Mga galaw. Mga pagbabago sa hugis. Mga pagbabagong geometriko

1. Ang kakanyahan ng paraan ng pagbabago, ang lugar nito sa kurso sa paaralan geometry.

2. Mga uri ng pagbabago:

a) mga paggalaw at ang kanilang mga katangian; pagkakapantay-pantay ng mga numero;

b) pagbabago ng pagkakatulad; katulad na mga pigura.

3. Mga aplikasyon ng paraan ng pagbabago.

(1) Para sa iba't ibang mga may-akda ng mga aklat-aralin para sa mga sekondaryang paaralan sa geometry, ang mga pagbabago ay sumasakop sa iba't ibang mga posisyon sa mga tuntunin ng lakas ng tunog at antas ng higpit. SA aklat-aralin na-edit ni A. N. Kolmogorov, ang mga pagbabagong-anyo ay nagsisilbing batayan para sa patunay ng maraming mga theorems (ang kanilang espesyal na axiom ng kadaliang kumilos ay nakatuon sa kanilang pagbibigay-katwiran). Ang aklat-aralin ni A.P. Kiselev ay walang sinasabi tungkol sa mga pagbabago.

Sa geometry 7-11 ni A.V. Pogorelova, ang paksa ng pagbabago ng mga numero ay tinalakay sa ikawalong baitang. Ang paksa ay hindi malaki ang saklaw. Ang konsepto ng "pagbabagong-anyo" ay nakuha sa isang visual at intuitive na antas: "Kung ang bawat punto ng isang naibigay na figure ay inilipat sa ilang paraan, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang bagong figure. Sinasabi nila na ang figure na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabago mula sa isang ito."

Ang deskriptibong kahulugan ay sinamahan ng isang larawan. Ang isang kahulugan ng paggalaw ay ibinigay at ang mga katangian nito ay isinasaalang-alang. Susunod, malinaw na tinukoy ang mga partikular na uri ng pagbabago. Sa tutorial na ito, ang symmetry tungkol sa isang punto, symmetry tungkol sa isang linya, homothety at pagkakatulad ay tinukoy bilang mga pagbabagong may katumbas na katangian; Ang parallel na pagsasalin ay tinukoy bilang isang pagbabago sa anyo ng coordinate; at ang pagliko ay tinukoy bilang isang uri ng paggalaw. Kasama ng kahulugan ng mga pagbabago, isang paraan para sa pagbuo ng mga numero sa panahon ng mga pagbabagong-anyo ay ibinigay din.

Sa aklat-aralin na Geometry 7-9 (mga may-akda: L. S. Atanasyan at iba pa), ang materyal sa mga pagbabagong-anyo ay ipinakita sa ilalim ng paksang "Mga Paggalaw" sa ika-9 na baitang. Ito ang huling paksa sa tutorial na ito. Dito ipinakilala ang mga konsepto ng "pagma-map ng eroplano sa sarili nito", "paggalaw" at isinasaalang-alang ang mga pangunahing uri ng paggalaw. Bilang karagdagan, naiintindihan niya mahalagang tanong tungkol sa koneksyon ng mga konsepto mga overlay At paggalaw, ang kanilang pagkakapareho ay napatunayan.

Ang pangunahing layunin ng paksa ay upang ipakilala sa mga mag-aaral ang konsepto ng paggalaw sa isang eroplano, na may mga tiyak na uri ng paggalaw: sentral at axial symmetry, parallel na pagsasalin, pag-ikot. Ang konsepto ng pagmamapa ng isang eroplano papunta sa sarili nito ay isinasaalang-alang lamang bilang isang batayan para sa pagpapakilala ng konsepto ng paggalaw. Ang pagmamapa ng isang eroplano papunta sa sarili nito sa isang visual at intuitive na antas ay isinasaalang-alang gamit ang mga konsepto ng axial at central symmetry na alam na ng mga mag-aaral.

Mula noong programa sekondaryang paaralan sa matematika ay hindi pa nagbibigay ng detalyadong pag-aaral iba't ibang katangian ng mga ipinahiwatig na pagbabagong-anyo, kung gayon ang isyu ng paggamit ng mga pagbabagong-anyo ay dapat dalhin sa mga elektibong klase o isaalang-alang sa mga klase ng bilog sa matematika. Tulad ng nabanggit sa itaas, ang kursong geometry ng paaralan ng pangkalahatang edukasyon ay hindi napupunta sa detalye tungkol sa kahulugan ng matematika ng konsepto ng "pagbabagong-anyo". Ngunit dapat maunawaan ng isang guro sa matematika na sa geometry, ang pagbabago (sa kaso ng isang eroplano) ay nauunawaan bilang "isang pagmamapa ng buong eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang bawat punto X ipinapakita sa isang punto X 1, at sa bawat punto Y 1 ay tumutugma sa isang punto Y».

Nakikipag-usap kami sa mga mag-aaral tungkol sa pagbabago ng mga hugis. Ang isang figure, hindi tulad ng isang eroplano, ay may hangganan, kaya ang konsepto ng pagbabago ng mga numero ay mas madaling ma-access. Maaaring sabihin sa mga mag-aaral na ang pagbabago ng isang eroplano ay isang function, at edukasyon, ngunit sa geometry ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa pagsusulatan ng mga puntos, hindi mga numero.

(2) Sa mga pagbabagong pinag-aralan sa paaralan, may dalawang uri: motion at similarity transformation. Hindi lahat ng uri ng pagbabago ay pinag-aaralan sa paaralan.

"Ang pagbabago ng isang pigura patungo sa isa pa ay tinatawag na paggalaw kung pinapanatili nito ang distansya sa pagitan ng mga punto, i.e. nagsasalin ng alinmang dalawang punto X At Y isang figure sa mga puntos X 1 at Y 1 pang figure kaya na XY = X 1 Y 1 ".

Kung ang sunud-sunod na pagpapatupad ng dalawa o higit pang mga pagbabago ay isinasaalang-alang, kung gayon ang resulta ng naturang sunud-sunod na pagpapatupad ng mga pagbabago sa geometry ay tinatawag na komposisyon mga pagbabagong-anyo.

Sa tutorial na ito, isang pag-aari lamang ng komposisyon ang ibinibigay: dalawang paggalaw na isinagawa nang sunud-sunod ay nagdudulot muli ng paggalaw.

Ang kabaligtaran na pagbabago ng isang ito ay isinasaalang-alang din. Ito ay pinatunayan na ang isang pagbabagong kabaligtaran sa paggalaw ay paggalaw.

Mayroong isang implicit na pag-aari: ang komposisyon ng isang pagbabagong-anyo ng kabaligtaran nito ay isang magkaparehong pagbabago.

Dapat na maunawaan ng mga mag-aaral na pagkatapos patunayan ang mga katangian ng paggalaw, posible na gumana hindi lamang sa mga puntos, kundi pati na rin sa mga pagbabagong-anyo ng mga segment, tuwid na linya, ray, anggulo, atbp. At maaari kang maging ganap na sigurado na ang mga figure na sumailalim sa pagbabago ng paggalaw ay magiging pareho: ang mga segment ay magiging mga segment, anggulo sa mga anggulo, atbp.; Bukod dito, ang mga segment ay magiging pantay na mga segment, ang mga anggulo sa pantay na mga anggulo, atbp.

Sa aklat-aralin ni A.V. Pogorelov, pinatunayan na ang simetrya tungkol sa isang punto ay paggalaw (gamit ang unang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok); ang simetrya tungkol sa isang tuwid na linya ay paggalaw (napatunayan gamit ang coordinate method). Sa pangalawang kaso, ang axis ng symmetry ay pinili bilang ang ordinate axis.

Ang susunod na hakbang sa pag-aaral ng mga paggalaw ay gamitin ang mga ito upang matukoy pagkakapantay-pantay mga numero.

Ang pagkakapantay-pantay ng mga numero ay ipinakilala sa iba't ibang paraan sa iba't ibang kurso sa geometry ng paaralan. Minsan ang pangkalahatang kahulugan ay " pantay na mga numero” hindi man lang binigay, minsan pinapakilala agad. Sa aklat-aralin A.V. Unang ipinakilala ni Pogorelov ang konsepto ng pagkakapantay-pantay ng mga tiyak na numero (mga segment, anggulo, tatsulok), at pagkatapos ay nagbibigay pangkalahatang kahulugan pagkakapantay-pantay ng mga numero gamit ang konsepto ng paggalaw: " Ang dalawang figure ay tinatawag na pantay kung sila ay nababago sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw."

Ito ay napatunayan mahalagang katotohanan: ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, na tinutukoy sa pamamagitan ng kanilang kumbinasyon sa pamamagitan ng paggalaw, at pagkakapantay-pantay, tulad ng naunawaan natin hanggang ngayon, ay nagpapahayag ng parehong bagay. Sa madaling salita, posibleng patunayan ang pagkakapareho ng dalawang kahulugan. Ang patunay ay binubuo ng dalawang bahagi: 1) mula sa pagpapalagay na 2 tatsulok ABC At A 1 SA 1 SA 1 ay pinagsama sa pamamagitan ng paggalaw, ang pagkakapantay-pantay ng kanilang kaukulang mga anggulo at panig ay napatunayan; 2) ipinapalagay na ang mga tatsulok na ito ay may pantay na katumbas na panig at anggulo at napatunayan na ang mga ito ay maaaring pagsamahin sa pamamagitan ng paggalaw.

Ang unang bahagi ng patunay ay umaasa sa kahulugan ng paggalaw at ang pag-aari nito na ang mga anggulo ay pinananatili sa panahon ng paggalaw. Ang solusyon sa ikalawang bahagi ng problema ay depende sa lokasyon ng mga tatsulok. Isaalang-alang natin ang isa sa mga pagpipilian sa patunay, naiiba sa ibinigay sa aklat-aralin ni A.V. Pogorelova. Tatsulok A 2 SA 1 SA 2 ay nagmula sa isang tatsulok ABC parallel translation sa direksyon na tinukoy ng beam AA 2 bawat distansya AA 2. Tatsulok A 1 SA 1 SA 1 ay nagmula sa isang tatsulok A 2 SA 1 SA 2 sa pamamagitan ng pag-ikot sa pamamagitan ng anggulo α clockwise (tingnan ang Fig. 1).

Ang pangunahing layunin ng pag-aaral ng paksang ito ay upang ipakilala ang mga mag-aaral sa mga halimbawa ng mga pagbabagong geometriko.

Kapag nagtatrabaho sa paksa, ang pangunahing pansin ay dapat bayaran sa pagbuo ng mga kasanayan sa pagbuo ng mga larawan ng pinakasimpleng mga numero (mga punto, mga segment, mga tatsulok) na may mga tiyak na paggalaw. Ang pag-aari ng paggalaw ay ginagamit sa isang visual at intuitive na antas; ang mga kaukulang theorems ay maaaring isaalang-alang nang walang patunay. Habang nilulutas ang mga problema, dapat maging pamilyar ang mga estudyante sa mga halimbawa ng mga figure na may simetriya.

Pangkalahatang konsepto tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga numero ay maaari lamang isaalang-alang sa isang panimulang paraan (halimbawa, sa lecture form) nang walang kasunod na pagpaparami ng patunay ng mga mag-aaral.

Sa aklat-aralin, geometry 7-9 HP. Atanasyan at iba pa, ang paksang "Movement" ay nagsisimula sa pagpapakilala ng konsepto ng pagma-map ng isang eroplano sa sarili nito, ang kahulugan kung saan ay ibinigay nang deskriptibo.

Ang pag-aaral ng paksa ay nagsisimula sa pag-uulit ng konsepto ng isang puntong simetriko tungkol sa isang naibigay na punto ( sentral na simetrya) at ang ibinigay na linya ( axial symmetry).

Mas maaga, sa ika-8 baitang, itinuturing ng mga mag-aaral ang central at axial symmetry bilang isang property mga geometric na hugis. Ngayon ang mga ito, sa pangkalahatan, ang mga pamilyar na konsepto ay ipinakilala bilang mga halimbawa ng pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito. Sa panahon ng pagsusuri, dapat ipakilala sa mga mag-aaral ang konsepto ng pagpapanatili ng distansya sa pagitan ng mga punto. Ang isang bagay na tulad ng mga sumusunod na gawain ay maaaring magsilbi sa layuning ito.

1. Plot points A 1 , SA 1, simetriko sa mga puntos A At SA medyo tuwid l(tingnan ang Fig. 2a – 2c).

2. Mayroon bang punto sa eroplano kung saan walang puntong simetriko tungkol sa isang linya?

3. Patunayan na sa bawat isa sa mga kaso 2a – 2b A 1 SA 1 = AB.

4. Maghintay ng isang minuto A 1 at SA 1, simetriko sa mga puntos A At SA kaugnay sa punto TUNGKOL SA, kung a) punto TUNGKOL SA namamalagi sa segment AB; b) punto TUNGKOL SA ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya AB.

5. Mayroon bang ganoong punto sa eroplano kung saan walang puntong simetriko tungkol sa puntong ito?

6. Patunayan na sa bawat isa sa 4 na kaso na isinasaalang-alang sa problema A 1 SA 1 = AB.

Ngayon ay maaari nating ipakilala ang konsepto ng pagmamapa ng isang eroplano sa sarili nito at ilarawan ito sa mga halimbawa ng sentral at axial symmetry. Mahalagang bigyang-diin na kapag nagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, 2 kundisyon ang natutugunan:

1) Ang bawat punto sa eroplano ay nauugnay sa isang punto sa eroplano;

2) Ang bawat punto sa eroplano ay inilalagay sa sulat na may ilang punto sa eroplano.

Pagkatapos nito, maaari mong isaalang-alang ang mga gawain sa pagsasama-sama konseptong ito.

Ngayon, batay sa mga gawain 3 at 6 na tinalakay sa itaas, ipinakilala namin ang konsepto ng paggalaw:

"Ang paggalaw ng isang eroplano ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na pinapanatili ang distansya."

Pagkatapos nito, isinasaalang-alang ang theorem sa pagmamapa ng isang segment at ang corollary nito. Dapat ipaalala sa mga mag-aaral na ang patunay ay binubuo ng 2 bahagi:

1) ito ay pinatunayan na ang bawat punto R ng segment na ito MN mapa sa isang tiyak na punto R 1 segment M 1 N 1 ;

2) ito ay pinatunayan na sa bawat punto R 1 segment M 1 N 1 ilang punto ang pumasa R ng segment na ito MN.

Ang item na Overlay at Movement ay opsyonal, ngunit maaaring isaalang-alang sa isang mahusay na inihandang klase. Ang materyal na ito ay maaaring iharap sa anyo ng panayam. Ang konsepto ng superposisyon, kung saan natukoy ang pagkakapantay-pantay ng mga numero, ay isa sa mga pangunahing (hindi natukoy) na mga konsepto sa kursong geometry na ito. Ang mga imposisyon ay tulad ng mga pagmamapa ng eroplano sa sarili nito na may mga katangiang ipinahayag sa axioms 7 – 13 (Atanasyan L.S. et al. Geo. 7-9).

Ang paggalaw ay isang tinukoy na konsepto: ito ay isang pagmamapa ng isang eroplano papunta sa sarili nito, pinapanatili ang distansya.

Mula sa kahulugan ng paggalaw at ang mga axioms ng pagpapataw ay agad itong sumusunod na anuman overlay ay paggalaw. Ang kabaligtaran na pahayag ay napatunayan din: anuman paggalaw ay pagpapataw.

Kaya, ang konsepto ng superposisyon ay tumutugma sa konsepto ng paggalaw.

Hindi na kailangang hilingin sa mga mag-aaral na patunayan ang mga katotohanang itinakda sa talata 115.

Ang materyal tungkol sa magkatulad na pagsasalin at pag-ikot ng dalawa pang uri ng paggalaw ay maaari ding iharap sa anyo ng isang panayam. Ito ay kapaki-pakinabang upang maakit ang atensyon ng mga mag-aaral sa katotohanan na sa parallel na pagsasalin, ang isang linya ay nakamapa sa isang linya na parallel dito o sa sarili nito. Mula dito ay sumusunod ang isang simpleng paraan para sa pagbuo ng mga larawan ng mga tuwid na linya at mga segment na may parallel na pagsasalin.

Maaaring suriin ng malalakas na mag-aaral ang patunay na ang parallel translation at rotation ay mga paggalaw sa textbook sa kanilang sariling karapatan sa klase, na sinusundan ng pangkalahatang talakayan. Ang mga mahihinang estudyante ay hindi dapat kailanganin na magparami ng ebidensya.

Sa dulo ng kabanata mayroong mga geometric na problema kung saan inirerekomenda na gumamit ng mga paggalaw.

Ang ilan sa mga problemang ito ay binibigyan ng mga solusyon.

(2b) Ang pagbabago ng pagkakatulad ay gumaganap mahalagang papel sa geometry. Ito ay naiintindihan. Ang aming tunay na espasyo ay may pagkakatulad na grupo. Ang lahat ng mga geometric na bagay ng espasyo, kung sila ay nabuo mula sa tuwid na mga segment, ay maaaring nahahati sa 2 set: magkatulad at hindi magkatulad na mga numero. Sa maraming katulad na mga numero ay maaaring may mga katumbas. Ang konsepto ng bata sa pagkakatulad ng mga figure ay lumitaw nang mas maaga kaysa sa konsepto ng kanilang laki. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng mga kakaibang visual na pang-unawa: Dalawang figure iba't ibang laki, ngunit magkapareho sa hugis ay hindi sila magkakaiba.

Ang hugis ng mga figure ay hindi nagbabago kapag ang distansya mula sa kung saan ang figure ay nakikita pagbabago. Ang mga pangunahing palatandaan ng hindi nababago ng hugis ng isang pigura ay pagkakapantay-pantay mga sulok at proporsyonalidad kaukulang mga segment.

Sa aklat-aralin A.V. Pogorelova Geometry 7 – 11 Ang kahulugan ng pagbabago ng pagkakatulad ay ipinakilala nang katulad ng kahulugan ng paggalaw:

Ang pagbabagong-anyo ng figure F sa figure F 1 ay tinatawag na pagkakatulad na pagbabagong-anyo kung sa panahon ng pagbabagong ito ang distansya sa pagitan ng mga puntos ay tumataas (o bumababa) ng parehong bilang ng beses.

Nangangahulugan ito na kung arbitrary puntos A At SA mga numero F sa pagbabagong ito napupunta sila sa mga puntos A 1 at SA 1 figure F 1, pagkatapos A 1 SA 1 = kАВ. Numero k tinatawag na koepisyent ng pagkakatulad.

Matapos ipakilala ang konseptong ito, napatunayan na homothety may pagbabago ng pagkakatulad. Ang katotohanang ito ay pinatunayan ng paraan ng vector. Katulad nito, tulad ng para sa paggalaw, pinatunayan na kapag binabago ang pagkakatulad ng tatlong puntos A, SA, SA, nakahiga sa parehong tuwid na linya, ibahin ang anyo sa tatlong puntos A 1 , SA 1 , SA 1 nakahiga sa parehong tuwid na linya, at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang kamag-anak na posisyon ay napanatili. Kasunod nito na ang pagbabagong-anyo ng pagkakatulad ay nagbabago ng mga linya sa mga tuwid na linya, mga sinag sa mga sinag, mga segment sa mga segment.

Gamit ang homothety, napatunayan na ang pagbabago ng pagkakatulad ay nagpapanatili ng mga anggulo sa pagitan ng kalahating linya.

Dapat bigyang-pansin ng mga mag-aaral ang katotohanan na hindi lahat ng pagbabago sa pagkakatulad ay isang homothety.

Gamit ang konsepto ng pagbabagong-anyo ng pagkakatulad, ibinigay ang kahulugan ng magkatulad na mga pigura. Sa aklat-aralin A.V. Si Pogorelov ay unang nagbigay ng kahulugan ng magkatulad na mga numero: "Ang dalawang figure ay tinatawag na magkatulad kung sila ay na-convert sa isa't isa sa pamamagitan ng isang pagbabago ng pagkakatulad."

Upang tukuyin ang mga naturang figure, isang espesyal na simbolo ~ ( F ~ F 1).

Pagkatapos ay isinasaalang-alang ang pagkakatulad ng mga tatsulok.

Sa notasyon ∆ ABC~∆A 1 SA 1 SA 1, ipinapalagay na ang mga vertices na pinagsama ng pagbabago ng pagkakatulad ay nasa mga kaukulang lugar, i.e. A pumapasok sa A 1, atbp.

Mula sa mga katangian ng pagbabagong pagkakatulad ay sinusundan iyon katulad na mga tatsulok ang mga katumbas na anggulo ay pantay at ang mga katumbas na panig ay proporsyonal.

Ang mga tampok na patunay ng pagkakatulad ay isinasagawa gamit ang konsepto ng homothety. Ang mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok ay isinasaalang-alang nang hiwalay.

Sinusuri ng paksang "Polygons" ang tanong ng pagkakapareho ng mga regular na convex polygons.

Ang paksang "Mga Lugar ng Mga Figure" ay tumutugon sa isyu ng lugar ng magkatulad na mga numero: "ang mga lugar ng magkatulad na mga numero ay nauugnay bilang mga parisukat ng kanilang kaukulang mga linear na sukat."

Ang konsepto ng pagbabago ng mga figure sa kalawakan ay ipinakilala sa parehong paraan tulad ng sa isang eroplano. Gayunpaman, mayroong ilang mga kakaiba.

Kapag isinasaalang-alang ang pagbabago ng simetrya sa espasyo, bilang karagdagan sa simetrya na may paggalang sa isang punto at isang linya, ang simetrya na may paggalang sa eroplano ay idinagdag. Ang isang bagong pag-aari ng paggalaw sa kalawakan ay ang paggalaw ay nagbabago ng mga eroplano sa mga eroplano. Ang isang bagong pag-aari para sa parallel na paglipat sa kalawakan ay: na may parallel na paglipat sa kalawakan, ang bawat eroplano ay nagbabago alinman sa sarili nito o sa isang eroplanong parallel dito.

Kung isasaalang-alang ang paksang "Mga pagkakatulad ng mga spatial figure", ang mga sumusunod na pahayag ay idinagdag: "isang pagbabagong pagkakatulad ay nagbabago ng mga eroplano sa mga eroplano" at "isang homothety na pagbabago sa espasyo ay nagbabago ng anumang eroplano na hindi dumaan sa gitna ng homothety sa isang parallel na eroplano ( o sa sarili kapag k=1)".

Kapag isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa espasyo, maaaring limitahan ng isang tao ang sarili sa kanilang mga intuitive visual na representasyon at hindi tumuon sa derivation ng mga katotohanang ginamit. At ang pangunahing diin ay dapat sa paggamit ng mga pagbabago sa pagpapatunay ng mga teorema at paglutas ng mga problema.

Sa aklat-aralin L.S. Atanasyan et al. sa ika-8 baitang, tinatalakay ng Kabanata VII ang paksang "Mga Katulad na Triangles," na nagsisimula sa pagpapakilala ng konsepto ng mga proporsyonal na bahagi. Ipinaliwanag sa mga mag-aaral na Araw-araw na buhay kailangan mong harapin ang mga bagay na may parehong hugis, ngunit magkaibang laki. Ang mga naturang bagay ay mga prototype ng magkatulad na mga geometric na figure. Ang focus ay sa mga katulad na triangles. Ang pagkakatulad ng mga tatsulok ay ipinakilala hindi sa pamamagitan ng pagbabago ng pagkakatulad, ngunit sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga anggulo at ang proporsyonalidad ng magkatulad na panig. Ang mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tatsulok ay maaaring mapatunayan nang napakasimple, batay sa teorama: "Kung ang anggulo ng isang tatsulok katumbas ng anggulo isa pang tatsulok, kung gayon ang mga lugar ng mga tatsulok na ito ay magkakaugnay bilang produkto ng mga panig na nakapaloob sa pantay na mga anggulo."

Matapos mapatunayan ang mga palatandaan ng pagkakatulad, ang aplikasyon ng pagkakatulad sa pagpapatunay ng mga teorema at paglutas ng mga problema ay ipinapakita. Bilang mga praktikal na aplikasyon ng pagkakatulad ng tatsulok, ang mga pamamaraan para sa pagbabago ng taas ng isang bagay at ang distansya sa isang hindi naa-access na punto ay inilarawan. Ang isang ideya ng aplikasyon ng pamamaraan ng pagkakatulad sa paglutas ng mga problema sa pagtatayo ay ibinigay.

napaka maikling porma nag-uusap tungkol sa kung paano mo matutukoy ang pagkakatulad ng mga arbitrary figure. ginamit na simbolismo: ∆ ABC~∆A 1 SA 1 SA 1 (tatsulok ABC katulad ng isang tatsulok A 1 SA 1 SA 1). Ang konsepto ng gitnang magkatulad na mga pigura ay ibinigay: “sa bawat punto M mga numero F inihambing ang punto M 1 eroplano upang ang mga puntos M At M 1 kasinungalingan sa isang sinag na may simula sa ilang nakapirming punto TUNGKOL SA, at OM 1 = kOM(tingnan ang Fig. 3). Bilang resulta ng paghahambing na ito, nakuha ang isang figure F 1, katulad ng figure F. Sa kasong ito ang mga numero F At F 1 ay tinatawag na centrally similar."

(3) Ang paraan ng pagbabago ay ginagamit kapag isinasaalang-alang ang iba't-ibang teoretikal na isyu geometry course: Application of motion in determining the equality of figures: application of similarity transformation in the study of similar triangles (sa textbook ni A.V. Pogorelov); Ang magkatulad na transportasyon at mga vector ay malapit na nauugnay.

Ang paraan ng pagbabago ay malawakang ginagamit sa paglutas ng iba't ibang mga problemang geometriko. Gayunpaman, ang mga mag-aaral ay hindi ipinakilala sa paggamit ng paraang ito sa paglutas ng mga problema sa mga aralin sa matematika sa paaralan. Ang tanong na ito ay itinaas sa mga elective o extracurricular na aktibidad.

Ang paraan ng pagbabagong-anyo ay ginagamit kapag nilulutas ang mga problema ng patunay, konstruksiyon, at tinatawag na mga problemang geometriko ng paghahanap ng maximum at minimum. Sa kasong ito, ang lahat ng mga uri ng pagbabago ay ginagamit.

Pahina 1

Ang mga pagbabagong-anyo ng mga numero ay pinag-aralan sa kurso ng geometry sa eroplano at sa kalawakan. Kung ang bawat punto ng isang naibigay na figure sa isang eroplano o sa espasyo ay inilipat sa ilang paraan, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang bagong figure. Sinasabi nila na ang figure na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabagong-anyo mula sa isang ito.

Ang pagbabagong-anyo ng figure F sa F2 ay isang pagkakatulad na pagbabago, dahil pinapanatili nito ang mga ugnayan ng mga distansya sa pagitan ng mga kaukulang punto, ngunit ang pagbabagong ito ay hindi isang homothety.

Ang pagbabago ng figure F sa figure F ay tinatawag na central-like transformation o homothety.

Ang pagbabagong-anyo ng isang figure F sa isang figure P ay tinatawag na isang pagkakatulad na pagbabagong-anyo kung sa panahon ng pagbabagong ito ang mga distansya sa pagitan ng mga puntos ay nagbabago (tumaas o bumaba) ng parehong bilang ng beses.

Hayaan ang pagbabagong-anyo ng isang figure F sa isang figure FI na ilipat ang iba't ibang mga punto ng isang figure F sa iba't ibang mga firebox ng isang figure F. Hayaan ang isang arbitrary point X ng isang figure F na may ganitong pagbabago ay pumunta sa isang punto X ng isang figure F. Pagbabago ng isang figure FI sa isang figure F, kung saan ang point X ay mapupunta sa isang point X, ay tinatawag na inverse transformation ng isang ibinigay na isa. Ang isang pagbabagong kabaligtaran sa paggalaw ay paggalaw din.

Sa geometry, ang isang pagbabagong-anyo ng mga figure na ito ay tinatawag na isang pagkakatulad na pagbabago.

Sa kasong ito, ang pagbabago ng isang pigura ay nauunawaan bilang pag-aalis nito. Sa mga pagbabago, namumukod-tangi ang mga paggalaw at pagbabago ng pagkakatulad. Ang mga partikular na uri ng paggalaw ay isinasaalang-alang: axial symmetry, central symmetry, rotation, parallel translation. Ang isang espesyal na uri ng pagbabago ng pagkakatulad ay homothety.

Ang mga numero na naaayon sa pagbabagong ito ay tinatawag. Ang isang pigura na tumutugma sa magkaparehong polar nito ay tinatawag.

Sa geometry, ang ganitong uri ng pagbabago ng mga numero ay tinatawag na magkatulad.

Sa pamamagitan ng paggalaw, ibig sabihin namin ang gayong pagbabago ng mga numero kapag ang lahat ng kanilang mga punto, nang hindi binabago ang kanilang kamag-anak na posisyon, ay binago ito kaugnay sa mga nakapirming eroplano ng mga projection. Sa panahon ng paggalaw ng plane-parallel, lahat ng mga punto ng figure ay gumagalaw parallel na eroplano. Ito ay karaniwang mga antas ng eroplano o projection na eroplano. Ang mga linya kung saan gumagalaw ang mga punto ay tinatawag na kanilang mga trajectory; ito ay mga kurba ng eroplano.

Gayunpaman, sa maraming mga kaso nangyayari ito kapaki-pakinabang na paggamit pagpapalit ng isang pigura sa isang katulad na pigura. Ang pagkakatulad na ito ay nagpapanatili ng mga anggulo, ngunit maaaring magbago ng mga distansya. Sa kasong ito, tumataas (o bumababa) ang lahat ng distansya sa parehong ratio, na tinatawag na koepisyent ng pagkakatulad.

Kadalasan ay posible na makarating sa solusyon ng isang problema gamit ang paraan ng pagbabago ng mga numero, at kahit na sa maraming mga kaso ang tagumpay ng pamamaraang ito ay maaaring makita sa unang tingin. Binubuo ang paraang ito ng pagpapalit ng ibinigay o ninanais na pigura, o ilang bahagi ng mga ito, ng isang bagong pigura na nauugnay sa orihinal na partikular na konstruksyon at nagpapahintulot sa isa na lutasin ang problema o mas malapit sa solusyon nito. Sa ngayon, isasaalang-alang lamang natin ang mga pagbabagong iyon kung saan ang bagong pigura ay katumbas ng luma at naiiba lamang dito sa posisyon.

Ang pagtatayo ng configuration ng Desarguesian ay humahantong sa isang kawili-wiling kahihinatnan na may kaugnayan sa mga pagbabagong-anyo ng mga figure at ang pagbuo ng mga projection ng pananaw. Kapag nilutas ang nakaraang problema, limang puntos ang ibinigay - isang tuwid na linya ng Desarguesian na tinukoy ng dalawang puntos na M at P, isang punto ng Desarguesian S at dalawang puntos A at A, na matatagpuan sa parehong gilid ng pyramid sa magkakaibang mga seksyon nito. Para sa iba pang dalawang punto ng isang seksyon ng pyramid (base nito), B at C, ang mga katumbas na puntos na B at C ay natagpuan sa isa pang seksyon. Ang mga kaukulang punto ay mga puntos na matatagpuan sa parehong gilid.

75. Mga halimbawa ng pagbabago ng hugis.

1. Symmetry tungkol sa isang punto (central symmetry). Ang simetrya tungkol sa isang punto ay tinukoy bilang mga sumusunod. Hayaan ang O ay isang nakapirming punto at X isang arbitrary na punto. Ang isang punto ay tinatawag na simetriko sa puntong X na may kaugnayan sa puntong O kung ang mga punto ay nasa parehong tuwid na linya at ang puntong simetriko sa puntong O ay mismong punto O. Sa Figure 203, ang mga puntos na X at simetriko sa bawat isa na may kaugnayan sa punto O.

Hayaan si F - ang pigurang ito at ang O ay isang nakapirming punto ng eroplano. Ang pagbabagong-anyo ng isang figure F sa isang figure kung saan ang bawat isa sa mga puntos nito X ay napupunta sa isang puntong simetriko sa X na may kaugnayan sa isang naibigay na punto O ay tinatawag na isang pagbabagong-anyo ng simetriya na may kaugnayan sa punto O. Ang Figure 204 ay nagpapakita ng isang simetriko na may kaugnayan sa gitna O.

Ang Figure 205 ay nagpapakita ng dalawang cubes na simetriko tungkol sa punto O.

Kung ang pagbabagong-anyo ng simetrya tungkol sa puntong O ay isasalin

figure sa sarili nito, pagkatapos ang figure ay tinatawag na sentral na simetriko, at ang punto O ay ang sentro ng simetriya nito. Halimbawa, ang paralelogram ay isang sentral na simetriko na pigura. Ang sentro ng simetrya nito ay ang punto ng intersection ng mga diagonal (Larawan 206, a). Ang isang bilog na may gitnang O ay isa ring sentral na simetriko na pigura na may sentro ng simetrya O (Larawan 206, b) Ang lahat ng nakalistang numero ay patag.

Sa kalawakan, pati na rin sa eroplano, maraming mga halimbawa ng mga sentral na simetriko na figure. Halimbawa, ang Figure 207 ay nagpapakita ng mga sumusunod na figure: isang cube, isang sphere, isang parallelepiped.

2. Symmetry na may kaugnayan sa isang tuwid na linya (axial symmetry). Hayaan akong maging isang nakapirming tuwid na linya (Larawan 208). Ang isang punto ay sinasabing simetriko sa isang punto X na may kaugnayan sa isang tuwid na linya I kung ang tuwid na linya ay patayo sa tuwid na linya I at kung saan ang O ay ang punto ng intersection ng mga tuwid na linya at I. Kung ang punto X ay nasa ibabaw ng tuwid na linya I, pagkatapos ang puntong simetriko dito ay ang punto X mismo. Ang puntong simetriko sa punto ay ang punto X. Sa Figure 208, at ang mga punto ay simetriko tungkol sa tuwid na linya I.

Ang pagbabagong-anyo ng isang figure F kung saan ang bawat punto X ay napupunta sa isang puntong simetriko na may kinalaman sa linya I ay tinatawag na pagbabagong-anyo ng simetriya na may kinalaman sa linya I. Sa kasong ito, ang mga numero ay tinatawag na simetriko na may kinalaman sa linya I.

tuwid na linya I. Ang Figure 208, b ay nagpapakita ng mga bilog na simetriko na may kinalaman sa tuwid na linya I.

Ang Figure 209 ay nagpapakita ng dalawang sphere na simetriko tungkol sa tuwid na linya I.

Kung ang pagbabagong-anyo ng mahusay na proporsyon na may paggalang sa linya I ay binabago ang figure F sa sarili nito, kung gayon ang figure ay tinatawag na simetriko na may paggalang sa linya 19 at ang linya I ay tinatawag na axis ng simetrya ng figure.

Halimbawa, ang mga tuwid na linya na dumadaan sa intersection point ng mga diagonal ng isang parihaba na kahanay sa mga gilid nito ay ang mga axes ng simetrya ng parihaba (Larawan 210, a). Ang mga tuwid na linya kung saan nakahiga ang mga dayagonal ng isang rhombus ay ang mga palakol ng simetriya nito (Larawan 210, b). Ang bilog ay simetriko na may paggalang sa anumang tuwid na linya na dumadaan sa gitna nito (Larawan 210, c). Ang lahat ng mga figure na ito ay flat.

Sa kalawakan, pati na rin sa eroplano, maraming mga halimbawa ng mga figure na may mga axes ng simetrya. Ipinapakita ng Figure 211 ang mga sumusunod na figure: ito ay kuboid, kono, regular na quadrangular pyramid.

3. Symmetry na may kaugnayan sa eroplano. Hayaan ang isang maging isang arbitrary fixed plane. Mula sa punto X ang isang patayo ay ibinababa sa eroplano a (O ay ang punto ng intersection nito sa eroplano a) at sa extension nito lampas sa punto O

magtabi ng isang segment katumbas ng Points X at tinatawag na simetriko na may kaugnayan sa eroplano a (Larawan 212).

Ang pagbabagong-anyo ng figure F kung saan ang bawat punto X ng figure F ay napupunta sa isang puntong simetriko X na may kaugnayan sa eroplano a ay tinatawag na pagbabagong-anyo ng simetrya na may kaugnayan sa eroplano. Sa kasong ito, ang mga figure ay tinatawag na simetriko na may kaugnayan sa eroplano

Ipinapakita ng Figure 213 ang dalawang sphere na simetriko na may kaugnayan sa eroplano a.

Kung ang isang pagbabagong-anyo ng simetrya na may kaugnayan sa isang eroplano ay nagbabago ng isang pigura sa sarili nito, kung gayon ang pigura ay sinasabing simetriko na may kaugnayan sa eroplano; ang eroplano ay tinatawag na isang eroplano ng simetrya.

Ang Figure 214 ay nagpapakita ng dalawang eroplano ng simetrya ng isang globo. Tandaan na ang globo ay may walang katapusang bilang ng naturang mga eroplano ng simetriya. Ang kubo ay mayroon ding mga eroplano ng simetrya. Ipinapakita ng Figure 215 ang dalawa sa kanila.

4. Homothety. Hayaang ang F ay isang ibinigay na pigura at ang O isang nakapirming punto (Larawan 216). Gumuhit tayo ng isang sinag sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto X ng figure F at i-plot dito ang isang segment na katumbas ng kung saan ang isang positibong numero. Ang pagbabagong-anyo ng isang pigura kung saan ang bawat isa sa mga puntong X nito ay napupunta sa isang punto na binuo sa ipinahiwatig na paraan ay tinatawag na homothety na may kinalaman sa

PAGBABAGO NG PAGKAKATULAD

Pagbabagong Hugis F sa isang F" tinatawag na pagbabago ng pagkakatulad , kung sa panahon ng pagbabagong ito ang mga distansya sa pagitan ng mga punto ay nagbabago ng parehong bilang ng beses (Larawan 1). Nangangahulugan ito na kung di-makatwirang puntos ang X, Y Mga hugis F kapag nag-transform, ang mga pagkakatulad ay napupunta sa mga puntos na X", Y" Mga figure na "F". tapos X"Y" = k-XY , at ang bilang k -- pareho para sa lahat ng puntos X, Y . Bilang k tinatawag na koepisyent ng pagkakatulad . Para sa k = l Ang pagbabago ng pagkakatulad ay malinaw na isang kilusan.

Hayaang ang F ay isang ibinigay na pigura at ang O isang nakapirming punto (Larawan 2). Gumuhit tayo ng sinag na OX sa pamamagitan ng isang arbitrary point X ng figure F at i-plot dito ang isang segment na OX" na katumbas ng k?OX, kung saan ang k ay isang positibong numero. Ang pagbabago ng figure F, kung saan ang bawat isa sa mga puntos nito X napupunta sa puntong X", na binuo sa ipinahiwatig na paraan, ay tinatawag na homothety na may paggalang sa gitnang O. Ang bilang na k ay tinatawag na homothety coefficient, ang mga figure na F at F" ay tinatawag na homothetic.

Theorem 1. Ang homothety ay isang pagbabagong pagkakatulad

Patunay. Hayaan ang O ang homothety center, k ang homothety coefficient, X at Y dalawang arbitrary na punto ng figure (Fig. 3)

Fig.3

Sa homothety, ang mga puntos na X at Y ay napupunta sa mga puntos na X" at Y" sa mga sinag na OX at OY, ayon sa pagkakabanggit, at OX" = k?OX, OY" = k?OY. Ito ay nagpapahiwatig ng vector equalities OX" = kOX, OY" = kOY.

Ang pagbabawas ng mga pagkakapantay-pantay na ito ayon sa termino, makukuha natin ang: OY"-OX" = k (OY-OX).

Dahil OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, pagkatapos X"Y" = kХY. Ang ibig sabihin nito ay /X"Y"/=k /XY/, ibig sabihin. X"Y" = kXY. Dahil dito, ang homothety ay isang pagbabago ng pagkakatulad. Ang teorama ay napatunayan.

Ang pagbabagong-anyo ng pagkakatulad ay malawakang ginagamit sa pagsasanay kapag gumagawa ng mga guhit ng mga bahagi ng makina, istruktura, site plan, atbp. Ang mga larawang ito ay magkatulad na mga pagbabagong-anyo ng mga haka-haka na larawan sa buong laki. Ang koepisyent ng pagkakatulad ay tinatawag na sukat. Halimbawa, kung ang isang seksyon ng lupain ay inilalarawan sa sukat na 1:100, nangangahulugan ito na ang isang sentimetro sa plano ay tumutugma sa 1 m sa lupa.

Gawain. Ipinapakita ng Figure 4 ang isang plano ng ari-arian sa sukat na 1:1000. Tukuyin ang mga sukat ng ari-arian (haba at lapad).

Solusyon. Ang haba at lapad ng ari-arian sa plano ay 4 cm at 2.7 cm. Dahil ang plano ay ginawa sa sukat na 1:1000, ang mga sukat ng ari-arian ay ayon sa pagkakabanggit 2.7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm = 40 m.

MGA KATANGIAN NG PAGKAKATULAD NG PAGBABAGO

Tulad ng para sa paggalaw, napatunayan na sa panahon ng pagbabago ng pagkakatulad, tatlong puntos A, B, C, na nakahiga sa parehong linya, ay nagbabago sa tatlong puntos A 1, B 1, C 1, na nakahiga din sa parehong linya. Bukod dito, kung ang punto B ay nasa pagitan ng mga punto A at C, ang punto B 1 ay nasa pagitan ng mga punto A 1 at C 1. Kasunod nito na ang pagbabago ng pagkakatulad ay nagbabago ng mga linya sa mga tuwid na linya, kalahating linya sa kalahating linya, at mga segment sa mga segment.

Patunayan natin na ang pagbabago ng pagkakatulad ay nagpapanatili ng mga anggulo sa pagitan ng kalahating linya.

Sa katunayan, hayaang mabago ang anggulong ABC sa pamamagitan ng pagbabagong pagkakatulad na may koepisyent k sa anggulo A 1 B 1 C 1 (Larawan 5). Ipasailalim natin ang anggulong ABC sa isang homothety transformation na may kaugnayan sa vertex B nito na may homothety coefficient k. Sa kasong ito, ang mga puntong A at C ay lilipat sa mga puntong A 2 at C 2. Ang mga Triangles A 2 BC 2 at A 1 B 1 C 1 ay pantay ayon sa ikatlong pamantayan. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na ang mga anggulo A 2 BC 2 at A 1 B 1 C 1 ay pantay. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo ng ABC at A 1 B 1 C 1 ay pantay, na kung saan ay kung ano ang kailangang patunayan.

Ang mga tao ay palaging nakikitungo sa mga pagbabagong-anyo ng mga numero. Ang tao na sa Panahon ng Bato, na naglalarawan ng mga hayop sa kuweba sa mga dingding, ay talagang binago ang mga spatial na katawan sa mga flat figure. Nakatingin sa anino ng isang bagay sa loob Maaraw na araw, nakikita natin ang resulta ng parallel na disenyo sinag ng araw ang bagay na ito sa ibabaw ng sahig o lupa. At ang mga sinag na nagmumula sa lampara ay nagsasagawa ng sentral na disenyo (Larawan 8.20)

Ang pinakamahalaga sa mga geometric na pagbabago ay ang mga paggalaw at pagkakatulad na pamilyar sa iyo mula sa planimetry. Isaalang-alang natin ang mga pagbabagong ito sa kalawakan.

§ 25. MGA KILOS

25.1. Mga pagbabago sa hugis.

Pinatutunayan sa Kabanata 1 na ang isang tiyak na figure F ay may sentral o mirror symmetry, iniugnay namin sa bawat punto X ng figure F ilang punto X ng figure na ito, simetriko sa punto X na may kaugnayan sa gitna o eroplano, i.e. nagsagawa ng ilang pagbabago ng hugis

Alalahanin natin na sa pangkalahatan ang pagbabagong f (o pagmamapa f) ng isang figure F ay binubuo sa katotohanan na ang bawat isa sa mga puntong X nito ay nauugnay sa isang tiyak na punto X (Larawan 25.1). Ang lahat ng mga puntos na X ay bumubuo ng isang tiyak na figure F, na sinasabing nakuha sa pamamagitan ng pagbabagong-anyo (display) mula sa figure

Sinasabi rin nila na ang punto X ay ang imahe ng punto X

sa panahon ng pagbabagong-anyo at pagsulat, at tungkol sa figure F sinasabi nila na ito ay ang imahe ng figure F sa ilalim ng pagbabagong-anyo at isulat

Kung, sa isang naibigay na pagbabagong-anyo, ang iba't ibang mga punto ng figure ay tumutugma sa iba't ibang mga imahe, kung gayon ang pagbabago ay tinatawag na isa-sa-isa. Halimbawa, ang pag-project ng espasyo sa isang eroplano ay hindi isang one-to-one na pagbabago, dahil ang iba't ibang mga punto sa espasyo ay maaaring magkaroon ng parehong projection. At ang pag-project ng eroplano papunta sa isang eroplano sa direksyon na hindi parallel sa mga eroplanong ito ay isang one-to-one transformation.

Hayaang makuha ang figure F bilang resulta ng one-to-one transformation f mula sa figure F. Pagkatapos ang bawat punto ng figure F ay ang imahe ng isa lamang (solong) point X ng figure F. Sa katunayan, kung hindi man ay ang ang pagbabagong-anyo ay maglilipat ng dalawang magkaibang punto ng pigura sa parehong punto X F, na imposible dahil ang pagbabago ay isa-sa-isa. Samakatuwid, ang bawat punto X ng figure F ay maaaring maiugnay sa solong puntong X ng figure F, ang imahe kung saan sa ilalim ng pagbabagong f ay ang punto X. Kaya, tinukoy namin ang pagbabagong-anyo ng figure F sa figure F, na kung saan ay tinatawag na kabaligtaran para sa pagbabagong-anyo f at kung saan ay tinutukoy Kung ang pagbabagong-anyo ay may kabaligtaran , kung gayon ito ay tinatawag na baligtad.

Mula sa mga depinisyon na ito ay agad na sinusundan na kung ang isang pagbabagong f ay nababaligtad, kung gayon ang kabaligtaran na pagbabagong ito ay nababaligtad din, at samakatuwid ang mga pagbabagong f ay tinatawag na mutually inverse.

Hayaang baguhin ng transformation ang figure F sa figure G, at ang transformation g ay ibahin ang anyo ng figure G sa figure (Fig. 25.2). Kung, sa panahon ng pagbabagong-anyo, ang punto X ng figure F ay inilipat sa punto ng figure G, at pagkatapos ay ang point Y, sa panahon ng pagbabagong-anyo g, inilipat sa punto ng figure H, pagkatapos ay ang point X sa gayon ay inilipat sa point Z. Ito ay nakasulat tulad nito: