Da biste u potpunosti proučili funkciju i nacrtali njen graf, preporučuje se sljedeća shema:
A) pronaći domen definicije, tačke prekida; istražite ponašanje funkcije u blizini tačaka diskontinuiteta (nađite granice funkcije s lijeve i desne strane u tim točkama). Označite vertikalne asimptote.
B) odrediti je li funkcija parna ili neparna i zaključiti da postoji simetrija. Ako je , tada je funkcija parna i simetrična oko ose OY; kada je funkcija neparna, simetrična u odnosu na ishodište; i ako je funkcija opšti pogled.
C) pronaći točke presjeka funkcije sa koordinatnim osama OY i OX (ako je moguće), odrediti intervale konstantnog predznaka funkcije. Granice intervala konstantnog predznaka funkcije određene su tačkama u kojima je funkcija jednaka nuli (funkcija nula) ili ne postoji i granicama domene definicije ove funkcije. U intervalima gdje se graf funkcije nalazi iznad ose OX, a gdje - ispod ove ose.
D) pronaći prvi izvod funkcije, odrediti njene nule i intervale konstantnog predznaka. U intervalima u kojima funkcija raste, a gdje opada. Donesite zaključak o prisutnosti ekstrema (tačke u kojima postoji funkcija i derivacija i pri prolasku kroz koje mijenja predznak. Ako se predznak mijenja sa plusa na minus, tada funkcija ima maksimum, a ako je od minusa u plus , zatim minimum). Pronađite vrijednosti funkcije u tačkama ekstrema.
D) naći drugi izvod, njegove nule i intervale konstantnog predznaka. U intervalima gdje< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) pronađite nagnute (horizontalne) asimptote čije jednadžbe imaju oblik 
; Gdje 
.
At 
graf funkcije će imati dvije kose asimptote, a svaka vrijednost x at i može odgovarati i dvije vrijednosti b.
G) pronaći dodatne tačke za pojašnjenje grafa (ako je potrebno) i konstruisati graf.
Primjer 1
Istražite funkciju i izgradite njen graf. Rješenje: A) domen definicije; funkcija je kontinuirana u svom domenu definicije; – tačka prekida, jer ; 
. Zatim – vertikalna asimptota.
B)
one. y(x) je funkcija općeg oblika.
C) Naći tačke preseka grafika sa OY osom: postaviti x=0; tada je y(0)=–1, tj. graf funkcije siječe os u tački (0;-1). Nule funkcije (tačke preseka grafika sa OX osom): postaviti y=0; Onda 
.
Diskriminantno kvadratna jednačina manje od nule, što znači da nema nula. Tada je granica intervala konstantnog predznaka tačka x=1, u kojoj funkcija ne postoji.
Predznak funkcije u svakom od intervala određuje se metodom parcijalnih vrijednosti:
Iz dijagrama je jasno da se u intervalu grafik funkcije nalazi ispod ose OX, a u intervalu – iznad ose OX.
D) Otkrivamo prisustvo kritičnih tačaka.
.
Kritične tačke (gdje ili ne postoje) nalazimo iz jednakosti i .
Dobijamo: x1=1, x2=0, x3=2. Kreirajmo pomoćnu tabelu
Tabela 1 
(Prvi red sadrži kritične tačke i intervale na koje su te tačke podeljene po OX osi; u drugom redu su prikazane vrednosti derivacije u kritičnim tačkama i predznaci na intervalima. Predznaci su određeni parcijalnom vrednošću Treći red označava vrijednosti funkcije y(x) u kritičnim tačkama i pokazuje ponašanje funkcije - povećanje ili smanjenje u odgovarajućim intervalima numeričke ose. Dodatno, prisustvo minimuma ili maksimuma je naznačeno.
D) Naći intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije.
; napravite tabelu kao u tački D); Samo u drugom redu zapisujemo znakove, au trećem označavamo vrstu konveksnosti. Jer ; To kritična tačka jedan x=1.
tabela 2 
Tačka x=1 je tačka pregiba.
E) Pronađite kose i horizontalne asimptote 
Tada je y=x kosa asimptota.
G) Na osnovu dobijenih podataka gradimo graf funkcije 
1). Opseg funkcije.
Očigledno je da je ova funkcija definirana na cijeloj brojevnoj pravoj, osim tačaka “” i “”, jer u ovim tačkama imenilac je jednak nuli i, prema tome, funkcija ne postoji, a prave su i vertikalne asimptote.
2). Ponašanje funkcije kao argumenta teži beskonačnosti, postojanje tačaka diskontinuiteta i provjera prisutnosti kosih asimptota.
Prvo provjerimo kako se funkcija ponaša dok se približava beskonačnosti lijevo i desno. 
Dakle, kada funkcija teži 1, tj. – horizontalna asimptota.
U blizini tačaka diskontinuiteta, ponašanje funkcije se određuje na sljedeći način: 
One. Kada se približava tačkama diskontinuiteta na lijevoj strani, funkcija se beskonačno smanjuje, a desno se beskonačno povećava.
Određujemo prisustvo kose asimptote uzimajući u obzir jednakost: 
Nema kosih asimptota.
3). Tačke sjecišta sa koordinatnim osama.
Ovdje je potrebno razmotriti dvije situacije: pronaći točku sjecišta s osom Ox i osom Oy. Predznak presjeka sa Ox osom je nulta vrijednost funkcije, tj. potrebno je riješiti jednačinu:
Ova jednadžba nema korijene, stoga graf ove funkcije nema presječne točke sa Ox osom.
Predznak preseka sa Oy osom je vrednost x = 0. U ovom slučaju
,
one. – tačka presjeka grafa funkcije sa osom Oy.
4).Određivanje ekstremnih tačaka i intervala porasta i smanjenja.
Da bismo proučili ovo pitanje, definišemo prvi izvod: 
.
Izjednačimo vrijednost prvog izvoda sa nulom. 
.
Razlomak je nula kada jednaka nuli njegov brojilac, tj. .
Odredimo intervale povećanja i smanjenja funkcije.
Dakle, funkcija ima jednu tačku ekstrema i ne postoji u dvije tačke.
Dakle, funkcija raste na intervalima i i opada na intervalima i .
5). Pregibne tačke i područja konveksnosti i konkavnosti.
Ova karakteristika ponašanja funkcije određuje se pomoću drugog izvoda. Prvo odredimo prisustvo pregibnih tačaka. Drugi izvod funkcije jednak je 
Kada i funkcija je konkavna;
kada i funkcija je konveksna.
6). Grafički prikaz funkcije.
Koristeći pronađene vrijednosti u točkama, shematski ćemo konstruirati graf funkcije:
Primjer 3
Funkcija istraživanja 
i izgradi njegov graf. Rješenje
Zadata funkcija je neperiodična funkcija općeg oblika. Njegov graf prolazi kroz ishodište koordinata, budući da .
Domen definicije date funkcije su sve vrijednosti varijable osim i za koje nazivnik razlomka postaje nula.
Prema tome, tačke su tačke diskontinuiteta funkcije.
Jer 
, 
Jer 
,
, tada je tačka diskontinuitet druge vrste.
Prave linije su vertikalne asimptote grafa funkcije.
Jednačine kosih asimptota, gdje je, 
.
At 
,
.
Dakle, za i graf funkcije ima jednu asimptotu.
Nađimo intervale povećanja i smanjenja funkcije i ekstremnih tačaka.
.
Prvi izvod funkcije at i, prema tome, at i funkcija raste.
Kada , Dakle, kada , funkcija se smanjuje.
ne postoji za , . 
, dakle, kada 
Graf funkcije je konkavan.
At 
, dakle, kada 
Graf funkcije je konveksan. 
Prilikom prolaska kroz točke , , mijenja predznak. Kada , funkcija nije definirana, stoga graf funkcije ima jednu prevojnu točku.
Napravimo graf funkcije. 
Instrukcije
Pronađite domenu funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) je definirana u cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x je definirana od -∞ do +∞, osim točke x = 0.
Identifikujte oblasti kontinuiteta i tačke diskontinuiteta. Obično je funkcija kontinuirana u istom području gdje je definirana. Da bi se otkrili diskontinuiteti, potrebno je izračunati kako se argument približava izolovanim tačkama unutar domena definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+, a minus beskonačnosti kada je x→0-. To znači da u tački x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u tački diskontinuiteta konačne, ali nisu jednake, onda je ovo diskontinuitet prve vrste. Ako su jednaki, onda se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj tački.
Pronađite vertikalne asimptote, ako ih ima. Tu će vam pomoći kalkulacije prethodni korak, budući da se vertikalna asimptota gotovo uvijek nalazi u tački diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad se iz domena definicije ne isključuju pojedinačne tačke, već čitavi intervali tačaka i tada se vertikalne asimptote mogu locirati na rubovima ovih intervala.
Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parna, neparna i periodična.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 - čak i funkcije.
Periodičnost je svojstvo koje kaže da postoji određeni broj T, koji se zove period, koji je za bilo koje x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve glavne trigonometrijske funkcije(sinus, kosinus, tangent) - periodično.
Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju date funkcije i pronađite one vrijednosti x gdje postaje nula. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima izvod g(x) = 3x^2 + 18x, koji nestaje na x = 0 i x = -6.
Da biste odredili koje su tačke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije na pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak sa plusa u tački x = -6, a u tački x = 0 nazad iz minusa u plus. Prema tome, funkcija f(x) ima minimum u prvoj tački i minimum u drugoj.
Tako ste pronašli i oblasti monotonosti: f(x) monotono raste na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovo raste na 0;+∞.
Pronađite drugi izvod. Njegovi korijeni će pokazati gdje će graf date funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, drugi izvod funkcije f(x) će biti h(x) = 6x + 18. Ona ide na nulu na x = -3, mijenjajući predznak od minus do plus. Shodno tome, graf f(x) prije ove tačke će biti konveksan, nakon njega - konkavan, a sama ova tačka će biti tačka prevoja.
Funkcija može imati i druge asimptote osim vertikalnih, ali samo ako njena domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, onda ste pronašli horizontalnu asimptotu.
Kosa asimptota je prava linija oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Naći b - granicu (f(x) – kx) za isto x→∞.
Nacrtajte graf funkcije na osnovu izračunatih podataka. Označite asimptote, ako ih ima. Označite tačke ekstrema i vrijednosti funkcije na njima. Za veću točnost grafikona, izračunajte vrijednosti funkcije u još nekoliko međutočaka. Studija je završena.
Referentne tačke pri proučavanju funkcija i konstruisanju njihovih grafova su karakteristične tačke - tačke diskontinuiteta, ekstrema, prevoji, preseci sa koordinatnim osama. Koristeći diferencijalni račun možete uspostaviti karakteristike promjene funkcija: povećanje i smanjenje, maksimumi i minimumi, smjer konveksnosti i konkavnosti grafa, prisutnost asimptota.
Skica grafa funkcije se može (i treba) nacrtati nakon pronalaženja asimptota i ekstremnih tačaka, a zgodno je popuniti zbirnu tabelu proučavanja funkcije kako studija napreduje.
Obično se koristi sljedeća shema proučavanja funkcija.
1.Pronađite domen definicije, intervale kontinuiteta i tačke prekida funkcije.
2.Ispitajte funkciju parne ili neparne (aksijalne ili centralna simetrija grafike.
3.Pronađite asimptote (vertikalne, horizontalne ili kose).
4.Naći i proučavati intervale povećanja i smanjenja funkcije, njene ekstremne tačke.
5.Naći intervale konveksnosti i konkavnosti krive, njene prevojne tačke.
6.Pronađite točke presjeka krive sa koordinatnim osa, ako postoje.
7.Sastavite zbirnu tabelu studije.
8.Grafikon se konstruiše, uzimajući u obzir proučavanje funkcije koje se izvodi prema gore opisanim tačkama.
Primjer. Funkcija istraživanja
i izgradi njegov graf.
7. Sastavimo zbirnu tabelu za proučavanje funkcije u koju ćemo unijeti sve karakteristične tačke i intervale između njih. Uzimajući u obzir paritet funkcije, dobijamo sledeću tabelu:
Chart Features |
||||
[-1, 0[ |
Povećanje |
Konveksna |
||
(0; 1) – maksimalni bod |
||||
]0, 1[ |
Silazno |
Konveksna |
||
Tačka savijanja formira se sa osom Ox tupi ugao |
Da biste u potpunosti proučili funkciju i nacrtali njen graf, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:
1) naći domen definicije funkcije;
2) pronaći tačke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);
3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;
4) ispitati funkciju na paritet (neparnost) i periodičnost (za trigonometrijske funkcije);
5) naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;
6) odredi intervale konveksnosti i prevojne tačke;
7) pronaći tačke preseka sa koordinatnim osama i, ako je moguće, neke dodatne tačke koje pojašnjavaju grafik.
Proučavanje funkcije vrši se istovremeno sa konstrukcijom njenog grafa.
Primjer 9 Istražite funkciju i napravite graf.
1. Obim definicije: ;
2. Funkcija trpi diskontinuitet u tačkama 
,
;
Ispitujemo funkciju na prisustvo vertikalnih asimptota.
;
,
─ vertikalna asimptota.
;
,
─ vertikalna asimptota.
3. Ispitujemo funkciju na prisustvo kosih i horizontalnih asimptota.
Pravo 
─ kosa asimptota, ako 
,
.
,
.
Pravo 
─ horizontalna asimptota.
4. Funkcija je čak jer 
. Parnost funkcije ukazuje na simetriju grafa u odnosu na ordinatnu osu.
5. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.
Nađimo kritične tačke, tj. tačke u kojima je izvod 0 ili ne postoji: 
;
. Imamo tri boda 
;
. Ove tačke dijele cijelu realnu osu na četiri intervala. Hajde da definišemo znakove 
na svakom od njih.
Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) ─ opada. Prilikom prolaska kroz tačku 
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum 
.
6. Pronađite intervale konveksnosti i pregibnih tačaka.
Hajde da pronađemo tačke u kojima 
je 0 ili ne postoji.
nema prave korene. 
,
,
Poeni 
I 
realnu osu podijeliti na tri intervala. Hajde da definišemo znak 
u svakom intervalu.
Dakle, kriva na intervalima 
I 
konveksan prema dole, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema pregibnih tačaka, pošto je funkcija u tačkama 
I 
nije utvrđeno.
7. Nađite tačke preseka sa osama.
Sa osovinom 
graf funkcije siječe se u tački (0; -1) i sa osom 
graf se ne siječe, jer brojilac ove funkcije nema pravi korijen.
Grafikon date funkcije prikazan je na slici 1.
Slika 1 ─ Grafikon funkcija 
Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti
Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.
Definicija. Funkcija elastičnosti 
naziva se granica omjera relativnog prirasta funkcije 
na relativni prirast varijable 
at 
, . (VII)
Elastičnost funkcije pokazuje za koliko procenata će se funkcija promijeniti 
kada se nezavisna varijabla promijeni 
za 1%.
Funkcija elastičnosti se koristi u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti) 
, tada se potražnja smatra elastičnom ako 
─ neutralno ako 
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).
Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije 
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za 
= 3.
Rješenje: prema formuli (VII), elastičnost funkcije je:
Neka je onda x=3 
.To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, onda će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.
Primjer 11 Neka potražnja funkcionira 
u vezi cene 
izgleda kao 
, Gdje 
─ konstantni koeficijent. Naći vrijednost indikatora elastičnosti funkcije tražnje po cijeni x = 3 den. jedinice
Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje koristeći formulu (VII)
Believing 
novčane jedinice, dobijamo 
. To znači da po cijeni 
novčane jedinice povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.
Jedan od najvažniji zadaci diferencijalni račun je razvoj uobičajeni primjeri studije ponašanja funkcije.
Ako je funkcija y=f(x) kontinuirana na intervalu, a njen izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a,b), tada se y=f(x) povećava za (f"(x)0) . Ako je funkcija y=f (x) kontinuirana na segmentu, a njen izvod je negativan ili jednak 0 na intervalu (a,b), tada se y=f(x) smanjuje za (f"(x)0 )
Intervali u kojima se funkcija ne smanjuje ili ne povećava nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Monotonost funkcije može se promijeniti samo u onim tačkama njenog domena definicije u kojima se mijenja predznak prvog izvoda. Tačke u kojima prvi izvod funkcije nestaje ili ima diskontinuitet nazivaju se kritičnim.
Teorema 1 (1 dovoljno stanje postojanje ekstrema).
Neka je funkcija y=f(x) definirana u tački x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na intervalu i diferencibilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegov izvod zadržava konstantan predznak na svakom od ovih intervala. Tada ako su na x 0 -δ,x 0) i (x 0 , x 0 +δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 tačka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije tačka ekstrema . Štaviše, ako, prilikom prolaska kroz tačku x0, derivacija promeni predznak sa plusa na minus (levo od x 0 je zadovoljeno f"(x)>0, tada je x 0 maksimalna tačka; ako derivacija promeni predznak od minus na plus (desno od x 0 izvršeno f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Maksimalne i minimalne tačke nazivaju se tačke ekstrema funkcije, a maksimum i minimum funkcije njene ekstremne vrednosti.
Teorema 2 (neophodan znak lokalnog ekstremuma).
Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem na trenutnom x=x 0, tada ili f’(x 0)=0 ili f’(x 0) ne postoji.
U tačkama ekstrema diferencijabilne funkcije, tangenta na njen graf je paralelna sa Ox osi.
Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:
1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične tačke, tj. tačke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolinu svake tačke i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od ove tačke.
4) Odredite koordinate ekstremnih tačaka; za to zamijenite vrijednosti kritičnih tačaka u ovu funkciju. Koristeći dovoljne uslove za ekstrem, izvući odgovarajuće zaključke.
Primjer 18. Ispitati funkciju y=x 3 -9x 2 +24x za ekstrem
Rješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavajući derivaciju sa nulom, nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivacija je svuda definisana; To znači da osim dvije pronađene tačke ne postoje druge kritične tačke.
3) Predznak izvoda y"=3(x-2)(x-4) se mijenja u zavisnosti od intervala kao što je prikazano na slici 1. Prilikom prolaska kroz tačku x=2 derivacija mijenja predznak sa plus na minus, a pri prolasku kroz tačku x=4 - od minusa do plusa.
4) U tački x=2 funkcija ima maksimum y max =20, au tački x=4 - minimum y min =16.
Teorema 3. (2. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).
Neka je f"(x 0) i u tački x 0 postoji f""(x 0). Tada ako je f""(x 0)>0, onda je x 0 minimalna tačka, a ako je f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Na segmentu, funkcija y=f(x) može dostići najmanju (y najmanju) ili najveću (y najvišu) vrijednost bilo u kritičnim tačkama funkcije koje leže u intervalu (a;b), ili na krajevi segmenta.
Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:
1) Pronađite f"(x).
2) Pronađite tačke u kojima f"(x)=0 ili f"(x) ne postoji, i izaberite od njih one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y=f(x) u tačkama dobijenim u koraku 2), kao i na krajevima segmenta i od njih odaberite najveću i najmanju: one su, respektivno, najveće (y najveća) i najmanja (y najmanja) vrijednosti funkcije na intervalu.
Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu.
1) Imamo y"=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Izvod y" postoji za sva x. Nađimo tačke u kojima je y"=0; dobijamo:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segment sadrži samo tačku x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, y max = 225, y min = 50.
Proučavanje funkcije o konveksnosti
Na slici su prikazani grafikoni dvije funkcije. Prvi od njih je konveksan prema gore, drugi je konveksan prema dolje.
Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencibilna u intervalu (a;b), naziva se konveksna nagore (nadole) na ovom segmentu ako, za axb, njen graf nije viši (ne niži) od tangenta povučena u bilo kojoj tački M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.
Teorema 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugi izvod u bilo kojoj unutrašnjoj tački x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima ovog segmenta. Tada ako nejednakost f""(x)0 vrijedi na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na intervalu; ako nejednakost f""(x)0 vrijedi na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .
Teorema 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugi izvod na intervalu (a;b) i ako promijeni predznak pri prolasku kroz tačku x 0, tada je M(x 0 ;f(x 0)) tačka pregiba.
Pravilo za pronalaženje prevojnih tačaka:
1) Pronađite tačke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake tačke pronađene u prvom koraku.
3) Na osnovu teoreme 4 izvedite zaključak.
Primjer 20. Odrediti tačke ekstrema i prevojne tačke grafika funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očigledno, f"(x)=0 kada je x 1 =0, x 2 =1. Prilikom prolaska kroz tačku x=0 derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, ali pri prolasku kroz tačku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 tačka minimuma (y min =12), a u tački x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo 
. Drugi izvod nestaje u tačkama x 1 =1, x 2 =1/3. Znaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prema tome, x= je tačka pregiba grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti naniže u konveksnost prema gore) i x=1 je također tačka pregiba (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y=; ako, onda je x=1, y=13.
Algoritam za pronalaženje asimptote grafa
I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞, tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte . Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , onda idite na drugi korak.
2) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednak je k, idite na treći korak.
3) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednako je b, onda idite na četvrti korak.
4) Zapišite jednačinu kose asimptote y=kx+b.
Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju 
1) 
2)
3)
4) Jednačina kose asimptote ima oblik
Šema za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa
I. Pronađite domen definicije funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite moguće tačke ekstrema.
V. Pronađite kritične tačke.
VI. Koristeći pomoćnu figuru, istraži predznak prve i druge izvedenice. Odrediti područja rastuće i opadajuće funkcije, pronaći pravac konveksnosti grafa, tačke ekstrema i prevojne tačke.
VII. Izradite graf, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u paragrafima 1-6.
Primjer 22: Konstruirajte graf funkcije prema gornjem dijagramu
Rješenje.
I. Domen funkcije je skup svih realnih brojeva osim x=1.
II. Kako jednačina x 2 +1=0 nema realne korijene, graf funkcije nema točaka sjecišta sa Ox osom, već siječe osu Oy u tački (0;-1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Proučimo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta x=1. Kako je y → ∞ kao x → -∞, y → +∞ kao x → 1+, tada je prava linija x=1 vertikalna asimptota grafika funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Dalje, od postojanja granica
Rješavanjem jednačine x 2 -2x-1=0 dobijamo dvije moguće tačke ekstrema:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2
V. Da bismo pronašli kritične tačke, izračunavamo drugi izvod:
Pošto f""(x) ne nestaje, nema kritičnih tačaka.
VI. Pogledajmo predznak prve i druge derivacije. Moguće tačke ekstrema koje treba uzeti u obzir: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijeliti domenu postojanja funkcije na intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) i (1+√2;+∞).
U svakom od ovih intervala derivacija zadržava svoj znak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Redoslijed predznaka prve derivacije zapisuje se na sljedeći način: +,-,+.
Nalazimo da funkcija raste na (-∞;1-√2), opada na (1-√2;1+√2) i ponovo raste na (1+√2;+∞). Ekstremne tačke: maksimum na x=1-√2, i f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, i f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) je konveksan prema dolje.
VII Napravimo tabelu dobijenih vrijednosti
VIII Na osnovu dobijenih podataka konstruišemo skicu grafika funkcije 