U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli moć broja. Danas ćemo pokušati da se krećemo kroz proces pronalaženja njegovog značenja. Naučno gledano, shvatićemo kako pravilno dizati na stepen. Shvatit ćemo kako se ovaj proces izvodi, a ujedno ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata: prirodnih, iracionalnih, racionalnih, cjelobrojnih.

Dakle, pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

1. Definicija pojma.
2. Uzdizanje do negativne umjetnosti.
3. Cijeli indikator.
4. Podizanje broja na iracionalni stepen.

Evo definicije koja tačno odražava značenje: “Postavljanje u eksponencijal je definicija vrijednosti stepena broja.”

Shodno tome, podizanje broja a u čl. r i proces nalaženja vrijednosti stepena a sa eksponentom r su identični koncepti. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost snage (0,6)6″, onda se može pojednostaviti na izraz „Podigni broj 0,6 na stepen 6.“

Nakon toga možete nastaviti direktno na pravila izgradnje.

Podizanje na negativnu potenciju

Radi jasnoće, obratite pažnju na sljedeći lanac izraza:

110=0,1=1* 10 minus 1 kašika,

1100=0,01=1*10 u minus 2 stepena,

11000=0,0001=1*10 u minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stepena.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračunavanja 10 u bilo kojem minus stepen. U tu svrhu dovoljno je jednostavno pomaknuti decimalnu komponentu:

• 10 do -1 stepen - ispred jedan je 1 nula;
• u -3 - tri nule prije jedan;
• u -9 ima 9 nula i tako dalje.

Iz ovog dijagrama je također lako razumjeti koliko će biti 10 minus 5 tbsp. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići broj na prirodni stepen

Prisjećajući se definicije, uzimamo u obzir da prirodni broj a u čl. n je jednako proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrujmo: (a*a*…a)n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Prema tome, da bi se a podiglo na n, potrebno je izračunati proizvod sljedećeg oblika: a*a*…a podijeljen sa n puta.

Iz ovoga postaje očigledno da podizanje do prirodne sv. oslanja se na sposobnost množenja(ovaj materijal je obrađen u odjeljku o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Povećajte -2 do 4. st.

Imamo posla sa prirodnim indikatorom. Shodno tome, tok odluke će biti sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sada ostaje samo da pomnožite cijele brojeve: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dobijamo 16.

Odgovor na problem:

(-2) u čl. 4=16.

primjer:

Izračunajte vrijednost: tri zareze dvije sedmine na kvadrat.

Ovaj primjer je jednak sljedećem proizvodu: tri zareze dvije sedme pomnožene sa tri zareze dvije sedme. Podsjećajući kako se množe mješoviti brojevi, završavamo konstrukciju:

• 3 bod 2 sedme pomnožene same sa sobom;
• jednako 23 sedmine pomnoženo sa 23 sedmine;
• iznosi 529 četrdeset devetih;
• smanjimo i dobijemo 10 trideset devet četrdeset devetih.

odgovor: 10 39/49

Što se tiče pitanja podizanja na iracionalni eksponent, treba napomenuti da se proračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stepena na bilo koju cifru koja bi omogućila dobivanje vrijednosti sa datom tačnošću. Na primjer, trebamo kvadrirati broj P (pi).

Počinjemo sa zaokruživanjem P na stotinke i dobijamo:

P na kvadrat = (3,14)2=9,8596. Međutim, ako smanjimo P na deset hiljaditih, dobićemo P = 3,14159. Tada kvadriranje daje potpuno drugačiji broj: 9,8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim problemima nema potrebe podizati iracionalne brojeve na stepene. U pravilu, odgovor se unosi ili u obliku stvarnog stepena, na primjer, korijen od 6 na stepen od 3, ili, ako izraz dozvoljava, vrši se njegova transformacija: korijen od 5 do 7 stupnjeva = 125 korijen od 5.

Kako podići broj na cijeli broj

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sljedeće slučajeve:

• za cijele brojeve;
• za nulti indikator;
• za pozitivan cijeli broj eksponent.

Budući da se gotovo svi pozitivni cijeli brojevi poklapaju sa masom prirodnih brojeva, postavljanje na pozitivni cijeli broj je isti proces kao i postavljanje u čl. prirodno. Ovaj proces opisali smo u prethodnom paragrafu.

Sada razgovarajmo o izračunavanju st. null. Iznad smo već saznali da se nulti stepen broja a može odrediti za bilo koji ne-nula a (realan), dok a u čl. 0 će biti jednako 1.

Prema tome, podizanje bilo kojeg realnog broja na nulu st. će dati jedan.

Na primjer, 10 u st. 0=1, (-3,65)0=1 i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Da bismo završili podizanje na cijeli broj, ostaje da se odlučimo za opcije za negativne cjelobrojne vrijednosti. Podsjećamo da je čl. iz a sa celobrojnim eksponentom -z će biti definisan kao razlomak. Imenilac razlomka je st. sa pozitivnim cijelim brojem, čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo da razmotrimo primjer konstrukcije.

primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 u kocki s negativnim cijelim eksponentom.

Proces rješenja:

Prema definiciji stepena sa negativnim eksponentom, označavamo: dva minus 3 stepena. jednako jedan prema dva na treći stepen.

Imenilac se izračunava jednostavno: dva kubna;

3 = 2*2*2=8.

odgovor: dva na minus 3. čl. = jedna osmina.

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Da naučite sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje Svakodnevni život pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspjehu prolazeći OGE ili Jedinstveni državni ispit i upis na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao i sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik sa vrlo jednostavnim primjerima. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svako ima po dve flaše kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Veoma dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno pokriti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni „brojanjem prstom“. Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? Šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku ​​“eksponencijacije”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također ima manje grešaka u proračunima Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: prebrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska tabla kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti, inače, mere se u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je metar veličine i metar duboko i pokušajte da izbrojite koliko će kockica dimenzija metar sa metar uklopiti u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko ste dobili? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Piše se ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa, da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da bi sami riješili životni problemi, a da vam ne stvaram probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki milion koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i „brojite prstom“, to znači da ste jako vredan čovek i.. glup. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milion. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zabune

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj u nulti stepen jednako jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno ovo poseban slučaj može se proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, ali ovo su samo dvoje različiti unosi isti broj.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni stepen- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci diplomirao sa kompleksni indikator, odnosno indikator nije čak ni pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

IN u ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možemo formulisati sljedeće jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga prisjetimo, postaje jasno to, a samim tim i osnova manje od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjajući samo jedan nedostatak koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ima ukupno slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih brojeva).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nisu počeli da ga množe, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je prije čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepena, čiji je indikator negativan i razlomci brojeva.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Izgradnja u negativan stepen– jedan od osnovnih elemenata matematike, koji se često susreće pri rješavanju algebarskih zadataka. U nastavku su detaljna uputstva.

Kako podići na negativnu potenciju - teorija

Kada broj podignemo na običan stepen, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa negativnim razlomkom je suprotno. Opšti oblik prema formuli to će izgledati ovako: a -n = 1/a n. Dakle, da biste broj podigli na negativan stepen, trebate podijeliti jedan sa datim brojem, ali na pozitivan stepen.

Kako podići na negativan stepen - primjeri na običnim brojevima

Imajući na umu gore navedeno pravilo, riješimo nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Ali zašto su odgovori u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da kada se negativan broj podigne na paran stepen (2, 4, 6, itd.), predznak postaje pozitivan. Da je stepen paran, minus bi ostao:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako podići brojeve od 0 do 1 na negativan stepen

Podsjetimo da kada se broj između 0 i 1 podigne na pozitivan stepen, vrijednost se smanjuje kako se snaga povećava. Tako, na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (slijed radnji):

• Pretvorite decimalni razlomak 0,5 u razlomak 1/2. Tako je lakše.
  Podignite 1/2 na negativnu potenciju. 1/(2) -2 . Podijelite 1 sa 1/(2) 2, dobijamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na osnovu 4. i 5. primjera možemo izvući nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 4), podignut na negativan stepen, nije važno da li je stepen paran ili neparan, vrijednost izraza će biti pozitivna. Štaviše, što je veći stepen, to je veća vrednost.
• Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 5), podignut na negativan stepen, nije važno da li je stepen paran ili neparan, vrijednost izraza će biti negativna. U ovom slučaju, što je veći stepen, to je niža vrijednost.

Kako podići na negativan stepen - stepen u obliku razlomka

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m/n, gdje je a regularan broj, m je brojilac stepena, n je imenilac stepena.

Pogledajmo primjer:
Izračunaj: 8 -1/3

Rješenje (redoslijed radnji):

• Prisjetimo se pravila za podizanje broja na negativan stepen. Dobijamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Obratite pažnju da je imenilac 8 inča frakciona snaga. Opšti oblik izračunavanja frakcionog stepena je sledeći: a m/n = n √8 m.
• Dakle, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobijamo kubni korijen od osam, koji je jednak 2. Odavde je 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

U ovom materijalu ćemo pogledati šta je stepen broja. Pored osnovnih definicija, formulisaćemo šta su stepene sa prirodnim, celobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentima. Kao i uvijek, svi koncepti će biti ilustrovani primjerima problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, hajde da formulišemo osnovnu definiciju stepena sa prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Pojasnimo unaprijed da ćemo za sada uzeti realan broj kao bazu (označen slovom a), a prirodni broj kao indikator (označen slovom n).

Definicija 1

Potencija broja a sa prirodnim eksponentom n je proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak broju a. Stepen se piše ovako: a n, a u obliku formule njegov sastav se može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza je a, tada se prvi stepen a zapisuje kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je diploma zgodan oblik evidentiranja velika količina jednaki faktori. Dakle, zapis obrasca 8 8 8 8 može se skratiti na 8 4 . Na sličan način, djelo nam pomaže da izbjegnemo snimanje veliki broj pojmovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; O tome smo već govorili u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno pročitati unos diplome? Općenito prihvaćena opcija je “a na stepen n”. Ili možete reći “nth power of a” ili “ant power”. Ako smo, recimo, u primjeru naišli na unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. stepen", "8 na stepen od 12" ili "12. stepen od 8".

Drugi i treći stepen brojeva imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stepen, na primjer, broj 7 (7 2), onda možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stepen se čita ovako: 5 3 - ovo je "kocka broja 5" ili "5 kockica." Međutim, možete koristiti i standardnu ​​formulaciju “na drugu/treću potenciju”; to neće biti greška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer stepena s prirodnim eksponentom: for 5 7 pet će biti osnova, a sedam će biti eksponent.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stepen (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent devet. Obratite pažnju na zagrade: ovaj zapis je napravljen za sve potencije čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu služe zagrade? Oni pomažu da se izbjegnu greške u proračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 I − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva podignut na stepen sa prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stepena 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačije pravopis snage broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). To jest, 4^9 je isto kao 4 9 . U slučaju da je n višecifreni broj, uzima se u zagradama. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali mi ćemo koristiti notaciju a n kao češći.

Lako je pogoditi kako izračunati vrijednost eksponenta s prirodnim eksponentom iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. Više o tome pisali smo u drugom članku.

Koncept stepena je inverzan drugom matematičkom konceptu - korenu broja. Ako znamo vrijednost stepena i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Diploma ima nešto specifična svojstva, korisno za rješavanje problema o kojima smo raspravljali u posebnom materijalu.

Eksponenti mogu uključivati ​​ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cjelobrojne vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer i oni pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Potencija broja s pozitivnim cijelim eksponentom može se predstaviti kao formula: .

U ovom slučaju, n je bilo koji pozitivan cijeli broj.

Hajde da razumemo koncept nultog stepena. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo kvocijenta za potencije sa jednako. Formulisan je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će istinit pod sljedećim uslovima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Poslednji uslov je važan jer izbegava deljenje sa nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, onda dobijamo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 je količnik jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulta snaga bilo kog broja različitog od nule jednaka jedan.

Međutim, takav dokaz se ne odnosi na nulu na nulti stepen. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo moći - svojstvo proizvoda snaga jednakih baza. izgleda ovako: a m · a n = a m + n .

Ako je n jednako 0, onda a m · a 0 = a m(ova jednakost nam takođe dokazuje da a 0 = 1). Ali ako je i jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m · 0 0 = 0 m, To će biti istinito za bilo koju prirodnu vrijednost n, i nije važno kojoj je točno vrijednost stepena jednaka 0 0 , odnosno može biti jednako bilo kojem broju, a to neće uticati na tačnost jednakosti. Dakle, zapis oblika 0 0 nema svoje posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Po želji, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stepena (a m) n = a m n pod uslovom da osnova stepena nije nula. Dakle, snaga bilo kog broja različitog od nule sa eksponentom nula je jedan.

Primjer 2

Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i vrijednost 0 0 nedefinisano.

Nakon nultog stepena, samo treba da shvatimo šta je negativan stepen. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo proizvoda potencija sa jednakim bazama koje smo već koristili gore: a m · a n = a m + n.

Hajde da uvedemo uslov: m = − n, tada a ne bi trebalo da bude jednako nuli. Iz toga slijedi a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je n i a−n imamo uzajamno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativnu cjelinu nije ništa više od razlomka 1 a n.

Ova formulacija potvrđuje da za stepen sa celobrojnim negativnim eksponentom važe sva ista svojstva koja ima stepen sa prirodnim eksponentom (pod uslovom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a sa negativnim cijelim eksponentom n može se predstaviti kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n podliježe a ≠ 0 i n je bilo koji prirodan broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U poslednjem delu pasusa pokušaćemo da sve što je rečeno jasno opišemo u jednoj formuli:

Definicija 4

Potencija broja sa prirodnim eksponentom z je: a z = a z, e sa l i z - pozitivan cijeli broj 1, z = 0 i a ≠ 0, (za z = 0 i a = 0 rezultat je 0 0, vrijednosti izraza 0 0 nisu definirane) 1 a z, ako je i z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobija se 0 z, egoz vrijednost je neodređena)

Šta su moći sa racionalnim eksponentom?

Ispitivali smo slučajeve kada eksponent sadrži cijeli broj. Međutim, možete podići broj na stepen čak i kada njegov eksponent sadrži razlomak. Ovo se zove stepen sa racionalnim eksponentom. U ovom odeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i druge moći.

Šta su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele i razlomke, a razlomci se mogu predstaviti kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Hajde da formulišemo definiciju stepena broja a sa razlomkom eksponenta m / n, gde je n prirodan broj, a m ceo broj.

Imamo neki stepen sa razlomanim eksponentom a m n . Da bi svojstvo snage snage moglo biti istinito, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti tačna.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za date vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom biće tačna pod uslovom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg rasuđivanja je sljedeći: potencija određenog broja a sa razlomnim eksponentom m / n je n-ti korijen broja a na stepen m. Ovo je tačno ako, za date vrednosti m, n i a, izraz a m n ostaje smislen.

1. Možemo ograničiti vrijednost osnove stepena: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti - striktno manje (pošto za m ≤ 0 dobijamo 0 m, ali takav stepen nije definisan). U ovom slučaju, definicija stepena sa frakcijskim eksponentom će izgledati ovako:

Potencija s razlomanim eksponentom m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na stepen m. Ovo se može izraziti formulom:

Za stepen sa nultom bazom, ova odredba je takođe prikladna, ali samo ako je njen eksponent pozitivan broj.

Potencija sa baznom nulom i razlomanim pozitivnim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom da je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj.

Za negativan omjer m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zapazimo jednu tačku. Pošto smo uveli uslov da je a veće ili jednako nuli, na kraju smo odbacili neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad ipak ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke m. Dakle, tačni unosi su (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je razmatranje odvojeno korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Zatim ćemo morati da uvedemo još jedan uslov: stepen a, u čijem eksponentu se nalazi svodivi obični razlomak, smatra se stepenom a, u čijem eksponentu se nalazi odgovarajući nesvodljivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , onda ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti proračune.

Ako je n neparan broj i vrijednost m je pozitivna, a a bilo koji nenegativan broj, onda m n ima smisla. Uslov da a nije negativan je neophodan jer se korijen parnog stepena ne može izvući iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparni korijen se može uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve gore navedene definicije u jednom unosu:

Ovdje m/n znači nesvodljivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodan broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični svodljivi razlomak m · k n · k stepen se može zamijeniti sa m n .

Potencija broja a sa nesmanjivim razlomkom eksponentom m / n – može se izraziti kao m n u sledećim slučajevima: - za bilo koje realne a, cijele brojeve pozitivne vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti n. Primjer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za bilo koje realno a različito od nule, negativne cjelobrojne vrijednosti m i neparne vrijednosti n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za bilo koji nenegativni a, pozitivan cijeli broj m i paran n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za bilo koji pozitivan a, negativan cijeli broj m i paran n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

U slučaju drugih vrijednosti, stepen sa razlomačnim eksponentom nije određen. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Objasnimo sada važnost uvjeta o kojem smo gore govorili: zašto zamijeniti razlomak sa reducibilnim eksponentom razlomkom s nesvodljivim eksponentom. Da to nismo uradili, imali bismo sljedeće situacije, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi trebalo biti tačno (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , i (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stepena sa razlomačnim eksponentom, koju smo prvi predstavili, pogodnija je za upotrebu u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, snaga pozitivnog broja a sa razlomkom eksponenta m/n je definirana kao 0 m n = 0 m n = 0. U slučaju negativnog a notacija a m n nema smisla. Snaga nule za pozitivne frakcione eksponente m/n je definisan kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne frakcione eksponente ne definišemo stepen nule.

U zaključcima, napominjemo da se bilo koji razlomak indikator može napisati i u obliku mješovitog broja i u obliku decimalni: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Prilikom izračunavanja, bolje je zamijeniti eksponent običnim razlomkom, a zatim koristiti definiciju eksponenta razlomkom. Za gornje primjere dobijamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Šta su moći sa iracionalnim i realnim eksponentima?

Šta su realni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli šta je stepen sa realnim eksponentom, moramo definisati stepene sa racionalnim i iracionalnim eksponentima. Racionalne smo već spomenuli gore. Hajde da se pozabavimo iracionalnim indikatorima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1,67175331. . . , Onda

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati sa nizom stupnjeva a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se sjetimo onoga što smo ranije rekli o dizanju brojeva na racionalne stepene, onda možemo sami izračunati vrijednosti tih potencija.

Uzmimo za primjer a = 3, tada a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Niz stepena se može svesti na broj, koji će biti vrijednost stepena sa bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stepen sa iracionalnim eksponentom oblika 3 1, 67175331. . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a sa iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a. Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stepen sa nultom bazom takođe se može definisati za pozitivne iracionalne eksponente, sa 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ali to se ne može učiniti za negativne, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Na primjer, jedinica podignuta na bilo koju iracionalnu snagu ostaje jedinica, a 1 2, 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Formule stepena koristi se u procesu redukcije i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednačina i nejednačina.

Broj c je n-ti stepen broja a Kada:

Operacije sa stepenom.

1. Množenje moći c istu osnovu njihovi pokazatelji se zbrajaju:

a m·a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom bazom, oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Snaga proizvoda 2 ili više faktori jednak je proizvodu snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići radikalni broj na ovaj stepen:

4. Ako povećate stepen korijena u n jednom i istovremeno ugraditi u n th stepen je radikalan broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena u n istovremeno izvaditi korijen n-ti stepen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stepen sa negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n =a m - n postao pošten kada m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.

Diploma sa nultim indeksom. Moć bilo kojeg broja, ne jednaka nuli, sa nultim eksponentom jednakim jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da podignem pravi broj A do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n th stepen of m-ti stepen ovog broja A.