Pravougaoni paralelepiped i njegove dijagonale. Paralelepiped i kocka. Vizuelni vodič (2019)

Instrukcije

Metod 2. Pretpostavimo da je pravougaoni paralelepiped kocka. Kocka je pravougaoni paralelepiped, svako lice je predstavljeno kvadratom. Dakle, sve njegove strane su jednake. Tada će se za izračunavanje dužine njegove dijagonale izraziti na sljedeći način:

Izvori:

dijagonalna formula pravougaonika

paralelepiped - poseban slučaj prizma u kojoj su svih šest lica paralelogrami ili pravokutnici. Paralelepiped sa pravougaonim stranama naziva se i pravougaoni. Paralelepiped ima četiri dijagonale koje se ukrštaju. Ako su date tri ivice a, b, c, možete pronaći sve dijagonale pravokutnog paralelepipeda izvođenjem dodatnih konstrukcija.

Instrukcije

Pronađite dijagonalu paralelepipeda m. Da biste to učinili, pronađite nepoznatu hipotenuzu u a, n, m: m² = n² + a². Zamena poznate vrednosti, zatim izračunajte kvadratni korijen. Dobiveni rezultat će biti prva dijagonala paralelepipeda m.

Na isti način nacrtajte uzastopno sve ostale tri dijagonale paralelepipeda. Također, za svaku od njih izvršite dodatnu konstrukciju dijagonala susjednih lica. Uzimajući u obzir formirane pravokutne trokute i primjenjujući Pitagorinu teoremu, pronađite vrijednosti preostalih dijagonala.

Video na temu

Izvori:

pronalaženje paralelepipeda

Hipotenuza je suprotna strana pravi ugao. Noge su stranice trougla koje se graniči sa pravim uglom. U odnosu na trouglove ABC i ACD: AB i BC, AD i DC–, AC je zajednička hipotenuza za oba trokuta (željena dijagonala). Dakle, AC = kvadrat AB + kvadrat BC ili AC b = kvadrat AD + kvadrat DC. Zamijenite dužine stranica pravougaonik u gornju formulu i izračunajte dužinu hipotenuze (dijagonala pravougaonik).

Na primjer, strane pravougaonik ABCD su jednake sljedećim vrijednostima: AB = 5 cm i BC = 7 cm. Kvadrat dijagonale AC date pravougaonik prema Pitagorinoj teoremi: AC na kvadrat = kvadrat AB + kvadrat BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Koristite kalkulator za izračunavanje vrijednosti kvadratni korijen 74. Trebalo bi da dobijete 8,6 cm (zaokruženo). Imajte na umu da prema jednoj od nekretnina pravougaonik, njegove dijagonale su jednake. Dakle, dužina druge dijagonale BD pravougaonik ABCD je jednaka dužini dijagonale AC. Za gornji primjer, ova vrijednost

U geometriji se razlikuju sljedeće vrste paralelepipeda: pravokutni paralelepiped (lice paralelepipeda su pravokutnici); desni paralelepiped (njegove bočne strane djeluju kao pravokutnici); kosi paralelepiped (njegove bočne strane djeluju kao okomite); kocka je paralelepiped sa apsolutno identičnim dimenzijama, a lica kocke su kvadrati. Paralelepipedi mogu biti nagnuti ili ravni.

Glavni elementi paralelepipeda su da su predstavljena dva lica geometrijska figura, koji nemaju zajedničku ivicu su suprotni, a oni koji imaju su susjedni. Vrhovi paralelepipeda, koji ne pripadaju istom licu, djeluju suprotno jedan od drugog. Paralelepiped ima dimenziju - to su tri ivice koje imaju zajednički vrh.

Segment koji spaja suprotne vrhove naziva se dijagonala. Četiri dijagonale paralelepipeda, koje se sijeku u jednoj tački, istovremeno su podijeljene na pola.

Da biste odredili dijagonalu paralelepipeda, potrebno je odrediti stranice i ivice koje su poznate iz uslova zadatka. Sa tri poznata rebra A , IN , WITH nacrtati dijagonalu u paralelepipedu. Prema svojstvu paralelepipeda, koje kaže da su svi njegovi uglovi pravi, dijagonala je određena. Konstruirajte dijagonalu od jedne od strana paralelepipeda. Dijagonale moraju biti nacrtane na takav način da dijagonala lica, željena dijagonala paralelepipeda i poznata ivica tvore trokut. Nakon što se formira trokut, pronađite dužinu ove dijagonale. Dijagonala u drugom rezultirajućem trokutu djeluje kao hipotenuza, pa se može pronaći pomoću Pitagorine teoreme, koja se mora uzeti pod kvadratni korijen. Na taj način znamo vrijednost druge dijagonale. Da bismo pronašli prvu dijagonalu paralelepipeda u formiranom pravokutnom trokutu, potrebno je pronaći i nepoznatu hipotenuzu (pomoću Pitagorine teoreme). Koristeći isti primjer, sekvencijalno pronađite preostale tri dijagonale koje postoje u paralelepipedu, izvodeći dodatne konstrukcije dijagonala koje formiraju pravokutne trokute i riješite pomoću Pitagorine teoreme.

Pravougaoni paralelepiped (PP) nije ništa drugo do prizma čija je osnova pravougaonik. Za PP, sve dijagonale su jednake, što znači da se bilo koja od njegovih dijagonala izračunava pomoću formule:

a, c - strane osnove PP;

c je njegova visina.

Druga definicija se može dati razmatranjem kartezijanskog pravougaonog koordinatnog sistema:

PP dijagonala je vektor radijusa bilo koje tačke u prostoru specificirane sa x, y i z koordinatama u Dekartovom koordinatnom sistemu. Ovaj radijus vektor do tačke je povučen iz početka. A koordinate tačke će biti projekcije vektora radijusa (dijagonale PP) na koordinatne ose. Projekcije se poklapaju sa vrhovima ovog paralelepipeda.

Paralelepiped i njegove vrste

Ako doslovno prevedemo njegovo ime sa starogrčkog, ispada da je to figura koja se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje sljedeće ekvivalentne definicije paralelepipeda:

prizma sa osnovom u obliku paralelograma;
poliedar, čija je svaka strana paralelogram.

Njegove vrste razlikuju se ovisno o tome koja figura leži u njegovoj bazi i kako su usmjerena bočna rebra. Općenito, pričamo o nagnuti paralelepiped, čija su osnova i sva lica paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog pogleda postanu pravokutnici, onda će ga trebati pozvati direktno. I pravougaona a osnova takođe ima uglove od 90º.

Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je uočljivo da su sve ivice paralelne. Ovdje je, inače, glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno da prenese tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelizam rebara je potpuno nevidljiv.

O uvedenim notacijama

U formulama ispod, oznake navedene u tabeli su važeće.

Formule za nagnuti paralelepiped

Prvi i drugi za oblasti:

Treći je izračunavanje zapremine paralelepipeda:

Budući da je baza paralelogram, za izračunavanje njegove površine morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.

Formule za pravougaoni paralelepiped

Slično prvoj tački - dvije formule za područja:

I još jedno za jačinu zvuka:

Prvi zadatak

Stanje. Dat je pravougaoni paralelepiped, čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da ona formira uglove od 30 i 45 stepeni sa ravninom bočne strane i bočnom ivicom, respektivno.

Rješenje. Da biste odgovorili na problem, morat ćete znati sve stranice u tri pravokutna trougla. Oni će dati potrebne vrijednosti rubova po kojima morate izračunati volumen.

Prvo morate shvatiti gdje je ugao od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha odakle je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Ugao između njih će biti ono što je potrebno.

Prvi trokut koji će dati jednu od vrijednosti stranica baze bit će sljedeći. Sadrži traženu stranu i dvije nacrtane dijagonale. Pravougaona je. Sada trebate koristiti omjer suprotne noge (strana baze) i hipotenuze (dijagonala). Jednako je sa sinusom od 30º. To jest, nepoznata strana baze će se odrediti kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom “a”.

Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i ivicu s kojom formira 45º. Također je pravougaona, a opet možete koristiti omjer kateta i hipotenuze. Drugim riječima, bočna ivica prema dijagonali. To je jednako kosinsu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao proizvod dijagonale i kosinusa od 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

U istom trouglu morate pronaći drugu nogu. Ovo je neophodno kako bi se zatim izračunala treća nepoznata - "in". Neka bude označeno slovom “x”. Može se lako izračunati pomoću Pitagorine teoreme:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Sada moramo razmotriti još jednu pravougaonog trougla. Već sadrži poznate stranke“c”, “x” i onaj koji treba izbrojati, “b”:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Sve tri veličine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati je:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

odgovor: zapremina paralelepipeda je 729√2 cm 3.

Drugi zadatak

Stanje. Morate pronaći volumen paralelepipeda. U njemu se zna da su stranice paralelograma, koji leži u osnovi, 3 i 6 cm, kao i njegov oštar ugao - 45º. Bočno rebro ima nagib prema osnovici od 30º i jednako je 4 cm.

Rješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelepipeda. Ali obje količine su u njemu nepoznate.

Površina baze, odnosno paralelograma, bit će određena formulom u kojoj trebate pomnožiti poznate stranice i sinus oštrog kuta između njih.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Druga nepoznata veličina je visina. Može se povući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se naći iz pravokutnog trokuta u kojem je visina kateta, a bočna ivica hipotenuza. U ovom slučaju, ugao od 30º leži nasuprot nepoznatoj visini. To znači da možemo koristiti omjer kateta i hipotenuze.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Sada su poznate sve vrijednosti i volumen se može izračunati:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

odgovor: zapremina je 18 √2 cm 3.

Treći zadatak

Stanje. Nađite zapreminu paralelepipeda ako je poznato da je ravan. Stranice njegove osnove čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm. Oštar ugao između njih je 60º. Manja dijagonala paralelepipeda jednaka je većoj dijagonali baze.

Rješenje. Da bismo saznali volumen paralelepipeda, koristimo formulu s površinom baze i visinom. Obje veličine su nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prva je visina.

Budući da se manja dijagonala paralelepipeda po veličini poklapa s većom bazom, mogu se označiti istim slovom d. Veći ugao paralelogram je 120º, jer sa akutnim tvori 180º. Neka druga dijagonala baze bude označena slovom "x". Sada za dvije dijagonale baze možemo napisati kosinusne teoreme:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Nema smisla pronalaziti vrijednosti bez kvadrata, jer će kasnije opet biti podignute na drugi stepen. Nakon zamjene podataka dobijamo:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Sada će se visina, koja je ujedno i bočna ivica paralelepipeda, pokazati kao noga u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a drugi krak će biti “x”. Pitagorinu teoremu možemo napisati:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).

Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati korištenjem formule spomenute u drugom zadatku.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Kombinirajući sve u formulu volumena, dobijamo:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Odgovor: V = 18 cm 3.

Četvrti zadatak

Stanje. Potrebno je saznati zapreminu paralelepipeda koji ispunjava sljedeće uslove: osnova je kvadrat sa stranicom od 5 cm; bočne strane su rombovi; jedan od vrhova koji se nalazi iznad baze je jednako udaljen od svih vrhova koji leže u osnovi.

Rješenje. Prvo se morate suočiti sa stanjem. S prvom tačkom o kvadratu nema pitanja. Drugi, o rombovima, jasno daje do znanja da je paralelepiped nagnut. Štaviše, svi su njegovi rubovi jednaki 5 cm, jer su stranice romba iste. A iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dvije koje leže na bočnim stranama, a posljednja je unutar paralelepipeda. A ove dijagonale su jednake ivici, odnosno imaju i dužinu od 5 cm.

Da biste odredili volumen, trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelepiped. U njemu opet nema poznatih količina. Međutim, površinu baze je lako izračunati jer je kvadrat.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

Situacija s visinom je malo složenija. Biće ovako u tri figure: paralelepiped, četvorougaona piramida i jednakokraki trougao. Ovu posljednju okolnost treba iskoristiti.

Budući da je visina, to je noga u pravokutnom trouglu. Hipotenuza u njemu bit će poznati rub, a drugi krak jednak je polovini dijagonale kvadrata (visina je također medijana). A dijagonalu baze je lako pronaći:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

odgovor: 62,5 √2 (cm 3).

U ovoj lekciji svi će moći proučiti temu "Pravougaoni paralelepiped". Na početku lekcije ponovit ćemo šta su proizvoljni i ravni paralelepipedi, zapamtiti svojstva njihovih suprotnih strana i dijagonala paralelepipeda. Zatim ćemo pogledati šta je kvadar i razmotriti njegova osnovna svojstva.

Tema: Okomitost pravih i ravni

Lekcija: Kuboid

Površina sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelepiped(Sl. 1).

Rice. 1 paralelepiped

To jest: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), oni leže u paralelne ravni tako da su bočne ivice AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelne. Tako se zove površina sastavljena od paralelograma paralelepiped.

Dakle, površina paralelepipeda je zbir svih paralelograma koji čine paralelopiped.

1. Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

(oblici su jednaki, odnosno mogu se kombinovati preklapanjem)

Na primjer:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (pošto su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (pošto su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda).

2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i tom tačkom se dijele popola.

Dijagonale paralelepipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B seku se u jednoj tački O, a svaka dijagonala je podijeljena na pola ovom tačkom (slika 2).

Rice. 2 Dijagonale paralelepipeda se sijeku i dijele na pola presječnom točkom.

3. Postoje tri četvorke jednakih i paralelnih ivica paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravim ako su njegove bočne ivice okomite na osnovice.

Neka bočna ivica AA 1 bude okomita na osnovu (slika 3). To znači da je prava AA 1 okomita na prave AD i AB, koje leže u ravni baze. To znači da bočne strane sadrže pravokutnike. A baze sadrže proizvoljne paralelograme. Označimo ∠BAD = φ, ugao φ može biti bilo koji.

Rice. 3 Desni paralelepiped

Dakle, pravi paralelepiped je paralelepiped kod kojeg su bočne ivice okomite na osnove paralelepipeda.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravougaonim, ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu. Osnove su pravokutnici.

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravougaonog oblika (slika 4), ako:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočna ivica okomita na ravan osnove, odnosno pravi paralelepiped).

2. ∠BAD = 90°, tj. osnova je pravougaonik.

Rice. 4 Pravougaoni paralelepiped

Pravougaoni paralelepiped ima sva svojstva proizvoljnog paralelepipeda. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.

dakle, kuboid je paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovu. Osnova kvadra je pravougaonik.

1. U pravokutnom paralelepipedu svih šest lica su pravokutnici.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su pravokutnici po definiciji.

2. Bočna rebra su okomita na osnovu. To znači da su sve bočne strane pravokutnog paralelepipeda pravokutnici.

3. Sve diedarski uglovi pravougaone paralelepipedne prave linije.

Razmotrimo, na primjer, diedarski ugao pravougaonog paralelepipeda sa ivicom AB, odnosno diedarski ugao između ravnina ABC 1 i ABC.

AB je ivica, tačka A 1 leži u jednoj ravni - u ravni ABB 1, a tačka D u drugoj - u ravni A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski ugao može označiti i na sljedeći način: ∠A 1 ABD.

Uzmimo tačku A na rubu AB. AA 1 je okomita na ivicu AB u ravni AVV-1, AD je okomita na ivicu AB u ravni ABC. Dakle, ∠A 1 AD - linearni ugao dati diedarski ugao. ∠A 1 AD = 90°, što znači da je diedarski ugao na ivici AB 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Slično, dokazano je da su svaki diedarski uglovi pravougaonog paralelepipeda pravi.

Kvadratna dijagonala kvadra jednak zbiru kvadrate njegove tri dimenzije.

Bilješka. Dužine tri ivice koje izlaze iz jednog vrha kvadra su mjere kvadra. Ponekad se nazivaju dužina, širina, visina.

Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravougaoni paralelepiped (slika 5).

Dokazati: .

Rice. 5 Pravougaoni paralelepiped

dokaz:

Prava CC 1 je okomita na ravan ABC, a samim tim i na pravu AC. To znači da je trougao CC 1 A pravougao. Prema Pitagorinoj teoremi:

Razmotrimo pravougli trougao ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:

Ali prije Krista i naše ere - suprotne strane pravougaonik. Dakle BC = AD. onda:

Jer , A , To. Pošto je CC 1 = AA 1, to je ono što je trebalo dokazati.

Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake.

Označimo dimenzije paralelepipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Definicija

Poliedar nazvat ćemo zatvorenu površinu sastavljenu od poligona i koja ograničava određeni dio prostora.

Segmenti koji su stranice ovih poligona nazivaju se rebra poliedar, a sami poligoni su ivice. Vrhovi poligona se nazivaju vrhovi poliedra.

Razmotrićemo samo konveksne poliedre (ovo je poliedar koji se nalazi na jednoj strani svake ravnine koja sadrži njeno lice).

Poligoni koji čine poliedar čine njegovu površinu. Dio prostora koji je omeđen datim poliedrom naziva se njegova unutrašnjost.

Definicija: prizma

Razmotrimo dva jednaka poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) smještena u paralelnim ravninama tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelno. Poliedar formiran od poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) , kao i od paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), naziva se (\(n\)-gonalni) prizma.

Poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) se nazivaju baze prizme, paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočne strane, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočna rebra.
Dakle, bočne ivice prizme su paralelne i jednake jedna drugoj.

Pogledajmo primjer - prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), u čijoj osnovi leži konveksni pentagon.

Visina prizme su okomite spuštene iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge baze.

Ako bočne ivice nisu okomite na bazu, onda se takva prizma naziva skloni(slika 1), inače – ravno. U pravoj prizmi, bočne ivice su visine, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Ako pravilni mnogokut leži u osnovi ravne prizme, tada se prizma naziva ispravan.

Definicija: koncept volumena

Jedinica za mjerenje zapremine je jedinična kocka (kocka koja mjeri \(1\puta1\put1\) jedinica\(^3\), gdje je jedinica određena mjerna jedinica).

Možemo reći da je volumen poliedra količina prostora koju ovaj poliedar ograničava. Inače: ovo je veličina čija brojčana vrijednost pokazuje koliko puta se jedinična kocka i njeni dijelovi uklapaju u dati poliedar.

Volumen ima ista svojstva kao i površina:

1. Sveske jednake brojke su jednaki.

2. Ako je poliedar sastavljen od nekoliko poliedara koji se ne seku, onda je njegov volumen jednak zbiru zapremina ovih poliedara.

3. Volumen je nenegativna veličina.

4. Zapremina se mjeri u cm\(^3\) (kubnim centimetrima), m\(^3\) (kubnim metrima) itd.

Teorema

1. Površina bočne površine prizme jednaka je proizvodu obima osnove i visine prizme.
Bočna površina je zbir površina bočnih površina prizme.

2. Zapremina prizme jednaka je umnošku površine osnove i visine prizme: \

Definicija: paralelepiped

Paralelepiped je prizma sa paralelogramom u osnovi.

Sve strane paralelepipeda (postoje \(6\) : \(4\) bočne strane i \(2\) baze) su paralelogrami, a suprotne strane (paralelne jedna drugoj) su jednaki paralelogrami (slika 2) .

Dijagonala paralelepipeda je segment koji povezuje dva vrha paralelepipeda koji ne leže na istoj strani (ima ih \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) itd.).

Pravougaoni paralelepiped je pravi paralelepiped sa pravougaonikom u osnovi.
Jer Pošto je ovo pravi paralelepiped, bočne strane su pravokutnici. To znači da su općenito sva lica pravokutnog paralelepipeda pravokutnici.

Sve dijagonale pravokutnog paralelepipeda su jednake (ovo slijedi iz jednakosti trokuta \(\trokut ACC_1=\trokut AA_1C=\trokut BDD_1=\trokut BB_1D\) itd.).

Komentar

Dakle, paralelepiped ima sva svojstva prizme.

Teorema

Bočna površina pravokutnog paralelepipeda je \

Square puna površina pravougaoni paralelepiped je jednak \

Teorema

Zapremina kvadra jednaka je umnošku njegove tri ivice koje izlaze iz jednog vrha (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Jer U pravougaonom paralelepipedu, bočne ivice su okomite na osnovu, tada su i njegove visine, odnosno \(h=AA_1=c\) Jer onda je osnova pravougaonik \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Odatle dolazi ova formula.

Teorema

Dijagonala \(d\) pravokutnog paralelepipeda nalazi se pomoću formule (gdje su \(a,b,c\) dimenzije paralelepipeda) \

Dokaz

Pogledajmo sl. 3. Jer osnova je pravougaonik, tada je \(\trougao ABD\) pravougaonik, dakle, prema Pitagorinoj teoremi \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jer onda su sve bočne ivice okomite na baze \(BB_1\perp (ABC) \Strelica desno BB_1\) okomito na bilo koju pravu liniju u ovoj ravni, tj. \(BB_1\perp BD\) . To znači da je \(\trougao BB_1D\) pravougaonog oblika. Zatim, po Pitagorinoj teoremi \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definicija: kocka

Kocka je pravougaoni paralelepiped, čija su sva lica jednaka kvadrata.

Dakle, tri dimenzije su jednake jedna drugoj: \(a=b=c\) . Dakle, sljedeće su istinite

Teoreme

1. Zapremina kocke sa rubom \(a\) jednaka je \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Dijagonala kocke se nalazi pomoću formule \(d=a\sqrt3\) .

3. Ukupna površina kocke \(S_(\text(puna kocka))=6a^2\).

Tema: Okomitost pravih i ravni

Lekcija: Kuboid

Površina sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelepiped(Sl. 1).

Rice. 1 paralelepiped

To jest: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), oni leže u paralelnim ravnima tako da su bočne ivice AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelne. Tako se zove površina sastavljena od paralelograma paralelepiped.