Το θέμα του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου όρου περιλαμβάνεται στο πρόγραμμα των μαθηματικών για τις τάξεις 6-7. Δεδομένου ότι η παράγραφος είναι αρκετά κατανοητή, ολοκληρώνεται γρήγορα και μέχρι το τέλος σχολική χρονιάοι μαθητές τον ξεχνούν. Όμως απαιτείται γνώση βασικών στατιστικών για να περάσει κανείς τις εξετάσεις Unified State, καθώς και για διεθνείς εξετάσεις SAT. Ναι και για Καθημερινή ζωήΗ αναπτυγμένη αναλυτική σκέψη δεν βλάπτει ποτέ.
Πώς να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο και τον γεωμετρικό μέσο όρο των αριθμών
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια σειρά αριθμών: 11, 4 και 3. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το άθροισμα όλων των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό των δεδομένων αριθμών. Δηλαδή, στην περίπτωση των αριθμών 11, 4, 3, η απάντηση θα είναι 6. Πώς παίρνετε το 6;
Λύση: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Ο παρονομαστής πρέπει να περιέχει έναν αριθμό ίσο με τον αριθμό των αριθμών των οποίων ο μέσος όρος πρέπει να βρεθεί. Το άθροισμα διαιρείται με το 3, αφού υπάρχουν τρεις όροι.
Τώρα πρέπει να καταλάβουμε το γεωμετρικό μέσο. Ας πούμε ότι υπάρχει μια σειρά αριθμών: 4, 2 και 8.
Μέση τιμή γεωμετρικούς αριθμούςονομάζεται το γινόμενο όλων των δεδομένων αριθμών, που βρίσκονται κάτω από τη ρίζα με βαθμό ίσο με τον αριθμό των δεδομένων αριθμών. Δηλαδή, στην περίπτωση των αριθμών 4, 2 και 8, η απάντηση θα είναι 4. Έτσι αποδείχθηκε :
Λύση: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Και στις δύο επιλογές, πήραμε ολόκληρες απαντήσεις, αφού ελήφθησαν ειδικοί αριθμοί για το παράδειγμα. Αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η απάντηση πρέπει να στρογγυλεύεται ή να αφήνεται στη ρίζα. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 11, 7 και 20, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ≈ 12,67 και ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι ∛1540. Και για τους αριθμούς 6 και 5, οι απαντήσεις θα είναι 5,5 και √30, αντίστοιχα.
Θα μπορούσε ο αριθμητικός μέσος όρος να γίνει ίσος με τον γεωμετρικό μέσο;
Φυσικά και μπορεί. Αλλά μόνο σε δύο περιπτώσεις. Αν υπάρχει μια σειρά αριθμών που αποτελείται μόνο από ένα ή από μηδενικά. Είναι επίσης αξιοσημείωτο ότι η απάντηση δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους.
Απόδειξη με μονάδες: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (αριθμητικός μέσος όρος).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (γεωμετρικός μέσος όρος).
Απόδειξη με μηδενικά: (0 + 0) / 2=0 (αριθμητικός μέσος όρος).
√(0 × 0) = 0 (γεωμετρικός μέσος όρος).
Δεν υπάρχει άλλη επιλογή και δεν μπορεί να είναι.
Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος;
- Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς αριθμών είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αυτών των αριθμών με τον αριθμό των όρων
- διαιρέστε
- Αριθμός Μέσος (Μέσος), Αριθμητικός Μέσος (Αριθμητικός Μέσος) - μια μέση τιμή που χαρακτηρίζει μια ομάδα παρατηρήσεων. υπολογίζεται προσθέτοντας τους αριθμούς από αυτή τη σειρά και στη συνέχεια διαιρώντας το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των αθροισμένων αριθμών. Εάν ένας ή περισσότεροι αριθμοί σε μια ομάδα διαφέρουν σημαντικά από τους υπόλοιπους, αυτό μπορεί να παραμορφώσει τον αριθμητικό μέσο όρο που προκύπτει. Επομένως σε σε αυτήν την περίπτωσηείναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται ο γεωμετρικός μέσος όρος (υπολογίζεται με παρόμοιο τρόπο, αλλά εδώ καθορίζεται ο αριθμητικός μέσος όρος των λογαρίθμων των τιμών παρατήρησης και στη συνέχεια βρίσκεται ο αντιλογάριθμός του) ή - που χρησιμοποιείται συχνότερα - για να βρείτε τη διάμεση τιμή (τη μέση τιμή μιας σειράς τιμών, ταξινομημένων σε αύξουσα σειρά). Μια άλλη μέθοδος για τη λήψη της μέσης τιμής οποιασδήποτε τιμής από μια ομάδα παρατηρήσεων είναι ο προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας (τρόπος λειτουργίας) - ένας δείκτης (ή σύνολο δεικτών) που αξιολογεί τις πιο συχνές εκδηλώσεις οποιασδήποτε μεταβλητής. Συχνότερα, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής σε πολλές σειρές πειραμάτων.
Για παράδειγμα: αριθμοί 1 και 99, προσθέστε και διαιρέστε με δύο:
(1+99)/2=50 - αριθμητικός μέσος όρος
Εάν πάρετε τους αριθμούς (1,2,3,15,59)/5=16 - ο αριθμητικός μέσος όρος, κ.λπ., κ.λπ. - Ο αριθμητικός μέσος όρος (στα μαθηματικά και η στατιστική) είναι ένα από τα πιο κοινά μέτρα κεντρικής τάσης, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα όλων των καταγεγραμμένων τιμών διαιρεμένο με τον αριθμό τους.
Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε μέση σημασία.
Ο αριθμητικός μέσος όρος (στα μαθηματικά και η στατιστική) είναι ένα από τα πιο κοινά μέτρα κεντρικής τάσης, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα όλων των καταγεγραμμένων τιμών διαιρεμένο με τον αριθμό τους.Προτάθηκε (μαζί με τον γεωμετρικό μέσο και τον αρμονικό μέσο όρο) από τους Πυθαγόρειους 1.
Ειδικές περιπτώσεις του αριθμητικού μέσου όρου είναι ο μέσος όρος (γενικός πληθυσμός) και ο μέσος όρος του δείγματος (δείγμα).
Ένα ελληνικό γράμμα χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμητικό μέσο όρο ολόκληρου του πληθυσμού. Για μια τυχαία μεταβλητή για την οποία προσδιορίζεται η μέση τιμή, υπάρχει ένας πιθανός μέσος όρος ή μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής. Εάν το σύνολο X είναι μια συλλογή τυχαίων αριθμών με πιθανολογικό μέσο όρο, τότε για οποιοδήποτε δείγμα xi από αυτόν τον πληθυσμό = E(xi) είναι η μαθηματική προσδοκία αυτού του δείγματος.
Στην πράξη, η διαφορά μεταξύ και του bar(x) είναι ότι είναι μια τυπική μεταβλητή, επειδή μπορείτε να δείτε ένα δείγμα και όχι ολόκληρο γενικός πληθυσμός. Επομένως, εάν το δείγμα αναπαρίσταται τυχαία (από την άποψη της θεωρίας πιθανοτήτων), τότε το bar(x) , (αλλά όχι) μπορεί να αντιμετωπιστεί ως τυχαία μεταβλητή που έχει κατανομή πιθανότητας στο δείγμα (κατανομή πιθανότητας του μέσου όρου).
Και οι δύο αυτές ποσότητες υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο:
bar(x) = frac(1)(n)sum_(i=1)^n x_i = frac(1)(n) (x_1+cdots+x_n).
Εάν το X είναι μια τυχαία μεταβλητή, τότε η αναμενόμενη τιμή του X μπορεί να θεωρηθεί ως ο αριθμητικός μέσος όρος των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων του X. Αυτό είναι μια εκδήλωση του νόμου μεγάλοι αριθμοί. Επομένως, ο μέσος όρος του δείγματος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της άγνωστης αναμενόμενης τιμής.Στη στοιχειώδη άλγεβρα, αποδεικνύεται ότι ο μέσος όρος των n + 1 αριθμών είναι μεγαλύτερος από τον μέσο όρο των n αριθμών εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον παλιό μέσο όρο, μικρότερος εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μικρότερος από τον μέσο όρο , και δεν αλλάζει εάν και μόνο αν ο νέος ο αριθμός είναι ίσος με τον μέσο όρο. Όσο μεγαλύτερο το n, τόσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ του νέου και του παλιού μέσου όρου.
Σημειώστε ότι υπάρχουν αρκετοί άλλοι μέσοι όροι, συμπεριλαμβανομένου του μέσου όρου ισχύος, του μέσου όρου Kolmogorov, του αρμονικού μέσου όρου, του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου όρου και διάφορων σταθμικών μέσων.
Παραδείγματα επεξεργασίας επεξεργασίας κειμένου wiki
Για τρεις αριθμούς πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 3:
frac(x_1 + x_2 + x_3)(3).
Για τέσσερις αριθμούς, πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 4:
frac(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) (4).
Ή πιο απλά 5+5=10, 10:2. Επειδή προσθέταμε 2 αριθμούς, που σημαίνει πόσους αριθμούς προσθέτουμε, διαιρούμε με τόσους πολλούς.Συνεχής τυχαία μεταβλητή επεξεργασία επεξεργασία κειμένου wiki
Για μια συνεχώς κατανεμημένη ποσότητα f(x), ο αριθμητικός μέσος όρος στο τμήμα a;b προσδιορίζεται μέσω ενός ορισμένου ολοκληρώματος: Μερικά προβλήματα χρήσης του μέσου όρου Έλλειψη ευρωστίας Επεξεργασία Κύριο άρθρο: Ευρωστία στη στατιστική Αν και ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνά ως μέσες τιμές ή κεντρικές τάσεις, αυτή η έννοια δεν ισχύει για αξιόπιστες στατιστικές, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος υπόκειται σε ισχυρή επιρροήμεγάλες αποκλίσεις. Αξιοσημείωτο είναι ότι για κατανομές με μεγάλο συντελεστή λοξότητας, ο αριθμητικός μέσος όρος - Αυτό είναι το άθροισμα των αριθμών και η διαίρεση τους, πόσοι ήταν έτσι 33+66+99= άθροιση 33+66+99= 198 και διαίρεση πόσοι διαβάστηκαν, έχουμε 3 αριθμούς που είναι το 33 66 και το 99 και εμείς πρέπει να διαιρέσουμε αυτό που πήραμε ως εξής: 33+ 66+99=198:3=66 είναι η μέση ορθολογική
- Λοιπόν είναι σαν 2+8=10 και ο μέσος όρος είναι 5
- Ο αριθμητικός μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών ορίζεται ως το άθροισμά τους διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Δηλαδή, το άθροισμα όλων των αριθμών σε ένα σύνολο διαιρείται με τον αριθμό των αριθμών αυτού του συνόλου.
Η απλούστερη περίπτωση είναι να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο δύο αριθμών x1 και x2. Τότε ο αριθμητικός τους μέσος όρος είναι X = (x1+x2)/2. Για παράδειγμα, X = (6+2)/2 = 4 είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 6 και 2.
2
Γενικός τύποςγια να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο n αριθμών θα μοιάζει με αυτό: X = (x1+x2+...+xn)/n. Μπορεί επίσης να γραφτεί με τη μορφή: X = (1/n)xi, όπου η άθροιση πραγματοποιείται στον δείκτη i από i = 1 έως i = n.Για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος όρος τριών αριθμών X = (x1+x2+x3)/3, πέντε αριθμών - (x1+x2+x3+x4+x5)/5.
3
Η κατάσταση ενδιαφέροντος είναι όταν το σύνολο των αριθμών αντιπροσωπεύει τους όρους αριθμητική πρόοδος. Όπως είναι γνωστό, οι όροι μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσοι με a1+(n-1)d, όπου d είναι το βήμα της προόδου και n είναι ο αριθμός του όρου προόδου.Έστω a1, a1+d, a1+2d,...a1+(n-1)d όροι αριθμητικής προόδου. Ο αριθμητικός τους μέσος όρος είναι ίσος με S = (a1+a1+d+a1+2d+...+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+...+(n-1)d) /n = a1+(d+2d+...+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+dn-d+dn-2d)/n = a1+( n* d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2. Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος των μελών μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των πρώτων και τελευταίων μελών της.
4
Η ιδιότητα είναι επίσης αληθής ότι κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών της προόδου: an = (a(n-1)+a(n+1))/2, όπου a (n-1), an, a(n+1) είναι διαδοχικά μέλη της ακολουθίας. - Διαιρέστε το άθροισμα των αριθμών με τον αριθμό τους
- αυτό είναι όταν προσθέτετε τα πάντα και τα διαιρείτε
- Αν δεν κάνω λάθος, αυτό είναι όταν αθροίζεις το άθροισμα των αριθμών και διαιρείς με τον αριθμό των ίδιων των αριθμών...
- αυτό είναι όταν έχετε πολλούς αριθμούς, τους αθροίζετε και μετά διαιρείτε με τον αριθμό τους! Ας πούμε 25 24 65 76, προσθέστε: 25+24+65+76:4=αριθμητικός μέσος όρος!
- Ο Vyachaslav Bogdanov απάντησε λάθος!!! !
Με δικά σου λόγια!
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι η μέση τιμή μεταξύ δύο τιμών.... Βρίσκεται ως το άθροισμα των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό... Ή απλά, εάν δύο αριθμοί είναι γύρω από τον αριθμό κάποιου (ή μάλλον, υπάρχει ένας αριθμός στη σειρά μεταξύ τους), τότε αυτός ο αριθμός θα είναι ο μέσος όρος. αρ. !6 + 8... αβ αρ = 7
- διαιρέτης gygygygygyggy
- Ο μέσος όρος μεταξύ του μέγιστου και του ελάχιστου (προστίθενται όλα μαζί) αριθμητικοί δείκτεςκαι διαιρείται με τον αριθμό τους
) - αυτό συμβαίνει όταν αθροίζετε αριθμούς και διαιρείτε με τον αριθμό των αριθμών
Τι είναι μέτριο αριθμητικός αριθμός? Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο; Πού και σε τι χρησιμοποιείται αυτή η τιμή;
Για να κατανοήσετε πλήρως την ουσία του προβλήματος, πρέπει να μελετήσετε την άλγεβρα για αρκετά χρόνια στο σχολείο και στη συνέχεια στο ινστιτούτο. Αλλά στην καθημερινή ζωή, για να γνωρίζουμε πώς να βρίσκουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τα πάντα σχετικά με αυτό διεξοδικά. Εξηγώντας σε απλή γλώσσα, είναι το άθροισμα των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των αριθμών που προστέθηκαν.
Δεδομένου ότι δεν είναι πάντα δυνατός ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου χωρίς υπόλοιπο, η τιμή μπορεί να αποδειχθεί ακόμη και κλασματική, ακόμη και κατά τον υπολογισμό του μέσου αριθμού ατόμων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια αφηρημένη έννοια.
Αυτή η αφηρημένη αξία επηρεάζει πολλούς τομείς μοντέρνα ζωή. Χρησιμοποιείται στα μαθηματικά, τις επιχειρήσεις, τη στατιστική, συχνά ακόμη και στον αθλητισμό.
Για παράδειγμα, πολλοί ενδιαφέρονται για όλα τα μέλη μιας ομάδας ή για τον μέσο αριθμό φαγητών που καταναλώνονται ανά μήνα σε μία ημέρα. Και δεδομένα σχετικά με το πόσα ξοδεύτηκαν κατά μέσο όρο σε οποιαδήποτε ακριβή εκδήλωση μπορούν να βρεθούν σε όλες τις πηγές μέσων. Τις περισσότερες φορές, φυσικά, τέτοια δεδομένα χρησιμοποιούνται στις στατιστικές: για να γνωρίζουμε ακριβώς ποιο φαινόμενο έχει μειωθεί και ποιο έχει αυξηθεί. ποιο προϊόν έχει τη μεγαλύτερη ζήτηση και σε ποια περίοδο. για να εξαλείψετε εύκολα τους ανεπιθύμητους δείκτες.
Στον αθλητισμό μπορούμε να συναντήσουμε την έννοια του μέσου όρου όταν, για παράδειγμα, μας λένε ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΗΛΙΚΙΑΣαθλητές ή γκολ που σημειώνονται στο ποδόσφαιρο. Πώς υπολογίζεται ο μέσος όρος βαθμολογίας που κερδίζεται κατά τη διάρκεια διαγωνισμών ή στο αγαπημένο μας KVN; Ναι, για αυτό δεν χρειάζεται να κάνετε τίποτα άλλο παρά να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των βαθμών που δίνουν οι κριτές!
Παρεμπιπτόντως, συχνά μέσα σχολική ζωήΚάποιοι δάσκαλοι καταφεύγουν σε παρόμοια μέθοδο, δίνοντας τριμηνιαίες και ετήσιες βαθμολογίες στους μαθητές τους. Επίσης χρησιμοποιείται συχνά στην τριτοβάθμια εκπαίδευση Εκπαιδευτικά ιδρύματα, συχνά στα σχολεία, για τον υπολογισμό της μέσης βαθμολογίας των μαθητών, για τον προσδιορισμό της αποτελεσματικότητας του δασκάλου ή για την κατανομή των μαθητών ανάλογα με τις δυνατότητές τους. Υπάρχουν ακόμη πολλοί τομείς της ζωής στους οποίους χρησιμοποιείται αυτή η φόρμουλα, αλλά ο στόχος είναι βασικά ο ίδιος - να ανακαλύψετε και να ελέγξετε.
Στις επιχειρήσεις, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό και τον έλεγχο εσόδων και ζημιών, μισθών και άλλων εξόδων. Για παράδειγμα, κατά την υποβολή πιστοποιητικών εισοδήματος σε ορισμένους οργανισμούς, απαιτείται ο μηνιαίος μέσος όρος για τους τελευταίους έξι μήνες. Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι ορισμένοι υπάλληλοι των οποίων τα καθήκοντα περιλαμβάνουν τη συλλογή τέτοιων πληροφοριών, έχοντας λάβει πιστοποιητικό όχι με τον μέσο μηνιαίο μισθό, αλλά απλώς για το εισόδημα για έξι μήνες, δεν ξέρουν πώς να βρουν τον αριθμητικό μέσο όρο, δηλαδή να υπολογίσουν τον μέσο μηνιαίο μισθό .
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ένα χαρακτηριστικό (τιμή, μισθός, πληθυσμός κ.λπ.), ο όγκος του οποίου δεν αλλάζει κατά τον υπολογισμό. Με απλά λόγια, όταν υπολογιστεί ο μέσος αριθμός μήλων που κατανάλωσαν η Petya και η Masha, το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός που θα είναι ίσος με το ήμισυ του συνολικού αριθμού μήλων. Ακόμα κι αν η Μάσα έφαγε δέκα και η Πέτυα πήρε μόνο ένα, πότε θα τα μοιραστούμε; σύνολοστο μισό, τότε παίρνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο.
Σήμερα, πολλοί αστειεύονται με τη δήλωση του Πούτιν ότι ο μέσος μισθός όσων ζουν στη Ρωσία είναι 27 χιλιάδες ρούβλια. Τα αστεία της ευφυΐας βασικά ακούγονται ως εξής: «Ή δεν είμαι Ρώσος; Ή δεν ζω πια; Και το όλο ερώτημα είναι ότι αυτοί οι έξυπνοι προφανώς δεν ξέρουν πώς να βρουν τον αριθμητικό μέσο όρο των μισθών των Ρώσων κατοίκων.
Απλά πρέπει να αθροιστούν τα εισοδήματα ολιγαρχικών, στελεχών επιχειρήσεων, επιχειρηματιών από τη μια και οι μισθοί καθαριστριών, θυρωρών, πωλητών και μαέστρων από την άλλη. Στη συνέχεια, διαιρέστε το ποσό που προκύπτει με τον αριθμό των ατόμων των οποίων το εισόδημα περιλάμβανε αυτό το ποσό. Έτσι παίρνουμε ένα εκπληκτικό νούμερο, το οποίο εκφράζεται ως 27.000 ρούβλια.
Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.
Απλός αριθμητικός μέσος όρος
Ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, για τον προσδιορισμό του συνολικού όγκου αυτού του χαρακτηριστικούστα δεδομένα κατανέμεται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται στον συγκεκριμένο πληθυσμό. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή ανά εργαζόμενο είναι η ποσότητα της παραγωγής που θα έπεφτε σε κάθε εργαζόμενο εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής ήταν σε στον ίδιο βαθμόκατανέμεται σε όλους τους υπαλλήλους του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Παράδειγμα 1 . Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.Απλός αριθμητικός μέσος όρος— Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο
Βρείτε τον μέσο μισθό
Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.
Αριθμητικός μέσος όρος σταθμισμένος
Εάν ο όγκος του συνόλου δεδομένων είναι μεγάλος και αντιπροσωπεύει μια σειρά κατανομής, τότε υπολογίζεται ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι προσδιορίζεται η μέση σταθμισμένη τιμή ανά μονάδα παραγωγής: συνολικό κόστοςπροϊόντα (το άθροισμα των προϊόντων της ποσότητας του και της τιμής μιας μονάδας παραγωγής) διαιρείται με τη συνολική ποσότητα των προϊόντων.
Ας το φανταστούμε αυτό με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:
Παράδειγμα 2 . Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων σε συνεργεία ανά μήναΣταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος— ίση με την αναλογία (το άθροισμα των γινομένων της τιμής ενός χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών). Χρησιμοποιείται όταν εμφανίζονται παραλλαγές του υπό μελέτη πληθυσμού άνισο αριθμό φορών.
Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας το σύνολο μισθοίεπί συνολικός αριθμόςεργαζόμενοι:
Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.
Αριθμητικός μέσος όρος για διαστημικές σειρές
Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά απόκλισης διαστήματος, προσδιορίστε πρώτα τον μέσο όρο για κάθε διάστημα ως το μισό άθροισμα του άνω και του κατώτερου ορίου και, στη συνέχεια, το μέσο όρο ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από το μέγεθος των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.
Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.
Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε τη μέση ηλικία των απογευματινών μαθητών.
Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από το βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων εντός του διαστήματος προσεγγίζει την ομοιόμορφη κατανομή.
Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτοι, αλλά και σχετικές τιμές(συχνότητα):
Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες που αποκαλύπτουν πληρέστερα την ουσία του και απλοποιούν τους υπολογισμούς:
1. Το γινόμενο του μέσου όρου με το άθροισμα των συχνοτήτων είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής κατά συχνότητες, δηλ.
2. Ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων μεγεθών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων αυτών των μεγεθών:
3. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από το μέσο όρο είναι ίσο με μηδέν:
4. Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τον μέσο όρο είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από οποιαδήποτε άλλη αυθαίρετη τιμή, δηλ.
Στα μαθηματικά, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών (ή απλά ο μέσος όρος) είναι το άθροισμα όλων των αριθμών σε ένα δεδομένο σύνολο διαιρούμενο με τον αριθμό των αριθμών. Αυτή είναι η πιο γενικευμένη και διαδεδομένη έννοια της μέσης τιμής. Όπως καταλάβατε ήδη, για να βρείτε, πρέπει να αθροίσετε όλους τους αριθμούς που σας δίνονται και να διαιρέσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων.
Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος;
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 1. Δοσμένοι αριθμοί: 6, 7, 11. Πρέπει να βρείτε τη μέση τιμή τους.
Λύση.
Αρχικά, ας βρούμε το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών.
Τώρα διαιρέστε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων. Εφόσον έχουμε τρεις όρους, θα διαιρεθούμε με τρεις.
Επομένως, ο μέσος όρος των αριθμών 6, 7 και 11 είναι 8. Γιατί 8; Ναι, γιατί το άθροισμα των 6, 7 και 11 θα είναι ίδιο με τρία οκτώ. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στην εικόνα.
Ο μέσος όρος είναι λίγο σαν «βραδιά έξω» μια σειρά αριθμών. Όπως μπορείτε να δείτε, οι σωροί από μολύβια έχουν γίνει στο ίδιο επίπεδο.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα για να εμπεδώσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε.
Παράδειγμα 2.Δίνονται αριθμοί: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Πρέπει να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο τους.
Λύση.
Βρείτε το ποσό.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Διαιρέστε με τον αριθμό των όρων (στην περίπτωση αυτή - 15).
Επομένως, η μέση τιμή αυτής της σειράς αριθμών είναι 22.
Τώρα ας αναλογιστούμε αρνητικούς αριθμούς. Ας θυμηθούμε πώς να τα συνοψίσουμε. Για παράδειγμα, έχετε δύο αριθμούς 1 και -4. Ας βρούμε το άθροισμά τους.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Γνωρίζοντας αυτό, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.
Παράδειγμα 3.Βρείτε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών: 3, -7, 5, 13, -2.
Λύση.
Βρείτε το άθροισμα των αριθμών.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Επειδή υπάρχουν 5 όροι, διαιρέστε το άθροισμα που προκύπτει με 5.
Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 3, -7, 5, 13, -2 είναι 2,4.
Στην ώρα μας τεχνολογική πρόοδοπολύ πιο βολικό στη χρήση για την εύρεση της μέσης τιμής προγράμματα υπολογιστή. Το Microsoft Office Excel είναι ένα από αυτά. Η εύρεση του μέσου όρου στο Excel είναι γρήγορη και εύκολη. Επιπλέον, αυτό το πρόγραμμα περιλαμβάνεται στο πακέτο λογισμικού του Microsoft Office. Ας σκεφτούμε σύντομες οδηγίες, αξία χρησιμοποιώντας αυτό το πρόγραμμα.
Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση AVERAGE. Η σύνταξη αυτής της συνάρτησης είναι:
= Μέσος όρος(όρισμα1, όρισμα2, ... όρισμα255)
όπου το όρισμα1, το όρισμα2, ... το όρισμα255 είναι είτε αριθμοί είτε αναφορές κελιών (τα κελιά αναφέρονται σε περιοχές και πίνακες).
Για να το κάνουμε πιο σαφές, ας δοκιμάσουμε τις γνώσεις που έχουμε αποκτήσει.
- Εισαγάγετε τους αριθμούς 11, 12, 13, 14, 15, 16 στα κελιά C1 - C6.
- Επιλέξτε το κελί C7 κάνοντας κλικ σε αυτό. Σε αυτό το κελί θα εμφανίσουμε τη μέση τιμή.
- Κάντε κλικ στην καρτέλα Τύποι.
- Επιλέξτε Περισσότερες λειτουργίες > Στατιστικά για να ανοίξετε
- Επιλέξτε ΜΕΣΟΣ. Μετά από αυτό, θα πρέπει να ανοίξει ένα πλαίσιο διαλόγου.
- Επιλέξτε και σύρετε τα κελιά C1-C6 εκεί για να ορίσετε την περιοχή στο πλαίσιο διαλόγου.
- Επιβεβαιώστε τις ενέργειές σας με το κουμπί "OK".
- Εάν τα κάνατε όλα σωστά, θα πρέπει να έχετε την απάντηση στο κελί C7 - 13.7. Όταν κάνετε κλικ στο κελί C7, η συνάρτηση (=Average(C1:C6)) θα εμφανιστεί στη γραμμή τύπων.
Αυτή η δυνατότητα είναι πολύ χρήσιμη για λογιστικά, τιμολόγια ή όταν χρειάζεται απλώς να βρείτε τον μέσο όρο μιας πολύ μεγάλης σειράς αριθμών. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται συχνά σε γραφεία και μεγάλες εταιρείες. Αυτό σας επιτρέπει να διατηρείτε την τάξη στα αρχεία σας και καθιστά δυνατό να υπολογίσετε γρήγορα κάτι (για παράδειγμα, το μέσο μηνιαίο εισόδημα). Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το Excel για να βρείτε τη μέση τιμή μιας συνάρτησης.