Isaalang-alang ang isang arbitrary na tuwid na linya na dumadaan sa punto ng graph ng function - ang punto A (x 0, f (x 0)) at intersecting ang graph sa isang punto B(x; f(x )). Ang nasabing tuwid na linya (AB) ay tinatawag na secant. Mula sa ∆ABC: ​​AC = ∆ x; BC \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

Dahil AC || Ox , pagkatapos ay Р ALO = Р BAC = β (bilang naaayon sa parallel). PeroÐ Ang ALO ay ang anggulo ng pagkahilig ng secant AB sa positibong direksyon ng Ox axis. Ibig sabihin, tgβ = k - slope ng straight line AB.

Ngayon ay babawasan natin ang ∆x, i.e. ∆x→ 0. Sa kasong ito, lalapit ang point B sa point A ayon sa graph, at ang secant AB ay iikot. Ang paglilimita sa posisyon ng secant AB sa ∆х→ 0 ay magiging isang tuwid na linya ( a ), na tinatawag na tangent sa graph ng function na y = f(x) sa punto A.

Kung pumasa tayo sa limitasyon bilang ∆х → 0 sa pagkakapantay-pantay tg β =∆ y /∆ x , pagkatapos ay nakukuha natin

o tg a \u003d f "(x 0), mula noon
a - anggulo ng inclination ng tangent sa positibong direksyon ng Ox axis

, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang derivative. Ngunit tg a = k ay ang slope ng tangent, kaya k = tg a \u003d f "(x 0).

Kaya, ang geometric na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod:

Ang derivative ng function sa puntong x 0 ay katumbas ng slope padaplis sa graph ng function na iginuhit sa puntong may abscissa x 0 .

Ang pisikal na kahulugan ng derivative.

Isaalang-alang ang paggalaw ng isang punto sa isang tuwid na linya. Hayaang ibigay ang coordinate ng punto sa anumang sandali ng oras x(t ). Ito ay kilala (mula sa kurso ng pisika) na ang average na bilis sa loob ng isang yugto ng panahon [ t0; t0 + ∆t ] ay katumbas ng ratio ng distansyang nilakbay sa panahong ito hanggang sa oras, i.e.

Vav = ∆x /∆t . Ipasa natin ang limitasyon sa huling pagkakapantay-pantay bilang ∆ t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - agarang bilis sa oras t 0 , ∆t → 0.

at lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (sa pamamagitan ng kahulugan ng isang derivative).

Kaya, n(t) = x "(t).

Ang pisikal na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod: ang derivative ng function y = f( x) sa puntox 0 ay ang rate ng pagbabago ng function f(x) sa puntox 0

Ang derivative ay ginagamit sa physics upang mahanap ang bilis mula sa isang kilalang function ng mga coordinate mula sa oras, acceleration mula sa isang kilalang function ng bilis mula sa oras.

u (t) \u003d x "(t) - bilis,

a(f) = n "(t ) - acceleration, o

a (t) \u003d x "(t).

Kung alam ang batas ng paggalaw materyal na punto kasama ang isang bilog, pagkatapos ay makikita mo ang angular velocity at angular acceleration sa panahon ng rotational motion:

φ = φ (t ) - pagbabago ng anggulo mula sa oras,

ω = φ "(t ) - angular na bilis,

ε = φ "(t ) - angular acceleration, oε \u003d φ "(t).

Kung ang batas ng pamamahagi para sa masa ng isang hindi magkakatulad na baras ay kilala, kung gayon ang linear na density ng hindi magkakatulad na baras ay matatagpuan:

m \u003d m (x) - masa,

x н , l - haba ng baras,

p = m "(x) - linear density.

Sa tulong ng derivative, malulutas ang mga problema mula sa teorya ng elasticity at harmonic vibrations. Oo, ayon sa batas ni Hooke

F = - kx , x - variable na coordinate, k - koepisyent ng pagkalastiko ng tagsibol. Paglalagayω 2 = k / m , nakuha namin ang differential equation ng spring pendulum x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

kung saan ω = √k /√m dalas ng oscillation ( l/c ), k - paninigas ng tagsibol ( H/m).

Isang equation ng anyong y" +ω 2 y Ang = 0 ay tinatawag na equation ng harmonic oscillations (mechanical, electrical, electromagnetic). Ang solusyon ng naturang mga equation ay ang function

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) o y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), kung saan

A ay ang amplitude ng oscillations,ω - cyclic frequency,

φ 0 - unang bahagi.

Layunin ng Aralin:

Pang-edukasyon:

• Upang lumikha ng mga kondisyon para sa makabuluhang asimilasyon ng mga mag-aaral ng pisikal na kahulugan ng derivative.
• Mag-ambag sa pagbuo ng mga kasanayan at kakayahan praktikal na gamit derivative para sa paglutas ng iba't ibang pisikal na problema.

Pagbuo:

• Upang itaguyod ang pag-unlad ng mga abot-tanaw sa matematika, interes ng nagbibigay-malay sa mga mag-aaral sa pamamagitan ng pagsisiwalat ng praktikal na pangangailangan at teoretikal na kahalagahan ng paksa.
• Magbigay ng mga kondisyon para sa pagpapabuti ng mga kasanayan sa pag-iisip ng mga mag-aaral: ihambing, pag-aralan, gawing pangkalahatan.

Pang-edukasyon:

• Isulong ang interes sa matematika.

Uri ng aralin: Isang aral sa pag-master ng bagong kaalaman.

Mga anyo ng trabaho: pangharap, indibidwal, pangkat.

Kagamitan: Computer, interactive na whiteboard, presentasyon, aklat-aralin.

Istraktura ng aralin:

1. Oras ng pag-aayos pagtatakda ng layunin ng aralin
2. Pag-aaral ng bagong materyal
3. Pangunahing pag-aayos ng bagong materyal
4. Pansariling gawain
5. Buod ng aralin. Pagninilay.

Sa panahon ng mga klase

ako. Sandali ng organisasyon, pagtatakda ng layunin ng aralin (2 min.)

II. Pag-aaral ng bagong materyal (10 min.)

Guro: Sa nakaraang mga aralin, nakilala namin ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga derivatives, natutunan kung paano maghanap ng mga derivatives ng isang linear, kapangyarihan, trigonometriko function. Natutunan namin kung ano ang geometric na kahulugan ng derivative. Ngayon sa aralin ay malalaman natin kung saan inilalapat ang konseptong ito sa pisika.

Para dito, naaalala natin ang kahulugan ng derivative (Slide 2)

Ngayon ay bumaling tayo sa kurso ng pisika (Slide 3)

Tinatalakay at tandaan ng mga mag-aaral mga pisikal na konsepto at mga formula.

Hayaang gumalaw ang katawan ayon sa batas S(t)=f(t) Isaalang-alang ang landas na dinaanan ng katawan sa panahon mula t 0 hanggang t 0 + Δ t, kung saan ang Δt ay ang pagtaas ng argumento. Sa sandali ng oras t 0 ang katawan ay dumaan sa landas S(t 0), sa sandaling t 0 +Δt - ang landas S(t 0 +Δt). Samakatuwid, sa panahon ng Δt, ang katawan ay naglakbay sa landas na S(t 0 +Δt) –S(t 0), i.e. nakakuha kami ng isang pagtaas ng function. average na bilis galaw ng katawan sa panahong ito υ==

Ang mas maikli ang agwat ng oras t, mas tumpak na malalaman natin kung anong bilis ang paggalaw ng katawan sa sandaling t. Kung hayaan ang t → 0, makuha natin ang madalian na bilis - ang numerical na halaga ng bilis sa sandaling t ng paggalaw na ito.

υ= , sa Δt→0 ang bilis ay ang derivative ng distansya na may paggalang sa oras.

slide 4

Alalahanin ang kahulugan ng acceleration.

Sa paglalapat ng materyal sa itaas, maaari nating tapusin na sa t a(t)= υ’(t) ang acceleration ay ang derivative ng bilis.

Dagdag pa, lumalabas sa interactive na whiteboard ang mga formula para sa kasalukuyang lakas, angular velocity, EMF, atbp. Kinukumpleto ng mga mag-aaral ang agarang halaga ng data pisikal na dami sa pamamagitan ng konsepto ng derivative. (Kung walang interactive na whiteboard, gamitin ang presentasyon)

Mga slide 5-8

Ang konklusyon ay ginawa ng mga mag-aaral.

Konklusyon:(Slide 9) Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng function. (Mga function ng path, coordinate, bilis, magnetic flux, atbp.)

υ (x) \u003d f '(x)

Guro: Nakikita namin na ang koneksyon sa pagitan ng mga quantitative na katangian ng pinaka magkakaibang mga proseso na pinag-aralan ng pisika, teknikal na agham, kimika ay katulad ng koneksyon sa pagitan ng landas at bilis. Maaari kang magbigay ng maraming mga problema, para sa solusyon kung saan kinakailangan din upang mahanap ang rate ng pagbabago ng isang tiyak na function, halimbawa: paghahanap ng konsentrasyon ng isang solusyon sa isang tiyak na sandali, paghahanap ng daloy ng rate ng isang likido, ang angular velocity ng isang katawan, ang linear density sa isang punto, atbp. Lutasin natin ngayon ang ilan sa mga problemang ito.

III. Pagsasama-sama ng nakuhang kaalaman (magtrabaho sa mga pangkat) (15 min.)

Sa kasunod na pagsusuri sa pisara

Bago lutasin ang mga problema, linawin ang mga yunit ng pagsukat ng mga pisikal na dami.

Bilis - [m/s]
Pagpapabilis - [m / s 2]
Lakas - [N]
Enerhiya - [J]

Gawain 1 pangkat

Ang punto ay gumagalaw ayon sa batas s(t)=2t³-3t (s ay ang distansya sa metro, t ay ang oras sa segundo). Kalkulahin ang bilis ng punto, ang acceleration nito sa oras na 2s

Gawain 2 pangkat

Ang flywheel ay umiikot sa paligid ng axis ayon sa batas φ(t)= t 4 -5t. Hanapin ang angular velocity nito ω sa oras na 2s (φ ay ang anggulo ng pag-ikot sa radians, ω ay ang angular velocity rad/s)

Gawain 3 pangkat

Ang isang katawan na may mass na 2 kg ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ayon sa batas x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Hanapin ang bilis ng katawan at ang kinetic energy nito 3 segundo pagkatapos ng pagsisimula ng paggalaw. Anong puwersa ang kumikilos sa katawan sa sandaling ito? (t ay sinusukat sa segundo, x ay sa metro)

Gawain 4

Dot Commits mga oscillatory na paggalaw ayon sa batas x(t)=2sin3t. Patunayan na ang acceleration ay proporsyonal sa x-coordinate.

IV. Malayang solusyon ng mga problema No. 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov et al. "Algebra at ang simula ng mga grado ng pagsusuri 10-11"] 12 min

Ibinigay:	Solusyon:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Sagot: t=6c; υ(6)= 18m/s

Ang derivative ng function na f (x) sa puntong x0 ay ang limitasyon (kung mayroon) ng ratio ng pagtaas ng function sa puntong x0 hanggang sa pagtaas ng argumento Δx, kung ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero at ipinapahiwatig ng f '(x0). Ang aksyon ng paghahanap ng derivative ng isang function ay tinatawag na differentiation.
Ang derivative ng function ay may pisikal na kahulugan: derivative ng isang function sa isang naibigay na punto - ang rate ng pagbabago ng function sa isang naibigay na punto.

Ang geometric na kahulugan ng derivative. Ang derivative sa puntong x0 ay katumbas ng slope ng tangent sa graph ng function na y=f(x) sa puntong ito.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative. Kung ang isang punto ay gumagalaw sa kahabaan ng x-axis at ang coordinate nito ay nagbabago ayon sa x(t) na batas, kung gayon ang agarang bilis ng punto:

Ang konsepto ng isang kaugalian, ang mga katangian nito. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Mga halimbawa.

Kahulugan. Ang differential ng isang function sa ilang punto x ay ang pangunahing, linear na bahagi ng increment ng function. Ang differential ng function na y = f(x) ay katumbas ng produkto ng derivative nito at ang increment ng independent variable x ( argumento).

Ito ay nakasulat tulad nito:

o

O kaya


Mga Katangiang Pagkakaiba
Ang kaugalian ay may mga katangian na katulad ng sa hinalaw:





SA pangunahing mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan isama ang:
1) pagkuha ng pare-pareho ang kadahilanan sa labas ng tanda ng hinalaw
2) derivative ng kabuuan, derivative ng pagkakaiba
3) derivative ng produkto ng mga function
4) derivative ng isang quotient ng dalawang function (derivative ng isang fraction)

Mga halimbawa.
Patunayan natin ang formula: Sa kahulugan ng derivative, mayroon tayong:

Ang isang di-makatwirang kadahilanan ay maaaring alisin mula sa tanda ng daanan sa limitasyon (ito ay kilala mula sa mga katangian ng limitasyon), samakatuwid

Halimbawa: Hanapin ang derivative ng isang function
Solusyon: Ginagamit namin ang panuntunan ng pagkuha ng multiplier mula sa tanda ng derivative :

Kadalasan, kailangan mo munang gawing simple ang anyo ng isang naiba-iba na function upang magamit ang talahanayan ng mga derivative at ang mga panuntunan para sa paghahanap ng mga derivative. Ang mga sumusunod na halimbawa ay malinaw na nagpapatunay nito.

Mga formula ng pagkita ng kaibhan. Application ng differential sa tinatayang mga kalkulasyon. Mga halimbawa.

Ang paggamit ng differential sa tinatayang mga kalkulasyon ay nagbibigay-daan sa paggamit ng differential para sa tinatayang mga kalkulasyon ng mga value ng function.
Mga halimbawa.
Gamit ang differential, kalkulahin ang humigit-kumulang
Upang makalkula binigay na halaga ilapat ang pormula mula sa teorya
Ipakilala natin ang isang function at kinakatawan ang ibinigay na halaga sa form
pagkatapos Kalkulahin

Ang pagpapalit ng lahat sa formula, nakuha namin sa wakas
Sagot:

16. Panuntunan ng L'Hopital para sa pagsisiwalat ng mga kawalan ng katiyakan ng form na 0/0 O ∞/∞. Mga halimbawa.
Ang limitasyon ng ratio ng dalawang infinitesimal o dalawang infinitely large quantities ay katumbas ng limitasyon ng ratio ng kanilang mga derivatives.

1)

17. Pagtaas at pagbaba ng function. extremum ng function. Algorithm para sa pag-aaral ng isang function para sa monotonicity at extremum. Mga halimbawa.

Function nadadagdagan sa isang agwat kung para sa alinmang dalawang punto ng agwat na ito na nauugnay sa kaugnayan , ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Yan ay, mas malaking halaga Ang argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa ibaba hanggang sa itaas". Ang demo function ay lumalaki sa pagitan

Gayundin, ang pag-andar bumababa sa isang agwat kung para sa alinmang dalawang punto ng ibinigay na agwat, na ang , ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Iyon ay, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa itaas hanggang sa ibaba". Ang sa amin ay bumababa sa mga agwat ay bumababa sa mga agwat .

Extremes Ang punto ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na y=f(x) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan nito. Ang halaga ng function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum na function at tukuyin ang .
Ang punto ay tinatawag na pinakamababang punto ng function na y=f(x) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan nito. Ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag minimum na function at tukuyin ang .
Ang kapitbahayan ng isang punto ay nauunawaan bilang ang pagitan , kung saan may sapat na maliit na positibong numero.
Ang minimum at maximum na mga puntos ay tinatawag na mga extremum point, at ang mga halaga ng function na tumutugma sa mga extremum na mga puntos ay tinatawag na function extrema.

Upang galugarin ang isang function para sa monotony gamitin ang sumusunod na diagram:
- Hanapin ang saklaw ng function;
- Hanapin ang derivative ng function at ang domain ng derivative;
- Hanapin ang mga zero ng derivative, i.e. ang halaga ng argumento kung saan ang derivative ay katumbas ng zero;
- Markahan sa linya ng numero pangkalahatang bahagi ang domain ng function at ang domain ng derivative nito, at dito - ang mga zero ng derivative;
- Tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa bawat isa sa mga nakuhang pagitan;
- Sa pamamagitan ng mga senyales ng derivative, tukuyin kung aling mga pagitan ang tataas ng function at kung saan ito bumababa;
- Itala ang naaangkop na mga puwang na pinaghihiwalay ng mga semicolon.

Algoritmo ng pananaliksik tuluy-tuloy na pag-andar y = f(x) para sa monotonicity at extrema:
1) Hanapin ang derivative f ′(x).
2) Maghanap ng mga nakatigil (f ′(x) = 0) at kritikal (wala ang f ′(x)) na mga punto ng function na y = f(x).
3) Markahan ang nakatigil at kritikal na puntos sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa mga nagresultang pagitan.
4) Gumawa ng mga konklusyon tungkol sa monotonicity ng function at ang mga extremum point nito.

18. Convexity ng isang function. Mga inflection point. Algorithm para sa pagsusuri ng isang function para sa convexity (Concavity) Mga Halimbawa.

matambok pababa sa X interval, kung ang graph nito ay matatagpuan hindi mas mababa sa tangent dito sa anumang punto ng X interval.

Tinatawag ang differentiable function matambok sa X interval, kung ang graph nito ay hindi mas mataas kaysa sa tangent dito sa anumang punto ng X interval.

Ang point formula ay tinatawag graph inflection point function y \u003d f (x), kung sa isang naibigay na punto ay may tangent sa graph ng function (maaari itong maging parallel sa Oy axis) at mayroong isang kapitbahayan ng point formula, kung saan ang graph ng ang function ay may iba't ibang direksyon ng convexity sa kaliwa at sa kanan ng point M.

Paghahanap ng mga pagitan para sa convexity:

Kung ang function na y=f(x) ay may finite second derivative sa interval X at kung ang hindi pagkakapantay-pantay (), pagkatapos ang graph ng function ay may convexity na nakadirekta pababa (pataas) sa X.
Ang theorem na ito ay nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng mga pagitan ng concavity at convexity ng isang function, kailangan mo lamang na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit, sa domain ng kahulugan ng orihinal na function.

Halimbawa: Alamin ang mga pagitan kung saan ang graph ng functionAlamin ang mga pagitan kung saan ang graph ng function may convexity na nakadirekta paitaas at may convexity na nakadirekta pababa. may convexity na nakadirekta paitaas at may convexity na nakadirekta pababa.
Solusyon: Ang domain ng function na ito ay ang buong hanay ng mga tunay na numero.
Hanapin natin ang pangalawang derivative.

Ang domain ng kahulugan ng pangalawang derivative ay tumutugma sa domain ng kahulugan ng orihinal na pag-andar, samakatuwid, upang malaman ang mga pagitan ng concavity at convexity, sapat na upang malutas at ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, ang function ay pababang matambok sa interval formula at paitaas na convex sa interval formula.

19) Asymptotes ng isang function. Mga halimbawa.

Direktang tumawag patayong asymptote graph ng function kung kahit isa sa limitahan ang mga halaga o katumbas ng o .

Magkomento. Ang linya ay hindi maaaring maging isang patayong asymptote kung ang function ay tuloy-tuloy sa . Samakatuwid, ang mga patayong asymptote ay dapat hanapin sa mga discontinuity point ng function.

Direktang tumawag pahalang na asymptote graph ng function kung hindi bababa sa isa sa mga halaga ng limitasyon o katumbas ng .

Magkomento. Ang isang function graph ay maaari lamang magkaroon ng isang kanang pahalang na asymptote o isang kaliwa lamang.

Direktang tumawag pahilig na asymptote graph ng function kung

HALIMBAWA:

Mag-ehersisyo. Maghanap ng mga asymptotes ng graph ng isang function

Solusyon. Saklaw ng function:

a) vertical asymptotes: ang isang tuwid na linya ay isang vertical asymptote, dahil

b) mga pahalang na asymptotes: nakita namin ang limitasyon ng pag-andar sa infinity:

iyon ay, walang mga pahalang na asymptotes.

c) oblique asymptotes:

Kaya, ang oblique asymptote ay: .

Sagot. Ang patayong asymptote ay isang tuwid na linya.

Ang pahilig na asymptote ay isang tuwid na linya.

20) Pangkalahatang pamamaraan pag-aaral ng function at pag-plot. Halimbawa.

a.
Hanapin ang ODZ at mga breakpoint ng function.

b. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may coordinate axes.

2. Magsagawa ng pag-aaral ng function gamit ang unang derivative, iyon ay, hanapin ang extremum point ng function at ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba.

3. Siyasatin ang function gamit ang second-order derivative, iyon ay, hanapin ang mga inflection point ng function graph at ang mga pagitan ng convexity at concavity nito.

4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function: a) patayo, b) pahilig.

5. Sa batayan ng pag-aaral, bumuo ng isang graph ng function.

Tandaan na bago mag-plot ng graph, kapaki-pakinabang na itatag kung ibinigay na function pantay o kakaiba.

Alalahanin na ang isang function ay tinatawag kahit na ang halaga ng function ay hindi nagbabago kapag ang tanda ng argument ay nagbago: f(-x) = f(x) at ang isang function ay tinatawag na kakaiba kung f(-x) = -f(x).

Sa kasong ito, sapat na upang pag-aralan ang function at bumuo ng graph nito para sa mga positibong halaga ng argumento na kabilang sa ODZ. Sa mga negatibong halaga ng argumento, ang graph ay nakumpleto batay sa para sa kahit function ito ay simetriko tungkol sa axis Oy, at para sa kakaiba tungkol sa pinagmulan.

Mga halimbawa. Galugarin ang mga function at buuin ang kanilang mga graph.

Saklaw ng pag-andar D(y)= (–∞; +∞). Walang mga break point.

Axis intersection baka: x = 0,y= 0.

Ang pag-andar ay kakaiba, samakatuwid, maaari lamang itong siyasatin sa pagitan )