Mahal na mga kaibigan! Ang pangkat ng mga gawain na nauugnay sa hinalaw ay kinabibilangan ng mga gawain - ang kundisyon ay nagbibigay ng isang graph ng isang function, ilang mga punto sa graph na ito at ang tanong ay:
Sa anong punto ang derivative na pinakamalaki (pinakamaliit)?
Ulitin natin sandali:
Ang derivative sa isang punto ay katumbas ng slope ng padaplis na dumadaanang puntong ito sa graph.
UAng global coefficient ng tangent, sa turn, ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tangent na ito.
*Ito ay tumutukoy sa anggulo sa pagitan ng tangent at ng x-axis.
1. Sa mga pagitan ng pagtaas ng function, ang derivative ay may positibong halaga.
2. Sa pagitan ng pagbaba nito, ang derivative ay may negatibong halaga.
Isaalang-alang ang sumusunod na sketch:
Sa mga puntos na 1,2,4, ang derivative ng function ay may negatibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa nagpapababa ng mga pagitan.
Sa mga puntos na 3,5,6, ang derivative ng function ay may positibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa pagtaas ng mga pagitan.
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay malinaw sa kahulugan ng derivative, iyon ay, hindi mahirap matukoy kung anong palatandaan ang mayroon ito (positibo o negatibo) sa isang tiyak na punto sa graph.
Bukod dito, kung tayo ay bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito, makikita natin na ang mga tuwid na linya na dumadaan sa mga punto 3, 5 at 6 ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 0 hanggang 90 o, at mga tuwid na linya na dumadaan sa mga punto 1, 2 at 4 na anyo. sa oX axis ang mga anggulo ay mula 90 o hanggang 180 o.
*Malinaw ang ugnayan: ang mga tangent na dumadaan sa mga punto na kabilang sa mga pagitan ng pagtaas ng mga function ay nabuo sa oX axis matutulis na sulok, ang mga padaplis na dumadaan sa mga puntong kabilang sa mga pagitan ng bumababa na mga function ay bumubuo ng mga obtuse na anggulo na may oX axis.
Ngayon ang mahalagang tanong!
Paano nagbabago ang halaga ng derivative? Pagkatapos ng lahat, ang tangent sa iba't ibang mga punto sa graph ng isang tuluy-tuloy na function ay bumubuo ng iba't ibang mga anggulo, depende sa kung aling punto sa graph na dinadaanan nito.
*O, nagsasalita sa simpleng wika, ang tangent ay matatagpuan na parang "pahalang" o "patayo". Tingnan mo:
Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 0 hanggang 90 o
Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 90° hanggang 180°
Samakatuwid, kung mayroon kang anumang mga katanungan:
— alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang derivative ang may pinakamaliit na halaga?
- kung alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang derivative ay may halaga pinakamataas na halaga?
pagkatapos ay upang sagutin ito ay kinakailangan upang maunawaan kung paano nagbabago ang halaga ng tangent ng tangent angle sa hanay mula 0 hanggang 180 o.
* Gaya ng nabanggit na, ang halaga ng derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa oX axis.
Ang halaga ng tangent ay nagbabago tulad ng sumusunod:
Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay nagbabago mula 0° hanggang 90°, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ang derivative, ay nagbabago nang naaayon mula 0 hanggang +∞;
Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay nagbabago mula 90° hanggang 180°, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ang derivative, ay nagbabago nang naaayon -∞ hanggang 0.
Ito ay malinaw na makikita mula sa graph ng tangent function:
Sa simpleng termino:
Sa isang tangent inclination angle mula 0° hanggang 90°
Kung mas malapit ito sa 0 o, mas magiging malapit sa zero ang halaga ng derivative (sa positibong bahagi).
Kung mas malapit ang anggulo sa 90°, mas tataas ang derivative value patungo sa +∞.
Na may tangent inclination angle mula 90° hanggang 180°
Kapag mas malapit ito sa 90 o, mas bababa ang derivative value patungo sa –∞.
Kung mas malapit ang anggulo sa 180°, mas malaki ang halaga ng derivative na magiging malapit sa zero (sa negatibong bahagi).
317543. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at ang mga puntos ay minarkahan–2, –1, 1, 2. Alin sa mga puntong ito ang pinakadakilang derivative? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto -1 at 1) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga punto -2 at 2).
Agad nating mahihinuha na sa mga punto -1 at 1 ang derivative ay may negatibong halaga, at sa mga puntos -2 at 2 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid sa sa kasong ito kinakailangang suriin ang mga puntos –2 at 2 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamalaking halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:
Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya a at ng abscissa axis ay magiging mas malaking halaga padaplis ng anggulo sa pagitan ng linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa punto -2 ay magiging pinakamalaki.
Kami ang sasagot sunod na tanong: Sa anong punto –2, –1, 1 o 2 ang derivative na pinaka-negatibo? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Ang derivative ay magkakaroon ng negatibong halaga sa mga puntong kabilang sa mga nagpapababang pagitan, kaya isaalang-alang natin ang mga punto -2 at 1. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa kanila:
Nakikita natin yan mahinang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya b at ng oX axis ay "mas malapit" sa 180 O , samakatuwid ang padaplis nito ay magiging mas malaki kaysa sa padaplis ng anggulo na nabuo ng tuwid na linya a at ng oX axis.
Kaya, sa puntong x = 1, ang halaga ng derivative ay magiging pinakamalaking negatibo.
317544. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y = f(x) at ang mga puntos ay minarkahan–2, –1, 1, 4. Alin sa mga puntong ito ang derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto –1 at 4) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga puntos –2 at 1).
Agad nating mahihinuha na sa mga punto -1 at 4 ang derivative ay may negatibong halaga, at sa mga puntos -2 at 1 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid, sa kasong ito, kinakailangan na pag-aralan ang mga puntos -1 at 4 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamaliit na halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:
Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya a at ng abscissa axis ay mas malaki kaysa sa halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa puntong x = 4 ang magiging pinakamaliit.
Sagot: 4
Sana ay hindi kita "na-overload" sa dami ng sinusulat. Sa katunayan, ang lahat ay napaka-simple, kailangan mo lamang na maunawaan ang mga katangian ng derivative, nito geometriko na kahulugan at kung paano nagbabago ang tangent ng anggulo mula 0 hanggang 180 o.
1. Una, tukuyin ang mga senyales ng derivative sa mga puntong ito (+ o -) at piliin ang mga kinakailangang puntos (depende sa tanong na ibinibigay).
2. Bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito.
3. Gamit ang tangesoid graph, markahan ng eskematiko ang mga anggulo at ipakitaAlexander.
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.
Ano ang extremum ng isang function at ano ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum?
Ang extremum ng isang function ay ang maximum at minimum ng function.
Ang kinakailangang kondisyon para sa maximum at minimum (extremum) ng isang function ay ang mga sumusunod: kung ang function na f(x) ay may extremum sa puntong x = a, sa puntong ito ang derivative ay alinman sa zero, o infinite, o wala. hindi umiiral.
Ang kundisyong ito ay kinakailangan, ngunit hindi sapat. Ang derivative sa puntong x = a ay maaaring pumunta sa zero, infinity, o wala nang walang function na mayroong extremum sa puntong ito.
Ano ba yan sapat na kondisyon extremum ng function (maximum o minimum)?
Unang kondisyon:
Kung, sa sapat na kalapitan sa puntong x = a, ang derivative f?(x) ay positibo sa kaliwa ng a at negatibo sa kanan ng a, sa puntong x = a ang function na f(x) ay may maximum
Kung, sa sapat na kalapitan sa puntong x = a, ang derivative f?(x) ay negatibo sa kaliwa ng a at positibo sa kanan ng a, sa puntong x = a ang function na f(x) ay may pinakamababa sa kondisyon na ang function na f(x) dito ay tuluy-tuloy.
Sa halip, maaari mong gamitin ang pangalawang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function:
Hayaang mawala sa puntong x = a ang unang derivative f?(x); kung ang pangalawang derivative f??(a) ay negatibo, kung gayon ang function na f(x) ay may pinakamataas sa puntong x = a, kung ito ay positibo, kung gayon ito ay may pinakamababa.
Ano ang kritikal na punto ng isang function at paano ito mahahanap?
Ito ang halaga ng argumento ng function kung saan may extremum ang function (i.e. maximum o minimum). Upang mahanap ito kailangan mo hanapin ang derivative function f?(x) at, equating ito sa zero, lutasin ang equation f?(x) = 0. Ang mga ugat ng equation na ito, pati na rin ang mga punto kung saan ang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, ay mga kritikal na punto, ibig sabihin, mga halaga ng argumento kung saan maaaring magkaroon ng extremum. Madali silang makilala sa pamamagitan ng pagtingin derivative graph: interesado kami sa mga halagang iyon ng argumento kung saan ang graph ng function ay nag-intersect sa abscissa axis (Ox axis) at ang mga kung saan ang graph ay nagdurusa ng mga discontinuities.
Halimbawa, hanapin natin extremum ng isang parabola.
Function y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivative ng function: y?(x) = 6x + 2
Lutasin ang equation: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Sa kasong ito, ang kritikal na punto ay x0=-1/3. Ito ay kasama ang halaga ng argumento na mayroon ang function sukdulan. Sa kanya hanapin, palitan ang nahanap na numero sa expression para sa function sa halip na "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
Paano matukoy ang maximum at minimum ng isang function, i.e. ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito?
Kung ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa kritikal na puntong x0 ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang x0 ay pinakamataas na punto; kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa minus hanggang plus, kung gayon ang x0 ay pinakamababang punto; kung ang tanda ay hindi nagbabago, pagkatapos ay sa puntong x0 ay walang maximum o minimum.
Para sa halimbawang isinasaalang-alang:
Kumuha kami ng di-makatwirang halaga ng argumento sa kaliwa ng kritikal na punto: x = -1
Sa x = -1, ang halaga ng derivative ay magiging y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (i.e. ang sign ay "minus").
Ngayon ay kumuha kami ng arbitrary na halaga ng argumento sa kanan ng kritikal na punto: x = 1
Sa x = 1, ang halaga ng derivative ay magiging y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (i.e. ang sign ay “plus”).
Gaya ng nakikita mo, binago ng derivative ang sign mula minus hanggang plus kapag dumadaan sa kritikal na punto. Nangangahulugan ito na sa kritikal na halaga x0 mayroon tayong pinakamababang punto.
Ang pinakadakila at pinakamaliit na halaga mga function sa pagitan(sa isang segment) ay matatagpuan gamit ang parehong pamamaraan, isinasaalang-alang lamang ang katotohanan na, marahil, hindi lahat ng mga kritikal na punto ay nasa loob ng tinukoy na agwat. Ang mga kritikal na punto na nasa labas ng agwat ay dapat na hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Kung mayroon lamang isang kritikal na punto sa loob ng pagitan, magkakaroon ito ng maximum o minimum. Sa kasong ito, upang matukoy ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function, isinasaalang-alang din namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng agwat.
Halimbawa, hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function
y(x) = 3sin(x) - 0.5x
sa mga pagitan:
Kaya, ang derivative ng function ay
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
Lutasin namin ang equation na 3cos(x) - 0.5 = 0
cos(x) = 0.5/3 = 0.16667
x = ±arccos(0.16667) + 2πk.
Nakahanap kami ng mga kritikal na punto sa pagitan [-9; 9]:
x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (hindi kasama sa pagitan)
x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687
x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88
x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403
x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403
x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88
x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687
x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (hindi kasama sa pagitan)
Nahanap namin ang mga halaga ng function sa kritikal na halaga argumento:
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
Makikita na sa pagitan [-9; 9] ang function ay may pinakamalaking halaga sa x = -4.88:
x = -4.88, y = 5.398,
at ang pinakamaliit - sa x = 4.88:
x = 4.88, y = -5.398.
Sa pagitan [-6; -3] mayroon lamang tayong isang kritikal na punto: x = -4.88. Ang halaga ng function sa x = -4.88 ay katumbas ng y = 5.398.
Hanapin ang halaga ng function sa mga dulo ng pagitan:
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
Sa pagitan [-6; -3] mayroon kaming pinakamalaking halaga ng function
y = 5.398 sa x = -4.88
pinakamaliit na halaga -
y = 1.077 sa x = -3
Paano mahahanap ang mga inflection point ng isang function graph at matukoy ang convex at concave na panig?
Upang mahanap ang lahat ng mga inflection point ng linya y = f(x), kailangan mong hanapin ang pangalawang derivative, equate ito sa zero (solve ang equation) at subukan ang lahat ng mga value ng x kung saan ang pangalawang derivative ay zero, walang hanggan o wala. Kung, kapag dumadaan sa isa sa mga value na ito, ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign, ang graph ng function ay may inflection sa puntong ito. Kung hindi ito nagbabago, pagkatapos ay walang liko.
Ang mga ugat ng equation f? (x) = 0, pati na rin ang posibleng mga punto ng discontinuity ng function at ang pangalawang derivative, hatiin ang domain ng kahulugan ng function sa isang bilang ng mga pagitan. Ang convexity sa bawat isa sa kanilang mga agwat ay natutukoy sa pamamagitan ng pag-sign ng pangalawang derivative. Kung ang pangalawang derivative sa isang punto sa pagitan na pinag-aaralan ay positibo, ang linyang y = f(x) ay malukong paitaas, at kung negatibo, pagkatapos ay pababa.
Paano mahanap ang extrema ng isang function ng dalawang variable?
Upang mahanap ang extrema ng function na f(x,y), naiba-iba sa domain ng detalye nito, kailangan mo:
1) hanapin ang mga kritikal na puntos, at para dito - lutasin ang sistema ng mga equation
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) para sa bawat kritikal na punto P0(a;b) siyasatin kung ang tanda ng pagkakaiba ay nananatiling hindi nagbabago
para sa lahat ng puntos (x;y) na sapat na malapit sa P0. Kung mananatili ang pagkakaiba positibong tanda, tapos sa point P0 meron tayong minimum, if negative, then meron tayong maximum. Kung ang pagkakaiba ay hindi nagpapanatili ng tanda nito, kung gayon walang extremum sa puntong P0.
Ang extrema ng function ay tinutukoy nang katulad para sa higit pa mga argumento.
Hayaan ang function y =f(X) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b]. Tulad ng nalalaman, ang naturang function ay umabot sa maximum at minimum na halaga nito sa segment na ito. Maaaring kunin ng function ang mga halagang ito alinman sa panloob na punto ng segment [ a, b], o sa hangganan ng segment.
Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment [ a, b] kailangan:
1) hanapin ang mga kritikal na punto ng function sa pagitan ( a, b);
2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;
3) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga dulo ng segment, iyon ay, kung kailan x=A at x = b;
4) mula sa lahat ng kinakalkula na mga halaga ng pag-andar, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.
Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function
sa segment.
Paghahanap ng mga kritikal na punto:
Ang mga puntong ito ay nasa loob ng segment; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
sa punto x= 3 at sa punto x= 0.
Pag-aaral ng isang function para sa convexity at inflection point.
Function y = f (x) tinawag matambok sa gitna (a, b) , kung ang graph nito ay nasa ilalim ng tangent na iginuhit sa anumang punto sa pagitan na ito, at tinatawag matambok pababa (malukong), kung ang graph nito ay nasa itaas ng tangent.
Ang punto kung saan ang convexity ay pinalitan ng concavity o vice versa ay tinatawag inflection point.
Algorithm para sa pagsusuri ng convexity at inflection point:
1. Maghanap ng mga kritikal na punto ng pangalawang uri, iyon ay, mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero o wala.
2. I-plot ang mga kritikal na punto sa linya ng numero, na hatiin ito sa mga pagitan. Hanapin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat pagitan; kung , kung gayon ang function ay matambok paitaas, kung, kung gayon ang function ay matambok pababa.
3. Kung, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto ng pangalawang uri, ang tanda ay nagbabago at sa puntong ito ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang puntong ito ay ang abscissa ng inflection point. Hanapin ang ordinate nito.
Asymptotes ng graph ng isang function. Pag-aaral ng isang function para sa mga asymptotes.
Kahulugan. Ang asymptote ng graph ng isang function ay tinatawag tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa anumang punto sa graph hanggang sa linyang ito ay nagiging zero habang ang punto sa graph ay gumagalaw nang walang katiyakan mula sa pinanggalingan.
May tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at hilig.
Kahulugan. Ang tuwid na linya ay tinatawag patayong asymptote function na graphics y = f(x), kung kahit isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa puntong ito ay katumbas ng infinity, iyon ay
kung saan ang discontinuity point ng function, iyon ay, hindi ito kabilang sa domain ng kahulugan.
Halimbawa.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – break point.
Kahulugan. Diretso y =A tinawag pahalang na asymptote function na graphics y = f(x) sa , kung
Halimbawa.
|
x | |||
|
y |
Kahulugan. Diretso y =kx +b (k≠ 0) ay tinatawag pahilig na asymptote function na graphics y = f(x) saan
Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga function at pagbuo ng mga graph.
Function Research Algorithmy = f(x) :
1. Hanapin ang domain ng function D (y).
2. Hanapin (kung maaari) ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes (kung x= 0 at sa y = 0).
3. Suriin ang pantay at kakaiba ng function ( y (‒ x) = y (x) ‒ pagkakapantay-pantay; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kakaiba).
4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.
5. Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity ng function.
6. Hanapin ang extrema ng function.
7. Hanapin ang mga pagitan ng convexity (concavity) at inflection point ng function graph.
8. Batay sa isinagawang pananaliksik, bumuo ng graph ng function.
Halimbawa. Galugarin ang function at buuin ang graph nito.
1) D (y) =
x= 4 – break point.
2) Kailan x = 0,
(0; ‒ 5) – punto ng intersection sa oh.
Sa y = 0,
3)
y(‒
x)=
function pangkalahatang pananaw(ni kahit na o kakaiba).
4) Sinusuri namin ang mga asymptotes.
a) patayo
b) pahalang
c) hanapin ang mga pahilig na asymptotes kung saan
‒oblique asymptote equation
5) Sa equation na ito, hindi kinakailangan na maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.
6)
Hinahati ng mga kritikal na puntong ito ang buong domain ng kahulugan ng function sa pagitan (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) at (10; +∞). Ito ay maginhawa upang ipakita ang mga resulta na nakuha sa anyo ng sumusunod na talahanayan.
Maliit at maganda simpleng gawain mula sa kategorya ng mga nagsisilbing life preserver para sa isang lumulutang na estudyante. Ito ay nasa kalagitnaan ng Hulyo, kaya oras na upang manirahan kasama ang iyong laptop sa beach. Maaga sa umaga, nagsimulang tumugtog ang sinag ng araw ng teorya, upang sa lalong madaling panahon ay tumutok sa pagsasanay, na, sa kabila ng ipinahayag na kadalian, ay naglalaman ng mga shards ng salamin sa buhangin. Sa bagay na ito, inirerekumenda ko na maingat mong isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng pahinang ito. Upang malutas ang mga praktikal na problema kailangan mong kayanin maghanap ng mga derivatives at unawain ang materyal ng artikulo Mga monotonicity interval at extrema ng function.
Una, maikling tungkol sa pangunahing bagay. Sa aralin tungkol sa pagpapatuloy ng pag-andar Ibinigay ko ang kahulugan ng pagpapatuloy sa isang punto at pagpapatuloy sa isang pagitan. Ang huwarang pag-uugali ng isang function sa isang segment ay binuo sa katulad na paraan. Ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang pagitan kung:
1) ito ay tuloy-tuloy sa pagitan;
2) tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan at sa punto umalis.
Sa ikalawang talata napag-usapan natin ang tinatawag na isang panig na pagpapatuloy gumagana sa isang punto. Mayroong ilang mga diskarte sa pagtukoy nito, ngunit mananatili ako sa linyang sinimulan ko kanina:
Ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa punto sa kanan, kung ito ay tinukoy sa isang partikular na punto at ang kanang-kamay na limitasyon ay tumutugma sa halaga ng function sa isang partikular na punto: 
. Ito ay tuloy-tuloy sa punto umalis, kung tinukoy sa isang partikular na punto at ang kaliwang limitasyon nito ay katumbas ng halaga sa puntong ito: 
Imagine na berdeng tuldok- ito ang mga kuko kung saan nakakabit ang magic elastic band:
Sa isip, kunin ang pulang linya sa iyong mga kamay. Malinaw, gaano man kalayo natin iunat ang graph pataas at pababa (sa kahabaan ng axis), mananatili pa rin ang function limitado– isang bakod sa itaas, isang bakod sa ibaba, at ang aming produkto ay nanginginain sa paddock. kaya, ang isang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan ay nakatali dito. Sa kurso ng pagsusuri sa matematika, ang tila simpleng katotohanang ito ay nakasaad at mahigpit na napatunayan. Ang unang teorama ni Weierstrass....Maraming tao ang naiinis na ang mga elementarya na pahayag ay nakakapagod na pinatunayan sa matematika, ngunit ito ay may mahalagang kahulugan. Ipagpalagay na ang isang tiyak na naninirahan sa terry Middle Ages ay humila ng isang graph sa kalangitan na lampas sa mga limitasyon ng visibility, ito ay ipinasok. Bago ang pag-imbento ng teleskopyo, ang limitadong pag-andar sa espasyo ay hindi halata! Talaga, paano mo malalaman kung ano ang naghihintay sa atin sa abot-tanaw? Pagkatapos ng lahat, ang Earth ay dating itinuturing na flat, kaya ngayon kahit na ang ordinaryong teleportation ay nangangailangan ng patunay =)
Ayon kay Ang pangalawang teorama ni Weierstrass, tuloy-tuloy sa isang segmentumabot ang function nito eksaktong upper bound at sa iyo eksaktong ilalim na gilid .
Tinatawag din ang numero ang maximum na halaga ng function sa segment at ay tinutukoy ng , at ang numero ay ang pinakamababang halaga ng function sa segment may markang .
Sa kaso natin: 
Tandaan
: sa teorya, ang mga pag-record ay karaniwan 
.
Sa halos pagsasalita, ang pinakamalaking halaga ay kung saan ang pinaka mataas na punto graphics, at ang pinakamaliit ay kung nasaan ang pinakamababang punto.
Mahalaga! Gaya ng nabigyang-diin sa artikulo tungkol sa extrema ng function, pinakamalaking halaga ng pag-andar At pinakamaliit na halaga ng function – IBA, Ano maximum na function At pinakamababang function. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, ang numero ay ang minimum ng function, ngunit hindi ang pinakamababang halaga.
By the way, ano ang nangyayari sa labas ng segment? Oo, kahit isang baha, sa konteksto ng problemang isinasaalang-alang, hindi ito interesado sa amin. Ang gawain ay nagsasangkot lamang ng paghahanap ng dalawang numero 
at yun lang!
Bukod dito, ang solusyon ay purong analytical, samakatuwid hindi na kailangan gumawa ng drawing!
Ang algorithm ay nasa ibabaw at nagmumungkahi ng sarili mula sa figure sa itaas:
1) Hanapin ang mga halaga ng function sa kritikal na puntos, na kabilang sa segment na ito.
Makakuha ng isa pang bonus: dito hindi na kailangang suriin ang sapat na kondisyon para sa isang extremum, dahil, tulad ng ipinakita lamang, ang pagkakaroon ng isang minimum o maximum hindi pa ginagarantiya, ano ang pinakamababa o pinakamataas na halaga. Ang demonstration function ay umabot sa maximum at, ayon sa kalooban ng kapalaran, ang parehong numero ay ang pinakamalaking halaga ng function sa segment. Ngunit, siyempre, ang gayong pagkakataon ay hindi palaging nangyayari.
Kaya, sa unang hakbang, mas mabilis at mas madaling kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment, nang hindi nag-abala kung mayroong extrema sa kanila o wala.
2) Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment.
3) Kabilang sa mga value ng function na makikita sa 1st at 2nd paragraph, piliin ang pinakamaliit at pinakamaraming malaking numero, isulat ang sagot.
Umupo kami sa baybayin ng asul na dagat at tumama sa mababaw na tubig gamit ang aming mga takong:
Halimbawa 1
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang segment
Solusyon:
1) Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito:
Kalkulahin natin ang halaga ng function sa pangalawa kritikal na punto:
2) Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment: 
3) Ang mga resultang "Bold" ay nakuha gamit ang mga exponents at logarithms, na makabuluhang nagpapakumplikado sa kanilang paghahambing. Para sa kadahilanang ito, hawakan natin ang ating sarili ng isang calculator o Excel at kalkulahin ang mga tinatayang halaga, na hindi nakakalimutan na: 
Ngayon malinaw na ang lahat.
Sagot:
Fractional-rational na halimbawa para sa independiyenteng solusyon:
Halimbawa 6
Hanapin ang maximum at pinakamababang halaga mga function sa isang pagitan
Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakamalaking interes ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado dito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy ng pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay kailangan nating lutasin ang mga problema sa pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang mga gawain ng paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.
Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa isang tiyak na pagitan X, na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain ng kahulugan. Ang interval X mismo ay maaaring isang segment, isang bukas na agwat 
, isang walang katapusang pagitan.
Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tahasang tinukoy na function ng isang variable y=f(x) .
Pag-navigate sa pahina.
Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.
Tingnan natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.
Ang pinakamalaking halaga ng function 
na para sa sinuman 
totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.
Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga 
na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.
Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na tinatanggap na halaga sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.
Mga nakatigil na puntos– ito ang mga halaga ng argumento kung saan ang derivative ng function ay nagiging zero.
Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag hinahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Mula sa theorem na ito ay sumusunod na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga nito sa pagitan ng X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa agwat na ito.
Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring tumagal sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.
Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga pag-andar sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal sa parehong walang katapusan na malaki at walang katapusang maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Para sa kalinawan, magbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan at marami ang magiging mas malinaw.
Sa segment
Sa unang figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng segment [-6;6].
Isaalang-alang ang kaso na inilalarawan sa pangalawang figure. Baguhin natin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking sa punto na may abscissa na tumutugma sa kanang hangganan pagitan.
Sa Figure 3, ang mga boundary point ng segment [-3;2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Sa isang bukas na pagitan
Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).
Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.
Sa infinity
Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1, at ang pinakamaliit na halaga (min y) ay nakakamit sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3.
Sa paglipas ng pagitan, ang function ay hindi umabot sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Habang lumalapit ang x=2 mula sa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang linyang x=2 ay isang vertical asymptote), at dahil ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3. Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.
Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa isang segment.
Sumulat tayo ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
- Hinahanap namin ang domain ng kahulugan ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
- Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay matatagpuan sa mga function na may argumento sa ilalim ng modulus sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
- Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nasa loob ng segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at pumili ng angkop na mga ugat. Kung walang mga nakatigil na punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
- Kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang hinalaw ay hindi umiiral (kung mayroon man), pati na rin sa x=a at x=b.
- Mula sa nakuha na mga halaga ng pag-andar, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang kinakailangang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar, ayon sa pagkakabanggit.
Suriin natin ang algorithm para sa paglutas ng isang halimbawa upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
Halimbawa.
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function
- sa segment;
- sa segment [-4;-1] .
Solusyon.
Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay. Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.
Hanapin ang derivative ng function na may kinalaman sa: 
Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1].
Tinutukoy namin ang mga nakatigil na puntos mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2. Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.
Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1, x=2 at x=4: 
Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function 
ay nakamit sa x=1, at ang pinakamaliit na halaga 
– sa x=2.
Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto): 