maliit at maganda simpleng gawain mula sa kategorya ng mga nagsisilbing lifeline para sa isang lumulutang na estudyante. Sa kalikasan, ang inaantok na kaharian ng kalagitnaan ng Hulyo, kaya oras na upang manirahan sa isang laptop sa beach. Maaga sa umaga, isang sunbeam ng teorya ang naglaro upang tumutok sa pagsasanay, na, sa kabila ng idineklara nitong liwanag, ay naglalaman ng mga fragment ng salamin sa buhangin. Kaugnay nito, inirerekumenda kong maingat na isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng pahinang ito. Upang malutas ang mga praktikal na gawain, kailangan mong magawa maghanap ng mga derivatives at unawain ang materyal ng artikulo Mga agwat ng monotonicity at extrema ng isang function.
Una, maikling tungkol sa pangunahing bagay. Sa isang aralin tungkol sa pagpapatuloy ng function Ibinigay ko ang kahulugan ng continuity sa isang punto at continuity sa isang interval. Ang huwarang pag-uugali ng isang function sa isang segment ay binuo sa katulad na paraan. Ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang segment kung:
1) ito ay tuloy-tuloy sa pagitan;
2) tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan at sa punto umalis.
Ang ikalawang talata ay tumatalakay sa tinatawag na unilateral na pagpapatuloy gumagana sa isang punto. Mayroong ilang mga diskarte sa kahulugan nito, ngunit mananatili ako sa linya na nagsimula nang mas maaga:
Ang function ay tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan, kung ito ay tinukoy sa isang partikular na punto at ang kanang-kamay na limitasyon ay tumutugma sa halaga ng function sa isang partikular na punto: 
. Ito ay tuloy-tuloy sa punto umalis, kung tinukoy sa isang partikular na punto at ang kaliwang limitasyon nito ay katumbas ng halaga sa puntong iyon: 
Imagine na berdeng tuldok- ito ang mga kuko kung saan naayos ang magic gum:
Sa isip, kunin ang pulang linya sa iyong mga kamay. Malinaw, gaano man kalayo natin iunat ang graph pataas at pababa (sa kahabaan ng axis), mananatili pa rin ang function limitado- isang hedge sa itaas, isang hedge sa ibaba, at ang aming produkto ay nanginginain sa isang paddock. kaya, ang isang function na tuloy-tuloy sa isang segment ay nakatali dito. Sa kurso ng mathematical analysis, ang tila simpleng katotohanang ito ay nakasaad at mahigpit na pinatunayan Ang unang teorama ni Weierstrass.… Maraming tao ang naiinis na ang mga elementarya na pahayag ay nakakapagod na pinatunayan sa matematika, ngunit ito ay may mahalagang kahulugan. Ipagpalagay na ang isang tiyak na naninirahan sa terry Middle Ages ay hinila ang graph sa kalangitan na lampas sa mga limitasyon ng visibility, ito ay ipinasok. Bago ang pag-imbento ng teleskopyo, ang limitadong pag-andar sa espasyo ay hindi halata! Sa katunayan, paano mo malalaman kung ano ang naghihintay sa atin sa kabila ng abot-tanaw? Pagkatapos ng lahat, sa sandaling ang Earth ay itinuturing na patag, kaya ngayon kahit na ang ordinaryong teleportasyon ay nangangailangan ng patunay =)
Ayon kay pangalawang Weierstrass theorem, tuloy-tuloy sa segmentumabot ang function nito eksaktong tuktok na gilid at ang kanyang eksaktong ilalim na gilid .
Tinatawag din ang numero ang maximum na halaga ng function sa segment at tinutukoy ng , at ang bilang - ang pinakamababang halaga ng function sa pagitan may markang .
Sa kaso natin: 
Tandaan
: sa teorya, ang mga rekord ay karaniwan 
.
Sa madaling salita, pinakamataas na halaga ay matatagpuan kung saan ang mataas na punto graphics, at ang pinakamaliit - kung saan ang pinakamababang punto.
Mahalaga! Gaya ng itinuro na sa artikulo sa extrema ng function, ang pinakamalaking halaga ng function At pinakamaliit na halaga mga function – IBA, Ano maximum na function At minimum na function. Kaya, sa halimbawang ito, ang numero ay ang minimum ng function, ngunit hindi ang pinakamababang halaga.
By the way, ano ang nangyayari sa labas ng segment? Oo, kahit ang baha, sa konteksto ng problemang isinasaalang-alang, hindi ito interesado sa amin. Ang gawain ay nagsasangkot lamang ng paghahanap ng dalawang numero 
at yun lang!
Bukod dito, ang solusyon ay purong analytical, samakatuwid, hindi na kailangang gumuhit!
Ang algorithm ay nasa ibabaw at nagmumungkahi ng sarili mula sa figure sa itaas:
1) Hanapin ang mga halaga ng function sa kritikal na puntos, na kabilang sa segment na ito.
Kumuha ng isa pang tinapay: hindi na kailangang suriin sapat na kondisyon extremum, dahil, tulad ng ipinakita, ang pagkakaroon ng isang minimum o maximum hindi pa garantisado ano ang pinakamababa o pinakamataas na halaga. Ang demonstration function ay umabot sa maximum nito at, ayon sa kalooban ng tadhana, ang parehong numero ay ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan . Ngunit, siyempre, ang gayong pagkakataon ay hindi palaging nagaganap.
Kaya, sa unang hakbang, mas mabilis at mas madaling kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment, nang hindi naaabala kung mayroon silang extrema o wala.
2) Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment.
3) Kabilang sa mga halaga ng function na matatagpuan sa ika-1 at ika-2 talata, pipiliin namin ang pinakamaliit at pinakamaraming malaking numero, isulat ang sagot.
Umupo kami sa baybayin ng asul na dagat at tumama sa mga takong sa mababaw na tubig:
Halimbawa 1
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang segment
Solusyon:
1) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito:
Kalkulahin natin ang halaga ng function sa pangalawang kritikal na punto:
2) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment: 
3) Ang mga "Bold" na resulta ay nakuha gamit ang mga exponential at logarithms, na makabuluhang nagpapalubha sa kanilang paghahambing. Para sa kadahilanang ito, aayusin namin ang aming sarili ng isang calculator o Excel at kalkulahin ang tinatayang mga halaga, hindi nakakalimutan na: 
Ngayon malinaw na ang lahat.
Sagot:
Fractional-rational na halimbawa para sa independiyenteng solusyon:
Halimbawa 6
Hanapin ang maximum at pinakamababang halaga mga function sa segment
Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakakawili-wili ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado nito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy ng pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay, kailangang lutasin ng isa ang problema ng pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa ilang interval X , na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain. Ang interval X mismo ay maaaring isang line segment, isang open interval 
, isang walang katapusang pagitan.
Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tahasang ibinigay na function ng isang variable y=f(x) .
Pag-navigate sa pahina.
Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.
Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.
Ang pinakamalaking halaga ng function 
, na para sa alinman 
totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.
Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga 
, na para sa alinman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.
Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na tinatanggap sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.
Mga nakatigil na puntos ay ang mga halaga ng argumento kung saan nawawala ang derivative ng function.
Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag hinahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ito na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang maximum (pinakamaliit) na halaga nito sa interval X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa interval na ito.
Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring kumuha ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.
Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga function sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal ng parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan - at marami ang magiging malinaw.
Sa segment
Sa unang figure, kinukuha ng function ang pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) values sa mga nakatigil na punto sa loob ng segment [-6;6] .
Isaalang-alang ang kaso na ipinakita sa pangalawang figure. Baguhin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking - sa isang punto na may abscissa na tumutugma sa kanang hangganan pagitan.
Sa figure No. 3, ang mga boundary point ng segment [-3; 2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Sa bukas na hanay
Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) na mga halaga sa mga nakatigil na punto sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).
Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.
Sa infinity
Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y ) sa isang nakatigil na punto na may x=1 abscissa, at ang pinakamaliit na halaga (min y ) ay naabot sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 .
Sa pagitan, hindi naaabot ng function ang alinman sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Dahil ang x=2 ay nasa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang tuwid na linya na x=2 ay isang vertical asymptote), at dahil ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 . Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.
Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa segment .
Nagsusulat kami ng algorithm na nagbibigay-daan sa aming mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
- Hinahanap namin ang domain ng function at tingnan kung naglalaman ito ng buong segment .
- Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay nangyayari sa mga function na may argumento sa ilalim ng module sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay pumunta sa susunod na punto.
- Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nahuhulog sa segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at piliin ang naaangkop na mga ugat. Kung walang mga nakatigil na punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay pumunta sa susunod na hakbang.
- Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang hinalaw ay hindi umiiral (kung mayroon man), at gayundin sa x=a at x=b .
- Mula sa nakuha na mga halaga ng function, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang nais na maximum at pinakamaliit na halaga ng function, ayon sa pagkakabanggit.
Suriin natin ang algorithm kapag nilulutas ang isang halimbawa para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
Halimbawa.
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function
- sa segment;
- sa pagitan [-4;-1] .
Solusyon.
Ang domain ng function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay, . Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.
Nahanap namin ang derivative ng function na may kinalaman sa: 
Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1] .
Ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2 . Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.
Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa isang nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1 , x=2 at x=4 : 
Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function 
ay naabot sa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga 
– sa x=2 .
Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto): 
Hayaan ang function y=f(X) tuloy-tuloy sa segment [ a, b]. Tulad ng nalalaman, ang naturang function ay umabot sa maximum at minimum na mga halaga sa pagitan na ito. Maaaring kunin ng function ang mga halagang ito alinman sa isang panloob na punto ng segment [ a, b], o sa hangganan ng segment.
Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa pagitan [ a, b] kailangan:
1) hanapin kritikal na puntos mga function sa pagitan ( a, b);
2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;
3) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment, iyon ay, para sa x=A at x = b;
4) mula sa lahat ng kinakalkula na mga halaga ng function, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.
Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function
sa segment.
Paghahanap ng mga kritikal na punto:
Ang mga puntong ito ay nasa loob ng segment; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
sa punto x= 3 at sa punto x= 0.
Pagsisiyasat ng isang function para sa convexity at isang inflection point.
Function y = f (x) tinawag matambok sa gitna (a, b) , kung ang graph nito ay nasa ilalim ng tangent na iginuhit sa anumang punto ng pagitan na ito, at tinatawag matambok pababa (malukong) kung ang graph nito ay nasa itaas ng tangent.
Ang punto sa paglipat kung saan ang convexity ay pinalitan ng concavity o vice versa ay tinatawag inflection point.
Algorithm para sa pag-aaral para sa convexity at inflection point:
1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang uri, iyon ay, ang mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero o wala.
2. Ilagay ang mga kritikal na punto sa linya ng numero, paghiwa-hiwalayin ito sa mga pagitan. Hanapin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat pagitan; kung , kung gayon ang function ay matambok pataas, kung, kung gayon ang function ay matambok pababa.
3. Kung, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto ng pangalawang uri, nagbabago ito ng tanda at sa puntong ito ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang puntong ito ay ang abscissa ng inflection point. Hanapin ang ordinate nito.
Asymptotes ng graph ng isang function. Pagsisiyasat ng isang function sa mga asymptotes.
Kahulugan. Ang asymptote ng graph ng isang function ay tinatawag tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa anumang punto ng graph hanggang sa linyang ito ay may posibilidad na maging zero na may walang limitasyong pag-alis ng graph point mula sa pinanggalingan.
May tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at hilig.
Kahulugan. Direktang tumawag patayong asymptote function graph y = f(x), kung kahit isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa puntong ito ay katumbas ng infinity, iyon ay
kung saan ang discontinuity point ng function, iyon ay, hindi ito kabilang sa domain ng kahulugan.
Halimbawa.
D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - breaking point.
Kahulugan. Diretso y=A tinawag pahalang na asymptote function graph y = f(x) sa , kung
Halimbawa.
|
x | |||
|
y |
Kahulugan. Diretso y=kx +b (k≠ 0) ay tinatawag pahilig na asymptote function graph y = f(x) saan
Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga pag-andar at paglalagay.
Algoritmo ng pananaliksik sa pag-andary = f(x) :
1. Hanapin ang domain ng function D (y).
2. Hanapin (kung maaari) ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes (na may x= 0 at sa y = 0).
3. Magsiyasat para sa pantay at kakaibang mga function ( y (‒ x) = y (x) ‒ pagkakapantay-pantay; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kakaiba).
4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.
5. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.
6. Hanapin ang extrema ng function.
7. Hanapin ang mga pagitan ng convexity (concavity) at inflection point ng graph ng function.
8. Batay sa isinagawang pananaliksik, bumuo ng graph ng function.
Halimbawa. Siyasatin ang function at i-plot ang graph nito.
1) D (y) =
x= 4 - breaking point.
2) Kailan x = 0,
(0; – 5) – punto ng intersection sa oy.
Sa y = 0,
3)
y(‒
x)=
function pangkalahatang pananaw(ni kahit na o kakaiba).
4) Nag-iimbestiga kami para sa mga asymptotes.
a) patayo
b) pahalang
c) maghanap ng mga pahilig na asymptotes kung saan
‒oblique asymptote equation
5) Sa equation na ito, hindi kinakailangang maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.
6)
Ang mga kritikal na puntong ito ay naghahati sa buong domain ng function sa pagitan (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) at (10; +∞). Ito ay maginhawa upang ipakita ang nakuha na mga resulta sa anyo ng sumusunod na talahanayan.
Mahal na mga kaibigan! Ang pangkat ng mga gawain na nauugnay sa derivative ay kinabibilangan ng mga gawain - sa kondisyon, ang graph ng function ay ibinigay, ilang mga punto sa graph na ito at ang tanong ay:
Sa anong punto ang halaga ng derivative ang pinakamalaki (pinakamaliit)?
Ulitin natin sandali:
Ang derivative sa punto ay katumbas ng slope ng padaplis na dumadaanang puntong ito sa graph.
Saang global coefficient ng tangent, sa turn, ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent na ito.
*Ito ay tumutukoy sa anggulo sa pagitan ng tangent at ng x-axis.
1. Sa mga pagitan ng pagtaas ng function, ang derivative ay may positibong halaga.
2. Sa mga pagitan ng pagbaba nito, ang derivative ay may negatibong halaga.
Isaalang-alang ang sumusunod na sketch:
Sa mga puntos na 1,2,4, ang derivative ng function ay may negatibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa mga nagpapababang pagitan.
Sa mga puntos na 3,5,6, ang derivative ng function ay may positibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa mga pagitan ng pagtaas.
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay malinaw sa halaga ng derivative, iyon ay, hindi mahirap matukoy kung anong senyales ang mayroon ito (positibo o negatibo) sa isang tiyak na punto sa graph.
Bukod dito, kung iisipin nating bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito, makikita natin na ang mga linya na dumadaan sa mga punto 3, 5 at 6 ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 °, at ang mga linya na dumadaan sa mga puntos 1, 2 at 4 na anyo na may oX axis, ang mga anggulo mula 90 o hanggang 180 o.
* Ang relasyon ay malinaw: ang mga tangent na dumadaan sa mga puntong kabilang sa mga pagitan ng pagtaas ng mga function ay nabuo sa oX axis matutulis na sulok, ang mga tangent na dumadaan sa mga puntong kabilang sa mga pagitan ng mga nagpapababang function ay bumubuo ng mga obtuse na anggulo na may oX axis.
Ngayon ang mahalagang tanong!
Paano nagbabago ang halaga ng derivative? Pagkatapos ng lahat, ang tangent sa iba't ibang mga punto sa graph tuluy-tuloy na pag-andar bumubuo ng iba't ibang anggulo, depende sa kung aling punto sa graph na dinadaanan nito.
*O, nagsasalita simpleng wika, ang tangent ay matatagpuan, kumbaga, "mas pahalang" o "higit na patayo". Tingnan mo:
Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 0 hanggang 90 o
Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 90 o hanggang 180 o
Kaya kung mayroong anumang mga katanungan:
- alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang halaga ng derivative ang may pinakamaliit na halaga?
- alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang halaga ng derivative ang may pinakamalaking halaga?
pagkatapos para sa sagot ay kinakailangan upang maunawaan kung paano ang halaga ng padaplis ng anggulo ng padaplis ay nagbabago sa hanay mula 0 hanggang 180 o.
* Gaya ng nabanggit na, ang halaga ng derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent sa x-axis.
Ang halaga ng tangent ay nagbabago tulad ng sumusunod:
Kapag ang slope ng tuwid na linya ay nagbabago mula 0 o hanggang 90 o, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ay ang derivative, ay nagbabago mula 0 hanggang +∞, ayon sa pagkakabanggit;
Kapag ang slope ng tuwid na linya ay nagbabago mula 90 o hanggang 180 o, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ay ang derivative, ay nagbabago nang naaayon -∞ hanggang 0.
Ito ay malinaw na makikita mula sa graph ng tangent function:
Sa simpleng termino:
Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tangent ay mula 0 o hanggang 90 o
Kung mas malapit ito sa 0 o, mas magiging malapit sa zero ang halaga ng derivative (sa positibong bahagi).
Kung mas malapit ang anggulo sa 90°, mas tataas ang halaga ng derivative patungo sa +∞.
Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tangent ay mula 90 o hanggang 180 o
Kapag mas malapit ito sa 90 o, mas bababa ang halaga ng derivative patungo sa –∞.
Kung mas malapit ang anggulo sa 180 o, mas malaki ang halaga ng derivative ay magiging malapit sa zero (sa negatibong bahagi).
317543. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at may markang puntos–2, –1, 1, 2. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative na pinakamalaki? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto -1 at 1) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga punto -2 at 2).
Maaari nating agad na tapusin na sa mga punto -1 at 1 ang derivative ay may negatibong halaga, sa mga puntos -2 at 2 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid, sa kasong ito kinakailangang pag-aralan ang mga puntos -2 at 2 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamalaking halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:
Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya a at ng abscissa axis ay magiging higit na halaga ang padaplis ng anggulo sa pagitan ng linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa puntong -2 ang magiging pinakamalaki.
Kami ang sasagot sunod na tanong: sa anong punto -2, -1, 1 o 2 ang halaga ng derivative ang pinakamalaking negatibo? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Ang derivative ay magkakaroon ng negatibong halaga sa mga puntong kabilang sa mga nagpapababang pagitan, kaya isaalang-alang ang mga punto -2 at 1. Buuin natin ang mga tangent na dumadaan sa kanila:
Nakikita natin yan mahinang anggulo sa pagitan ng linya b at ng axis oX ay "mas malapit" sa 180 O , kaya ang padaplis nito ay magiging mas malaki kaysa sa padaplis ng anggulo na nabuo ng tuwid na linya a at ng x-axis.
Kaya, sa puntong x = 1, ang halaga ng derivative ang magiging pinakamalaking negatibo.
317544. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at may markang puntos–2, –1, 1, 4. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto -1 at 4) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga punto -2 at 1).
Maaari nating tapusin kaagad na sa mga punto -1 at 4 ang derivative ay may negatibong halaga, sa mga puntos -2 at 1 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid, sa kasong ito, kinakailangan na pag-aralan ang mga puntos -1 at 4 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamaliit na halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:
Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng linya a at ng abscissa axis ay magiging mas malaki kaysa sa halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa puntong x = 4 ang magiging pinakamaliit.
Sagot: 4
Sana hindi kita na-“overload” sa dami ng naisulat. Sa katunayan, ang lahat ay napaka-simple, ang isa ay dapat lamang na maunawaan ang mga katangian ng hinalaw, nito geometriko na kahulugan at kung paano nagbabago ang halaga ng tangent ng anggulo mula 0 hanggang 180 o.
1. Una, tukuyin ang mga senyales ng derivative sa mga puntong ito (+ o -) at piliin ang mga kinakailangang puntos (depende sa tanong na ibinibigay).
2. Bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito.
3. Gamit ang tangesoid plot, markahan ng eskematiko ang mga sulok at ipakitaAlexander.
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.
Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?
Para dito sinusunod namin ang kilalang algorithm:
1 . Nakikita namin ang mga function ng ODZ.
2 . Paghahanap ng derivative ng isang function
3 . I-equate ang derivative sa zero
4 . Nahanap namin ang mga agwat kung saan pinapanatili ng derivative ang tanda nito, at mula sa kanila ay tinutukoy namin ang mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng function:
Kung sa pagitan ko ang derivative ng function na 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} tumataas sa pagitan na ito.
Kung sa pagitan ko ang derivative ng function , pagkatapos ay ang function bumababa sa pagitan na ito.
5 . Nahanap namin maximum at minimum na puntos ng function.
SA ang function na maximum point, ang derivative ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "-".
SA pinakamababang punto ng functionderivative na pagbabago sign mula "-" hanggang "+".
6 . Nahanap namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment,
- pagkatapos ay inihambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamataas na puntos, at piliin ang pinakamalaki sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamalaking halaga ng function
- o inihahambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamababang puntos, at piliin ang pinakamaliit sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function
Gayunpaman, depende sa kung paano kumikilos ang function sa pagitan, ang algorithm na ito ay maaaring makabuluhang bawasan.
Isaalang-alang ang function 
. Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:
Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Open Task Bank para sa
1 . Gawain B15 (#26695)
Sa hiwa.
1. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x
Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, at ang derivative ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x. Samakatuwid, ang function ay tumataas at tumatagal sa pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, iyon ay, sa x=0.
Sagot: 5.
2 . Gawain B15 (No. 26702)
Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function 
sa segment.
1.ODZ function title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Ang derivative ay zero sa , gayunpaman, sa mga puntong ito ay hindi ito nagbabago ng sign:
Samakatuwid, title="3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tumataas at kumukuha ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, sa .
Upang gawing malinaw kung bakit ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, binabago namin ang expression para sa derivative bilang mga sumusunod:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Sagot: 5.
3 . Gawain B15 (#26708)
Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.
1. ODZ functions: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Ilagay natin ang mga ugat ng equation na ito sa isang trigonometriko na bilog.
Ang pagitan ay naglalaman ng dalawang numero: at
Ilagay natin ang mga karatula. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa puntong x=0: 
. Kapag dumadaan sa mga punto at ang derivative na pagbabago sign.
Ilarawan natin ang pagbabago ng mga palatandaan ng derivative ng function sa linya ng coordinate:
Malinaw, ang punto ay isang minimum na punto (kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang "+"), at upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan, kailangan mong ihambing ang mga halaga ng function. sa pinakamababang punto at sa kaliwang dulo ng segment, .