Kako se riješiti korijena nejednakosti. Iracionalne nejednakosti. Sveobuhvatni vodič (2019.)

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na rješavanje iracionalnih nejednakosti razni primjeri.

Tema: Jednačine i nejednačine. Sistemi jednačina i nejednačina

Prilikom rješavanja iracionalnih nejednakosti često je potrebno podići obje strane nejednakosti do određenog stepena; Prisjetimo se karakteristika.

Obje strane nejednakosti se mogu kvadrirati ako su obje nenegativne, tek tada iz prave nejednakosti dobijamo pravu nejednakost.

Obje strane nejednakosti se u svakom slučaju mogu kockati ako je prvobitna nejednakost bila tačna, onda kada se kocka dobijamo ispravnu nejednakost.

Razmotrimo nejednakost oblika:

Radikalni izraz mora biti nenegativan. Funkcija može uzeti bilo koju vrijednost treba uzeti u obzir.

U prvom slučaju, obje strane nejednakosti su nenegativne, imamo pravo kvadrirati. U drugom slučaju desni deo je negativan i nemamo ga pravo kvadrirati. U ovom slučaju, potrebno je sagledati značenje nejednakosti: ovdje je pozitivni izraz (kvadratni korijen) veći od negativnog izraza, što znači da je nejednakost uvijek zadovoljena.

Dakle, imamo sljedeću shemu rješenja:

U prvom sistemu ne štitimo posebno radikalni izraz, jer kada je zadovoljena druga nejednakost sistema, radikalni izraz mora automatski biti pozitivan.

Primjer 1 - riješiti nejednakost:

Prema dijagramu, prelazimo na ekvivalentan skup dva sistema nejednakosti:

Ilustrujmo:

Rice. 1 - ilustracija rješenja primjera 1

Kao što vidimo, kada se riješimo iracionalnosti, na primjer, prilikom kvadriranja, dobijamo skup sistema. Ponekad se ovaj složeni dizajn može pojednostaviti. U rezultujućem skupu imamo pravo da pojednostavimo prvi sistem i dobijemo ekvivalentni skup:

Kao samostalna vježba, potrebno je dokazati ekvivalentnost ovih skupova.

Razmotrimo nejednakost oblika:

Slično prethodnoj nejednakosti, razmatramo dva slučaja:

U prvom slučaju, obje strane nejednakosti su nenegativne, imamo pravo kvadrirati. U drugom slučaju, desna strana je negativna i nemamo je pravo kvadrirati. U ovom slučaju, potrebno je sagledati značenje nejednakosti: ovdje je pozitivan izraz (kvadratni korijen) manji od negativnog izraza, što znači da je nejednakost kontradiktorna. Nema potrebe razmatrati drugi sistem.

Imamo ekvivalentan sistem:

Ponekad se iracionalne nejednakosti mogu riješiti grafička metoda. Ova metoda primjenjivo kada se odgovarajući grafovi mogu prilično lako konstruirati i kada se mogu pronaći njihove točke presjeka.

Primjer 2 - grafički riješite nejednačine:

Već smo riješili prvu nejednačinu i znamo odgovor.

Da biste grafički riješili nejednakosti, potrebno je konstruirati graf funkcije na lijevoj strani i graf funkcije na desnoj strani.

Rice. 2. Grafovi funkcija i

Da bi se nacrtao graf funkcije, potrebno je transformirati parabolu u parabolu (ogledati je u odnosu na y-osu), a rezultirajuću krivu pomaknuti za 7 jedinica udesno. Grafikon to potvrđuje ovu funkciju monotono opada u svom domenu definicije.

Graf funkcije je prava linija i lako se konstruiše. Točka presjeka sa y-osom je (0;-1).

Prva funkcija se monotono smanjuje, druga monotono raste. Ako jednačina ima korijen, onda je ona jedina, lako je pogoditi iz grafa: .

Kada je vrijednost argumenta manja od korijena, parabola je iznad prave linije. Kada je vrijednost argumenta između tri i sedam, prava linija prolazi iznad parabole.

imamo odgovor:

Efikasna metoda Metoda intervala se koristi za rješavanje iracionalnih nejednačina.

Primjer 3 - riješite nejednačine koristeći intervalnu metodu:

Prema metodi intervala, potrebno je privremeno odmaknuti se od nejednakosti. Da biste to učinili, prenesite sve u datoj nejednakosti na lijeva strana(dobite nulu na desnoj strani) i unesite funkciju jednaku lijevoj strani:

Sada moramo proučiti rezultujuću funkciju.

ODZ:

Ovu jednačinu smo već grafički riješili, tako da se ne zadržavamo na određivanju korijena.

Sada je potrebno odabrati intervale konstantnog predznaka i odrediti predznak funkcije na svakom intervalu:

Rice. 3. Intervali konstantnosti predznaka na primjer 3

Podsjetimo da je za određivanje predznaka na intervalu potrebno uzeti probnu točku i zamijeniti je u funkciju koja će rezultujući predznak zadržati kroz cijeli interval.

Provjerimo vrijednost na graničnoj tački:

Odgovor je očigledan:

Razmotrite sljedeću vrstu nejednakosti:

Prvo, zapišimo ODZ:

Korijeni postoje, nisu negativni, možemo kvadrirati obje strane. Dobijamo:

Dobili smo ekvivalentan sistem:

Rezultirajući sistem se može pojednostaviti. Kada su druga i treća nejednakost zadovoljene, prva je automatski tačna. Imamo::

Primjer 4 - riješiti nejednakost:

Ponašamo se prema šemi - dobijamo ekvivalentni sistem.

Da biste dobro riješili zadatke ove teme, potrebno je savršeno savladati teoriju iz nekih prethodnih tema, posebno iz tema “Iracionalne jednadžbe i sistemi” i “Racionalne nejednakosti”. Zapišimo sada jednu od glavnih teorema koje se koriste u rješavanju iracionalnih nejednačina (tj. nejednakosti s korijenima). Dakle, ako obe funkcije f(x) I g(x) nisu negativni, onda je nejednakost:

Ekvivalentno sljedećoj nejednakosti:

Drugim riječima, ako postoje nenegativni izrazi s lijeve i desne strane nejednakosti, onda se ova nejednakost može sigurno podići na bilo koji stepen. Pa, ako trebate podići cijelu nejednakost na neparan stepen, onda u ovom slučaju nije potrebno ni zahtijevati da lijeva i desna strana nejednakosti budu nenegativne. dakle, svaka nejednakost bez ograničenja može se podići na neparan stepen. Još jednom naglasimo da je za podizanje nejednakosti na paran stepen potrebno osigurati da obje strane ove nejednakosti nisu negativne.

Ova teorema postaje vrlo relevantna upravo u iracionalnim nejednačinama, tj. u nejednačinama s korijenima, gdje je za rješavanje većine primjera potrebno nejednakosti podići do određenog stepena. Naravno, kod iracionalnih nejednakosti mora se vrlo pažljivo uzeti u obzir ODZ, koji se uglavnom formira iz dva standardna uslova:

Korijeni parnih stupnjeva moraju sadržavati nenegativne izraze;
Imenioci razlomaka ne bi trebali sadržavati nule.

Prisjetimo se i toga Vrijednost parnog korijena uvijek nije negativna.

U skladu sa onim što je rečeno, ako iracionalna nejednakost ima više od dva kvadratni korijeni, onda prije kvadriranja nejednakosti (ili nekog drugog parnog stepena), morate se uvjeriti da na svakoj strani nejednakosti postoje nenegativni izrazi, tj. sume kvadratnih korijena. Ako postoji razlika u korijenima na jednoj strani nejednakosti, onda se ništa ne može unaprijed znati o predznaku takve razlike, što znači da je nemoguće podići nejednakost na paran stepen. U tom slučaju morate prenijeti korijene kojima prethode znakovi minus suprotne strane nejednakosti (s lijeva na desno ili obrnuto), tako će se predznaci minus ispred korijena promijeniti u plus, a na obje strane nejednakosti će se dobiti samo zbroji korijena. Tek nakon toga se cjelokupna nejednakost može kvadrirati.

Kao iu drugim temama iz matematike, pri rješavanju iracionalnih nejednačina možete koristiti varijabilna metoda zamjene. Glavna stvar je ne zaboraviti da nakon uvođenja zamjene novi izraz treba da postane jednostavniji i da ne sadrži staru varijablu. Osim toga, ne smijete zaboraviti izvršiti obrnutu zamjenu.

Hajde da se zadržimo na nekoliko relativno jednostavnih, ali uobičajenih tipova iracionalnih nejednakosti. Prva vrsta takvih nejednakosti je kada upoređuju se dva korijena parnog stepena, tj. postoji nejednakost oblika:

Ova nejednakost sadrži nenegativne izraze na obje strane, tako da se može sigurno podići na stepen 2 n, nakon čega, uzimajući u obzir ODZ, dobijamo:

Imajte na umu da je ODZ napisan samo za radikalni izraz koji je manji. Drugi izraz će automatski biti veći od nule, jer je veći od prvog izraza, koji je zauzvrat veći od nule.

U slučaju kada pretpostavlja se da je paran korijen veći od nekog racionalno izražavanje

Rješenje takve nejednakosti provodi se prelaskom na skup od dva sistema:

I konačno, u slučaju kada Pretpostavlja se da je korijen parnog stepena manji od nekog racionalnog izraza, tj. u slučaju kada postoji iracionalna nejednakost oblika:

Rješenje takve nejednakosti provodi se prelaskom na sistem:

U slučajevima kada se uspoređuju dva korijena neparnog stepena ili se pretpostavlja da je korijen neparnog stepena veći ili manji od nekog racionalnog izraza, možete jednostavno podići cijelu nejednakost na željeni neparni stepen i tako se riješiti svih korijenje. U ovom slučaju ne nastaje dodatni ODZ, jer se nejednakosti mogu podići na neparni stepen bez ograničenja, a ispod korijena neparnih potencija mogu biti izrazi bilo kojeg predznaka.

Metoda generaliziranog intervala

U slučaju kada postoji kompleks iracionalna jednačina, koji ne spada ni u jedan od gore opisanih slučajeva i koji se ne može riješiti podizanjem na neki stepen, mora se primijeniti metoda generalizovanog intervala, što je kako slijedi:

Define DL;
Transformirajte nejednakost tako da na desnoj strani bude nula (na lijevoj strani, ako je moguće, smanjite na zajednički imenilac, faktorizacija, itd.);
Pronađite sve korijene brojnika i nazivnika i ucrtajte ih na brojevnu osu, a ako nejednakost nije stroga, prebojite korijene brojnika, ali u svakom slučaju ostavite korijene nazivnika iscrtane;
Pronađite predznak cijelog izraza na svakom od intervala zamjenom broja iz datog intervala u transformiranu nejednačinu. U tom slučaju više nije moguće mijenjati znakove na bilo koji način pri prolasku kroz točke na osi. Potrebno je odrediti predznak izraza na svakom intervalu zamjenom vrijednosti iz intervala u ovaj izraz, i tako za svaki interval. Ovo više nije moguće (ovo je, uglavnom, razlika između generalizovane intervalne metode i uobičajene);
Pronađite presjek ODZ-a i intervala koji zadovoljavaju nejednakost, ali ne gubite pojedinačne točke koje zadovoljavaju nejednakost (korijene brojnika u nestrogim nejednačinama), i ne zaboravite iz odgovora isključiti sve korijene imenilac u svim nejednačinama.

Nazad
Naprijed

Kako se uspješno pripremiti za CT iz fizike i matematike?

Da bi se uspješno pripremili za CT iz fizike i matematike, između ostalog, potrebno je ispuniti tri najvažnija uslova:

Proučite sve teme i ispunite sve testove i zadatke date u edukativnim materijalima na ovoj stranici. Da biste to učinili, ne trebate baš ništa, naime: svaki dan posvetite tri do četiri sata pripremi za CT iz fizike i matematike, proučavanju teorije i rješavanju problema. Činjenica je da je CT ispit na kojem nije dovoljno samo znati fiziku ili matematiku, potrebno je i da umijete riješiti brzo i bez grešaka veliki broj zadataka na različite teme i različite složenosti. Ovo poslednje se može naučiti samo rešavanjem hiljada problema.
Naučite sve formule i zakone u fizici, te formule i metode u matematici. U stvari, i to je vrlo jednostavno za napraviti, postoji samo oko 200 potrebnih formula u fizici, a još nešto manje u matematici. Svaki od ovih predmeta sadrži desetak standardne metode rješavanje problema osnovnog nivoa složenosti, koji se također mogu naučiti, a samim tim potpuno automatski i bez poteškoća rješavati u pravi trenutak većina CT. Nakon toga, morat ćete razmišljati samo o najtežim zadacima.
Pohađati sve tri faze probnog testiranja iz fizike i matematike. Svaki RT se može posjetiti dva puta da se odluči za obje opcije. Opet, na CT-u, pored sposobnosti brzog i efikasnog rješavanja problema, te poznavanja formula i metoda, morate znati i pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage, i što je najvažnije, pravilno popuniti formular za odgovore, bez zbunjujući brojeve odgovora i zadataka, ili svoje prezime. Takođe, tokom RT-a, važno je naviknuti se na stil postavljanja pitanja u problemima, koji se možda čini nepripremljenoj osobi veoma neobično.

Uspješna, marljiva i odgovorna implementacija ove tri tačke omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.

Našli ste grešku?

Ako mislite da ste pronašli grešku u edukativni materijali, a zatim pišite o tome putem e-pošte. Takođe možete prijaviti grešku socijalna mreža(). U pismu naznačite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem, po vašem mišljenju, postoji greška. Također opišite o čemu se sumnja na grešku. Vaše pismo neće proći nezapaženo, greška će biti ili ispravljena, ili će Vam biti objašnjeno zašto nije greška.

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na rješavanje iracionalnih nejednakosti i dati različite primjere.

Tema: Jednačine i nejednačine. Sistemi jednačina i nejednačina

lekcija:Iracionalne nejednakosti

Prilikom rješavanja iracionalnih nejednakosti često je potrebno podići obje strane nejednakosti do određenog stepena; Prisjetimo se karakteristika.

Obje strane nejednakosti se mogu kvadrirati ako su obje nenegativne, tek tada iz prave nejednakosti dobijamo pravu nejednakost.

Obje strane nejednakosti se u svakom slučaju mogu kockati ako je prvobitna nejednakost bila tačna, onda kada se kocka dobijamo ispravnu nejednakost.

Razmotrimo nejednakost oblika:

Radikalni izraz mora biti nenegativan. Funkcija može uzeti bilo koju vrijednost treba uzeti u obzir.

U prvom slučaju, obje strane nejednakosti su nenegativne, imamo pravo kvadrirati. U drugom slučaju, desna strana je negativna i nemamo je pravo kvadrirati. U ovom slučaju, potrebno je sagledati značenje nejednakosti: ovdje je pozitivni izraz (kvadratni korijen) veći od negativnog izraza, što znači da je nejednakost uvijek zadovoljena.

Dakle, imamo sljedeću shemu rješenja:

U prvom sistemu ne štitimo posebno radikalni izraz, jer kada je zadovoljena druga nejednakost sistema, radikalni izraz mora automatski biti pozitivan.

Primjer 1 - riješiti nejednakost:

Prema dijagramu, prelazimo na ekvivalentan skup dva sistema nejednakosti:

Ilustrujmo:

Rice. 1 - ilustracija rješenja primjera 1

Kao samostalna vježba, potrebno je dokazati ekvivalentnost ovih skupova.

Razmotrimo nejednakost oblika:

Slično prethodnoj nejednakosti, razmatramo dva slučaja:

Imamo ekvivalentan sistem:

Ponekad se iracionalne nejednakosti mogu riješiti grafički. Ova metoda je primenljiva kada se odgovarajući grafovi mogu prilično lako konstruisati i kada se mogu pronaći njihove tačke preseka.

Primjer 2 - grafički riješite nejednačine:

Već smo riješili prvu nejednačinu i znamo odgovor.

Da biste grafički riješili nejednakosti, potrebno je konstruirati graf funkcije na lijevoj strani i graf funkcije na desnoj strani.

Rice. 2. Grafovi funkcija i

Da bi se nacrtao graf funkcije, potrebno je transformirati parabolu u parabolu (ogledati je u odnosu na y-osu), a rezultirajuću krivu pomaknuti za 7 jedinica udesno. Graf potvrđuje da ova funkcija monotono opada u svojoj domeni definicije.

Graf funkcije je prava linija i lako se konstruiše. Točka presjeka sa y-osom je (0;-1).

Prva funkcija se monotono smanjuje, druga monotono raste. Ako jednačina ima korijen, onda je ona jedina, lako je pogoditi iz grafa: .

Kada je vrijednost argumenta manja od korijena, parabola je iznad prave linije. Kada je vrijednost argumenta između tri i sedam, prava linija prolazi iznad parabole.

imamo odgovor:

Efikasna metoda za rješavanje iracionalnih nejednačina je intervalna metoda.

Primjer 3 - riješite nejednačine koristeći intervalnu metodu:

Prema metodi intervala, potrebno je privremeno odmaknuti se od nejednakosti. Da biste to učinili, pomaknite sve u datoj nejednadžbi na lijevu stranu (dobite nulu na desnoj strani) i uvedite funkciju jednaku lijevoj strani:

Sada moramo proučiti rezultujuću funkciju.

ODZ:

Ovu jednačinu smo već grafički riješili, tako da se ne zadržavamo na određivanju korijena.

Sada je potrebno odabrati intervale konstantnog predznaka i odrediti predznak funkcije na svakom intervalu:

Rice. 3. Intervali konstantnosti predznaka na primjer 3

Podsjetimo da je za određivanje predznaka na intervalu potrebno uzeti probnu točku i zamijeniti je u funkciju koja će rezultujući predznak zadržati kroz cijeli interval.

Provjerimo vrijednost na graničnoj tački:

Odgovor je očigledan:

Razmotrite sljedeću vrstu nejednakosti:

Prvo, zapišimo ODZ:

Korijeni postoje, nisu negativni, možemo kvadrirati obje strane. Dobijamo:

Dobili smo ekvivalentan sistem:

Rezultirajući sistem se može pojednostaviti. Kada su druga i treća nejednakost zadovoljene, prva je automatski tačna. Imamo::

Primjer 4 - riješiti nejednakost:

Ponašamo se prema šemi - dobijamo ekvivalentni sistem.

Poziva se svaka nejednakost koja uključuje funkciju ispod korijena iracionalno. Postoje dvije vrste takvih nejednakosti:

U prvom slučaju, korijen manje funkcije g (x), u drugom - više. Ako je g(x) - konstantan, nejednakost je znatno pojednostavljena. Imajte na umu: spolja su ove nejednakosti vrlo slične, ali njihove sheme rješenja su fundamentalno različite.

Danas ćemo naučiti kako riješiti iracionalne nejednakosti prvog tipa - one su najjednostavnije i najrazumljivije. Znak nejednakosti može biti strog ili nestrog. Za njih je tačna sljedeća izjava:

Teorema. Svaka iracionalna nejednakost oblika

Ekvivalentno sistemu nejednakosti:

Nije slab? Pogledajmo odakle dolazi ovaj sistem:

f (x) ≤ g 2 (x) - ovdje je sve jasno. Ovo je izvorna nejednakost na kvadrat;
f (x) ≥ 0 je ODZ korijena. Da vas podsjetim: aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativan brojevi;
g(x) ≥ 0 je raspon korijena. Kvadriranjem nejednakosti spaljujemo negativne. Kao rezultat, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Nejednakost g(x) ≥ 0 ih odsijeca.

Mnogi učenici se „zakače“ na prvu nejednakost sistema: f (x) ≤ g 2 (x) - i potpuno zaborave druge dvije. Rezultat je predvidljiv: pogrešna odluka, izgubljeni bodovi.

Budući da su iracionalne nejednakosti prilično složena tema, pogledajmo 4 primjera odjednom. Od osnovnih do zaista složenih. Svi problemi se uzimaju sa prijemnih ispita Moskovskog državnog univerziteta. M. V. Lomonosov.

Primjeri rješavanja problema

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Pred nama je klasik iracionalna nejednakost: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - konstanta. Imamo:

Od tri nejednačine, samo dvije su ostale na kraju rješenja. Jer nejednakost 2 ≥ 0 uvijek vrijedi. Prekrižimo preostale nejednačine:

Dakle, x ∈ [−1.5; 0,5]. Sve tačke su zasjenjene jer nejednakosti nisu stroge.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Primjenjujemo teoremu:

Riješimo prvu nejednačinu. Da bismo to učinili, otkrit ćemo kvadrat razlike. Imamo:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Sada riješimo drugu nejednačinu. I tamo kvadratni trinom:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)