Sa video na ito, susuriin namin ang isang buong hanay ng mga linear na equation na nalutas gamit ang parehong algorithm - kaya't tinawag silang pinakasimple.

Una, tukuyin natin: ano ang linear equation at alin ang tinatawag na pinakasimple?

Ang isang linear na equation ay isa kung saan mayroon lamang isang variable, at hanggang sa unang antas lamang.

Ang pinakasimpleng equation ay nangangahulugan ng pagbuo:

Ang lahat ng iba pang mga linear na equation ay binabawasan sa pinakasimpleng gamit ang algorithm:

1. Palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man;
2. Ilipat ang mga terminong naglalaman ng variable sa isang gilid ng pantay na tanda, at mga terminong walang variable sa kabilang panig;
3. Magbigay ng magkatulad na termino sa kaliwa at kanan ng equal sign;
4. Hatiin ang resultang equation sa coefficient ng variable na $x$.

Siyempre, hindi palaging nakakatulong ang algorithm na ito. Ang katotohanan ay kung minsan pagkatapos ng lahat ng mga machinations na ito ang koepisyent ng variable na $x$ ay lumalabas na katumbas ng zero. Sa kasong ito, posible ang dalawang pagpipilian:

1. Ang equation ay walang mga solusyon sa lahat. Halimbawa, kapag lumabas ang isang bagay tulad ng $0\cdot x=8$, i.e. sa kaliwa ay zero, at sa kanan ay isang numero maliban sa zero. Sa video sa ibaba ay titingnan natin ang ilang mga dahilan kung bakit posible ang sitwasyong ito.
2. Ang solusyon ay lahat ng numero. Ang tanging kaso kapag ito ay posible ay kapag ang equation ay nabawasan sa pagbuo $0\cdot x=0$. Ito ay lubos na lohikal na kahit anong $x$ ang ating palitan, ito ay lalabas pa rin na "zero ay katumbas ng zero", i.e. wastong pagkakapantay-pantay ng numero.

Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang lahat ng ito gamit ang mga halimbawa sa totoong buhay.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation

Ngayon ay nakikitungo tayo sa mga linear na equation, at ang mga pinakasimpleng equation lamang. Sa pangkalahatan, ang isang linear equation ay nangangahulugan ng anumang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng eksaktong isang variable, at ito ay napupunta lamang sa unang antas.

Ang ganitong mga konstruksyon ay nalutas sa humigit-kumulang sa parehong paraan:

1. Una sa lahat, kailangan mong palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man (tulad ng sa aming huling halimbawa);
2. Pagkatapos ay pagsamahin ang katulad
3. Panghuli, ihiwalay ang variable, i.e. ilipat ang lahat ng konektado sa variable—ang mga termino kung saan ito nakapaloob—sa isang panig, at ilipat ang lahat ng natitira nang wala nito sa kabilang panig.

Pagkatapos, bilang panuntunan, kailangan mong magdala ng mga katulad sa bawat panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay, at pagkatapos nito ang natitira lamang ay hatiin sa koepisyent ng "x", at makukuha natin ang pangwakas na sagot.

Sa teorya, ito ay mukhang maganda at simple, ngunit sa pagsasagawa, kahit na ang mga may karanasang mag-aaral sa high school ay maaaring gumawa ng mga nakakasakit na pagkakamali sa medyo simpleng mga linear na equation. Kadalasan, ang mga error ay ginagawa alinman sa pagbubukas ng mga bracket o kapag kinakalkula ang "mga plus" at "minus".

Bilang karagdagan, nangyayari na ang isang linear equation ay walang mga solusyon sa lahat, o ang solusyon ay ang buong linya ng numero, i.e. kahit anong numero. Titingnan natin ang mga subtleties na ito sa aralin ngayon. Ngunit magsisimula kami, tulad ng naintindihan mo na, sa pinakasimpleng mga gawain.

Scheme para sa paglutas ng mga simpleng linear equation

Una, hayaan mo akong isulat muli ang buong scheme para sa paglutas ng pinakasimpleng linear equation:

1. Palawakin ang mga bracket, kung mayroon man.
2. Ihiwalay namin ang mga variable, i.e. Inilipat namin ang lahat ng naglalaman ng "X" sa isang gilid, at lahat ng walang "X" sa kabilang panig.
3. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.
4. Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x".

Siyempre, ang pamamaraan na ito ay hindi palaging gumagana; mayroong ilang mga subtleties at trick dito, at ngayon ay makikilala natin sila.

Paglutas ng mga tunay na halimbawa ng simpleng linear equation

Gawain Blg. 1

Ang unang hakbang ay nangangailangan sa amin upang buksan ang mga bracket. Ngunit wala sila sa halimbawang ito, kaya laktawan namin ang hakbang na ito. Sa pangalawang hakbang kailangan nating ihiwalay ang mga variable. Tandaan: pinag-uusapan natin tungkol lamang sa mga indibidwal na termino. Isulat natin ito:

Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa kaliwa at kanan, ngunit nagawa na ito dito. Samakatuwid, lumipat tayo sa ika-apat na hakbang: hatiin sa koepisyent:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Kaya nakuha namin ang sagot.

Gawain Blg. 2

Makikita natin ang mga panaklong sa problemang ito, kaya palawakin natin ang mga ito:

Parehong sa kaliwa at sa kanan nakikita natin ang humigit-kumulang sa parehong disenyo, ngunit kumilos tayo ayon sa algorithm, i.e. paghihiwalay ng mga variable:

Narito ang ilang katulad:

Sa anong mga ugat ito gumagana? Sagot: para sa alinman. Samakatuwid, maaari nating isulat na ang $x$ ay anumang numero.

Gawain Blg. 3

Ang ikatlong linear equation ay mas kawili-wili:

\[\kaliwa(6-x \kanan)+\kaliwa(12+x \kanan)-\kaliwa(3-2x \kanan)=15\]

Mayroong ilang mga panaklong, ngunit ang mga ito ay hindi pinarami ng anumang bagay, sila ay nauuna lamang iba't ibang palatandaan. Hatiin natin sila:

Ginagawa namin ang pangalawang hakbang na alam na namin:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Gawin natin ang matematika:

Isinasagawa namin ang huling hakbang - hatiin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Mga Dapat Tandaan Kapag Nilulutas ang mga Linear Equation

Kung balewalain natin ang napakasimpleng gawain, gusto kong sabihin ang sumusunod:

• Tulad ng sinabi ko sa itaas, hindi lahat ng linear equation ay may solusyon - kung minsan ay walang mga ugat;
• Kahit na may mga ugat, maaaring mayroong zero sa kanila - walang mali doon.

Ang zero ay kapareho ng bilang ng iba; hindi mo dapat itangi ito sa anumang paraan o ipagpalagay na kung nakakuha ka ng zero, may nagawa kang mali.

Ang isa pang tampok ay nauugnay sa pagbubukas ng mga bracket. Pakitandaan: kapag may "minus" sa harap nila, inaalis namin ito, ngunit sa mga panaklong binabago namin ang mga palatandaan sa kabaligtaran. At pagkatapos ay maaari nating buksan ito gamit ang mga karaniwang algorithm: makukuha natin ang nakita natin sa mga kalkulasyon sa itaas.

Ang pag-unawa sa simpleng katotohanang ito ay makatutulong sa iyo na maiwasan ang paggawa ng mga hangal at masasakit na pagkakamali sa mataas na paaralan, kapag ang paggawa ng mga bagay na ito ay pinababayaan.

Paglutas ng mga kumplikadong linear equation

Lumipat tayo sa higit pa kumplikadong mga equation. Ngayon ang mga disenyo ay magiging mas kumplikado kapag naisakatuparan iba't ibang pagbabago lilitaw ang isang quadratic function. Gayunpaman, hindi tayo dapat matakot dito, dahil kung, ayon sa plano ng may-akda, nilulutas natin ang isang linear na equation, kung gayon sa proseso ng pagbabagong-anyo ang lahat ng monomial na naglalaman ng isang quadratic function ay tiyak na kanselahin.

Halimbawa Blg. 1

Malinaw, ang unang hakbang ay upang buksan ang mga bracket. Gawin natin ito nang maingat:

Ngayon tingnan natin ang privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Narito ang ilang katulad:

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, kaya isusulat namin ito sa sagot:

\[\varnothing\]

o walang mga ugat.

Halimbawa Blg. 2

Nagsasagawa kami ng parehong mga aksyon. Unang hakbang:

Ilipat natin ang lahat na may variable sa kaliwa, at kung wala ito - sa kanan:

Narito ang ilang katulad:

Malinaw, ang linear equation na ito ay walang solusyon, kaya isusulat namin ito sa ganitong paraan:

\[\varnothing\],

o walang mga ugat.

Nuances ng solusyon

Ang parehong mga equation ay ganap na nalutas. Gamit ang dalawang expression na ito bilang isang halimbawa, muli kaming kumbinsido na kahit na sa pinakasimpleng linear equation, ang lahat ay maaaring hindi gaanong simple: maaaring mayroong alinman sa isa, o wala, o walang katapusan na maraming mga ugat. Sa aming kaso, isinasaalang-alang namin ang dalawang equation, parehong walang mga ugat.

Ngunit nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang katotohanan: kung paano gumawa ng mga panaklong at kung paano buksan ang mga ito kung mayroong isang minus sign sa harap nila. Isaalang-alang ang expression na ito:

Bago buksan, kailangan mong i-multiply ang lahat sa pamamagitan ng "X". Pakitandaan: dumami bawat indibidwal na termino. Sa loob mayroong dalawang termino - ayon sa pagkakabanggit, dalawang termino at pinarami.

At pagkatapos lamang na makumpleto ang mga tila elementarya, ngunit napakahalaga at mapanganib na mga pagbabagong ito, maaari mong buksan ang bracket mula sa punto ng view ng katotohanan na mayroong isang minus sign pagkatapos nito. Oo, oo: ngayon lang, kapag nakumpleto ang mga pagbabago, naaalala namin na mayroong isang minus sign sa harap ng mga bracket, na nangangahulugan na ang lahat sa ibaba ay nagbabago lamang ng mga palatandaan. Kasabay nito, ang mga bracket mismo ay nawawala at, pinaka-mahalaga, ang harap na "minus" ay nawawala din.

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang equation:

Ito ay hindi nagkataon na binibigyang pansin ko ang maliliit, tila hindi gaanong kahalagahan na mga katotohanang ito. Dahil ang paglutas ng mga equation ay palaging isang pagkakasunud-sunod ng mga pagbabagong elementarya, kung saan ang kawalan ng kakayahang malinaw at mahusay na magsagawa ng mga simpleng aksyon ay humahantong sa katotohanan na ang mga mag-aaral sa high school ay lumapit sa akin at muling natutong lutasin ang gayong mga simpleng equation.

Siyempre, darating ang araw na mahahasa mo ang mga kasanayang ito sa punto ng pagiging awtomatiko. Hindi mo na kailangang magsagawa ng napakaraming pagbabago sa bawat pagkakataon; isusulat mo ang lahat sa isang linya. Ngunit habang nag-aaral ka pa lang, kailangan mong isulat ang bawat aksyon nang hiwalay.

Paglutas ng mas kumplikadong mga linear equation

Ang lulutasin natin ngayon ay halos hindi matatawag na pinakasimpleng gawain, ngunit ang kahulugan ay nananatiling pareho.

Gawain Blg. 1

\[\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

I-multiply natin ang lahat ng elemento sa unang bahagi:

Gumawa tayo ng ilang privacy:

Narito ang ilang katulad:

Kumpletuhin natin ang huling hakbang:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Narito ang aming huling sagot. At, sa kabila ng katotohanan na sa proseso ng paglutas ay mayroon kaming mga coefficient na may quadratic function, kinansela nila ang isa't isa, na ginagawang linear ang equation at hindi quadratic.

Gawain Blg. 2

\[\kaliwa(1-4x \kanan)\kaliwa(1-3x \kanan)=6x\kaliwa(2x-1 \kanan)\]

Maingat nating gawin ang unang hakbang: i-multiply ang bawat elemento mula sa unang bracket sa bawat elemento mula sa pangalawa. Dapat mayroong kabuuang apat na bagong termino pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo:

Ngayon, maingat nating isagawa ang multiplikasyon sa bawat termino:

Ilipat natin ang mga terminong may "X" sa kaliwa, at ang mga walang - sa kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Narito ang mga katulad na termino:

Muli naming natanggap ang huling sagot.

Nuances ng solusyon

Ang pinakamahalagang tala tungkol sa dalawang equation na ito ay na sa sandaling simulan natin ang pagpaparami ng mga panaklong na naglalaman ng higit sa isang termino, ginagawa nito ito sa pamamagitan ng susunod na tuntunin: kinukuha namin ang unang termino mula sa una at i-multiply sa bawat elemento mula sa pangalawa; pagkatapos ay kinuha namin ang pangalawang elemento mula sa una at katulad na dumami sa bawat elemento mula sa pangalawa. Bilang resulta, magkakaroon tayo ng apat na termino.

Tungkol sa algebraic sum

Sa huling halimbawang ito, nais kong ipaalala sa mga mag-aaral kung ano ang algebraic sum. Sa klasikal na matematika, sa pamamagitan ng $1-7$ ang ibig naming sabihin ay isang simpleng konstruksyon: ibawas ang pito sa isa. Sa algebra, ibig sabihin namin ang sumusunod sa pamamagitan nito: sa numerong "isa" nagdaragdag kami ng isa pang numero, lalo na "minus pito". Ito ay kung paano naiiba ang isang algebraic sum mula sa isang ordinaryong arithmetic sum.

Sa sandaling, kapag isinasagawa ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, bawat pagdaragdag at pagpaparami, nagsimula kang makakita ng mga konstruksyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas, hindi ka na magkakaroon ng anumang mga problema sa algebra kapag nagtatrabaho sa mga polynomial at equation.

Sa wakas, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa na magiging mas kumplikado kaysa sa mga nakita natin, at upang malutas ang mga ito kailangan nating bahagyang palawakin ang ating karaniwang algorithm.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction

Upang malutas ang mga naturang gawain, kakailanganin naming magdagdag ng isa pang hakbang sa aming algorithm. Ngunit una, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang aming algorithm:

1. Buksan ang mga bracket.
2. Paghiwalayin ang mga variable.
3. Magdala ng mga katulad.
4. Hatiin sa ratio.

Sa kasamaang palad, ang kahanga-hangang algorithm na ito, para sa lahat ng pagiging epektibo nito, ay lumalabas na hindi ganap na angkop kapag mayroon tayong mga fraction sa harap natin. At sa makikita natin sa ibaba, mayroon tayong fraction sa parehong kaliwa at kanan sa parehong mga equation.

Paano magtrabaho sa kasong ito? Oo, ito ay napaka-simple! Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng isa pang hakbang sa algorithm, na maaaring gawin bago at pagkatapos ng unang aksyon, ibig sabihin, pag-alis ng mga fraction. Kaya ang algorithm ay magiging tulad ng sumusunod:

1. Alisin ang mga fraction.
2. Buksan ang mga bracket.
3. Paghiwalayin ang mga variable.
4. Magdala ng mga katulad.
5. Hatiin sa ratio.

Ano ang ibig sabihin ng "alisin ang mga fraction"? At bakit ito magagawa pagkatapos at bago ang unang karaniwang hakbang? Sa katunayan, sa aming kaso, ang lahat ng mga fraction ay numerical sa kanilang denominator, i.e. Kahit saan ang denominator ay isang numero lamang. Samakatuwid, kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa numerong ito, aalisin natin ang mga fraction.

Halimbawa Blg. 1

\[\frac(\kaliwa(2x+1 \kanan)\kaliwa(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]

Alisin natin ang mga fraction sa equation na ito:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Mangyaring tandaan: ang lahat ay pinarami ng "apat" nang isang beses, i.e. dahil lamang sa mayroon kang dalawang panaklong ay hindi nangangahulugang kailangan mong i-multiply ang bawat isa sa "apat." Isulat natin:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ngayon palawakin natin:

Inihiwalay namin ang variable:

Ginagawa namin ang pagbabawas ng mga katulad na termino:

\[-4x=-1\kaliwa| :\kaliwa(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Natanggap namin ang pangwakas na solusyon, lumipat tayo sa pangalawang equation.

Halimbawa Blg. 2

\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]

Dito ginagawa namin ang lahat ng parehong mga aksyon:

\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ang problema ay nalutas.

Sa totoo lang, iyon lang ang gusto kong sabihin sa iyo ngayon.

Pangunahing puntos

Ang mga pangunahing natuklasan ay:

• Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation.
• Kakayahang magbukas ng mga bracket.
• Huwag kang mag-alala kung nakita mo quadratic function, malamang, sa proseso ng mga karagdagang pagbabago ay bababa sila.
• May tatlong uri ng mga ugat sa mga linear na equation, kahit na ang pinakasimpleng mga: isang solong ugat, ang buong linya ng numero ay isang ugat, at walang mga ugat sa lahat.

Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo na makabisado ang isang simple, ngunit napakahalagang paksa para sa karagdagang pag-unawa sa lahat ng matematika. Kung may hindi malinaw, pumunta sa site at lutasin ang mga halimbawang ipinakita doon. Manatiling nakatutok, marami pang mga kawili-wiling bagay ang naghihintay sa iyo!

upang malutas ang matematika. Maghanap ng mabilis paglutas ng isang mathematical equation nasa mode online. Pinapayagan ng website na www.site lutasin ang equation halos anumang ibinigay algebraic, trigonometriko o transendental equation online. Kapag nag-aaral ng halos anumang sangay ng matematika sa iba't ibang yugto kailangan mong magpasya mga equation online. Upang makakuha kaagad ng sagot, at higit sa lahat tumpak na sagot, kailangan mo ng mapagkukunan na nagbibigay-daan sa iyong gawin ito. Salamat sa site na www.site lutasin ang mga equation online aabutin ng ilang minuto. Ang pangunahing bentahe ng www.site kapag nilulutas ang matematika mga equation online- ito ang bilis at katumpakan ng ibinigay na tugon. Ang site ay kayang lutasin ang anuman algebraic equation online, trigonometriko equation online, transendental equation online, at mga equation na may hindi kilalang mga parameter sa mode online. Mga equation nagsisilbing isang makapangyarihang kasangkapang pangmatematika mga solusyon praktikal na mga problema. Sa tulong mga equation sa matematika posible na magpahayag ng mga katotohanan at relasyon na maaaring mukhang nakakalito at kumplikado sa unang tingin. Hindi kilalang dami mga equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng problema sa mathematical wika sa anyo mga equation At magpasya nakatanggap ng gawain sa mode online sa website na www.site. Anuman algebraic equation, trigonometriko equation o mga equation naglalaman ng transendental mga tampok na maaari mong madaling magpasya online at makuha ang eksaktong sagot. Kapag nag-aaral ng mga natural na agham, hindi maiiwasang makatagpo ka ng pangangailangan paglutas ng mga equation. Sa kasong ito, ang sagot ay dapat na tumpak at dapat makuha kaagad sa mode online. Samakatuwid para sa paglutas ng mga mathematical equation online inirerekumenda namin ang site na www.site, na magiging iyong kailangang-kailangan na calculator para sa lutasin ang mga algebraic equation online, trigonometriko equation online, at transendental equation online o mga equation na may hindi kilalang mga parameter. Para sa mga praktikal na problema sa paghahanap ng mga ugat ng iba't ibang mga equation sa matematika mapagkukunan www.. Paglutas mga equation online sa iyong sarili, ito ay kapaki-pakinabang upang suriin ang natanggap na sagot gamit online na paglutas ng equation sa website na www.site. Kailangan mong isulat ang equation ng tama at agad na makuha online na solusyon, pagkatapos ang natitira na lang ay ihambing ang sagot sa iyong solusyon sa equation. Ang pagsuri sa sagot ay tatagal ng hindi hihigit sa isang minuto, sapat na lutasin ang equation online at ihambing ang mga sagot. Makakatulong ito sa iyo na maiwasan ang mga pagkakamali sa desisyon at itama ang sagot sa oras kung kailan paglutas ng mga equation online alinman algebraic, trigonometriko, transendental o ang equation na may hindi kilalang mga parameter.

Ano ang isang equation?

Ang isang equation ay isa sa mga pundasyong konsepto ng lahat ng matematika. Parehong paaralan at mas mataas na edukasyon. Ito ay akma upang malaman ito, tama? Bukod dito, ito ay isang napaka-simpleng konsepto. Tingnan para sa iyong sarili sa ibaba. :) So ano ang equation?

Ang katotohanan na ang salitang ito ay may parehong ugat ng mga salitang "pantay", "pagkakapantay-pantay", sa palagay ko, ay hindi nagtataas ng anumang pagtutol mula sa sinuman. Ang isang equation ay dalawang mathematical expression na konektado sa pamamagitan ng isang equal sign na "=". Pero... hindi basta basta. At ang mga kung saan (kahit isa) ay naglalaman hindi kilalang dami . O sa ibang paraan variable na dami . O simpleng "variable" para sa maikling salita. Maaaring may isa o higit pang mga variable. Sa matematika ng paaralan, mga equation sa isa variable. Na karaniwang tinutukoy ng titikx . O iba pang huling titik ng alpabetong Latin -y , z , t at iba pa.

Sa ngayon ay isasaalang-alang din natin ang mga equation na may isang variable. Na may dalawa o higit pang mga variable - sa isang espesyal na aralin.

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation?

Sige lang. Ang variable sa mga expression na kasama sa equation ay maaaring tumagal ng anuman mga wastong halaga. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay variable. :) Para sa ilang mga halaga ng variable ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, ngunit para sa iba ay hindi. Lutasin ang equation- nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng ganoong halaga ng variable, kapag pinapalitan ang mga ito orihinal lumalabas ang equation tunay na pagkakapantay-pantay . O, mas siyentipiko, pagkakakilanlan. Halimbawa, 5=5, 0=0, -10=-10. At iba pa. :) O patunayan na ang mga variable na halaga ay hindi umiiral.

Partikular akong tumutok sa salitang "orihinal". Bakit magiging malinaw sa ibaba.

Ang mismong mga halaga ng variable, sa pagpapalit kung saan ang equation ay nagiging isang pagkakakilanlan, ay tinatawag na napakaganda - mga ugat ng equation. Kung napatunayan na walang ganoong mga halaga, kung gayon sa kasong ito sinasabi nila na ang equation walang ugat.

Bakit kailangan ang mga equation?

Bakit kailangan natin ng mga equation? Una sa lahat, ang mga equation ay isang napakalakas at pinaka maraming nalalaman na tool para sa pagtugon sa suliranin . Iba talaga. :) Sa paaralan, bilang isang patakaran, nagtatrabaho sila mga problema sa salita. Ito ay mga gawain sa paggalaw, sa trabaho, sa porsyento at marami, marami pang iba. Gayunpaman, ang paggamit ng mga equation ay hindi limitado sa mga problema sa paaralan tungkol sa mga swimming pool, tubo, tren at dumi. :)

Kung walang kakayahang bumuo at lutasin ang mga equation, imposibleng malutas ang anumang seryosong problemang pang-agham - pisikal, engineering o pang-ekonomiya. Halimbawa, kalkulahin kung saan tatama ang isang rocket. O sagutin ang tanong kung ang ilang mahalagang istraktura (isang elevator o tulay, halimbawa) ay makatiis o hindi makatiis sa pagkarga. O hulaan ang lagay ng panahon, pagtaas (o pagbaba) sa mga presyo o kita...

Sa pangkalahatan, ang equation ay isang pangunahing pigura sa paglutas ng malawak na iba't ibang mga problema sa pagkalkula.

Ano ang mga equation?

Mayroong hindi mabilang na mga equation sa matematika. Karamihan iba't ibang uri. Gayunpaman, ang lahat ng mga equation ay maaaring nahahati sa 4 na klase lamang:

1) Linear,

2) Square,

3) Fractional (o fractional-rational),

4) Iba pa.

Ang iba't ibang uri ng equation ay nangangailangan ng at ibang diskarte sa kanilang solusyon: ang mga linear na equation ay nalutas sa isang paraan, ang mga quadratic equation sa isa pa, ang mga fractional na equation sa isang pangatlo, ang trigonometriko, logarithmic, exponential at iba pa ay nalulutas din ng kanilang sariling mga pamamaraan.

Mayroong, siyempre, higit pang iba pang mga equation. Ang mga ito ay hindi makatwiran, trigonometric, exponential, logarithmic, at marami pang ibang equation. At kahit na mga differential equation (para sa mga mag-aaral), kung saan ang hindi alam ay hindi isang numero, ngunit function. O kahit isang buong pamilya ng mga function. :) Sa kaukulang mga aralin ay susuriin natin nang detalyado ang lahat ng mga uri ng equation na ito. At dito mayroon kaming mga pangunahing pamamaraan na naaangkop sa paglutas ganap na kahit ano(oo, anuman!) mga equation. Ang mga pamamaraan na ito ay tinatawag na katumbas na pagbabago ng mga equation . Dalawa lang sila. At walang paraan sa paligid nila. Kaya't magkakilala tayo!

Paano malutas ang mga equation? Magkapareho (katumbas) na mga pagbabagong-anyo ng mga equation.

Solusyon anuman Ang equation ay binubuo sa isang hakbang-hakbang na pagbabago ng mga expression na kasama dito. Ngunit hindi lamang anumang pagbabago, ngunit ganoon ang kakanyahan ng buong equation ay hindi nagbago. Sa kabila ng katotohanan na pagkatapos ng bawat pagbabagong-anyo ang equation ay magbabago at sa huli ay magiging ganap na naiiba mula sa orihinal. Ang ganitong mga pagbabago sa matematika ay tinatawag katumbas o magkapareho . Sa kabuuan ng iba't ibang magkakaparehong pagbabagong-anyo ng mga equation, isa ang namumukod-tangi dalawang basic. Pag-uusapan natin sila. Oo, oo, dalawa lang! At ang bawat isa sa kanila ay nararapat na espesyal na pansin. Ang paglalapat ng dalawang magkatulad na pagbabagong ito sa isang pagkakasunud-sunod o iba pa ay ginagarantiyahan ang tagumpay sa paglutas ng 99% ng lahat ng mga equation.

Kaya, magkakilala tayo!

Unang pagbabago ng pagkakakilanlan:

Maaari mong idagdag (o ibawas) ang anumang (ngunit magkapareho!) na numero o expression (kabilang ang mga may variable) sa magkabilang panig ng equation.

Ang kakanyahan ng equation ay mananatiling pareho. Inilapat mo ang pagbabagong ito sa lahat ng dako, walang muwang na iniisip na naglilipat ka ng ilang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, binabago ang sign. :)

Halimbawa, ang cool na equation na ito:

Walang dapat isipin dito: ilipat ang minus three sa kanan, palitan ang minus sa isang plus:

Pero ano ba talaga ang nangyayari? Pero sa totoo lang ikaw magdagdag ng tatlo sa magkabilang panig ng equation! Ganito:

Ang kakanyahan ng buong equation ay hindi nagbabago kapag nagdaragdag ng tatlo sa magkabilang panig. Sa kaliwa ay nananatiling purong X (na kung ano ang sinusubukan nating makamit), at sa kanan - anuman ang mangyari.

Ang paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa ay pinaikling bersyon unang pagbabago ng pagkakakilanlan. Ang tanging pagkakamali na maaari mong gawin dito ay ang kalimutang palitan ang sign kapag naglilipat. Halimbawa, ang equation na ito:

Hindi ito isang komplikadong bagay. Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa spell: na may X sa kaliwa, walang X sa kanan. Anong term na may X ang nasa kanan? Ano? 2x? Mali! Sa kanan mayroon kaming -2x (minus dalawang x)! Samakatuwid sa kaliwang bahagi ililipat ang terminong ito may plus :

Ang kalahati ng labanan ay tapos na, ang mga X ay nakolekta sa kaliwa. Ang natitira na lang ay ilipat ang unit sa kanan. Muli ang tanong ay - sa anong tanda? Walang nakasulat sa kaliwa bago ang yunit, na nangangahulugan na ito ay sinadya upang maunahan ng plus. Samakatuwid, ang 1 ay lilipat sa kanan may minus:

Halos lahat yan. Sa kaliwa ay nagpapakita kami ng mga katulad, at sa kanan ay binibilang namin ang mga ito. At nakukuha namin:

Ngayon, suriin natin ang aming mga machinations sa paglilipat ng mga termino. Ano ang ginawa namin nang lumipat kami -2x sa kaliwa? Oo! Kami idinagdag sa parehong bahagi ng ating evil equation ang expression ay 2x. Sinabi ko sa iyo na mayroon tayong karapatan na magdagdag (magbawas) ng anumang numero at kahit isang expression na may X! Basta pareho lang. :) At kailan mo inilipat ang 1 sa kanan? Ganap na tama! Kami ibinawas mula sa magkabilang panig ng equation isa. Iyon lang.) Iyan ang buong punto ng unang katumbas na pagbabago.

O ang halimbawang ito para sa mga mag-aaral sa high school:

Ang equation ay logarithmic. E ano ngayon? Sino ang nagmamalasakit? Gayon pa man, ang unang hakbang ay gawin ang isang pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan - inililipat namin ang termino na may variable (iyon ay, -log 3 x) sa kaliwa, at pagpapahayag ng numero log 3 4 lumipat sa kanan. Sa pagbabago ng tanda, siyempre:

Iyon lang. Ang sinumang pamilyar sa logarithms ay kukumpleto sa equation sa kanyang ulo at makakakuha ng:

Ano? Gusto mo ba ng sine? Mangyaring, narito ang mga sine:

Isinasagawa namin muli ang unang pagbabago ng pagkakakilanlan - inilipat namin kasalanan x sa kaliwa (na may minus), at ilipat -1/4 sa kanan (na may plus):

Nakuha namin ang pinakasimpleng trigonometric equation na may sine, na hindi rin mahirap para sa mga nakakaalam na lutasin.

Tingnan kung gaano unibersal ang unang katumbas na pagbabago! Ito ay matatagpuan sa lahat ng dako at saanman at walang paraan upang makalibot dito. Samakatuwid, kailangan mong magawa ito nang awtomatiko. Ang pangunahing bagay ay huwag kalimutang baguhin ang pag-sign kapag naglilipat! Patuloy tayong nakikilala sa magkatulad na pagbabago ng mga equation.)

Pangalawang pagbabago ng pagkakakilanlan:

Ang magkabilang panig ng equation ay maaaring i-multiply (hatiin) sa parehong di-zero na numero o expression.

Patuloy din naming ginagamit ang magkatulad na pagbabagong ito kapag ang ilang mga coefficient sa equation ay nakakasagabal sa amin at gusto naming alisin ang mga ito. Ligtas para sa equation mismo. :) Halimbawa, ang masamang equation na ito:

Ito ay malinaw sa lahat ng tao dito na x = 3. Paano mo nahulaan? Pinulot mo ba? O itinuro mo ang iyong daliri sa langit at hulaan?

Upang hindi pumili at hulaan (kami ay pagkatapos ng lahat ng mga mathematician, hindi mga manghuhula :)), kailangan mong maunawaan na ikaw ay simpleng hinati ang magkabilang panig ng equation para sa apat. Na kung ano ang bumabagabag sa amin.

Ganito:

Ang division stick na ito ay nangangahulugan na sila ay nahahati sa apat. parehong bahagi ang ating equation. Ang buong kaliwang bahagi at ang buong kanang bahagi:

Sa kaliwa, ang apat ay ligtas na nababawasan at ang x ay nananatili sa napakagandang paghihiwalay. At sa kanan, kapag hinahati ang 12 sa 4, ang resulta ay, natural, tatlo. :)

O ang equation na ito:

Ano ang gagawin sa isang ikapito? Ilipat ng tama? Hindi, hindi mo kaya! Ang ikapitong bahagi ay nauugnay sa x multiplication. Ang coefficient, naiintindihan mo. :) Hindi mo maaaring paghiwalayin ang koepisyent at ilipat ito nang hiwalay sa X. Tanging ang buong expression (1/7)x. Ngunit hindi na kailangan. :) Alalahanin natin muli ang tungkol sa multiplication/division. Ano ang pumipigil sa atin? Ang fraction ay 1/7, hindi ba? Kaya tanggalin na natin. Paano? At bilang isang resulta ng kung ano ang aksyon ay nawala namin ang fraction? Nawawala ang fraction natin kapag pagpaparami sa pamamagitan ng isang numero na katumbas ng denominator nito! Kaya't i-multiply natin ang magkabilang panig ng ating equation sa 7:

Sa kaliwa, ang pito ay mababawasan at isang nag-iisang X na lang ang mananatili, at sa kanan, kung naaalala mo ang multiplication table, makakakuha ka ng 21:

Ngayon isang halimbawa para sa mga mag-aaral sa high school:

Upang makarating sa x at sa gayon ay malutas ang ating masamang trigonometric equation, kailangan muna nating kumuha ng purong cosine sa kaliwa, nang walang anumang coefficient. Ngunit ang deuce ay humahadlang. :) Kaya hinati namin ang buong kaliwang bahagi ng 2:

Ngunit pagkatapos kanang bahagi kailangan mo ring hatiin sa dalawa: kailangan na ito ng MATHEMATICS. hatiin:

Nakuha ito sa kanan halaga ng talahanayan cosine. At ngayon ang equation ay nalutas na para sa matamis na kaluluwa.)

Malinaw ba ang lahat sa multiplication/division? Malaki! Pero… pansin! Ang pagbabagong ito, sa kabila ng pagiging simple nito, ay naglalaman ng pinagmumulan ng mga nakakainis na error! Ang tawag dito pagkawala ng mga ugat At pagkuha ng mga dayuhang ugat .

Sinabi ko na sa itaas na ang magkabilang panig ng equation ay maaaring i-multiply (hatiin) sa anumang numero o expression na may x. Ngunit may isang mahalagang caveat: ang expression kung saan tayo dumarami (hatiin) ay dapat na iba sa zero . Ito ang puntong ito, na marami na lamang na binabalewala sa simula, na humahantong sa mga kapus-palad na pagkakamali. Sa totoo lang, malinaw ang kahulugan ng paghihigpit na ito: ang pagpaparami sa zero ay katangahan, at karaniwang hindi pinapayagan ang paghahati. Alamin natin kung ano? Magsimula tayo sa paghahati at pagkawala ng ugat .

Sabihin nating mayroon tayong equation na ito:

Dito, talagang nangangati ang mga kamay na kunin at hatiin ang magkabilang panig ng equation karaniwang bracket(x-1):

Sabihin nating ang gawain ng Unified State Exam ay nagsasabing hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation na ito. Ano ang isusulat natin bilang tugon? tatlo? Kung magpasya kang tatlo ito, ikaw ay tinambangan. Tinatawag na "root loss." :) Anong problema?

Buksan natin ang mga bracket sa orihinal na equation at kolektahin ang lahat sa kaliwa:

Nakakuha ng classic quadratic equation. Malutas namin sa pamamagitan ng discriminant (o sa pamamagitan ng Vieta's theorem) at makakuha ng dalawang ugat:

Samakatuwid, ang kabuuan ng mga ugat ay 1+3 = 4. Apat, hindi tatlo! Saan "naglaho" ang ating ugat?

x = 1

Gamit ang unang solusyon? At ang aming isa ay nawala lamang noong hinahati namin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng mga bracket (x-1). Bakit nangyari? At lahat dahil sa x = 1 ang mismong bracket na ito (x-1) ay na-reset sa zero. At tayo ay may karapatan na hatiin lamang sa pamamagitan ng non-zero expression! Paano maiiwasan ang pagkawala ng ugat na ito? At pagkawala ng mga ugat sa pangkalahatan? Upang gawin ito, una, bago hatiin sa ilang expression na may x, palagi naming idinadagdag ang kundisyon na ang expression na ito ay iba sa zero. At nahanap namin mga zero ng expression na ito. Tulad nito (gamit ang aming equation bilang isang halimbawa):

At pangalawa, upang ang ilang mga ugat ay hindi mawala sa panahon ng proseso ng paghahati, dapat nating hiwalay na suriin bilang mga kandidato para sa mga ugat. Lahat mga zero ng ating expression (ang hinahati natin). Paano? Ilagay mo lang sila orihinal na equation at magbilang. Sa aming kaso, sinusuri namin ang isa:

Lahat ay patas. Kaya, isa ang ugat!

Sa pangkalahatan, sa hinaharap, palaging subukang umiwas mga dibisyon sa expression na may X. Ang pagkawala ng mga ugat ay isang napaka-mapanganib at nakakainis na bagay! Gumamit ng anumang iba pang mga pamamaraan - pagbubukas ng mga bracket at lalo na factorization. Factoring ay ang pinakasimpleng at ligtas na paraan maiwasan ang pagkawala ng mga ugat. Upang gawin ito, kinokolekta namin ang lahat sa kaliwa, pagkatapos ay kinuha namin ang karaniwang kadahilanan (na gusto naming "bawasan" sa pamamagitan ng) mula sa mga bracket, i-factor ito sa mga kadahilanan at pagkatapos ay i-equate ang bawat resultang kadahilanan sa zero. Halimbawa, ang aming equation ay maaaring malutas nang medyo hindi nakakapinsala hindi lamang sa pamamagitan ng pagbawas sa isang parisukat, kundi pati na rin sa pamamagitan ng factorization. Tingnan para sa iyong sarili:

Ilipat ang buong expression (x-1) sa kaliwa. May minus sign:

Kinukuha namin ang (x-1) mula sa mga bracket bilang isang karaniwang salik at isinasaliksik ito:

Ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga kadahilanan ay zero. Ngayon ay itinutumbas natin (sa ating isipan!) ang bawat bracket sa zero at makuha ang ating legal na dalawang ugat:

At wala ni isang ugat ang nawala!

Tingnan natin ngayon ang kabaligtaran na sitwasyon - pagkuha ng mga dayuhang ugat. Ang sitwasyong ito ay nangyayari kapag pagpaparami magkabilang panig ng equation sa expression na may x. Madalas itong nangyayari kapag nilulutas ang mga fractional rational equation. Halimbawa, ang simpleng equation na ito:

Isang pamilyar na bagay - pinarami namin ang magkabilang panig ng denominator upang maalis ang fraction at makakuha ng ruler equation:

Tinutumbas namin ang bawat kadahilanan sa zero at nakakuha ng dalawang ugat:

Mukhang maayos naman ang lahat. Ngunit subukan nating gawin ang isang pangunahing pagsusuri. At kung sa x = 0 everything will grow together nicely, we get the identity 2=2, then when x = 1 Magreresulta ito sa paghahati ng zero. Ang talagang hindi mo magagawa. Ang isa ay hindi angkop bilang ugat ng ating equation. Sa mga ganitong pagkakataon ay sinasabi na x = 1- tinatawag na extraneous na ugat . Ang isa ay ang ugat ng ating bagong equation na walang fraction x(x-1) = 0, Pero ay hindi ugat orihinal fractional equation. Paano lumilitaw ang dayuhang ugat na ito? Lumilitaw ito kapag ang magkabilang panig ay pinarami ng denominator x-1. na sa x = 1 napupunta lang sa zero! At tayo ay may karapatan na dumami lamang sa isang expression maliban sa zero!

Paano maging? Huwag mag-multiply sa lahat? Pagkatapos ay hindi na namin malulutas ang anumang bagay. Dapat ko bang suriin sa bawat oras? Pwede. Ngunit ito ay madalas na labor-intensive kung ang unang equation ay masyadong convoluted. Sa ganitong mga kaso, tatlong magic na titik ang dumating upang iligtas - ODZ. TUNGKOL SA lugar D inalis Z mga nagawa. At upang maibukod ang hitsura ng mga extraneous na ugat, kapag nagpaparami ng isang expression na may X, dapat mong palaging isulat ang ODZ. Sa kaso natin:

Ngayon, sa limitasyong ito, maaari mong ligtas na i-multiply ang magkabilang panig ng denominator. Ibubukod namin ang lahat ng mapaminsalang kahihinatnan mula sa naturang pagpaparami (i.e. extraneous roots) ayon sa DZ. At walang awa naming itatapon ang aming isa.

Kaya, ang hitsura ng mga extraneous na ugat ay hindi kasing delikado ng pagkawala: Ang ODZ ay isang makapangyarihang bagay. At matigas. Palagi niyang aalisin ang lahat ng hindi kailangan. :) Magiging magkaibigan kami ni ODZ at mas makikilala ang isa't isa sa isang hiwalay na aralin.

That's all the identical transformations.) Dalawa lang. Gayunpaman, ang isang walang karanasan na mag-aaral ay maaaring magkaroon ng ilang mga paghihirap na nauugnay sa pagkakasunod-sunod kanilang mga aplikasyon: sa ilang mga halimbawa nagsisimula sila sa pagpaparami (o paghahati), sa iba pa - sa paglipat. Halimbawa, ang linear na equation na ito:

Saan magsisimula? Maaari kang magsimula sa paglipat:

O maaari mo munang hatiin ang parehong bahagi sa lima, at pagkatapos ay ilipat. Pagkatapos ang mga numero ay magiging mas simple at mas madaling mabilang:

Tulad ng nakikita natin, ang dalawang paraan ay posible. Kaya ang tanong ay lumitaw para sa ilang mga mag-aaral: "Alin ang tama?" Sagot: "Sa lahat ng paraan tama!" Alin ang mas maginhawa para sa iyo. :) Hangga't ang iyong mga aksyon ay hindi sumasalungat sa mga patakaran ng matematika. At ang pagkakasunud-sunod ng mga mismong aksyon na ito ay nakasalalay lamang sa mga personal na kagustuhan at gawi ng nagpapasya. Gayunpaman, sa karanasan, ang mga naturang katanungan ay mawawala sa kanilang sarili, at sa huli ay hindi matematika ang mag-uutos sa iyo, ngunit ikaw ang mag-uutos sa matematika. :)

Sa konklusyon, nais kong sabihin nang hiwalay tungkol sa tinatawag na may kondisyon na magkaparehong pagbabago, may bisa para sa ilang kundisyon. Halimbawa, ang pagtataas ng magkabilang panig ng isang equation sa parehong kapangyarihan. O ang pagkuha ng ugat mula sa magkabilang bahagi. Kung ang exponent ay kakaiba, pagkatapos ay walang mga paghihigpit - bumuo at kunin nang walang takot. Ngunit kung ito ay pantay, kung gayon ang gayong pagbabago ay magkapareho lamang kung ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pitfalls na ito nang detalyado sa paksa tungkol sa hindi makatwiran na mga equation.

Aplikasyon

Paglutas ng anumang uri ng mga equation online sa site para sa mga mag-aaral at mag-aaral upang pagsamahin ang pinag-aralan na materyal. Paglutas ng mga equation online. Mga equation online. Mayroong algebraic, parametric, transendental, functional, differential at iba pang uri ng mga equation. Ang ilang mga klase ng equation ay may mga analytical na solusyon, na maginhawa dahil hindi lamang sila nagbibigay ng eksaktong halaga ng ugat, ngunit nagbibigay-daan din sa iyo na isulat ang solusyon sa anyo ng isang formula, na maaaring may kasamang mga parameter. Ang mga analytical expression ay nagbibigay-daan hindi lamang upang kalkulahin ang mga ugat, ngunit din upang pag-aralan ang kanilang pag-iral at ang kanilang dami depende sa mga halaga ng parameter, na kadalasang mas mahalaga para sa praktikal na aplikasyon, kaysa sa mga tiyak na halaga ng mga ugat. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Ang paglutas ng isang equation ay ang gawain ng paghahanap ng mga naturang halaga ng mga argumento kung saan nakamit ang pagkakapantay-pantay na ito. Ang mga posibleng halaga ng mga argumento ay maaaring ipataw karagdagang kondisyon(integer, real, atbp.). Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Maaari mong lutasin ang equation online kaagad at may mataas na katumpakan ng resulta. Ang mga argumento sa mga tinukoy na function (minsan ay tinatawag na "mga variable") ay tinatawag na "hindi alam" sa kaso ng isang equation. Ang mga halaga ng mga hindi alam kung saan nakamit ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na mga solusyon o ugat ng equation na ito. Sinasabing ang mga ugat ay nagbibigay-kasiyahan sa equation na ito. Ang paglutas ng isang equation online ay nangangahulugan ng paghahanap ng hanay ng lahat ng mga solusyon nito (mga ugat) o pagpapatunay na walang mga ugat. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Ang mga equation na ang mga hanay ng mga ugat ay nagtutugma ay tinatawag na katumbas o katumbas. Ang mga equation na walang mga ugat ay itinuturing din na katumbas. Ang equation ng equation ay may pag-aari ng symmetry: kung ang isang equation ay katumbas ng isa pa, ang pangalawang equation ay katumbas ng una. Ang pagkakapareho ng mga equation ay may katangian ng transitivity: kung ang isang equation ay katumbas ng isa pa, at ang pangalawa ay katumbas ng isang ikatlo, kung gayon ang unang equation ay katumbas ng pangatlo. Ang pag-aari ng equivalence ng mga equation ay nagpapahintulot sa amin na magsagawa ng mga pagbabagong-anyo sa kanila, kung saan nakabatay ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online. Ang site ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation online. Ang mga equation kung saan kilala ang mga analytical na solusyon ay kinabibilangan ng mga algebraic equation na hindi mas mataas kaysa sa ika-apat na degree: linear equation, quadratic equation, cubic equation at equation ng fourth degree. Algebraic equation Sa pangkalahatang kaso, ang mga equation ng mas mataas na degree ay walang analytical na solusyon, bagama't ang ilan sa mga ito ay maaaring bawasan sa mga equation ng mas mababang degree. Ang mga equation na kinabibilangan ng mga transendental na function ay tinatawag na transendental. Kabilang sa mga ito, ang mga analytical na solusyon ay kilala para sa ilang mga trigonometric equation, dahil ang mga zero trigonometriko function kilalang kilala. Sa pangkalahatang kaso, kapag hindi mahanap ang isang analytical na solusyon, ginagamit ang mga numerical na pamamaraan. Ang mga numerical na pamamaraan ay hindi nagbibigay ng eksaktong solusyon, ngunit pinapayagan lamang ng isa na paliitin ang pagitan kung saan ang ugat ay namamalagi sa isang tiyak na paunang natukoy na halaga. Paglutas ng mga equation online.. Mga equation online.. Sa halip na isang equation online, iisipin natin kung paano bumubuo ang parehong expression ng isang linear na relasyon, hindi lamang sa isang tuwid na tangent, kundi pati na rin sa pinakadulo ng inflection ng graph. Ang pamamaraang ito ay kailangang-kailangan sa lahat ng oras sa pag-aaral ng paksa. Madalas na nangyayari na ang paglutas ng mga equation ay lumalapit sa panghuling halaga sa pamamagitan ng paggamit ng walang katapusang mga numero at pagsulat ng mga vector. Kinakailangang suriin ang paunang data at ito ang kakanyahan ng gawain. Kung hindi, ang lokal na kundisyon ay mako-convert sa isang formula. Pagbabaligtad sa isang tuwid na linya mula sa isang ibinigay na function, na kakalkulahin ng calculator ng equation nang walang pagkaantala sa pagpapatupad, ang offset ay magsisilbing isang pribilehiyo ng espasyo. Pag-uusapan natin ang tagumpay ng mga mag-aaral sa kapaligirang pang-agham. Gayunpaman, tulad ng lahat ng nasa itaas, makakatulong ito sa amin sa proseso ng paghahanap at kapag nalutas mo nang buo ang equation, iimbak ang resultang sagot sa mga dulo ng segment ng tuwid na linya. Ang mga linya sa espasyo ay nagsalubong sa isang punto at ang puntong ito ay tinatawag na intersected ng mga linya. Ang agwat sa linya ay ipinahiwatig bilang naunang tinukoy. Ang pinakamataas na post para sa pag-aaral ng matematika ay ilalathala. Ang pagtatalaga ng isang halaga ng argumento mula sa parametrically specified surface at paglutas ng equation online ay magagawang balangkasin ang mga prinsipyo ng produktibong pag-access sa isang function. Ang strip ng Möbius, o infinity kung tawagin, ay parang figure na walo. Ito ay isang panig na ibabaw, hindi dalawang panig. Ayon sa prinsipyong karaniwang alam ng lahat, obhetibo nating tatanggapin ang mga linear na equation bilang pangunahing pagtatalaga gaya ng nasa larangan ng pananaliksik. Dalawang halaga lamang ng sunud-sunod na ibinigay na mga argumento ang makakapagpakita ng direksyon ng vector. Ipagpalagay na ang isa pang solusyon sa mga online na equation ay higit pa sa paglutas lamang nito ay nangangahulugan ng pagkuha ng isang ganap na bersyon ng invariant bilang resulta. Kung wala pinagsamang diskarte Mahirap para sa mga mag-aaral na matutunan ang materyal na ito. Tulad ng dati, para sa bawat espesyal na kaso, ang aming maginhawa at matalinong online na calculator ng equation ay makakatulong sa lahat sa mahihirap na oras, dahil kailangan mo lamang tukuyin ang mga parameter ng input at ang system mismo ay kalkulahin ang sagot. Bago tayo magsimulang magpasok ng data, kakailanganin natin ng input tool, na maaaring gawin nang walang labis na kahirapan. Ang bilang ng bawat pagtatantya ng sagot ay hahantong sa isang parisukat na equation sa aming mga konklusyon, ngunit hindi ito napakadaling gawin, dahil madaling patunayan ang kabaligtaran. Ang teorya, dahil sa mga katangian nito, ay hindi sinusuportahan ng praktikal na kaalaman. Ang pagtingin sa isang fraction calculator sa yugto ng pag-publish ng sagot ay hindi isang madaling gawain sa matematika, dahil ang alternatibong pagsulat ng isang numero sa isang set ay nakakatulong upang mapataas ang paglago ng function. Gayunpaman, hindi tama na hindi pag-usapan ang tungkol sa pagsasanay ng mag-aaral, kaya bawat isa ay magsasabi kung gaano ito kailangang gawin. Ang dating nahanap na cubic equation ay nararapat na mapabilang sa domain ng kahulugan at naglalaman ng espasyo ng mga numerical na halaga, pati na rin ang mga simbolikong variable. Ang pagkakaroon ng natutunan o kabisado ang teorama, ang aming mga mag-aaral ay patunayan ang kanilang mga sarili lamang sa ang pinakamagandang bahagi, at magiging masaya tayo para sa kanila. Hindi tulad ng maraming intersection ng field, ang aming mga online na equation ay inilalarawan ng isang plane of motion sa pamamagitan ng pag-multiply ng dalawa at tatlong numerical na pinagsamang linya. Ang isang set sa matematika ay hindi natukoy nang natatangi. Ang pinakamahusay na solusyon, ayon sa mga mag-aaral, ay isang kumpletong pag-record ng expression. Tulad ng sinabi sa pang-agham na wika, ang abstraction ng mga simbolikong expression ay hindi pumapasok sa estado ng mga gawain, ngunit ang solusyon ng mga equation ay nagbibigay ng isang hindi malabo na resulta sa lahat ng mga kilalang kaso. Ang tagal ng aralin ng guro ay nakasalalay sa mga pangangailangan para sa panukalang ito. Ang pagsusuri ay nagpakita ng pangangailangan ng lahat ng computational techniques sa maraming lugar, at ito ay ganap na malinaw na ang isang equation calculator ay isang kailangang-kailangan na tool sa likas na kakayahan ng isang mag-aaral. Ang isang tapat na diskarte sa pag-aaral ng matematika ay tumutukoy sa kahalagahan ng mga pananaw mula sa iba't ibang direksyon. Gusto mong tukuyin ang isa sa mga pangunahing theorems at lutasin ang equation sa paraang, depende sa sagot kung saan magkakaroon ng karagdagang pangangailangan para sa aplikasyon nito. Nagkakaroon ng momentum ang Analytics sa lugar na ito. Magsimula tayo sa simula at makuha ang formula. Ang pagkakaroon ng paglabag sa antas ng pagtaas ng function, ang linya sa kahabaan ng tangent sa inflection point ay tiyak na hahantong sa katotohanan na ang paglutas ng equation online ay isa sa mga pangunahing aspeto sa pagbuo ng parehong graph mula sa argumento ng function. Ang isang amateur na diskarte ay may karapatang mailapat kung kondisyong ito hindi sumasalungat sa mga konklusyon ng mga mag-aaral. Ito ang subtask na naglalagay ng pagsusuri ng mga kundisyon sa matematika bilang mga linear na equation sa umiiral na domain ng kahulugan ng bagay na dinadala sa background. Kinansela ng netting sa direksyon ng orthogonality ang bentahe ng isang solong ganap na halaga. Nagbibigay ng parehong bilang ng mga solusyon ang modulo solving equation online kung bubuksan mo muna ang mga bracket na may plus sign at pagkatapos ay may minus sign. Sa kasong ito, magkakaroon ng dalawang beses na mas maraming mga solusyon, at ang resulta ay magiging mas tumpak. Matatag at tamang calculator Ang mga equation online ay tagumpay sa pagkamit ng nilalayon na layunin sa gawaing itinakda ng guro. Kinakailangang pamamaraan tila posible na pumili dahil sa mga makabuluhang pagkakaiba sa mga pananaw ng mga dakilang siyentipiko. Ang nagreresultang quadratic equation ay naglalarawan sa curve ng mga linya, ang tinatawag na parabola, at ang sign ay tutukoy sa convexity nito sa square coordinate system. Mula sa equation ay nakuha natin ang parehong discriminant at ang mga ugat mismo ayon sa theorem ni Vieta. Ang unang hakbang ay ang katawanin ang expression bilang isang wasto o hindi wastong fraction at gumamit ng fraction calculator. Depende dito, mabubuo ang plano para sa aming mga karagdagang kalkulasyon. Ang matematika na may teoretikal na diskarte ay magiging kapaki-pakinabang sa bawat yugto. Tiyak na ipapakita namin ang resulta bilang isang cubic equation, dahil itatago namin ang mga ugat nito sa expression na ito upang gawing simple ang gawain para sa isang mag-aaral sa isang unibersidad. Ang anumang mga pamamaraan ay mabuti kung ang mga ito ay angkop para sa mababaw na pagsusuri. Dagdag mga operasyon sa aritmetika hindi hahantong sa mga pagkakamali sa pagkalkula. Tinutukoy ang sagot nang may ibinigay na katumpakan. Gamit ang solusyon ng mga equation, harapin natin ito - ang paghahanap ng independiyenteng variable ng isang naibigay na function ay hindi napakadali, lalo na sa panahon ng pag-aaral. parallel lines sa infinity. Sa pagtingin sa pagbubukod, ang pangangailangan ay napakalinaw. Ang pagkakaiba ng polarity ay malinaw. Mula sa karanasan ng pagtuturo sa mga institute, natuto ang aming guro pangunahing aralin, kung saan pinag-aralan ang mga equation online sa buong matematikal na kahulugan. Dito pinag-uusapan natin ang mas mataas na pagsisikap at mga espesyal na kasanayan sa paglalapat ng teorya. Sa pabor sa aming mga konklusyon, hindi dapat tumingin sa isang prisma. Hanggang kamakailan lamang, pinaniniwalaan na ang isang saradong hanay ay mabilis na tumataas sa rehiyon kung ano ito at ang solusyon ng mga equation ay kailangan lamang na siyasatin. Sa unang yugto, hindi namin isinasaalang-alang ang lahat ng posibleng mga opsyon, ngunit ang diskarte na ito ay mas makatwiran kaysa dati. Ang mga karagdagang aksyon na may mga bracket ay nagbibigay-katwiran sa ilang mga pag-unlad sa kahabaan ng ordinate at abscissa axes, na hindi maaaring makaligtaan sa mata. Sa kahulugan ng isang malawak na proporsyonal na pagtaas sa function, mayroong isang inflection point. Muli nating patunayan kung paano kinakailangang kondisyon ay ilalapat sa buong agwat ng pagbaba ng isa o isa pang pababang posisyon ng vector. Sa isang limitadong espasyo, pipili kami ng variable mula sa unang bloke ng aming script. Ang isang sistema na itinayo bilang batayan kasama ang tatlong mga vector ay responsable para sa kawalan ng pangunahing sandali ng puwersa. Gayunpaman, ang calculator ng equation ay nakabuo at tumulong sa paghahanap ng lahat ng mga termino ng itinayong equation, parehong nasa itaas ng ibabaw at kasama ang mga parallel na linya. Gumuhit tayo ng bilog sa paligid ng panimulang punto. Kaya, magsisimula kaming umakyat sa mga linya ng seksyon, at ilalarawan ng tangent ang bilog sa buong haba nito, na nagreresulta sa isang kurba na tinatawag na involute. Sa pamamagitan ng paraan, sabihin natin ang isang maliit na kasaysayan tungkol sa curve na ito. Ang katotohanan ay ang kasaysayan sa matematika ay walang konsepto ng matematika mismo sa dalisay nitong pag-unawa tulad ng ngayon. Noong nakaraan, ang lahat ng mga siyentipiko ay nakikibahagi sa isang karaniwang gawain, iyon ay, agham. Nang maglaon, makalipas ang ilang siglo, nang siyentipikong mundo na puno ng napakalaking dami ng impormasyon, natukoy pa rin ng sangkatauhan ang maraming disiplina. Nananatili pa rin silang hindi nagbabago. Gayunpaman, bawat taon, sinusubukan ng mga siyentipiko sa buong mundo na patunayan na ang agham ay walang limitasyon, at hindi mo malulutas ang equation maliban kung mayroon kang kaalaman sa mga natural na agham. Maaaring hindi posible na wakasan ito. Ang pag-iisip tungkol dito ay walang kabuluhan gaya ng pagpapainit ng hangin sa labas. Hanapin natin ang pagitan kung saan ang argumento, kung ang halaga nito ay positibo, ay tutukuyin ang modulus ng halaga sa isang mabilis na pagtaas ng direksyon. Tutulungan ka ng reaksyon na makahanap ng hindi bababa sa tatlong solusyon, ngunit kakailanganin mong suriin ang mga ito. Magsimula tayo sa katotohanang kailangan nating lutasin ang equation online gamit ang natatanging serbisyo ng ating website. Ilagay natin ang magkabilang panig ng ibinigay na equation, i-click ang "SOLVE" na buton at makuha ang eksaktong sagot sa loob lamang ng ilang segundo. SA mga espesyal na kaso Kumuha tayo ng isang libro sa matematika at i-double check ang ating sagot, ibig sabihin, tingnan lamang ang sagot at magiging malinaw ang lahat. Ang parehong proyekto para sa isang artificial redundant parallelepiped ay lilipad. Mayroong parallelogram na may magkatulad na mga gilid, at ipinapaliwanag nito ang maraming mga prinsipyo at diskarte sa pag-aaral ng spatial na relasyon ng pataas na proseso ng pag-iipon ng guwang na espasyo sa mga natural na formula na anyo. Ang mga hindi maliwanag na linear na equation ay nagpapakita ng pag-asa ng nais na variable sa aming karaniwan sa sandaling ito solusyon sa oras at kailangan mong kahit papaano ay kunin at bawasan ang hindi tamang bahagi sa isang hindi maliit na kaso. Markahan ang sampung puntos sa tuwid na linya at gumuhit ng kurba sa bawat punto sa ibinigay na direksyon, na ang matambok na punto ay nakataas. Nang walang anumang mga espesyal na paghihirap, ang aming calculator ng equation ay magpapakita ng isang expression sa isang form na ang pagsusuri nito para sa bisa ng mga patakaran ay magiging halata kahit na sa simula ng pag-record. Ang sistema ng mga espesyal na representasyon ng katatagan para sa mga mathematician ay nauuna, maliban kung iba ang ibinigay ng formula. Sasagutin namin ito ng isang detalyadong pagtatanghal ng isang ulat sa paksa ng isomorphic na estado ng isang plastic system ng mga katawan at ang paglutas ng mga equation sa online ay ilalarawan ang paggalaw ng bawat materyal na punto sa sistemang ito. Sa antas ng malalim na pananaliksik, kakailanganing linawin nang detalyado ang isyu ng pagbabaligtad ng hindi bababa sa mas mababang layer ng espasyo. Sa pagtaas ng order sa seksyon ng discontinuity ng function, mag-a-apply kami pangkalahatang pamamaraan isang mahusay na mananaliksik, sa pamamagitan ng paraan, ang ating kababayan, at pag-uusapan natin sa ibaba ang tungkol sa pag-uugali ng eroplano. Dahil sa malalakas na katangian ng isang function na tinukoy ng analytical, ginagamit lang namin ang online na calculator ng equation para sa nilalayon nitong layunin sa loob ng mga hinangong limitasyon ng awtoridad. Nangangatuwiran pa, itutuon namin ang aming pagsusuri sa homogeneity ng equation mismo, iyon ay, ang kanang bahagi nito ay katumbas ng zero. Muli nating tiyakin na tama ang ating desisyon sa matematika. Upang maiwasan ang pagkuha ng isang maliit na solusyon, gagawa kami ng ilang mga pagsasaayos sa mga paunang kondisyon para sa problema ng kondisyon na katatagan ng system. Gumawa tayo ng isang quadratic equation, kung saan isinusulat natin ang dalawang entry gamit ang isang kilalang formula at hanapin ang mga negatibong ugat. Kung ang isang ugat ay limang yunit na mas malaki kaysa sa pangalawa at pangatlong ugat, kung gayon sa pamamagitan ng paggawa ng mga pagbabago sa pangunahing argumento sa gayon ay binabaluktot natin ang mga unang kundisyon ng subtask. Sa mismong likas na katangian nito, ang isang bagay na hindi karaniwan sa matematika ay maaaring palaging ilarawan sa pinakamalapit na daan ng isang positibong numero. Ang fraction calculator ay ilang beses na mas mataas kaysa sa mga analogue nito sa mga katulad na mapagkukunan sa pinakamahusay na sandali ng pag-load ng server. Sa ibabaw ng velocity vector na lumalaki kasama ang ordinate axis, gumuhit kami ng pitong linya, na nakatungo sa mga direksyon sa tapat ng bawat isa. Ang pagkakapantay-pantay ng itinalagang argumento ng function ay nauuna sa mga pagbabasa ng counter ng balanse sa pagbawi. Sa matematika, maaari nating katawanin ang hindi pangkaraniwang bagay na ito sa pamamagitan ng isang cubic equation na may mga haka-haka na koepisyent, gayundin sa bipolar na pag-unlad ng mga pababang linya. Mga kritikal na puntos Ang mga pagkakaiba sa temperatura sa maraming paraan ay naglalarawan sa proseso ng pagkabulok ng isang kumplikadong fractional function sa mga salik. Kung sasabihin sa iyo na lutasin ang isang equation, huwag magmadaling gawin ito kaagad, tiyak na suriin muna ang buong plano ng aksyon, at pagkatapos ay tanggapin ang tamang diskarte. Tiyak na magkakaroon ng mga benepisyo. Ang kadalian ng trabaho ay halata, at ang parehong ay totoo sa matematika. Lutasin ang equation online. Ang lahat ng online na equation ay kumakatawan sa isang partikular na uri ng talaan ng mga numero o parameter at isang variable na kailangang matukoy. Kalkulahin ang napaka variable na ito, iyon ay, maghanap ng mga tiyak na halaga o pagitan ng isang hanay ng mga halaga kung saan ang pagkakakilanlan ay mananatili. Ang mga paunang at panghuling kondisyon ay direktang nakasalalay. SA karaniwang desisyon Karaniwang kasama sa mga equation ang ilang variable at constants, sa pamamagitan ng pagtatakda kung saan makakakuha tayo ng buong pamilya ng mga solusyon para sa isang ibinigay na pahayag ng problema. Sa pangkalahatan, binibigyang-katwiran nito ang mga pagsisikap na namuhunan sa pagtaas ng paggana ng isang spatial cube na may gilid na katumbas ng 100 sentimetro. Maaari kang maglapat ng theorem o lemma sa anumang yugto ng pagbuo ng sagot. Ang site ay unti-unting gumagawa ng isang equation calculator, kung kinakailangan, sa anumang agwat ng pagsusuma ng mga palabas na produkto pinakamaliit na halaga. Sa kalahati ng mga kaso, ang naturang bola, na guwang, ay hindi na nakakatugon sa mga kinakailangan para sa pagtatakda ng isang intermediate na sagot. Hindi bababa sa ordinate axis sa direksyon ng pagbaba ng representasyon ng vector, ang proporsyon na ito ay walang alinlangan na mas mahusay kaysa sa nakaraang expression. Sa oras kung kailan mga linear na function isasagawa ang isang kumpletong pagsusuri sa punto, sa katunayan, pagsasama-samahin namin ang lahat ng aming mga kumplikadong numero at bipolar planar space. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable sa resultang expression, malulutas mo ang equation nang hakbang-hakbang at ibibigay ang pinakadetalyadong sagot na may mataas na katumpakan. Magiging magandang paraan sa bahagi ng isang mag-aaral na suriin muli ang kanyang mga aksyon sa matematika. Ang proporsyon sa ratio ng mga fraction ay naitala ang integridad ng resulta sa lahat ng mahahalagang lugar ng aktibidad ng zero vector. Kinumpirma ang triviality sa pagtatapos ng mga nakumpletong aksyon. Sa isang simpleng gawain, maaaring hindi mahihirapan ang mga mag-aaral kung malulutas nila ang equation online sa pinakamaikling posibleng panahon, ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa lahat ng iba't ibang panuntunan. Ang isang set ng mga subset ay nagsalubong sa isang rehiyon ng convergent notation. SA iba't ibang kaso ang produkto ay hindi maling naka-factor. Tutulungan kang lutasin ang equation online sa aming unang seksyon, na nakatuon sa mga pangunahing kaalaman ng mga diskarte sa matematika para sa mahahalagang seksyon para sa mga mag-aaral sa mga unibersidad at teknikal na kolehiyo. Hindi namin kailangang maghintay ng ilang araw para sa mga sagot, dahil ang proseso ng pinakamahusay na pakikipag-ugnayan ng pagsusuri ng vector sa sunud-sunod na paghahanap ng mga solusyon ay na-patent sa simula ng huling siglo. Lumalabas na ang mga pagsisikap na magtatag ng mga ugnayan sa nakapaligid na koponan ay hindi nawalan ng kabuluhan; malinaw na kailangan muna ng iba. Pagkalipas ng ilang henerasyon, pinaniwalaan ng mga siyentipiko sa buong mundo ang mga tao na ang matematika ay ang reyna ng mga agham. Kung ito ay ang kaliwang sagot o ang kanan, lahat ng pareho, ang kumpletong mga termino ay dapat na nakasulat sa tatlong mga hilera, dahil sa aming kaso ay tiyak na pag-uusapan lamang natin ang tungkol sa pagsusuri ng vector ng mga katangian ng matrix. Ang mga nonlinear at linear na equation, kasama ang mga biquadratic equation, ay may espesyal na lugar sa aming aklat tungkol sa pinakamahusay na kasanayan pagkalkula ng tilapon ng paggalaw sa espasyo ng lahat materyal na puntos saradong sistema. Ang isang linear na pagsusuri ng scalar product ng tatlong magkakasunod na vectors ay makakatulong sa atin na bigyang-buhay ang ideya. Sa dulo ng bawat pahayag, ginagawang mas madali ang gawain sa pamamagitan ng pagpapatupad ng mga naka-optimize na numerical exception sa mga overlay ng espasyo ng numero na ginagawa. Ang ibang paghatol ay hindi maghahambing sa nahanap na sagot sa di-makatwirang hugis ng isang tatsulok sa isang bilog. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector ay naglalaman ng kinakailangang porsyento ng margin at ang paglutas ng mga equation online ay madalas na nagpapakita ng isang tiyak karaniwang ugat mga equation na taliwas sa mga paunang kondisyon. Ang pagbubukod ay gumaganap ng papel ng isang katalista sa buong hindi maiiwasang proseso ng paghahanap ng isang positibong solusyon sa larangan ng pagtukoy ng isang function. Kung hindi sinabi na hindi ka maaaring gumamit ng isang computer, kung gayon ang isang online na calculator ng equation ay tama lamang para sa iyong mga mahihirap na problema. Kailangan mo lang ipasok ang iyong conditional data sa tamang format at maglalabas ang aming server ng ganap na resultang sagot sa pinakamaikling panahon. Ang isang exponential function ay tumataas nang mas mabilis kaysa sa isang linear. Ang mga Talmud ng matalinong literatura sa aklatan ay nagpapatotoo dito. Magsasagawa ng pagkalkula sa pangkalahatang kahulugan bilang isang ibinigay na quadratic equation na may tatlong kumplikadong coefficient na gagawin. Ang parabola sa itaas na bahagi ng kalahating eroplano ay nagpapakilala sa rectilinear parallel motion kasama ang mga axes ng punto. Narito ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng potensyal na pagkakaiba sa lugar ng pagtatrabaho ng katawan. Bilang kapalit para sa isang suboptimal na resulta, ang aming fraction calculator ay nararapat na sumasakop sa unang posisyon sa mathematical rating ng pagsusuri ng mga functional program sa gilid ng server. Ang kadalian ng paggamit ng serbisyong ito ay pahahalagahan ng milyun-milyong mga gumagamit ng Internet. Kung hindi mo alam kung paano ito gamitin, ikalulugod naming tulungan ka. Nais din naming lalo na tandaan at i-highlight ang cubic equation mula sa isang bilang ng mga problema sa elementarya, kapag kinakailangan upang mabilis na mahanap ang mga ugat nito at bumuo ng isang graph ng function sa isang eroplano. Mas mataas na grado ang pagpaparami ay isa sa mahirap mga problema sa matematika sa instituto at sapat na bilang ng oras ang inilalaan para sa pag-aaral nito. Tulad ng lahat ng mga linear na equation, ang sa amin ay walang pagbubukod ayon sa maraming layunin na mga patakaran; tumingin mula sa iba't ibang mga punto ng view, at ito ay naging simple at sapat upang itakda ang mga paunang kondisyon. Ang pagitan ng pagtaas ay tumutugma sa pagitan ng convexity ng function. Paglutas ng mga equation online. Ang pag-aaral ng teorya ay batay sa mga online na equation mula sa maraming mga seksyon sa pag-aaral ng pangunahing disiplina. Sa kaso ng diskarteng ito sa hindi tiyak na mga problema, napakasimpleng ipakita ang solusyon sa mga equation sa isang paunang natukoy na anyo at hindi lamang gumuhit ng mga konklusyon, ngunit mahulaan din ang kinalabasan ng naturang positibong solusyon. Ang isang serbisyo sa pinakamahusay na mga tradisyon ng matematika ay makakatulong sa amin na matutunan ang paksa, tulad ng kaugalian sa Silangan. Sa pinakamahusay na mga sandali ng agwat ng oras, ang mga katulad na gawain ay pinarami ng isang karaniwang kadahilanan na sampu. Ang kasaganaan ng pagpaparami ng maraming variable sa calculator ng equation ay nagsimulang dumami sa kalidad sa halip na mga quantitative variable gaya ng masa o timbang ng katawan. Upang maiwasan ang mga kaso ng kawalan ng timbang ng materyal na sistema, ang derivation ng isang three-dimensional na transpormer sa walang kuwentang convergence ng mga non-degenerate mathematical matrice ay medyo halata sa amin. Kumpletuhin ang gawain at lutasin ang equation sa ibinigay na mga coordinate, dahil ang konklusyon ay hindi alam nang maaga, tulad ng lahat ng mga variable na kasama sa post-space time. Naka-on panandalian ilipat ang karaniwang kadahilanan sa kabila ng mga panaklong at hatiin ang magkabilang panig ng pinakamalaking karaniwang kadahilanan nang maaga. Mula sa ilalim ng nagreresultang sakop na subset ng mga numero, kunin sa isang detalyadong paraan ng tatlumpu't tatlong puntos nang sunud-sunod sa isang maikling panahon. Sa lawak na sa pinakamahusay na posibleng paraan Ang paglutas ng isang equation online ay posible para sa bawat mag-aaral. Sa hinaharap, sabihin natin ang isang mahalaga ngunit pangunahing bagay, kung wala ito ay mahirap mabuhay sa hinaharap. Sa huling siglo, napansin ng mahusay na siyentipiko ang isang bilang ng mga pattern sa teorya ng matematika. Sa pagsasagawa, ang resulta ay hindi lubos na inaasahang impresyon ng mga kaganapan. Gayunpaman, sa prinsipyo, ang mismong solusyon na ito ng mga equation online ay nakakatulong upang mapabuti ang pag-unawa at pang-unawa ng isang holistic na diskarte sa pag-aaral at praktikal na pagsasama-sama ng teoretikal na materyal na sakop ng mga mag-aaral. Mas madaling gawin ito sa oras ng iyong pag-aaral.

=

Mga tagubilin

Pamamaraan ng PagpapalitIpahayag ang isang variable at palitan ito sa isa pang equation. Maaari mong ipahayag ang anumang variable sa iyong paghuhusga. Halimbawa, ipahayag ang y mula sa pangalawang equation:
x-y=2 => y=x-2Pagkatapos ay palitan ang lahat sa unang equation:
2x+(x-2)=10 Ilipat ang lahat nang walang “x” sa kanang bahagi at kalkulahin:
2x+x=10+2
3x=12 Susunod, upang makuha ang x, hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 3:
x=4. Kaya, nakita mo ang “x. Hanapin ang "y. Upang gawin ito, palitan ang "x" sa equation kung saan mo ipinahayag ang "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Gumawa ng check. Upang gawin ito, palitan ang mga nagresultang halaga sa mga equation:
2*4+2=10
4-2=2
Ang mga hindi alam ay natagpuan nang tama!

Isang paraan upang magdagdag o magbawas ng mga equation Alisin kaagad ang anumang variable. Sa aming kaso, ito ay mas madaling gawin sa "y.
Dahil sa "y" mayroong isang "+" sign, at sa pangalawa ay "-", pagkatapos ay maaari mong isagawa ang operasyon ng karagdagan, i.e. tiklupin ang kaliwang bahagi gamit ang kaliwa, at ang kanan gamit ang kanan:
2x+y+(x-y)=10+2Convert:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Palitan ang “x” sa anumang equation at hanapin ang “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Sa unang paraan makikita mo na tama ang mga ito.

Kung walang malinaw na tinukoy na mga variable, kinakailangan na bahagyang ibahin ang anyo ng mga equation.
Sa unang equation mayroon kaming "2x", at sa pangalawa mayroon lang kaming "x". Upang ang x ay mabawasan sa panahon ng karagdagan, i-multiply ang pangalawang equation sa 2:
x-y=2
2x-2y=4Pagkatapos ay ibawas ang pangalawa sa unang equation:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Tandaan na kung may minus bago ang bracket, pagkatapos ay buksan ito, baguhin ito sa kabaligtaran:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
hanapin ang y=2x sa pamamagitan ng pagpapahayag mula sa anumang equation, i.e.
x=4

Video sa paksa

Tip 2: Paano lutasin ang isang linear equation sa dalawang variable

Ang equation, na nakasulat sa pangkalahatang anyong ax+bу+c=0, ay tinatawag na linear equation na may dalawa mga variable. Ang nasabing equation mismo ay naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, kaya sa mga problema ito ay palaging pupunan ng isang bagay - isa pang equation o naglilimita sa mga kondisyon. Depende sa mga kondisyong ibinigay ng problema, lutasin ang isang linear equation na may dalawa mga variable dapat iba't ibang paraan.

Kakailanganin mong

• - linear equation na may dalawang variable;
• - pangalawang equation o karagdagang kundisyon.

Mga tagubilin

Dahil sa isang sistema ng dalawang linear equation, lutasin ito bilang mga sumusunod. Pumili ng isa sa mga equation kung saan ang mga coefficient ay mga variable mas maliit at ipahayag ang isa sa mga variable, halimbawa, x. Pagkatapos ay palitan ang halagang ito na naglalaman ng y sa pangalawang equation. Sa resultang equation magkakaroon lamang ng isang variable na y, ilipat ang lahat ng mga bahagi na may y sa kaliwang bahagi, at libre ang mga sa kanan. Hanapin ang y at palitan sa alinman sa mga orihinal na equation upang mahanap ang x.

May isa pang paraan upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation. I-multiply ang isa sa mga equation sa isang numero upang ang coefficient ng isa sa mga variable, tulad ng x, ay pareho sa parehong equation. Pagkatapos ay ibawas ang isa sa mga equation mula sa isa (kung ang kanang bahagi ay hindi katumbas ng 0, tandaan na ibawas ang kanang bahagi sa parehong paraan). Makikita mo na ang x variable ay nawala at isang y variable na lang ang natitira. Lutasin ang nagresultang equation, at palitan ang nahanap na halaga ng y sa alinman sa mga orihinal na pagkakapantay-pantay. Hanapin ang x.

Ang ikatlong paraan upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear equation ay graphical. Gumuhit ng coordinate system at i-graph ang dalawang tuwid na linya na ang mga equation ay ibinigay sa iyong system. Upang gawin ito, palitan ang anumang dalawang x na halaga sa equation at hanapin ang kaukulang y - ito ang magiging mga coordinate ng mga puntos na kabilang sa linya. Ang pinaka-maginhawang paraan upang mahanap ang intersection sa mga coordinate axes ay ang simpleng palitan ang mga halaga x=0 at y=0. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linyang ito ay ang mga gawain.

Kung mayroon lamang isang linear equation sa mga kondisyon ng problema, pagkatapos ay binigyan ka ng karagdagang mga kondisyon kung saan makakahanap ka ng solusyon. Basahing mabuti ang problema upang mahanap ang mga kundisyong ito. Kung mga variable Ang x at y ay nagpapahiwatig ng distansya, bilis, timbang - huwag mag-atubiling itakda ang limitasyon x≥0 at y≥0. Posible na itinago ng x o y ang bilang ng mga mansanas, atbp. – kung gayon ang mga halaga ay maaari lamang . Kung x ang edad ng anak, malinaw na hindi siya maaaring mas matanda kaysa sa kanyang ama, kaya ipahiwatig ito sa mga kondisyon ng problema.

Mga Pinagmulan:

• kung paano lutasin ang isang equation na may isang variable

Mag-isa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala ay may maraming solusyon, kaya kadalasan ay dinadagdagan ito ng dalawa pang equation o kundisyon. Depende sa kung ano ang paunang data, ang kurso ng desisyon ay higit na nakasalalay.

Kakailanganin mong

• - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.

Mga tagubilin

Kung dalawa sa tatlong sistema ay mayroon lamang dalawa sa tatlong hindi alam, subukang ipahayag ang ilang mga variable sa mga tuntunin ng iba at palitan ang mga ito sa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala. Ang iyong layunin sa kasong ito ay gawing normal ito ang equation kasama ang isang hindi kilalang tao. Kung ito ay , ang karagdagang solusyon ay medyo simple - palitan ang nahanap na halaga sa iba pang mga equation at hanapin ang lahat ng iba pang hindi alam.

Ang ilang mga sistema ng mga equation ay maaaring ibawas mula sa isang equation ng isa pa. Tingnan kung posible na i-multiply ang isa sa o isang variable upang ang dalawang hindi alam ay kanselahin nang sabay-sabay. Kung may ganitong pagkakataon, samantalahin ito; malamang, ang kasunod na solusyon ay hindi magiging mahirap. Tandaan na kapag nagpaparami sa isang numero, dapat mong i-multiply pareho ang kaliwang bahagi at kanang bahagi. Gayundin, kapag binabawasan ang mga equation, dapat mong tandaan na ang kanang bahagi ay dapat ding ibawas.

Kung ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi nakatulong, gamitin sa pangkalahatang paraan mga solusyon sa anumang equation na may tatlo hindi kilala. Upang gawin ito, muling isulat ang mga equation sa anyong a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Ngayon lumikha ng isang matrix ng mga coefficient para sa x (A), isang matrix ng mga hindi alam (X) at isang matrix ng mga libreng variable (B). Pakitandaan na sa pamamagitan ng pagpaparami ng matrix ng mga coefficient sa matrix ng mga hindi alam, makakakuha ka ng matrix ng mga libreng termino, iyon ay, A*X=B.

Hanapin ang matrix A sa kapangyarihan (-1) sa pamamagitan ng unang paghahanap , tandaan na hindi ito dapat katumbas ng zero. Pagkatapos nito, i-multiply ang nagresultang matrix sa matrix B, bilang isang resulta makakatanggap ka ng nais na matrix X, na nagpapahiwatig ng lahat ng mga halaga.

Makakahanap ka rin ng solusyon sa isang sistema ng tatlong equation gamit ang paraan ng Cramer. Upang gawin ito, hanapin ang third-order determinant ∆ na naaayon sa system matrix. Pagkatapos ay sunud-sunod na maghanap ng tatlo pang determinant ∆1, ∆2 at ∆3, na pinapalitan ang mga halaga ng mga libreng termino sa halip na ang mga halaga ng kaukulang mga hanay. Ngayon hanapin ang x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Mga Pinagmulan:

• mga solusyon sa mga equation na may tatlong hindi alam

Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay mahirap at kapana-panabik. Paano mas kumplikadong sistema, mas kawili-wiling lutasin ito. Kadalasan sa matematika mataas na paaralan Mayroong mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam, ngunit sa mas mataas na matematika ay maaaring mayroong higit pang mga variable. Ang mga sistema ay maaaring malutas gamit ang ilang mga pamamaraan.

Mga tagubilin

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga equation ay pagpapalit. Upang gawin ito, kailangan mong ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa at palitan ito sa pangalawa ang equation sistema, kaya nangunguna ang equation sa isang variable. Halimbawa, ibinigay ang mga sumusunod na equation: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Mula sa pangalawang expression ay maginhawa upang ipahayag ang isa sa mga variable, paglipat ng lahat ng iba pa sa kanang bahagi ng expression, hindi nalilimutan na baguhin ang tanda ng koepisyent: x = 3-y.

Buksan ang mga bracket: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Pinapalitan namin ang resultang value na y sa expression: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Sa unang expression, ang lahat ng termino ay 2, maaari mong kunin ang 2 mula sa bracket patungo sa distributive property ng multiplication: 2*(2x-y-3)=0. Ngayon ang parehong bahagi ng expression ay maaaring bawasan ng numerong ito, at pagkatapos ay ipinahayag bilang y, dahil ang modulus coefficient para dito ay katumbas ng isa: -y = 3-2x o y = 2x-3.

Tulad ng sa unang kaso, pinapalitan namin ang expression na ito sa pangalawa ang equation at makuha natin ang: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Ipalit ang resultang value sa expression: y=2x -3;y=4-3=1.

Nakikita namin na ang coefficient para sa y ay pareho sa halaga, ngunit naiiba sa sign, samakatuwid, kung idagdag namin ang mga equation na ito, ganap na naming aalisin ang y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0; x=2. Palitan ang halaga ng x sa alinman sa dalawang equation ng system at makuha ang y=1.

Video sa paksa

Biquadratic ang equation kumakatawan ang equation ikaapat na antas, pangkalahatang anyo na kinakatawan ng expression na ax^4 + bx^2 + c = 0. Ang solusyon nito ay batay sa paggamit ng paraan ng pagpapalit ng mga hindi alam. SA sa kasong ito Ang x^2 ay pinalitan ng isa pang variable. Kaya, ang resulta ay isang ordinaryong parisukat ang equation, na kailangang lutasin.

Mga tagubilin

Lutasin ang parisukat ang equation, na nagreresulta mula sa pagpapalit. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang halaga alinsunod sa formula: D = b^2? 4ac. Sa kasong ito, ang mga variable na a, b, c ay ang mga coefficient ng aming equation.

Hanapin ang mga ugat ng biquadratic equation. Upang gawin ito, kunin ang square root ng mga solusyon na nakuha. Kung mayroong isang solusyon, magkakaroon ng dalawa - isang positibo at negatibong halaga ng square root. Kung mayroong dalawang solusyon, ang biquadratic equation ay magkakaroon ng apat na ugat.

Video sa paksa

Ang isa sa mga klasikal na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ay ang Gauss method. Ito ay binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable kapag ang isang sistema ng mga equation ay gumagamit mga simpleng pagbabago ay isinalin sa isang stepwise system, kung saan ang lahat ng mga variable ay sunud-sunod na matatagpuan, simula sa huli.

Mga tagubilin

Una, dalhin ang sistema ng mga equation sa isang anyo kung saan ang lahat ng hindi alam ay nasa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod. Halimbawa, lahat ng hindi kilalang X ay lalabas muna sa bawat linya, lahat ng Y ay darating pagkatapos ng X, lahat ng Z ay darating pagkatapos ng Y, at iba pa. Dapat ay walang mga hindi alam sa kanang bahagi ng bawat equation. Tukuyin sa isip ang mga coefficient sa harap ng bawat hindi alam, pati na rin ang mga coefficient sa kanang bahagi ng bawat equation.