Tema aritmetička sredina i geometrijska sredina uključena je u program matematike za 6-7 razred. Pošto je paragraf prilično lak za razumevanje, brzo se završava, i to do kraja školske godineškolarci ga zaboravljaju. Ali za polaganje Jedinstvenog državnog ispita, kao i za međunarodne SAT ispite, potrebno je znanje iz osnovne statistike. Da i za Svakodnevni život razvijeno analitičko mišljenje nikad ne škodi.
Kako izračunati aritmetičku sredinu i geometrijsku sredinu brojeva
Recimo da postoji niz brojeva: 11, 4 i 3. Aritmetička sredina je zbir svih brojeva podijeljen brojem datih brojeva. To jest, u slučaju brojeva 11, 4, 3, odgovor će biti 6. Kako se dobija 6?
Rješenje: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Imenilac mora sadržavati broj jednak broju brojeva čiji prosjek treba pronaći. Zbir je djeljiv sa 3, jer postoje tri člana.
Sada treba da odredimo geometrijsku sredinu. Recimo da postoji niz brojeva: 4, 2 i 8.
Prosjek geometrijski brojevi se naziva umnožak svih datih brojeva, koji se nalaze ispod korena sa stepenom jednakim broju datih brojeva.To jest, u slučaju brojeva 4, 2 i 8, odgovor će biti 4. Ovako je ispalo :
Rješenje: ∛(4 × 2 × 8) = 4
U obje opcije dobili smo cijele odgovore, jer su za primjer uzeti posebni brojevi. To se ne dešava uvijek. U većini slučajeva, odgovor se mora zaokružiti ili ostaviti u korijenu. Na primjer, za brojeve 11, 7 i 20, aritmetička sredina je ≈ 12,67, a geometrijska sredina je ∛1540. A za brojeve 6 i 5 odgovori će biti 5,5 i √30, respektivno.
Može li se dogoditi da aritmetička sredina postane jednaka geometrijskoj sredini?
Naravno da može. Ali samo u dva slučaja. Ako postoji niz brojeva koji se sastoji samo od jedinica ili nula. Također je vrijedno napomenuti da odgovor ne ovisi o njihovom broju.
Dokaz sa jedinicama: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetička sredina).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrijska sredina).
Dokaz sa nulama: (0 + 0) / 2=0 (aritmetička sredina).
√(0 × 0) = 0 (geometrijska sredina).
Druge opcije nema i ne može biti.
Šta je aritmetička sredina?
- Aritmetička sredina niza brojeva je količnik dijeljenja zbira ovih brojeva brojem članova
- podijeliti
- Brojčana sredina (srednja), aritmetička sredina (aritmetička sredina) - prosečna vrednost koja karakteriše grupu posmatranja; izračunava se zbrajanjem brojeva iz ovog niza, a zatim dijeljenjem rezultirajućeg zbroja sa brojem zbrojenih brojeva. Ako se jedan ili više brojeva u grupi značajno razlikuju od ostalih, to može iskriviti rezultirajuću aritmetičku sredinu. Stoga u u ovom slučaju poželjno je koristiti geometrijsku sredinu (izračunava se na sličan način, ali se ovdje određuje aritmetička sredina logaritama vrijednosti promatranja, a zatim se pronalazi njen antilogaritam) ili - što se najčešće koristi - da se pronađite srednju vrijednost (prosječnu vrijednost niza vrijednosti, poredanih u rastućem redoslijedu). Drugi metod dobijanja prosečne vrednosti bilo koje vrednosti iz grupe posmatranja je određivanje moda (moda) - indikatora (ili skupa indikatora) koji vrednuje najčešće manifestacije bilo koje varijable; Češće se ova metoda koristi za određivanje prosječne vrijednosti u nekoliko serija eksperimenata.
Na primjer: brojevi 1 i 99, zbrojite i podijelite sa dva:
(1+99)/2=50 - aritmetička sredina
Ako uzmete brojeve (1,2,3,15,59)/5=16 - aritmetička sredina, itd, itd. - Aritmetička sredina (u matematici i statistici) je jedna od najčešćih mjera centralne tendencije, koja predstavlja zbir svih zabilježenih vrijednosti podijeljen njihovim brojem.
Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte prosječno značenje.
Aritmetička sredina (u matematici i statistici) je jedna od najčešćih mjera centralne tendencije, koja predstavlja zbir svih zabilježenih vrijednosti podijeljen njihovim brojem.Predloženo (zajedno sa geometrijskom sredinom i harmonijskom sredinom) od Pitagorejaca 1.
Posebni slučajevi aritmetičke sredine su srednja vrijednost (opća populacija) i uzorkovana sredina (uzorak).
Grčko slovo se koristi za označavanje aritmetičke sredine cjelokupnog stanovništva. Za slučajnu varijablu za koju je određena srednja vrijednost, postoji vjerovatnoća srednja vrijednost ili matematičko očekivanje slučajne varijable. Ako je skup X kolekcija slučajnih brojeva sa vjerovatnoćom srednje vrijednosti, tada je za bilo koji uzorak xi iz ove populacije = E(xi) matematičko očekivanje ovog uzorka.
U praksi, razlika između i bar(x) je u tome što je to tipična varijabla, jer možete vidjeti uzorak, a ne cijeli opšta populacija. Stoga, ako je uzorak predstavljen nasumično (u smislu teorije vjerovatnoće), onda se bar(x) , (ali ne) može tretirati kao slučajna varijabla koja ima distribuciju vjerovatnoće na uzorku (distribucija vjerovatnoće srednje vrijednosti).
Obje ove količine se izračunavaju na isti način:
bar(x) = frac(1)(n)suma_(i=1)^n x_i = frac(1)(n) (x_1+cdots+x_n).
Ako je X slučajna varijabla, onda se očekivana vrijednost X može smatrati aritmetičkom sredinom ponovljenih mjerenja X. Ovo je manifestacija zakona veliki brojevi. Stoga se srednja vrijednost uzorka koristi za procjenu nepoznate očekivane vrijednosti.U elementarnoj algebri je dokazano da je prosjek n + 1 brojeva veći od prosjeka n brojeva ako i samo ako je novi broj veći od starog prosjeka, manji ako i samo ako je novi broj manji od prosjeka , i ne mijenja se ako i samo ako je novi broj jednak prosjeku. Što je n veće, to je manja razlika između novog i starog prosjeka.
Imajte na umu da postoji nekoliko drugih prosjeka, uključujući prosječnu snagu, Kolmogorovljev prosjek, harmonički prosjek, aritmetičko-geometrijski prosjek i različite ponderisane prosjeke.
Primjeri za uređivanje wiki teksta
Za tri broja morate ih sabrati i podijeliti sa 3:
frac(x_1 + x_2 + x_3)(3).
Za četiri broja, trebate ih sabrati i podijeliti sa 4:
frac(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)(4).
Ili jednostavnije 5+5=10, 10:2. Pošto smo sabirali 2 broja, što znači koliko brojeva sabiramo, dijelimo s tim brojem.Kontinuirana slučajna varijabla za uređivanje wiki teksta
Za kontinuirano distribuiranu veličinu f(x), aritmetička sredina na segmentu a;b određena je kroz definitivni integral: Neki problemi korištenja srednje vrijednosti Nedostatak robusnosti uredi Glavni članak: Robustnost u statistici Iako se aritmetička sredina često koristi kao prosječne vrijednosti ili središnje tendencije, ovaj koncept se ne primjenjuje na robusnu statistiku, što znači da je aritmetička sredina podložna jak uticaj velika odstupanja. Važno je napomenuti da za distribucije sa velikim koeficijentom asimetrije, aritmetička sredina - Ovo je sabiranje brojeva i njihovo dijeljenje, koliko ih je bilo ovako 33+66+99= zbrajanjem 33+66+99= 198 i dijeljenjem koliko ih je pročitano, imamo 3 broja koji su 33 66 i 99 i mi ovo što smo dobili treba podijeliti ovako: 33+ 66+99=198:3=66 je prosječna oretmetika
- pa to je kao 2+8=10 a prosjek je 5
- Aritmetička sredina skupa brojeva definira se kao njihov zbir podijeljen njihovim brojem. To jest, zbir svih brojeva u skupu je podijeljen sa brojem brojeva u ovom skupu.
Najjednostavniji slučaj je pronaći aritmetičku sredinu dva broja x1 i x2. Tada je njihova aritmetička sredina X = (x1+x2)/2. Na primjer, X = (6+2)/2 = 4 je aritmetička sredina brojeva 6 i 2.
2
Opća formula da bi se pronašla aritmetička sredina n brojeva to će izgledati ovako: X = (x1+x2+...+xn)/n. Može se napisati i u obliku: X = (1/n)xi, gdje se sumiranje vrši preko indeksa i od i = 1 do i = n.Na primjer, aritmetička sredina tri broja X = (x1+x2+x3)/3, pet brojeva - (x1+x2+x3+x4+x5)/5.
3
Interesantna situacija je kada skup brojeva predstavlja pojmove aritmetička progresija. Kao što je poznato, članovi aritmetičke progresije su jednaki a1+(n-1)d, gdje je d korak progresije, a n broj člana progresije.Neka su a1, a1+d, a1+2d,...a1+(n-1)d članovi aritmetičke progresije. Njihova aritmetička sredina je jednaka S = (a1+a1+d+a1+2d+...+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+...+(n-1)d) /n = a1+(d+2d+...+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+dn-d+dn-2d)/n = a1+( n* d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2. Dakle, aritmetička sredina članova aritmetičke progresije jednaka je aritmetičkoj sredini njenih prvih i zadnjih članova.
4
Svojstvo je takođe tačno da je svaki član aritmetičke progresije jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova progresije: an = (a(n-1)+a(n+1))/2, gde je a (n-1), an, a( n+1) su uzastopni članovi niza. - Podijelite zbir brojeva njihovim brojem
- ovo je kada sve saberete i podelite
- Ako se ne varam, ovo je kada zbrojite zbir brojeva i podijelite sa brojem samih brojeva...
- ovo je kada imate nekoliko brojeva, saberete ih i zatim podijelite s njihovim brojem! Recimo 25 24 65 76, dodaj: 25+24+65+76:4=aritmetička sredina!
- Vyachaslav Bogdanov je netačno odgovorio!!! !
Tvojim vlastitim riječima!
Aritmetička sredina je srednja vrednost između dve vrednosti.... Nalazi se kao zbir brojeva podeljen brojem... Ili jednostavno, ako su dva broja oko nečijeg broja (ili bolje rečeno, postoji neki broj po redu između njih), onda će ovaj broj biti prosjek. ar. !6 + 8... av ar = 7
- razdjelnik gygygygygygyggy
- Prosjek između maksimuma i minimuma (sve se zbrajaju) numerički indikatori i podijeljeno sa njihovim brojem
) - ovo je kada zbrojite brojeve i podijelite sa brojem brojeva
Šta je prosjek aritmetički broj? Kako pronaći aritmetičku sredinu? Gdje i za šta se koristi ova vrijednost?
Da biste u potpunosti razumjeli suštinu problema, potrebno je nekoliko godina učiti algebru u školi, a zatim na institutu. Ali u svakodnevnom životu, da bismo znali pronaći aritmetičku sredinu brojeva, nije potrebno znati sve o tome temeljito. Objašnjavanje jednostavnim jezikom, je zbir brojeva podijeljen brojem tih brojeva.
Budući da nije uvijek moguće izračunati aritmetičku sredinu bez ostatka, vrijednost se može čak pokazati razlomkom, čak i kada se izračuna prosječan broj ljudi. To je zbog činjenice da je aritmetička sredina apstraktan koncept.
Ova apstraktna vrijednost utiče na mnoga područja savremeni život. Koristi se u matematici, biznisu, statistici, često čak iu sportu.
Na primjer, mnoge zanimaju svi članovi grupe ili prosječan broj namirnica koje se pojedu mjesečno u jednom danu. A podaci o tome koliko je u prosjeku potrošeno na bilo koji skup događaj mogu se pronaći u svim medijskim izvorima. Najčešće se, naravno, takvi podaci koriste u statistici: da se tačno zna koja pojava je opala, a koja se povećala; koji proizvod je najtraženiji iu kom periodu; za lako uklanjanje neželjenih indikatora.
U sportu možemo naići na koncept prosjeka kada nam se, na primjer, kaže prosečne starosti sportista ili golova postignutih u fudbalu. Kako se izračunava prosječna ocjena na takmičenjima ili na našem voljenom KVN-u? Da, za ovo ne morate ništa drugo nego pronaći aritmetičku sredinu svih ocjena koje su dale sudije!
Inače, često u školski život neki nastavnici pribjegavaju sličnoj metodi, dajući tromjesečne i godišnje ocjene svojim učenicima. Takođe se često koristi u visokom obrazovanju obrazovne institucije, često u školama, za izračunavanje prosječne ocjene učenika, za utvrđivanje efikasnosti nastavnika ili za distribuciju učenika prema njihovim mogućnostima. Još uvijek postoji mnogo područja života u kojima se ova formula koristi, ali je cilj u osnovi isti – saznati i kontrolirati.
U poslovanju, aritmetički prosjek se može koristiti za izračunavanje i kontrolu prihoda i gubitaka, plata i drugih rashoda. Na primjer, prilikom podnošenja potvrda o prihodima nekim organizacijama, potreban je mjesečni prosjek za posljednjih šest mjeseci. Iznenađujuće je da neki zaposleni u čije dužnosti spada i prikupljanje takvih informacija, nakon što su dobili potvrdu ne o prosječnoj mjesečnoj plati, već jednostavno o prihodima za šest mjeseci, ne znaju kako pronaći aritmetički prosjek, odnosno izračunati prosječnu mjesečnu platu. .
Aritmetički prosjek je karakteristika (cijena, plata, stanovništvo itd.), čiji se obim ne mijenja tokom izračunavanja. Jednostavnim riječima, kada se izračuna prosječan broj jabuka koje pojedu Petya i Masha, rezultat će biti broj koji će biti jednak polovini ukupnog broja jabuka. Čak i da je Maša pojela deset, a Petja samo jednu, kada ćemo ih podijeliti? ukupno na pola, onda dobijamo aritmetičku sredinu.
Danas se mnogi šale na račun Putinove izjave da je prosječna plata onih koji žive u Rusiji 27 hiljada rubalja. Šale duhovitosti u osnovi zvuče ovako: „Ili ja nisam Rus? Ili više ne živim? A cijelo je pitanje da ove pameti također očigledno ne znaju kako pronaći aritmetički prosjek plata ruskih stanovnika.
Treba samo sabrati prihode oligarha, poslovnih ljudi, biznismena s jedne strane i plate čistačica, domara, prodavača i konduktera s druge strane. Zatim podijelite rezultirajući iznos s brojem ljudi čiji prihod uključuje ovaj iznos. Tako dobijamo neverovatnu cifru, koja se izražava kao 27.000 rubalja.
Najčešći tip prosjeka je aritmetička sredina.
Jednostavna aritmetička sredina
Prosta aritmetička sredina je prosječan pojam, pri određivanju kojeg je ukupna zapremina ove karakteristike u podacima se ravnomjerno raspoređuje na sve jedinice uključene u datu populaciju. Dakle, prosječna godišnja proizvodnja po radniku je količina proizvodnje koja bi pala na svakog zaposlenog da je cjelokupni obim proizvodnje u u istom stepenu distribuiraju svim zaposlenima u organizaciji. Prosta aritmetička srednja vrijednost izračunava se pomoću formule:
Primjer 1 . Tim od 6 radnika prima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 hiljada rubalja mjesečno.Jednostavni aritmetički prosjek— Jednako omjeru zbira pojedinačnih vrijednosti karakteristike i broja karakteristika u zbiru
Pronađite prosječnu platu
Rješenje: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 hiljade rubalja.
Ponderisan aritmetički prosjek
Ako je volumen skupa podataka velik i predstavlja seriju distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderisana prosečna cena po jedinici proizvodnje: ukupni troškovi proizvoda (zbir proizvoda njegove količine i cijene jedinice proizvodnje) dijeli se sa ukupnom količinom proizvoda.
Zamislimo ovo u obliku sljedeće formule:
Primjer 2 . Pronađite prosječnu mjesečnu platu radnika radionicePonderisani aritmetički prosjek— jednak omjeru (zbir proizvoda vrijednosti neke karakteristike i učestalosti ponavljanja ove karakteristike) prema (zbir frekvencija svih karakteristika). Koristi se kada se pojave varijante populacije koja se proučava nejednak broj puta.
Prosječna plata se može dobiti dijeljenjem ukupnog iznosa plate on ukupan broj radnici:
Odgovor: 3,35 hiljada rubalja.
Aritmetička sredina za intervalne serije
Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija, prvo odredite srednju vrijednost za svaki interval kao polovinu zbroja gornje i donje granice, a zatim srednju vrijednost cijelog niza. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala određena je veličinom intervala koji se nalaze uz njih.
Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni.
Primjer 3. Odredite prosječnu starost večernjih učenika.
Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stepen njihove aproksimacije zavisi od toga koliko se stvarna distribucija jedinica stanovništva unutar intervala približava ravnomernoj raspodeli.
Prilikom izračunavanja prosjeka, ne samo apsolutnih, već i relativne vrijednosti(učestalost):
Aritmetička sredina ima niz svojstava koja potpunije otkrivaju njenu suštinu i pojednostavljuju proračune:
1. Proizvod prosjeka zbirom frekvencija uvijek je jednak zbiru proizvoda varijante po frekvencijama, tj.
2. Aritmetička sredina zbira različitih veličina jednaka je zbiru aritmetičkih sredina ovih veličina:
3. Algebarski zbir odstupanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike od prosjeka jednak je nuli:
4. Zbir kvadrata odstupanja opcija od prosjeka manji je od zbira kvadrata odstupanja od bilo koje druge proizvoljne vrijednosti, tj.
U matematici, aritmetička sredina brojeva (ili jednostavno sredina) je zbir svih brojeva u datom skupu podijeljen sa brojem brojeva. Ovo je najopćenitiji i najrašireniji koncept prosječne vrijednosti. Kao što ste već shvatili, da biste pronašli, morate zbrojiti sve brojeve koji su vam dati, a rezultat podijeliti s brojem pojmova.
Šta je aritmetička sredina?
Pogledajmo primjer.
Primjer 1. Dati brojevi: 6, 7, 11. Potrebno je pronaći njihovu prosječnu vrijednost.
Rješenje.
Prvo, pronađimo zbir svih ovih brojeva.
Sada podijelite rezultirajuću sumu sa brojem članova. Pošto imamo tri člana, podelićemo sa tri.
Dakle, prosek brojeva 6, 7 i 11 je 8. Zašto 8? Da, jer će zbir 6, 7 i 11 biti isti kao tri osmice. To se jasno vidi na ilustraciji.
Prosjek je pomalo poput „uvečevanja“ niza brojeva. Kao što vidite, hrpe olovaka su postale iste razine.
Pogledajmo još jedan primjer kako bismo konsolidirali stečeno znanje.
Primjer 2. Zadati brojevi: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.
Rješenje.
Pronađite iznos.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Podijelite s brojem pojmova (u ovom slučaju - 15).
Stoga je prosječna vrijednost ove serije brojeva 22.
Sada razmotrimo negativni brojevi. Prisjetimo se kako ih sažeti. Na primjer, imate dva broja 1 i -4. Nađimo njihov zbir.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Znajući ovo, pogledajmo još jedan primjer.
Primjer 3. Pronađite prosječnu vrijednost niza brojeva: 3, -7, 5, 13, -2.
Rješenje.
Pronađite zbir brojeva.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Pošto postoji 5 članova, rezultujući zbir podijelite sa 5.
Dakle, aritmetička sredina brojeva 3, -7, 5, 13, -2 je 2,4.
U naše vreme tehnološki napredak mnogo pogodnije za korištenje za pronalaženje prosječne vrijednosti kompjuterski programi. Microsoft Office Excel je jedan od njih. Pronalaženje prosjeka u Excelu je brzo i jednostavno. Štaviše, ovaj program je uključen u softverski paket Microsoft Office. Hajde da razmotrimo kratka uputstva, vrijednost pomoću ovog programa.
Da biste izračunali prosječnu vrijednost niza brojeva, morate koristiti funkciju AVERAGE. Sintaksa za ovu funkciju je:
= Prosjek(argument1, argument2, ... argument255)
gdje su argument1, argument2, ... argument255 ili brojevi ili reference na ćelije (ćelije se odnose na opsege i nizove).
Da bude jasnije, isprobajmo stečeno znanje.
- Unesite brojeve 11, 12, 13, 14, 15, 16 u ćelije C1 - C6.
- Odaberite ćeliju C7 klikom na nju. U ovoj ćeliji ćemo prikazati prosječnu vrijednost.
- Kliknite na karticu Formule.
- Odaberite Više funkcija > Statistički za otvaranje
- Odaberite PROSJEČNO. Nakon toga bi se trebao otvoriti dijaloški okvir.
- Odaberite i povucite ćelije C1-C6 tamo da biste postavili raspon u dijaloškom okviru.
- Potvrdite svoje radnje tipkom "OK".
- Ako ste sve uradili ispravno, trebalo bi da imate odgovor u ćeliji C7 - 13.7. Kada kliknete na ćeliju C7, funkcija (=Prosjek(C1:C6)) će se pojaviti u traci formule.
Ova funkcija je vrlo korisna za računovodstvo, fakture ili kada jednostavno trebate pronaći prosjek veoma dugačke serije brojeva. Stoga se često koristi u uredima i velikim kompanijama. Ovo vam omogućava da svoju evidenciju vodite u redu i omogućava brzo izračunavanje nečega (na primjer, prosječna mjesečna primanja). Također možete koristiti Excel da pronađete prosječnu vrijednost funkcije.