno prevođenje i rotacija kretanja u udžbeniku, nakon čega slijedi opšta diskusija. Od slabih učenika ne treba tražiti da reprodukuju dokaze.

Na kraju poglavlja nalaze se geometrijski problemi za koje se preporučuje korištenje pokreta.

Neki od ovih problema dati su sa rješenjima.

(2b) Igra transformacije sličnosti važnu ulogu u geometriji. Ovo je razumljivo. Naš stvarni prostor ima grupu sličnosti. Svi geometrijski objekti prostora, ako su formirani od ravnih segmenata, mogu se podijeliti u 2 skupa: slične i različite figure. U mnogim sličnim brojkama mogu biti jednake. Dječji koncept sličnosti figura nastaje mnogo ranije od koncepta njihove veličine. To se objašnjava posebnostima vizualne percepcije: Dvije figure različite veličine, ali identičnog oblika ne razlikuju se.

Oblik figura se ne mijenja kada se promijeni udaljenost sa koje je figura vidljiva. Glavni znakovi nepromjenjivosti oblika figure su jednakost uglovi i proporcionalnost odgovarajućim segmentima.

U udžbeniku A.V. Pogorelova Geometrija 7 – 11 Definicija transformacije sličnosti se uvodi slično definiciji kretanja:

Transformacija figure F u figuru F 1 naziva se transformacija sličnosti ako se tokom ove transformacije rastojanje između tačaka povećava (ili smanjuje) za isti broj puta.

To znači da ako su proizvoljne tačke A I IN figure F sa ovom transformacijom idu do bodova A 1 i IN 1 figura F 1, onda A 1 IN 1 = kAV. Broj k nazvan koeficijent sličnosti.

Nakon uvođenja ovog koncepta, dokazano je da homotetija dolazi do transformacije sličnosti. Ova činjenica je dokazana vektorskom metodom. Slično, što se tiče kretanja, dokazano je da je pri transformaciji sličnost tri tačke A, IN, WITH, koji leži na istoj pravoj liniji, transformisati u tri tačke A 1 , IN 1 , WITH 1 leže na istoj pravoj liniji, a redoslijed njihovog relativnog položaja je očuvan. Iz toga slijedi da transformacija sličnosti pretvara linije u prave, zrake u zrake, segmente u segmente.

Koristeći homotetiju, dokazano je da transformacija sličnosti čuva uglove između poluprava.

Učenici treba da obrate pažnju na činjenicu da nije svaka transformacija sličnosti homotetija.

Koristeći koncept transformacije sličnosti, data je definicija sličnih figura. U udžbeniku A.V. Pogorelov prvo daje definiciju sličnih figura: „Dvije figure se nazivaju sličnima ako se pretvaraju jedna u drugu transformacijom sličnosti.

Za označavanje takvih figura, poseban simbol ~ ( F ~ F 1).

Zatim se razmatra sličnost trokuta.

U notaciji ∆ ABC~∆A 1 IN 1 WITH 1, pretpostavlja se da su vrhovi kombinovani transformacijom sličnosti na odgovarajućim mjestima, tj. A ulazi u A 1 itd.

Iz svojstava transformacije sličnosti slijedi da sličnih trouglova odgovarajući uglovi su jednaki, a odgovarajuće stranice su proporcionalne.

Dokaz karakteristika sličnosti se provodi korištenjem koncepta homotetije. Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta razmatraju se odvojeno.

Tema “Poligoni” ispituje pitanje sličnosti pravilnih konveksnih poligona.

Tema "Površine figura" bavi se pitanjem površine sličnih figura: "površine sličnih figura su povezane kao kvadrati njihovih odgovarajućih linearnih dimenzija."

Koncept transformacije figura u prostoru uvodi se na isti način kao i na ravni. Međutim, postoje neke posebnosti.

Kada se razmatra transformacija simetrije u prostoru, osim simetrije u odnosu na tačku i pravu, dodaje se i simetrija u odnosu na ravan. Novo svojstvo kretanja u prostoru je da kretanje pretvara avione u ravni. Novo svojstvo za paralelni prenos u prostoru je: kod paralelnog prenosa u prostoru, svaka ravan se transformiše ili u sebe ili u ravan paralelnu njoj.

Kada se razmatra tema “Sličnosti prostornih figura”, dodaju se sljedeće tvrdnje: “transformacija sličnosti pretvara ravnine u ravni” i “transformacija homotetije u prostoru pretvara svaku ravan koja ne prolazi kroz centar homotetije u paralelnu ravan ( ili u sebe kada k=1)".

Kada se razmatraju transformacije u prostoru, može se ograničiti na njihove intuitivne vizualne reprezentacije i ne fokusirati se na izvođenje korištenih činjenica. A glavni naglasak treba biti na korištenju transformacija u dokazivanju teorema i rješavanju problema.

U udžbeniku L.S. Atanasyan i saradnici u 8. razredu, Poglavlje VII govori o temi „Slični trouglovi“, koja počinje uvođenjem koncepta proporcionalnih segmenata. Učenicima se to objašnjava Svakodnevni život morate se baviti predmetima istog oblika, ali različitih veličina. Takvi objekti su prototipovi sličnih geometrijskih figura. Fokus je na sličnim trouglovima. Sličnost trokuta se ne uvodi kroz transformaciju sličnosti, već kroz jednakost uglova i proporcionalnost sličnih stranica. Znakovi sličnosti trokuta mogu se dokazati vrlo jednostavno, na osnovu teoreme: „Ako je ugao jednog trougla jednaka uglu drugi trokut, tada su površine ovih trokuta povezane kao proizvod stranica koje zatvaraju jednake uglove.”

Nakon dokazivanja znakova sličnosti, prikazana je primjena sličnosti na dokazivanje teorema i rješavanje zadataka. Kao praktične primjene sličnosti trokuta, opisane su metode za promjenu visine objekta i udaljenosti do nedostupne tačke. Daje se ideja o primjeni metode sličnosti u rješavanju konstrukcijskih problema.

Veoma kratke forme govori o tome kako možete odrediti sličnost proizvoljnih figura. korištena simbolika: ∆ ABC~∆A 1 IN 1 WITH 1 (trougao ABC slično trokutu A 1 IN 1 WITH 1). Dat je koncept centralno sličnih figura: „svakoj tački M figure F tačka se poredi M 1 ravni tako da točke M I M 1 leži na zraku s početkom u nekoj fiksnoj tački O, i OM 1 = kOM(vidi sliku 3). Kao rezultat ovog poređenja dobija se brojka F 1, slična slici F. U ovom slučaju brojke F I F 1 se nazivaju centralno sličnim."

(3) Metoda transformacije se koristi kada se razmatraju različiti teorijska pitanja kurs geometrije: Primena kretanja u određivanju jednakosti figura: primena transformacije sličnosti u proučavanju sličnih trouglova (u udžbeniku A.V. Pogorelova); Paralelni transport i vektori su usko povezani.

Metoda transformacije se široko koristi u rješavanju različitih geometrijskih problema. Međutim, učenici se ne upoznaju sa upotrebom ove metode u rješavanju zadataka na školskim časovima matematike. Ovo pitanje se postavlja u izbornim ili vannastavnim aktivnostima.

Metoda transformacije se koristi kod rješavanja problema dokazivanja, konstrukcije i tzv. geometrijskih problema nalaženja maksimuma i minimuma. U ovom slučaju se koriste sve vrste transformacija.

Stranica 1

Transformacije figura se proučavaju u toku geometrije na ravni i u prostoru. Ako se svaka tačka date figure na ravni ili u prostoru pomakne na neki način, onda dobijamo novu figuru. Kažu da se ova cifra dobija transformacijom iz ove.

Transformacija figure F u F2 je transformacija sličnosti, jer čuva odnose udaljenosti između odgovarajućih tačaka, ali ova transformacija nije homotetija.

Transformacija figure F u figuru F naziva se centralna transformacija ili homotetija.

Transformacija figure F u figuru P naziva se transformacija sličnosti ako se tokom ove transformacije rastojanja između tačaka mijenjaju (povećavaju ili smanjuju) za isti broj puta.

Neka transformacija figure F u figuru FI prenese različite tačke figure F u razna ložišta figure F. Neka proizvoljna tačka X figure F sa ovom transformacijom ide u tačku X figure F. figura FI u figuru F, u kojoj će tačka X ići u tačku X, naziva se inverzna transformacija date. Transformacija inverzna kretanju je također kretanje.

U geometriji se transformacija figura ove prirode naziva transformacija sličnosti.

U ovom slučaju transformacija figure se shvata kao njeno pomeranje. Među transformacijama ističu se pokreti i transformacija sličnosti. Razmatraju se posebne vrste kretanja: aksijalna simetrija, centralna simetrija, rotacija, paralelna translacija. Poseban tip transformacije sličnosti je homotetija.

Brojke koje odgovaraju ovoj transformaciji nazivaju se. Figura koja se poklapa sa svojom međusobno polarnom figurom naziva se.

U geometriji se ovakva transformacija figura naziva sličnom.

Pod kretanjem podrazumijevamo takvu transformaciju figura kada je sve njihove tačke, ne mijenjajući svoj relativni položaj, mijenjaju u odnosu na fiksne ravnine projekcija. Tokom ravnoparalelnog kretanja, sve tačke figure se pomeraju paralelne ravni. To su obično ravni ili ravni projekcije. Prave duž kojih se tačke kreću se nazivaju njihove putanje; to su ravne krive.

Međutim, u mnogim slučajevima to se dešava korisna upotreba pretvaranje figure u sličnu figuru. Ova sličnost čuva uglove, ali može promijeniti udaljenosti. U ovom slučaju, sve udaljenosti se povećavaju (ili smanjuju) u istom omjeru, koji se naziva koeficijent sličnosti.

Često je moguće doći do rješenja problema metodom transformacije figura, a čak se u mnogim slučajevima uspjeh ove metode može predvidjeti već na prvi pogled. Ova metoda se sastoji od zamjene date ili željene figure, ili nekog njihovog dijela, novom figurom povezanom s originalnom specifičnom konstrukcijom i omogućavanjem rješavanju problema ili približavanju njegovom rješenju. Za sada ćemo razmotriti samo one transformacije u kojima je nova figura jednaka staroj i razlikuje se od nje samo po položaju.

Izgradnja dezargove konfiguracije dovodi do zanimljive posljedice vezane za transformacije figura i konstrukciju perspektivnih projekcija. Prilikom rješavanja prethodnog zadatka dato je pet tačaka - Dezargova prava linija definisana sa dvije tačke M i P, Dezargova tačka S i dvije tačke A i A, koje se nalaze na istoj ivici piramide u njenim različitim presjecima. Za druge dvije tačke jednog dijela piramide (njene osnove), B i C, odgovarajuće tačke B i C su pronađene u drugom dijelu. Odgovarajuće tačke su tačke koje se nalaze na istoj ivici.

75. Primjeri transformacija oblika.

Transformacije figura se proučavaju u toku geometrije na ravni i u prostoru. Ako se svaka tačka date figure na ravni ili u prostoru pomakne na neki način, onda dobijamo novu figuru. Kažu da se ova cifra dobija transformacijom iz ove. Evo nekoliko primjera transformacije oblika.

1. Simetrija oko tačke (centralna simetrija). Simetrija oko tačke je definisana na sledeći način. Neka je O fiksna tačka, a X proizvoljna tačka. Tačka se naziva simetrična tački X u odnosu na tačku O ako te tačke leže na istoj pravoj liniji, a tačka simetrična tački O je sama tačka O. Na slici 203, tačke X i su simetrične jedna prema drugoj u odnosu na tačku O.

Neka F - ovu cifru a O je fiksna tačka ravni. Transformacija figure F u figuru u kojoj svaka njena tačka X ide u tačku simetričnu X u odnosu na datu tačku O naziva se transformacija simetrije u odnosu na tačku O. Slika 204 prikazuje simetričnu tačku u odnosu na centar O.

Na slici 205 prikazane su dvije kocke simetrične oko tačke O.

Ako se transformacija simetrije oko tačke O translira

figura u sebe, tada se figura naziva centralno simetrična, a tačka O je njen centar simetrije. Na primjer, paralelogram je centralno simetrična figura. Središte njegove simetrije je tačka preseka dijagonala (slika 206, a). Krug sa centrom O je takođe centralno simetrična figura sa centrom simetrije O (Sl. 206, b) Sve navedene figure su ravne.

U prostoru, kao i na ravni, postoji mnogo primjera centralno simetričnih figura. Na primjer, slika 207 prikazuje sljedeće figure: kocka, kugla, paralelepiped.

2. Simetrija u odnosu na pravu liniju (aksijalna simetrija). Neka je I fiksna ravna linija (Sl. 208). Za tačku se kaže da je simetrična tački X u odnosu na pravu I ako je prava okomita na pravu I i gde je O tačka preseka pravih i I. Ako tačka X leži na prava I, tada je tačka koja joj je simetrična sama tačka X. Tačka simetrična tački je tačka X. Na slici 208, a tačke su simetrične oko prave I.

Transformacija figure F u kojoj svaka tačka X ide u tačku simetričnu u odnosu na pravu I naziva se transformacija simetrije u odnosu na pravu I. U ovom slučaju, figure se nazivaju simetričnima u odnosu na pravu I.

prava linija I. Slika 208, b prikazuje kružnice simetrične u odnosu na pravu I.

Slika 209 prikazuje dvije sfere simetrične u odnosu na pravu I.

Ako transformacija simetrije u odnosu na pravu I transformira figuru F u samu sebe, tada se figura naziva simetrična u odnosu na pravu 19, a prava I se naziva osa simetrije figure.

Na primjer, prave linije koje prolaze kroz presek dijagonala pravougaonika paralelne njegovim stranicama su osi simetrije pravougaonika (slika 210, a). Prave linije na kojima leže dijagonale romba su njegove ose simetrije (slika 210, b). Krug je simetričan u odnosu na bilo koju pravu liniju koja prolazi kroz njegovo središte (slika 210, c). Sve ove brojke su ravne.

U prostoru, kao i na ravni, postoji mnogo primjera figura koje imaju osi simetrije. Slika 211 prikazuje sljedeće brojke: ovo su kuboid, konus, pravilna četvorougaona piramida.

3. Simetrija u odnosu na ravan. Neka je a proizvoljna fiksna ravan. Iz tačke X okomita se spušta na ravan a (O je tačka njenog preseka sa ravninom a) iu njenom produžetku izvan tačke O

odvojite segment jednaka bodovima X i nazivaju se simetričnim u odnosu na ravan a (Sl. 212).

Transformacija figure F u kojoj svaka tačka X figure F ide u tačku simetričnu X u odnosu na ravan a naziva se transformacija simetrije u odnosu na ravan. U ovom slučaju, figure se nazivaju simetričnim u odnosu na ravan

Slika 213 prikazuje dvije sfere simetrične u odnosu na ravan a.

Ako transformacija simetrije u odnosu na ravan transformira figuru u samu sebe, tada se kaže da je figura simetrična u odnosu na ravan; ravan se naziva ravan simetrije.

Slika 214 prikazuje dvije ravni simetrije kugle. Imajte na umu da sfera ima beskonačan broj takvih ravni simetrije. Kocka takođe ima ravni simetrije. Na slici 215 prikazana su dva od njih.

4. Homotetija. Neka je F data figura, a O fiksna tačka (slika 216). Provucimo zrak kroz proizvoljnu tačku X figure F i nacrtajmo na njoj segment jednak gdje je pozitivan broj. Transformacija figure u kojoj svaka njena tačka X ide u tačku konstruisanu na navedeni način naziva se homotetija u odnosu na

TRANSFORMACIJA SLIČNOSTI

Oblik F Transformacija u F" nazvana transformacija sličnosti , ako se tokom ove transformacije rastojanja između tačaka promene za isti broj puta (slika 1). To znači da ako su proizvoljne tačke X, Y F oblici prilikom transformacije, sličnosti idu u tačke X", Y" "F" figure zatim X"Y" = k-XY , i broj k -- isto za sve tačke X, Y . Broj k nazvan koeficijent sličnosti . Za k = l transformacija sličnosti je očito pokret.

Neka je F data figura, a O fiksna tačka (slika 2). Provucimo zrak OX kroz proizvoljnu tačku X figure F i nacrtajmo na njoj segment OX" jednak k?OX, gdje je k pozitivan broj. Transformacija figure F, u kojoj svaka njena tačka X ide u tačku X", konstruisan na naznačen način, naziva se homotetija u odnosu na centar O. Broj k se naziva koeficijent homotetije, figure F i F" se nazivaju homotetikom.

Teorema 1. Homotetija je transformacija sličnosti

Dokaz. Neka je O centar homotetije, k koeficijent homotetije, X i Y dvije proizvoljne tačke na slici (slika 3)

Fig.3

Sa homotetijom, tačke X i Y idu u tačke X" i Y" na zrakama OX i OY, respektivno, i OX" = k?OX, OY" = k?OY. Ovo implicira vektorske jednakosti OX" = kOX, OY" = kOY.

Oduzimajući ove jednakosti član po član, dobijamo: OY"-OX" = k (OY-OX).

Pošto OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, onda je X"Y" = kHY. To znači /X"Y"/=k /XY/, tj. X"Y" = kXY. Shodno tome, homotetija je transformacija sličnosti. Teorema je dokazana.

Transformacija sličnosti se široko koristi u praksi prilikom izrade crteža mašinskih delova, konstrukcija, planova lokacije itd. Ove slike su slične transformacije zamišljenih slika u punoj veličini. Koeficijent sličnosti naziva se skala. Na primjer, ako je dio terena prikazan u mjerilu 1:100, to znači da jedan centimetar na planu odgovara 1 m na tlu.

Zadatak. Na slici 4 prikazan je plan imanja u mjerilu 1:1000. Odredite dimenzije imanja (dužinu i širinu).

Rješenje. Dužina i širina imanja na planu su 4 cm i 2,7 cm.Pošto je plan rađen u razmeri 1:1000, dimenzije imanja su 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm = 40 m.

SVOJSTVA TRANSFORMACIJE SLIČNOSTI

Kao i za kretanje, dokazano je da se tokom transformacije sličnosti tri tačke A, B, C, koje leže na istoj pravoj, transformišu u tri tačke A 1, B 1, C 1, koje takođe leže na istoj pravoj. Štaviše, ako tačka B leži između tačaka A i C, onda tačka B 1 leži između tačaka A 1 i C 1. Iz toga slijedi da transformacija sličnosti pretvara linije u prave, poluprave u poluprave, a segmente u segmente.

Dokažimo da transformacija sličnosti čuva uglove između poluprava.

Zaista, neka se ugao ABC transformacijom sličnosti sa koeficijentom k transformiše u ugao A 1 B 1 C 1 (slika 5). Podvrgnimo ugao ABC homotetijskoj transformaciji u odnosu na njegov vrh B sa koeficijentom homotetije k. U ovom slučaju, tačke A i C će se pomeriti u tačke A 2 i C 2. Trouglovi A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1 jednaki su prema trećem kriterijumu. Iz jednakosti trouglova proizilazi da su uglovi A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1 jednaki. To znači da su uglovi ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki, što je i trebalo dokazati.

Ljudi su se oduvijek bavili transformacijama figura. Čovjek iz kamenog doba, prikazujući pećinske životinje na zidovima, zapravo je transformirao prostorna tijela u ravne figure. Gledanje u senku nekog objekta unutra sunčan dan, vidimo rezultat paralelnog dizajna sunčeve zrake ovaj predmet na površinu poda ili tla. A zraci koji dolaze iz lampe izvode centralni dizajn (slika 8.20)

Najvažnije od geometrijskih transformacija su pokreti i sličnosti koje su vam poznate iz planimetrije. Razmotrimo ove transformacije u prostoru.

§ 25. KRETANJA

25.1. Transformacije oblika.

Dokazujući u poglavlju 1 da određena figura F ima centralnu ili zrcalnu simetriju, pridružili smo svakoj tački X figure F neku tačku X ove figure, simetričnu tački X u odnosu na centar ili ravan, tj. izvršio neku transformaciju oblika

Podsjetimo da se općenito transformacija f (ili preslikavanje f) figure F sastoji u činjenici da je svaka njena tačka X povezana sa određenom tačkom X (slika 25.1). Sve tačke X formiraju određenu figuru F za koju se kaže da je dobijena transformacijom (prikazom) iz figure

Takođe kažu da je tačka X slika tačke X

tokom transformacije i pisati , a za figuru F kažu da je to slika figure F pod transformacijom i pisanje

Ako, uz datu transformaciju, različite točke figure odgovaraju različitim slikama, tada se transformacija naziva jedan-na-jedan. Na primjer, projektovanje prostora na ravan nije transformacija jedan-na-jedan, jer različite točke u prostoru mogu imati istu projekciju. A projektovanje ravni na ravan u pravcu koji nije paralelan sa ovim ravnima je transformacija jedan-na-jedan.

Neka se figura F dobije kao rezultat jednosmerne transformacije f iz figure F. Tada je svaka tačka figure F slika samo jedne (jedne) tačke X figure F. Zaista, inače transformacija bi prenijela dvije različite tačke figure u istu tačku X F, što je nemoguće jer je transformacija jedan prema jedan. Prema tome, svaka tačka X figure F može biti povezana sa tom jednom tačkom X figure F, čija je slika pod transformacijom f tačka X. Dakle, definišemo transformaciju figure F u figuru F, koji se naziva inverznim za transformaciju f i koji se označava Ako transformacija ima inverznu , onda se zove reverzibilna.

Iz ovih definicija odmah slijedi da ako je transformacija f invertibilna, onda je njena inverzna transformacija također invertibilna, te se stoga transformacije f nazivaju međusobno inverzne.

Neka transformacija transformiše figuru F u figuru G, a transformacija g transformiše figuru G u figuru (slika 25.2). Ako se tokom transformacije tačka X figure F pomerila u tačku figure G, a zatim se tačka Y, tokom transformacije g, pomerila u tačku figure H, tada se tačka X pomerila u tačku Z. Ovo se piše ovako: