Με αυτό το μαθηματικό πρόγραμμα μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα δύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης και τη μέθοδο προσθήκης.
Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά δίνει και λεπτομερής λύσημε επεξηγήσεις των βημάτων λύσης με δύο τρόπους: τη μέθοδο υποκατάστασης και τη μέθοδο προσθήκης.
Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςσε προετοιμασία για δοκιμέςκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε όσο πιο γρήγορα γίνεται; εργασία για το σπίτιστα μαθηματικά ή στην άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.
Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων.
Κανόνες εισαγωγής εξισώσεων
Οποιοδήποτε λατινικό γράμμα μπορεί να λειτουργήσει ως μεταβλητή.
Για παράδειγμα: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), κ.λπ.
Κατά την εισαγωγή εξισώσεων μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις. Σε αυτή την περίπτωση, οι εξισώσεις απλοποιούνται πρώτα. Οι εξισώσεις μετά τις απλοποιήσεις πρέπει να είναι γραμμικές, δηλ. της μορφής ax+by+c=0 με την ακρίβεια της σειράς των στοιχείων.
Για παράδειγμα: 6x+1 = 5(x+y)+2
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όχι μόνο ακέραιους αριθμούς σε εξισώσεις, αλλά και κλασματικοί αριθμοίμε τη μορφή δεκαδικών και συνηθισμένων κλασμάτων.
Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.
Ακέραια και κλασματικά μέρη σε δεκαδικάμπορεί να διαχωριστεί είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα: 2,1n + 3,5m = 55
Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.
Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.
Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
Ολόκληρο μέροςχωρίζεται από το κλάσμα με συμπλεκτικό σύμφωνο: &
Παραδείγματα.
-1&2/3ε + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Επίλυση συστήματος εξισώσεων
Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.
Για να εμφανιστεί η λύση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τη JavaScript.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...
Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.
Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:
Λίγη θεωρία.
Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Μέθοδος αντικατάστασης
Η ακολουθία ενεργειών κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης:
1) να εκφράσετε μια μεταβλητή από κάποια εξίσωση του συστήματος σε σχέση με μια άλλη.
2) αντικαταστήστε την προκύπτουσα έκφραση σε μια άλλη εξίσωση του συστήματος αντί αυτής της μεταβλητής.
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$
Ας εκφράσουμε το y ως x από την πρώτη εξίσωση: y = 7-3x. Αντικαθιστώντας την έκφραση 7-3x στη δεύτερη εξίσωση αντί για y, λαμβάνουμε το σύστημα:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το πρώτο και το δεύτερο σύστημα έχουν τις ίδιες λύσεις. Στο δεύτερο σύστημα, η δεύτερη εξίσωση περιέχει μόνο μία μεταβλητή. Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Δεξί βέλος -5x+14-6x=3 \Δεξί βέλος -11x=-11 \Δεξί βέλος x=1 $$
Αντικαθιστώντας τον αριθμό 1 αντί του x στην ισότητα y=7-3x, βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή του y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Δεξί βέλος y=4 $$
Ζεύγος (1;4) - λύση του συστήματος
Τα συστήματα εξισώσεων σε δύο μεταβλητές που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμος. Ισοδύναμα θεωρούνται και συστήματα που δεν έχουν λύσεις.
Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με πρόσθεση
Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων - τη μέθοδο πρόσθεσης. Όταν λύνουμε συστήματα με αυτόν τον τρόπο, καθώς και όταν λύνουμε με αντικατάσταση, περνάμε από αυτό το σύστημα σε ένα άλλο, ισοδύναμο σύστημα, στο οποίο μία από τις εξισώσεις περιέχει μόνο μία μεταβλητή.
Η ακολουθία ενεργειών κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:
1) πολλαπλασιάστε τις εξισώσεις του συστήματος όρο προς όρο, επιλέγοντας παράγοντες έτσι ώστε οι συντελεστές μιας από τις μεταβλητές να γίνουν αντίθετοι αριθμοί.
2) Προσθέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων του συστήματος ανά όρο.
3) λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
4) βρείτε την αντίστοιχη τιμή της δεύτερης μεταβλητής.
Παράδειγμα. Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Στις εξισώσεις αυτού του συστήματος, οι συντελεστές του y είναι αντίθετοι αριθμοί. Προσθέτοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων όρο προς όρο, προκύπτει μια εξίσωση με μία μεταβλητή 3x=33. Ας αντικαταστήσουμε μια από τις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα την πρώτη, με την εξίσωση 3x=33. Ας πάρουμε το σύστημα
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Από την εξίσωση 3x=33 βρίσκουμε ότι x=11. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή x στην εξίσωση \(x-3y=38\) παίρνουμε μια εξίσωση με τη μεταβλητή y: \(11-3y=38\). Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:
\(-3y=27 \Δεξί βέλος y=-9 \)
Έτσι, βρήκαμε τη λύση στο σύστημα των εξισώσεων με πρόσθεση: \(x=11; y=-9\) ή \((11;-9)\)
Εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι στις εξισώσεις του συστήματος οι συντελεστές του y είναι αντίθετοι αριθμοί, αναγάγαμε τη λύση του στη λύση ενός ισοδύναμου συστήματος (αθροίζοντας και τις δύο πλευρές καθεμιάς από τις εξισώσεις του αρχικού συστήματος), στο οποίο ένα των εξισώσεων περιέχει μόνο μία μεταβλητή.
Βιβλία (εγχειρίδια) Περιλήψεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης και της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης online Παιχνίδια, παζλ Σχεδίαση γραφημάτων συναρτήσεων Ορθογραφικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας Λεξικό νεανικής αργκό Κατάλογος ρωσικών σχολείων Κατάλογος δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Ρωσίας Κατάλογος ρωσικών πανεπιστημίων Λίστα των καθηκόντωνΟδηγίες
Μέθοδος αντικατάστασηςΕκφράστε μια μεταβλητή και αντικαταστήστε την με μια άλλη εξίσωση. Μπορείτε να εκφράσετε οποιαδήποτε μεταβλητή κατά την κρίση σας. Για παράδειγμα, εκφράστε το y από τη δεύτερη εξίσωση:
x-y=2 => y=x-2 Στη συνέχεια αντικαταστήστε τα πάντα στην πρώτη εξίσωση:
2x+(x-2)=10 Μετακινήστε τα πάντα χωρίς το «x» στη δεξιά πλευρά και υπολογίστε:
2x+x=10+2
3x=12 Στη συνέχεια, για να πάρετε το x, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3:
x=4, λοιπόν, βρήκατε το «x. Βρείτε το "y. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το "x" στην εξίσωση από την οποία εκφράσατε το "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.
Κάντε έναν έλεγχο. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις προκύπτουσες τιμές στις εξισώσεις:
2*4+2=10
4-2=2
Οι άγνωστοι βρέθηκαν σωστά!
Ένας τρόπος για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εξισώσεις Ξεφορτωθείτε οποιαδήποτε μεταβλητή αμέσως. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι πιο εύκολο να γίνει με το «y.
Δεδομένου ότι στο "y" υπάρχει το σύμβολο "+" και στο δεύτερο "-", τότε μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία πρόσθεσης, δηλ. διπλώστε την αριστερή πλευρά με την αριστερή και τη δεξιά με τη δεξιά:
2x+y+(x-y)=10+2Μετατροπή:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Αντικαταστήστε το «x» σε οποιαδήποτε εξίσωση και βρείτε το «y»:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Με την 1η μέθοδο μπορείτε να δείτε ότι βρέθηκαν σωστά.
Εάν δεν υπάρχουν σαφώς καθορισμένες μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να μετασχηματιστούν ελαφρώς οι εξισώσεις.
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε «2x» και στη δεύτερη έχουμε απλώς «x». Για να μειωθεί το x κατά την πρόσθεση, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 2:
x-y=2
2x-2y=4Στη συνέχεια αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Σημειώστε ότι αν υπάρχει ένα μείον πριν από το στήριγμα, μετά το άνοιγμα, αλλάξτε το στο αντίθετο:
2x+y-2x+2y=6
3υ=6
βρείτε y=2x εκφράζοντας από οποιαδήποτε εξίσωση, δηλ.
x=4
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Συμβουλή 2: Πώς να λύσετε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές
Η εξίσωση, γραμμένο σε γενική μορφή ax+bу+c=0, ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές. Μια τέτοια εξίσωση περιέχει από μόνη της έναν άπειρο αριθμό λύσεων, επομένως στα προβλήματα συμπληρώνεται πάντα με κάτι - μια άλλη εξίσωση ή περιοριστικές συνθήκες. Ανάλογα με τις συνθήκες που παρέχει το πρόβλημα, να λύσετε μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητέςπρέπει διαφορετικοί τρόποι.
Θα χρειαστείτε
- - γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.
- - δεύτερη εξίσωση ή πρόσθετες προϋποθέσεις.
Οδηγίες
Δίνεται ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων, λύστε το ως εξής. Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις στις οποίες βρίσκονται οι συντελεστές μεταβλητέςμικρότερο και εκφράζει μία από τις μεταβλητές, για παράδειγμα, x. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτή την τιμή που περιέχει το y στη δεύτερη εξίσωση. Στην εξίσωση που προκύπτει θα υπάρχει μόνο μία μεταβλητή y, μετακινήστε όλα τα μέρη με το y στην αριστερή πλευρά και τα ελεύθερα προς τα δεξιά. Βρείτε το y και αντικαταστήστε με οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις για να βρείτε το x.
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Πολλαπλασιάστε μια από τις εξισώσεις με έναν αριθμό έτσι ώστε ο συντελεστής μιας από τις μεταβλητές, όπως x, να είναι ίδιος και στις δύο εξισώσεις. Στη συνέχεια αφαιρέστε τη μία από τις εξισώσεις από την άλλη (αν η δεξιά πλευρά δεν είναι ίση με 0, θυμηθείτε να αφαιρέσετε τις δεξιές πλευρές με τον ίδιο τρόπο). Θα δείτε ότι η μεταβλητή x έχει εξαφανιστεί και παραμένει μόνο μία μεταβλητή y. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει και αντικαταστήστε την τιμή του y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις αρχικές ισότητες. Βρείτε το x.
Ο τρίτος τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων είναι ο γραφικός. Σχεδιάστε ένα σύστημα συντεταγμένων και γράψτε δύο ευθείες γραμμές των οποίων οι εξισώσεις δίνονται στο σύστημά σας. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε οποιεσδήποτε δύο τιμές x στην εξίσωση και βρείτε το αντίστοιχο y - αυτές θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στη γραμμή. Ο πιο βολικός τρόπος για να βρείτε την τομή με τους άξονες συντεταγμένων είναι απλώς να αντικαταστήσετε τις τιμές x=0 και y=0. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής αυτών των δύο ευθειών θα είναι οι εργασίες.
Εάν υπάρχει μόνο μία γραμμική εξίσωση στις προβληματικές συνθήκες, τότε σας έχουν δοθεί πρόσθετες συνθήκες μέσω των οποίων μπορείτε να βρείτε μια λύση. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα για να βρείτε αυτές τις συνθήκες. Αν μεταβλητέςΤα x και y υποδεικνύουν απόσταση, ταχύτητα, βάρος - μη διστάσετε να ορίσετε το όριο x≥0 και y≥0. Είναι πολύ πιθανό το x ή το y να κρύβει τον αριθμό των μήλων κ.λπ. – τότε οι τιμές μπορούν να είναι μόνο . Εάν το x είναι η ηλικία του γιου, είναι σαφές ότι δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πατέρα του, οπότε υποδείξτε αυτό στις συνθήκες του προβλήματος.
Πηγές:
- πώς να λύσετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή
Από μόνο του την εξίσωσημε τρεις άγνωστοςέχει πολλές λύσεις, επομένως τις περισσότερες φορές συμπληρώνεται από δύο ακόμη εξισώσεις ή συνθήκες. Ανάλογα με το ποια είναι τα αρχικά δεδομένα, θα εξαρτηθεί σε μεγάλο βαθμό η πορεία της απόφασης.
Θα χρειαστείτε
- - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.
Οδηγίες
Εάν δύο από τα τρία συστήματα έχουν μόνο δύο από τα τρία άγνωστα, προσπαθήστε να εκφράσετε ορισμένες μεταβλητές ως προς τις υπόλοιπες και να τις αντικαταστήσετε σε την εξίσωσημε τρεις άγνωστος. Ο στόχος σας σε αυτή την περίπτωση είναι να το μετατρέψετε σε κανονικό την εξίσωσημε άγνωστο άτομο. Εάν αυτό είναι , η περαιτέρω λύση είναι αρκετά απλή - αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε με άλλες εξισώσεις και βρείτε όλους τους άλλους άγνωστους.
Ορισμένα συστήματα εξισώσεων μπορούν να αφαιρεθούν από μια εξίσωση με μια άλλη. Δείτε αν είναι δυνατό να πολλαπλασιάσετε ένα από ή μια μεταβλητή έτσι ώστε δύο άγνωστα να ακυρωθούν ταυτόχρονα. Εάν υπάρχει μια τέτοια ευκαιρία, εκμεταλλευτείτε την πιθανότατα, η μετέπειτα λύση δεν θα είναι δύσκολη. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ομοίως, κατά την αφαίρεση των εξισώσεων, πρέπει να θυμάστε ότι πρέπει να αφαιρεθεί και η δεξιά πλευρά.
Εάν οι προηγούμενες μέθοδοι δεν βοήθησαν, χρησιμοποιήστε με γενικό τρόπολύσεις οποιωνδήποτε εξισώσεων με τρία άγνωστος. Για να το κάνετε αυτό, ξαναγράψτε τις εξισώσεις με τη μορφή a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Τώρα δημιουργήστε έναν πίνακα συντελεστών για το x (A), έναν πίνακα αγνώστων (X) και έναν πίνακα ελεύθερων μεταβλητών (B). Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα των συντελεστών με τον πίνακα των αγνώστων, θα λάβετε έναν πίνακα ελεύθερων όρων, δηλαδή A*X=B.
Βρείτε τον πίνακα Α στην ισχύ (-1) βρίσκοντας πρώτα το , σημειώστε ότι δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Μετά από αυτό, πολλαπλασιάστε τον προκύπτοντα πίνακα με τον πίνακα Β, ως αποτέλεσμα θα λάβετε τον επιθυμητό πίνακα X, υποδεικνύοντας όλες τις τιμές.
Μπορείτε επίσης να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ορίζουσα Δ τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος. Στη συνέχεια, βρείτε διαδοχικά τρεις ακόμη ορίζουσες Δ1, Δ2 και Δ3, αντικαθιστώντας τις τιμές των ελεύθερων όρων αντί για τις τιμές των αντίστοιχων στηλών. Τώρα βρείτε το x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Πηγές:
- λύσεις σε εξισώσεις με τρεις αγνώστους
Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι προκλητική και συναρπαστική. Πως πιο πολύπλοκο σύστημα, τόσο πιο ενδιαφέρον είναι να το λύσουμε. Τις περισσότερες φορές στα μαθηματικά ΛύκειοΥπάρχουν συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα, αλλά στα ανώτερα μαθηματικά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές. Τα συστήματα μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους.
Οδηγίες
Η πιο κοινή μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων είναι η αντικατάσταση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε μια μεταβλητή ως προς την άλλη και να την αντικαταστήσετε με τη δεύτερη την εξίσωσησυστήματα, οδηγώντας έτσι την εξίσωσησε μία μεταβλητή. Για παράδειγμα, δίνονται οι ακόλουθες εξισώσεις: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Από τη δεύτερη παράσταση είναι βολικό να εκφράσουμε μία από τις μεταβλητές, μετακινώντας όλα τα άλλα στη δεξιά πλευρά της παράστασης, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε το πρόσημο του συντελεστή: x = 3-y.
Ανοίξτε τις αγκύλες: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Αντικαθιστούμε την τιμή y που προκύπτει: x=3-y;x=3-1;x=2. .
Στην πρώτη έκφραση, όλοι οι όροι είναι 2, μπορείτε να αφαιρέσετε 2 από την αγκύλα στην κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: 2*(2x-y-3)=0. Τώρα και τα δύο μέρη της παράστασης μπορούν να μειωθούν κατά αυτόν τον αριθμό και στη συνέχεια να εκφραστούν ως y, αφού ο συντελεστής συντελεστή για αυτήν είναι ίσος με ένα: -y = 3-2x ή y = 2x-3.
Όπως και στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση με τη δεύτερη την εξίσωσηκαι παίρνουμε: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει στην παράσταση: y=2x -3;y=4-3=1.
Βλέπουμε ότι ο συντελεστής για το y είναι ο ίδιος σε τιμή, αλλά διαφορετικός σε πρόσημο, επομένως, αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις, θα απαλλαγούμε εντελώς από το y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0 x=2 Αντικαταστήστε την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και λάβετε y=1.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Διτετραγωνικό την εξίσωσηαντιπροσωπεύει την εξίσωσητέταρτο βαθμό, γενική μορφήπου παριστάνεται με την έκφραση ax^4 + bx^2 + c = 0. Η λύση του βασίζεται στη χρήση της μεθόδου αντικατάστασης αγνώστων. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΤο x^2 αντικαθίσταται από μια άλλη μεταβλητή. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι ένα συνηθισμένο τετράγωνο την εξίσωση, που πρέπει να λυθεί.
Οδηγίες
Λύστε το τετραγωνικό την εξίσωση, που προκύπτει από την αντικατάσταση. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε πρώτα την τιμή σύμφωνα με τον τύπο: D = b^2; 4ac. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβλητές a, b, c είναι οι συντελεστές της εξίσωσής μας.
Βρείτε τις ρίζες του δι τετραγωνική εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τετραγωνική ρίζα των λυμάτων που ελήφθησαν. Εάν υπήρχε μία λύση, τότε θα υπάρχουν δύο - μια θετική και αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Αν υπήρχαν δύο λύσεις, η διτετραγωνική εξίσωση θα έχει τέσσερις ρίζες.
Βίντεο σχετικά με το θέμα
Ενας από κλασικές μεθόδουςΗ επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Gauss. Συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη μεταβλητών όταν χρησιμοποιεί ένα σύστημα εξισώσεων απλές μεταμορφώσειςμεταφράζεται σε ένα σταδιακό σύστημα, από το οποίο βρίσκονται όλες οι μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία.
Οδηγίες
Πρώτα, φέρτε το σύστημα των εξισώσεων σε μια μορφή όπου όλοι οι άγνωστοι είναι σε μια αυστηρά καθορισμένη σειρά. Για παράδειγμα, όλα τα άγνωστα Χ θα εμφανίζονται πρώτα σε κάθε γραμμή, όλα τα Υ θα έρχονται μετά τα Χ, όλα τα Ζ θα έρχονται μετά τα Υ και ούτω καθεξής. Δεν πρέπει να υπάρχουν άγνωστοι στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης. Προσδιορίστε νοερά τους συντελεστές μπροστά από κάθε άγνωστο, καθώς και τους συντελεστές στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης.
Στο μάθημα των μαθηματικών της 7ης δημοτικού συναντάμε για πρώτη φορά εξισώσεις με δύο μεταβλητές, αλλά μελετώνται μόνο στο πλαίσιο συστημάτων εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γι' αυτό μια ολόκληρη σειρά προβλημάτων στα οποία εισάγονται ορισμένες συνθήκες στους συντελεστές της εξίσωσης που τους περιορίζουν ξεφεύγουν από τα μάτια μας. Επιπλέον, μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων όπως «Επίλυση εξίσωσης σε φυσικούς ή ακέραιους αριθμούς» αγνοούνται επίσης, αν και σε Υλικό Ενιαίας Κρατικής ΕξετάσεωνΚαι στις εισαγωγικές εξετάσεις, προβλήματα αυτού του είδους συναντώνται όλο και πιο συχνά.
Ποια εξίσωση θα ονομαστεί εξίσωση με δύο μεταβλητές;
Έτσι, για παράδειγμα, οι εξισώσεις 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ή xy = 12 είναι εξισώσεις σε δύο μεταβλητές.
Θεωρήστε την εξίσωση 2x – y = 1. Γίνεται αληθής όταν x = 2 και y = 3, επομένως αυτό το ζεύγος μεταβλητών τιμών είναι μια λύση στην εξίσου εξίσωση.
Έτσι, η λύση σε οποιαδήποτε εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (x; y), τιμές των μεταβλητών που μετατρέπουν αυτήν την εξίσωση σε μια αληθινή αριθμητική ισότητα.
Μια εξίσωση με δύο άγνωστους μπορεί:
ΕΝΑ) έχουν μια λύση.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + 5y 2 = 0 έχει μια μοναδική λύση (0; 0).
σι) έχουν πολλαπλές λύσεις.Για παράδειγμα, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 έχει 4 λύσεις: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) δεν έχουν λύσεις.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + y 2 + 1 = 0 δεν έχει λύσεις.
ΣΟΛ) έχουν άπειρες λύσεις.Για παράδειγμα, x + y = 3. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης θα είναι αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με 3. Το σύνολο των λύσεων αυτής της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με τη μορφή (k; 3 – k), όπου k είναι κάθε πραγματικό αριθμός.
Οι κύριες μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι μέθοδοι που βασίζονται σε παραγοντοποιητικές παραστάσεις, απομόνωση πλήρους τετραγώνου, χρήση των ιδιοτήτων μιας τετραγωνικής εξίσωσης, περιορισμένες εκφράσεις και μέθοδοι εκτίμησης. Η εξίσωση συνήθως μετατρέπεται σε μια μορφή από την οποία μπορεί να ληφθεί ένα σύστημα για την εύρεση των αγνώστων.
Παραγοντοποίηση
Παράδειγμα 1.
Λύστε την εξίσωση: xy – 2 = 2x – y.
Λύση.
Ομαδοποιούμε τους όρους για σκοπούς παραγοντοποίησης:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Από κάθε παρένθεση βγάζουμε έναν κοινό παράγοντα:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Έχουμε:
y = 2, x – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ή x = -1, y – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Ετσι, η απάντηση είναι όλα τα ζεύγη της μορφής (x; 2), x € R και (-1; y), y € R.
Ίσο με μηδέν δεν είναι αρνητικούς αριθμούς
Παράδειγμα 2.
Λύστε την εξίσωση: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Λύση.
Ομαδοποίηση:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Τώρα κάθε βραχίονας μπορεί να διπλωθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνικής διαφοράς.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Το άθροισμα δύο μη αρνητικών παραστάσεων είναι μηδέν μόνο αν 3x – 2 = 0 και 2y – 3 = 0.
Αυτό σημαίνει x = 2/3 και y = 3/2.
Απάντηση: (2/3; 3/2).
Μέθοδος εκτίμησης
Παράδειγμα 3.
Λύστε την εξίσωση: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.
Λύση.
Σε κάθε παρένθεση επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Ας υπολογίσουμε 
τη σημασία των εκφράσεων στην παρένθεση.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 και (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα τουλάχιστον 2. Η ισότητα είναι δυνατή αν:
(x + 1) 2 + 1 = 1 και (y – 2) 2 + 2 = 2, που σημαίνει x = -1, y = 2.
Απάντηση: (-1; 2).
Ας γνωρίσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων με δύο μεταβλητές δευτέρου βαθμού. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην αντιμετώπιση της εξίσωσης ως τετράγωνο σε σχέση με κάποια μεταβλητή.
Παράδειγμα 4.
Λύστε την εξίσωση: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Λύση.
Ας λύσουμε την εξίσωση ως δευτεροβάθμια εξίσωση για το x. Ας βρούμε το διαχωριστικό:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Η εξίσωση θα έχει λύση μόνο όταν D = 0, δηλαδή αν y = 4. Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε ότι x = 3.
Απάντηση: (3; 4).
Συχνά σε εξισώσεις με δύο άγνωστα υποδεικνύουν περιορισμούς στις μεταβλητές.
Παράδειγμα 5.
Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Λύση.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Δεξί μέροςη εξίσωση που προκύπτει όταν διαιρείται με το 5 δίνει ένα υπόλοιπο 2. Επομένως, το x 2 δεν διαιρείται με το 5. Αλλά το τετράγωνο ενός αριθμού που δεν διαιρείται με το 5 δίνει ένα υπόλοιπο 1 ή 4. Έτσι, η ισότητα είναι αδύνατη και δεν υπάρχουν λύσεις.
Απάντηση: χωρίς ρίζες.
Παράδειγμα 6.
Λύστε την εξίσωση: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Λύση.
Ας επισημάνουμε τα πλήρη τετράγωνα σε κάθε παρένθεση:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Αριστερή πλευράΗ εξίσωση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 3. Η ισότητα είναι δυνατή υπό την συνθήκη |x| – 2 = 0 και y + 3 = 0. Έτσι, x = ± 2, y = -3.
Απάντηση: (2; -3) και (-2; -3).
Παράδειγμα 7.
Για κάθε ζεύγος αρνητικών ακεραίων (x;y) που ικανοποιεί την εξίσωση
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, υπολογίστε το άθροισμα (x + y). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μικρότερο ποσό.
Λύση.
Ας επιλέξουμε πλήρη τετράγωνα:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Εφόσον τα x και y είναι ακέραιοι, τα τετράγωνά τους είναι επίσης ακέραιοι. Παίρνουμε το άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων ίσων με 37 αν προσθέσουμε 1 + 36. Επομένως:
(x – y) 2 = 36 και (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 και (y + 2) 2 = 36.
Λύνοντας αυτά τα συστήματα και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα x και y είναι αρνητικά, βρίσκουμε λύσεις: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Απάντηση: -17.
Μην απελπίζεστε αν δυσκολεύεστε να λύσετε εξισώσεις με δύο άγνωστα. Με λίγη εξάσκηση, μπορείτε να χειριστείτε οποιαδήποτε εξίσωση.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις σε δύο μεταβλητές;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την αρχική πηγή.
Θέμα:Γραμμική συνάρτηση
Μάθημα:Γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές και η γραφική παράσταση της
Εξοικειωθήκαμε με τις έννοιες του άξονα συντεταγμένων και του επιπέδου συντεταγμένων. Γνωρίζουμε ότι κάθε σημείο στο επίπεδο ορίζει μοναδικά ένα ζεύγος αριθμών (x, y), με τον πρώτο αριθμό να είναι η τετμημένη του σημείου και ο δεύτερος να είναι η τεταγμένη.
Πολύ συχνά θα συναντήσουμε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές, η λύση των οποίων είναι ένα ζεύγος αριθμών που μπορεί να αναπαρασταθεί στο επίπεδο συντεταγμένων.
Εξίσωση της μορφής:
Όπου a, b, c είναι αριθμοί και 
Ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές x και y. Η λύση σε μια τέτοια εξίσωση θα είναι οποιοδήποτε τέτοιο ζεύγος αριθμών x και y, αντικαθιστώντας τους στην εξίσωση θα λάβουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα.
Ένα ζεύγος αριθμών θα απεικονιστεί στο επίπεδο συντεταγμένων ως σημείο.
Για τέτοιες εξισώσεις θα δούμε πολλές λύσεις, δηλαδή πολλά ζεύγη αριθμών, και όλα τα αντίστοιχα σημεία θα βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Για να βρείτε λύσεις σε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να επιλέξετε τα αντίστοιχα ζεύγη αριθμών x και y:
Έστω, τότε η αρχική εξίσωση μετατρέπεται σε εξίσωση με έναν άγνωστο:
,
Δηλαδή το πρώτο ζεύγος αριθμών που είναι λύση σε μια δεδομένη εξίσωση (0; 3). Πήραμε το σημείο A(0; 3)
Αφήστε . Παίρνουμε την αρχική εξίσωση με μία μεταβλητή: 
, από εδώ, πήραμε το σημείο B(3; 0)
Ας βάλουμε τα ζεύγη των αριθμών στον πίνακα:
Ας σχεδιάσουμε σημεία στο γράφημα και ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή: 
Σημειώστε ότι οποιοδήποτε σημείο σε μια δεδομένη ευθεία θα είναι λύση στη δεδομένη εξίσωση. Ας ελέγξουμε - πάρουμε ένα σημείο με μια συντεταγμένη και χρησιμοποιήστε το γράφημα για να βρείτε τη δεύτερη συντεταγμένη του. Είναι προφανές ότι σε αυτό το σημείο. Ας αντικαταστήσουμε αυτό το ζεύγος αριθμών στην εξίσωση. Παίρνουμε 0=0 - μια σωστή αριθμητική ισότητα, που σημαίνει ότι ένα σημείο που βρίσκεται σε μια ευθεία είναι μια λύση.
Προς το παρόν, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κατασκευασμένη γραμμή είναι μια λύση στην εξίσωση, επομένως το αποδεχόμαστε ως αληθές και θα το αποδείξουμε αργότερα.
Παράδειγμα 2 - γραφική παράσταση της εξίσωσης:
Ας φτιάξουμε έναν πίνακα, χρειαζόμαστε μόνο δύο σημεία για να φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή, αλλά θα πάρουμε ένα τρίτο για έλεγχο.
Στην πρώτη στήλη πήραμε ένα βολικό, θα το βρούμε από:
, ,
Στη δεύτερη στήλη πήραμε ένα βολικό, ας βρούμε το x:
, , ,
Ας ελέγξουμε και ας βρούμε:
, ,
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα:
Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεδομένη εξίσωση επί δύο:
Από έναν τέτοιο μετασχηματισμό, το σύνολο των λύσεων δεν θα αλλάξει και το γράφημα θα παραμείνει το ίδιο.
Συμπέρασμα: μάθαμε να λύνουμε εξισώσεις με δύο μεταβλητές και να χτίζουμε τις γραφικές παραστάσεις τους, μάθαμε ότι το γράφημα μιας τέτοιας εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή και ότι οποιοδήποτε σημείο αυτής της ευθείας είναι μια λύση της εξίσωσης
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. και άλλα Άλγεβρα 7. 6η έκδοση. Μ.: Διαφωτισμός. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7. Μ.: ΒΕΝΤΑΝΑ-ΓΡΑΦ
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. και άλλα Άλγεβρα 7.Μ.: Διαφωτισμός. 2006
2. Πύλη για οικογενειακή προβολή ().
Εργασία 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7, Αρ. 960, Τέχνη 210;
Εργασία 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7, Αρ. 961, Τέχνη 210;
Εργασία 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7, Αρ. 962, Τέχνη 210;
Μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές είναι κάθε εξίσωση που έχει την ακόλουθη μορφή: a*x + b*y =с.Εδώ το x και το y είναι δύο μεταβλητές, οι a,b,c είναι μερικοί αριθμοί.
Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων.
1. 10*x + 25*y = 150;
Όπως οι εξισώσεις με έναν άγνωστο, μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές (άγνωστες) έχει επίσης λύση. Για παράδειγμα, η γραμμική εξίσωση x-y=5, με x=8 και y=3 μετατρέπεται στη σωστή ταυτότητα 8-3=5. Στην περίπτωση αυτή, το ζεύγος των αριθμών x=8 και y=3 λέγεται ότι είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης x-y=5. Μπορείτε επίσης να πείτε ότι ένα ζεύγος αριθμών x=8 και y=3 ικανοποιεί τη γραμμική εξίσωση x-y=5.
Επίλυση Γραμμικής Εξίσωσης
Έτσι, η λύση της γραμμικής εξίσωσης a*x + b*y = c είναι οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών (x,y) που ικανοποιεί αυτή την εξίσωση, δηλαδή μετατρέπει την εξίσωση με τις μεταβλητές x και y σε σωστή αριθμητική ισότητα. Παρατηρήστε πώς γράφεται εδώ το ζεύγος των αριθμών x και y. Αυτή η καταχώρηση είναι συντομότερη και πιο βολική. Απλά πρέπει να θυμάστε ότι η πρώτη θέση σε μια τέτοια εγγραφή είναι η τιμή της μεταβλητής x και η δεύτερη είναι η τιμή της μεταβλητής y.
Σημειώστε ότι οι αριθμοί x=11 και y=8, x=205 και y=200 x= 4,5 και y= -0,5 ικανοποιούν επίσης τη γραμμική εξίσωση x-y=5, και επομένως είναι λύσεις αυτής της γραμμικής εξίσωσης.
Επίλυση γραμμικής εξίσωσης με δύο αγνώστους δεν είναι το μόνο.Κάθε γραμμική εξίσωση σε δύο αγνώστους έχει άπειρα πολλά διάφορες λύσεις. Υπάρχει δηλαδή άπειρα πολλά διαφορετικάδύο αριθμοί x και y που μετατρέπουν μια γραμμική εξίσωση σε αληθινή ταυτότητα.
Αν πολλές εξισώσεις με δύο μεταβλητές έχουν πανομοιότυπες λύσεις, τότε τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες εξισώσεις. Πρέπει να σημειωθεί ότι αν οι εξισώσεις με δύο αγνώστους δεν έχουν λύσεις, τότε θεωρούνται και αυτές ισοδύναμες.
Βασικές ιδιότητες γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους
1. Οποιοσδήποτε από τους όρους της εξίσωσης μπορεί να μεταφερθεί από το ένα μέρος στο άλλο, αλλά είναι απαραίτητο να αλλάξει το πρόσημά του στο αντίθετο. Η εξίσωση που προκύπτει θα είναι ισοδύναμη με την αρχική.
2. Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να διαιρεθούν με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι μηδέν. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με την αρχική.