Average na antas

Kanang tatsulok. Kumpletong may larawang gabay (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga problema, ang isang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwa, kaya kailangan mong matutunan kung paano makilala ang isang tamang tatsulok sa form na ito,

at sa ganyan

at sa ganyan

Ano ang maganda sa right triangle? Well... una sa lahat, may mga espesyal na magagandang pangalan para sa kanyang mga partido.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: binti - dalawa, at ang hypotenuse - isa lamang(ang tanging, natatangi at pinakamahaba)!

Buweno, tinalakay namin ang mga pangalan, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean Theorem.

Pythagorean theorem.

Ang teorama na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang tamang tatsulok. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ay nagdulot ito ng maraming benepisyo sa mga nakakaalam nito. At ang maganda sa kanya ay simple lang siya.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin itong napaka Pythagorean na pantalon at tingnan ang mga ito.

Mukha ba talagang shorts? Well, saang panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, mas tiyak sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binabalangkas niya ito ng ganito:

"Sum lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti, ay katumbas ng parisukat na lugar itinayo sa hypotenuse.

Hindi ba medyo iba ang tunog, di ba? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, ang gayong larawan ay lumabas.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino ang nag-imbento ng biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Tingnan mo, noong sinaunang panahon walang ... algebra! Walang mga palatandaan at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kahirap para sa mga mahihirap na sinaunang mag-aaral na kabisaduhin ang lahat gamit ang mga salita??! At maaari tayong matuwa na mayroon tayong simpleng pagbabalangkas ng Pythagorean theorem. Ulitin natin ito upang mas matandaan:

Ngayon ay dapat na madali:

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan parisukat ng mga binti.

Well, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa isang tamang tatsulok ay tinalakay. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang mga susunod na antas ng teorya, at ngayon ay magpatuloy tayo ... sa madilim na gubat... trigonometrya! Sa mga katakut-takot na salitang sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Sa katunayan, ang lahat ay hindi masyadong nakakatakot. Siyempre, ang "tunay" na kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat tingnan sa artikulo. Pero ayaw mo talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang tamang tatsulok, maaari mo lamang punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Ito ay talagang ganito:

Paano ang anggulo? Mayroon bang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, ang tapat na binti (para sa sulok)? Syempre meron! Ito ay isang cathet!

Ngunit paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling binti ang katabi ng sulok? Siyempre, ang pusa. Kaya, para sa anggulo, ang binti ay katabi, at

At ngayon, pansin! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Tingnan kung gaano ito kahusay:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ito ilagay sa mga salita ngayon? Ano ang paa na may kaugnayan sa sulok? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. At ang cathet? Katabi ng kanto. Kaya ano ang nakuha namin?

Tingnan kung paano binabaligtad ang numerator at denominator?

At ngayon muli ang mga sulok at ginawa ang palitan:

Buod

Isulat natin sa madaling sabi ang mga natutunan natin.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing right triangle theorem ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Posibleng maraming beses mo nang nagamit ang Pythagorean theorem, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang ganoong theorem. Paano mo ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Nakita mo kung gaano katusong hinati namin ang mga gilid nito sa mga segment ng haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang puntos

Narito kami, gayunpaman, nabanggit ang iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa larawan at isipin kung bakit.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Paano ang mas maliit na lugar? Tiyak, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin ang dalawa sa kanila at sumandal sa isa't isa na may hypotenuses. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Kaya, ang lugar ng "mga pinagputulan" ay pantay.

Pagsamahin natin ang lahat ngayon.

Ibahin natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang tamang tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa kabaligtaran na binti.

At muli, ang lahat ng ito sa anyo ng isang plato:

Ito ay napaka komportable!

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

I. Sa dalawang paa

II. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Kasama ang binti at talamak na anggulo

a)

b)

Pansin! Narito ito ay napakahalaga na ang mga binti ay "katugma". Halimbawa, kung ito ay magiging ganito:

TAPOS ANG MGA TRIANGLES AY HINDI PANTAY, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isang magkaparehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong triangles ang binti ay katabi, o sa pareho - kabaligtaran.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng "ordinaryong" tatsulok, kailangan mo ang pagkakapantay-pantay ng kanilang tatlong elemento: dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at isang gilid sa pagitan nila, o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga right-angled triangles, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Ang galing diba?

Humigit-kumulang sa parehong sitwasyon na may mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tamang tatsulok

I. Matinding sulok

II. Sa dalawang paa

III. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganun?

Isaalang-alang ang isang buong parihaba sa halip na isang tamang tatsulok.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya nangyari yun

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang mas nakakagulat ay totoo rin ang kabaligtaran.

Anong kabutihan ang makukuha mula sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming: , iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit sa isang tatsulok ay mayroon lamang isang punto, ang mga distansya mula sa kung saan halos lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay pantay, at ito ang CENTER OF THE CIRCUM na inilarawan. So anong nangyari?

Kaya magsimula tayo sa "bukod...".

Tingnan natin ang i.

Pero katulad na mga tatsulok lahat ng anggulo ay pantay!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon ay iguhit natin ito nang sama-sama:

Anong gamit ang makukuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito.

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang tamang tatsulok.

Isinulat namin ang mga relasyon ng mga kaukulang partido:

Upang mahanap ang taas, lutasin namin ang proporsyon at makuha unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad: .

Ano ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Ang parehong mga formula na ito ay dapat na matandaan nang mabuti at ang isa na mas maginhawang ilapat. Isulat natin muli ang mga ito.

Pythagorean theorem:

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti:.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

• sa dalawang paa:
• kasama ang binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at ang katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok:

• isang matalim na sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang binti:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran:.

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang kanang tatsulok, ang median na iginuhit mula sa vertex tamang anggulo, ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: .

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga catheter:

Pagtuturo

Kung kailangan mong kalkulahin ayon sa Pythagorean theorem, gamitin ang sumusunod na algorithm: - Tukuyin sa tatsulok kung aling mga gilid ang mga binti, at alin ang hypotenuse. Ang dalawang panig na bumubuo ng isang anggulo ng siyamnapung degree ay ang mga binti, ang natitirang ikatlong ay ang hypotenuse. (cm) - Itaas sa pangalawang kapangyarihan ang bawat binti ng tatsulok na ito, iyon ay, i-multiply sa iyong sarili. Halimbawa 1. Hayaang kailangang kalkulahin ang hypotenuse kung ang isang binti sa isang tatsulok ay 12 cm at ang isa ay 5 cm. Una, ang mga parisukat ng mga binti ay: 12 * 12 = 144 cm at 5 * 5 = 25 cm. - Susunod, tukuyin ang kabuuan ng mga parisukat na binti. tiyak na numero ay hypotenuse, kailangan mong alisin ang pangalawang kapangyarihan ng numero upang mahanap haba bahaging ito ng tatsulok. Upang gawin ito, kunin mula sa ilalim ng square root ang halaga ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Halimbawa 1. 144+25=169. Ang square root ng 169 ay magiging 13. Samakatuwid, ang haba nito hypotenuse katumbas ng 13 cm.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang haba hypotenuse namamalagi sa terminolohiya ng sine at anggulo sa isang tatsulok. Sa pamamagitan ng kahulugan: ang sine ng anggulo alpha ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse. Iyon ay, sa pagtingin sa figure, kasalanan ang isang \u003d CB / AB. Kaya, ang hypotenuse AB \u003d CB / sin a. Halimbawa 2. Hayaang ang anggulo ay 30 degrees, at ang kabaligtaran na binti - 4 cm. Kailangan mong hanapin ang hypotenuse. Solusyon: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0.5 \u003d 8 cm. Sagot: haba hypotenuse katumbas ng 8 cm.

Ang isang katulad na paraan upang mahanap hypotenuse mula sa kahulugan ng cosine ng isang anggulo. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng binti na katabi nito at hypotenuse. Iyon ay, cos a \u003d AC / AB, kaya AB \u003d AC / cos a. Halimbawa 3. Sa tatsulok na ABC, AB ang hypotenuse, ang anggulo BAC ay 60 degrees, ang leg AC ay 2 cm. Hanapin ang AB.
Solusyon: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 cm Sagot: ang hypotenuse ay 4 cm ang haba.

Nakatutulong na payo

Kapag hinahanap ang halaga ng sine o cosine ng isang anggulo, gamitin ang alinman sa talahanayan ng mga sine at cosine, o ang talahanayan ng Bradis.

Tip 2: Paano hanapin ang haba ng hypotenuse sa isang right triangle

Ang hypotenuse ay tinatawag na pinakamahabang mga gilid sa isang tamang tatsulok, kaya hindi nakakagulat na may Griyego Ang salitang ito ay isinalin bilang "stretched". Ang panig na ito ay laging nasa tapat ng 90° anggulo, at ang mga panig na bumubuo sa anggulong ito ay tinatawag na mga binti. Alam ang haba ng mga panig na ito at ang magnitude matutulis na sulok sa iba't ibang kumbinasyon ng mga halagang ito, maaari ding kalkulahin ang haba ng hypotenuse.

Pagtuturo

Kung ang mga haba ng parehong tatsulok (A at B) ay kilala, pagkatapos ay gamitin ang mga haba ng hypotenuse (C), marahil ang pinakakilalang postulate sa matematika - ang Pythagorean theorem. Sinasabi nito na ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti, kung saan sumusunod na dapat mong kalkulahin ang ugat ng kabuuan ng mga parisukat na haba ng dalawang panig: C \u003d √ (A² + B²). Halimbawa, kung ang haba ng isang binti ay 15, at - 10 sentimetro, kung gayon ang haba ng hypotenuse ay magiging humigit-kumulang 18.0277564 sentimetro, dahil √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d ≈ 718.4 √ 718. .

Kung ang haba ng isa lamang sa mga binti (A) sa isang tamang tatsulok ay kilala, pati na rin ang halaga ng anggulo sa tapat nito (α), kung gayon ang haba ng hypotenuse (C) ay maaaring gawin gamit ang isa sa trigonometric function - ang sine. Upang gawin ito, hatiin ang haba kilalang partido sa sine kilalang anggulo: C=A/sin(α). Halimbawa, kung ang haba ng isa sa mga binti ay 15 sentimetro, at ang anggulo sa kabaligtaran ng vertex ng tatsulok ay 30 °, kung gayon ang haba ng hypotenuse ay magiging 30 sentimetro, dahil 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0.5 \u003d 30.

Kung sa isang tamang tatsulok ang halaga ng isa sa mga talamak na anggulo (α) at ​​ang haba ng binti na katabi nito (B), kung gayon ang isa pang trigonometric function, cosine, ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang haba ng hypotenuse (C ). Dapat mong hatiin ang haba ng kilalang binti sa cosine ng kilalang anggulo: С=В/ cos(α). Halimbawa, kung ang haba ng binti na ito ay 15 sentimetro, at ang halaga ng talamak na anggulo na katabi nito ay 30 °, kung gayon ang haba ng hypotenuse ay humigit-kumulang 17.3205081 sentimetro, dahil 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0.5 * √3)=30/√3≈17.3205081.

Ang haba ay ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang segment ng linya. Maaari itong tuwid, putol o saradong linya. Maaari mong kalkulahin ang haba sa isang medyo simpleng paraan, kung alam mo ang ilang iba pang mga tagapagpahiwatig ng segment.

Pagtuturo

Kung kailangan mong hanapin ang haba ng gilid ng isang parisukat, hindi ito magiging kung alam mo ang lugar nito S. Dahil sa katotohanan na ang lahat ng panig ng parisukat ay may

Alam ng bawat mag-aaral na ang parisukat ng hypotenuse ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Pythagorean theorem. Ito ay isa sa mga pinakatanyag na teorema sa trigonometrya at matematika sa pangkalahatan. Isaalang-alang natin ito nang mas detalyado.

Ang konsepto ng isang tamang tatsulok

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng Pythagorean theorem, kung saan ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti na naka-squad, dapat nating isaalang-alang ang konsepto at katangian ng isang right triangle, kung saan ang theorem ay wasto.

Ang tatsulok ay isang patag na pigura na may tatlong anggulo at tatlong panig. Ang tamang tatsulok, gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan nito, ay may isang tamang anggulo, iyon ay, ang anggulong ito ay 90 o.

Mula sa karaniwang katangian para sa lahat ng tatsulok ay kilala na ang kabuuan ng lahat ng tatlong anggulo ng figure na ito ay 180 o , na nangangahulugan na para sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng dalawang anggulo na hindi tama ay 180 o - 90 o = 90 o . Ang huling katotohanan ay nangangahulugan na ang anumang anggulo sa isang tamang tatsulok na hindi isang tamang anggulo ay palaging mas mababa sa 90o.

Ang gilid sa tapat ng tamang anggulo ay tinatawag na hypotenuse. Ang iba pang dalawang panig ay ang mga binti ng tatsulok, maaari silang magkapantay sa isa't isa, o maaari silang magkaiba. Ito ay kilala mula sa trigonometrya na mas anggulo, laban sa kung saan ang gilid ay namamalagi sa tatsulok, mas malaki ang haba ng panig na ito. Nangangahulugan ito na sa isang tamang tatsulok, ang hypotenuse (nakahiga sa tapat ng 90 o anggulo) ay palaging mas malaki kaysa sa alinman sa mga binti (nakahiga sa tapat ng mga anggulo< 90 o).

Mathematical notation ng Pythagorean theorem

Ang teorama na ito ay nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay dating parisukat. Para mathematically isulat ang formulation na ito, isaalang-alang ang isang right triangle kung saan ang mga gilid a, b, at c ay ang dalawang paa at hypotenuse, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang theorem, na nabalangkas bilang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, ay maaaring katawanin ng sumusunod na formula: c 2 \u003d a 2 + b 2. Mula dito, ang iba pang mga formula na mahalaga para sa pagsasanay ay maaaring makuha: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) at c \u003d √ (a 2 + b 2).

Tandaan na sa kaso ng isang right-angled equilateral triangle, iyon ay, a \u003d b, ang mga salita: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat, ay nakasulat sa matematika tulad ng sumusunod: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, kung saan ang pagkakapantay-pantay ay sumusunod: c = a√2.

Makasaysayang sanggunian

Ang Pythagorean theorem, na nagsasabing ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat, ay kilala nang matagal bago ang sikat. pilosopong Griyego. Maraming papyri sinaunang Ehipto, gayundin ang mga tapyas na luwad ng mga Babilonyo ay nagpapatunay na ginamit ng mga taong ito ang kilalang pag-aari ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Halimbawa, ang isa sa mga unang Egyptian pyramids, ang pyramid of Khafre, na ang pagtatayo ay itinayo noong ika-26 na siglo BC (2000 taon bago ang buhay ni Pythagoras), ay itinayo batay sa kaalaman ng aspect ratio sa isang 3x4x5 right triangle.

Bakit, kung gayon, ang teorama ay nagdadala na ngayon ng pangalan ng isang Griyego? Ang sagot ay simple: Si Pythagoras ang unang nagpatunay ng teorama na ito sa matematika. Ang nakaligtas na Babylonian at Egyptian na nakasulat na mga mapagkukunan ay nagsasalita lamang tungkol sa paggamit nito, ngunit hindi nagbibigay ng anumang mathematical na patunay.

Ito ay pinaniniwalaan na pinatunayan ni Pythagoras ang teorama na isinasaalang-alang sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian ng mga katulad na tatsulok, na nakuha niya sa pamamagitan ng pagguhit ng taas sa isang tamang tatsulok mula sa isang anggulo na 90 o hanggang sa hypotenuse.

Isang halimbawa ng paggamit ng Pythagorean theorem

Isipin mo isang simpleng gawain: kinakailangan upang matukoy ang haba ng hilig na hagdanan L, kung alam na mayroon itong taas H \u003d 3 metro, at ang distansya mula sa dingding kung saan ang hagdanan ay nakasalalay sa paa nito ay P \u003d 2.5 metro.

SA kasong ito Ang H at P ay ang mga binti, at ang L ay ang hypotenuse. Dahil ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, nakukuha natin: L 2 \u003d H 2 + P 2, kung saan L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 metro o 3 m at 90, 5 cm

Siguraduhin na ang tatsulok na ibinigay sa iyo ay isang tamang tatsulok, dahil ang Pythagorean theorem ay nalalapat lamang sa mga tamang tatsulok. Sa mga tamang tatsulok, ang isa sa tatlong anggulo ay palaging 90 degrees.

• Ang isang tamang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ipinahiwatig ng isang parisukat sa halip na isang curve, na kumakatawan sa mga hindi tamang anggulo.

Lagyan ng label ang mga gilid ng tatsulok. Italaga ang mga binti bilang "a" at "b" (ang mga binti ay mga gilid na nagsasalubong sa tamang mga anggulo), at ang hypotenuse bilang "c" (ang hypotenuse ay ang pinakamalaking gilid ng isang tamang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo).

Tukuyin kung aling bahagi ng tatsulok ang gusto mong hanapin. Ang Pythagorean theorem ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang anumang panig ng isang right triangle (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala). Tukuyin kung aling panig (a, b, c) ang kailangang matagpuan.

• Halimbawa, binigyan ng hypotenuse na katumbas ng 5, at binigyan ng isang binti na katumbas ng 3. Sa kasong ito, kailangan mong hanapin ang pangalawang binti. Babalik tayo sa halimbawang ito mamaya.
• Kung ang iba pang dalawang panig ay hindi kilala, kinakailangan upang mahanap ang haba ng isa sa mga hindi kilalang panig upang mailapat ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, gamitin ang pangunahing trigonometriko function(kung bibigyan ka ng halaga ng isa sa mga hindi tamang anggulo).

Palitan sa formula ang isang 2 + b 2 \u003d c 2 ang mga halagang ibinigay sa iyo (o ang mga halaga na iyong natagpuan). Tandaan na ang a at b ay mga binti, at ang c ay ang hypotenuse.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 3² + b² = 5².

Kuwadrado ang bawat kilalang panig. O iwanan ang mga degree - maaari mong i-square ang mga numero sa ibang pagkakataon.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 9 + b² = 25.

Ihiwalay ang hindi kilalang panig sa isang bahagi ng equation. Upang gawin ito, lumipat kilalang halaga sa kabilang panig ng equation. Kung nahanap mo ang hypotenuse, pagkatapos ay sa Pythagorean theorem ito ay nakahiwalay na sa isang bahagi ng equation (kaya walang kailangang gawin).

• Sa aming halimbawa, ilipat ang 9 sa kanang bahagi mga equation upang ihiwalay ang hindi kilalang b². Makakakuha ka ng b² = 16.

I-extract Kuwadrado na ugat mula sa magkabilang panig ng equation pagkatapos na ang hindi alam (kuwadrado) ay naroroon sa isang bahagi ng equation, at ang libreng termino (numero) ay naroroon sa kabilang panig.

• Sa aming halimbawa, b² = 16. Kunin ang square root ng magkabilang panig ng equation at makuha ang b = 4. Kaya ang pangalawang leg ay 4.

Gamitin ang Pythagorean theorem sa Araw-araw na buhay, dahil magagamit ito sa malalaking numero praktikal na mga sitwasyon. Upang gawin ito, matutong kilalanin ang mga tamang tatsulok sa pang-araw-araw na buhay - sa anumang sitwasyon kung saan ang dalawang bagay (o mga linya) ay nagsalubong sa tamang mga anggulo, at ang ikatlong bagay (o linya) ay nag-uugnay (diagonal) sa tuktok ng unang dalawang bagay (o linya), maaari mong gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap ang hindi kilalang panig (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala).

• Halimbawa: Binigyan ng hagdan na nakasandal sa isang gusali. Ilalim na bahagi hagdan ay matatagpuan 5 metro mula sa base ng pader. Itaas na bahagi ang hagdan ay matatagpuan 20 metro mula sa lupa (pataas sa dingding). Ano ang haba ng hagdan?
  • Ang ibig sabihin ng "5 metro mula sa base ng pader" ay a = 5; "ay 20 metro mula sa lupa" ay nangangahulugan na ang b = 20 (iyon ay, binibigyan ka ng dalawang paa ng isang tamang tatsulok, dahil ang pader ng gusali at ang ibabaw ng Earth ay nagsalubong sa tamang mga anggulo). Ang haba ng hagdan ay ang haba ng hypotenuse, na hindi alam.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Kaya, ang tinatayang haba ng hagdan ay 20.6 metro.

Pythagorean theorem- isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na nagtatatag ng kaugnayan

sa pagitan ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Ito ay pinaniniwalaan na ito ay pinatunayan ng Greek mathematician na si Pythagoras, kung kanino ito pinangalanan.

Geometric formulation ng Pythagorean theorem.

Ang teorama ay orihinal na nabuo tulad ng sumusunod:

Sa isang kanang tatsulok, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat,

binuo sa mga catheter.

Algebraic formulation ng Pythagorean theorem.

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.

Iyon ay, denoting ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang mga haba ng mga binti sa pamamagitan ng a At b:

Parehong formulations pythagorean theorems ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi

nangangailangan ng konsepto ng lugar. Ibig sabihin, mapapatunayan ang pangalawang pahayag nang hindi alam ang anumang bagay tungkol sa lugar at

sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Ang inverse Pythagorean theorem.

Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig, kung gayon

hugis-parihaba ang tatsulok.

O, sa madaling salita:

Para sa anumang triple ng mga positibong numero a, b At c, ganyan

mayroong isang kanang tatsulok na may mga binti a At b at hypotenuse c.

Ang Pythagorean theorem para sa isang isosceles triangle.

Pythagorean theorem para sa isang equilateral triangle.

Mga patunay ng Pythagorean theorem.

Naka-on sa sandaling ito V siyentipikong panitikan 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala. Malamang ang theorem

Ang Pythagoras ay ang tanging teorama na may napakaraming mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba

maaari lamang ipaliwanag sa pamamagitan ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto, lahat ng mga ito ay maaaring hatiin sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila:

patunay paraan ng lugar, axiomatic At kakaibang ebidensya(Halimbawa,

sa pamamagitan ng paggamit differential equation).

1. Katibayan ng Pythagorean theorem sa mga tuntunin ng magkatulad na tatsulok.

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng mga patunay na binuo

direkta mula sa axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.

Hayaan ABC may right angled triangle C. Gumuhit tayo ng taas mula sa C at magpakilala

pundasyon nito sa pamamagitan ng H.

Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok AB C sa dalawang sulok. Gayundin, ang tatsulok CBH katulad ABC.

Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon:

makuha namin:

,

alin ang tumutugma-

Nakatiklop a 2 at b 2, nakukuha namin ang:

o , na dapat patunayan.

2. Patunay ng Pythagorean theorem sa pamamagitan ng area method.

Ang mga sumusunod na patunay, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila

gamitin ang mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

• Patunay sa pamamagitan ng equicomplementation.

Ayusin ang apat na pantay na parihaba

tatsulok tulad ng ipinapakita sa larawan

sa kanan.

Quadrilateral na may mga gilid c- parisukat,

dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90°, at

ang nabuong anggulo ay 180°.

Ang lugar ng buong pigura ay, sa isang banda,

lugar ng isang parisukat na may gilid ( a+b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar apat na tatsulok At

Q.E.D.

3. Patunay ng Pythagorean theorem sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan.

​

Isinasaalang-alang ang pagguhit na ipinapakita sa figure, at

pinapanood ang pagbabago sa gilida, kaya natin

isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa walang katapusan

maliit mga pagtaas sa gilidSa At a(gamit ang pagkakatulad

mga tatsulok):

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nakita namin:

Isang mas pangkalahatang expression para sa pagbabago ng hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti:

Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kundisyon, makuha namin ang:

Kaya, dumating kami sa nais na sagot:

Dahil madaling makita, lumilitaw ang quadratic dependence sa huling formula dahil sa linear

proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagtaas, habang ang kabuuan ay nauugnay sa independyente

kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas

(sa kasong ito, ang binti b). Pagkatapos para sa pare-parehong pagsasama ay nakukuha namin: