Mga tagubilin

Pamamaraan ng PagpapalitIpahayag ang isang variable at palitan ito sa isa pang equation. Maaari mong ipahayag ang anumang variable sa iyong paghuhusga. Halimbawa, ipahayag ang y mula sa pangalawang equation:
x-y=2 => y=x-2Pagkatapos ay palitan ang lahat sa unang equation:
2x+(x-2)=10 Ilipat ang lahat nang walang “x” sa kanang bahagi at kalkulahin:
2x+x=10+2
3x=12 Susunod, upang makuha ang x, hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 3:
x=4. Kaya, nakita mo ang “x. Hanapin ang "y. Upang gawin ito, palitan ang "x" sa equation kung saan mo ipinahayag ang "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Gumawa ng check. Upang gawin ito, palitan ang mga nagresultang halaga sa mga equation:
2*4+2=10
4-2=2
Ang mga hindi alam ay natagpuan nang tama!

Isang paraan upang magdagdag o magbawas ng mga equation Alisin kaagad ang anumang variable. Sa aming kaso, ito ay mas madaling gawin sa "y.
Dahil sa "y" mayroong isang "+" sign, at sa pangalawa ay "-", pagkatapos ay maaari mong isagawa ang operasyon ng karagdagan, i.e. tiklupin ang kaliwang bahagi gamit ang kaliwa, at ang kanan gamit ang kanan:
2x+y+(x-y)=10+2Convert:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Palitan ang “x” sa anumang equation at hanapin ang “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Sa unang paraan makikita mo na tama ang mga ito.

Kung walang malinaw na tinukoy na mga variable, kinakailangan na bahagyang ibahin ang anyo ng mga equation.
Sa unang equation mayroon kaming "2x", at sa pangalawa mayroon lang kaming "x". Upang ang x ay mabawasan sa panahon ng karagdagan, i-multiply ang pangalawang equation sa 2:
x-y=2
2x-2y=4Pagkatapos ay ibawas ang pangalawa sa unang equation:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Tandaan na kung may minus bago ang bracket, pagkatapos ay buksan ito, baguhin ito sa kabaligtaran:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
hanapin ang y=2x sa pamamagitan ng pagpapahayag mula sa anumang equation, i.e.
x=4

Video sa paksa

Tip 2: Paano lutasin ang isang linear equation sa dalawang variable

Ang equation, na nakasulat sa pangkalahatang anyong ax+bу+c=0, ay tinatawag na linear equation na may dalawa mga variable. Ang nasabing equation mismo ay naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, kaya sa mga problema ito ay palaging pupunan ng isang bagay - isa pang equation o naglilimita sa mga kondisyon. Depende sa mga kondisyong ibinigay ng problema, lutasin ang isang linear equation na may dalawa mga variable dapat iba't ibang paraan.

Kakailanganin mong

• - linear equation na may dalawang variable;
• - pangalawang equation o karagdagang mga kondisyon.

Mga tagubilin

Dahil sa isang sistema ng dalawang linear na equation, lutasin ito bilang mga sumusunod. Pumili ng isa sa mga equation kung saan ang mga coefficient ay mga variable mas maliit at ipahayag ang isa sa mga variable, halimbawa, x. Pagkatapos ay palitan ang halagang ito na naglalaman ng y sa pangalawang equation. Sa resultang equation magkakaroon lamang ng isang variable na y, ilipat ang lahat ng mga bahagi na may y sa kaliwang bahagi, at libre ang mga sa kanan. Hanapin ang y at palitan sa alinman sa mga orihinal na equation upang mahanap ang x.

May isa pang paraan upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation. I-multiply ang isa sa mga equation sa isang numero upang ang coefficient ng isa sa mga variable, tulad ng x, ay pareho sa parehong equation. Pagkatapos ay ibawas ang isa sa mga equation mula sa isa (kung ang kanang bahagi ay hindi katumbas ng 0, tandaan na ibawas ang kanang bahagi sa parehong paraan). Makikita mo na ang x variable ay nawala at isang y variable na lang ang natitira. Lutasin ang nagresultang equation, at palitan ang nahanap na halaga ng y sa alinman sa mga orihinal na pagkakapantay-pantay. Hanapin ang x.

Ang ikatlong paraan upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear equation ay graphical. Gumuhit ng coordinate system at i-graph ang dalawang tuwid na linya na ang mga equation ay ibinigay sa iyong system. Upang gawin ito, palitan ang anumang dalawang x na halaga sa equation at hanapin ang kaukulang y - ito ang magiging mga coordinate ng mga puntos na kabilang sa linya. Ang pinaka-maginhawang paraan upang mahanap ang intersection sa mga coordinate axes ay ang simpleng palitan ang mga halaga x=0 at y=0. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linyang ito ay ang mga gawain.

Kung mayroon lamang isang linear equation sa mga kondisyon ng problema, pagkatapos ay binigyan ka ng karagdagang mga kondisyon kung saan makakahanap ka ng solusyon. Basahing mabuti ang problema upang mahanap ang mga kundisyong ito. Kung mga variable Ang x at y ay nagpapahiwatig ng distansya, bilis, timbang - huwag mag-atubiling itakda ang limitasyon x≥0 at y≥0. Posible na itinago ng x o y ang bilang ng mga mansanas, atbp. – kung gayon ang mga halaga ay maaari lamang . Kung x ang edad ng anak, malinaw na hindi siya maaaring mas matanda kaysa sa kanyang ama, kaya ipahiwatig ito sa mga kondisyon ng problema.

Mga Pinagmulan:

• kung paano lutasin ang isang equation na may isang variable

Mag-isa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala ay may maraming solusyon, kaya kadalasan ay dinadagdagan ito ng dalawa pang equation o kundisyon. Depende sa kung ano ang paunang data, ang kurso ng desisyon ay higit na nakasalalay.

Kakailanganin mong

• - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.

Mga tagubilin

Kung dalawa sa tatlong sistema ay mayroon lamang dalawa sa tatlong hindi alam, subukang ipahayag ang ilang mga variable sa mga tuntunin ng iba at palitan ang mga ito sa ang equation kasama ang tatlo hindi kilala. Ang iyong layunin sa kasong ito ay gawing normal ito ang equation kasama ang isang hindi kilalang tao. Kung ito ay , ang karagdagang solusyon ay medyo simple - palitan ang nahanap na halaga sa iba pang mga equation at hanapin ang lahat ng iba pang hindi alam.

Ang ilang mga sistema ng mga equation ay maaaring ibawas mula sa isang equation ng isa pa. Tingnan kung posible na i-multiply ang isa sa o isang variable upang ang dalawang hindi alam ay kanselahin nang sabay-sabay. Kung may ganitong pagkakataon, samantalahin ito; malamang, ang kasunod na solusyon ay hindi magiging mahirap. Tandaan na kapag nagpaparami sa isang numero, dapat mong i-multiply pareho ang kaliwang bahagi at kanang bahagi. Gayundin, kapag binabawasan ang mga equation, dapat mong tandaan na ang kanang bahagi ay dapat ding ibawas.

Kung ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi nakatulong, gamitin sa pangkalahatang paraan mga solusyon sa anumang equation na may tatlo hindi kilala. Upang gawin ito, muling isulat ang mga equation sa anyong a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Ngayon lumikha ng isang matrix ng mga coefficient para sa x (A), isang matrix ng mga hindi alam (X) at isang matrix ng mga libreng variable (B). Pakitandaan na sa pamamagitan ng pagpaparami ng matrix ng mga coefficient sa matrix ng mga hindi alam, makakakuha ka ng matrix ng mga libreng termino, iyon ay, A*X=B.

Hanapin ang matrix A sa kapangyarihan (-1) sa pamamagitan ng unang paghahanap , tandaan na hindi ito dapat katumbas ng zero. Pagkatapos nito, i-multiply ang nagresultang matrix sa matrix B, bilang isang resulta makakatanggap ka ng nais na matrix X, na nagpapahiwatig ng lahat ng mga halaga.

Makakahanap ka rin ng solusyon sa isang sistema ng tatlong equation gamit ang paraan ng Cramer. Upang gawin ito, hanapin ang third-order determinant ∆ na naaayon sa system matrix. Pagkatapos ay sunud-sunod na maghanap ng tatlo pang determinant ∆1, ∆2 at ∆3, na pinapalitan ang mga halaga ng mga libreng termino sa halip na ang mga halaga ng kaukulang mga hanay. Ngayon hanapin ang x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Mga Pinagmulan:

• mga solusyon sa mga equation na may tatlong hindi alam

Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay mahirap at kapana-panabik. Paano mas kumplikadong sistema, mas kawili-wiling lutasin ito. Kadalasan sa matematika mataas na paaralan Mayroong mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam, ngunit sa mas mataas na matematika ay maaaring mayroong higit pang mga variable. Ang mga sistema ay maaaring malutas gamit ang ilang mga pamamaraan.

Mga tagubilin

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga equation ay pagpapalit. Upang gawin ito, kailangan mong ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa at palitan ito sa pangalawa ang equation sistema, kaya nangunguna ang equation sa isang variable. Halimbawa, ibinigay ang mga sumusunod na equation: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Mula sa pangalawang expression ay maginhawa upang ipahayag ang isa sa mga variable, paglipat ng lahat ng iba pa sa kanang bahagi ng expression, hindi nalilimutan na baguhin ang tanda ng koepisyent: x = 3-y.

Buksan ang mga bracket: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Pinapalitan namin ang resultang value na y sa expression: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Sa unang expression, ang lahat ng termino ay 2, maaari mong kunin ang 2 mula sa bracket patungo sa distributive property ng multiplication: 2*(2x-y-3)=0. Ngayon ang parehong bahagi ng expression ay maaaring bawasan ng numerong ito, at pagkatapos ay ipinahayag bilang y, dahil ang modulus coefficient para dito ay katumbas ng isa: -y = 3-2x o y = 2x-3.

Tulad ng sa unang kaso, pinapalitan namin ang expression na ito sa pangalawa ang equation at makuha natin ang: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Ipalit ang resultang value sa expression: y=2x -3;y=4-3=1.

Nakikita natin na ang koepisyent para sa y ay pareho sa halaga, ngunit magkaiba sa tanda, samakatuwid, kung idaragdag natin ang mga equation na ito, ganap nating aalisin ang y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0; x=2. Palitan ang halaga ng x sa alinman sa dalawang equation ng system at makuha ang y=1.

Video sa paksa

Biquadratic ang equation kumakatawan ang equation ikaapat na antas, pangkalahatang anyo na kinakatawan ng expression na ax^4 + bx^2 + c = 0. Ang solusyon nito ay batay sa paggamit ng paraan ng pagpapalit ng mga hindi alam. SA sa kasong ito Ang x^2 ay pinalitan ng isa pang variable. Kaya, ang resulta ay isang ordinaryong parisukat ang equation, na kailangang lutasin.

Mga tagubilin

Lutasin ang parisukat ang equation, na nagreresulta mula sa pagpapalit. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang halaga alinsunod sa formula: D = b^2? 4ac. Sa kasong ito, ang mga variable na a, b, c ay ang mga coefficient ng aming equation.

Hanapin ang mga ugat ng bi quadratic equation. Upang gawin ito, kunin ang square root ng mga solusyon na nakuha. Kung mayroong isang solusyon, magkakaroon ng dalawa - isang positibo at negatibong halaga ng square root. Kung mayroong dalawang solusyon, ang biquadratic equation ay magkakaroon ng apat na ugat.

Video sa paksa

Isa sa mga klasikal na pamamaraan Ang paglutas ng mga sistema ng linear equation ay ang Gauss method. Ito ay binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable kapag ang isang sistema ng mga equation ay gumagamit mga simpleng pagbabago ay isinalin sa isang stepwise system, kung saan ang lahat ng mga variable ay sunud-sunod na matatagpuan, simula sa huli.

Mga tagubilin

Una, dalhin ang sistema ng mga equation sa isang anyo kung saan ang lahat ng hindi alam ay nasa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod. Halimbawa, ang lahat ng hindi kilalang X ay lalabas muna sa bawat linya, lahat ng Y ay darating pagkatapos ng X, lahat ng Z ay darating pagkatapos ng Y, at iba pa. Dapat ay walang mga hindi alam sa kanang bahagi ng bawat equation. Tukuyin sa isip ang mga coefficient sa harap ng bawat hindi alam, pati na rin ang mga coefficient sa kanang bahagi ng bawat equation.

Ang diskarte ng may-akda sa paksang ito ay hindi sinasadya. Ang mga equation na may dalawang variable ay unang nakatagpo sa kursong ika-7 baitang. Ang isang equation na may dalawang variable ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ito ay malinaw na ipinapakita ng graph ng isang linear function, na ibinigay bilang ax + by=c. SA kurso sa paaralan Pinag-aaralan ng mga mag-aaral ang mga sistema ng dalawang equation sa dalawang variable. Bilang isang resulta, ang isang buong serye ng mga problema na may limitadong mga kondisyon sa koepisyent ng equation, pati na rin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, ay nawala sa paningin ng guro at, samakatuwid, ang mag-aaral.

Pinag-uusapan natin ang paglutas ng isang equation na may dalawang hindi alam sa mga integer o natural na mga numero.

Sa paaralan, ang mga natural na numero at integer ay pinag-aaralan sa mga baitang 4-6. Sa oras na magtapos sila sa paaralan, hindi lahat ng mga mag-aaral ay naaalala ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga hanay ng mga numerong ito.

Gayunpaman, ang problema tulad ng "solve an equation of the form ax + by=c in integers" ay lalong nakikita sa entrance exams sa mga unibersidad at sa Unified State Examination na materyales.

Ang paglutas ng mga hindi tiyak na equation ay bubuo ng lohikal na pag-iisip, katalinuhan, at atensyon sa pagsusuri.

Iminumungkahi kong bumuo ng ilang mga aralin sa paksang ito. Wala akong malinaw na rekomendasyon sa oras ng mga araling ito. Ang ilang elemento ay maaari ding gamitin sa ika-7 baitang (para sa isang malakas na klase). Ang mga araling ito ay maaaring kunin bilang batayan at bumuo ng isang maliit na elektibong kurso sa pre-bokasyonal na pagsasanay sa ika-9 na baitang. At, siyempre, ang materyal na ito ay maaaring gamitin sa mga baitang 10-11 upang maghanda para sa mga pagsusulit.

Layunin ng aralin:

• pag-uulit at paglalahat ng kaalaman sa paksang "Mga equation ng una at pangalawang pagkakasunud-sunod"
• pag-aalaga ng nagbibigay-malay na interes sa paksa
• pagbuo ng kakayahang mag-analisa, gumawa ng mga generalization, ilipat ang kaalaman sa isang bagong sitwasyon

Aralin 1.

Sa panahon ng mga klase.

1) Org. sandali.

2) Pag-update ng mga pangunahing kaalaman.

Kahulugan. Ang isang linear na equation sa dalawang variable ay isang equation ng form

mx + ny = k, kung saan ang m, n, k ay mga numero, x, y ay mga variable.

Halimbawa: 5x+2y=10

Kahulugan. Ang isang solusyon sa isang equation na may dalawang variable ay isang pares ng mga halaga ng mga variable na lumiliko ang equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang mga equation na may dalawang variable na may parehong solusyon ay tinatawag na katumbas.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Ang equation na ito ay maaaring magkaroon ng anumang bilang ng mga solusyon. Upang gawin ito, sapat na upang kunin ang anumang halaga ng x at hanapin ang katumbas na halaga ng y.

Hayaan ang x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

Mga pares ng numero (2;1); (4;-4) – mga solusyon sa equation (1).

Ang equation na ito ay may walang katapusang maraming solusyon.

3) Makasaysayang background

Ang mga equation na hindi tiyak (Diophantine) ay mga equation na naglalaman ng higit sa isang variable.

Noong ika-3 siglo. AD – Isinulat ni Diophantus ng Alexandria ang “Arithmetic”, kung saan pinalawak niya ang hanay ng mga numero sa mga makatwiran at ipinakilala ang simbolismong algebra.

Isinasaalang-alang din ni Diophantus ang mga problema sa paglutas ng mga hindi tiyak na equation at nagbigay siya ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi tiyak na equation ng ikalawa at ikatlong antas.

4) Pag-aaral ng bagong materyal.

Depinisyon: Ang isang first-order inhomogeneous Diophantine equation na may dalawang hindi alam na x, y ay isang equation ng form na mx + ny = k, kung saan m, n, k, x, y Z k0

Pahayag 1.

Kung ang libreng terminong k sa equation (1) ay hindi mahahati ng pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ng mga numerong m at n, kung gayon ang equation (1) ay walang mga integer na solusyon.

Halimbawa: 34x – 17y = 3.

Ang GCD (34; 17) = 17, 3 ay hindi pantay na nahahati ng 17, walang solusyon sa mga integer.

Hayaang hatiin ang k sa gcd (m, n). Sa pamamagitan ng paghahati sa lahat ng mga coefficient, maaari nating matiyak na ang m at n ay magiging medyo prime.

Pahayag 2.

Kung ang m at n ng equation (1) ay relatibong prime number, ang equation na ito ay mayroong kahit isang solusyon.

Pahayag 3.

Kung ang mga coefficients m at n ng equation (1) ay mga coprime na numero, kung gayon ang equation na ito ay may walang katapusang maraming solusyon:

Kung saan ang (; ) ay anumang solusyon sa equation (1), t Z

Kahulugan. Ang isang first-order homogenous Diophantine equation na may dalawang hindi alam na x, y ay isang equation ng form na mx + ny = 0, kung saan (2)

Pahayag 4.

Kung ang m at n ay mga coprime na numero, kung gayon ang anumang solusyon sa equation (2) ay may anyo

5) Takdang-Aralin. Lutasin ang equation sa buong numero:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Maraming bata ang namumulot ng mansanas. Ang bawat lalaki ay nakolekta ng 21 kg, at ang batang babae ay nakolekta ng 15 kg. Sa kabuuan ay nakolekta nila ang 174 kg. Ilang lalaki at ilang babae ang pumitas ng mansanas?

Magkomento. Ang araling ito ay hindi nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation sa mga integer. kaya lang takdang aralin nagpapasya ang mga bata batay sa pahayag 1 at pagpili.

Aralin 2.

1) sandali ng organisasyon

2) Pagsusuri ng takdang-aralin

1) 9x – 18y = 5

Ang 5 ay hindi nahahati sa 9; walang mga solusyon sa buong numero.

Gamit ang paraan ng pagpili makakahanap ka ng solusyon

Sagot: (0;0), (2;2)

3) Gumawa tayo ng equation:

Hayaang ang mga lalaki ay x, x Z, at ang mga babae ay y, y Z, pagkatapos ay maaari nating gawin ang equation na 21x + 15y = 174

Maraming mga mag-aaral, na nagsulat ng isang equation, ay hindi malulutas ito.

Sagot: 4 na lalaki, 6 na babae.

3) Pag-aaral ng bagong materyal

Sa pagkakaroon ng mga paghihirap sa pagkumpleto ng takdang-aralin, ang mga mag-aaral ay kumbinsido sa pangangailangang matutunan ang kanilang mga pamamaraan para sa paglutas ng hindi tiyak na mga equation. Tingnan natin ang ilan sa kanila.

I. Paraan para sa pagsasaalang-alang sa mga natitira sa paghahati.

Halimbawa. Lutasin ang equation sa buong numero 3x – 4y = 1.

Kaliwang bahagi Ang equation ay nahahati sa 3, samakatuwid ang kanang bahagi ay dapat ding mahahati. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso.

Sagot: saan m Z.

Ang inilarawan na paraan ay maginhawang gamitin kung ang mga numero m at n ay hindi maliit, ngunit maaaring mabulok sa mga simpleng kadahilanan.

Halimbawa: Lutasin ang mga equation sa buong numero.

Hayaan ang y = 4n, pagkatapos ay 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) ay hinati sa 4.

y = 4n+1, pagkatapos ay 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n ay hindi nahahati ng 4.

y = 4n+2, pagkatapos ay 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n ay hindi nahahati ng 4.

y = 4n+3, pagkatapos ay 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n ay hindi nahahati ng 4.

Samakatuwid y = 4n, kung gayon

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Sagot: , kung saan n Z.

II. Hindi tiyak na mga equation ng 2nd degree

Ngayon sa aralin tatalakayin lamang natin ang solusyon ng pangalawang-order na mga equation ng Diophantine.

At sa lahat ng uri ng mga equation, isasaalang-alang natin ang kaso kapag maaari nating ilapat ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat o ibang paraan ng factorization.

Halimbawa: Lutasin ang isang equation sa buong numero.

Ang 13 ay isang prime number, kaya maaari lamang itong i-factor sa apat na paraan: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Isaalang-alang natin ang mga kasong ito

Sagot: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Takdang-Aralin.

Mga halimbawa. Lutasin ang equation sa buong numero:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	hindi kasya	hindi kasya
2x = -4	hindi kasya	hindi kasya
x = -2
y = 0

Sagot: (-2;0), (2;0).

Mga sagot: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Sagot: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Mga resulta. Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation sa buong numero?

Anong mga paraan para sa paglutas ng hindi tiyak na mga equation ang alam mo?

Application:

Mga ehersisyo para sa pagsasanay.

1) Lutasin sa buong numero.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
e) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Maghanap ng mga integer na hindi negatibong solusyon sa equation.

Ang paglutas ng mga equation sa mga integer ay isa sa pinakaluma mga problema sa matematika. Nasa simula na ng ika-2 milenyo BC. e. Alam ng mga Babylonians kung paano lutasin ang mga sistema ng gayong mga equation na may dalawang variable. Ang larangang ito ng matematika ay umabot sa pinakamalaking pag-unlad nito Sinaunang Greece. Ang pangunahing mapagkukunan para sa amin ay Diophantus' Arithmetic, na naglalaman ng Iba't ibang uri mga equation. Sa loob nito, si Diophantus (pagkatapos ng kanyang pangalan ang pangalan ng mga equation ay Diophantine equation) ay inaasahan ang isang bilang ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga equation ng ika-2 at ika-3 degree, na binuo lamang noong ika-19 na siglo.

Ang pinakasimpleng Diophantine equation ay ax + y = 1 (equation na may dalawang variable, first degree) x2 + y2 = z2 (equation na may tatlong variable, second degree)

Karamihan sa ganap na pinag-aralan algebraic equation, ang kanilang desisyon ay isa sa pinakamahalagang gawain algebra noong ika-16-17 siglo.

Sa simula ng ika-19 na siglo, ang mga gawa ni P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ay nag-imbestiga ng isang Diophantine equation ng form: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kung saan a, b, c , d, e, f ay mga numero; x, y hindi kilalang mga variable.

Ito ay isang 2nd degree na equation na may dalawang hindi alam.

K. Gauss binuo pangkalahatang teorya quadratic forms, na siyang batayan para sa paglutas ng ilang uri ng equation na may dalawang variable (Diophantine equation). Umiiral malaking numero tiyak na mga equation ng Diophantine na nalutas sa pamamagitan ng mga pamamaraang elementarya. /p>

Teoretikal na materyal.

Sa bahaging ito ng gawain, ang mga pangunahing konsepto ng matematika ay ilalarawan, ang mga termino ay tutukuyin, at ang expansion theorem ay bubuuin gamit ang paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent, na pinag-aralan at isinasaalang-alang kapag nilulutas ang mga equation na may dalawang variable.

Depinisyon 1: Equation ng anyong ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kung saan ang a, b, c, d, e, f ay mga numero; x, y hindi kilalang mga variable ay tinatawag na pangalawang degree equation na may dalawang variable.

Sa isang kurso sa matematika ng paaralan, pinag-aaralan ang quadratic equation na ax2+inx+c=0, kung saan a, b, c numero x variable, na may isang variable. Mayroong maraming mga paraan upang malutas ang equation na ito:

1. Paghahanap ng mga ugat gamit ang isang discriminant;

2. Paghahanap ng mga ugat para sa kahit na koepisyent sa (ayon sa D1=);

3. Paghahanap ng mga ugat gamit ang teorama ni Vieta;

4. Paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng paghihiwalay ng perpektong parisukat ng isang binomial.

Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito o pagpapatunay na hindi sila umiiral.

Depinisyon 2: Ang ugat ng isang equation ay isang numero na, kapag pinalitan sa isang equation, ay bumubuo ng isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Depinisyon 3: Ang solusyon sa isang equation na may dalawang variable ay tinatawag na isang pares ng mga numero (x, y) kapag ipinalit sa equation, ito ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa isang equation ay kadalasang karaniwang binubuo ng pagpapalit ng equation ng isang katumbas na equation, ngunit isa na mas simpleng lutasin. Ang ganitong mga equation ay tinatawag na katumbas.

Depinisyon 4: Ang dalawang equation ay sinasabing katumbas kung ang bawat solusyon ng isang equation ay isang solusyon ng iba pang equation, at vice versa, at ang parehong mga equation ay isinasaalang-alang sa parehong domain.

Upang malutas ang mga equation na may dalawang variable, gamitin ang theorem sa decomposition ng equation sa kabuuan ng kumpletong mga parisukat (sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficients).

Para sa second order equation ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), nagaganap ang expansion a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Bumuo tayo ng mga kondisyon kung saan nagaganap ang pagpapalawak (2) para sa equation (1) ng dalawang variable.

Theorem: Kung ang coefficients a,b,c equation(1) matugunan ang mga kondisyon a0 at 4ab – c20, pagkatapos ay ang pagpapalawak (2) ay tinutukoy sa isang natatanging paraan.

Sa madaling salita, ang equation (1) na may dalawang variable ay maaaring gawing (2) gamit ang paraan ng mga indefinite coefficients kung ang mga kondisyon ng theorem ay natutugunan.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano ipinatupad ang pamamaraan ng mga hindi tiyak na koepisyent.

PARAAN Blg. 1. Lutasin ang equation gamit ang paraan ng hindi tiyak na coefficient

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. Suriin natin ang katuparan ng mga kondisyon ng theorem, a=2, b=1, c=2, na nangangahulugang a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Ang mga kondisyon ng theorem ay natutugunan, maaari silang palawakin ayon sa formula (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, batay sa mga kondisyon ng theorem, ang parehong bahagi ng pagkakakilanlan ay katumbas. Pasimplehin natin ang kanang bahagi ng pagkakakilanlan.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Itinutumbas namin ang mga coefficient para sa magkatulad na mga variable sa kanilang mga kapangyarihan.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Kumuha tayo ng isang sistema ng mga equation, lutasin ito at hanapin ang mga halaga ng mga coefficient.

7. Palitan ang mga coefficient sa (2), pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng anyo

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

Kaya, ang orihinal na equation ay katumbas ng equation

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), ang equation na ito ay katumbas ng isang sistema ng dalawang linear equation.

Sagot: (-1; 1).

Kung bibigyan mo ng pansin ang uri ng pagpapalawak (3), mapapansin mo na ito ay magkapareho sa anyo sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat mula sa isang quadratic equation na may isang variable: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Ilapat natin ang pamamaraang ito kapag nilulutas ang isang equation na may dalawang variable. Ating lutasin, gamit ang pagpili ng isang kumpletong parisukat, isang parisukat na equation na may dalawang variable na nalutas na gamit ang theorem.

PARAAN Blg. 2: Lutasin ang equation na 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Solusyon: 1. Isipin natin ang 2x2 bilang kabuuan ng dalawang terminong x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

2. Pangkatin natin ang mga termino sa paraang maaari nating tiklop ang mga ito gamit ang formula ng kumpletong parisukat.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. Pumili ng kumpletong mga parisukat mula sa mga expression sa mga bracket.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ang equation na ito ay katumbas ng isang sistema ng mga linear equation.

Sagot: (-1;1).

Kung ihahambing mo ang mga resulta, makikita mo na ang equation na nalutas sa pamamagitan ng pamamaraan No. 1 gamit ang theorem at ang paraan ng hindi tiyak na mga coefficient at ang equation na nalutas sa pamamagitan ng paraan No. 2 gamit ang pagkuha ng isang kumpletong parisukat ay may parehong mga ugat.

Konklusyon: Ang isang quadratic equation na may dalawang variable ay maaaring palawakin sa kabuuan ng mga parisukat sa dalawang paraan:

➢ Ang unang paraan ay ang paraan ng hindi tiyak na koepisyent, na nakabatay sa theorem at expansion (2).

➢ Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan na nagbibigay-daan sa iyong pumili ng sunod-sunod na kumpletong mga parisukat.

Siyempre, kapag nilutas ang mga problema, ang pangalawang paraan ay mas kanais-nais, dahil hindi ito nangangailangan ng pagsasaulo ng pagpapalawak (2) at mga kondisyon.

Ang pamamaraang ito ay maaari ding gamitin para sa mga quadratic equation na may tatlong variable. Ang pagbubukod ng isang perpektong parisukat sa mga naturang equation ay mas labor-intensive. Gagawin ko ang ganitong uri ng pagbabago sa susunod na taon.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang isang function na may anyong: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f ay tinatawag quadratic function dalawang variable. Ang mga quadratic function ay nabibilang mahalagang papel sa iba't ibang sangay ng matematika:

Sa mathematical programming (quadratic programming)

Sa linear algebra at geometry (quadratic forms)

Sa teorya ng differential equation (pagbabawas ng second-order linear equation sa canonical form).

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problemang ito, ang isa ay mahalagang ilapat ang pamamaraan ng paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat mula sa isang parisukat na equation (isa, dalawa o higit pang mga variable).

Ang mga linya na ang mga equation ay inilalarawan ng isang quadratic equation ng dalawang variable ay tinatawag na second-order curves.

Ito ay isang bilog, ellipse, hyperbola.

Kapag gumagawa ng mga graph ng mga curve na ito, ang paraan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat ay ginagamit din.

Tingnan natin kung paano gumagana ang paraan ng sunud-sunod na pagpili ng isang kumpletong parisukat gamit ang mga partikular na halimbawa.

Praktikal na bahagi.

Lutasin ang mga equation gamit ang paraan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

Sagot: (-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Sagot:(0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Sagot: (-1;1).

Lutasin ang mga equation:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(bawas sa anyo: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Sagot: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(bawasan sa anyo: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

Sagot: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(bawas sa anyo: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

Sagot: (7; -7)

Konklusyon.

Dito sa gawaing siyentipiko Ang mga equation na may dalawang variable ng ikalawang antas ay pinag-aralan, at ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay isinasaalang-alang. Ang gawain ay nakumpleto, nabuo at inilarawan nang mas detalyado. maikling paraan mga solusyon batay sa paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat at pagpapalit ng equation ng isang katumbas na sistema ng mga equation, na nagreresulta sa isang pinasimpleng pamamaraan para sa paghahanap ng mga ugat ng isang equation na may dalawang variable.

Ang isang mahalagang punto ng trabaho ay ang pamamaraan na isinasaalang-alang ay ginagamit kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema sa matematika na nauugnay sa isang quadratic function, pagbuo ng second-order curves, at paghahanap ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng mga expression.

Kaya, ang pamamaraan ng pag-decompose ng pangalawang-order na equation na may dalawang variable sa kabuuan ng mga parisukat ay may pinakamaraming aplikasyon sa matematika.

Sa kursong matematika sa ika-7 baitang, unang beses kaming nakatagpo mga equation na may dalawang variable, ngunit pinag-aaralan lamang ang mga ito sa konteksto ng mga sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang buong serye ng mga problema kung saan ang ilang mga kundisyon ay ipinakilala sa mga coefficient ng equation na naglilimita sa mga ito ay hindi nakikita. Bilang karagdagan, ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema tulad ng "Lutasin ang isang equation sa natural o integer na mga numero" ay binabalewala din, bagama't sa Pinag-isang State Exam na materyales At sa mga pagsusulit sa pasukan, ang mga problema ng ganitong uri ay nakatagpo ng higit at mas madalas.

Aling equation ang tatawaging equation na may dalawang variable?

Kaya, halimbawa, ang mga equation na 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, o xy = 12 ay mga equation sa dalawang variable.

Isaalang-alang ang equation na 2x – y = 1. Nagiging totoo ito kapag x = 2 at y = 3, kaya ang pares ng variable na halaga ay isang solusyon sa pinag-uusapang equation.

Kaya, ang solusyon sa anumang equation na may dalawang variable ay isang set ng mga nakaayos na pares (x; y), mga halaga ng mga variable na nagpapalit ng equation na ito sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero.

Ang isang equation na may dalawang hindi alam ay maaaring:

A) magkaroon ng isang solusyon. Halimbawa, ang equation x 2 + 5y 2 = 0 ay may natatanging solusyon (0; 0);

b) magkaroon ng maraming solusyon. Halimbawa, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ay may 4 na solusyon: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) walang solusyon. Halimbawa, ang equation x 2 + y 2 + 1 = 0 ay walang mga solusyon;

G) may walang katapusang maraming solusyon. Halimbawa, x + y = 3. Ang mga solusyon sa equation na ito ay mga numero na ang kabuuan ay katumbas ng 3. Ang hanay ng mga solusyon sa equation na ito ay maaaring isulat sa anyo (k; 3 – k), kung saan ang k ay anumang real numero.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may dalawang variable ay ang mga pamamaraan batay sa factoring expression, paghihiwalay ng isang kumpletong parisukat, gamit ang mga katangian ng isang quadratic equation, limitadong expression, at mga pamamaraan ng pagtatantya. Ang equation ay karaniwang binago sa isang anyo kung saan ang isang sistema para sa paghahanap ng mga hindi alam ay maaaring makuha.

Factorization

Halimbawa 1.

Lutasin ang equation: xy – 2 = 2x – y.

Solusyon.

Pinagpangkat namin ang mga tuntunin para sa layunin ng factorization:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Mula sa bawat bracket ay kumukuha tayo ng karaniwang salik:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Mayroon kaming:

y = 2, x – anumang tunay na numero o x = -1, y – anumang tunay na numero.

kaya, ang sagot ay lahat ng pares ng form (x; 2), x € R at (-1; y), y € R.

Katumbas ng zero ay hindi mga negatibong numero

Halimbawa 2.

Lutasin ang equation: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solusyon.

Pagpapangkat:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Ngayon ang bawat bracket ay maaaring tiklop gamit ang squared difference formula.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Ang kabuuan ng dalawang di-negatibong expression ay zero lamang kung 3x – 2 = 0 at 2y – 3 = 0.

Nangangahulugan ito ng x = 2/3 at y = 3/2.

Sagot: (2/3; 3/2).

Paraan ng pagtatantya

Halimbawa 3.

Lutasin ang equation: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solusyon.

Sa bawat bracket pumili kami ng isang kumpletong parisukat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tantyahin natin ang kahulugan ng mga ekspresyon sa panaklong.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 at (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, kung gayon ang kaliwang bahagi ng equation ay palaging hindi bababa sa 2. Posible ang pagkakapantay-pantay kung:

(x + 1) 2 + 1 = 1 at (y – 2) 2 + 2 = 2, na nangangahulugang x = -1, y = 2.

Sagot: (-1; 2).

Kilalanin natin ang isa pang paraan para sa paglutas ng mga equation na may dalawang variable ng pangalawang degree. Ang pamamaraang ito ay binubuo ng pagtrato sa equation bilang parisukat na may paggalang sa ilang variable.

Halimbawa 4.

Lutasin ang equation: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solusyon.

Lutasin natin ang equation bilang isang quadratic equation para sa x. Hanapin natin ang discriminant:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ang equation ay magkakaroon lamang ng solusyon kapag D = 0, ibig sabihin, kung y = 4. Ibinahagi namin ang halaga ng y sa orihinal na equation at nalaman na x = 3.

Sagot: (3; 4).

Kadalasan sa mga equation na may dalawang hindi alam ay ipinapahiwatig nila mga paghihigpit sa mga variable.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation sa buong numero: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solusyon.

Isulat muli natin ang equation bilang x 2 = -5y 2 + 20x + 2. kanang bahagi ang resultang equation kapag hinati sa 5 ay nagbibigay ng natitira sa 2. Samakatuwid, ang x 2 ay hindi nahahati ng 5. Ngunit ang parisukat ng isang numero na hindi nahahati ng 5 ay nagbibigay ng natitirang 1 o 4. Kaya, ang pagkakapantay-pantay ay imposible at walang mga solusyon.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 6.

Lutasin ang equation: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solusyon.

I-highlight natin ang kumpletong mga parisukat sa bawat bracket:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ang kaliwang bahagi ng equation ay palaging mas malaki sa o katumbas ng 3. Ang pagkakapantay-pantay ay posible kung |x| – 2 = 0 at y + 3 = 0. Kaya, x = ± 2, y = -3.

Sagot: (2; -3) at (-2; -3).

Halimbawa 7.

Para sa bawat pares ng mga negatibong integer (x;y) na nagbibigay-kasiyahan sa equation
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, kalkulahin ang kabuuan (x + y). Pakisaad ang pinakamaliit na halaga sa iyong sagot.

Solusyon.

Pumili tayo ng kumpletong mga parisukat:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Dahil ang x at y ay mga integer, ang kanilang mga parisukat ay mga integer din. Nakukuha natin ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang integer na katumbas ng 37 kung idaragdag natin ang 1 + 36. Samakatuwid:

(x – y) 2 = 36 at (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 at (y + 2) 2 = 36.

Ang paglutas ng mga sistemang ito at isinasaalang-alang na ang x at y ay negatibo, nakakahanap tayo ng mga solusyon: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Sagot: -17.

Huwag mawalan ng pag-asa kung nahihirapan kang lutasin ang mga equation na may dalawang hindi alam. Sa kaunting pagsasanay, maaari mong pangasiwaan ang anumang equation.

May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga equation sa dalawang variable?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Linear equation na may dalawang variable - anumang equation na may sumusunod na anyo: a*x + b*y =с. Narito ang x at y ay dalawang variable, ang a,b,c ay ilang mga numero.

Nasa ibaba ang ilan mga halimbawa ng linear equation.

1. 10*x + 25*y = 150;

Tulad ng mga equation na may isang hindi alam, ang isang linear na equation na may dalawang variable (hindi alam) ay mayroon ding solusyon. Halimbawa, ang linear equation na x-y=5, na may x=8 at y=3 ay nagiging tamang pagkakakilanlan 8-3=5. Sa kasong ito, ang pares ng mga numerong x=8 at y=3 ay sinasabing solusyon sa linear equation x-y=5. Maaari mo ring sabihin na ang isang pares ng mga numero na x=8 at y=3 ay nakakatugon sa linear equation na x-y=5.

Paglutas ng Linear Equation

Kaya, ang solusyon sa linear equation na a*x + b*y = c ay anumang pares ng mga numero (x,y) na nakakatugon sa equation na ito, ibig sabihin, ginagawang tamang pagkakapantay-pantay ng numero ang equation na may mga variable na x at y. Pansinin kung paano nakasulat dito ang pares ng mga numerong x at y. Ang entry na ito ay mas maikli at mas maginhawa. Kailangan mo lamang tandaan na ang unang lugar sa naturang talaan ay ang halaga ng variable na x, at ang pangalawa ay ang halaga ng variable na y.

Pakitandaan na ang mga numerong x=11 at y=8, x=205 at y=200 x= 4.5 at y= -0.5 ay nakakatugon din sa linear equation x-y=5, at samakatuwid ay mga solusyon sa linear equation na ito.

Paglutas ng isang linear equation na may dalawang hindi alam ay hindi lamang isa. Ang bawat linear equation sa dalawang hindi alam ay may walang katapusang marami iba't ibang solusyon. Ibig sabihin, meron walang hanggan maraming pagkakaiba dalawang numerong x at y na nagko-convert ng linear equation sa isang tunay na pagkakakilanlan.

Kung ang ilang mga equation na may dalawang variable ay may magkaparehong solusyon, kung gayon ang mga naturang equation ay tinatawag na equivalent equation. Dapat pansinin na kung ang mga equation na may dalawang hindi alam ay walang mga solusyon, kung gayon ang mga ito ay itinuturing din na katumbas.

Mga pangunahing katangian ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam

1. Anuman sa mga termino sa equation ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, ngunit ito ay kinakailangan upang baguhin ang sign nito sa kabaligtaran. Ang resultang equation ay magiging katumbas ng orihinal.

2. Ang magkabilang panig ng equation ay maaaring hatiin ng anumang numero na hindi sero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng equation na katumbas ng orihinal.