Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?
Para dito sinusunod namin ang kilalang algorithm:
1 . Nakikita namin ang mga function ng ODZ.
2 . Paghahanap ng derivative ng isang function
3 . I-equate ang derivative sa zero
4 . Nahanap namin ang mga agwat kung saan pinapanatili ng derivative ang tanda nito, at mula sa kanila ay tinutukoy namin ang mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng function:
Kung sa pagitan ko ang derivative ng function na 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} tumataas sa pagitan na ito.
Kung sa pagitan ko ang derivative ng function , pagkatapos ay ang function bumababa sa pagitan na ito.
5 . Nahanap namin maximum at minimum na puntos ng function.
SA ang function na maximum point, ang derivative ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "-".
SA pinakamababang punto ng functionmga derivative na pagbabago sign mula "-" hanggang "+".
6 . Nahanap namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment,
- pagkatapos ay inihambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamataas na puntos, at piliin ang pinakamalaki sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamalaking halaga ng function
- o inihahambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamababang puntos, at piliin ang pinakamaliit sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function
Gayunpaman, depende sa kung paano kumikilos ang function sa pagitan, ang algorithm na ito ay maaaring makabuluhang bawasan.
Isaalang-alang ang function 
. Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:
Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Open Task Bank para sa
1 . Gawain B15 (#26695)
Sa hiwa.
1. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x
Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, at ang derivative ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x. Samakatuwid, ang function ay tumataas at tumatagal sa pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, iyon ay, sa x=0.
Sagot: 5.
2 . Gawain B15 (No. 26702)
Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function 
sa segment.
1.ODZ function title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Ang derivative ay zero sa , gayunpaman, sa mga puntong ito ay hindi ito nagbabago ng sign:
Samakatuwid, title="3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tumataas at kumukuha ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, sa .
Upang gawing malinaw kung bakit ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, binabago namin ang expression para sa derivative bilang mga sumusunod:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Sagot: 5.
3 . Gawain B15 (#26708)
Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.
1. ODZ functions: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Ilagay natin ang mga ugat ng equation na ito sa isang trigonometriko na bilog.
Ang pagitan ay naglalaman ng dalawang numero: at
Ilagay natin ang mga karatula. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa puntong x=0: 
. Kapag dumadaan sa mga punto at ang derivative na pagbabago sign.
Ilarawan natin ang pagbabago ng mga palatandaan ng derivative ng function sa linya ng coordinate:
Malinaw, ang punto ay isang minimum na punto (kung saan nagbabago ang derivative sign mula sa "-" hanggang "+"), at upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan, kailangan mong ihambing ang mga halaga ng function. sa pinakamababang punto at sa kaliwang dulo ng segment, .
Minsan sa mga problema B15 may mga "masamang" function kung saan mahirap hanapin ang derivative. Noong nakaraan, ito ay sa mga probe lamang, ngunit ngayon ang mga gawaing ito ay karaniwan na hindi na sila maaaring balewalain kapag naghahanda para sa pagsusulit na ito.
Sa kasong ito, gumagana ang iba pang mga trick, isa sa mga ito ay - monotone.
Ang function na f (x) ay tinatawag na monotonically increase sa segment kung para sa anumang puntos x 1 at x 2 ng segment na ito ang sumusunod ay totoo:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).
Ang function na f (x) ay tinatawag na monotonically decreasing sa segment kung para sa anumang puntos x 1 at x 2 ng segment na ito ang sumusunod ay totoo:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).
Sa madaling salita, para sa pagtaas ng function, mas malaki ang x, mas malaki ang f(x). Para sa isang nagpapababang function, ang kabaligtaran ay totoo: mas maraming x , ang mas mababa f(x).
Halimbawa, ang logarithm ay tumataas nang monotonically kung ang base a > 1 at bumababa nang monotonically kung 0< a < 1. Не забывайте про область pinahihintulutang halaga logarithm: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Ang arithmetic square (at hindi lamang square) na ugat ay tumataas nang monotonically sa buong domain ng kahulugan:
Ang exponential function ay kumikilos katulad ng logarithm: tumataas ito para sa isang > 1 at bumababa para sa 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Panghuli, mga degree na may negatibong exponent. Maaari mong isulat ang mga ito bilang isang fraction. Mayroon silang break point kung saan nasira ang monotony.
Ang lahat ng mga function na ito ay hindi kailanman matatagpuan sa kanilang purong anyo. Ang mga polynomial, fraction at iba pang walang kapararakan ay idinagdag sa kanila, dahil kung saan nagiging mahirap kalkulahin ang derivative. Ano ang mangyayari sa kasong ito - ngayon ay susuriin natin.
Mga coordinate ng parabola vertex
Kadalasan, ang argumento ng function ay pinapalitan ng square trinomial ng anyong y = ax 2 + bx + c . Ang graph nito ay isang karaniwang parabola, kung saan kami ay interesado sa:
- Mga sanga ng parabola - maaaring tumaas (para sa isang > 0) o pababa (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Ang vertex ng parabola ay ang extremum point ng isang quadratic function, kung saan kinukuha ng function na ito ang pinakamaliit nito (para sa isang > 0) o pinakamalaki (a< 0) значение.
Ang pinakamalaking interes ay tuktok ng isang parabola, ang abscissa ay kinakalkula ng formula:
Kaya, natagpuan namin ang extremum point ng quadratic function. Ngunit kung ang orihinal na function ay monotonic, para dito ang punto x 0 ay magiging isang extremum point din. Kaya, binubuo namin ang pangunahing panuntunan:
Ang mga extremum point ng square trinomial at ang kumplikadong function na pinapasok nito ay nag-tutugma. Samakatuwid, maaari kang maghanap ng x 0 para sa isang square trinomial, at kalimutan ang tungkol sa function.
Mula sa pangangatwiran sa itaas, nananatiling hindi malinaw kung anong uri ng punto ang makukuha natin: maximum o minimum. Gayunpaman, ang mga gawain ay partikular na idinisenyo upang hindi ito mahalaga. Maghusga para sa iyong sarili:
- Walang segment sa kondisyon ng problema. Samakatuwid, hindi kinakailangang kalkulahin ang f(a) at f(b). Ito ay nananatiling isaalang-alang lamang ang mga extremum point;
- Ngunit mayroon lamang isang punto - ito ang tuktok ng parabola x 0, ang mga coordinate na kung saan ay literal na kinakalkula nang pasalita at walang anumang mga derivatives.
Kaya, ang solusyon sa problema ay lubos na pinasimple at nababawasan sa dalawang hakbang lamang:
- Isulat ang parabola equation y = ax 2 + bx + c at hanapin ang vertex nito gamit ang formula: x 0 = −b /2a;
- Hanapin ang halaga ng orihinal na function sa puntong ito: f (x 0). Kung wala karagdagang mga kondisyon hindi, iyon ang magiging sagot.
Sa unang sulyap, ang algorithm na ito at ang katwiran nito ay maaaring mukhang kumplikado. Sinadya kong hindi mag-post ng isang "hubad" na pamamaraan ng solusyon, dahil ang walang pag-iisip na aplikasyon ng naturang mga patakaran ay puno ng mga pagkakamali.
Isaalang-alang natin ang mga totoong problema mula sa pagsubok na pagsusulit sa matematika - dito madalas nangyayari ang pamamaraang ito. Kasabay nito, sisiguraduhin namin na sa ganitong paraan maraming mga problema ng B15 ay halos pasalita.
Sa ilalim ng ugat ay quadratic function y \u003d x 2 + 6x + 13. Ang graph ng function na ito ay isang parabola na may mga sanga pataas, dahil ang coefficient ay \u003d 1\u003e 0.
Tuktok ng parabola:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3
Dahil ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, sa puntong x 0 \u003d −3, ang function na y \u003d x 2 + 6x + 13 ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga.
Ang ugat ay monotonically tumataas, kaya x 0 ay ang pinakamababang punto ng buong function. Meron kami:
Gawain. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Sa ilalim ng logarithm ay muli ang isang quadratic function: y \u003d x 2 + 2x + 9. Ang graph ay isang parabola na may mga sanga pataas, dahil a = 1 > 0.
Tuktok ng parabola:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
Kaya, sa puntong x 0 = −1, ang quadratic function ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga. Ngunit ang function na y = log 2 x ay monotone, kaya:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Ang exponent ay isang quadratic function y = 1 − 4x − x 2 . Isulat muli natin ito normal na anyo: y = −x 2 − 4x + 1.
Malinaw, ang graph ng function na ito ay isang parabola, mga sanga pababa (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2
Ang orihinal na function ay exponential, ito ay monotonic, kaya ang pinakamalaking halaga ay nasa nahanap na punto x 0 = −2:
Tiyak na mapapansin ng isang matulungin na mambabasa na hindi namin isinulat ang lugar ng mga pinahihintulutang halaga ng ugat at logarithm. Ngunit hindi ito kinakailangan: sa loob ay may mga pag-andar na ang mga halaga ay palaging positibo.
Mga kahihinatnan mula sa saklaw ng isang function
Minsan, upang malutas ang problema B15, hindi sapat na hanapin lamang ang vertex ng parabola. Ang nais na halaga ay maaaring magsinungaling sa dulo ng segment, ngunit hindi sa matinding punto. Kung ang gawain ay hindi tumukoy ng isang segment, tingnan saklaw ng pagpapaubaya orihinal na function. Namely:
Bigyang-pansin muli: ang zero ay maaaring nasa ilalim ng ugat, ngunit hindi kailanman sa logarithm o denominator ng isang fraction. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa mga partikular na halimbawa:
Gawain. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function:
Sa ilalim ng ugat ay muli ang isang quadratic function: y \u003d 3 - 2x - x 2. Ang graph nito ay isang parabola, ngunit bumababa dahil a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kuwadrado na ugat mula sa isang negatibong numero ay hindi umiiral.
Isinulat namin ang lugar ng mga pinahihintulutang halaga (ODZ):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Ngayon hanapin ang vertex ng parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1
Ang punto x 0 = −1 ay kabilang sa ODZ segment - at ito ay mabuti. Ngayon ay isinasaalang-alang namin ang halaga ng function sa punto x 0, pati na rin sa mga dulo ng ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Kaya, nakuha namin ang mga numero 2 at 0. Hinihiling sa amin na hanapin ang pinakamalaki - ito ang numero 2.
Gawain. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function:
y = log 0.5 (6x - x 2 - 5)
Sa loob ng logarithm mayroong isang quadratic function y = 6x − x 2 − 5. Ito ay isang parabola na may mga sanga pababa, ngunit sa logarithm hindi ito maaaring mga negatibong numero, kaya isinulat namin ang ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Pakitandaan: ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kaya ang mga dulo ay hindi nabibilang sa ODZ. Sa ganitong paraan, ang logarithm ay naiiba sa ugat, kung saan ang mga dulo ng segment ay angkop sa amin.
Hinahanap ang vertex ng parabola:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3
Ang tuktok ng parabola ay umaangkop sa kahabaan ng ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ngunit dahil ang mga dulo ng segment ay hindi interesado sa amin, isinasaalang-alang namin ang halaga ng function lamang sa punto x 0:
y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2
Ang proseso ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang segment ay nagpapaalala sa isang kamangha-manghang paglipad sa paligid ng isang bagay (isang graph ng isang function) sa isang helicopter na may pagpapaputok mula sa isang long-range na kanyon sa ilang mga punto at pagpili mula sa ang mga puntong ito ay napakaespesyal na mga punto para sa mga control shot. Ang mga puntos ay pinili sa isang tiyak na paraan at ayon sa ilang mga tuntunin. Sa anong mga tuntunin? Pag-uusapan pa natin ito.
Kung ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , pagkatapos ay umabot ito sa segment na ito hindi bababa sa At pinakamataas na halaga . Maaaring mangyari ito sa matinding puntos o sa dulo ng segment. Samakatuwid, upang mahanap hindi bababa sa At ang pinakamalaking halaga ng function , tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] , kailangan mong kalkulahin ang mga halaga nito sa lahat kritikal na puntos at sa mga dulo ng segment, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki sa kanila.
Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang matukoy ang maximum na halaga ng function f(x) sa segment [ a, b] . Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang lahat kritikal na puntos Nakahiga sa [ a, b] .
kritikal na punto ay tinatawag na punto kung saan tinukoy ang function, at siya derivative ay alinman sa zero o wala. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto. At, sa wakas, dapat ihambing ng isa ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment ( f(a) At f(b) ). Ang pinakamalaki sa mga bilang na ito ay magiging ang pinakamalaking halaga ng function sa segment [a, b] .
Ang problema sa paghahanap ang pinakamaliit na halaga ng function .
Hinahanap namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function nang magkasama
Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga mga function 
sa segment [-1, 2]
.
Solusyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito. I-equate ang derivative sa zero () at makakuha ng dalawang kritikal na puntos: at . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, sapat na upang kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa punto , dahil ang punto ay hindi kabilang sa segment [-1, 2] . Ang mga value ng function na ito ay ang mga sumusunod: , , . Sinusundan nito iyon pinakamaliit na halaga ng function(minarkahan ng pula sa graph sa ibaba), katumbas ng -7, ay naabot sa kanang dulo ng segment - sa punto , at pinakadakila(pula din sa graph), ay katumbas ng 9, - sa kritikal na punto .
Kung ang function ay tuluy-tuloy sa isang tiyak na agwat at ang agwat na ito ay hindi isang segment (ngunit, halimbawa, isang agwat; ang pagkakaiba sa pagitan ng isang agwat at isang segment: ang mga hangganan na punto ng agwat ay hindi kasama sa agwat, ngunit ang Ang mga hangganan ng mga punto ng segment ay kasama sa segment), pagkatapos ay kabilang sa mga halaga ng pag-andar ay maaaring walang pinakamaliit at pinakamalaki. Kaya, halimbawa, ang function na inilalarawan sa figure sa ibaba ay tuloy-tuloy sa ]-∞, +∞[ at walang pinakamalaking halaga.
Gayunpaman, para sa anumang agwat (sarado, bukas, o walang katapusan), ang sumusunod na katangian ng tuluy-tuloy na mga pag-andar ay hawak.
Halimbawa 4. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 3] .
Solusyon. Nakita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng quotient:
.
Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay sa amin ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa pagitan [-1, 3] . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:
Ihambing natin ang mga halagang ito. Konklusyon: katumbas ng -5/13, sa punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng 1 sa punto .
Patuloy kaming naghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng function nang magkasama
Mayroong mga guro na, sa paksa ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function, ay hindi nagbibigay sa mga mag-aaral na lutasin ang mga halimbawa na mas kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang, iyon ay, ang mga kung saan ang function ay isang polynomial o isang fraction, ang numerator at denominator nito ay mga polynomial. Ngunit hindi namin lilimitahan ang ating sarili sa gayong mga halimbawa, dahil sa mga guro ay may mga mahilig sa pag-iisip ng mga mag-aaral nang buo (talahanayan ng mga derivatives). Samakatuwid, ang logarithm at ang trigonometric function ay gagamitin.
Halimbawa 6. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .
Solusyon. Nakikita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng produkto :
Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:
Ang resulta ng lahat ng mga aksyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng 0, sa isang punto at sa isang punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng e² , sa punto .
Halimbawa 7. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function 
sa segment .
Solusyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito:
I-equate ang derivative sa zero:
Ang tanging kritikal na punto ay kabilang sa segment . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:
Konklusyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng , sa punto at ang pinakamalaking halaga, katumbas ng , sa punto .
Sa mga inilapat na matinding problema, ang paghahanap ng pinakamaliit (pinakamahusay) na mga halaga ng isang function, bilang panuntunan, ay bumababa sa paghahanap ng pinakamababa (maximum). Ngunit hindi ang minima o maxima mismo ang mas praktikal na interes, ngunit ang mga halaga ng argumento kung saan nakamit ang mga ito. Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, lumitaw ang isang karagdagang kahirapan - ang pagsasama-sama ng mga pag-andar na naglalarawan sa kababalaghan o proseso na isinasaalang-alang.
Halimbawa 8 Ang isang tangke na may kapasidad na 4, na may hugis ng parallelepiped na may parisukat na base at bukas sa itaas, ay dapat na tinned. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke upang masakop ito ng hindi bababa sa dami ng materyal?
Solusyon. Hayaan x- gilid ng base h- taas ng tangke, S- ang ibabaw nito na walang takip, V- ang dami nito. Ang ibabaw na lugar ng tangke ay ipinahayag ng formula, i.e. ay isang function ng dalawang variable. Upang ipahayag S bilang isang function ng isang variable, ginagamit namin ang katotohanan na , kung saan . Pagpapalit sa nahanap na expression h sa pormula para sa S:
Suriin natin ang function na ito para sa isang extremum. Ito ay tinukoy at naiba-iba sa lahat ng dako sa ]0, +∞[ , at
.
Tinutumbas namin ang derivative sa zero () at hanapin ang kritikal na punto. Bilang karagdagan, sa , ang derivative ay hindi umiiral, ngunit ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi maaaring maging isang extremum point. Kaya, - ang tanging kritikal na punto. Suriin natin ito para sa pagkakaroon ng extremum gamit ang pangalawang sapat na tanda. Hanapin natin ang pangalawang derivative. Kapag ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero (). Nangangahulugan ito na kapag ang function ay umabot sa isang minimum 
. Dahil ito minimum ay ang tanging extremum ng function na ito, ito ay nito ang pinakamaliit na halaga
. Kaya, ang gilid ng base ng tangke ay dapat na katumbas ng 2 m, at ang taas nito.
Halimbawa 9 Mula sa talata A, na matatagpuan sa linya ng tren, hanggang sa punto SA, sa malayo mula dito l, kailangang dalhin ang mga kalakal. Ang halaga ng pagdadala ng isang yunit ng timbang sa bawat yunit ng distansya sa pamamagitan ng tren ay katumbas ng , at sa pamamagitan ng highway ito ay katumbas ng . Hanggang saang punto M mga linya riles isang highway ay dapat na itayo upang ang transportasyon ng mga kalakal mula sa A V SA ay ang pinaka-ekonomiko AB ang riles ay ipinapalagay na tuwid)?
Mahal na mga kaibigan! Ang pangkat ng mga gawain na nauugnay sa derivative ay kinabibilangan ng mga gawain - sa kondisyon, ang graph ng function ay ibinigay, ilang mga punto sa graph na ito at ang tanong ay:
Sa anong punto ang halaga ng derivative ang pinakamalaki (pinakamaliit)?
Ulitin natin sandali:
Ang derivative sa punto ay katumbas ng slope ng padaplis na dumadaanang puntong ito sa graph.
Saang global coefficient ng tangent, sa turn, ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent na ito.
*Ito ay tumutukoy sa anggulo sa pagitan ng tangent at ng x-axis.
1. Sa mga pagitan ng pagtaas ng function, ang derivative ay may positibong halaga.
2. Sa mga pagitan ng pagbaba nito, ang derivative ay may negatibong halaga.
Isaalang-alang ang sumusunod na sketch:
Sa mga puntos na 1,2,4, ang derivative ng function ay may negatibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa mga nagpapababang pagitan.
Sa mga puntos na 3,5,6, ang derivative ng function ay may positibong halaga, dahil ang mga puntong ito ay nabibilang sa mga pagitan ng pagtaas.
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay malinaw sa halaga ng derivative, iyon ay, hindi mahirap matukoy kung anong senyales ang mayroon ito (positibo o negatibo) sa isang tiyak na punto sa graph.
Bukod dito, kung iisipin nating bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito, makikita natin na ang mga linya na dumadaan sa mga punto 3, 5 at 6 ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 °, at ang mga linya na dumadaan sa mga puntos 1, 2 at 4 na anyo na may oX axis, ang mga anggulo mula 90 o hanggang 180 o.
* Ang relasyon ay malinaw: ang mga tangent na dumadaan sa mga puntong kabilang sa mga pagitan ng pagtaas ng mga function ay nabuo sa oX axis matutulis na sulok, ang mga tangent na dumadaan sa mga puntong kabilang sa mga pagitan ng mga nagpapababang function ay bumubuo ng mga obtuse na anggulo na may oX axis.
Ngayon ang mahalagang tanong!
Paano nagbabago ang halaga ng derivative? Pagkatapos ng lahat, ang tangent sa iba't ibang mga punto sa graph tuluy-tuloy na pag-andar bumubuo ng iba't ibang anggulo, depende sa kung aling punto sa graph na dinadaanan nito.
*O, nagsasalita simpleng wika, ang tangent ay matatagpuan, kumbaga, "mas pahalang" o "higit na patayo". Tingnan mo:
Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 0 hanggang 90 o
Ang mga tuwid na linya ay bumubuo ng mga anggulo na may oX axis na mula 90 o hanggang 180 o
Kaya kung mayroong anumang mga katanungan:
- alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang halaga ng derivative ang may pinakamaliit na halaga?
- alin sa mga ibinigay na punto sa graph ang halaga ng derivative ang may pinakamalaking halaga?
pagkatapos para sa sagot ay kinakailangan upang maunawaan kung paano ang halaga ng padaplis ng anggulo ng padaplis ay nagbabago sa hanay mula 0 hanggang 180 o.
* Gaya ng nabanggit na, ang halaga ng derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng slope ng tangent sa x-axis.
Ang halaga ng tangent ay nagbabago tulad ng sumusunod:
Kapag ang slope ng tuwid na linya ay nagbabago mula 0 o hanggang 90 o, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ay ang derivative, ay nagbabago mula 0 hanggang +∞, ayon sa pagkakabanggit;
Kapag ang slope ng tuwid na linya ay nagbabago mula 90 o hanggang 180 o, ang halaga ng tangent, at samakatuwid ay ang hinango, ay nagbabago nang naaayon -∞ hanggang 0.
Ito ay malinaw na makikita mula sa graph ng tangent function:
Sa simpleng termino:
Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tangent ay mula 0 o hanggang 90 o
Kung mas malapit ito sa 0 o, mas magiging malapit sa zero ang halaga ng derivative (sa positibong bahagi).
Kung mas malapit ang anggulo sa 90°, mas tataas ang halaga ng derivative patungo sa +∞.
Kapag ang anggulo ng pagkahilig ng tangent ay mula 90 o hanggang 180 o
Kapag mas malapit ito sa 90 o, mas bababa ang halaga ng derivative patungo sa –∞.
Kung mas malapit ang anggulo sa 180 o, mas malaki ang halaga ng derivative ay magiging malapit sa zero (sa negatibong bahagi).
317543. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at may markang puntos–2, –1, 1, 2. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative na pinakamalaki? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto -1 at 1) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga punto -2 at 2).
Maaari nating agad na tapusin na sa mga punto -1 at 1 ang derivative ay may negatibong halaga, sa mga puntos -2 at 2 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid, sa kasong ito kinakailangang pag-aralan ang mga puntos -2 at 2 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamalaking halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:
Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya a at ng abscissa axis ay magiging higit na halaga ang padaplis ng anggulo sa pagitan ng linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa puntong -2 ang magiging pinakamalaki.
Kami ang sasagot sunod na tanong: sa anong punto -2, -1, 1 o 2 ang halaga ng derivative ang pinakamalaking negatibo? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Ang derivative ay magkakaroon ng negatibong halaga sa mga puntong kabilang sa mga nagpapababang pagitan, kaya isaalang-alang ang mga punto -2 at 1. Buuin natin ang mga tangent na dumadaan sa kanila:
Nakikita natin yan mahinang anggulo sa pagitan ng linya b at ng axis oX ay "mas malapit" sa 180 O , kaya ang padaplis nito ay magiging mas malaki kaysa sa padaplis ng anggulo na nabuo ng tuwid na linya a at ng x-axis.
Kaya, sa puntong x = 1, ang halaga ng derivative ang magiging pinakamalaking negatibo.
317544. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y = f(x) at may markang puntos–2, –1, 1, 4. Alin sa mga puntong ito ang halaga ng derivative ang pinakamaliit? Pakisaad ang puntong ito sa iyong sagot.
Mayroon kaming apat na puntos: dalawa sa mga ito ay nabibilang sa mga agwat kung saan bumababa ang function (ito ay mga punto -1 at 4) at dalawa sa mga pagitan kung saan tumataas ang function (ito ay mga punto -2 at 1).
Maaari nating tapusin kaagad na sa mga punto -1 at 4 ang derivative ay may negatibong halaga, sa mga puntos -2 at 1 ito ay may positibong halaga. Samakatuwid, sa kasong ito, kinakailangan na pag-aralan ang mga puntos -1 at 4 at matukoy kung alin sa mga ito ang magkakaroon ng pinakamaliit na halaga. Bumuo tayo ng mga tangent na dumadaan sa ipinahiwatig na mga punto:
Ang halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng linya a at ng abscissa axis ay magiging mas malaki kaysa sa halaga ng tangent ng anggulo sa pagitan ng linya b at ng axis na ito. Nangangahulugan ito na ang halaga ng derivative sa puntong x = 4 ang magiging pinakamaliit.
Sagot: 4
Sana hindi kita na-“overload” sa dami ng naisulat. Sa katunayan, ang lahat ay napaka-simple, ang isa ay dapat lamang na maunawaan ang mga katangian ng hinalaw, nito geometric na kahulugan at kung paano nagbabago ang halaga ng tangent ng anggulo mula 0 hanggang 180 o.
1. Una, tukuyin ang mga senyales ng derivative sa mga puntong ito (+ o -) at piliin ang mga kinakailangang puntos (depende sa tanong na ibinibigay).
2. Bumuo ng mga tangent sa mga puntong ito.
3. Gamit ang tangesoid plot, markahan ng eskematiko ang mga sulok at ipakitaAlexander.
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.
Hayaan ang function y=f(X) tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b]. Tulad ng nalalaman, ang naturang function ay umabot sa maximum at minimum na mga halaga sa pagitan na ito. Maaaring kunin ng function ang mga halagang ito alinman sa isang panloob na punto ng segment [ a, b], o sa hangganan ng segment.
Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa pagitan [ a, b] kailangan:
1) hanapin ang mga kritikal na punto ng function sa pagitan ( a, b);
2) kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa nahanap na mga kritikal na punto;
3) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment, iyon ay, para sa x=A at x = b;
4) mula sa lahat ng kinakalkula na mga halaga ng function, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.
Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function
sa segment.
Paghahanap ng mga kritikal na punto:
Ang mga puntong ito ay nasa loob ng segment; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
sa punto x= 3 at sa punto x= 0.
Pagsisiyasat ng isang function para sa convexity at isang inflection point.
Function y = f (x) tinawag matambok sa gitna (a, b) , kung ang graph nito ay nasa ilalim ng tangent na iginuhit sa anumang punto ng pagitan na ito, at tinatawag matambok pababa (malukong) kung ang graph nito ay nasa itaas ng tangent.
Ang punto sa paglipat kung saan ang convexity ay pinalitan ng concavity o vice versa ay tinatawag inflection point.
Algorithm para sa pag-aaral para sa convexity at inflection point:
1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang uri, iyon ay, ang mga punto kung saan ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero o wala.
2. Ilagay ang mga kritikal na punto sa linya ng numero, paghiwa-hiwalayin ito sa mga pagitan. Hanapin ang tanda ng pangalawang derivative sa bawat pagitan; kung , kung gayon ang function ay matambok pataas, kung, kung gayon ang function ay matambok pababa.
3. Kung, kapag dumadaan sa isang kritikal na punto ng pangalawang uri, nagbabago ito ng tanda at sa puntong ito ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang puntong ito ay ang abscissa ng inflection point. Hanapin ang ordinate nito.
Asymptotes ng graph ng isang function. Pagsisiyasat ng isang function sa mga asymptotes.
Kahulugan. Ang asymptote ng graph ng isang function ay tinatawag tuwid, na may katangian na ang distansya mula sa anumang punto ng graph hanggang sa linyang ito ay nagiging zero na may walang limitasyong pag-alis ng graph point mula sa pinanggalingan.
May tatlong uri ng asymptotes: patayo, pahalang at hilig.
Kahulugan. Direktang tumawag patayong asymptote function graph y = f(x), kung kahit isa sa mga one-sided na limitasyon ng function sa puntong ito ay katumbas ng infinity, iyon ay
kung saan ang discontinuity point ng function, iyon ay, hindi ito kabilang sa domain ng kahulugan.
Halimbawa.
D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - breaking point.
Kahulugan. Diretso y=A tinawag pahalang na asymptote function graph y = f(x) sa , kung
Halimbawa.
|
x | |||
|
y |
Kahulugan. Diretso y=kx +b (k≠ 0) ay tinatawag pahilig na asymptote function graph y = f(x) saan
Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga pag-andar at paglalagay.
Algoritmo ng pananaliksik sa pag-andary = f(x) :
1. Hanapin ang domain ng function D (y).
2. Hanapin (kung maaari) ang mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes (na may x= 0 at sa y = 0).
3. Magsiyasat para sa pantay at kakaibang mga function ( y (‒ x) = y (x) ‒ pagkakapantay-pantay; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kakaiba).
4. Hanapin ang mga asymptotes ng graph ng function.
5. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.
6. Hanapin ang extrema ng function.
7. Hanapin ang mga pagitan ng convexity (concavity) at inflection point ng graph ng function.
8. Batay sa isinagawang pananaliksik, bumuo ng graph ng function.
Halimbawa. Siyasatin ang function at i-plot ang graph nito.
1) D (y) =
x= 4 - breaking point.
2) Kailan x = 0,
(0; – 5) – punto ng intersection sa oy.
Sa y = 0,
3)
y(‒
x)=
function pangkalahatang pananaw(ni kahit na o kakaiba).
4) Nag-iimbestiga kami para sa mga asymptotes.
a) patayo
b) pahalang
c) maghanap ng mga pahilig na asymptotes kung saan
‒oblique asymptote equation
5) Sa equation na ito, hindi kinakailangang maghanap ng mga pagitan ng monotonicity ng function.
6)
Ang mga kritikal na puntong ito ay naghahati sa buong domain ng function sa pagitan (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) at (10; +∞). Ito ay maginhawa upang ipakita ang nakuha na mga resulta sa anyo ng sumusunod na talahanayan.