Ano ang negatibong numero sa kapangyarihan ng zero? Degree at mga katangian nito. The Comprehensive Guide (2019)

DEGREE NA MAY RATIONAL INDICATOR,

POWER FUNCTION IV

§ 71. Mga kapangyarihang may zero at negatibong exponent

Sa § 69 napatunayan namin (tingnan ang Theorem 2) na para sa t > p

(a =/= 0)

Ito ay medyo natural na nais na palawigin ang formula na ito sa kaso kung kailan T < P . Ngunit pagkatapos ay ang numero t - p magiging negatibo o katumbas ng zero. A. Sa ngayon, pinag-uusapan lang natin ang tungkol sa mga degree na may natural exponents. Kaya, tayo ay nahaharap sa pangangailangang ipakilala ang mga kapangyarihan ng mga tunay na numero na may zero at negatibong exponents sa pagsasaalang-alang.

Kahulugan 1. Kahit anong numero A , Hindi katumbas ng zero, sa zeroth na kapangyarihan ay katumbas ng isa, ibig sabihin, kapag A =/= 0

A 0 = 1. (1)

Halimbawa, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Ang bilang 0 ay walang zero degree, ibig sabihin, ang expression na 0 0 ay hindi tinukoy.

Kahulugan 2. Kung A=/= 0 at P - natural na numero, Iyon

A - n = 1 /a n (2)

yan ay ang kapangyarihan ng anumang numero na hindi katumbas ng zero na may negatibong integer exponent ay katumbas ng isang fraction, ang numerator nito ay isa, at ang denominator ay isang kapangyarihan ng parehong numero a, ngunit may exponent na kabaligtaran ng ibinigay na kapangyarihan .

Halimbawa,

Sa pagtanggap sa mga kahulugang ito, mapapatunayan na kapag a =/= 0, formula

totoo para sa anumang natural na mga numero T At n , at hindi lang para sa t > p . Upang patunayan ito, sapat na upang limitahan ang ating sarili sa pagsasaalang-alang ng dalawang kaso: t = n At T< .п , mula noong kaso m > n napag-usapan na sa § 69.

Hayaan t = n ; Pagkatapos . Ibig sabihin, kaliwang bahagi pagkakapantay-pantay (3) ay katumbas ng 1. Ang kanang bahagi sa t = n nagiging

A m - n = A n - n = A 0 .

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan A 0 = 1. Kaya, kanang bahagi ang pagkakapantay-pantay (3) ay katumbas din ng 1. Samakatuwid, kapag t = n tama ang formula (3).

Ngayon ipagpalagay na T< п . Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng A m , nakukuha namin:

kasi n > t , Yung . kaya lang . Gamit ang kahulugan ng kapangyarihan na may negatibong exponent, maaari tayong sumulat .

Kaya kapag , na kung ano ang kailangang patunayan. Ang Formula (3) ay napatunayan na ngayon para sa anumang natural na mga numero T At P .

Magkomento. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga negatibong exponent na magsulat ng mga fraction nang walang denominator. Halimbawa,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; sa lahat, a / b = a b - 1

Gayunpaman, hindi mo dapat isipin na sa notasyong ito, ang mga fraction ay nagiging mga buong numero. Halimbawa, 3 - Ang 1 ay kaparehong bahagi ng 1/3, 2 5 - Ang 1 ay kaparehong bahagi ng 2/5, atbp.

Mga ehersisyo

529. Kalkulahin:

530. Sumulat ng fraction na walang denominator:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Isulat ang mga decimal fraction na ito sa anyo ng buong expression gamit ang mga negatibong exponent:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kakailanganin? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman Araw-araw na buhay basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay magdadala sa iyo na mas malapit sa tagumpay pagpasa sa OGE o ang Unified State Exam at pagpasok sa unibersidad na iyong pinapangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung nakikita mo ang gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay isang mathematical operation tulad ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami o paghahati.

Ngayon ipapaliwanag ko ang lahat wika ng tao na may napakasimpleng mga halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Ang bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sasabihin ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong iyon sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Natatandaan ng mga mathematician na ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay... At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag dito? parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? napaka magandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na isang metro sa isang metro. Ang pool ay nasa iyong dacha. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Pero... walang ilalim ang pool! Kailangan mong takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang ilalim na lugar ng pool.

Maaari mo lamang kalkulahin sa pamamagitan ng pagturo ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng metro bawat metrong cube. Kung mayroon kang mga tile na isang metro sa isang metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tiles? Ang tile ay malamang na magiging cm por cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri." Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool ay magkasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, masyadong, mga tile. I-multiply at makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool, pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil pina-multiply natin ang parehong numero, maaari nating gamitin ang "exponentiation" technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply ang mga ito o itaas sa isang power. Pero kung marami ka sa kanila, kung gayon ang pagtaas ng mga ito sa isang power ay mas madali at mas kaunti rin ang mga error sa mga kalkulasyon. Para sa Unified State Exam, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang sa ikalawang kapangyarihan ay magiging (). O maaari nating sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo: bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang mayroon sa chessboard gamit ang parisukat ng numero... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang kalkulahin ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o... kung napansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may isang gilid, pagkatapos ay maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: ang ibaba ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim, at subukang bilangin kung gaano karaming mga cube na sumusukat ng isang metro sa isang metro ay magkasya sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo...Ilan ang nakuha mo? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan namin ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlong cubed ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito: .

Ang natitira na lang tandaan ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.

Buweno, sa wakas ay kumbinsihin ka na ang mga degree ay naimbento ng mga huminto at tusong tao upang malutas ang kanilang sarili mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyon na kinikita mo, kumikita ka ng isa pang milyon. Ibig sabihin, bawat milyon mayroon kang doble sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung ikaw ay nakaupo ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," nangangahulugan ito na ikaw ay napaka masipag na tao at.. bobo. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - ang dalawa ay pinarami ng dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang kumpetisyon at ang pinakamabilis na mabibilang ay makakakuha ng mga milyun-milyong ito... Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga kapangyarihan ng mga numero, hindi ba?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyong kinikita mo, kumikita ka pa ng dalawa. Ang galing di ba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply ng, pagkatapos ay ang resulta sa isa pa... Nakakabagot na, dahil naintindihan mo na ang lahat: ang tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya sa pang-apat na kapangyarihan ito ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lamang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Terms and concepts... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan...

Well, at the same time, ano ganyang degree basis? Kahit na mas simple - ito ang numero na matatagpuan sa ibaba, sa base.

Narito ang isang guhit para sa mahusay na sukat.

Well sa pangkalahatang pananaw, upang maging pangkalahatan at mas matandaan... Ang isang degree na may base na " " at isang exponent " " ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, ngunit ano ito natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga numerong iyon na ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabing: “minus five,” “minus six,” “minus seven.” Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point five". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Anong mga numero sa tingin mo ang mga ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at numero. Ang zero ay madaling maunawaan - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong (“minus”) na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila lumitaw, sa palagay mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila ng mga natural na numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, walang katapusan decimal. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
Ang ibig sabihin ng pag-square ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nito:
Ang ibig sabihin ng pag-cube ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng mga degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ito At ?

A-priory:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga salik, at ang resulta ay mga multiplier.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay: , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

2. yun lang ika kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa kapangyarihan ng natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung tayo ay dumami, ito ay gumagana.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 na mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung papansinin natin ang ikawalong kapangyarihan, ano ang makikita natin dito? Alalahanin natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Ngunit paano gawin iyon? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo tinatawag namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang " " sign) at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero power ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tanungin natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang natin ang ilang antas na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa, at nakuha namin ang parehong bagay tulad ng dati - . Anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero na kapangyarihan, dapat itong pantay. Kaya gaano ito katotoo? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero degree. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Mag-move on na tayo. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama rin sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang negatibong kapangyarihan, gawin natin ang huling pagkakataon: i-multiply ang ilang normal na numero sa parehong numero sa isang negatibong kapangyarihan:

Mula rito, madaling ipahayag ang iyong hinahanap:

Ngayon palawakin natin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero na may negatibong kapangyarihan ay ang katumbas ng parehong numero na may positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras Ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahahati sa).

Ibuod natin:

I. Ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga problema para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, nakakatakot ang mga numero, ngunit sa Unified State Exam kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang mga solusyon kung hindi mo malutas ang mga ito at matututo kang makayanan ang mga ito nang madali sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong “angkop” bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang natin mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng bagay na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, at.

Upang maunawaan kung ano ito "fractional degree", isaalang-alang ang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagtaas sa isang kapangyarihan: .

Lumalabas na. Malinaw na ito espesyal na kaso maaaring palawakin: .

Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan natin ang panuntunan: anumang numerong itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang kahit na mga ugat mula sa mga negatibong numero!

Nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, ibig sabihin, ang pagpapahayag ay walang kahulugan.

Paano ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring katawanin sa anyo ng iba, mababawasan na mga fraction, halimbawa, o.

At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, ngunit ito ay dalawa lamang iba't ibang mga entry ang parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit kung iba ang isusulat natin sa indicator, muli tayong magkakaproblema: (iyon ay, nakakuha tayo ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

- natural na numero;
- integer;

Mga halimbawa:

Ang mga rational exponents ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon ay dumating ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay aalamin natin ito degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may isang rational exponent, maliban

Pagkatapos ng lahat, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwiran na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...numero sa zeroth power- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay isang tiyak na "blangko na numero" lamang. , ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer degree- parang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami sa sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ng isang degree na may kumplikadong tagapagpahiwatig, ibig sabihin, ang indicator ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matututo kang lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa karaniwang tuntunin para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan:

Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. Wala ba siyang naaalala sa iyo? Alalahanin natin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng pagkakaiba ng mga parisukat:

SA sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Binabawasan namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Pagpapasiya ng degree

Ang degree ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

— base ng degree;
- exponent.

Degree na may natural na indicator (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Degree na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

Konstruksyon sa zero degree:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil hindi mo mahahati sa).

Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

- natural na numero;
- integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng mga degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito nakukuha namin ang sumusunod na produkto:

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ipangkat muli natin ang gawaing ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan: !

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat? Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base.

Hanggang dito na lang napag-usapan kung ano ang dapat index degrees. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa kapangyarihan ng natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami ay magbabago ang tanda. Maaari nating bumalangkas ang mga sumusunod simpleng tuntunin:

kahit degree, - numero positibo.
Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung matatandaan natin iyan, magiging malinaw iyon, at samakatuwid ang batayan mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago natin tingnan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga expression:

Mga solusyon :

Nakukuha namin:

Tingnan nating mabuti ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ito ay naging ganito:

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong. Ngunit mahalagang tandaan: Ang lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras! Hindi mo ito mapapalitan sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang kawalan lamang na hindi namin gusto!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling panuntunan:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin ito:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Ilang titik ang kabuuan? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang ipinaaalala nito sa iyo? Ito ay walang iba kundi isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: May mga multiplier lang doon. Iyon ay, ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang exponent. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga rational na numero).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero na kapangyarihan ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay tiyak na "blangko na numero", ibig sabihin ay isang numero; isang degree na may integer na negatibong exponent - para bang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwirang exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Ito ay sa halip ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

Tandaan natin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
Binabawasan namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT MGA BATAYANG FORMULA

Degree tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

degree, ang exponent nito ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

isang degree na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng mga degree

Mga tampok ng degree.

Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON IKAW NA ANG SALITA...

Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa ibaba sa mga komento kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa paggamit ng mga katangian ng degree.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Mga sagot:

Walang pangalan

kung isasaalang-alang natin na a^x=e^x*ln(a), lumalabas na 0^0=1 (limit, para sa x->0)
bagama't ang sagot na "kawalan ng katiyakan" ay katanggap-tanggap din

Ang zero sa matematika ay hindi kahungkagan, ito ay isang numero na napakalapit sa "wala", tulad ng infinity lamang sa kabaligtaran

Isulat:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Ito ay lumalabas na sa kasong ito ay naghahati tayo sa zero, at ang operasyong ito sa larangan ng mga tunay na numero ay hindi tinukoy.

6 na taon na ang nakaraan

Ang RPI.su ay ang pinakamalaking database ng mga tanong at sagot sa wikang Ruso. Ipinatupad ang aming proyekto bilang pagpapatuloy ng sikat na serbisyong otvety.google.ru, na isinara at tinanggal noong Abril 30, 2015. Napagpasyahan naming buhayin muli ang kapaki-pakinabang na serbisyo ng Google Answers para malaman ng sinuman sa publiko ang sagot sa kanilang tanong mula sa komunidad ng Internet.

Ang lahat ng mga tanong na idinagdag sa site ng Google Answers ay nakopya at nakaimbak dito. Ang mga lumang username ay ipinapakita din gaya ng dati nilang umiiral. Kailangan mo lang magrehistro muli para makapagtanong o makasagot sa iba.

Upang makipag-ugnayan sa amin sa anumang mga katanungan TUNGKOL SA SITE (advertising, pakikipagtulungan, feedback tungkol sa serbisyo), sumulat sa [email protected]. Tanging lahat pangkalahatang isyu mag-post sa website, hindi sila makakatanggap ng tugon sa pamamagitan ng koreo.

Ano ang magiging zero kung ito ay itataas sa zero na kapangyarihan?

Bakit ang isang numero sa kapangyarihan ng 0 ay katumbas ng 1? May panuntunan na ang anumang numero maliban sa zero na itinaas sa zero na kapangyarihan ay magiging katumbas ng isa: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 Gayunpaman, bakit ganito? Kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ito ay i-multiply sa sarili nito nang kasing dami ng exponent: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Kapag ang exponent ay katumbas ng 1, pagkatapos ay sa panahon ng konstruksiyon mayroon lamang isang kadahilanan (kung maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga kadahilanan), at samakatuwid ang resulta ng konstruksiyon katumbas ng base grado: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Ngunit paano ang zero indicator sa kasong ito? Ano ang pinarami ng ano? Subukan nating pumunta sa ibang paraan. Ito ay kilala na kung ang dalawang degree ay may parehong mga base, ngunit iba't ibang mga tagapagpahiwatig, kung gayon ang base ay maaaring iwanang pareho, at ang mga exponent ay maaaring idagdag sa isa't isa (kung ang mga kapangyarihan ay pinarami), o ang exponent ng divisor ay maaaring ibawas mula sa exponent ng dibidendo (kung ang mga kapangyarihan ay nahahati) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 At ngayon isaalang-alang ang halimbawang ito: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Paano kung hindi natin gamitin ang ari-arian ng mga kapangyarihan parehong batayan at isakatuparan natin ang mga kalkulasyon sa pagkakasunud-sunod ng paglitaw ng mga ito: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Kaya nakuha namin ang treasured unit. Kaya, ang zero exponent ay tila nagpapahiwatig na ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati sa sarili nito. At mula dito ay nagiging malinaw kung bakit ang expression na 00 ay hindi makatwiran. Pagkatapos ng lahat, hindi mo maaaring hatiin sa 0. Maaari kang mangatuwiran nang iba. Kung mayroong, halimbawa, isang multiplikasyon ng mga kapangyarihan ng 52 × 50 = 52+0 = 52, pagkatapos ay sumusunod na ang 52 ay pinarami ng 1. Samakatuwid, 50 = 1.

Mula sa mga katangian ng mga kapangyarihan: a^n / a^m = a^(n-m) kung n=m, ang resulta ay magiging isa maliban sa natural na a=0, sa kasong ito (dahil ang zero sa anumang kapangyarihan ay magiging zero) paghahati ng zero ang magaganap, kaya walang 0^0

Accounting sa iba't ibang wika

Mga pangalan ng mga numero mula 0 hanggang 9 sa mga sikat na wika sa mundo.

Wika	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ingles	sero	isa	dalawa	tatlo	apat	lima	anim	pito	walo	siyam
Bulgarian	sero	isang bagay	dalawa	tatlo	apat	alagang hayop	poste	naghahanda na kami	mga palakol	devet
Hungarian	nulla	egy	kettõ	harom	negy	ot	sumbrero	het	nyolc	kilenc
Dutch	nul	een	twee	patuyuin	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
Danish	nul	en	sa	tre	apoy	fem	seks	syv	otte	ni
Espanyol	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	nueve
Italyano	sero	uno	dahil	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	nove
Lithuanian	nullis	vienas	du	sinusubukan	keturi	penki	ðeði	septyni	aðtuoni	devyni
Aleman	wala	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	sieben	acht	neun
Ruso	sero	isa	dalawa	tatlo	apat	lima	anim	pito	walo	siyam
Polish	sero	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
Portuges	um	dois	três	quatro	cinco	seis	sete	oito	nove
Pranses	sero	un	deux	trois	quatre	cinq	anim	sept	huit	neuf
Czech	nula	jedna	dva	toi	ètyøi	pìt	¹est	sedm	osm	devìt
Swedish	noll	atbp	tva	tre	fyra	fem	kasarian	sju	atta	nio
Estonian	wala	üks	kaks	kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	üheksa

Negatibo at zero na kapangyarihan ng isang numero

Zero, negatibo at fractional na kapangyarihan

Zero indicator

Upang itaas ang isang naibigay na numero sa isang tiyak na kapangyarihan ay nangangahulugan na ulitin ito sa pamamagitan ng isang kadahilanan nang maraming beses na may mga yunit sa exponent.

Ayon sa kahulugang ito, ang expression: a 0 ay hindi makatwiran. Ngunit upang magkaroon ng kahulugan ang panuntunan para sa paghahati ng mga kapangyarihan ng parehong bilang kahit na sa kaso kung ang exponent ng divisor ay katumbas ng exponent ng dibidendo, isang kahulugan ang ipinakilala:

Ang zero power ng anumang numero ay magiging katumbas ng isa.

Negatibong tagapagpahiwatig

Pagpapahayag a -m, sa kanyang sarili ay walang kahulugan. Ngunit upang ang panuntunan para sa paghahati ng mga kapangyarihan ng parehong numero ay wasto kahit na sa kaso kung ang exponent ng divisor ay mas malaki kaysa sa exponent ng dibidendo, isang kahulugan ay ipinakilala:

Halimbawa 1. Kung ang isang ibinigay na numero ay binubuo ng 5 daan, 7 sampu, 2 yunit at 9 na daan, kung gayon maaari itong ilarawan bilang mga sumusunod:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

Halimbawa 2. Kung ang isang ibinigay na numero ay binubuo ng isang sampu, b unit, c tenths at d thousandths, kung gayon maaari itong katawanin bilang mga sumusunod:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Mga aksyon sa mga kapangyarihan na may negatibong exponent

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan ng parehong numero, ang mga exponent ay nagdaragdag.

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan ng parehong numero, ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

Upang itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang bawat kadahilanan nang hiwalay sa kapangyarihang ito:

Upang itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang parehong mga termino ng fraction nang hiwalay sa kapangyarihang ito:

Kapag ang isang kapangyarihan ay itinaas sa ibang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami.

Fractional indicator

Kung k ay hindi isang maramihan ng n, pagkatapos ay ang expression na: walang kahulugan. Ngunit upang maganap ang panuntunan para sa pagkuha ng ugat ng isang degree para sa anumang halaga ng exponent, isang kahulugan ang ipinakilala:

Salamat sa pagpapakilala ng isang bagong simbolo, ang root extraction ay maaaring palaging mapalitan ng exponentiation.

Mga aksyon sa mga kapangyarihan na may mga fractional exponents

Ang mga pagkilos sa mga kapangyarihan na may mga fractional exponent ay isinasagawa ayon sa parehong mga panuntunan na itinatag para sa mga integer exponent.

Kapag pinatutunayan ang panukalang ito, ipagpalagay muna natin na ang mga tuntunin ng mga fraction: at , na nagsisilbing mga exponent, ay positibo.

Sa isang espesyal na kaso n o q maaaring katumbas ng isa.

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan ng parehong numero, idinaragdag ang mga fractional exponent:

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan ng parehong numero sa mga fractional exponents, ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dividend:

Upang itaas ang isang kapangyarihan sa isa pang kapangyarihan sa kaso ng mga fractional exponents, sapat na upang i-multiply ang mga exponent:

Upang kunin ang ugat ng isang fractional power, sapat na upang hatiin ang exponent sa exponent ng root:

Ang mga tuntunin ng pagkilos ay nalalapat hindi lamang sa positibo fractional indicator, ngunit din sa negatibo.

May panuntunan na ang anumang numero maliban sa zero na itinaas sa zero power ay magiging katumbas ng isa:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Gayunpaman, bakit ganito?
Kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ito ay i-multiply sa sarili nito nang kasing dami ng exponent:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Kapag ang exponent ay katumbas ng 1, pagkatapos ay sa panahon ng pagtatayo mayroon lamang isang kadahilanan (kung maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga kadahilanan dito sa lahat), at samakatuwid ang resulta ng konstruksiyon ay katumbas ng base ng antas:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Ngunit ano ang tungkol sa zero indicator sa kasong ito? Ano ang pinarami ng ano?
Subukan nating pumunta sa ibang paraan.

Bakit ang isang numero sa kapangyarihan ng 0 ay katumbas ng 1?

Alam na kung ang dalawang kapangyarihan ay may parehong mga base, ngunit magkaibang mga exponents, kung gayon ang base ay maaaring iwanang pareho, at ang mga exponent ay maaaring idagdag sa bawat isa (kung ang mga kapangyarihan ay pinarami), o ang exponent ng divisor ay maaaring ibawas mula sa exponent ng dibidendo (kung ang mga kapangyarihan ay mahahati):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Ngayon tingnan natin ang halimbawang ito:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Paano kung hindi namin gamitin ang pag-aari ng mga kapangyarihan na may parehong base at magsagawa ng mga kalkulasyon sa pagkakasunud-sunod ng mga ito:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Kaya natanggap namin ang coveted unit. Kaya, ang zero exponent ay tila nagpapahiwatig na ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati sa sarili nito.
At mula dito ay nagiging malinaw kung bakit ang expression na 0 0 ay hindi makatwiran. Hindi mo maaaring hatiin sa 0.

May panuntunan na ang anumang numero maliban sa zero na itinaas sa zero power ay magiging katumbas ng isa:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Gayunpaman, bakit ganito?

Kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ito ay i-multiply sa sarili nito nang kasing dami ng exponent:
43 = 4...

0 0

Sa algebra, ang pagtaas sa zero na kapangyarihan ay karaniwan. Ano ang degree 0? Aling mga numero ang maaaring itaas sa zero na kapangyarihan at alin ang hindi?

Kahulugan.

Anumang numero sa zero power, maliban sa zero, ay katumbas ng isa:

Kaya, kahit anong numero ang itataas sa kapangyarihan ng 0, ang resulta ay palaging magiging pareho - isa.

At 1 sa kapangyarihan ng 0, at 2 sa kapangyarihan ng 0, at anumang iba pang numero - integer, fractional, positibo, negatibo, makatuwiran, hindi makatwiran - kapag itinaas sa zero na kapangyarihan ay nagbibigay ng isa.

Ang tanging pagbubukod ay zero.

Ang zero hanggang zero na kapangyarihan ay hindi tinukoy, ang gayong expression ay walang kahulugan.

Iyon ay, anumang numero maliban sa zero ay maaaring itaas sa zero na kapangyarihan.

Kung, kapag pinasimple ang isang expression na may mga kapangyarihan, ang resulta ay isang numero sa zero na kapangyarihan, maaari itong mapalitan ng isa:

kung...

0 0

Sa loob ng kurikulum ng paaralan Ang expression na $%0^0$% ay itinuturing na hindi natukoy.

Mula sa pananaw ng modernong matematika, maginhawang ipagpalagay na $%0^0=1$%. Ang ideya dito ay ang mga sumusunod. Hayaang magkaroon ng produkto ng $%n$% na mga numero ng anyong $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Para sa lahat ng $%n\ge2$% ang pagkakapantay-pantay na $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% ang hawak. Maginhawang isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na ito upang maging makabuluhan din para sa $%n=1$%, sa pag-aakalang $%p_0=1$%. Ang lohika dito ay ito: kapag kinakalkula ang mga produkto, kumukuha muna kami ng 1, at pagkatapos ay i-multiply nang sunud-sunod sa $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Ito ang algorithm na ginagamit upang maghanap ng mga produkto kapag isinulat ang mga programa. Kung sa ilang kadahilanan ay hindi nangyari ang mga multiplikasyon, kung gayon ang produkto ay nananatiling katumbas ng isa.

Sa madaling salita, maginhawang isaalang-alang ang gayong konsepto bilang "produkto ng 0 na mga kadahilanan" upang magkaroon ng kahulugan, isinasaalang-alang ito na katumbas ng 1 sa pamamagitan ng kahulugan. Sa kasong ito, maaari rin nating pag-usapan ang "walang laman na produkto". Kung i-multiply natin ang isang numero dito...

0 0

Zero - ito ay zero. Sa halos pagsasalita, ang anumang kapangyarihan ng isang numero ay produkto ng isa at ang exponent na beses sa numerong ito. Dalawa sa pangatlo, sabihin natin, ay 1*2*2*2, dalawa sa minus ng una ay 1/2. At pagkatapos ay kinakailangan na walang butas sa paglipat mula sa positibo hanggang sa negatibong antas at kabaliktaran.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

iyon ang buong punto.

simple at malinaw, salamat

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

Halimbawa, kailangan mo lang tiyakin na ang ilang mga formula na wasto para sa mga positibong exponent - halimbawa x^n*x^m=x^(m+n) - ay valid pa rin.
Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong naaangkop sa kahulugan ng isang negatibong antas pati na rin ang isang nakapangangatwiran (iyon ay, halimbawa, 5 sa kapangyarihan ng 3/4)

> at bakit kailangan pa ito?
Halimbawa, sa mga istatistika at teorya ay madalas silang naglalaro ng walang kapangyarihan.

Nakakaabala ba sa iyo ang mga negatibong degree?
...

0 0

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga katangian ng mga degree, kunin ang halimbawa 16:8 = 2. Dahil ang 16=24 at 8=23, samakatuwid, ang paghahati ay maaaring isulat sa exponential form bilang 24:23=2, ngunit kung ibawas natin ang mga exponent, 24:23=21. Kaya, kailangan nating aminin na ang 2 at 21 ay magkaparehong bagay, samakatuwid 21 = 2.

Ang parehong panuntunan ay nalalapat sa anumang iba pang exponential number, kaya ang panuntunan ay maaaring buuin sa pangkalahatang anyo:

anumang numero na itinaas sa unang kapangyarihan ay nananatiling hindi nagbabago

Ang konklusyong ito ay maaaring nagdulot sa iyo ng pagtataka. Maiintindihan mo pa rin kahit papaano ang kahulugan ng expression na 21 = 2, kahit na ang expression na "isang numero ng dalawa ay pinarami ng kanyang sarili" ay medyo kakaiba. Ngunit ang ekspresyong 20 ay nangangahulugang "hindi isang solong bilang dalawa,...

0 0

Mga kahulugan ng degree:

1. zero degree

Anumang numero maliban sa zero na itinaas sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Ang zero hanggang zero na kapangyarihan ay hindi natukoy

2. natural na antas maliban sa zero

Anumang numerong x na itinaas sa natural na kapangyarihan n maliban sa zero ay katumbas ng pagpaparami ng n mga numerong x nang magkasama

3.1 ugat ng pantay na natural na kapangyarihan maliban sa zero

Ang ugat ng pantay na natural na kapangyarihan n, maliban sa zero, ng anumang positibong numerong x ay isang positibong numerong y na, kapag itinaas sa kapangyarihan n, ay nagbibigay ng orihinal na numerong x

3.2 ugat ng kakaibang natural na antas

Ang ugat ng kakaibang natural na kapangyarihan n ng anumang bilang na x ay isang numerong y na, kapag itinaas sa kapangyarihan n, ay nagbibigay ng orihinal na numerong x

3.3 ugat ng anumang natural na kapangyarihan bilang isang fractional na kapangyarihan

Ang pag-extract ng ugat ng anumang natural na kapangyarihan n, maliban sa zero, mula sa anumang numerong x ay kapareho ng pagtaas ng numerong ito na x sa fractional power na 1/n

0 0

Kumusta, mahal na RUSSEL!

Kapag ipinakilala ang konsepto ng degree, mayroong sumusunod na entry: "Ang halaga ng expression na a^0 =1" ! Ito ay dahil sa lohikal na konsepto ng degree at wala nang iba pa!
Kapuri-puri kapag ang isang binata ay nagsisikap na maunawaan ang mga bagay! Ngunit may ilang mga bagay na dapat na lang tanggapin!
Makakagawa ka lang ng bagong matematika kapag pinag-aralan mo ang natuklasan ilang siglo na ang nakalipas!
Siyempre, kung ibubukod namin na ikaw ay “hindi taga-sanlibutang ito” at nabigyan ka ng higit pa kaysa sa iba pa sa amin na mga makasalanan!

Tandaan: Sinubukan ni Anna Misheva na patunayan ang hindi mapapatunayan! Kapuri-puri din!
Ngunit mayroong isang malaking "PERO" - ito ay nawawala sa kanyang patunay mahalagang elemento: Kaso ng dibisyon ng ZERO!

Tingnan para sa iyong sarili kung ano ang maaaring mangyari: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Pero HINDI KA MAAARING HATI NG ZERO!

Mangyaring maging mas maingat!

Na may misa best wishes at kaligayahan sa iyong personal na buhay...

0 0