Paano hanapin ang lugar ng isang polygon sa iba't ibang paraan. Paano mahanap ang lugar ng isang polygon

Sa mga problema sa geometry, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng isang polygon. Bukod dito, maaari itong magkaroon ng medyo magkakaibang hugis - mula sa isang pamilyar na tatsulok hanggang sa ilang n-gon na may ilang hindi maisip na bilang ng mga vertices. Bilang karagdagan, ang mga polygon na ito ay alinman sa matambok o malukong. Sa bawat tiyak na sitwasyon dapat itaboy mula sa hitsura mga numero. Papayagan ka nitong piliin ang pinakamahusay na paraan upang malutas ang problema. Ang figure ay maaaring maging tama, na lubos na magpapadali sa solusyon ng problema.

Ilang teorya tungkol sa mga polygon

Kung gumuhit ka ng tatlo o higit pang mga intersecting na linya, pagkatapos ay bumubuo sila ng isang tiyak na pigura. Siya ang polygon. Sa bilang ng mga intersection point, nagiging malinaw kung gaano karaming mga vertex ang magkakaroon nito. Nagbibigay sila ng pangalan sa nagresultang pigura. Maaaring ito ay:

Ang nasabing figure ay tiyak na mailalarawan sa pamamagitan ng dalawang posisyon:

Ang mga katabing panig ay hindi kabilang sa parehong linya.
Ang mga hindi katabi ay walang mga karaniwang punto, iyon ay, hindi sila nagsalubong.

Upang maunawaan kung aling mga vertex ang katabi, kailangan mong makita kung kabilang sila sa parehong panig. Kung oo, kapitbahay. Kung hindi man, maaari silang konektado sa pamamagitan ng isang segment, na dapat na tinatawag na isang dayagonal. Maaari lamang iguhit ang mga ito sa mga polygon na mayroong higit sa tatlong vertice.

Anong mga uri ng mga ito ang umiiral?

Ang polygon na may higit sa apat na sulok ay maaaring matambok o malukong. Ang kaibahan ng huli ay ang ilan sa mga vertices nito ay maaaring magkatabi magkaibang panig mula sa isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang arbitrary na bahagi ng polygon. Sa isang matambok na linya, ang lahat ng mga vertice ay palaging nakahiga sa parehong bahagi ng naturang linya.

SA kurso sa paaralan geometry karamihan ng ang oras ay ibinibigay sa mga convex figure. Samakatuwid, sa mga gawain ay kinakailangan upang malaman ang lugar ng isang convex polygon. Pagkatapos ay mayroong isang formula sa mga tuntunin ng radius ng circumscribed na bilog, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang nais na halaga para sa anumang figure. Sa ibang mga kaso, walang natatanging solusyon. Para sa isang tatsulok, ang formula ay isa, ngunit para sa isang parisukat o isang trapezoid, sila ay ganap na naiiba. Sa mga sitwasyon kung saan ang figure ay hindi tama o mayroong maraming mga vertex, kaugalian na hatiin ang mga ito sa simple at pamilyar.

Ano ang gagawin kung ang figure ay may tatlo o apat na vertices?

Sa unang kaso, ito ay magiging isang tatsulok, at maaari mong gamitin ang isa sa mga formula:

S \u003d 1/2 * a * n, kung saan ang a ang gilid, n ang taas nito;
S \u003d 1/2 * a * b * kasalanan (A), kung saan ang a, b ay ang mga gilid / s ng tatsulok, A ay ang anggulo sa pagitan ng mga kilalang panig;
S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), kung saan ang c ay ang gilid ng tatsulok, sa dalawang nakasaad na, p ay ang semiperimeter, iyon ay, ang kabuuan ng lahat ng tatlong panig, na hinati ng dalawa .

Ang figure na may apat na vertices ay maaaring maging isang paralelogram:

S = a * n;
S \u003d 1/2 * d 1 * d 2 * sin (α), kung saan ang d 1 at d 2 ay mga dayagonal, ang α ay ang anggulo sa pagitan nila;
S = a * sa * sin(α).

Ang formula para sa lugar ng isang trapezoid: S \u003d n * (a + b) / 2, kung saan ang a at b ay ang mga haba ng mga base.

Ano ang gagawin sa isang regular na polygon na may higit sa apat na vertices?

Upang magsimula, ang gayong pigura ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na sa loob nito ang lahat ng panig ay pantay. Dagdag pa, ang polygon ay may parehong mga anggulo.

Kung ang isang bilog ay inilarawan sa paligid ng isang figure, ang radius nito ay magkakasabay sa segment mula sa gitna ng polygon hanggang sa isa sa mga vertices. Samakatuwid, upang makalkula ang lugar ng isang regular na polygon na may isang arbitrary na bilang ng mga vertices, ang sumusunod na formula ay kinakailangan:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), kung saan ang n ay ang bilang ng polygon vertices.

Mula dito madaling makakuha ng isa na kapaki-pakinabang para sa mga espesyal na kaso:

tatsulok: S \u003d (3√3) / 4 * R 2;
parisukat: S \u003d 2 * R 2;
hexagon: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ang sitwasyon na may maling pigura

Ang paraan kung paano malalaman ang lugar ng isang polygon, kung ito ay hindi tama at hindi maiugnay sa alinman sa mga naunang kilalang figure, ay ang algorithm:

hatiin ito sa mga simpleng hugis, tulad ng mga tatsulok, upang hindi sila magsalubong;
kalkulahin ang kanilang mga lugar gamit ang anumang formula;
idagdag ang lahat ng mga resulta.

Ano ang gagawin kung ang problema ay naglalaman ng mga coordinate ng polygon vertices?

Iyon ay, ang isang hanay ng mga pares ng mga numero para sa bawat punto ay kilala, na naglilimita sa mga gilid ng figure. Karaniwan ang mga ito ay isinusulat bilang (x 1 ; y 1) para sa una, (x 2 ; y 2) para sa pangalawa, at ang n-th vertex ay may mga sumusunod na halaga (x n ; y n). Pagkatapos ang lugar ng polygon ay tinukoy bilang kabuuan ng n mga termino. Ang bawat isa sa kanila ay ganito ang hitsura: ((y i+1 + y i)/2) * (x i+1 - x i). Sa expression na ito, nagbabago ako mula sa isa hanggang n.

Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang pag-sign ng resulta ay depende sa bypass ng figure. Kapag ginagamit ang tinukoy na formula at gumagalaw nang pakanan, ang sagot ay magiging negatibo.

Halimbawa ng gawain

Kundisyon. Ang mga coordinate ng vertex ay ibinibigay ng mga sumusunod na halaga (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Kailangan mong kalkulahin ang lugar ng isang polygon.

Solusyon. Ayon sa formula sa itaas, ang unang termino ay magiging katumbas ng (1.8 + 0.6) / 2 * (3.6 - 2.1). Dito kailangan mo lamang kunin ang mga halaga para sa y at x mula sa pangalawa at unang puntos. Ang isang simpleng pagkalkula ay hahantong sa resulta 1.8.

Ang pangalawang termino ay katulad na nakuha: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. Kapag nilulutas ang mga naturang problema, huwag matakot sa mga negatibong halaga. Lahat ay nangyayari sa paraang nararapat. Ito ay pinaplano.

Katulad nito, ang mga halaga para sa pangatlo (0.29), ikaapat (-6.365) at ikalimang termino (2.96) ay nakuha. Pagkatapos ang kabuuang lugar ay: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

Payo para sa paglutas ng isang problema kung saan ang isang polygon ay iginuhit sa papel sa isang hawla

Kadalasan ay nakakagulat na sa data mayroon lamang ang laki ng cell. Ngunit lumalabas na hindi kailangan ng karagdagang impormasyon. Ang isang rekomendasyon para sa paglutas ng naturang problema ay upang hatiin ang pigura sa isang hanay ng mga tatsulok at parihaba. Ang kanilang mga lugar ay medyo simple upang mabilang sa pamamagitan ng haba ng mga gilid, na kung saan ay madaling magdagdag ng hanggang.

Ngunit kadalasan mayroong isang mas madaling diskarte. Binubuo ito sa pagguhit ng isang pigura sa isang parihaba at pagkalkula ng halaga ng lugar nito. Pagkatapos ay kalkulahin ang mga lugar ng mga elementong iyon na naging labis. Ibawas ang mga ito mula sa pangkalahatang kahulugan. Ang opsyong ito kung minsan ay nagsasangkot ng bahagyang mas maliit na bilang ng mga aksyon.

Aral mula sa serye " Mga Geometric Algorithm»

Kamusta mahal na mambabasa.

Ang solusyon ng maraming problema sa computational geometry ay batay sa paghahanap polygon area. Sa araling ito, makakakuha tayo ng isang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang polygon gamit ang mga coordinate ng mga vertices nito, at magsulat ng isang function upang makalkula ang lugar na ito.

Gawain. Kalkulahin ang lugar ng isang polygon, na ibinigay ng mga coordinate ng vertices nito, sa clockwise order.

Impormasyon mula sa computational geometry

Upang makuha ang formula para sa lugar ng isang polygon, kailangan namin ng impormasyon mula sa computational geometry, ibig sabihin, ang konsepto ng isang oriented na lugar ng isang tatsulok.

Ang oriented na lugar ng isang tatsulok ay ang karaniwang lugar na binibigyan ng isang palatandaan. Oriented Area Sign ng isang Triangle ABC ang parehong bilang ang oriented na anggulo sa pagitan ng mga vectors at . Iyon ay, ang tanda nito ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod kung saan ang mga vertex ay binibilang.

Naka-on kanin. 1 triangle ABC ay isang right triangle. Ang lugar na nakatuon nito ay katumbas ng (mas malaki ito sa zero, dahil ang pares , ay positibong nakatuon). Ang parehong halaga ay maaaring kalkulahin sa ibang paraan.

Hayaan TUNGKOL SA ay isang arbitrary na punto ng eroplano. Sa aming figure, ang lugar ng tatsulok na ABC ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng OAB at OCA mula sa lugar ng tatsulok na OBC. Kaya, kailangan mo lang magdagdag ng mga lugar na nakatuon mga tatsulok na OAB, OBC at OCA. Gumagana ang panuntunang ito para sa anumang pagpipilian ng punto TUNGKOL SA.

Katulad nito, upang makalkula ang lugar ng anumang polygon, kailangan mong idagdag ang mga oriented na lugar ng mga tatsulok.

Ang kabuuan ay ang lugar ng polygon, na kinuha gamit ang plus sign kung ang polygon ay nasa kaliwa kapag umiikot sa polygon (bypassing ang boundary counterclockwise), at may minus sign kung ito ay nasa kanan (bypassing clockwise ).

Kaya, ang pagkalkula ng lugar ng isang polygon ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok. Tingnan natin kung paano ito ipahayag sa mga coordinate.

Ang cross product ng dalawang vectors sa isang eroplano ay ang lugar ng parallelogram na binuo sa mga vectors na ito.

Ang produkto ng vector na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga vectors:

Ang lugar ng tatsulok ay magiging katumbas ng kalahati ng lugar na ito:

Ito ay maginhawa upang kunin ang pinagmulan ng mga coordinate bilang ang punto O, pagkatapos ay ang mga coordinate ng mga vectors sa batayan kung saan ang mga oriented na lugar ay kinakalkula ay magkakasabay sa mga coordinate ng mga puntos.

Hayaan (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - ang mga coordinate ng vertices ng ibinigay na polygon sa clockwise o counterclockwise order. Kung gayon ang naka-orient na lugar na S ay magiging katumbas ng:

Ito ang aming gumaganang formula, ito ay ginagamit sa aming programa.

Kung ang mga coordinate ng vertices ay ibinigay sa counterclockwise order, pagkatapos ay ang numero S, ang kinakalkula ng formula na ito ay magiging positibo. Kung hindi, ito ay magiging negatibo, at upang makuha ang karaniwang geometric na lugar, kailangan nating kunin ang ganap na halaga nito.

Kaya, isaalang-alang ang isang programa para sa paghahanap ng lugar ng isang polygon na ibinigay ng mga coordinate ng vertices.

Programa geom6; Const n_max=200; (max points+1) type b=record x,y:real; wakas; myArray= array ng b; var input:text; A:myArray; s:totoo; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (Filling array) simulan ang assign(input,"input.pas"); i-reset (input); readln(input, n); para sa i:=1 sa n do read(input, a[i].x,a[i].y); malapit (input); wakas; function Square(A:myarray): totoo; (Pagkalkula ng polygon area) var i:integer; S: totoo simulan ang a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; para sa i:=1 sa n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Square:= S dulo; (Square) magsisimula (pangunahing) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S: = Square(a); writeln("S=",s:6:2); wakas.

Ang vertex coordinates ay binabasa mula sa input.pas. file, na nakaimbak sa isang array A bilang mga talaan na may dalawang patlang. Para sa kaginhawaan ng pag-bypass sa polygon, ang mga elemento ng n + 1 ay ipinakilala sa array, ang halaga nito ay katumbas ng halaga ng unang elemento ng array.

pang-edukasyon: turuan ang mga mag-aaral na hanapin ang lugar ng isang polygon gamit ang mga pamamaraan na kanilang pinili, bumuo ng mga paunang representasyon
polygon, graphic at mga kasanayan sa pagsukat;
pagbuo: ang pagbuo ng mga paraan ng aktibidad ng kaisipan ng mga mag-aaral kapag nagsasagawa ng mga gawain mula sa pagmamasid, mga kalkulasyon hanggang sa paglilinaw ng mga pattern ng pagkalkula ng lugar ng isang polygon;
pagtuturo: paglalantad ng subjective na karanasan ng mga mag-aaral, paghikayat sa mga aksyon, mga adhikain ng mga mag-aaral bilang batayan para sa pagtuturo ng mga positibong katangian ng personalidad;
pamamaraan: paglikha ng mga kondisyon para sa pagpapakita ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral.

Mga kagamitan sa aralin:

Disenyo ng board: sa kaliwa - mga hugis ng polygon, sa kanan - isang blangko na canvas ng board para sa pagsusulat sa aralin, sa gitna - isang polygon-rectangle.
Leaflet "Para sa pananaliksik".
Mga tool ng guro at mga mag-aaral (chalk, pointer, ruler, research sheet, figures, drawing paper, marker).

Paraan ng aralin:

Sa pakikipag-ugnayan ng guro at mag-aaral - diyalogo-komunikasyon;
Ayon sa paraan ng paglutas ng mga problema - bahagyang paghahanap;
Sa pamamagitan ng paraan ng mental na aktibidad - (SUD) na pagsasanay sa pag-unlad.

Ang anyo ng aralin ay pangharap, pares, indibidwal.

Ang uri ng aralin ay isang aral sa pag-master ng mga bagong kaalaman, kasanayan at kakayahan.

Ang istruktura ng aralin ay isang unti-unting pagpapalalim sa paksa, nababaluktot, diyalogo.

Sa panahon ng mga klase

Pagbati.

Ang aral ay maganda at nagdudulot ng saya kapag tayo ay nag-iisip at nagtutulungan. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga numero, matukoy ang kanilang mga pangalan, mag-isip, maghanap at maghanap ng mga solusyon. Nais namin ang bawat isa ng matagumpay na gawain.

Pag-update ng kaalaman.

Isaalang-alang ang mga figure (mga polygon sa pisara).

Magkasama silang lahat. Bakit? Ano ang kanilang karaniwang tampok? (Polygons).

Pangalanan ang polygon na ito (5-gon, 6-gon…)

Alam mo ba kung ano ang lugar ng isang polygon?

Pagkatapos ay ipakita sa isa sa mga figure.

(Generalization ng guro: ang lugar ay bahagi ng isang eroplano sa loob ng closed geometric figure.)

Sa Russian, ang salitang ito ay may ilang mga kahulugan.

(Ipinakilala ng mag-aaral sa diksyunaryo ang mga kahulugan.)

Bahagi ng isang eroplano sa loob ng isang closed geometric figure.
Malaking hindi pa binuo at patag na lugar.
Isang lugar para sa anumang layunin.

Aling halaga ang ginagamit sa matematika?

Sa matematika, ginagamit ang unang halaga.

(May figure sa pisara).

Ito ba ay isang polygon? Oo.

Pangalanan ang hugis nang iba. Parihaba.

Ipakita ang haba, lapad.

Paano mahahanap ang lugar ng isang polygon?

Isulat ang pormula gamit ang mga titik at simbolo.

Kung ang haba ng ating parihaba ay 20 cm, ang lapad ay 10 cm. Ano ang lugar?

Ang lugar ay 200 cm 2

Isipin kung paano ilakip ang isang ruler upang ang figure ay nahahati sa:

Nakita mo ba kung anong mga bahagi ang binubuo ng pigura? At ngayon, sa kabaligtaran, tipunin natin ang kabuuan sa mga bahagi.

(Nakalatag ang mga bahagi ng pigura sa mga mesa. Ang mga bata ay nagbubuo ng isang parihaba mula sa kanila).

Gumawa ng mga konklusyon mula sa iyong mga obserbasyon.

Ang buong pigura ay maaaring hatiin sa mga bahagi at mula sa mga bahagi upang maging isang buo.

Ang mga bahay batay sa mga triangles at quadrangles ay mga figure, silhouette. Narito kung ano ang naging sila.

(Pagpapakita ng mga guhit na ginawa ng mga mag-aaral sa bahay. Nasusuri ang isa sa mga akda).

Anong mga figure ang ginamit mo? Mayroon kang isang kumplikadong polygon.

Pahayag ng gawaing pang-edukasyon.

Sa aralin, dapat nating sagutin ang tanong: paano mahahanap ang lugar ng isang kumplikadong polygon?

Bakit kailangang hanapin ng isang tao ang lugar?

(Mga sagot ng mga bata at paglalahat ng guro).

Ang gawain ng pagtukoy sa lugar ay lumitaw mula sa pagsasanay.

(Ang plano ng site ng paaralan ay ipinapakita.)

Upang makapagtayo ng paaralan, gumawa muna sila ng plano. Pagkatapos ang teritoryo ay nahahati sa mga seksyon ng isang tiyak na lugar, mga gusali, mga kama ng bulaklak, isang istadyum ay inilagay. Sa kasong ito, ang site ay may isang tiyak na hugis - ang hugis ng isang polygon.

Ang solusyon sa problemang pang-edukasyon.

(Ang mga pattern ay ibinibigay para sa pananaliksik.)

May figure sa harap mo. Pangalanan siya.

Polygon, heksagono.

Hanapin ang lugar ng polygon. Ano ang dapat gawin para dito?

Hatiin sa mga parihaba.

(Sa kaso ng kahirapan, magkakaroon ng isa pang tanong: "Anong mga hugis ang binubuo ng polygon?").

Mula sa dalawang parihaba.

Hatiin ang hugis sa mga parihaba gamit ang ruler at lapis. Italaga ang mga bilang 1 at 2 na natanggap na mga bahagi.

Magsukat tayo.

Hanapin ang lugar ng unang figure.

(Iminumungkahi ng mga estudyante ang mga sumusunod na solusyon at isulat ang mga ito sa pisara.)

S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 cm 2
S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 cm 2

Ang pag-alam sa lugar ng mga bahagi, kung paano hanapin ang lugar ng buong figure?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Ihambing ang mga resulta at gumawa ng isang konklusyon.

Sundin natin ang ating mga hakbang

Paano matatagpuan ang lugar ng isang polygon?

Ang isang algorithm ay pinagsama-sama at nakasulat sa poster:?

1. Hatiin ang pigura sa mga bahagi

2. Hanapin ang mga lugar ng mga bahagi ng mga polygon na ito (S 1, S 2).

3. Hanapin ang lugar ng buong polygon (S 1 + S 2).

Sabihin ang algorithm.

(Ilan sa mga estudyante ang binibigkas ang algorithm).

Nakahanap kami ng dalawang paraan, at marahil mayroon pa?

At maaari mong tapusin ang figure.

Ilang parihaba ang nakuha mo?

Italaga natin ang bahagi 1 at 2. Gumawa tayo ng mga sukat.

Hanapin ang lugar ng bawat bahagi ng polygon.

S1=6? 5=30cm 2
S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Paano mahahanap ang lugar ng aming hexagon?

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 cm 2

Gumawa tayo ng algorithm:

Natapos ang pigura sa isang parihaba

Natagpuan ang S 1 at S 2 .

Natagpuan namin ang pagkakaiba S 1 - S 2.

Paghambingin ang dalawang algorithm. Gumawa ng konklusyon. Anong mga aksyon ang pareho? Saan nagkakaiba ang ating mga kilos?

Ipikit mo ang iyong mga mata, ibaba ang iyong ulo. Ulitin sa isip ang algorithm.

Nagsagawa kami ng gawaing pananaliksik, isinasaalang-alang ang iba't ibang mga pamamaraan at ngayon ay mahahanap namin ang lugar ng anumang polygon.

Pagsusuri sa pagganap.

Subukin ang sarili.

Narito ang mga polygons.

Hanapin ang lugar ng isang figure na pinili, habang maaari mong gamitin iba't ibang paraan.

Ang gawain ay ginagawa nang nakapag-iisa. Pumili ng figure ang mga bata. Hanapin ang lugar sa isa sa mga paraan. Ang pagpapatunay ay ang susi sa board.

Ano ang masasabi tungkol sa form? (Iba ang anyo)

Ano ang lugar ng mga polygon na ito? (Ang mga lugar ng mga polygon na ito ay pantay)

Suriin ang mga resulta.

Sino ang may tama - ilagay ang "+".

Sino ang may mga pagdududa, kahirapan - "?"

Ang mga consultant ay nagbibigay ng tulong sa mga lalaki, maghanap ng mga pagkakamali, tumulong sa pagwawasto sa kanila.

Takdang aralin:

Bumuo ng iyong mga sheet ng pananaliksik, kalkulahin ang lugar ng isang polygon sa iba't ibang paraan.

Buod ng aralin.

Kaya, guys, ano ang sasabihin mo sa iyong mga magulang tungkol sa kung paano hanapin ang lugar ng isang geometric figure - isang polygon.

Aral mula sa serye " Mga Geometric Algorithm»

Kamusta mahal na mambabasa.

Gawain. Kalkulahin ang lugar ng isang polygon, na ibinigay ng mga coordinate ng vertices nito, sa clockwise order.

Impormasyon mula sa computational geometry

Upang makuha ang formula para sa lugar ng isang polygon, kailangan namin ng impormasyon mula sa computational geometry, ibig sabihin, ang konsepto ng isang oriented na lugar ng isang tatsulok.

Ang oriented na lugar ng isang tatsulok ay ang karaniwang lugar na binibigyan ng isang palatandaan. Oriented Area Sign ng isang Triangle ABC ang parehong bilang ang oriented na anggulo sa pagitan ng mga vectors at. Iyon ay, ang tanda nito ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod kung saan ang mga vertex ay binibilang.

Naka-on kanin. Ang 1 triangle ABC ay isang right triangle. Ang oriented na lugar nito ay (ito ay mas malaki kaysa sa zero, dahil ang pares ay positibong nakatuon). Ang parehong halaga ay maaaring kalkulahin sa ibang paraan.

Katulad nito, upang makalkula ang lugar ng anumang polygon, kailangan mong idagdag ang mga oriented na lugar ng mga tatsulok.

Kaya, ang pagkalkula ng lugar ng isang polygon ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok. Tingnan natin kung paano ito ipahayag sa mga coordinate.

Ang cross product ng dalawang vectors sa isang eroplano ay ang lugar ng parallelogram na binuo sa mga vectors na ito.

Ang produkto ng vector na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga vectors:

Kaya, isaalang-alang ang isang programa para sa paghahanap ng lugar ng isang polygon na ibinigay ng mga coordinate ng vertices.

3. Kung ang isang polygon ay binubuo ng ilang polygon, kung gayon ang lawak nito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga polygon na ito.

4. Ang lugar ng isang parisukat na may gilid na \(a\) ay \(a^2\) .

\[(\Malaki(\text(Lugar ng rectangle at parallelogram)))\]

Theorem: lugar ng isang parihaba

Ang lugar ng isang rektanggulo na may mga gilid \(a\) at \(b\) ay \(S=ab\) .

Patunay

Buuin natin ang parihaba \(ABCD\) sa isang parisukat na may gilid \(a+b\) , tulad ng ipinapakita sa figure:

Ang parisukat na ito ay binubuo ng isang parihaba \(ABCD\) , isa pang parihaba na katumbas nito, at dalawang parisukat na may mga gilid \(a\) at \(b\) . kaya,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Kahulugan

Ang taas ng parallelogram ay ang patayong iginuhit mula sa vertex ng parallelogram hanggang sa gilid (o extension ng gilid) na hindi naglalaman ng vertex na iyon.
Halimbawa, ang taas \(BK\) ay bumabagsak sa gilid \(AD\) , at ang taas \(BH\) ay bumabagsak sa extension ng gilid \(CD\) :

Theorem: lugar ng isang paralelogram

Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng taas at ang gilid kung saan iginuhit ang taas na ito.

Patunay

Gumuhit ng mga patayo \(AB"\) at \(DC"\) tulad ng ipinapakita sa figure. Tandaan na ang mga perpendicular na ito ay katumbas ng taas ng parallelogram \(ABCD\) .

Pagkatapos ay ang \(AB"C"D\) ay isang parihaba, kaya \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Tandaan na ang mga tamang tatsulok \(ABB"\) at \(DCC"\) ay pantay. kaya,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Malaki(\text(Lugar ng tatsulok)))\]

Kahulugan

Tatawagin natin ang gilid kung saan iginuhit ang altitude sa tatsulok na base ng tatsulok.

Teorama

Ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng base nito at ang taas na iginuhit sa base na iyon.

Patunay

Hayaan ang \(S\) ang lugar ng tatsulok \(ABC\) . Kunin natin ang gilid \(AB\) bilang base ng tatsulok at iguhit ang taas \(CH\) . Patunayan natin na \ Buuin natin ang tatsulok \(ABC\) sa parallelogram \(ABDC\) tulad ng ipinapakita sa figure:

Ang mga tatsulok \(ABC\) at \(DCB\) ay pantay sa tatlong panig (\(BC\) ang kanilang karaniwang panig, \(AB = CD\) at \(AC = BD\) bilang magkasalungat na panig ng parallelogram \ (ABDC\ )), kaya ang kanilang mga lugar ay pantay. Samakatuwid, ang lugar \(S\) ng tatsulok \(ABC\) ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parallelogram \(ABDC\) , i.e. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Teorama

Kung ang dalawang tatsulok \(\tatsulok ABC\) at \(\tatsulok A_1B_1C_1\) ay may pantay na taas, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magkakaugnay bilang mga base kung saan iginuhit ang mga taas na ito.

Bunga

Hinahati ito ng median ng isang tatsulok sa dalawang tatsulok na magkaparehong lugar.

Teorama

Kung ang dalawang tatsulok \(\tatsulok ABC\) at \(\tatsulok A_2B_2C_2\) ay may pantay na anggulo, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magkakaugnay bilang mga produkto ng mga panig na bumubuo sa anggulong ito.

Patunay

Hayaan ang \(\angle A=\angle A_2\) . Pagsamahin natin ang mga sulok na ito tulad ng ipinapakita sa figure (ang puntong \(A\) ay nakahanay sa puntong \(A_2\)):

Gumuhit ng mga taas \(BH\) at \(C_2K\) .

Ang mga tatsulok \(AB_2C_2\) at \(ABC_2\) ay may parehong taas \(C_2K\) , samakatuwid: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Ang mga tatsulok \(ABC_2\) at \(ABC\) ay may parehong taas \(BH\) , samakatuwid: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Ang pagpaparami ng huling dalawang pagkakapantay-pantay, nakukuha natin: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( o ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pythagorean theorem

Sa isang kanang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti:

Totoo rin ang kabaligtaran: kung sa isang tatsulok ang parisukat ng haba ng isang panig ay katumbas ng kabuuan mga parisukat ng haba ng iba pang dalawang panig, kung gayon ang gayong tatsulok ay tamang-anggulo.

Teorama

Ang lugar ng isang kanang tatsulok ay kalahati ng produkto ng mga binti.

Theorem: Ang formula ni Heron

Hayaang ang \(p\) ay ang semiperimeter ng isang tatsulok, \(a\) , \(b\) , \(c\) ang mga haba ng mga gilid nito, kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng \

\[(\Malaki(\text(Lugar ng isang rhombus at isang trapezoid)))\]

Magkomento

kasi Ang rhombus ay isang paralelogram, kung gayon ang parehong formula ay totoo para dito, i.e. Ang lugar ng isang rhombus ay katumbas ng produkto ng taas at ang gilid kung saan iginuhit ang taas na ito.

Teorama

Ang lugar ng convex quadrilateral na ang mga diagonal ay patayo ay kalahati ng produkto ng mga diagonal.

Patunay

Isaalang-alang ang may apat na gilid \(ABCD\) . Tukuyin ang \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Tandaan na ang quadrilateral na ito ay binubuo ng apat kanang tatsulok, samakatuwid, ang lugar nito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok na ito:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Corollary: lugar ng isang rhombus

Ang lugar ng isang rhombus ay kalahati ng produkto ng mga diagonal nito:

Kahulugan

Ang taas ng isang trapezoid ay isang patayo na iginuhit mula sa tuktok ng isang base hanggang sa kabilang base.

Theorem: lugar ng isang trapezoid

Ang lugar ng isang trapezoid ay kalahati ng kabuuan ng mga base na beses ang taas.

Patunay

Isaalang-alang ang isang trapezoid \(ABCD\) na may mga base \(BC\) at \(AD\) . Gumuhit ng \(CD"\parallel AB\) tulad ng ipinapakita sa figure:

Pagkatapos ang \(ABCD"\) ay isang paralelogram.

Gumuhit din kami ng \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) ay ang mga taas ng trapezoid).

Pagkatapos \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

kasi ang isang trapezoid ay binubuo ng isang parallelogram \(ABCD"\) at isang tatsulok \(CDD"\) , kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng parallelogram at ang tatsulok, iyon ay:

\ \[=\dfrac12 CH\kaliwa(BC+AD"+D"D\kanan)=\dfrac12 CH\kaliwa(BC+AD\kanan)\]

Lahat ng nag-aral ng matematika at geometry sa paaralan ay nakakaalam ng mga agham na ito kahit sa mababaw. Ngunit sa paglipas ng panahon, kung hindi ito isinasabuhay, ang kaalaman ay nakakalimutan. Marami pa nga ang naniniwala na sinayang lang nila ang kanilang oras sa pag-aaral ng mga geometric na kalkulasyon. Gayunpaman, mali sila. Ang mga teknikal na manggagawa ay nagsasagawa ng pang-araw-araw na gawain na may kaugnayan sa mga geometric na kalkulasyon. Tulad ng para sa pagkalkula ng lugar ng isang polygon, nahahanap din ng kaalamang ito ang aplikasyon nito sa buhay. Kakailanganin sila ng hindi bababa sa upang makalkula ang lugar ng lupain. Kaya't alamin natin kung paano hanapin ang lugar ng isang polygon.

Kahulugan ng polygon

Una, tukuyin natin kung ano ang polygon. Ito ay isang flat geometric figure, na nabuo bilang isang resulta ng intersection ng tatlo o higit pang mga linya. Isa pang simpleng kahulugan: ang polygon ay isang closed polyline. Naturally, sa intersection ng mga linya, ang mga intersection point ay nabuo, ang kanilang bilang ay katumbas ng bilang ng mga linya na bumubuo ng isang polygon. Ang mga punto ng intersection ay tinatawag na vertices, at ang mga segment na nabuo mula sa mga tuwid na linya ay tinatawag na mga gilid ng polygon. Ang mga katabing segment ng isang polygon ay wala sa parehong tuwid na linya. Ang mga segment ng linya na hindi katabi ay ang mga hindi dumadaan sa mga karaniwang punto.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok

Paano mahahanap ang lugar ng isang polygon? Ang lugar ng isang polygon ay panloob na bahagi isang eroplano na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga segment o gilid ng isang polygon. Dahil ang isang polygon ay isang kumbinasyon ng mga hugis tulad ng isang tatsulok, rhombus, parisukat, trapezoid, kung gayon unibersal na pormula upang kalkulahin ang lugar nito ay wala doon. Sa pagsasagawa, ang pinaka-unibersal na pamamaraan ay ang paghahati ng isang polygon sa mas simpleng mga numero, ang lugar na kung saan ay hindi mahirap hanapin. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga kabuuan ng mga lugar ng mga simpleng figure na ito, nakukuha natin ang lugar ng polygon.

Sa pamamagitan ng lugar ng bilog

Sa karamihan ng mga kaso, ang polygon ay may regular na hugis at bumubuo ng isang figure na may pantay na panig at anggulo sa pagitan ng mga ito. Ang pagkalkula ng lugar sa kasong ito ay napakasimple gamit ang inscribed o circumscribed na bilog. Kung ang lugar ng bilog ay kilala, pagkatapos ay dapat itong i-multiply sa perimeter ng polygon, at pagkatapos ay ang nagresultang produkto na hinati ng 2. Bilang resulta, ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng naturang polygon ay nakuha. : S = ½∙P∙r., Kung saan ang P ay ang lugar ng bilog, at ang r ay ang perimeter ng polygon .

Ang paraan ng paghahati ng isang polygon sa "maginhawa" na mga hugis ay ang pinakasikat sa geometry, pinapayagan ka nitong mabilis at tama na mahanap ang lugar ng isang polygon. Ang ika-4 na baitang ng mataas na paaralan ay karaniwang natututo ng mga ganitong pamamaraan.

Lugar, isa sa mga pangunahing dami na nauugnay sa mga geometric na hugis. Sa pinakasimpleng mga kaso, ito ay sinusukat sa pamamagitan ng bilang ng mga parisukat ng yunit na pinupuno ang isang patag na pigura, iyon ay, mga parisukat na may gilid na katumbas ng isang haba. Ang pagkalkula ng P. ay nasa unang panahon na ... ...

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Lugar (mga kahulugan). Ang lugar ng isang flat figure ay isang additive numerical na katangian ng isang figure na ganap na nabibilang sa isang eroplano. Sa pinakasimpleng kaso, kapag ang figure ay maaaring nahahati sa may hangganan ... ... Wikipedia

Ang I Area ay isa sa mga pangunahing dami na nauugnay sa mga geometric na hugis. Sa pinakasimpleng mga kaso, ito ay sinusukat sa pamamagitan ng bilang ng mga parisukat ng yunit na pinupuno ang isang patag na pigura, iyon ay, mga parisukat na may gilid na katumbas ng isang haba. Pagkalkula P. ... ... Great Soviet Encyclopedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Lugar (mga kahulugan). Area Unit L² SI units m² ... Wikipedia

G. 1. Bahagi ibabaw ng lupa, natural na limitado o espesyal na inilaan ang espasyo para sa ilang layunin. ott. Puwang ng tubig. ott. Malaki, patag na lugar, espasyo. 2. Flat na hindi pa maunlad na pampublikong espasyo ... ... Moderno Diksyunaryo Wikang Ruso Efremova

Ang artikulong ito ay iminungkahi para sa pagtanggal. Ang isang paliwanag ng mga dahilan at isang kaukulang talakayan ay matatagpuan sa pahina ng Wikipedia: Upang matanggal / Setyembre 2, 2012. Hanggang sa makumpleto ang proseso ng talakayan, ang artikulo ay maaaring mapabuti, ngunit dapat ay ... ... Wikipedia

Dalawang figure sa R2 na may pantay na lugar at, ayon sa pagkakabanggit, dalawang polygons M1 at M 2 upang ang mga ito ay maaaring i-cut sa polygons upang ang mga bahagi na bumubuo sa M 1 ay ayon sa pagkakabanggit ay magkatugma sa mga bahagi na bumubuo sa M 2. Para sa, pantay na lugar ... ... Mathematical Encyclopedia

B=7, G=8, B + G/2 − 1= 10 Ang theorem ng Pick ay isang klasikal na resulta ng combinatorial geometry at geometry ng mga numero. Lugar ng isang polygon na may integer ... Wikipedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Pick's Theorem. V = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Ang formula ng Pick (o ang theorem ng Pick) ay isang klasikal na resulta ng combinatorial geometry at geometry ng mga numero. Square ... Wikipedia

Isang domain (connected open set) sa hangganan ng convex body sa Euclidean space E 3. Tinatawag ang buong hangganan ng convex body. kumpletong V. p. Kung ang katawan ay may hangganan, pagkatapos ay kumpletuhin ang V. p. sarado. Kung ang katawan ay walang hanggan, kung gayon ang kumpletong V. p. walang katapusan...... Mathematical Encyclopedia

1.1 Pagkalkula ng mga lugar noong unang panahon

1.2 Iba't ibang mga diskarte sa pag-aaral ng mga konsepto ng "lugar", "polygon", "lugar ng isang polygon"

1.2.1 Ang konsepto ng lugar. Mga Katangian ng Lugar

1.2.2 Ang konsepto ng isang polygon

1.2.3 Ang konsepto ng lugar ng isang polygon. Deskriptibong kahulugan

1.3 Iba't ibang mga formula para sa mga lugar ng polygons

1.4 Pinagmulan ng mga polygon area formula

1.4.1 Lugar ng isang tatsulok. Ang formula ni Heron

1.4.2 Lugar ng isang parihaba

1.4.3 Lugar ng isang trapezoid

1.4.4 Lugar ng isang quadrilateral

1.4.5 Pangkalahatang formula

1.4.6 Lugar ng isang n-gon

1.4.7 Kinakalkula ang lugar ng isang polygon mula sa mga coordinate ng mga vertices nito

1.4.8 Pumili ng Formula

1.5 Ang Pythagorean theorem sa kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti ng isang right triangle

1.6 Pagkakatumbas ng mga tatsulok. Bogliai-Gervin theorem

1.7 Ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok

1.8 Mga figure na may pinakamalaking lugar

1.8.1 Trapezoid o parihaba

1.8.2 Isang kahanga-hangang katangian ng isang parisukat

1.8.3 Mga plot na may iba't ibang hugis

1.8.4 Triangle na may pinakamalaking lugar

Kabanata 2. Mga tampok na pamamaraan ng pag-aaral ng mga lugar ng polygons sa mga klase sa matematika

2.1 Pagpaplanong pampakay at mga tampok ng pagtuturo sa mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika

2.2 Pamamaraan ng aralin

2.3 Mga resulta ng eksperimentong gawain

Konklusyon

Panitikan

Panimula

Ang paksang "Lugar ng mga polygons" ay isang mahalagang bahagi ng kurso sa matematika ng paaralan, na medyo natural. Sa katunayan, sa kasaysayan, ang mismong paglitaw ng geometry ay nauugnay sa pangangailangan para sa paghahambing mga lupain isang anyo o iba pa. Kasabay nito, dapat tandaan na ang mga pagkakataong pang-edukasyon para sa pagsisiwalat ng paksang ito sa mataas na paaralan ay malayo sa ganap na magamit.

Ang pangunahing gawain ng pagtuturo ng matematika sa paaralan ay upang matiyak ang isang malakas at mulat na karunungan ng mga mag-aaral sa sistema ng kaalaman at kasanayan sa matematika na kinakailangan sa Araw-araw na buhay At aktibidad sa paggawa bawat miyembro modernong lipunan, sapat para mag-aral mga kaugnay na disiplina at patuloy na edukasyon.

Kasama ang solusyon ng pangunahing gawain, ang isang malalim na pag-aaral ng matematika ay nagbibigay para sa pagbuo ng isang matatag na interes sa paksa sa mga mag-aaral, ang pagkilala at pag-unlad ng kanilang mga kakayahan sa matematika, isang oryentasyon patungo sa mga propesyon na makabuluhang nauugnay sa matematika, at paghahanda sa pag-aaral sa isang unibersidad.

Kasama sa gawaing kwalipikado ang nilalaman ng kursong matematika sekondaryang paaralan at ilang karagdagang tanong na direktang katabi ng kursong ito at pagpapalalim nito sa mga pangunahing linya ng ideolohiya.

Ang pagsasama ng mga karagdagang tanong ay nagsisilbi sa dalawang magkakaugnay na layunin. Sa isang banda, ito ang paglikha, kasabay ng mga pangunahing seksyon ng kurso, ng isang batayan upang matugunan ang mga interes at paunlarin ang mga kakayahan ng mga mag-aaral na may pagkahilig sa matematika, sa kabilang banda, ang katuparan ng mga makabuluhang puwang sa ang pangunahing kurso, na nagbibigay ng nilalaman malalim na pag-aaral ang kinakailangang integridad.

Ang gawaing kwalipikado ay binubuo ng isang panimula, dalawang kabanata, isang konklusyon at binanggit na literatura. Tinatalakay ng unang kabanata ang mga teoretikal na pundasyon ng pag-aaral ng mga lugar ng mga polygon, at ang pangalawang kabanata ay direktang tumatalakay sa mga tampok na pamamaraan ng pag-aaral ng mga lugar.

Kabanata 1. Batayang teoretikal pag-aaral ng mga lugar ng polygons

1.1Pagkalkula ng mga lugar noong unang panahon

Ang mga simulain ng kaalamang geometriko na may kaugnayan sa pagsukat ng mga lugar ay nawala sa kalaliman ng millennia.

Bumalik sa 4 - 5 libong taon na ang nakalilipas, natukoy ng mga Babylonians ang lugar ng isang parihaba at isang trapezoid sa mga square unit. Ang parisukat ay matagal nang nagsisilbing pamantayan para sa pagsukat ng mga lugar dahil sa marami sa mga kapansin-pansing katangian nito: magkapantay na panig, magkapantay at tamang mga anggulo, simetriya at pangkalahatang pagiging perpekto ng anyo. Ang mga parisukat ay madaling itayo, o maaari mong punan ang isang eroplano nang walang mga puwang.

SA sinaunang Tsina Ang sukat ng lugar ay isang parihaba. Kapag natukoy ng mga mason ang lugar ng isang hugis-parihaba na dingding ng bahay, pinarami nila ang taas at lapad ng dingding. Ito ang tinatanggap na kahulugan sa geometry: ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito. Ang magkabilang panig na ito ay dapat na ipahayag sa parehong mga linear na yunit. Ang kanilang produkto ay ang lugar ng rektanggulo, na ipinahayag sa kaukulang mga yunit ng parisukat. Sabihin natin kung ang taas at lapad ng dingding ay sinusukat sa mga decimeter, kung gayon ang produkto ng parehong mga sukat ay ipapakita sa square decimeters. At kung ang lugar ng bawat nakaharap na Plot ay isang parisukat na decimeter, ang resultang produkto ay magsasaad ng bilang ng mga tile na kailangan para sa pagharap. Ito ay sumusunod mula sa pahayag na pinagbabatayan ng pagsukat ng mga lugar: ang lugar ng isang figure na binubuo ng mga hindi intersecting figure ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga lugar.

Ang mga sinaunang Egyptian 4,000 taon na ang nakalilipas ay gumamit ng halos kaparehong mga pamamaraan tulad ng ginagawa natin upang sukatin ang lugar ng isang parihaba, tatsulok, at trapezoid: ang base ng tatsulok ay nahahati sa kalahati, at pinarami ng taas; para sa isang trapezoid, ang kabuuan ng magkatulad na panig ay nahahati sa kalahati at pinarami ng taas, at iba pa. Upang kalkulahin ang lugar

quadrilateral na may mga gilid (Larawan 1.1), ang formula ay inilapat

(1.1)

mga. ang kalahating kabuuan ng magkabilang panig ay pinarami.

Ang formula na ito ay malinaw na hindi tama para sa anumang may apat na gilid; ito ay sumusunod mula dito, sa partikular, na ang mga lugar ng lahat ng mga rhombus ay pareho. Samantala, kitang-kita na ang mga lugar ng naturang rhombus ay nakadepende sa laki ng mga anggulo sa vertices. Ang formula na ito ay may bisa lamang para sa isang parihaba. Sa tulong nito, maaari mong humigit-kumulang na kalkulahin ang lugar ng mga quadrilateral, kung saan ang mga anggulo ay malapit sa kanan.

Upang matukoy ang lugar

isosceles triangle(Fig. 1.2), kung saan ginamit ng mga Egyptian ang tinatayang formula:

(1.2)

kanin. 1.2 Ang error na ginawa sa kasong ito ay mas maliit, mas maliit ang pagkakaiba sa pagitan ng gilid at taas ng tatsulok, sa madaling salita, mas malapit ang tuktok (at) sa base ng taas mula sa. Iyon ang dahilan kung bakit ang tinatayang formula (1.2) ay naaangkop lamang para sa mga tatsulok na may medyo maliit na anggulo ng vertex.

Ngunit alam na ng mga sinaunang Griyego kung paano mahanap nang tama ang mga lugar ng mga polygon. Sa kanyang Mga Elemento, hindi ginagamit ni Euclid ang salitang "lugar", dahil sa mismong salitang "figure" ay nauunawaan niya ang isang bahagi ng isang eroplano na napapalibutan ng isa o isa pang saradong linya. Hindi ipinapahayag ng Euclid ang resulta ng pagsukat ng lugar bilang isang numero, ngunit inihahambing ang mga lugar iba't ibang pigura sa pagitan nila.

Tulad ng ibang mga siyentipiko noong unang panahon, ang Euclid ay tumatalakay sa pagbabago ng ilang mga figure sa iba, sila ay pantay-pantay sa laki. Ang lugar ng isang compound figure ay hindi magbabago kung ang mga bahagi nito ay nakaayos nang iba, ngunit walang pagtawid. Samakatuwid, halimbawa, posible, batay sa mga formula para sa lugar ng isang rektanggulo, upang mahanap ang mga formula para sa mga lugar ng iba pang mga figure. Kaya, ang tatsulok ay nahahati sa mga naturang bahagi, kung saan maaari kang gumawa ng isang rektanggulo ng pantay na lugar dito. Mula sa konstruksiyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base at taas nito. Sa pamamagitan ng paggamit sa gayong muling pagguhit, nalaman nila na ang lugar ng parallelogram ay katumbas ng produkto ng base at ang taas, ang lugar ng trapezoid ay produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base. at ang taas.

Kapag ang mga mason ay kailangang mag-tile ng isang pader ng kumplikadong pagsasaayos, maaari nilang matukoy ang lugar ng dingding sa pamamagitan ng pagbibilang ng bilang ng mga tile na napunta sa pag-tile. Ang ilang mga tile, siyempre, ay kailangang i-chip upang ang mga gilid ng cladding ay nag-tutugma sa gilid ng dingding. Ang bilang ng lahat ng mga tile na pumasok sa trabaho ay sinusuri ang lugar ng dingding na may labis, ang bilang ng mga hindi naputol na tile - na may isang kawalan. Habang bumababa ang laki ng mga cell, bumababa ang dami ng basura, at ang lugar ng dingding, na tinutukoy ng bilang ng mga tile, ay kinakalkula nang higit pa at mas tumpak.

Ang isa sa mga huling Greek mathematician - mga ensiklopedya, na ang mga gawa ay pangunahing inilapat sa kalikasan, ay si Heron ng Alexandria, na nabuhay noong ika-1 siglo. n. e. Bilang isang natatanging inhinyero, tinawag din siyang "Heron the Mechanic". Sa kanyang gawaing Dioptrics, inilalarawan ni Heron ang iba't ibang mga makina at praktikal na mga instrumento sa pagsukat.

Ang isa sa mga libro ni Heron ay pinangalanan niyang "Geometrics" at isang uri ng koleksyon ng mga formula at kaukulang mga problema. Naglalaman ito ng mga halimbawa para sa pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat, parihaba at tatsulok. Sumulat si Heron tungkol sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa mga gilid nito: "Hayaan, halimbawa, ang isang gilid ng isang tatsulok ay may haba na 13 sinukat na mga lubid, ang pangalawa ay 14 at ang pangatlo ay 15. Upang mahanap ang lugar, gawin ang sumusunod . Magdagdag ng 13, 14 at 15; makakakuha ka ng 42. Kalahati nito ay 21. Ibawas dito ang tatlong panig nang paisa-isa; unang ibawas ang 13 - ito ay nananatiling 8, pagkatapos ay 14 - ito ay nananatiling 7, at sa wakas 15 - ito ay nananatiling 6. Ngayon i-multiply ang mga ito: 21 beses 8 ay magbibigay ng 168, kunin ito ng 7 beses - makakakuha ka ng 1176, at ito 6 pang beses - ikaw makakuha ng 7056. Mula rito Kuwadrado na ugat magkakaroon ng 84. Ganito ang magiging sukat ng mga lubid sa lugar ng tatsulok.

Sa mga problema sa geometry, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng isang polygon. Bukod dito, maaari itong magkaroon ng medyo magkakaibang hugis - mula sa isang pamilyar na tatsulok hanggang sa ilang n-gon na may ilang hindi maisip na bilang ng mga vertices. Bilang karagdagan, ang mga polygon na ito ay alinman sa matambok o malukong. Sa bawat partikular na sitwasyon, ito ay dapat na bumuo sa hitsura ng figure. Papayagan ka nitong piliin ang pinakamahusay na paraan upang malutas ang problema. Ang figure ay maaaring maging tama, na lubos na magpapadali sa solusyon ng problema.

Ilang teorya tungkol sa mga polygon

Ang nasabing figure ay tiyak na mailalarawan sa pamamagitan ng dalawang posisyon:

Ang mga katabing panig ay hindi kabilang sa parehong linya.
Ang mga hindi katabi ay walang mga karaniwang punto, iyon ay, hindi sila nagsalubong.

Anong mga uri ng mga ito ang umiiral?

Ang polygon na may higit sa apat na sulok ay maaaring matambok o malukong. Ang pagkakaiba ng huli ay ang ilan sa mga vertice nito ay maaaring nasa iba't ibang panig ng isang tuwid na linya na iginuhit sa isang arbitrary na bahagi ng polygon. Sa isang matambok na linya, ang lahat ng mga vertice ay palaging nakahiga sa parehong bahagi ng naturang linya.

Sa kursong geometry ng paaralan, karamihan sa oras ay nakatuon sa mga convex figure. Samakatuwid, sa mga gawain ay kinakailangan upang malaman ang lugar ng isang convex polygon. Pagkatapos ay mayroong isang formula sa mga tuntunin ng radius ng circumscribed na bilog, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang nais na halaga para sa anumang figure. Sa ibang mga kaso, walang natatanging solusyon. Para sa isang tatsulok, ang formula ay isa, ngunit para sa isang parisukat o isang trapezoid, sila ay ganap na naiiba. Sa mga sitwasyon kung saan ang figure ay hindi tama o mayroong maraming mga vertex, kaugalian na hatiin ang mga ito sa simple at pamilyar.

Ano ang gagawin kung ang figure ay may tatlo o apat na vertices?

Sa unang kaso, ito ay magiging isang tatsulok, at maaari mong gamitin ang isa sa mga formula:

S \u003d 1/2 * a * n, kung saan ang a ang gilid, n ang taas nito;
S \u003d 1/2 * a * b * kasalanan (A), kung saan ang a, b ay ang mga gilid / s ng tatsulok, A ay ang anggulo sa pagitan ng mga kilalang panig;
S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), kung saan ang c ay ang gilid ng tatsulok, sa dalawang nakasaad na, p ay ang semiperimeter, iyon ay, ang kabuuan ng lahat ng tatlong panig, na hinati ng dalawa .

Ang figure na may apat na vertices ay maaaring maging isang paralelogram:

S = a * n;
S \u003d 1/2 * d 1 * d 2 * sin (α), kung saan ang d 1 at d 2 ay mga dayagonal, ang α ay ang anggulo sa pagitan nila;
S = a * sa * sin(α).

Ang formula para sa lugar ng isang trapezoid: S \u003d n * (a + b) / 2, kung saan ang a at b ay ang mga haba ng mga base.

Ano ang gagawin sa isang regular na polygon na may higit sa apat na vertices?

Upang magsimula, ang gayong pigura ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na sa loob nito ang lahat ng panig ay pantay. Dagdag pa, ang polygon ay may parehong mga anggulo.

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), kung saan ang n ay ang bilang ng polygon vertices.

Mula dito madaling makakuha ng isa na kapaki-pakinabang para sa mga espesyal na kaso:

tatsulok: S \u003d (3√3) / 4 * R 2;
parisukat: S \u003d 2 * R 2;
hexagon: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ang sitwasyon na may maling pigura

Ang paraan kung paano malalaman ang lugar ng isang polygon, kung ito ay hindi tama at hindi maiugnay sa alinman sa mga naunang kilalang figure, ay ang algorithm:

hatiin ito sa mga simpleng hugis, tulad ng mga tatsulok, upang hindi sila magsalubong;
kalkulahin ang kanilang mga lugar gamit ang anumang formula;
idagdag ang lahat ng mga resulta.

Ano ang gagawin kung ang problema ay naglalaman ng mga coordinate ng polygon vertices?

Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang pag-sign ng resulta ay depende sa bypass ng figure. Kapag ginagamit ang tinukoy na formula at gumagalaw nang pakanan, ang sagot ay magiging negatibo.

Halimbawa ng gawain

Kundisyon. Ang mga coordinate ng vertex ay ibinibigay ng mga sumusunod na halaga (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Kailangan mong kalkulahin ang lugar ng isang polygon.

Katulad nito, ang mga halaga para sa pangatlo (0.29), ikaapat (-6.365) at ikalimang termino (2.96) ay nakuha. Pagkatapos ang kabuuang lugar ay: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

Payo para sa paglutas ng isang problema kung saan ang isang polygon ay iginuhit sa papel sa isang hawla

Ngunit kadalasan mayroong isang mas madaling diskarte. Binubuo ito sa pagguhit ng isang pigura sa isang parihaba at pagkalkula ng halaga ng lugar nito. Pagkatapos ay kalkulahin ang mga lugar ng mga elementong iyon na naging labis. Ibawas ang mga ito sa kabuuan. Ang opsyong ito kung minsan ay nagsasangkot ng bahagyang mas maliit na bilang ng mga aksyon.