Πόλεμοι και αίμα. Φαίνεται ότι δεν θα μπορούσε να γίνει λόγος για καμία επιστήμη αυτή τη στιγμή. Κι όμως, δύο μεγαλύτερες ανακαλύψειςέρχονται σε μας από αυτήν την εποχή - αραβικοί αριθμοί και η ακολουθία Fibonacci. Υπήρχαν φυσικά και άλλοι επιστημονικές ανακαλύψεις, αλλά τώρα δεν θα μιλήσουμε για αυτούς.
Αφήνοντας κατά μέρος την ιστορία των αραβικών αριθμών, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην ακολουθία Fibonacci - τι είναι και γιατί είναι τόσο διάσημη. Στην πραγματικότητα, η ακολουθία Fibonacci είναι μια σειρά αριθμών στους οποίους ο υψηλότερος όρος της ακολουθίας είναι ίσος με το άθροισμα των δύο πλησιέστερων χαμηλών όρων της ακολουθίας. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών θα λάβετε τους ακόλουθους αριθμούς:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21, κλπ.
Ονομάζονται και μαζί σχηματίζουν τη σειρά Fibonacci. Αλλά το θέμα δεν είναι καν στους ίδιους τους αριθμούς, αλλά στις μεταξύ τους σχέσεις. Έτσι, η αναλογία ενός αριθμού σε μια ακολουθία προς το προηγούμενο μέλος της ακολουθίας έχει ως αποτέλεσμα μια τιμή κοντά στο 1,618. Και όσο μεγαλύτεροι είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για αυτή την αναλογία, τόσο ακριβέστερα παρατηρείται αυτή η τιμή.
Σε άλλους, όχι λιγότερο ενδιαφέρον γεγονός, που έχει η ακολουθία Fibonacci, είναι ο λόγος του προηγούμενου όρου προς τον επόμενο. Ο λόγος αυτός πλησιάζει το 0,618 και είναι το αντίστροφο του 1,618.
Εάν πάρουμε την αναλογία άλλων αριθμών από την ακολουθία Fibonacci, όχι τους πλησιέστερους, αλλά, για παράδειγμα, μέσω ενός ή μέσω δύο, τότε το αποτέλεσμα θα είναι διαφορετικές τιμές: για τα μέλη της ακολουθίας που λαμβάνονται μέσω ενός, ο αριθμός θα είναι τείνει στα 2.618. Κατά τον υπολογισμό της αναλογίας της ανώτερης θητείας προς την κατώτερη θητεία μέσω δύο όρων της ακολουθίας, το αποτέλεσμα θα τείνει στο 4,236. Εάν θεωρήσουμε, χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή, τη σχέση των κατώτερων μελών της ακολουθίας με τα ανώτερα (μέσω ενός ή δύο μελών), τότε θα ληφθούν οι αντίστροφες τιμές των αριθμών που έχουν ήδη ληφθεί: 0,382 (η αμοιβαία τιμή του αριθμού 2.618), το επόμενο - 0.236 (η αμοιβαία τιμή 4.236) και ούτω καθεξής.
Με την πρώτη ματιά, όλα αυτά είναι απλώς περίεργες πληροφορίες, ένα παιχνίδι αριθμών που δεν έχει πρακτική εφαρμογή. Ωστόσο, αυτό δεν είναι καθόλου αλήθεια. Στην τεχνολογία, την τέχνη και την αρχιτεκτονική, υπάρχει η έννοια της χρυσής τομής. Είναι η σχέση μεταξύ των μερών ενός αντικειμένου, δημιουργώντας την πιο αρμονική αντίληψη του αντικειμένου στο σύνολό του. Πολύ συχνά, οι καλλιτέχνες και οι αρχιτέκτονες χρησιμοποιούν τη χρυσή τομή για να επιτύχουν την εντύπωση της αρμονίας από τους πίνακες και τις κατασκευές τους. Οι φωτογράφοι συνιστούν τη χρήση αυτής της ίδιας αναλογίας κατά τη σύνθεση ενός καρέ. Ένας από τους κανόνες είναι: να λαμβάνεις ωραία φωτογραφίαχωρίστε το πλαίσιο σε τρία μέρη και τοποθετήστε το κέντρο της σύνθεσης στη διασταύρωση του κατακόρυφου και οριζόντιες γραμμές, που αποτελούν τα 2/3 του οριζόντιου και κατακόρυφου πλαισίου. Το A είναι ένας από τους λόγους Fibonacci - 1,618. Αυτή η σχέση των μερών και του συνόλου είναι που θα εξασφαλίσει την πιο αρμονική αντίληψη. Έτσι, η ακολουθία Fibonacci δεν χρησιμεύει μόνο ως παιχνίδι του νου, αλλά είναι επίσης κυριολεκτικά το θεμέλιο πάνω στο οποίο στέκεται η αρμονία και η ομορφιά της αντίληψης του γύρω κόσμου.
Οι αναλογίες Fibonacci ισχύουν και στη ζωντανή φύση. Μπορούν να αφορούν ποικίλους τομείς. Έτσι, ένα κέλυφος σαλιγκαριού, που έχει σχήμα σπείρας, υπακούει επίσης στις αναλογίες Fibonacci. Η ανάπτυξη των φυτών, ο αριθμός των κλαδιών, των φύλλων και η θέση τους συχνά διατάσσονται σύμφωνα με τους αριθμούς και τους συντελεστές Fibonacci.
Λοιπόν, η πιο διάσημη χρήση των αριθμών Fibonacci είναι στις συναλλαγές σε χρηματοπιστωτικές αγορές. Στην πρακτική των εμπόρων, χρησιμοποιούνται τόσο οι αριθμοί που συνθέτουν την ακολουθία Fibonacci όσο και οι λόγοι Fibonacci. Αυτοί οι συντελεστές χρησιμοποιούνται για τον προγραμματισμό σημαντικών επιπέδων στα οποία μπορούν να αναμένονται αλλαγές στη συμπεριφορά των τιμών.
Εκτός από το straight Fibonacci, υπάρχουν πολλές άλλες μέθοδοι συναλλαγών που δημιουργήθηκαν χρησιμοποιώντας αυτές. Αυτές περιλαμβάνουν γραμμές Fibonacci, ζώνες Fibonacci, προβολές Fibonacci κ.λπ. Αυτό βοηθά τους εμπόρους να προβλέψουν τη συμπεριφορά της αγοράς και να προετοιμαστούν εκ των προτέρων πιθανές αλλαγέςσυμπεριφορά τιμών και προγραμματίστε τις συναλλαγές σας.
Όλα τα παραπάνω δεν καλύπτουν όλες τις εκδηλώσεις της επιρροής των αριθμών και της ακολουθίας Fibonacci στην επιστήμη, την τεχνολογία και την τέχνη, αλλά δίνουν μια ιδέα για το τι είναι - την ακολουθία Fibonacci.
Ο Fibonacci Leonardo of Pisa (lat. Leonardo Pisano, Pisa, περίπου 1170 - περίπου 1250) είναι ο πρώτος μεγάλος μαθηματικός μεσαιωνική Ευρώπη. Πιο γνωστός με το ψευδώνυμο Fibonacci, που μεταφράζεται από τα ιταλικά σημαίνει " καλός γιόςγεννήθηκε» (Figlio Buono Nato Ci).
Λίγα είναι γνωστά για την ύπαρξη του Fibonacci. Ακόμη και η ακριβής ημερομηνία γέννησής του είναι άγνωστη. Ο Φιμπονάτσι πιστεύεται ότι γεννήθηκε το 1170
Ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι ήταν διάσημος Ιταλός μαθηματικός, ήταν διάσημος για την ικανότητά του να κάνει υπολογισμούς. Μια μέρα το ξημέρωσε και ανακάλυψε μια απλή ακολουθία αριθμών, οι σχέσεις μεταξύ των οποίων περιέγραφαν τις φυσικές αναλογίες όλων των σωμάτων στο σύμπαν!
Ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι ήταν ένας εξαιρετικός μαθηματικός του Μεσαίωνα. Οι καρποί των μαθηματικών του κόπων χρησιμοποιούνται σε πολλές επιστήμες, τέχνες και Καθημερινή ζωήμέχρι σήμερα.
Η αξία του Leonardo Fibonacci είναι η σειρά των αριθμών Fibonacci. Πιστεύεται ότι αυτή η σειρά ήταν γνωστή στην Ανατολή, αλλά ήταν ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι που δημοσίευσε αυτή τη σειρά αριθμών στο βιβλίο "Liber Abaci" (αυτό το έκανε για να αποδείξει την αναπαραγωγή του πληθυσμού των κουνελιών).
Ο Elliott έγραψε: «Ο νόμος της φύσης περιλαμβάνει υπόψη το πιο σημαντικό στοιχείο - τον ρυθμό. Ο νόμος της φύσης δεν είναι ένα συγκεκριμένο σύστημα, δεν είναι μια μέθοδος παιχνιδιού στην αγορά, αλλά ένα φαινόμενο χαρακτηριστικό, προφανώς, της πορείας οποιουδήποτε ανθρώπινη δραστηριότητα. Η εφαρμογή του στις προβλέψεις είναι επαναστατική».
Αυτή η ευκαιρία να προβλέψουμε τις κινήσεις των τιμών κρατά τις λεγεώνες των αναλυτών να εργάζονται μέρα και νύχτα. Θα εστιάσουμε στην ικανότητα να κάνουμε προβλέψεις και θα προσπαθήσουμε να μάθουμε αν είναι δυνατό ή όχι. Παρουσιάζοντας την προσέγγισή του, ο Έλιοτ ήταν πολύ συγκεκριμένος. Έγραψε: «Οποιαδήποτε ανθρώπινη δραστηριότητα χαρακτηρίζεται από τρία χαρακτηριστικά γνωρίσματα: μορφή, χρόνος και σχέση - και όλα υπακούουν στην αθροιστική ακολουθία Fibonacci."
Η ακολουθία Φιμπονάτσι, γνωστή σε όλους από την ταινία «Ο Κώδικας Ντα Βίντσι», είναι μια σειρά αριθμών που περιγράφονται με τη μορφή ενός γρίφου από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο της Πίζας, πιο γνωστό ως Φιμπονάτσι, τον 13ο αιώνα. Συνοπτικά η ουσία του γρίφου:
Κάποιος τοποθέτησε ένα ζευγάρι κουνέλια σε ένα συγκεκριμένο κλειστό χώρο για να μάθει πόσα ζευγάρια κουνελιών θα γεννιούνταν κατά τη διάρκεια του έτους, εάν η φύση των κουνελιών είναι τέτοια που κάθε μήνα ένα ζευγάρι κουνελιών γεννά ένα άλλο ζευγάρι και γίνονται ικανά την παραγωγή απογόνων όταν φτάσουν στην ηλικία των δύο μηνών.
Αναλογιζόμενος αυτό το θέμα, ο Fibonacci κατασκεύασε την ακόλουθη σειρά αριθμών.
Μια σειρά αριθμών 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, κ.λπ. γνωστή ως σειρά Fibonacci. Η ιδιαιτερότητα της ακολουθίας των αριθμών είναι ότι κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων 2 + 3 = 5. 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, κ.λπ., και η αναλογία των διπλανών αριθμών στη σειρά πλησιάζει την αναλογία της χρυσής διαίρεσης. Άρα, 21: 34 = 0,617 και 34: 55 = 0,618. Αυτή η αναλογία συμβολίζεται με το σύμβολο F. Μόνο αυτή η αναλογία - 0,618: 0,382 - δίνει μια συνεχή διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος στη χρυσή αναλογία, αυξάνοντάς το ή μειώνοντάς το στο άπειρο, όταν το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο ως το μεγαλύτερο είναι σε όλα.
Ο Fibonacci ασχολήθηκε επίσης με τις πρακτικές ανάγκες του εμπορίου: ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός βαρών που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη ζύγιση ενός προϊόντος; Ο Fibonacci αποδεικνύει ότι το βέλτιστο σύστημα βαρών είναι: 1, 2, 4, 8, 16...
Αυτή η ακολουθία έχει μια σειρά από μαθηματικά χαρακτηριστικά που πρέπει οπωσδήποτε να αγγίξουμε. Αυτή η ακολουθία ασυμπτωτικά (προσεγγίζει όλο και πιο αργά) τείνει σε κάποια σταθερή σχέση. Ωστόσο, αυτός ο λόγος είναι παράλογος, είναι δηλαδή ένας αριθμός με άπειρη, απρόβλεπτη ακολουθία δεκαδικών ψηφίων στο κλασματικό μέρος. Είναι αδύνατο να το εκφράσω με ακρίβεια.
Έτσι, η αναλογία οποιουδήποτε μέλους της ακολουθίας προς αυτό που προηγείται κυμαίνεται γύρω από τον αριθμό 1,618, άλλοτε τον υπερβαίνει, άλλοτε δεν τον φτάνει. Η αναλογία προς την επόμενη προσεγγίζει ομοίως τον αριθμό 0,618, ο οποίος είναι αντιστρόφως ανάλογος του 1,618. Αν διαιρέσουμε τα στοιχεία της ακολουθίας σε ένα, θα πάρουμε τους αριθμούς 2,618 και 0,382, οι οποίοι είναι επίσης αντιστρόφως ανάλογοι. Αυτές είναι οι λεγόμενες αναλογίες Fibonacci.
Η φύση, όπως ήταν, λύνει το πρόβλημα από δύο πλευρές ταυτόχρονα και αθροίζει τα αποτελέσματα που λαμβάνονται. Μόλις λάβει συνολικά 1, μεταβαίνει στην επόμενη διάσταση, όπου αρχίζει να χτίζει τα πάντα από την αρχή. Αλλά μετά πρέπει να το χτίσει Χρυσή αναλογίαΜε έναν ορισμένο κανόνα. Η φύση δεν χρησιμοποιεί αμέσως τη χρυσή τομή. Το αποκτά μέσω διαδοχικών επαναλήψεων και χρησιμοποιεί μια άλλη σειρά, τη σειρά Fibonacci, για να δημιουργήσει τη χρυσή τομή.
Οι υπέροχες ιδιότητες της σειράς Fibonacci εκδηλώνονται και στους ίδιους τους αριθμούς, που είναι μέλη αυτής της σειράς. Ας τακτοποιήσουμε τους όρους της σειράς Fibonacci κατακόρυφα και, στη συνέχεια, προς τα δεξιά, με φθίνουσα σειρά, γράψουμε τους φυσικούς αριθμούς.
21 20 19 18 17 16 15 14 13
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21
55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34
Κάθε γραμμή αρχίζει και τελειώνει με έναν αριθμό Fibonacci, δηλαδή υπάρχουν μόνο δύο τέτοιοι αριθμοί σε κάθε γραμμή. Οι "μπλε" αριθμοί - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 - έχουν ειδικές ιδιότητες (το δεύτερο επίπεδο της ιεραρχίας της σειράς Fibonacci):
(5-4)/(4-3) = 1/1
(8-7)/(7-5) = 1/2 και (8-6)/(6-5) = 2/1
(13-11)/(11-8) = 2/3 και (13-10)/(10-8) = 3/2
(21-18)/(18-13) = 3/5 και (21-16)/(1β-13) = 5/3
(34-29)/(29-21) = 5/8 και (34-26)/(26-21) = 8/5
(55-47)/(47-34) = 8/13 και (55-42)/(42-34) = 13/8
Λάβαμε την κλασματική σειρά Fibonacci, η οποία μπορεί να «πραγματοποιηθεί» από τις συλλογικές περιστροφές στοιχειωδών σωματιδίων και ατόμων χημικών στοιχείων.
Ας φανταστούμε αυτούς τους αριθμούς ως μια ακολουθία μοχλικών κλιμάκων
Προς τι όλα αυτά; Έτσι πλησιάζουμε σε ένα από τα πιο μυστηριώδη φαινόμεναφύση. Ο Φιμπονάτσι ουσιαστικά δεν ανακάλυψε τίποτα καινούργιο, απλώς υπενθύμισε στον κόσμο ένα τέτοιο φαινόμενο όπως η Χρυσή Αναλογία, η οποία δεν είναι κατώτερη σε σημασία από το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Διακρίνουμε όλα τα αντικείμενα γύρω μας από το σχήμα τους. Κάποια μας αρέσουν περισσότερο, άλλα λιγότερο, άλλα είναι εντελώς άστοχα. Μερικές φορές το ενδιαφέρον μπορεί να υπαγορευτεί κατάσταση ζωής, και μερικές φορές η ομορφιά του παρατηρούμενου αντικειμένου. Το συμμετρικό και αναλογικό σχήμα προάγει την καλύτερη οπτική αντίληψη και προκαλεί μια αίσθηση ομορφιάς και αρμονίας. Μια πλήρης εικόνα αποτελείται πάντα από μέρη διαφορετικά μεγέθη, που βρίσκονται σε μια ορισμένη σχέση μεταξύ τους και το σύνολο. Χρυσή αναλογία - υψηλότερη εκδήλωσητελειότητα του συνόλου και των μερών του στην επιστήμη, την τέχνη και τη φύση.
Χρησιμοποιώντας ένα απλό παράδειγμα, η χρυσή αναλογία είναι η διαίρεση ενός τμήματος σε δύο μέρη σε τέτοια αναλογία τα περισσότερα απόσχετίζεται με το μικρότερο καθώς το άθροισμά τους (όλο το τμήμα) σχετίζεται με το μεγαλύτερο.
Αν πάρουμε ολόκληρο το τμήμα c ως 1, τότε το τμήμα a θα είναι ίσο με 0,618, το τμήμα b - 0,382, μόνο με αυτόν τον τρόπο θα πληρούται η συνθήκη της Χρυσής Αναλογίας (0,618/0,382=1,618, 1/0,618=1,618) . Ο λόγος c προς a είναι 1,618 και c προς b είναι 2,618. Αυτές είναι οι ίδιες αναλογίες Fibonacci που είναι ήδη γνωστές σε εμάς.
Φυσικά υπάρχει ένα χρυσό ορθογώνιο, ένα χρυσό τρίγωνο ακόμα και ένα χρυσό κυβοειδές. Αναλογίες ανθρώπινο σώμααπό πολλές απόψεις κοντά στη Χρυσή Τομή.
Όμως η διασκέδαση ξεκινά όταν συνδυάζουμε τις γνώσεις που έχουμε αποκτήσει. Το σχήμα δείχνει καθαρά τη σχέση μεταξύ της ακολουθίας Fibonacci και της Χρυσής Αναλογίας. Ξεκινάμε με δύο τετράγωνα πρώτου μεγέθους. Προσθέστε ένα τετράγωνο δεύτερου μεγέθους από πάνω. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο δίπλα του με μια πλευρά ίσο με το ποσόπλευρές των δύο προηγούμενων, τρίτο μέγεθος. Κατ' αναλογία, εμφανίζεται ένα τετράγωνο μεγέθους πέντε. Και ούτω καθεξής μέχρι να κουραστείτε, το κύριο πράγμα είναι ότι το μήκος της πλευράς κάθε επόμενου τετραγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών των δύο προηγούμενων. Βλέπουμε μια σειρά από ορθογώνια των οποίων τα μήκη πλευρών είναι αριθμοί Fibonacci και, παραδόξως, ονομάζονται ορθογώνια Fibonacci.
Αν τραβήξουμε ομαλές γραμμές στις γωνίες των τετραγώνων μας, δεν θα έχουμε τίποτα περισσότερο από μια σπείρα του Αρχιμήδη, η αύξηση της οποίας είναι πάντα ομοιόμορφη.
Η σειρά Fibonacci δεν είναι μόνο ένα μαθηματικό μυστήριο, το συναντάμε καθημερινά στην καθημερινή ζωή:
Και όχι μόνο στο κέλυφος ενός μαλακίου μπορείτε να βρείτε τις σπείρες του Αρχιμήδη, αλλά σε πολλά λουλούδια και φυτά, απλώς δεν είναι τόσο εμφανείς.
Ένα κοχύλι σε σχήμα σπείρας - το σχήμα του κελύφους ενδιέφερε τον Αρχιμήδη και ανακάλυψε ότι η αύξηση του μήκους των μπούκλες του κελύφους είναι σταθερή τιμή και είναι ίση με 1,618.
Aloe multifolia.
Μπρόκολο Romanesco.
Ηλίανθος: Οι σπόροι σε ένα ηλίανθο είναι επίσης διατεταγμένοι σε μια σπείρα.
Κουκουνάρι.
Η ανάπτυξη των φυτών συμβαίνει επίσης σύμφωνα με σειρά αριθμών Fibonacci - ένας κλάδος εκτείνεται από τον κορμό, στον οποίο εμφανίζεται ένα φύλλο, στη συνέχεια εμφανίζεται μια μακρά εκτίναξη και εμφανίζεται ξανά ένα φύλλο, αλλά είναι ήδη μικρότερο από το προηγούμενο. Στη συνέχεια, υπάρχει ένα άλλο κύμα, αλλά είναι επίσης μικρότερο από το προηγούμενο. Σε αυτήν την εικόνα, η πρώτη ακίδα είναι 100%, η δεύτερη είναι 62% και η τρίτη είναι 38% (επίπεδα Fibonacci που χρησιμοποιούνται στις συναλλαγές) κ.λπ. Με το μήκος των πετάλων όλα φαίνονται ακριβώς ίδια.
Σαύρα - αν χωρίσετε μια σαύρα σε μια ουρά και ένα σώμα, τότε η αναλογία τους θα είναι 0,62 έως 0,38.
Πυραμίδες - Το μήκος της άκρης της πυραμίδας είναι 783,3 πόδια και το ύψος της πυραμίδας είναι 484,4 πόδια. Η αναλογία μήκους άκρου/ύψους πυραμίδας είναι 1,618.
Όπως φαίνεται, σειρά αριθμώνΟ Φιμπονάτσι εκπροσωπείται ευρέως στη ζωή μας: στη δομή των ζωντανών όντων, οι δομές, ακόμη και η δομή των Γαλαξιών περιγράφεται με τη βοήθειά του. Όλα αυτά δείχνουν την ευελιξία μαθηματικό αίνιγμαΣειρά αριθμών Fibonacci.
Και τώρα ήρθε η ώρα να θυμηθούμε τη Χρυσή Τομή! Σε αυτές τις φωτογραφίες απεικονίζονται μερικές από τις πιο όμορφες και αρμονικές δημιουργίες της φύσης; Και δεν είναι μόνο αυτό. Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να βρείτε παρόμοια μοτίβα σε πολλές μορφές.
Φυσικά, η δήλωση ότι όλα αυτά τα φαινόμενα βασίζονται στην ακολουθία Fibonacci ακούγεται πολύ δυνατή, αλλά η τάση είναι εμφανής. Και επιπλέον, η ίδια η σειρά απέχει πολύ από το να είναι τέλεια, όπως όλα σε αυτόν τον κόσμο.
Υπάρχει η υπόθεση ότι η ακολουθία Fibonacci είναι μια προσπάθεια από τη φύση να προσαρμοστεί στην πιο θεμελιώδη και τέλεια λογαριθμική ακολουθία χρυσής αναλογίας, η οποία είναι σχεδόν η ίδια, μόνο που ξεκινά από το πουθενά και πηγαίνει στο πουθενά. Η φύση χρειάζεται οπωσδήποτε ένα είδος ολόκληρης αρχής από την οποία μπορεί να ξεκινήσει· δεν μπορεί να δημιουργήσει κάτι από το τίποτα. Οι λόγοι των πρώτων όρων της ακολουθίας Fibonacci απέχουν πολύ από τη Χρυσή Αναλογία. Αλλά όσο προχωράμε κατά μήκος του, τόσο πιο πολύ εξομαλύνονται αυτές οι αποκλίσεις. Για να ορίσουμε οποιαδήποτε ακολουθία, αρκεί να γνωρίζουμε τους τρεις όρους της, που ακολουθούν ο ένας τον άλλον. Όχι όμως για τη χρυσή ακολουθία, της αρκούν δύο, είναι γεωμετρική και αριθμητική πρόοδοςΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ. Θα μπορούσε κανείς να σκεφτεί ότι είναι η βάση για όλες τις άλλες ακολουθίες.
Κάθε όρος της χρυσής λογαριθμικής ακολουθίας είναι δύναμη της Χρυσής Αναλογίας (z). Μέρος της σειράς μοιάζει κάπως έτσι: ... z-5; Ζ 4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; Ζ 4; z5 ... Αν στρογγυλοποιήσουμε την τιμή της Χρυσής Αναλογίας σε τρία ψηφία, παίρνουμε z = 1,618, τότε η σειρά μοιάζει με αυτό: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1.618; 2.618; 4.236; 6.854; 11.090 ... Κάθε επόμενος όρος μπορεί να ληφθεί όχι μόνο πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο επί 1.618, αλλά και προσθέτοντας τους δύο προηγούμενους. Έτσι, η εκθετική ανάπτυξη σε μια ακολουθία επιτυγχάνεται με την απλή προσθήκη δύο γειτονικών στοιχείων. Είναι μια σειρά χωρίς αρχή ή τέλος, και έτσι προσπαθεί να είναι η ακολουθία Fibonacci. Έχοντας ένα πολύ σίγουρο ξεκίνημα, προσπαθεί για το ιδανικό, χωρίς να το πετυχαίνει ποτέ. Αυτή είναι η ζωή.
Κι όμως, σε σχέση με όλα όσα έχουμε δει και διαβάσει, προκύπτουν αρκετά λογικά ερωτήματα:
Από πού προήλθαν αυτοί οι αριθμοί; Ποιος είναι αυτός ο αρχιτέκτονας του σύμπαντος που προσπάθησε να το κάνει ιδανικό; Ήταν όλα όπως ήθελε; Και αν ναι, γιατί πήγε στραβά; Μεταλλάξεις; Ελεύθερη επιλογή? Τι θα ακολουθήσει; Η σπείρα κουλουριάζεται ή ξετυλίγεται;
Αφού βρείτε την απάντηση σε μια ερώτηση, θα λάβετε την επόμενη. Αν το λύσετε, θα πάρετε δύο νέα. Μόλις τα αντιμετωπίσετε, θα εμφανιστούν άλλα τρία. Έχοντας λύσει και αυτά, θα έχετε πέντε άλυτα. Μετά οκτώ, μετά δεκατρία, 21, 34, 55...
Η εφαρμοσμένη σημασία της σειράς Fibonacci και του Golden Ratio αξίζει μια ξεχωριστή ιστοσελίδα. Τώρα θα πω απλώς ότι, για παράδειγμα, τα στοιχεία της σειράς Fibonacci χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των κινητών μέσων όρων (για να μην αναφέρουμε την αύξηση του πληθυσμού των κουνελιών) και τα αριστουργήματα της παγκόσμιας τέχνης περιέχουν τη Χρυσή Αναλογία.
Εν τω μεταξύ, να θυμάστε ότι ο Fibonacci είναι μια θρυλική φιγούρα στα μαθηματικά, τα οικονομικά και τα οικονομικά. δημοσίευσε τους αραβικούς αριθμούς και εισήγαγε μια μαγική σειρά αριθμών.
σειρά αριθμών Fibonacci
Ο Ιταλός μαθηματικός Λεονάρντο Φιμπονάτσι έζησε τον 13ο αιώνα και ήταν από τους πρώτους στην Ευρώπη που χρησιμοποίησε αραβικούς (ινδικούς) αριθμούς. Βρήκε ένα κάπως τεχνητό πρόβλημα σχετικά με τα κουνέλια που εκτρέφονται σε μια φάρμα, τα οποία θεωρούνται όλα θηλυκά και τα αρσενικά αγνοούνται. Τα κουνέλια ξεκινούν την αναπαραγωγή μετά την ηλικία των δύο μηνών και στη συνέχεια γεννούν ένα κουνέλι κάθε μήνα. Τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ.
Πρέπει να καθορίσουμε πόσα κουνέλια θα είναι στη φάρμα nμήνες, εάν στην αρχική στιγμή υπήρχε μόνο ένα νεογέννητο κουνέλι.
Προφανώς, ο αγρότης έχει ένα κουνέλι τον πρώτο μήνα και ένα κουνέλι τον δεύτερο μήνα. Μέχρι τον τρίτο μήνα θα υπάρχουν δύο κουνέλια, τον τέταρτο μήνα θα υπάρχουν τρία κ.λπ. Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των κουνελιών μέσα nμήνας σαν . Ετσι, 
,
,
,
,
,
…
Είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένας αλγόριθμος για εύρεση 
σε οποιαδήποτε n.
Σύμφωνα με τη δήλωση προβλήματος, ο συνολικός αριθμός των κουνελιών 
V nΟ +1 μήνας χωρίζεται σε τρία μέρη:
κουνέλια ενός μηνός ανίκανα για αναπαραγωγή, σε ποσότητα
;
Έτσι, παίρνουμε
. (8.1)
Ο τύπος (8.1) σάς επιτρέπει να υπολογίσετε μια σειρά αριθμών: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Οι αριθμοί αυτής της σειράς ονομάζονται Αριθμοί Fibonacci .
Αν δεχτούμε 
Και 
, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον τύπο (8.1) μπορείτε να προσδιορίσετε όλους τους άλλους αριθμούς Fibonacci. Ο τύπος (8.1) ονομάζεται επαναλαμβανόμενος
τύπος ( επανάληψη
– «επιστροφή» στα λατινικά).
Παράδειγμα 8.1.Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια σκάλα μέσα nβήματα. Μπορούμε να το ανεβούμε με βήματα ενός βήματος, ή με βήματα δύο βημάτων. Πόσοι συνδυασμοί υπάρχουν; με διάφορους τρόπουςαύξηση?
Αν n= 1, υπάρχει μόνο μία λύση στο πρόβλημα. Για n= 2 υπάρχουν 2 επιλογές: δύο μονά βήματα ή ένα διπλό. Για n= 3 υπάρχουν 3 επιλογές: τρία μονά βήματα, ή ένα μονό και ένα διπλό, ή ένα διπλό και ένα μονό.
Στην παρακάτω περίπτωση n= 4, έχουμε 5 δυνατότητες (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που τέθηκε τυχαία n, ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των επιλογών ως 
, και ας προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε 
σύμφωνα με τα γνωστά 
Και 
. Αν ξεκινήσουμε με ένα μόνο βήμα, τότε έχουμε 
συνδυασμοί για τα υπόλοιπα nβήματα. Αν ξεκινήσουμε με διπλό βήμα, τότε έχουμε 
συνδυασμοί για τα υπόλοιπα n– 1 βήματα. Σύνολοεπιλογές για n+1 βήματα ισούται
. (8.2)
Ο τύπος που προκύπτει μοιάζει με τον τύπο (8.1) ως δίδυμος. Ωστόσο, αυτό δεν μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τον αριθμό των συνδυασμών 
με αριθμούς Fibonacci 
. Βλέπουμε, για παράδειγμα, ότι 
, Αλλά 
. Ωστόσο, υπάρχει η ακόλουθη εξάρτηση:
.
Αυτό ισχύει για n= 1, 2, και επίσης ισχύει για όλους n. Αριθμοί Fibonacci και αριθμός συνδυασμών 
υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο, αλλά τις αρχικές τιμές 
,
Και 
,
διαφέρουν.
Παράδειγμα 8.2.Αυτό το παράδειγμα είναι πρακτικής σημασίας για προβλήματα κωδικοποίησης διόρθωσης σφαλμάτων. Βρείτε τον αριθμό όλων των δυαδικών λέξεων μήκους n, που δεν περιέχει πολλά μηδενικά στη σειρά. Ας συμβολίσουμε αυτόν τον αριθμό με 
. Προφανώς, 
, και οι λέξεις μήκους 2 που ικανοποιούν τον περιορισμό μας είναι: 10, 01, 11, δηλ. 
. Αφήνω 
- μια τέτοια λέξη από nχαρακτήρες. Αν το σύμβολο 
, Οτι 
μπορεί να είναι αυθαίρετο ( 
)-κυριολεκτική λέξη που δεν περιέχει πολλά μηδενικά στη σειρά. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των λέξεων που τελειώνουν σε μία είναι 
.
Αν το σύμβολο 
, τότε σίγουρα 
, και το πρώτο 
σύμβολο 
μπορεί να είναι αυθαίρετη, με την επιφύλαξη των περιορισμών που εξετάζονται. Επομένως, υπάρχει 
μήκος λέξεων
nμε ένα μηδέν στο τέλος. Έτσι, ο συνολικός αριθμός των λέξεων που μας ενδιαφέρουν είναι ίσος με
.
Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι 
Και 
, η προκύπτουσα ακολουθία αριθμών είναι οι αριθμοί Fibonacci.
Παράδειγμα 8.3.Στο Παράδειγμα 7.6 βρήκαμε ότι ο αριθμός των δυαδικών λέξεων σταθερό βάρος t(και μήκος κ) ισοδυναμεί 
. Τώρα ας βρούμε τον αριθμό των δυαδικών λέξεων σταθερού βάρους t, που δεν περιέχει πολλά μηδενικά στη σειρά.
Μπορείτε να σκεφτείτε έτσι. Αφήνω 
τον αριθμό των μηδενικών στις εν λόγω λέξεις. Οποιαδήποτε λέξη έχει 
κενά μεταξύ των πλησιέστερων μηδενικών, καθένα από τα οποία περιέχει ένα ή περισσότερα μηδενικά. Θεωρείται ότι 
. Διαφορετικά, δεν υπάρχει ούτε μια λέξη χωρίς παρακείμενα μηδενικά.
Εάν αφαιρέσουμε ακριβώς μία μονάδα από κάθε διάστημα, παίρνουμε μια λέξη μήκους 
που περιέχει 
μηδενικά. Οποιαδήποτε τέτοια λέξη μπορεί να ληφθεί με τον υποδεικνυόμενο τρόπο από κάποια (και μόνο μία) κ-κυριολεκτική λέξη που περιέχει 
μηδενικά, από τα οποία δεν υπάρχουν δύο γειτονικά. Αυτό σημαίνει ότι ο απαιτούμενος αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό όλων των μεγάλων λέξεων 
, που περιέχει ακριβώς 
μηδενικά, δηλ. ισοδυναμεί 
.
Παράδειγμα 8.4.Ας αποδείξουμε ότι το άθροισμα 
ίσος με αριθμούς Fibonacci για οποιονδήποτε ακέραιο 
. Σύμβολο 
σημαίνει μικρότερος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του
. Για παράδειγμα, εάν 
, Οτι 
; κι αν 
, Οτι 
ανώτατο όριο("οροφή"). Υπάρχει επίσης ένα σύμβολο 
, που δηλώνει μεγαλύτερος ακέραιος μικρότερος ή ίσος με
. Στα αγγλικά αυτή η λειτουργία ονομάζεται πάτωμα
("πάτωμα").
Αν 
, Οτι 
. Αν 
, Οτι 
. Αν 
, Οτι 
.
Έτσι, για τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν, το άθροισμα είναι πράγματι ίσο με τους αριθμούς Fibonacci. Τώρα παρουσιάζουμε την απόδειξη για τη γενική υπόθεση. Εφόσον οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας την εξίσωση επανάληψης (8.1), η ισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί:
.
Και στην πραγματικότητα λειτουργεί:
Εδώ χρησιμοποιήσαμε τον τύπο που ελήφθη προηγουμένως (4.4): 
.
Άθροισμα αριθμών Fibonacci
Ας προσδιορίσουμε το άθροισμα του πρώτου nΑριθμοί Fibonacci.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Είναι εύκολο να δούμε ότι προσθέτοντας ένα στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης παίρνουμε πάλι τον αριθμό Fibonacci. Γενικός τύπος για τον προσδιορισμό του αθροίσματος του πρώτου nΟι αριθμοί Fibonacci έχουν τη μορφή:
Ας το αποδείξουμε αυτό χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Για να γίνει αυτό, ας γράψουμε:
Το ποσό αυτό πρέπει να είναι ίσο 
.
Μειώνοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης κατά –1, προκύπτει η εξίσωση (6.1).
Τύπος για αριθμούς Fibonacci
Θεώρημα 8.1. Οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο
.
Απόδειξη. Ας επαληθεύσουμε την εγκυρότητα αυτού του τύπου για n= 0, 1, και στη συνέχεια θα αποδείξουμε την εγκυρότητα αυτού του τύπου για αυθαίρετο nμε επαγωγή. Ας υπολογίσουμε την αναλογία των δύο πλησιέστερων αριθμών Fibonacci:
Βλέπουμε ότι η αναλογία αυτών των αριθμών κυμαίνεται γύρω στο 1,618 (αν αγνοήσουμε τις πρώτες λίγες τιμές). Αυτή η ιδιότητα των αριθμών Fibonacci μοιάζει με τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Αποδέχομαι 
,
(
). Μετά η έκφραση
μετατράπηκε σε
που μετά από απλοποιήσεις μοιάζει με αυτό
.
Πήραμε τετραγωνική εξίσωση, του οποίου οι ρίζες είναι ίσες:
Τώρα μπορούμε να γράψουμε:
(Οπου ντοείναι σταθερά). Και τα δύο μέλη 
Και 
μην δίνετε αριθμούς Fibonacci, για παράδειγμα 
, ενώ 
. Ωστόσο, η διαφορά 
ικανοποιεί την εξίσωση επανάληψης:
Για n=0 αυτή η διαφορά δίνει 
, αυτό είναι: 
. Ωστόσο, όταν n=1 έχουμε 
. Αποκτώ 
, πρέπει να αποδεχτείτε: 
.
Τώρα έχουμε δύο ακολουθίες: 
Και 
, που ξεκινούν με τους ίδιους δύο αριθμούς και ικανοποιούν τον ίδιο τύπο επανάληψης. Πρέπει να είναι ίσοι: 
. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Κατά την αύξηση nμέλος 
γίνεται πολύ μεγάλο ενώ 
, και ο ρόλος του μέλους 
η διαφορά μειώνεται. Ως εκ τούτου, γενικά nμπορούμε περίπου να γράψουμε
.
Αγνοούμε το 1/2 (αφού οι αριθμοί Fibonacci αυξάνονται στο άπειρο ως nστο άπειρο).
Στάση 
που ονομάζεται Χρυσή αναλογία, χρησιμοποιείται εκτός των μαθηματικών (για παράδειγμα, στη γλυπτική και την αρχιτεκτονική). Η χρυσή τομή είναι η αναλογία μεταξύ της διαγώνιου και της πλευράς κανονικό πεντάγωνο(Εικ. 8.1).
Ρύζι. 8.1. Κανονικό πεντάγωνοκαι τις διαγώνιες του
Για να δηλώσετε τη χρυσή τομή, συνηθίζεται να χρησιμοποιείτε το γράμμα 
προς τιμήν του διάσημου Αθηναίου γλύπτη Φειδία.
πρώτοι αριθμοί
Όλοι οι φυσικοί αριθμοί, οι μεγάλοι, εμπίπτουν σε δύο κατηγορίες. Το πρώτο περιλαμβάνει αριθμούς που έχουν ακριβώς δύο φυσικούς διαιρέτες, τον έναν και τον εαυτό του, ο δεύτερος περιλαμβάνει όλους τους υπόλοιπους. Καλούνται αριθμοί πρώτης τάξης απλόςκαι το δεύτερο - σύνθετος. Πρώτοι αριθμοί μέσα στις τρεις πρώτες δεκάδες: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Οι ιδιότητες των πρώτων αριθμών και η σχέση τους με όλους τους φυσικούς αριθμούς μελετήθηκαν από τον Ευκλείδη (3ος αιώνας π.Χ.). Αν γράψετε τους πρώτους αριθμούς σε μια σειρά, θα παρατηρήσετε ότι η σχετική πυκνότητά τους μειώνεται. Για την πρώτη δεκάδα υπάρχουν 4, δηλαδή 40%, για εκατό – 25, δηλ. 25%, ανά χίλια – 168, δηλ. λιγότερο από 17%, ανά εκατομμύριο – 78498, δηλ. λιγότερο από 8%, κλπ. Ωστόσο, ο συνολικός αριθμός τους είναι άπειρος.
Μεταξύ των πρώτων αριθμών υπάρχουν ζεύγη τέτοιων αριθμών, η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι ίση με δύο (το λεγόμενο απλά δίδυμα), ωστόσο, το πεπερασμένο ή το άπειρο τέτοιων ζευγών δεν έχει αποδειχθεί.
Ο Ευκλείδης θεώρησε προφανές ότι πολλαπλασιάζοντας μόνο τους πρώτους αριθμούς μπορεί κανείς να πάρει όλους τους φυσικούς αριθμούς και κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με μοναδικό τρόπο (μέχρι τη σειρά των παραγόντων). Έτσι, οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν μια πολλαπλασιαστική βάση της φυσικής σειράς.
Η μελέτη της κατανομής των πρώτων αριθμών οδήγησε στη δημιουργία ενός αλγορίθμου που επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει πίνακες πρώτων αριθμών. Ένας τέτοιος αλγόριθμος είναι κόσκινο του Ερατοσθένη(3ος αιώνας π.Χ.). Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην εξάλειψη (για παράδειγμα, διαγραφή) αυτών των ακεραίων μιας δεδομένης ακολουθίας 
, οι οποίοι διαιρούνται με τουλάχιστον έναν από τους πρώτους αριθμούς μικρότερους 
.
Θεώρημα 8 . 2 . (Ευκλείδειο θεώρημα). Ο αριθμός των πρώτων αριθμών είναι άπειρος.
Απόδειξη. Θα αποδείξουμε το θεώρημα του Ευκλείδη για το άπειρο του αριθμού των πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που πρότεινε ο Leonhard Euler (1707–1783). Ο Euler θεώρησε το γινόμενο πάνω από όλους τους πρώτους αριθμούς Π:
στο 
. Αυτό το προϊόν συγκλίνει, και αν το επεκτείνουμε, τότε λόγω της μοναδικότητας της αποσύνθεσης φυσικούς αριθμούςσε απλούς παράγοντες προκύπτει ότι ισούται με το άθροισμα της σειράς 
, από το οποίο προκύπτει η ταυτότητα του Euler:
.
Από πότε 
η σειρά στα δεξιά αποκλίνει (αρμονική σειρά), τότε το θεώρημα του Ευκλείδη προκύπτει από την ταυτότητα του Euler.
Ο Ρώσος μαθηματικός P.L. Ο Chebyshev (1821-1894) εξήγαγε έναν τύπο που καθορίζει τα όρια εντός των οποίων βρίσκεται ο αριθμός των πρώτων αριθμών 
, που να μην υπερβαίνει Χ:
,
Οπου 
,
.
ΣΕ Πρόσφατα, δουλεύοντας σε ατομικές και ομαδικές διαδικασίες με ανθρώπους, επέστρεψα σε σκέψεις για το συνδυασμό όλων των διαδικασιών (καρμικές, νοητικές, φυσιολογικές, πνευματικές, μετασχηματιστικές κ.λπ.) σε μία.
Οι φίλοι πίσω από το πέπλο αποκάλυπταν όλο και περισσότερο την εικόνα ενός πολυδιάστατου Ανθρώπου και τη διασύνδεση των πάντων σε όλα.
Μια εσωτερική παρόρμηση με ώθησε να επιστρέψω στις παλιές μελέτες με αριθμούς και να ξανακοιτάξω το βιβλίο του Drunvalo Melchizedek «The Ancient Secret of the Flower of Life».
Αυτή την εποχή προβλήθηκε στους κινηματογράφους η ταινία «The Da Vinci Code». Δεν είναι πρόθεσή μου να συζητήσω την ποιότητα, την αξία ή την αλήθεια αυτής της ταινίας. Αλλά η στιγμή με τον κωδικό, όταν οι αριθμοί άρχισαν να κυλάγονται γρήγορα, έγινε μια από τις βασικές στιγμές αυτής της ταινίας για μένα.
Η διαίσθησή μου μου είπε ότι άξιζε να δώσω προσοχή στην ακολουθία των αριθμών Fibonacci και στη Χρυσή Αναλογία. Αν ψάξετε στο Διαδίκτυο για να βρείτε κάτι για τον Fibonacci, θα βομβαρδιστείτε με πληροφορίες. Θα μάθετε ότι αυτή η ακολουθία ήταν γνωστή ανά πάσα στιγμή. Αντιπροσωπεύεται στη φύση και το διάστημα, στην τεχνολογία και την επιστήμη, στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, στη μουσική και τις αναλογίες στο ανθρώπινο σώμα, στο DNA και το RNA. Πολλοί ερευνητές αυτής της ακολουθίας έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι τα βασικά γεγονότα στη ζωή ενός ατόμου, ενός κράτους και ενός πολιτισμού υπόκεινται επίσης στο νόμο της χρυσής τομής.
Φαίνεται ότι στον Άνθρωπο έχει δοθεί μια θεμελιώδης υπόδειξη.
Τότε γεννιέται η σκέψη ότι ένα Άτομο μπορεί να εφαρμόσει συνειδητά την αρχή της Χρυσής Τομής για να αποκαταστήσει την υγεία και να διορθώσει τη μοίρα, δηλ. ο εξορθολογισμός των συνεχιζόμενων διαδικασιών στο δικό του σύμπαν, η επέκταση της Συνείδησης, η επιστροφή στην Ευημερία.
Ας θυμηθούμε μαζί την ακολουθία Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…
Καθε επόμενος αριθμόςσχηματίζεται με την προσθήκη των δύο προηγούμενων:
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 κ.λπ.
Τώρα προτείνω να μειωθεί κάθε αριθμός στη σειρά σε ένα ψηφίο: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…
Να τι πήραμε:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…
μια ακολουθία 24 αριθμών που επαναλαμβάνεται ξανά από τον 25ο:
75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…
Δεν σας φαίνεται παράξενο ή φυσικό αυτό
- υπάρχουν 24 ώρες την ημέρα,
- διαστημικά σπίτια - 24,
- κλώνοι DNA - 24,
- 24 πρεσβύτεροι από τον Θεό-αστέρα Σείριο,
- Η επαναλαμβανόμενη ακολουθία στη σειρά Fibonacci είναι 24 ψηφία.
Εάν η ακολουθία που προκύπτει είναι γραμμένη ως εξής,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9
8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,
τότε θα δούμε ότι ο 1ος και ο 13ος αριθμός της ακολουθίας, ο 2ος και ο 14ος, ο 3ος και 15ος, ο 4ος και ο 16ος... ο 12ος και ο 24ος αθροίζονται σε 9 .
3 3 6 9 6 6 3 9
Κατά τη δοκιμή αυτών των σειρών αριθμών, πήραμε:
- Child Principle;
- Πατρική Αρχή.
- Μητέρα Αρχή?
- Αρχή της Ενότητας.
Μήτρα Χρυσής Αναλογίας
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9
4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9
3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9
4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9
6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9
2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Πρακτική εφαρμογή της σειράς Fibonacci
Ένας από τους φίλους μου εξέφρασε την πρόθεσή του να συνεργαστεί ατομικά μαζί του στο θέμα της ανάπτυξης των δυνατοτήτων και των ικανοτήτων του.
Απροσδόκητα, στην αρχή μπήκε στη διαδικασία ο Σάι Μπάμπα και με κάλεσε να τον ακολουθήσω.
Αρχίσαμε να υψωνόμαστε μέσα στη Θεία Μονάδα του φίλου μας και, αφήνοντάς την μέσα από το Αιτιαίο Σώμα, βρεθήκαμε σε μια άλλη πραγματικότητα στο επίπεδο του Κοσμικού Οίκου.
Όσοι έχουν μελετήσει τα έργα του Μάρκου και της Ελίζαμπεθ Κλερ Προφήτες γνωρίζουν τη διδασκαλία για το Κοσμικό Ρολόι που τους μετέφερε η Μητέρα Μαρία.
Στο επίπεδο του Κοσμικού Οίκου, ο Γιούρι είδε έναν κύκλο με εσωτερικό κέντρο με 12 βέλη.
Ο πρεσβύτερος, που μας συνάντησε σε αυτό το επίπεδο, είπε ότι μπροστά μας είναι το Θείο Ρολόι και οι 12 δείκτες αντιπροσωπεύουν 12 (24) Εκδηλώσεις των Θείων Όψεων… (ίσως τους Δημιουργούς).
Όσο για το Κοσμικό Ρολόι, βρίσκονταν κάτω από τα Θεία σύμφωνα με την αρχή της ενέργειας οκτώ.
— Σε τι κατάσταση βρίσκονται τα Θεϊκά ρολόγια σε σχέση με εσάς;
— Οι δείκτες του ρολογιού είναι ακίνητοι, δεν υπάρχει κίνηση.Σκέψεις μου έρχονται τώρα που πριν από πολλούς αιώνες εγκατέλειψα τη Θεία Συνείδηση και πήρα ένα διαφορετικό μονοπάτι, το μονοπάτι ενός Μάγου. Όλα τα μαγικά τεχνουργήματα και τα φυλαχτά μου που έχουν συσσωρευτεί μέσα μου και μέσα μου σε πολλές ενσαρκώσεις μοιάζουν με κουδουνίστρες μωρών σε αυτό το επίπεδο. Στο λεπτό επίπεδο, αντιπροσωπεύουν μια εικόνα μαγικού ενεργειακού ρουχισμού.
— Ολοκληρώθηκε.Ωστόσο, ευλογώ τη μαγική μου εμπειρία.Ζώντας ειλικρινά αυτήν την εμπειρία με ώθησε να επιστρέψω στην αρχική πηγή, στην ολότητα.Μου προσφέρουν να βγάλω τα μαγικά μου αντικείμενα και να σταθώ στο κέντρο του Ρολογιού.
— Τι πρέπει να γίνει για να ενεργοποιηθεί το Θείο Ρολόι;
- Ο Σάι Μπάμπα εμφανίστηκε ξανά και προσφέρθηκε να εκφράσει την πρόθεση να συνδέσει την Ασημένια Χορδή με το Ρολόι. Λέει επίσης ότι έχετε κάποιο είδος σειράς αριθμών. Αυτός είναι το κλειδί για την ενεργοποίηση. Πριν στο μάτι του μυαλού μουεμφανίζεται η εικόνα του Ανθρώπου του Λέοναρντ ντα Βίντσι.
- 12 φορές.
«Σας ζητώ να επικεντρώσετε τον Θεό όλη τη διαδικασία και να κατευθύνετε τη δράση της ενέργειας της σειράς αριθμών στην ενεργοποίηση του Θείου Ρολογιού.
Διαβάστε δυνατά 12 φορές
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…
Κατά τη διαδικασία της ανάγνωσης, οι δείκτες στο Ρολόι μετακινήθηκαν.
Μια ενέργεια πέρασε από την ασημένια χορδή, η οποία συνέδεε όλα τα επίπεδα της Μονάδας Yurina, καθώς και τις γήινες και ουράνιες ενέργειες…
Το πιο απροσδόκητο σε αυτή τη διαδικασία ήταν ότι τέσσερις Ουσίες εμφανίστηκαν στο Ρολόι, που είναι μερικά μέρη του Ένα Ολόκληρο με τον Γιούρα.
Κατά τη διάρκεια της επικοινωνίας, αποδείχθηκε ότι κάποτε υπήρχε μια διαίρεση της Κεντρικής Ψυχής και κάθε μέρος επέλεξε τη δική του περιοχή στο σύμπαν για υλοποίηση.
Λήφθηκε απόφαση για ενσωμάτωση, κάτι που συνέβη στο κέντρο του Θείου Ρολογιού.
Το αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας ήταν η δημιουργία του Κοινού Κρυστάλλου σε αυτό το επίπεδο.
Μετά από αυτό, θυμήθηκα ότι ο Σάι Μπάμπα μίλησε κάποτε για ένα συγκεκριμένο Σχέδιο, το οποίο περιλαμβάνει πρώτα τη σύνδεση δύο Ουσιών σε μία, μετά τέσσερις και ούτω καθεξής σύμφωνα με τη δυαδική αρχή.
Φυσικά, αυτή η σειρά αριθμών δεν είναι πανάκεια. Αυτό είναι απλώς ένα εργαλείο που σας επιτρέπει να εκτελέσετε γρήγορα την απαραίτητη εργασία με ένα άτομο, να τον ευθυγραμμίσετε κάθετα σε διαφορετικά επίπεδαΓένεση.
Έχετε ακούσει ποτέ ότι τα μαθηματικά αποκαλούνται η «βασίλισσα όλων των επιστημών»; Συμφωνείτε με αυτή τη δήλωση; Όσο τα μαθηματικά παραμένουν για εσάς ένα σύνολο βαρετών προβλημάτων σε ένα σχολικό βιβλίο, δύσκολα μπορείτε να ζήσετε την ομορφιά, την ευελιξία και ακόμη και το χιούμορ αυτής της επιστήμης.
Υπάρχουν όμως θέματα στα μαθηματικά που βοηθούν να κάνουμε ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις για πράγματα και φαινόμενα που είναι κοινά σε εμάς. Και μάλιστα προσπαθήστε να διεισδύσετε στο πέπλο του μυστηρίου της δημιουργίας του Σύμπαντος μας. Υπάρχουν ενδιαφέροντα μοτίβα στον κόσμο που μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά.
Παρουσιάζοντας τους αριθμούς Fibonacci
Αριθμοί Fibonacciονομάστε τα στοιχεία μιας αριθμητικής ακολουθίας. Σε αυτό, κάθε επόμενος αριθμός σε μια σειρά προκύπτει αθροίζοντας τους δύο προηγούμενους αριθμούς.
Παραδείγματα ακολουθίας: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Μπορείτε να ξεκινήσετε μια σειρά αριθμών Fibonacci με αρνητικές τιμές n. Επιπλέον, η ακολουθία σε αυτή την περίπτωση είναι αμφίδρομη (δηλαδή καλύπτει αρνητικούς και θετικούς αριθμούς) και τείνει προς το άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις.
Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
Ο τύπος σε αυτή την περίπτωση μοιάζει με αυτό:
F n = F n+1 - F n+2ή αλλιώς μπορείτε να το κάνετε αυτό: F -n = (-1) n+1 Fn.
Αυτό που σήμερα γνωρίζουμε ως «αριθμοί Fibonacci» ήταν γνωστό στους αρχαίους Ινδούς μαθηματικούς πολύ πριν αρχίσουν να χρησιμοποιούνται στην Ευρώπη. Και αυτό το όνομα είναι γενικά ένα συνεχές ιστορικό ανέκδοτο. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι ο ίδιος ο Φιμπονάτσι δεν αποκάλεσε ποτέ τον εαυτό του Φιμπονάτσι κατά τη διάρκεια της ζωής του - αυτό το όνομα άρχισε να εφαρμόζεται στον Λεονάρντο της Πίζας μόνο αρκετούς αιώνες μετά το θάνατό του. Αλλά ας μιλήσουμε για όλα με τη σειρά.
Ο Λεονάρντο της Πίζας, γνωστός και ως Φιμπονάτσι
Ο γιος ενός εμπόρου που έγινε μαθηματικός, και στη συνέχεια έλαβε την αναγνώριση από τους μεταγενέστερους ως ο πρώτος σημαντικός μαθηματικός της Ευρώπης κατά τον Μεσαίωνα. Χάρη στους αριθμούς Fibonacci (οι οποίοι, ας θυμηθούμε, δεν ονομάζονταν ακόμη έτσι). Το οποίο περιέγραψε στις αρχές του 13ου αιώνα στο έργο του «Liber abaci» («Βιβλίο του Άβακου», 1202).
Ταξιδεύω με τον πατέρα μου στην Ανατολή, ο Λεονάρντο σπούδασε μαθηματικά με Άραβες δασκάλους (και εκείνες τις μέρες ήταν σε αυτόν τον τομέα και σε πολλές άλλες επιστήμες, μια από τις οι καλύτεροι ειδικοί). Διάβασε έργα μαθηματικών της Αρχαιότητας και της Αρχαίας Ινδίας σε αραβικές μεταφράσεις.
Έχοντας κατανοήσει πλήρως όλα όσα είχε διαβάσει και χρησιμοποιώντας το δικό του περίεργο μυαλό, ο Φιμπονάτσι έγραψε αρκετές επιστημονικές πραγματείες για τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένου του προαναφερθέντος «Βιβλίο του Άβακα». Εκτός από αυτό δημιούργησα:
- "Practica geometriae" ("Practica of Geometry", 1220);
- "Flos" ("Flower", 1225 - μια μελέτη για τις κυβικές εξισώσεις).
- "Liber quadratorum" ("Βιβλίο των τετραγώνων", 1225 - προβλήματα σε αόριστες τετραγωνικές εξισώσεις).
Ήταν μεγάλος λάτρης των μαθηματικών τουρνουά, έτσι στις πραγματείες του έδινε μεγάλη προσοχή στην ανάλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων.
Ελάχιστα βιογραφικά στοιχεία έχουν απομείνει για τη ζωή του Λεονάρντο. Όσο για το όνομα Fibonacci, με το οποίο μπήκε στην ιστορία των μαθηματικών, του ανατέθηκε μόνο τον 19ο αιώνα.
Ο Φιμπονάτσι και τα προβλήματά του
Μετά ο Φιμπονάτσι παραμένει μεγάλος αριθμόςπροβλήματα που ήταν πολύ δημοφιλή μεταξύ των μαθηματικών στους επόμενους αιώνες. Θα εξετάσουμε το πρόβλημα του κουνελιού, το οποίο λύνεται χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci.
Τα κουνέλια δεν είναι μόνο πολύτιμη γούνα
Ο Fibonacci έθεσε τις ακόλουθες προϋποθέσεις: υπάρχει ένα ζευγάρι νεογέννητων κουνελιών (αρσενικό και θηλυκό) τέτοιο ενδιαφέρουσα ράτσαότι παράγουν τακτικά (ξεκινώντας από τον δεύτερο μήνα) απογόνους - πάντα ένα νέο ζευγάρι κουνελιών. Επίσης, όπως μπορείτε να μαντέψετε, ένα αρσενικό και ένα θηλυκό.
Αυτά τα κουνέλια υπό όρους τοποθετούνται σε περιορισμένο χώρο και αναπαράγονται με ενθουσιασμό. Επίσης ορίζεται ότι ούτε ένα κουνέλι δεν πεθαίνει από κάποια μυστηριώδη ασθένεια κουνελιού.
Πρέπει να υπολογίσουμε πόσα κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο.
- Στην αρχή του 1 μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια. Στο τέλος του μήνα ζευγαρώνουν.
- Ο δεύτερος μήνας - έχουμε ήδη 2 ζευγάρια κουνελιών (ένα ζευγάρι έχει γονείς + 1 ζευγάρι είναι ο απόγονός του).
- Τρίτος μήνας: Το πρώτο ζευγάρι γεννά ένα νέο ζευγάρι, το δεύτερο ζευγάρι ζευγαρώνει. Σύνολο - 3 ζεύγη κουνελιών.
- Τέταρτος μήνας: Το πρώτο ζευγάρι γεννά ένα νέο ζευγάρι, το δεύτερο ζευγάρι δεν χάνει χρόνο και επίσης γεννά ένα νέο ζευγάρι, το τρίτο ζευγάρι εξακολουθεί μόνο να ζευγαρώνει. Σύνολο - 5 ζεύγη κουνελιών.
Αριθμός κουνελιών μέσα nος μήνας = αριθμός ζευγών κουνελιών από τον προηγούμενο μήνα + αριθμός νεογέννητων ζευγών (υπάρχουν ο ίδιος αριθμός ζευγών κουνελιών με τα ζευγάρια κουνελιών 2 μήνες πριν). Και όλα αυτά περιγράφονται από τον τύπο που έχουμε ήδη δώσει παραπάνω: F n = F n-1 + F n-2.
Έτσι, λαμβάνουμε μια επαναλαμβανόμενη (επεξήγηση για αναδρομή- παρακάτω) αριθμητική ακολουθία. Στην οποία κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Μπορείτε να συνεχίσετε την ακολουθία για μεγάλο χρονικό διάστημα: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Επειδή όμως έχουμε ορίσει μια συγκεκριμένη περίοδο - ένα χρόνο, μας ενδιαφέρει το αποτέλεσμα που προκύπτει στη 12η «κίνηση». Εκείνοι. 13ο μέλος της ακολουθίας: 377.
Η απάντηση βρίσκεται στο πρόβλημα: 377 κουνέλια θα ληφθούν εάν πληρούνται όλες οι αναφερόμενες προϋποθέσεις.
Μια από τις ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci είναι πολύ περίεργη. Αν πάρουμε δύο διαδοχικά ζεύγη από μια σειρά και διαιρέσουμε μεγαλύτερο αριθμόσε λιγότερο, το αποτέλεσμα θα πλησιάσει σταδιακά Χρυσή αναλογία(Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα σχετικά αργότερα στο άρθρο).
Με μαθηματικούς όρους, «το όριο των σχέσεων ένα n+1Προς την a nίση με τη χρυσή τομή".
Περισσότερα προβλήματα θεωρίας αριθμών
- Βρείτε έναν αριθμό που μπορεί να διαιρεθεί με το 7. Επίσης, αν τον διαιρέσετε με το 2, 3, 4, 5, 6, το υπόλοιπο θα είναι ένα.
- Εύρημα τετραγωνικός αριθμός. Είναι γνωστό γι 'αυτόν ότι αν προσθέσετε 5 σε αυτό ή αφαιρέσετε το 5, θα πάρετε πάλι έναν τετράγωνο αριθμό.
Σας προσκαλούμε να βρείτε μόνοι σας απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις. Μπορείτε να μας αφήσετε τις επιλογές σας στα σχόλια αυτού του άρθρου. Και μετά θα σας πούμε αν οι υπολογισμοί σας ήταν σωστοί.
Επεξήγηση της αναδρομής
Αναδρομή- ορισμός, περιγραφή, εικόνα ενός αντικειμένου ή μιας διαδικασίας, που περιέχει αυτό το αντικείμενο ή τη διεργασία η ίδια. Δηλαδή, στην ουσία, ένα αντικείμενο ή μια διαδικασία είναι μέρος του εαυτού του.
Η αναδρομή βρίσκει ευρεία εφαρμογή στα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών, ακόμη και στην τέχνη και τον λαϊκό πολιτισμό.
Οι αριθμοί Fibonacci προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας μια σχέση επανάληψης. Για τον αριθμό n>2 n-Ο αριθμός e είναι ίσος (n – 1) + (n – 2).
Επεξήγηση της χρυσής τομής
Χρυσή αναλογία- η διαίρεση ενός συνόλου (για παράδειγμα, ενός τμήματος) σε τέτοια μέρη που σχετίζονται σύμφωνα με την ακόλουθη αρχή: ένα μεγάλο μέρος ανήκει σε ένα μικρότερο με τον ίδιο τρόπο όπως ολόκληρη η τιμή (για παράδειγμα, το άθροισμα δύο τμημάτων ) σε μεγαλύτερο μέρος.
Η πρώτη αναφορά της χρυσής τομής βρίσκεται στην πραγματεία του Ευκλείδη «Αρχές» (περίπου 300 π.Χ.). Στα πλαίσια κατασκευής κανονικού ορθογωνίου.
Ο γνωστός σε εμάς όρος εισήχθη στην κυκλοφορία το 1835 από τον Γερμανό μαθηματικό Μάρτιν Ομ.
Εάν περιγράψετε τη χρυσή τομή κατά προσέγγιση, είναι μια αναλογική διαίρεση σε δύο άνισα μέρη: περίπου 62% και 38%. ΣΕ αριθμητικάΗ χρυσή τομή αντιπροσωπεύει έναν αριθμό 1,6180339887 .
Η χρυσή τομή βρίσκει πρακτική χρήσηστις καλές τέχνες (πίνακες του Λεονάρντο ντα Βίντσι και άλλων ζωγράφων της Αναγέννησης), στην αρχιτεκτονική, στον κινηματογράφο (Θωρηκτό Ποτέμκιν του Σ. Έζενσταϊν) και σε άλλους τομείς. Για πολύ καιρόΠιστεύεται ότι η χρυσή τομή είναι η πιο αισθητική αναλογία. Αυτή η άποψη είναι ακόμα δημοφιλής σήμερα. Αν και, σύμφωνα με τα αποτελέσματα της έρευνας, οπτικά, οι περισσότεροι άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονται μια τέτοια αναλογία ως την πιο επιτυχημένη επιλογή και τη θεωρούν πολύ επιμήκη (δυσανάλογη).
- Μήκος τμήματος Με = 1, ΕΝΑ = 0,618, σι = 0,382.
- Στάση ΜεΠρος την ΕΝΑ = 1, 618.
- Στάση ΜεΠρος την σι = 2,618
Τώρα ας επιστρέψουμε στους αριθμούς Fibonacci. Ας πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους από τη σειρά του. Διαιρέστε τον μεγαλύτερο αριθμό με τον μικρότερο αριθμό και λάβετε περίπου 1.618. Και τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο μεγαλύτερο αριθμό και το επόμενο μέλος της σειράς (δηλαδή, έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό) - ο λόγος τους είναι πρώιμος 0,618.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 και 233/377 = 0,618
Παρεμπιπτόντως, αν προσπαθήσετε να κάνετε το ίδιο πείραμα με αριθμούς από την αρχή της ακολουθίας (για παράδειγμα, 2, 3, 5), τίποτα δεν θα λειτουργήσει. Σχεδόν. Ο κανόνας της χρυσής αναλογίας μετά βίας ακολουθείται για την αρχή της ακολουθίας. Αλλά καθώς προχωράτε στη σειρά και οι αριθμοί αυξάνονται, λειτουργεί εξαιρετικά.
Και για να υπολογίσουμε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών Fibonacci, αρκεί να γνωρίζουμε τρία μέλη της ακολουθίας, που ακολουθούν το ένα το άλλο. Μπορείτε να το δείτε μόνοι σας!
Χρυσό Ορθογώνιο και Σπείρα Φιμπονάτσι
Ένας άλλος περίεργος παραλληλισμός μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας μας επιτρέπει να σχεδιάσουμε το λεγόμενο "χρυσό ορθογώνιο": οι πλευρές του σχετίζονται με την αναλογία 1,618 προς 1. Αλλά ξέρουμε ήδη ποιος είναι ο αριθμός 1,618, σωστά;
Για παράδειγμα, ας πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Fibonacci - 8 και 13 - και χτίζουμε ένα ορθογώνιο με τις ακόλουθες παραμέτρους: πλάτος = 8, μήκος = 13.
Και μετά θα χωρίσουμε το μεγάλο ορθογώνιο σε μικρότερα. Απαιτούμενη προϋπόθεση: Τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων πρέπει να αντιστοιχούν στους αριθμούς Fibonacci. Εκείνοι. το μήκος της πλευράς του μεγαλύτερου ορθογωνίου πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών των δύο μικρότερων ορθογωνίων.
Ο τρόπος που γίνεται σε αυτό το σχήμα (για ευκολία, οι φιγούρες υπογράφονται με λατινικά γράμματα).
Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να δημιουργήσετε ορθογώνια με την αντίστροφη σειρά. Εκείνοι. ξεκινήστε να χτίζετε από τετράγωνα με πλευρά 1. Στα οποία, με γνώμονα την αρχή που εκφράστηκε παραπάνω, συμπληρώνονται σχήματα με πλευρές ίσες με τους αριθμούς Fibonacci. Θεωρητικά, αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον - τελικά, η σειρά Fibonacci είναι τυπικά άπειρη.
Εάν συνδέσουμε τις γωνίες των ορθογωνίων που λαμβάνονται στο σχήμα με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μια λογαριθμική σπείρα. Ή μάλλον, αυτή ειδική περίπτωση– Σπείρα Fibonacci. Χαρακτηρίζεται, ειδικότερα, από το γεγονός ότι δεν έχει όρια και δεν αλλάζει σχήμα.
Μια τέτοια σπείρα βρίσκεται συχνά στη φύση. Τα κοχύλια μαλακίων είναι ένα από τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα. Επιπλέον, ορισμένοι γαλαξίες που μπορούν να φανούν από τη Γη έχουν σπειροειδές σχήμα. Αν προσέξετε τις μετεωρολογικές προβλέψεις στην τηλεόραση, ίσως έχετε παρατηρήσει ότι οι κυκλώνες έχουν παρόμοιο σπειροειδές σχήμα όταν τους πυροβολούν από δορυφόρους.
Είναι περίεργο ότι η έλικα του DNA υπακούει επίσης στον κανόνα της χρυσής τομής - το αντίστοιχο σχέδιο φαίνεται στα διαστήματα των στροφών της.
Τέτοιες εκπληκτικές «συμπτώσεις» δεν μπορούν παρά να ενθουσιάσουν τα μυαλά και να δώσουν αφορμή για να μιλήσουμε για έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο στον οποίο υπακούουν όλα τα φαινόμενα στη ζωή του Σύμπαντος. Τώρα καταλαβαίνετε γιατί αυτό το άρθρο ονομάζεται έτσι; Και τι πόρτες καταπληκτικοί κόσμοιΤα μαθηματικά μπορούν να σας ανοίξουν πράγματα;
Αριθμοί Fibonacci στη φύση
Η σύνδεση μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας υποδηλώνει περίεργα μοτίβα. Τόσο περίεργο που είναι δελεαστικό να προσπαθήσουμε να βρούμε ακολουθίες παρόμοιες με τους αριθμούς Fibonacci στη φύση και ακόμη και κατά τη διάρκεια του ιστορικά γεγονότα. Και η φύση γεννά πραγματικά τέτοιες υποθέσεις. Αλλά όλα στη ζωή μας μπορούν να εξηγηθούν και να περιγραφούν χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά;
Παραδείγματα άγριας ζωής που μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci:
- η σειρά διάταξης των φύλλων (και των κλαδιών) στα φυτά - οι αποστάσεις μεταξύ τους συσχετίζονται με τους αριθμούς Fibonacci (φυλλοταξία).
- τη θέση των ηλιόσπορων (οι σπόροι είναι διατεταγμένοι σε δύο σειρές σπειρών στριμμένων σε διαφορετικές κατευθύνσεις: η μία σειρά είναι δεξιόστροφα, η άλλη είναι αριστερόστροφα).
- διάταξη ζυγών κώνου πεύκου.
- πέταλα λουλουδιού;
- κύτταρα ανανά?
- αναλογία των μηκών των φαλαγγών των δακτύλων στο ανθρώπινο χέρι (περίπου) κ.λπ.
Προβλήματα συνδυαστικής
Οι αριθμοί Fibonacci χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση προβλημάτων συνδυαστικής.
Συνδυαστική- αυτός είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη μιας επιλογής ενός δεδομένου αριθμού στοιχείων από ένα καθορισμένο σύνολο, απαρίθμηση κ.λπ.
Ας δούμε παραδείγματα εργασιών συνδυαστικής που έχουν σχεδιαστεί για το γυμνάσιο (πηγή - http://www.problems.ru/).
Εργασία #1:
Η Lesha ανεβαίνει μια σκάλα 10 σκαλοπατιών. Κάποια στιγμή πηδά είτε ένα σκαλί είτε δύο σκαλιά. Με πόσους τρόπους μπορεί η Lesha να ανέβει τις σκάλες;
Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους η Lesha μπορεί να ανέβει τις σκάλες nβήματα, ας υποδηλώσουμε και ν.Από αυτό προκύπτει ότι Α'1 = 1, Α2= 2 (εξάλλου, η Lesha πηδά είτε ένα είτε δύο βήματα).
Συμφωνείται επίσης ότι η Lesha πηδήξει τις σκάλες από n> 2 βήματα. Ας υποθέσουμε ότι πήδηξε δύο βήματα την πρώτη φορά. Έτσι, ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, πρέπει να πηδήξει άλλο n – 2βήματα. Στη συνέχεια, ο αριθμός των τρόπων ολοκλήρωσης της ανάβασης περιγράφεται ως ένα n–2. Και αν υποθέσουμε ότι την πρώτη φορά που η Lesha πήδηξε μόνο ένα βήμα, τότε περιγράφουμε τον αριθμό των τρόπων για να τελειώσει η ανάβαση ως ένα n–1.
Από εδώ παίρνουμε την ακόλουθη ισότητα: a n = a n–1 + a n–2(φαίνεται οικείο, έτσι δεν είναι;).
Αφού ξέρουμε Α'1Και Α2και να θυμάστε ότι υπάρχουν 10 βήματα ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, υπολογίστε με τη σειρά όλα και ν: α 3 = 3, α 4 = 5, α 5 = 8, α 6 = 13, α 7 = 21, α 8 = 34, α 9 = 55, ένα 10 = 89.
Απάντηση: 89 τρόποι.
Εργασία #2:
Πρέπει να βρείτε τον αριθμό των λέξεων μήκους 10 γραμμάτων που αποτελούνται μόνο από τα γράμματα "a" και "b" και δεν πρέπει να περιέχουν δύο γράμματα "b" στη σειρά.
Σημειώστε με a nαριθμός λέξεων μήκος nγράμματα που αποτελούνται μόνο από τα γράμματα «α» και «β» και δεν περιέχουν δύο γράμματα «β» στη σειρά. Που σημαίνει, Α'1= 2, Α2= 3.
Σε ακολουθία Α'1, Α2, <…>, a nθα εκφράσουμε κάθε επόμενο όρο με βάση τους προηγούμενους. Επομένως, ο αριθμός των λέξεων μήκους nγράμματα που επίσης δεν περιέχουν διπλό γράμμα «β» και ξεκινούν με το γράμμα «α» είναι ένα n–1. Κι αν η λέξη είναι μεγάλη nτα γράμματα αρχίζουν με το γράμμα "b", είναι λογικό το επόμενο γράμμα σε μια τέτοια λέξη να είναι "a" (εξάλλου, δεν μπορούν να υπάρχουν δύο "b" σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος). Επομένως, ο αριθμός των λέξεων μήκους nγράμματα σε αυτή την περίπτωση, που δηλώνονται ως ένα n–2. Τόσο στην πρώτη όσο και στη δεύτερη περίπτωση, οποιαδήποτε λέξη (μακροσκελής n – 1Και n - 2γράμματα αντίστοιχα) χωρίς διπλό «β».
Μπορέσαμε να δικαιολογήσουμε το γιατί a n = a n–1 + a n–2.
Ας υπολογίσουμε τώρα α 3= Α2+ Α'1= 3 + 2 = 5, α 4= α 3+ Α2= 5 + 3 = 8, <…>, ένα 10= α 9+ α 8= 144. Και παίρνουμε τη γνωστή ακολουθία Fibonacci.
Απάντηση: 144.
Εργασία #3:
Φανταστείτε ότι υπάρχει μια ταινία χωρισμένη σε κελιά. Πάει δεξιά και διαρκεί επ' αόριστον. Τοποθετήστε μια ακρίδα στο πρώτο τετράγωνο της ταινίας. Σε όποιο κελί της ταινίας κι αν βρίσκεται, μπορεί να κινηθεί μόνο προς τα δεξιά: είτε ένα κελί είτε δύο. Πόσοι τρόποι υπάρχουν με τους οποίους μια ακρίδα μπορεί να πηδήξει από την αρχή της ταινίας μέχρι nτο κελί;
Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των τρόπων για να μετακινήσετε μια ακρίδα κατά μήκος της ζώνης n-ου κελιά όπως a n. Σε αυτήν την περίπτωση Α'1 = Α2= 1. Επίσης σε n + 1Η ακρίδα μπορεί να εισέλθει στο -ο κελί είτε από n-ο κελί, ή πηδώντας από πάνω του. Από εδώ n + 1 = α ν – 1 + a n. Οπου a n = F n – 1.
Απάντηση: F n – 1.
Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοια προβλήματα μόνοι σας και να προσπαθήσετε να τα λύσετε στα μαθήματα μαθηματικών με τους συμμαθητές σας.
Οι αριθμοί Fibonacci στη λαϊκή κουλτούρα
Φυσικά, ένα τόσο ασυνήθιστο φαινόμενο όπως οι αριθμοί Fibonacci δεν μπορεί παρά να τραβήξει την προσοχή. Υπάρχει ακόμα κάτι ελκυστικό και ακόμη και μυστηριώδες σε αυτό το αυστηρά επαληθευμένο μοτίβο. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η ακολουθία Fibonacci κατά κάποιο τρόπο «φώτισε» σε πολλά έργα του σύγχρονου λαϊκό πολιτισμόποικιλία ειδών.
Θα σας πούμε για μερικά από αυτά. Και προσπαθείς να ψάξεις περισσότερο τον εαυτό σου. Αν το βρείτε, μοιραστείτε το μαζί μας στα σχόλια - είμαστε κι εμείς περίεργοι!
- Οι αριθμοί Φιμπονάτσι αναφέρονται στο μπεστ σέλερ του Νταν Μπράουν Ο Κώδικας Ντα Βίντσι: η ακολουθία Φιμπονάτσι χρησιμεύει ως ο κωδικός που χρησιμοποιούν οι κύριοι χαρακτήρες του βιβλίου για να ανοίξουν ένα χρηματοκιβώτιο.
- ΣΕ αμερικανική ταινία 2009 "Mr. Nobody" σε ένα από τα επεισόδια η διεύθυνση του σπιτιού είναι μέρος της ακολουθίας Fibonacci - 12358. Επιπλέον, σε ένα άλλο επεισόδιο κύριος χαρακτήραςπρέπει να καλέσετε έναν αριθμό τηλεφώνου, ο οποίος είναι ουσιαστικά ο ίδιος, αλλά ελαφρώς παραμορφωμένος (επιπλέον ψηφίο μετά το 5): 123-581-1321.
- Στη σειρά «Σύνδεση» του 2012, ο κύριος χαρακτήρας, ένα αγόρι που πάσχει από αυτισμό, είναι σε θέση να διακρίνει μοτίβα σε γεγονότα που συμβαίνουν στον κόσμο. Συμπεριλαμβανομένων μέσω των αριθμών Fibonacci. Και διαχειριστείτε αυτά τα συμβάντα και μέσω αριθμών.
- Προγραμματιστές παιχνιδιών Java για κινητά τηλέφωναΤο Doom RPG τοποθέτησε μια μυστική πόρτα σε ένα από τα επίπεδα. Ο κώδικας που το ανοίγει είναι η ακολουθία Fibonacci.
- Το 2012, το ρωσικό ροκ συγκρότημα Splin κυκλοφόρησε το concept άλμπουμ "Optical Deception". Το όγδοο κομμάτι ονομάζεται "Fibonacci". Οι στίχοι του αρχηγού της ομάδας Alexander Vasiliev παίζουν με την ακολουθία των αριθμών Fibonacci. Για κάθε έναν από τους εννέα διαδοχικούς όρους υπάρχει ένας αντίστοιχος αριθμός γραμμών (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Το τρένο ξεκίνησε
1 Η μία άρθρωση έσπασε
1 Το ένα μανίκι έτρεμε
2 Αυτό είναι όλο, πάρτε τα πράγματα
Αυτό είναι όλο, πάρτε τα πράγματα
3 Αίτημα για βραστό νερό
Το τρένο πηγαίνει στο ποτάμι
Το τρένο περνά μέσα από την τάιγκα<…>.
- Limerick (σύντομο ποίημα) ένα ορισμένο σχήμα- συνήθως πέντε γραμμές, με συγκεκριμένο σχήμα ομοιοκαταληξίας, χιουμοριστικό σε περιεχόμενο, στις οποίες η πρώτη και η τελευταία γραμμή επαναλαμβάνονται ή αντιγράφουν εν μέρει η μία την άλλη) Ο James Lyndon χρησιμοποιεί επίσης μια αναφορά στην ακολουθία Fibonacci ως χιουμοριστικό μοτίβο:
Πυκνό φαγητό των συζύγων Φιμπονάτσι
Ήταν μόνο προς όφελός τους, όχι αλλιώς.
Οι σύζυγοι ζύγισαν, σύμφωνα με φήμες,
Το καθένα είναι σαν τα δύο προηγούμενα.
Ας το συνοψίσουμε
Ελπίζουμε ότι μπορέσαμε να σας πούμε πολλά ενδιαφέροντα και χρήσιμα πράγματα σήμερα. Για παράδειγμα, μπορείτε τώρα να αναζητήσετε τη σπείρα Fibonacci στη φύση γύρω σας. Ίσως είστε εσείς που θα μπορέσετε να ξετυλίξετε «το μυστικό της ζωής, του Σύμπαντος και γενικά».
Χρησιμοποιήστε τον τύπο για τους αριθμούς Fibonacci όταν λύνετε προβλήματα συνδυαστικής. Μπορείτε να βασιστείτε στα παραδείγματα που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο.
blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.