Koliki je zbir bilo kojeg trougla? Zbir uglova trougla. Teorema o zbroju ugla trougla

. (Slajd 1)

Vrsta lekcije: lekcija učenja novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:
- razmotrimo teoremu o zbiru uglovi trougla,
- pokazati primjenu teoreme u rješavanju problema.
Obrazovni:
- negovanje pozitivnog stava učenika prema znanju,
- Kroz nastavu učenicima budite samopouzdanje.
Razvojni:
- razvoj analitičkog mišljenja,
- razvoj “vještina za učenje”: korištenje znanja, vještina i sposobnosti u obrazovni proces,
- razvoj logičkog mišljenja, sposobnost jasnog formulisanja svojih misli.

Oprema: interaktivna tabla, prezentacija, kartice.

TOKOM NASTAVE

– Danas ćemo se na času prisjetiti definicija pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog trougla. Ponovimo svojstva uglova trouglova. Koristeći svojstva unutrašnjih jednostranih i unutrašnjih unakrsno ležećih uglova, dokazaćemo teoremu o zbiru uglova trougla i naučiti kako da je primenimo pri rešavanju zadataka.

II. Oralno(Slajd 2)

1) Pronađite pravougaone, jednakokračne, jednakostranične trouglove na slikama.
2) Definišite ove trouglove.
3) Formulirajte svojstva uglova jednakostraničnog i jednakokračnog trougla.

4) Na slici KE II NH. (slajd 3)

– Odredite sekante za ove linije
– Pronađi unutrašnje jednostrane uglove, unutrašnje uglove koji leže poprečno, navedi njihova svojstva

III. Objašnjenje novog materijala

Teorema. Zbir uglova trougla je 180°

Prema formulaciji teoreme, momci grade crtež, zapisuju uvjet i zaključak. Odgovarajući na pitanja, oni samostalno dokazuju teoremu.

Dato:

dokazati:

dokaz:

1. Kroz vrh B trougla povlačimo pravu BD II AC.
2. Odredite sekante za paralelne prave.
3. Šta se može reći o uglovima CBD i ACB? (zabilježi)
4. Šta znamo o uglovima CAB i ABD? (zabilježi)
5. Zamijenite ugao CBD sa uglom ACB
6. Izvucite zaključak.

IV. Završi rečenicu.(Slajd 4)

1. Zbir uglova trougla je...
2. U trouglu je jedan od uglova jednak, drugi, treći ugao trougla jednak...
3. Zbir oštrih uglova pravouglog trougla je...
4. Uglovi jednakokrakog pravouglog trougla su jednaki...
5. Uglovi jednakostraničnog trougla su jednaki...
6. Ako je ugao između bočnih stranica jednakokračnog trougla 1000, onda su uglovi u osnovi jednaki...

V. Malo istorije.(Slajdovi 5-7)

Dokaz teoreme o zbiru uglova trougla “Zbir unutrašnjih uglovi trokuta jednaki dvama pravim uglama" pripisuje se Pitagori (580-500 pne)
Starogrčki naučnik Proklo (410-485 n.e.),

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

zajedno sa momcima, “otkrijte” i dokažite teoremu o zbiru uglova trougla;
sumirati i sistematizovati proučeni materijal na ovu temu;
upoznati učenike sa istorijskim materijalom o temi koja se proučava;
usaditi interesovanje za matematiku kroz uključivanje u lekciju tehnologije igara;
razvijati vještine i sposobnosti u rješavanju geometrijskih zadataka;

edukativni:

razvijaju pažnju, pamćenje, govor, logičko razmišljanje, nezavisnost;
razmotriti nekoliko načina za dokazivanje teoreme, generalizirati koristeći elemente istraživanja, razviti matematički govor;
razviti sposobnost poređenja i generalizacije činjenica i koncepata;
razvijati saradnju pri radu u paru.

edukativni:

gajite želju za postizanjem cilja; osjećaj odgovornosti, samopouzdanja, sposobnost za rad u timu;
neguju karakterne osobine kao što su upornost, odlučnost, naporan rad i disciplina;
usaditi vještine tačnosti pri izradi crteža;

formiraju humane odnose u učionici.

Oprema: Računar, multimedijalna oprema, tableti, listovi za domaće zadatke, kartonski trouglovi, materijali.

Primjenjivi oblici obuke: frontalni, individualni rad učenici i rade u parovima. Za aktiviranje pažnje i mašte uvedeni su momenti igre.

Struktura lekcije:

Organizacija početka časa – 2 min.
Definisanje ciljeva časa – 1 min.
Priprema za glavnu fazu časa -5 min.
Ažuriranje prethodno proučenog materijala – 4 min.
Uvod u novi materijal – 10 min
Minut fizičkog vaspitanja – 1 min
Početna provjera razumijevanja – 5 min.
Asimilacija znanja. Rješavanje problema – 13 min.
Sumiranje lekcije. Refleksija – 2 min.
Informacije o zadaća- 2 minuta.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Pozdrav. Provjera spremnosti učenika za čas. Na tabli je tema lekcije i izreka:

...Kao što je istina jasna smrtnicima,
Da dvoje glupih ljudi ne mogu stati u trougao.
Dante A.

2. Određivanje ciljeva časa.

Momci, šta mislite o kojoj će cifri biti riječi u ovoj lekciji? Koji su ciljevi lekcije?

“otkriti” i dokazati teoremu o zbiru uglova trougla;
naučiti kako rješavati probleme koristeći stečeno znanje.

3. Priprema za glavnu fazu časa.

Formulirajte definiciju trougla. (Trougao je geometrijska figura koju čine tri tačke koje ne leže na istoj pravoj i segmenti koji povezuju ove tačke u paru.)

Imenujte elemente trougla. (Uglovi, stranice, vrhovi.)

Navedite nazive trouglova na stranama. (Jednakostranični, jednakokraki, skalanski.)

Jedan od učenika bira i pokazuje razredne trouglove pripremljene i leže na stolu nastavnika.

Trokuti se takođe razlikuju po uglovima. Pokušajmo imenovati trouglove na osnovu njihovih uglova. (Drugi učenik bira: oštar, tupougli i pravougli trokut.)

Odgovorimo na neka pitanja:

Može li trokut imati:

dva prava ugla;
dva tupi uglovi;
jedan pravi ugao i jedan tup ugao?

Jedan učenik se poziva na tablu i izvodi sljedeće crteže:

Slijedi “kolektivna rasprava”. Konstruisane zrake se ne seku, što znači da trougao neće raditi. Zbir jednostranih uglova u prvom slučaju je jednak 180°, u drugom i trećem slučaju veći je od 180°. U prvom slučaju prave su paralelne, au drugom i trećem slučaju prave se razilaze. Zaključujemo: trouglovi ne mogu imati dvije prave i dvije tupe. Takođe, trougao ne može imati jedan tup i jedan pravi ugao u isto vreme. Slajd 3.

Pogledajmo ponovo modele trougla i izvući zaključak: u pravougaonog trougla jedan ugao je pravi i dva ugla su oštra, u tupouglu je jedan ugao tup, a dva oštra, u oštrom trouglu svi uglovi su oštri. Ali teoretski, ne možemo odgovoriti na ovo pitanje dok ne znamo koliki je zbir uglova trougla.

Dakle, već znamo dosta o trouglu. Šta mislite, koliki je zbir uglova bilo kojeg trougla? (Slušajte odgovore). Da li su vaše pretpostavke tačne provjerimo praktičnim radom.

Praktičan rad(promoviše ažuriranje znanja i vještina samospoznaje). (Raditi u parovima.) Slajdovi 4-5.

Svako od vas ima po jedan trougao na svom stolu različite boje. Ljudi, mjerili smo uglove pomoću kutomjera i našli njihov zbir još u 5. razredu. Zbir uglova je za svakoga bio različit (to se moglo dogoditi jer je kutomjer nepravilno primijenjen, proračun je obavljen nepažljivo itd.).

Predlažem da nađete zbir uglova trougla na dva druga načina: uzmite trouglove koji se nalaze na vašem stolu. Da li su žute ili Pink color. Označite uglove trougla brojevima 1, 2, 3.

Učenici žutog trougla: otkinuti dva ugla trougla i pričvrstiti ih na stranice trećeg ugla tako da svi vrhovi budu u istoj tački. Primjećujemo da se svi uglovi trokuta sabiraju i formiraju pravi ugao.

Učenici ružičastog trougla: Savijte uglove u unutrašnjost trougla. Imajte na umu da trebate saviti trokut duž prave linije paralelne sa stranicom ugla koji ćemo prvi saviti, i dati ugao mora dodirnuti ovu stranu. Primjećujemo da se svi uglovi trokuta sabiraju i formiraju pravi ugao.

Koja je mjera stepena razvijenog ugla?

Do kakvog smo zaključka došli?

Zbir uglova trougla je 180 stepeni.

Nakon završenog praktičnog rada ustanovili smo da je zbir uglova trougla 180 stepeni.

U matematici praktičan rad To samo omogućava da se da neka vrsta izjave, ali to treba dokazati. Tvrdnja čija se valjanost utvrđuje dokazom naziva se teorema.

Koju teoremu treba da dokažemo?

Zbir uglova trougla je 180 stepeni.

4. Faza pripreme učenika za aktivno i svjesno usvajanje novih znanja.

Slajdovi 6-7.

Prije dokazivanja ove teoreme, usmeno riješimo dva zadatka koji će nam pomoći u dokazivanju teoreme:

5. Faza usvajanja novih znanja, vještina, sposobnosti.

Slajdovi 8-9

(Postoje tri moguća metoda dokaza.)

Dokaz teoreme(razvija sposobnost analize, generalizacije i izvođenja logičkih zaključaka koristeći prethodno proučeni materijal).

Jedan učenik dokazuje teoremu na tabli, komentirajući svoje postupke na putu. Ostali učenici rade u svojim sveskama. U slučaju netačnosti, nastavnik vrši korekcije.

Učitelj: Šta nam je dato?

Učenik: Dat je trougao.

Učitelj: Konstruišite proizvoljan trougao u svojim sveskama i označite njegove vrhove A, B i C. Šta treba da dokažete?

Učenik: Da je zbir uglova trougla 180°.

Dato: ∆ ABC
Dokazati: A+B+C=180°

Plan dokaza:
1) Kroz vrh B povlačimo pravu DE || A.C.
2) Dokaži da je 4 =1, 5 = 3
3) Dokazati da ako je 4+2+5=180°, onda je 1+2+3=180° ili u ∆ ABC A+B+C=180°

Ali ova metoda dokaza nije jedina. Prvi dokaz dao je Pitagora (5. vek pne.) U prvoj knjizi Elementi Euklid iznosi još jedan dokaz teoreme o zbiru uglova trougla. Slajd 10.

Momci usmeno dokazuju:

dokaz:
1) Kroz vrh B povlačimo zrak BD|| AC.
2) 4 i 3 - poprečno leže ispod BD||AC i sekansa BC.
3) BD|| AC i AB su sekanti, tada su 1+ABD=180° jednostrani uglovi.
4) zatim 1+2+4=180°, pošto je 4=3, zatim 1+2+3=180° ili A+B+C=180°

Pokušajte dokazati ovu teoremu kod kuće koristeći crtež Pitagorinih učenika. (Momci dobijaju list sa crtežima sva tri dokaza da ponesu kući.) Slajd 11.

6. Fizički minut.

Slajdovi 12-14.

7. Konsolidacija proučenog gradiva.

Sada, koristeći teoremu, možemo opravdati zašto trokut ne može imati dva prava ugla, dva tupa ugla, dva ugla, od kojih je jedan tup, a drugi pravi.

Korolar iz teoreme o zbiru uglova trougla (koju učenici samostalno izvode; to doprinosi razvoju sposobnosti formulisanja sopstvenu tačku tačku gledišta, izraziti je i argumentirati).

U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili pravi..

Ako trokut ima sve oštre uglove, onda se zove oštrougao. Ako je jedan od uglova trougla tup, onda se naziva tupougla. Ako je jedan od uglova trougla pravi, onda se zove pravougaona.

Usmeni rad: (tablete) Slajd 15.

Odgovorite na pitanja: Slajd 16.

Ako je jedan od uglova trougla pravi, koja su druga dva ugla?
Ako je trougao pravougli, koliki je zbir oštrih uglova trougla?
Ako je jedan od uglova trougla tup, koliki je zbir druga dva ugla trougla?

9. Domaći zadatak.

Materijal: tri crteža za dokaz. ( Aneks 1)
30-31, str 70, broj 223(a,b), 224, 225, 230

10. Sažetak lekcije.

odraz:

Nastavite rečenicu:

“Danas na času sam naučio...”
“Danas na času sam naučio...”
“Danas na času sam upoznao...”
“Danas sam na času ponovio...”
“Danas sam na času pojačao...”

Činjenica da je "zbir uglova bilo kojeg trougla u euklidskoj geometriji 180 stepeni" jednostavno se može zapamtiti. Ako nije lako zapamtiti, možete provesti nekoliko eksperimenata za bolje pamćenje.

Eksperiment jedan

Nacrtajte nekoliko proizvoljnih trokuta na komad papira, na primjer:

sa proizvoljnim stranama;
jednakokraki trokut;
pravougaonog trougla.

Obavezno koristite ravnalo. Sada morate izrezati rezultirajuće trokute, radeći to točno duž nacrtanih linija. Obojite uglove svakog trougla olovkom u boji ili markerom. Na primjer, u prvom trokutu će svi uglovi biti crveni, u drugom - plavi, u trećem - zeleni. http://bit.ly/2gY4Yfz

Od prvog trokuta odrežite sva 3 ugla i spojite ih u jednoj tački sa njihovim vrhovima, tako da su najbliže strane svakog ugla povezane. Kao što vidite, tri ugla trokuta formirala su prošireni ugao, koji je jednak 180 stepeni. Uradite isto sa druga dva trougla - rezultat će biti isti. http://bit.ly/2zurCrd

Eksperiment dva

Nacrtajte proizvoljan trougao ABC. Odaberemo bilo koji vrh (na primjer, C) i kroz njega povučemo liniju DE paralelnu sa Suprotna strana(AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Dobijamo sljedeće:

Uglovi BAC i ACD jednaki su unutrašnjim uglovima okomitim na AC;
Uglovi ABC i BCE jednaki su unutrašnjim uglovima okomitim na BC;
Vidimo da su uglovi 1, 2 i 3 uglovi trougla, spojeni u jednoj tački da formiraju razvijeni ugao DCE, koji je jednak 180 stepeni.

Teorema o sumi uglova trougla kaže da je zbir svih unutrašnjih uglova bilo kojeg trougla 180°.

Neka su unutrašnji uglovi trokuta a, b i c, tada:

a + b + c = 180°.

Iz ove teorije možemo zaključiti da je zbir svih vanjskih uglova bilo kojeg trougla jednak 360°. Pošto je spoljašnji ugao susedan unutrašnjem, njihov zbir je 180°. Neka su unutrašnji uglovi trougla a, b i c, tada su spoljašnji uglovi kod ovih uglova 180° - a, 180° - b i 180° - c.

Nađimo zbir vanjskih uglova trougla:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Odgovor: zbir unutrašnjih uglova trougla je 180°; zbir vanjskih uglova trougla je 360°.

Teorema o zbiru unutrašnjih uglova trougla

Zbir uglova trougla je 180°.

dokaz:

Dat trougao ABC.
Kroz vrh B povlačimo pravu liniju DK paralelnu bazi AC.
\ugao CBK= \ugao C kao unutrašnji poprečno ležeći sa paralelnim DK i AC, i sekantom BC.
\ugao DBA = \ugao Unutrašnji poprečno leži sa DK \paralelom AC i sekantom AB. Ugao DBK je obrnut i jednak
\ugao DBK = \ugao DBA + \ugao B + \ugao CBK
Pošto je nesavijeni ugao jednak 180 ^\circ , a \ugao CBK = \ugao C i \ugao DBA = \ugao A , dobijamo 180 ^\circ = \ugao A + \ugao B + \ugao C.

Teorema je dokazana

Posljedice iz teoreme o zbiru uglova trougla:

Zbir oštrih uglova pravouglog trougla je jednak 90°.
U jednakokračnom pravokutnom trokutu svaki oštar ugao je jednak 45°.
U jednakostraničnom trouglu svaki ugao je jednak 60°.
U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili pravi.
Vanjski ugao trougla jednak zbiru dva unutrašnja ugla koja mu ne graniče.

Teorema vanjskog ugla trokuta

Vanjski ugao trokuta jednak je zbiru dva preostala ugla trokuta koji nisu susjedni ovom vanjskom kutu

dokaz:

Dat je trougao ABC, gdje je BCD vanjski ugao.
\ugao BAC + \ugao ABC +\ugao BCA = 180^0
Iz jednakosti ugao \ugao BCD + \ugao BCA = 180^0
Dobijamo \ugao BCD = \ugao BAC+\ugao ABC.

Ciljevi i zadaci:

edukativni:

ponoviti i generalizirati znanje o trouglu;
dokazati teoremu o zbiru uglova trougla;
praktično provjeriti ispravnost formulacije teoreme;
naučiti primjenjivati stečena znanja prilikom rješavanja problema.

edukativni:

razvijati geometrijsko razmišljanje, interesovanje za predmet, kognitivno i kreativna aktivnost učenika, matematički govor, sposobnost samostalnog sticanja znanja.

edukativni:

razvijati lični kvaliteti učenika, kao što su odlučnost, upornost, tačnost, sposobnost timskog rada.

Oprema: multimedijalni projektor, trouglovi od papira u boji, obrazovni kompleks “Živa matematika”, kompjuter, ekran.

Pripremna faza: Nastavnik daje učeniku zadatak da se pripremi istorijske informacije o teoremi "Zbroj uglova trougla."

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Pozdrav. Psihološki odnos učenika prema radu.

II. Zagrijavanje

WITH geometrijska figura“trougao” koji smo sreli u prethodnim lekcijama. Hajde da ponovimo šta znamo o trouglu?

Učenici rade u grupama. Pruža im se mogućnost da međusobno komuniciraju, svaki da samostalno grade proces spoznaje.

Šta se desilo? Svaka grupa daje svoje predloge, nastavnik ih zapisuje na tabli. O rezultatima se raspravlja:

Slika 1

III. Formulisanje cilja lekcije

Dakle, već znamo dosta o trouglu. Ali ne sve. Svako od vas na svom stolu ima trouglove i kutomjere. Šta mislite kakav problem možemo formulisati?

Učenici formuliraju zadatak lekcije - pronaći zbir uglova trougla.

IV. Objašnjenje novog materijala

Praktični dio(podstiče ažuriranje znanja i vještina samospoznaje) Izmjerite uglove pomoću kutomjera i pronađite njihov zbir. Rezultate zapišite u svoju bilježnicu (poslušajte dobijene odgovore). Saznajemo da je zbir uglova za svakoga različit (to se može dogoditi jer kutomjer nije primijenjen precizno, proračun je obavljen nepažljivo itd.).

Presavijte duž isprekidanih linija i saznajte čemu je još jednaka suma uglova trokuta:

A)
Slika 2

b)
Slika 3

V)
Slika 4

G)
Slika 5

d)
Slika 6

Nakon završenog praktičnog rada učenici formulišu odgovor: Zbir uglova trougla je jednak stepen mjere rasklopljeni ugao, tj. 180°.

Učitelj: U matematici, praktičan rad samo omogućava da se iznese neka tvrdnja, ali to treba dokazati. Tvrdnja čija se valjanost utvrđuje dokazom naziva se teorema. Koju teoremu možemo formulisati i dokazati?

Studenti: Zbir uglova trougla je 180 stepeni.

Istorijska referenca: Svojstvo zbira uglova trougla utvrđeno je u Drevni Egipat. Dokaz, izložen u modernim udžbenicima, sadržan je u Proklovom komentaru na Euklidove elemente. Proklo tvrdi da su ovaj dokaz (sl. 8) otkrili Pitagorejci (5. vek pne). U prvoj knjizi Elementi Euklid iznosi još jedan dokaz teoreme o zbiru uglova trougla, koji se lako može razumeti pomoću crteža (slika 7):

Slika 7

Slika 8

Crteži se prikazuju na ekranu preko projektora.

Nastavnik nudi da dokaže teoremu pomoću crteža.

Zatim se dokaz izvodi pomoću kompleksa za nastavu i učenje „Živa matematika“. Nastavnik projektuje dokaz teoreme na računar.

Teorema o zbiru uglova trougla: "Zbir uglova trougla je 180°"

Slika 9

dokaz:

A)

Slika 10

b)

Slika 11

V)

Slika 12

Učenici u svojim sveskama ukratko zapisuju dokaz teoreme:

Teorema: Zbir uglova trougla je 180°.

Slika 13

Dato:Δ ABC

dokazati: A + B + C = 180°.

dokaz:

Šta je trebalo dokazati.

V. Phys. samo minut.

VI. Objašnjenje novog materijala (nastavak)

Posljedicu iz teoreme o zbiru uglova trokuta učenici samostalno izvode, što doprinosi razvoju sposobnosti da formulišu vlastito gledište, izraze i argumentiraju ga:

U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili pravi..

Ako trokut ima sve oštre uglove, onda se zove oštrougao.

Ako je jedan od uglova trougla tup, onda se naziva tupougla.

Ako je jedan od uglova trougla pravi, onda se zove pravougaona.

Teorema o zbiru uglova trougla nam omogućava da trouglove klasifikujemo ne samo po stranicama, već i po uglovima. (Dok učenici uvode vrste trouglova, učenici popunjavaju tabelu)

Tabela 1

Pogled na trokut	Jednakokraki	Equilateral	Svestran
Pravougaona
Tupo
Acute-angled

VII. Konsolidacija proučenog materijala.

Usmeno rješavajte probleme:

(Crteži se prikazuju na ekranu kroz projektor)

Zadatak 1. Pronađite ugao C.

Slika 14

Problem 2. Pronađite ugao F.

Slika 15

Zadatak 3. Pronađite uglove K i N.

Slika 16

Zadatak 4. Pronađite uglove P i T.

Slika 17

Zadatak br. 223 (b, d) riješite sami.
Reši zadatak na tabli i u sveskama, učenik broj 224.
Pitanja: Može li trougao imati: a) dva prava ugla; b) dva tupa ugla; c) jedan pravi i jedan tup ugao.
(usmeno) Kartice na svakom stolu prikazuju različite trouglove. Odredite okom vrstu svakog trougla.

Slika 18

Pronađite zbir uglova 1, 2 i 3.

Slika 19

VIII. Sažetak lekcije.

Učitelj: Šta smo naučili? Da li je teorema primjenjiva na bilo koji trougao?

IX. Refleksija.

Recite mi kako ste raspoloženi, momci! WITH poleđina koristite trokut da opišete svoje izraze lica.

Slika 20

Zadaća: stav 30 (deo 1), pitanje 1 gl. IV strana 89 udžbenika; br. 223 (a, c), br. 225.