Τι σημαίνει σε σχέση με το σημείο ο. Συμμετρία ως προς μια ευθεία γραμμή

Σκοπός του μαθήματος:

σχηματισμός της έννοιας των "συμμετρικών σημείων".
διδάξτε στα παιδιά να κατασκευάζουν σημεία συμμετρικά με τα δεδομένα.
μάθουν να κατασκευάζουν τμήματα συμμετρικά με τα δεδομένα.
εμπέδωση των διδαχθέντων (σχηματισμός υπολογιστικών δεξιοτήτων, διαίρεση πολυψήφιου αριθμού με μονοψήφιο αριθμό).

Στο περίπτερο "για το μάθημα" υπάρχουν κάρτες:

1. Οργανωτική στιγμή

Χαιρετίσματα.

Ο δάσκαλος εφιστά την προσοχή στο περίπτερο:

Παιδιά, ας ξεκινήσουμε το μάθημα προγραμματίζοντας τη δουλειά μας.

Σήμερα στο μάθημα των μαθηματικών θα κάνουμε ένα ταξίδι σε 3 βασίλεια: το βασίλειο της αριθμητικής, της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Ας ξεκινήσουμε το μάθημα με το πιο σημαντικό για εμάς σήμερα, με τη γεωμετρία. Θα σας πω ένα παραμύθι, αλλά «Ένα παραμύθι είναι ψέμα, αλλά υπάρχει ένας υπαινιγμός σε αυτό - ένα μάθημα για καλούς φίλους».

": Ένας φιλόσοφος ονόματι Buridan είχε έναν γάιδαρο. Μια φορά, φεύγοντας για πολλή ώρα, ο φιλόσοφος έβαλε δύο πανομοιότυπες μπράτσες σανό μπροστά στον γάιδαρο. Τοποθέτησε έναν πάγκο, και στα αριστερά του πάγκου και στα δεξιά του , στην ίδια απόσταση, τοποθέτησε πανομοιότυπα μπράτσα σανό.

Εικόνα 1 στον πίνακα:

Ο γάιδαρος περπάτησε από τη μια μπράτσα σανό στην άλλη, αλλά ακόμα δεν αποφάσισε με ποια μπράτσα να ξεκινήσει. Και, στο τέλος, πέθανε από την πείνα».

Γιατί ο γάιδαρος δεν αποφάσισε με ποια μπράτσα σανό να ξεκινήσει;

Τι μπορείτε να πείτε για αυτές τις αγκάλες σανού;

(Τα μπράτσα του σανού είναι ακριβώς τα ίδια, ήταν στην ίδια απόσταση από τον πάγκο, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικά).

2. Ας κάνουμε μια μικρή έρευνα.

Πάρτε ένα φύλλο χαρτιού (κάθε παιδί έχει ένα φύλλο χρωματιστό χαρτί στο γραφείο του), διπλώστε το στη μέση. Τρυπήστε το με το πόδι μιας πυξίδας. Επεκτείνουν.

Τι πήρες? (2 συμμετρικά σημεία).

Πώς μπορείτε να είστε σίγουροι ότι είναι πραγματικά συμμετρικά; (ας διπλώσουμε το φύλλο, οι τελείες ταιριάζουν)

3. Πάνω στο γραφείο:

Πιστεύετε ότι αυτά τα σημεία είναι συμμετρικά; (Οχι). Γιατί; Πώς μπορούμε να είμαστε σίγουροι για αυτό;

Εικόνα 3:

Είναι αυτά τα σημεία Α και Β συμμετρικά;

Πώς μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό;

(Μετρήστε την απόσταση από την ευθεία μέχρι τα σημεία)

Ας επιστρέψουμε στα χρωματιστά χαρτιά μας.

Μετρήστε την απόσταση από τη γραμμή δίπλωσης (άξονας συμμετρίας) πρώτα στο ένα και μετά στο άλλο σημείο (αλλά πρώτα συνδέστε τα με ένα τμήμα).

Τι μπορείτε να πείτε για αυτές τις αποστάσεις;

(Το ίδιο)

Βρείτε τη μέση του τμήματός σας.

Που είναι?

(Είναι το σημείο τομής του τμήματος ΑΒ με τον άξονα συμμετρίας)

4. Δώστε προσοχή στις γωνίες, που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής του τμήματος ΑΒ με τον άξονα συμμετρίας. (Διαπιστώνουμε με τη βοήθεια ενός τετραγώνου, κάθε παιδί δουλεύει στον δικό του χώρο εργασίας, ένα σπουδάζει στον πίνακα).

Συμπέρασμα παιδιών: το τμήμα ΑΒ βρίσκεται σε ορθή γωνία ως προς τον άξονα συμμετρίας.

Χωρίς να το γνωρίζουμε, ανακαλύψαμε τώρα έναν μαθηματικό κανόνα:

Εάν τα σημεία Α και Β είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία γραμμή ή έναν άξονα συμμετρίας, τότε το τμήμα που συνδέει αυτά τα σημεία είναι σε ορθή γωνία ή κάθετο σε αυτήν την ευθεία. (Η λέξη «κάθετος» αναγράφεται χωριστά στο σταντ). Λέμε τη λέξη «κάθετος» δυνατά σε χορωδία.

5. Ας προσέξουμε πώς είναι γραμμένος αυτός ο κανόνας στο σχολικό μας βιβλίο.

Εργαστείτε σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο.

Βρείτε συμμετρικά σημεία σε σχέση με την ευθεία. Τα σημεία Α και Β θα είναι συμμετρικά ως προς αυτήν την ευθεία;

6. Εργασία σε νέο υλικό.

Ας μάθουμε πώς να κατασκευάζουμε σημεία συμμετρικά με δεδομένα σε σχέση με μια ευθεία γραμμή.

Ο δάσκαλος διδάσκει συλλογισμό.

Για να κατασκευάσετε ένα σημείο συμμετρικό προς το σημείο Α, πρέπει να μετακινήσετε αυτό το σημείο από την ευθεία στην ίδια απόσταση προς τα δεξιά.

7. Θα μάθουμε να κατασκευάζουμε τμήματα συμμετρικά προς τα δεδομένα σε σχέση με μια ευθεία γραμμή. Εργαστείτε σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο.

Οι μαθητές συλλογίζονται στον πίνακα.

8. Προφορική καταμέτρηση.

Εδώ θα τελειώσουμε τη διαμονή μας στο Βασίλειο της «Γεωμετρίας» και θα κάνουμε μια μικρή μαθηματική προθέρμανση επισκεπτόμενοι το «Αριθμητικό» Βασίλειο.

Ενώ όλοι εργάζονται προφορικά, δύο μαθητές εργάζονται σε μεμονωμένους πίνακες.

Α) Εκτελέστε διαίρεση με επαλήθευση:

Β) Αφού εισαγάγετε τους απαιτούμενους αριθμούς, λύστε το παράδειγμα και ελέγξτε:

Λεκτική καταμέτρηση.

Η διάρκεια ζωής μιας σημύδας είναι 250 χρόνια και μιας βελανιδιάς είναι 4 φορές μεγαλύτερη. Πόσο ζει μια βελανιδιά;
Ένας παπαγάλος ζει κατά μέσο όρο 150 χρόνια και ένας ελέφαντας είναι 3 φορές λιγότερος. Πόσα χρόνια ζει ένας ελέφαντας;
Η αρκούδα κάλεσε τους επισκέπτες του: έναν σκαντζόχοιρο, μια αλεπού και έναν σκίουρο. Και ως δώρο του έκαναν μια μουσταρδί κατσαρόλα, ένα πιρούνι και ένα κουτάλι. Τι έδωσε ο σκαντζόχοιρος στην αρκούδα;

Μπορούμε να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση εάν εκτελέσουμε αυτά τα προγράμματα.

Μουστάρδα - 7
Πιρούνι - 8
Κουτάλι - 6

(Ο σκαντζόχοιρος έδωσε ένα κουτάλι)

4) Υπολογίστε. Βρείτε άλλο παράδειγμα.

810: 90
360: 60
420: 7
560: 80

5) Βρείτε ένα μοτίβο και βοηθήστε να γράψετε τον απαιτούμενο αριθμό:

3 9 81
2 16

5 10 20
6 24

9. Τώρα ας ξεκουραστούμε λίγο.

Ας ακούσουμε τη Σονάτα του σεληνόφωτος του Μπετόβεν. Ένα λεπτό κλασικής μουσικής. Οι μαθητές βάζουν το κεφάλι τους στο θρανίο, κλείνουν τα μάτια τους και ακούν μουσική.

10. Ταξίδι στο βασίλειο της άλγεβρας.

Μαντέψτε τις ρίζες της εξίσωσης και ελέγξτε:

Οι μαθητές λύνουν προβλήματα στον πίνακα και σε τετράδια. Εξηγούν πώς το μάντεψαν.

11. "Τουρνουά Blitz" .

α) Η Asya αγόρασε 5 κουλούρια για ένα ρούβλι και 2 καρβέλια για β ρούβλια. Πόσο κοστίζει ολόκληρη η αγορά;

Ας ελέγξουμε. Ας μοιραστούμε τις απόψεις μας.

12. Συνοψίζοντας.

Έτσι, ολοκληρώσαμε το ταξίδι μας στο βασίλειο των μαθηματικών.

Ποιο ήταν το πιο σημαντικό πράγμα για εσάς στο μάθημα;

Σε ποιον άρεσε το μάθημά μας;

Ήταν χαρά να δουλεύω μαζί σας

Ευχαριστώ για το μάθημα.

Συμμετρία Εγώ Συμμετρία (από το ελληνικό symmetria - αναλογικότητα)

στα μαθηματικά,

1) συμμετρία (με τη στενή έννοια), ή ανάκλαση (καθρέφτης) σε σχέση με το επίπεδο α στο χώρο (σε σχέση με την ευθεία ΕΝΑστο επίπεδο), είναι ένας μετασχηματισμός του χώρου (επίπεδο), στον οποίο κάθε σημείο Μπηγαίνει στο σημείο Μ"έτσι ώστε το τμήμα ΜΜ"κάθετη στο επίπεδο α (ευθεία ΕΝΑ) και το χωρίζει στη μέση. Επίπεδο α (ευθεία ΕΝΑ) ονομάζεται επίπεδο (άξονας) C.

Η αντανάκλαση είναι ένα παράδειγμα ορθογώνιου μετασχηματισμού (Βλ. Ορθογώνιος μετασχηματισμός) που αλλάζει προσανατολισμό (Βλ. Προσανατολισμός) (σε αντίθεση με δική του κίνηση). Οποιοσδήποτε ορθογώνιος μετασχηματισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαδοχική εκτέλεση πεπερασμένος αριθμόςαντανακλάσεις - αυτό το γεγονός παίζει Σημαντικός ρόλοςστη μελέτη του Σ. γεωμετρικά σχήματα.

2) Συμμετρία (με την ευρεία έννοια) - μια ιδιότητα ενός γεωμετρικού σχήματος φά, χαρακτηρίζοντας κάποια κανονικότητα της μορφής φά, το αμετάβλητό του κάτω από τη δράση κινήσεων και αντανακλάσεων. Πιο συγκεκριμένα, το σχήμα φάέχει S. (συμμετρικό) εάν υπάρχει ένας μη ταυτόσημος ορθογώνιος μετασχηματισμός που παίρνει αυτό το σχήμα μέσα του. Το σύνολο όλων των ορθογώνιων μετασχηματισμών που συνδυάζουν μια φιγούρα φάμε τον εαυτό της, είναι μια ομάδα (Βλ. Ομάδα) που ονομάζεται ομάδα συμμετρίας αυτού του σχήματος (μερικές φορές αυτοί οι ίδιοι οι μετασχηματισμοί ονομάζονται συμμετρίες).

Έτσι, μια επίπεδη φιγούρα που μεταμορφώνεται στον εαυτό της κατά την ανάκλαση είναι συμμετρική σε σχέση με μια ευθεία - τον άξονα C. ( ρύζι. 1 ) εδώ η ομάδα συμμετρίας αποτελείται από δύο στοιχεία. Αν το σχήμα φάστο επίπεδο είναι τέτοια ώστε οι περιστροφές σε σχέση με οποιοδήποτε σημείο O σε γωνία 360°/ n, n- ακέραιος αριθμός ≥ 2, μετατρέψτε τον στον εαυτό του, στη συνέχεια φάκατέχει Σ. n-η σειρά σε σχέση με το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ- κέντρο C. Ένα παράδειγμα τέτοιων σχημάτων είναι τα κανονικά πολύγωνα ( ρύζι. 2 ) ομάδα Σ. εδώ - λεγόμενο. κυκλική ομάδα n-η σειρά. Ένας κύκλος έχει έναν κύκλο άπειρης τάξης (καθώς μπορεί να συνδυαστεί με τον εαυτό του περιστρέφοντας σε οποιαδήποτε γωνία).

Οι απλούστεροι τύποι χωρικών συστημάτων, εκτός από το σύστημα που δημιουργείται από ανακλάσεις, είναι το κεντρικό σύστημα, το αξονικό σύστημα και το σύστημα μεταφοράς.

α) Στην περίπτωση της κεντρικής συμμετρίας (αναστροφής) ως προς το σημείο Ο, το σχήμα Ф συνδυάζεται με τον εαυτό του μετά από διαδοχικές ανακλάσεις από τρία αμοιβαία κάθετα επίπεδα, με άλλα λόγια, το σημείο Ο είναι το μέσο του τμήματος που συνδέει τα συμμετρικά σημεία Ф ( ρύζι. 3 ). β) Στην περίπτωση αξονικής συμμετρίας, ή S. σε σχέση με ευθεία n-η τάξη, το σχήμα υπερτίθεται στον εαυτό του περιστρέφοντας γύρω από μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή (άξονας Γ) υπό γωνία 360°/ n. Για παράδειγμα, ένας κύβος έχει ευθεία γραμμή ΑΒο άξονας C είναι τρίτης τάξης και η ευθεία γραμμή CD- άξονας C τέταρτης τάξης ( ρύζι. 3 ) Γενικά, τα κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα είναι συμμετρικά σε σχέση με έναν αριθμό γραμμών. Η θέση, ο αριθμός και η σειρά των αξόνων των κρυστάλλων παίζουν σημαντικό ρόλο στην κρυσταλλογραφία (βλ. Συμμετρία κρυστάλλων), γ) Ένα σχήμα που τοποθετείται πάνω στον εαυτό του με διαδοχική περιστροφή υπό γωνία 360°/2 κγύρω από μια ευθεία γραμμή ΑΒκαι ανάκλαση σε επίπεδο κάθετο σε αυτό, έχει κατοπτρική-αξονική Γ. Ευθεία γραμμή ΑΒ, ονομάζεται άξονας περιστροφής καθρέφτη Γ. τάξη 2 κ, είναι ο άξονας C τάξης κ (ρύζι. 4 ). Η ευθυγράμμιση κατοπτρικής-αξονικής τάξης 2 είναι ισοδύναμη με την κεντρική στοίχιση. δ) Στην περίπτωση συμμετρίας μεταφοράς, το σχήμα υπερτίθεται στον εαυτό του με μεταφορά κατά μήκος μιας ορισμένης ευθείας γραμμής (άξονας μετάφρασης) σε οποιοδήποτε τμήμα. Για παράδειγμα, ένα σχήμα με έναν μόνο άξονα μετατόπισης έχει άπειρο αριθμό επιπέδων C (καθώς οποιαδήποτε μετάφραση μπορεί να επιτευχθεί με δύο διαδοχικές ανακλάσεις από επίπεδα κάθετα στον άξονα μετάφρασης) ( ρύζι. 5 ). Οι φιγούρες με πολλαπλούς μεταφραστικούς άξονες παίζουν σημαντικό ρόλο στην έρευνα κρυσταλλικά πλέγματα(Βλ. Κρυσταλλικό πλέγμα).

Στην τέχνη, η σύνθεση έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη ως ένας από τους τύπους αρμονικής σύνθεσης (Βλ. Σύνθεση). Είναι χαρακτηριστικό των έργων αρχιτεκτονικής (που είναι απαραίτητη ποιότητα, αν όχι ολόκληρης της δομής στο σύνολό της, τότε των μερών και των λεπτομερειών της - κάτοψη, πρόσοψη, κολώνες, κιονόκρανα κ.λπ.) και διακοσμητικής και εφαρμοσμένης τέχνης. Το S. χρησιμοποιείται επίσης ως κύρια τεχνική για την κατασκευή περιγραμμάτων και διακοσμητικών (επίπεδες φιγούρες που έχουν, αντίστοιχα, μία ή περισσότερες μεταφορές S. σε συνδυασμό με αντανακλάσεις) ( ρύζι. 6 , 7 ).

Συνδυασμοί συμμετρίας που δημιουργούνται από αντανακλάσεις και περιστροφές (εξαντλώντας όλα τα είδη συμμετρίας γεωμετρικών σχημάτων), καθώς και μεταφορές, παρουσιάζουν ενδιαφέρον και αποτελούν αντικείμενο έρευνας σε διάφορους τομείς της φυσικής επιστήμης. Για παράδειγμα, το ελικοειδές S., που πραγματοποιείται με περιστροφή σε μια ορισμένη γωνία γύρω από έναν άξονα, συμπληρωμένο με μεταφορά κατά μήκος του ίδιου άξονα, παρατηρείται στη διάταξη των φύλλων στα φυτά ( ρύζι. 8 ) (για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε το άρθρο. Συμμετρία στη βιολογία). Γ. η διαμόρφωση των μορίων, που επηρεάζει τα φυσικά και χημικά χαρακτηριστικά τους, είναι σημαντική όταν θεωρητική ανάλυσητη δομή των ενώσεων, τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά τους σε διάφορες αντιδράσεις (βλ. Συμμετρία στη χημεία). Τέλος, σε Φυσικές Επιστήμεςγενικά, εκτός από την ήδη υποδεικνυόμενη γεωμετρική δομή των κρυστάλλων και των δικτυωμάτων, αποκτούν σπουδαίοςιδέες για τον Σ. με τη γενική έννοια (βλ. παρακάτω). Έτσι, η συμμετρία του φυσικού χωροχρόνου, που εκφράζεται στην ομοιογένεια και την ισοτροπία του (βλ. Θεωρία της Σχετικότητας), μας επιτρέπει να καθιερώσουμε το λεγόμενο. νόμοι διατήρησης; η γενικευμένη συμμετρία παίζει σημαντικό ρόλο στο σχηματισμό ατομικών φασμάτων και στην ταξινόμηση των στοιχειωδών σωματιδίων (βλ. Συμμετρία στη φυσική).

3) Συμμετρία (με τη γενική έννοια) σημαίνει το αμετάβλητο της δομής ενός μαθηματικού (ή φυσικού) αντικειμένου ως προς τους μετασχηματισμούς του. Για παράδειγμα, το σύστημα των νόμων της σχετικότητας καθορίζεται από την αναλλοίωσή τους σε σχέση με τους μετασχηματισμούς Lorentz (Βλέπε μετασχηματισμούς Lorentz). Ορισμός ενός συνόλου μετασχηματισμών που αφήνουν αμετάβλητες όλες τις δομικές σχέσεις ενός αντικειμένου, δηλ. ορισμός μιας ομάδας σολοι αυτομορφισμοί του, έχει γίνει η κατευθυντήρια αρχή των σύγχρονων μαθηματικών και φυσικής, επιτρέποντας τη βαθιά γνώση εσωτερική δομήτο αντικείμενο ως σύνολο και τα μέρη του.

Αφού ένα τέτοιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί από στοιχεία κάποιου χώρου R, προικισμένο με μια αντίστοιχη χαρακτηριστική δομή για αυτό, στο βαθμό που οι μετασχηματισμοί ενός αντικειμένου είναι μετασχηματισμοί R. Οτι. λαμβάνεται μια αναπαράσταση ομάδας σολστην ομάδα μετασχηματισμού R(ή απλά μέσα R), και η μελέτη του αντικειμένου S. καταλήγει στη μελέτη της δράσης σολεπί Rκαι βρίσκοντας αμετάβλητα αυτής της δράσης. Με τον ίδιο τρόπο, οι S. φυσικοί νόμοι που διέπουν το υπό μελέτη αντικείμενο και συνήθως περιγράφονται από εξισώσεις που ικανοποιούνται από τα στοιχεία του χώρου R, καθορίζεται από τη δράση σολγια τέτοιες εξισώσεις.

Έτσι, για παράδειγμα, εάν κάποια εξίσωση είναι γραμμική σε έναν γραμμικό χώρο Rκαι παραμένει αμετάβλητο υπό μετασχηματισμούς κάποιας ομάδας σολ, μετά κάθε στοιχείο σολαπό σολαντιστοιχεί σε γραμμικό μετασχηματισμό T gσε γραμμικό χώρο Rλύσεις αυτής της εξίσωσης. Αλληλογραφία σολ → T gείναι μια γραμμική αναπαράσταση σολκαι η γνώση όλων αυτών των αναπαραστάσεων μας επιτρέπει να καθιερώσουμε διάφορες ιδιότητες λύσεων, και επίσης βοηθά να βρούμε σε πολλές περιπτώσεις (από «εκτιμήσεις συμμετρίας») τις ίδιες τις λύσεις. Αυτό, ειδικότερα, εξηγεί την ανάγκη για τα μαθηματικά και τη φυσική να έχουν μια ανεπτυγμένη θεωρία γραμμικές αναπαραστάσειςομάδες. Συγκεκριμένα παραδείγματαβλέπε Άρθ. Η συμμετρία στη φυσική.

Λιτ.: Shubnikov A.V., Συμμετρία. (Νόμοι της συμμετρίας και η εφαρμογή τους στην επιστήμη, την τεχνολογία και τις εφαρμοσμένες τέχνες), M. - L., 1940; Coxeter G.S.M., Εισαγωγή στη Γεωμετρία, μτφρ. from English, Μ., 1966; Weil G., Symmetry, μτφρ. from English, Μ., 1968; Wigner E., Studies on Symmetry, μτφρ. από τα αγγλικά, Μ., 1971.

M. I. Voitsekhovsky.

Ρύζι. 3. Ένας κύβος με ευθεία γραμμή ΑΒ ως άξονα συμμετρίας τρίτης τάξης, ευθεία γραμμή CD ως άξονα συμμετρίας τέταρτης τάξης και σημείο Ο ως κέντρο συμμετρίας. Τα σημεία M και M" του κύβου είναι συμμετρικά τόσο ως προς τους άξονες AB και CD όσο και ως προς το κέντρο O.

II Συμμετρία

στη φυσική. Εάν οι νόμοι που καθορίζουν σχέσεις μεταξύ μεγεθών που χαρακτηρίζουν ένα φυσικό σύστημα, ή που καθορίζουν την αλλαγή σε αυτές τις ποσότητες με την πάροδο του χρόνου, δεν αλλάζουν υπό ορισμένες λειτουργίες (μετασχηματισμοί) στις οποίες μπορεί να υποβληθεί το σύστημα, τότε αυτοί οι νόμοι λέγονται ότι έχουν S (ή είναι αμετάβλητα) όσον αφορά τους μετασχηματισμούς δεδομένων. Μαθηματικά, οι μετασχηματισμοί S. σχηματίζουν μια ομάδα (Βλ. Ομάδα).

Η εμπειρία δείχνει ότι οι φυσικοί νόμοι είναι συμμετρικοί σε σχέση με τους παρακάτω γενικότερους μετασχηματισμούς.

Συνεχής μεταμόρφωση

1) Μεταφορά (μετατόπιση) του συστήματος συνολικά στο χώρο. Αυτός και οι επόμενοι χωροχρονικοί μετασχηματισμοί μπορούν να κατανοηθούν με δύο έννοιες: ως ενεργός μετασχηματισμός - μια πραγματική μεταφορά ενός φυσικού συστήματος σε σχέση με ένα επιλεγμένο σύστημα αναφοράς, ή ως ένας παθητικός μετασχηματισμός - μια παράλληλη μεταφορά ενός συστήματος αναφοράς. Το σύμβολο των φυσικών νόμων σχετικά με τις μετατοπίσεις στο χώρο σημαίνει την ισοδυναμία όλων των σημείων στο χώρο, δηλαδή την απουσία οποιωνδήποτε διακριτών σημείων στο χώρο (ομοιογένεια χώρου).

2) Περιστροφή του συστήματος συνολικά στο χώρο. Σ. φυσικοί νόμοι σχετικά με αυτόν τον μετασχηματισμό σημαίνουν την ισοδυναμία όλων των κατευθύνσεων στο χώρο (ισοτροπία του χώρου).

3) Αλλαγή έναρξης χρόνου (time shift). Σ. σχετικά με αυτόν τον μετασχηματισμό σημαίνει ότι οι φυσικοί νόμοι δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.

4) Μετάβαση σε σύστημα αναφοράς που κινείται σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα με σταθερή (σε κατεύθυνση και μέγεθος) ταχύτητα. S. σε σχέση με αυτόν τον μετασχηματισμό σημαίνει, ειδικότερα, την ισοδυναμία όλων των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς (Βλ. Σύστημα αδρανειακής αναφοράς) (Βλ. Θεωρία Σχετικότητας).

5) Μετασχηματισμοί μετρητών. Οι νόμοι που περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις των σωματιδίων με οποιοδήποτε φορτίο (ηλεκτρικό φορτίο (Βλ. Ηλεκτρικό φορτίο), φορτίο βαρυονίου (Βλ. φορτίο Baryon), λεπτονικό φορτίο (Βλ. φορτίο Lepton), Υπερφόρτιση) είναι συμμετρικοί ως προς τους μετασχηματισμούς μετρητών του 1ου είδους. Αυτοί οι μετασχηματισμοί συνίστανται στο γεγονός ότι οι κυματικές συναρτήσεις (Βλ. συνάρτηση κύματος) όλων των σωματιδίων μπορούν να πολλαπλασιαστούν ταυτόχρονα με έναν αυθαίρετο παράγοντα φάσης:

όπου ψ ι- συνάρτηση κυμάτων σωματιδίων ι, z j είναι το φορτίο που αντιστοιχεί στο σωματίδιο, εκφρασμένο σε μονάδες στοιχειώδους φορτίου (για παράδειγμα, στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο μι), το β είναι ένας αυθαίρετος αριθμητικός παράγοντας.

ΕΝΑ→A + βαθμός f, , (2)

Οπου φά(Χ,στο, z, t) - αυθαίρετη συνάρτηση συντεταγμένων ( Χ,στο,z) και ώρα ( t), Με- ταχύτητα του φωτός. Προκειμένου οι μετασχηματισμοί (1) και (2) να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα στην περίπτωση ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, είναι απαραίτητο να γενικευθούν οι μετασχηματισμοί μετρητών του 1ου είδους: είναι απαραίτητο να απαιτείται οι νόμοι αλληλεπίδρασης να είναι συμμετρικοί ως προς τους μετασχηματισμούς (1) με την τιμή β, η οποία είναι αυθαίρετη συνάρτηση συντεταγμένων και χρόνου: η - σταθερά Planck. Η σύνδεση μεταξύ μετασχηματισμών μετρητή 1ου και 2ου είδους για ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις οφείλεται στον διπλό ρόλο του ηλεκτρικού φορτίου: αφενός, το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα διατηρημένο μέγεθος και αφετέρου λειτουργεί ως σταθερά αλληλεπίδρασης. που χαρακτηρίζει τη σύνδεση ηλεκτρομαγνητικό πεδίομε φορτισμένα σωματίδια.

Οι μετασχηματισμοί (1) αντιστοιχούν στους νόμους διατήρησης των διαφόρων φορτίων (βλ. παρακάτω), καθώς και σε ορισμένες εσωτερικές αλληλεπιδράσεις. Εάν τα φορτία δεν είναι μόνο διατηρούμενα μεγέθη, αλλά και πηγές πεδίων (όπως ένα ηλεκτρικό φορτίο), τότε τα πεδία που αντιστοιχούν σε αυτά πρέπει επίσης να είναι πεδία μετρητή (παρόμοια με τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία) και οι μετασχηματισμοί (1) γενικεύονται στην περίπτωση Οι ποσότητες β είναι αυθαίρετες συναρτήσεις συντεταγμένων και χρόνου (ακόμα και τελεστές (Βλ. Τελεστές) που μετασχηματίζουν τις καταστάσεις του εσωτερικού συστήματος). Αυτή η προσέγγιση στη θεωρία των αλληλεπιδρώντων πεδίων οδηγεί σε διάφορες θεωρίες μετρητών ισχυρών και αδύναμων αλληλεπιδράσεων (η λεγόμενη θεωρία Yang-Mills).

Διακριτές μετασχηματισμοί

Οι τύποι συστημάτων που αναφέρονται παραπάνω χαρακτηρίζονται από παραμέτρους που μπορούν να αλλάζουν συνεχώς σε ένα ορισμένο εύρος τιμών (για παράδειγμα, μια μετατόπιση στο χώρο χαρακτηρίζεται από τρεις παραμέτρους μετατόπισης κατά μήκος καθενός από τους άξονες συντεταγμένων, μια περιστροφή κατά τρεις γωνίες περιστροφής γύρω από αυτούς τους άξονες κ.λπ.). Μαζί με το συνεχές Σ. μεγάλης σημασίαςστη φυσική έχουν διακριτό Σ. Τα κυριότερα είναι τα ακόλουθα.

Συμμετρία και νόμοι διατήρησης

Σύμφωνα με το θεώρημα του Noether (Βλ. Θεώρημα του Noether), κάθε μετασχηματισμός ενός συστήματος, που χαρακτηρίζεται από μια συνεχώς μεταβαλλόμενη παράμετρο, αντιστοιχεί σε μια τιμή που διατηρείται (δεν αλλάζει με το χρόνο) για ένα σύστημα που έχει αυτόν τον μετασχηματισμό. νόμους σχετικά με τη βάρδια κλειστό σύστημαστο χώρο, περιστρέφοντάς το ως σύνολο και αλλάζοντας την αρχή του χρόνου ακολουθούν, αντίστοιχα, τους νόμους διατήρησης της ορμής, της γωνιακής ορμής και της ενέργειας. Από το σύστημα σχετικά με τους μετασχηματισμούς μετρητών του 1ου είδους - τους νόμους διατήρησης των φορτίων (ηλεκτρικό, βαρυόνιο κ.λπ.), από την ισοτοπική αναλλοίωτη - τη διατήρηση του ισοτοπικού σπιν (Βλ. Ισοτοπική περιστροφή) σε διαδικασίες ισχυρής αλληλεπίδρασης. Όσο για τα διακριτά συστήματα, στην κλασική μηχανική δεν οδηγούν σε νόμους διατήρησης. Ωστόσο, στην κβαντομηχανική, στην οποία η κατάσταση του συστήματος περιγράφεται από μια κυματική συνάρτηση, ή για τα κυματικά πεδία (για παράδειγμα, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο), όπου ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, η ύπαρξη διακριτών συστημάτων συνεπάγεται νόμους διατήρησης για ορισμένα συγκεκριμένες ποσότητες που δεν έχουν ανάλογα στην κλασική μηχανική. Η ύπαρξη τέτοιων μεγεθών μπορεί να αποδειχθεί με το παράδειγμα χωρικής ισοτιμίας (Βλ. Ισοτιμία), η διατήρηση της οποίας προκύπτει από το σύστημα ως προς τη χωρική αντιστροφή. Πράγματι, έστω ψ 1 η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει κάποια κατάσταση του συστήματος και ψ 2 η κυματοσυνάρτηση του συστήματος που προκύπτει από τα κενά. αντιστροφή (συμβολικά: ψ 2 = Rψ 1, όπου R- χειριστής χώρων. αντιστροφή). Τότε, εάν υπάρχει σύστημα ως προς τη χωρική αντιστροφή, το ψ 2 είναι μία από τις πιθανές καταστάσεις του συστήματος και, σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης, πιθανές συνθήκεςΤα συστήματα είναι υπερθέσεις των ψ 1 και ψ 2: ένας συμμετρικός συνδυασμός ψ s = ψ 1 + ψ 2 και ένας αντισυμμετρικός συνδυασμός ψ a = ψ 1 - ψ 2. Κατά τους μετασχηματισμούς αναστροφής, η κατάσταση του ψ 2 δεν αλλάζει (αφού Πψ s = Πψ 1 + Πψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), και η κατάσταση ψ a αλλάζει πρόσημο ( Πψ α = Πψ 1 - Πψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ α). Στην πρώτη περίπτωση, λένε ότι η χωρική ισοτιμία του συστήματος είναι θετική (+1), στη δεύτερη - αρνητική (-1). Εάν η κυματική συνάρτηση του συστήματος καθορίζεται χρησιμοποιώντας μεγέθη που δεν αλλάζουν κατά τη χωρική αναστροφή (όπως γωνιακή ορμή και ενέργεια), τότε η ισοτιμία του συστήματος θα έχει επίσης μια πολύ συγκεκριμένη τιμή. Το σύστημα θα βρίσκεται σε κατάσταση είτε με θετική είτε αρνητική ισοτιμία (και οι μεταβάσεις από τη μια κατάσταση στην άλλη υπό την επίδραση δυνάμεων συμμετρικών ως προς τη χωρική αντιστροφή απαγορεύονται απολύτως).

Συμμετρία κβαντομηχανικών συστημάτων και στατικών καταστάσεων. Εκφυλισμός

Η διατήρηση των ποσοτήτων που αντιστοιχούν σε διάφορα κβαντομηχανικά συστήματα είναι συνέπεια του γεγονότος ότι οι τελεστές που αντιστοιχούν σε αυτά μετακινούνται με το Hamiltonian του συστήματος εάν δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο (βλ. Κβαντική μηχανική, Σχέσεις μεταγωγής). Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι ποσότητες είναι μετρήσιμες ταυτόχρονα με την ενέργεια του συστήματος, δηλαδή μπορούν να λάβουν εντελώς καθορισμένες τιμές για μια δεδομένη ενεργειακή τιμή. Ως εκ τούτου, από αυτούς είναι δυνατόν να συνθέσετε το λεγόμενο. ένα πλήρες σύνολο ποσοτήτων που καθορίζουν την κατάσταση του συστήματος. Έτσι, οι στατικές καταστάσεις (Βλ. Στατική κατάσταση) (καταστάσεις με δεδομένη ενέργεια) ενός συστήματος καθορίζονται από ποσότητες που αντιστοιχούν στη σταθερότητα του υπό εξέταση συστήματος.

Η παρουσία του S. οδηγεί στο γεγονός ότι οι διάφορες καταστάσεις κίνησης ενός κβαντομηχανικού συστήματος, που λαμβάνονται μεταξύ τους με μετασχηματισμό του S., έχουν τις ίδιες αξίες φυσικές ποσότητες, που δεν αλλάζουν κάτω από αυτούς τους μετασχηματισμούς. Έτσι, το σύστημα των συστημάτων, κατά κανόνα, οδηγεί σε εκφυλισμό (Βλ. Εκφυλισμός). Για παράδειγμα, μια ορισμένη τιμήΗ ενέργεια του συστήματος μπορεί να αντιστοιχεί σε πολλές διαφορετικές καταστάσεις που μετασχηματίζονται η μία μέσω της άλλης κατά τους μετασχηματισμούς C. Με μαθηματικούς όρους, αυτές οι καταστάσεις αντιπροσωπεύουν τη βάση της μη αναγώγιμης αναπαράστασης της ομάδας C του συστήματος (βλ. Ομάδα). Αυτό καθορίζει την καρποφορία της εφαρμογής των μεθόδων θεωρίας ομάδων στην κβαντομηχανική.

Εκτός από τον εκφυλισμό των ενεργειακών επιπέδων που σχετίζεται με τον ρητό έλεγχο ενός συστήματος (για παράδειγμα, σε σχέση με τις περιστροφές του συστήματος στο σύνολό του), σε ορισμένα προβλήματα υπάρχει πρόσθετος εκφυλισμός που σχετίζεται με το λεγόμενο. κρυφή Σ. αλληλεπίδραση. Τέτοιοι κρυφοί ταλαντωτές υπάρχουν, για παράδειγμα, για την αλληλεπίδραση Coulomb και για τον ισότροπο ταλαντωτή.

Εάν ένα σύστημα που έχει οποιοδήποτε σύστημα βρίσκεται σε ένα πεδίο δυνάμεων που παραβιάζουν αυτό το σύστημα (αλλά είναι αρκετά αδύναμα για να θεωρηθούν ως μια μικρή διαταραχή), εμφανίζεται μια διάσπαση των εκφυλισμένων ενεργειακών επιπέδων του αρχικού συστήματος: διαφορετικές καταστάσεις που, λόγω τα συστήματα είχαν την ίδια ενέργεια, υπό την επίδραση «ασύμμετρων» διαταραχών αποκτούν διαφορετικές μετατοπίσεις ενέργειας. Σε περιπτώσεις όπου το ενοχλητικό πεδίο έχει μια ορισμένη τιμή που είναι μέρος της τιμής του αρχικού συστήματος, ο εκφυλισμός των επιπέδων ενέργειας δεν εξαλείφεται πλήρως: ορισμένα από τα επίπεδα παραμένουν εκφυλισμένα σύμφωνα με την τιμή της αλληλεπίδρασης που «περιλαμβάνει» το ανησυχητικό πεδίο.

Η παρουσία ενεργειακά εκφυλισμένων καταστάσεων σε ένα σύστημα, με τη σειρά του, υποδηλώνει την ύπαρξη συστημικής αλληλεπίδρασης και καθιστά δυνατή, κατ' αρχήν, την εύρεση αυτού του συστήματος όταν δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων. Παίζει η τελευταία περίσταση ζωτικός ρόλος, για παράδειγμα, στη σωματιδιακή φυσική. Η ύπαρξη ομάδων σωματιδίων με παρόμοιες μάζες και ίδια άλλα χαρακτηριστικά, αλλά διαφορετικά ηλεκτρικά φορτία(τα λεγόμενα ισοτοπικά πολλαπλάσια) κατέστησαν δυνατή την καθιέρωση της ισοτοπικής αμετάβλητης ισχυρών αλληλεπιδράσεων και η δυνατότητα συνδυασμού σωματιδίων με τις ίδιες ιδιότητες σε ευρύτερες ομάδες οδήγησε στην ανακάλυψη S.U.(3)-ΝΤΟ. ισχυρές αλληλεπιδράσεις και αλληλεπιδράσεις που παραβιάζουν αυτό το σύστημα (βλ. Ισχυρές αλληλεπιδράσεις). Υπάρχουν ενδείξεις ότι η ισχυρή αλληλεπίδραση έχει μια ακόμη ευρύτερη ομάδα C.

Η έννοια του λεγόμενου είναι πολύ γόνιμη. δυναμικό σύστημα, το οποίο προκύπτει όταν εξετάζονται μετασχηματισμοί που περιλαμβάνουν μεταβάσεις μεταξύ καταστάσεων του συστήματος με διαφορετικές ενέργειες. Μια μη αναγώγιμη αναπαράσταση μιας δυναμικής ομάδας συστήματος θα είναι ολόκληρο το φάσμα των στατικών καταστάσεων του συστήματος. Η έννοια ενός δυναμικού συστήματος μπορεί επίσης να επεκταθεί σε περιπτώσεις όπου το Hamiltonian ενός συστήματος εξαρτάται ρητά από το χρόνο, και στην περίπτωση αυτή όλες οι καταστάσεις ενός κβαντομηχανικού συστήματος που δεν είναι ακίνητες (δηλαδή δεν έχουν δεδομένη ενέργεια) είναι συνδυάζονται σε μια μη αναγώγιμη αναπαράσταση της δυναμικής ομάδας του συστήματος. ).

Λιτ.: Wigner E., Studies on Symmetry, μτφρ. από τα αγγλικά, Μ., 1971.

S. S. Gershtein.

III Συμμετρία

στη χημεία εκδηλώνεται στη γεωμετρική διαμόρφωση των μορίων, η οποία επηρεάζει τις συγκεκριμένες φυσικές και χημικές ιδιότητες των μορίων σε απομονωμένη κατάσταση, σε εξωτερικό πεδίο και όταν αλληλεπιδρούν με άλλα άτομα και μόρια.

Τα περισσότερα απλά μόρια έχουν στοιχεία χωρικής συμμετρίας της διαμόρφωσης ισορροπίας: άξονες συμμετρίας, επίπεδα συμμετρίας κ.λπ. (βλ. Συμμετρία στα μαθηματικά). Έτσι, το μόριο αμμωνίας NH 3 έχει τη σωστή συμμετρία τριγωνική πυραμίδα, μόριο μεθανίου CH 4 - τετραεδρική συμμετρία. Στα πολύπλοκα μόρια, η συμμετρία της διαμόρφωσης ισορροπίας στο σύνολό της, κατά κανόνα, απουσιάζει, αλλά η συμμετρία των μεμονωμένων θραυσμάτων της διατηρείται περίπου (τοπική συμμετρία). Πλέον Πλήρης περιγραφήη συμμετρία και των διαμορφώσεων ισορροπίας και μη ισορροπίας των μορίων επιτυγχάνεται με βάση τις ιδέες για τα λεγόμενα. ομάδες δυναμικής συμμετρίας - ομάδες που περιλαμβάνουν όχι μόνο λειτουργίες χωρικής συμμετρίας της πυρηνικής διαμόρφωσης, αλλά και λειτουργίες αναδιάταξης πανομοιότυπων πυρήνων σε διαφορετικές διαμορφώσεις. Για παράδειγμα, η ομάδα δυναμικής συμμετρίας για το μόριο NH 3 περιλαμβάνει επίσης τη λειτουργία αναστροφής αυτού του μορίου: τη μετάβαση του ατόμου Ν από τη μία πλευρά του επιπέδου που σχηματίζεται από άτομα Η στην άλλη πλευρά του.

Η συμμετρία της διαμόρφωσης ισορροπίας των πυρήνων σε ένα μόριο συνεπάγεται μια ορισμένη συμμετρία των κυματοσυναρτήσεων (Βλ. συνάρτηση κύματος) των διαφόρων καταστάσεων αυτού του μορίου, η οποία καθιστά δυνατή την ταξινόμηση καταστάσεων σύμφωνα με τους τύπους συμμετρίας. Μια μετάβαση μεταξύ δύο καταστάσεων που σχετίζονται με την απορρόφηση ή την εκπομπή φωτός, ανάλογα με τους τύπους συμμετρίας των καταστάσεων, μπορεί είτε να εμφανιστεί στο μοριακό φάσμα (Βλ. Μοριακά φάσματα) είτε να απαγορευτεί, έτσι ώστε η γραμμή ή η ζώνη που αντιστοιχεί σε αυτή τη μετάβαση θα απουσιάζει από το φάσμα. Οι τύποι συμμετρίας των καταστάσεων μεταξύ των οποίων είναι δυνατές οι μεταβάσεις επηρεάζουν την ένταση των γραμμών και των ζωνών, καθώς και την πόλωσή τους. Για παράδειγμα, σε ομοπυρηνικά διατομικά μόρια, οι μεταβάσεις μεταξύ ηλεκτρονικών καταστάσεων της ίδιας ισοτιμίας, των οποίων οι ηλεκτρονικές κυματικές συναρτήσεις συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο κατά τη λειτουργία της αναστροφής, απαγορεύονται και δεν εμφανίζονται στα φάσματα. σε μόρια βενζολίου και παρόμοιες ενώσεις απαγορεύονται οι μεταβάσεις μεταξύ μη εκφυλισμένων ηλεκτρονικών καταστάσεων του ίδιου τύπου συμμετρίας κ.λπ. Οι κανόνες επιλογής συμμετρίας συμπληρώνονται για μεταβάσεις μεταξύ διάφορες συνθήκεςκανόνες επιλογής που σχετίζονται με την περιστροφή αυτών των καταστάσεων.

Για μόρια με παραμαγνητικά κέντρα, η συμμετρία του περιβάλλοντος αυτών των κέντρων οδηγεί σε ένα συγκεκριμένο είδοςανισοτροπία σολ-παράγοντας (πολλαπλασιαστής Lande), ο οποίος επηρεάζει τη δομή των φασμάτων παραμαγνητικού συντονισμού ηλεκτρονίων (Βλ. Παραμαγνητικός συντονισμός ηλεκτρονίων), ενώ σε μόρια των οποίων οι ατομικοί πυρήνες έχουν σπιν μη μηδενικό, η συμμετρία μεμονωμένων τοπικών θραυσμάτων οδηγεί σε έναν ορισμένο τύπο ενεργειακής διάσπασης καταστάσεων με διαφορετικές προβολές πυρηνικό σπιν, το οποίο επηρεάζει τη δομή των φασμάτων πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού (Βλ. Πυρηνικός μαγνητικός συντονισμός).

Σε προσεγγίσεις της κβαντικής χημείας, χρησιμοποιώντας την ιδέα των μοριακών τροχιακών, η ταξινόμηση με συμμετρία είναι δυνατή όχι μόνο για την κυματική λειτουργία του μορίου στο σύνολό του, αλλά και για μεμονωμένα τροχιακά. Εάν η διαμόρφωση ισορροπίας ενός μορίου έχει ένα επίπεδο συμμετρίας στο οποίο βρίσκονται οι πυρήνες, τότε όλα τα τροχιακά αυτού του μορίου χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: συμμετρικά (σ) και αντισυμμετρικά (π) ως προς τη λειτουργία της ανάκλασης σε αυτό το επίπεδο. Τα μόρια στα οποία τα πιο καταλαμβανόμενα τροχιακά (σε ενέργεια) είναι τα π-τροχιακά σχηματίζουν συγκεκριμένες κατηγορίες ακόρεστων και συζευγμένων ενώσεων με τις χαρακτηριστικές τους ιδιότητες. Η γνώση της τοπικής συμμετρίας μεμονωμένων τμημάτων μορίων και των μοριακών τροχιακών που εντοπίζονται σε αυτά τα θραύσματα καθιστά δυνατό να κρίνουμε ποια θραύσματα διεγείρονται πιο εύκολα και αλλάζουν πιο έντονα κατά τη διάρκεια χημικούς μετασχηματισμούς, για παράδειγμα σε φωτοχημικές αντιδράσεις.

Οι έννοιες της συμμετρίας είναι σημαντικές στη θεωρητική ανάλυση της δομής των σύνθετων ενώσεων, των ιδιοτήτων και της συμπεριφοράς τους σε διάφορες αντιδράσεις. Η θεωρία κρυσταλλικού πεδίου και η θεωρία πεδίων προσδέματος καθορίζουν τις σχετικές θέσεις των κατειλημμένων και κενών τροχιακών μιας σύνθετης ένωσης με βάση δεδομένα για τη συμμετρία της, τη φύση και τον βαθμό διάσπασης των ενεργειακών επιπέδων όταν αλλάζει η συμμετρία του πεδίου συνδέτη. Η γνώση της συμμετρίας ενός συμπλέγματος από μόνη της πολύ συχνά επιτρέπει σε κάποιον να κρίνει ποιοτικά τις ιδιότητές του.

Το 1965, οι P. Woodward και R. Hoffman πρότειναν την αρχή της διατήρησης της τροχιακής συμμετρίας στις χημικές αντιδράσεις, η οποία στη συνέχεια επιβεβαιώθηκε από εκτεταμένο πειραματικό υλικό και είχε μεγάλη επίδραση στην ανάπτυξη της προπαρασκευαστικής οργανική χημεία. Αυτή η αρχή (ο κανόνας Woodward-Hoffman) δηλώνει ότι μεμονωμένες στοιχειώδεις πράξεις χημικές αντιδράσειςπερνούν διατηρώντας τη συμμετρία των μοριακών τροχιακών, ή την τροχιακή συμμετρία. Όσο περισσότερο παραβιάζεται η συμμετρία των τροχιακών κατά τη διάρκεια ενός στοιχειώδους γεγονότος, τόσο πιο δύσκολη είναι η αντίδραση.

Η λήψη υπόψη της συμμετρίας των μορίων είναι σημαντική κατά την αναζήτηση και την επιλογή ουσιών που χρησιμοποιούνται στη δημιουργία χημικών λέιζερ και μοριακών ανορθωτών, κατά την κατασκευή μοντέλων οργανικών υπεραγωγών, κατά την ανάλυση καρκινογόνων και φαρμακολογικά δραστικών ουσιών κ.λπ.

Λιτ.: Hochstrasser R., Molecular aspects of symmetry, μτφρ. from English, Μ., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. Group theory and its applications in quantum mechanics of molecules, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Conservation of Orbital Symmetry, μτφρ. από τα αγγλικά, Μ., 1971.

N. F. Stepanov.

IV Συμμετρία

στη βιολογία (βιοσυμμετρία). Το φαινόμενο του S. στη ζωντανή φύση παρατηρήθηκε πίσω στο Αρχαία ΕλλάδαΠυθαγόρειοι (5ος αιώνας π.Χ.) σε σχέση με την ανάπτυξη του δόγματος της αρμονίας. Τον 19ο αιώνα Εμφανίστηκαν μερικά έργα σχετικά με τη σύνθεση φυτών (Γάλλοι επιστήμονες O. P. Decandolle και O. Bravo), ζώων (Γερμανικά - E. Haeckel) και βιογονικών μορίων (Γάλλοι επιστήμονες - A. Vechan, L. Pasteur και άλλοι). Τον 20ο αιώνα βιολογικά αντικείμενα μελετήθηκαν από τη σκοπιά γενική θεωρία S. (Σοβιετικοί επιστήμονες Yu. V. Wulf, V. N. Beklemishev, B. K. Weinstein, Ολλανδός φυσικοχημικός F. M. Eger, Άγγλοι κρυσταλλογράφοι με επικεφαλής τον J. Bernal) και το δόγμα του δεξιισμού και του αριστερισμού (Σοβιετικοί επιστήμονες V. I. Vernadsky, V. V. V. G. F. Gause, κ.λπ.· Γερμανός επιστήμονας W. Ludwig). Οι εργασίες αυτές οδήγησαν στον εντοπισμό το 1961 μιας ειδικής κατεύθυνσης στη μελέτη της Σ. - βιοσυμμετρίας.

Το δομικό Σ. των βιολογικών αντικειμένων έχει μελετηθεί εντατικότερα. Η μελέτη των βιοδομών - μοριακών και υπερμοριακών - από τη σκοπιά της δομικής δομής καθιστά δυνατό τον εκ των προτέρων προσδιορισμό των πιθανών τύπων δομής για αυτές, και ως εκ τούτου τον αριθμό και τον τύπο των πιθανών τροποποιήσεων, και την αυστηρή περιγραφή της εξωτερικής μορφής και της εσωτερικής δομής οποιωνδήποτε χωρικών βιολογικών αντικειμένων. Αυτό οδήγησε στην ευρεία χρήση των εννοιών του δομικού S. στη ζωολογία, τη βοτανική και τη μοριακή βιολογία. Το δομικό Σ. εκδηλώνεται κυρίως με τη μορφή της μιας ή της άλλης τακτικής επανάληψης. Στην κλασική θεωρία της δομικής δομής, που αναπτύχθηκε από τον Γερμανό επιστήμονα I. F. Hessel, E. S. Fedorov (Βλ. Fedorov) και άλλους, η εμφάνιση της δομής ενός αντικειμένου μπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο στοιχείων της δομής του, δηλαδή τέτοια γεωμετρικά στοιχεία (σημεία, ευθείες, επίπεδα) σχετικά με τα οποία ταξινομούνται πανομοιότυπα μέρη ενός αντικειμένου (βλ. Συμμετρία στα μαθηματικά). Για παράδειγμα, το είδος S. phlox flower ( ρύζι. 1 , γ) - ένας άξονας 5ης τάξης που διέρχεται από το κέντρο του λουλουδιού. παράγονται μέσω της λειτουργίας του - 5 περιστροφές (72, 144, 216, 288 και 360°), με καθεμία από τις οποίες το λουλούδι συμπίπτει με τον εαυτό του. Άποψη της φιγούρας της πεταλούδας S. ( ρύζι. 2 , β) - ένα επίπεδο που το χωρίζει σε 2 μισά - αριστερά και δεξιά. η λειτουργία που εκτελείται μέσω του αεροπλάνου είναι μια αντανάκλαση καθρέφτη, που «κάνει» το αριστερό μισό δεξιά, το δεξί μισό αριστερά και τη φιγούρα της πεταλούδας που συνδυάζεται με τον εαυτό της. Είδος S. radiolaria Lithocubus geometricus ( ρύζι. 3 , β), εκτός από τους άξονες περιστροφής και τα επίπεδα ανάκλασης, περιέχει επίσης το κέντρο C. Κάθε ευθεία γραμμή που διασχίζεται από ένα τέτοιο σημείο εντός της ραδιολάριας συναντά πανομοιότυπα (αντίστοιχα) σημεία του σχήματος και στις δύο πλευρές του και σε ίσες αποστάσεις. Οι επεμβάσεις που γίνονται μέσω του S. κέντρου είναι αντανακλάσεις σε ένα σημείο, μετά το οποίο η μορφή της ραδιολαριάς συνδυάζεται επίσης με τον εαυτό της.

Στη ζωντανή φύση (όπως και στην άψυχη φύση), λόγω διαφόρων περιορισμών, συναντάται συνήθως σημαντικά μικρότερος αριθμός ειδών S. από ό,τι είναι θεωρητικά δυνατό. Για παράδειγμα, στα κατώτερα στάδια της ανάπτυξης της ζωντανής φύσης, βρίσκονται εκπρόσωποι όλων των κατηγοριών σημειακής δομής - μέχρι οργανισμούς που χαρακτηρίζονται από τη δομή των κανονικών πολύεδρων και της μπάλας (βλ. ρύζι. 3 ). Ωστόσο, σε υψηλότερα στάδια εξέλιξης, τα φυτά και τα ζώα βρίσκονται κυρίως τα λεγόμενα. αξονική (τύπος n) και ακτινομορφικό (τύπος n(Μ)ΜΕ. (και στις δύο περιπτώσεις nμπορεί να πάρει τιμές από 1 έως ∞). Βιολογικά αντικείμενα με αξονικό S. (βλ. ρύζι. 1 ) χαρακτηρίζονται μόνο από τον άξονα τάξης C n. Bioobjects of sactinomorphic S. (βλ. ρύζι. 2 ) χαρακτηρίζονται από έναν άξονα τάξης nκαι επίπεδα που τέμνονται κατά μήκος αυτού του άξονα Μ. Τα πιο κοινά είδη στην άγρια ζωή είναι τα S. spp. n = 1 και 1. m = Μ, ονομάζεται αντίστοιχα ασυμμετρία (Βλ. Ασυμμετρία) και αμφίπλευρη, ή αμφίπλευρη, Σ. Η ασυμμετρία είναι χαρακτηριστική των φύλλων των περισσότερων φυτικών ειδών, αμφίπλευρη Σ. - σε κάποιο βαθμό για εξωτερική μορφήσώματα ανθρώπων, σπονδυλωτών και πολλών ασπόνδυλων. Στους κινητούς οργανισμούς, μια τέτοια κίνηση συνδέεται προφανώς με διαφορές στην κίνησή τους προς τα πάνω και προς τα κάτω και προς τα εμπρός και προς τα πίσω, ενώ οι κινήσεις τους προς τα δεξιά και τα αριστερά είναι ίδιες. Η παραβίαση του αμφίπλευρου S. τους θα οδηγούσε αναπόφευκτα σε αναστολή της κίνησης μιας από τις πλευρές και μετατροπή της μεταφορικής κίνησης σε κυκλική. Στη δεκαετία του 50-70. 20ος αιώνας Το λεγομενο ασύμμετρα βιολογικά αντικείμενα ( ρύζι. 4 ). Το τελευταίο μπορεί να υπάρχει σε τουλάχιστον δύο τροποποιήσεις - με τη μορφή του πρωτοτύπου και της κατοπτρικής του εικόνας (αντίποδα). Επιπλέον, μία από αυτές τις μορφές (ανεξάρτητα από το ποια) ονομάζεται δεξιά ή D (από το λατινικό dextro), η άλλη ονομάζεται αριστερή ή L (από το λατινικό laevo). Κατά τη μελέτη της μορφής και της δομής των βιοαντικειμένων D και L, αναπτύχθηκε η θεωρία των παραγόντων δυσσυμμετρίας, αποδεικνύοντας τη δυνατότητα για οποιοδήποτε αντικείμενο D ή L δύο ή περισσότερων (μέχρι άπειρο αριθμό) τροποποιήσεων (βλ. επίσης ρύζι. 5 ) συγχρόνως περιείχε τύπους για τον προσδιορισμό του αριθμού και του είδους των τελευταίων. Αυτή η θεωρία οδήγησε στην ανακάλυψη του λεγόμενου. βιολογικός ισομερισμός (Βλ. Ισομέρεια) (διαφορετικά βιολογικά αντικείμενα της ίδιας σύνθεσης, ρύζι. 5 Δείχνονται 16 ισομερή φύλλου φλαμουριάς).

Κατά τη μελέτη της εμφάνισης βιολογικών αντικειμένων, διαπιστώθηκε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις κυριαρχούν οι μορφές D, σε άλλες οι μορφές L, σε άλλες αναπαρίστανται εξίσου συχνά. Bechamp και Pasteur (δεκαετία 40 του 19ου αιώνα), και στη δεκαετία του '30. 20ος αιώνας Ο Σοβιετικός επιστήμονας G.F. Gause και άλλοι έδειξαν ότι τα κύτταρα των οργανισμών κατασκευάζονται μόνο ή κυρίως από L-αμινοξέα, L-πρωτεΐνες, D-δεοξυριβονουκλεϊκά οξέα, D-σάκχαρα, L-αλκαλοειδή, D- και L-τερπένια, κ.λπ. Τόσο θεμελιώδη και χαρακτηριστικό γνώρισμαΤα ζωντανά κύτταρα, που ονομάζονται από τον Παστέρ η ασυμμετρία του πρωτοπλάσματος, παρέχουν στο κύτταρο, όπως καθιερώθηκε τον 20ό αιώνα, έναν πιο ενεργό μεταβολισμό και διατηρείται μέσω πολύπλοκων βιολογικών και φυσικοχημικών μηχανισμών που προέκυψαν στη διαδικασία της εξέλιξης. Sov. ο επιστήμονας V.V. Alpatov το 1952, χρησιμοποιώντας 204 είδη αγγειακών φυτών, διαπίστωσε ότι το 93,2% των φυτικών ειδών ανήκει στον τύπο με L-, το 1,5% - με D-πήξη ελικοειδή πάχυνση των τοιχωμάτων των αιμοφόρων αγγείων, το 5,3% των ειδών - σε ρακεμικό τύπο (ο αριθμός των αγγείων D είναι περίπου ίσος με τον αριθμό των αγγείων L).

Κατά τη μελέτη των D- και L-bioobjects, βρέθηκε ότι η ισότητα μεταξύ Σχήματα D και Lσε ορισμένες περιπτώσεις, παραβιάζεται λόγω διαφορών στις φυσιολογικές, βιοχημικές και άλλες ιδιότητές τους. Αυτό το χαρακτηριστικό της ζωντανής φύσης ονομάστηκε ασυμμετρία της ζωής. Έτσι, η συναρπαστική επίδραση των L-αμινοξέων στην κίνηση του πλάσματος μέσα φυτικά κύτταραδεκάδες και εκατοντάδες φορές ανώτερη από το ίδιο αποτέλεσμα των μορφών D τους. Πολλά αντιβιοτικά (πενικιλλίνη, γραμμικιδίνη κ.λπ.) που περιέχουν D-αμινοξέα είναι πιο βακτηριοκτόνα από τις μορφές τους με L-αμινοξέα. Το πιο συνηθισμένο ζαχαρότευτλο L-kop σε σχήμα βίδας είναι 8-44% (ανάλογα με την ποικιλία) βαρύτερο και περιέχει 0,5-1% περισσότερη ζάχαρη από το D-kop.

Οι ζωές των ανθρώπων είναι γεμάτες συμμετρία. Είναι βολικό, όμορφο και δεν χρειάζεται να εφεύρουμε νέα πρότυπα. Τι είναι όμως πραγματικά και είναι τόσο όμορφο στη φύση όσο πιστεύεται συνήθως;

Συμμετρία

Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι προσπαθούσαν να οργανώσουν τον κόσμο γύρω τους. Ως εκ τούτου, μερικά πράγματα θεωρούνται όμορφα, και άλλα όχι τόσο πολύ. Από αισθητικής άποψης, οι χρυσές και ασημένιες αναλογίες θεωρούνται ελκυστικές, όπως φυσικά και η συμμετρία. Αυτός ο όρος έχει Ελληνικής καταγωγήςκαι κυριολεκτικά σημαίνει «αναλογικότητα». Φυσικά μιλάμε γιαόχι μόνο για τη σύμπτωση σε αυτή τη βάση, αλλά και για κάποιες άλλες. Με μια γενική έννοια, η συμμετρία είναι μια ιδιότητα ενός αντικειμένου όταν, ως αποτέλεσμα ορισμένων σχηματισμών, το αποτέλεσμα είναι ίσο με τα αρχικά δεδομένα. Βρίσκεται τόσο στη ζωντανή όσο και στην άψυχη φύση, καθώς και σε αντικείμενα φτιαγμένα από τον άνθρωπο.

Πρώτα απ 'όλα, ο όρος "συμμετρία" χρησιμοποιείται στη γεωμετρία, αλλά βρίσκει εφαρμογή σε πολλά επιστημονικά πεδία και η σημασία του παραμένει γενικά αμετάβλητη. Αυτό το φαινόμενο εμφανίζεται αρκετά συχνά και θεωρείται ενδιαφέρον, αφού αρκετά από τα είδη του, καθώς και στοιχεία, διαφέρουν. Η χρήση της συμμετρίας είναι επίσης ενδιαφέρουσα, γιατί δεν βρίσκεται μόνο στη φύση, αλλά και σε σχέδια σε ύφασμα, περιγράμματα κτιρίων και πολλά άλλα τεχνητά αντικείμενα. Αξίζει να εξετάσουμε αυτό το φαινόμενο με περισσότερες λεπτομέρειες, γιατί είναι εξαιρετικά συναρπαστικό.

Χρήση του όρου σε άλλα επιστημονικά πεδία

Στη συνέχεια, η συμμετρία θα εξεταστεί από γεωμετρική άποψη, αλλά αξίζει να σημειωθεί ότι δεδομένη λέξηχρησιμοποιείται όχι μόνο εδώ. Βιολογία, ιολογία, χημεία, φυσική, κρυσταλλογραφία - όλα αυτά είναι μια ελλιπής λίστα τομέων στους οποίους αυτό το φαινόμενοσπούδασε με διάφορες πλευρέςκαι στο διαφορετικές συνθήκες. Για παράδειγμα, η ταξινόμηση εξαρτάται από την επιστήμη στην οποία αναφέρεται αυτός ο όρος. Έτσι, η διαίρεση σε τύπους ποικίλλει πολύ, αν και ορισμένοι βασικοί, ίσως, παραμένουν αμετάβλητοι καθ' όλη τη διάρκεια.

Ταξινόμηση

Υπάρχουν διάφοροι κύριοι τύποι συμμετρίας, από τους οποίους τρεις είναι οι πιο συνηθισμένοι:

Επιπλέον, οι ακόλουθοι τύποι διακρίνονται επίσης στη γεωμετρία· είναι πολύ λιγότερο συνηθισμένοι, αλλά όχι λιγότερο ενδιαφέροντες:

ολίσθηση;
περιστροφικός;
σημείο;
προοδευτικός;
βίδα;
φράκταλ?
και τα λοιπά.

Στη βιολογία, όλα τα είδη ονομάζονται ελαφρώς διαφορετικά, αν και στην ουσία μπορεί να είναι τα ίδια. Η διαίρεση σε ορισμένες ομάδες γίνεται με βάση την παρουσία ή την απουσία, καθώς και την ποσότητα ορισμένων στοιχείων, όπως κέντρα, επίπεδα και άξονες συμμετρίας. Θα πρέπει να εξεταστούν χωριστά και με περισσότερες λεπτομέρειες.

Βασικά στοιχεία

Το φαινόμενο έχει ορισμένα χαρακτηριστικά, ένα από τα οποία είναι αναγκαστικά παρόν. Τα λεγόμενα βασικά στοιχεία περιλαμβάνουν επίπεδα, κέντρα και άξονες συμμετρίας. Ο τύπος καθορίζεται ανάλογα με την παρουσία, την απουσία και την ποσότητα τους.

Το κέντρο συμμετρίας είναι το σημείο μέσα σε ένα σχήμα ή κρύσταλλο στο οποίο συγκλίνουν οι γραμμές που συνδέουν σε ζεύγη όλες τις πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Φυσικά, δεν υπάρχει πάντα. Εάν υπάρχουν πλευρές στις οποίες δεν υπάρχει παράλληλο ζεύγος, τότε δεν μπορεί να βρεθεί τέτοιο σημείο, αφού δεν υπάρχει. Σύμφωνα με τον ορισμό, είναι προφανές ότι το κέντρο συμμετρίας είναι αυτό μέσω του οποίου ένα σχήμα μπορεί να αντανακλάται στον εαυτό του. Ένα παράδειγμα θα ήταν, για παράδειγμα, ένας κύκλος και ένα σημείο στη μέση του. Αυτό το στοιχείο συνήθως ορίζεται ως C.

Το επίπεδο συμμετρίας, φυσικά, είναι φανταστικό, αλλά είναι ακριβώς αυτό που χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη ίσα μεταξύ τους. Μπορεί να περάσει από μία ή περισσότερες πλευρές, να είναι παράλληλη με αυτήν ή να τις χωρίσει. Για το ίδιο σχήμα, πολλά επίπεδα μπορούν να υπάρχουν ταυτόχρονα. Αυτά τα στοιχεία συνήθως ορίζονται ως P.

Αλλά ίσως το πιο συνηθισμένο είναι αυτό που ονομάζεται «άξονας συμμετρίας». Αυτό είναι ένα κοινό φαινόμενο που μπορεί να παρατηρηθεί τόσο στη γεωμετρία όσο και στη φύση. Και αξίζει ξεχωριστής εξέτασης.

Άξονες

Συχνά το στοιχείο σε σχέση με το οποίο ένα σχήμα μπορεί να ονομαστεί συμμετρικό είναι

εμφανίζεται μια ευθεία γραμμή ή τμήμα. Σε κάθε περίπτωση, δεν μιλάμε για σημείο ή επίπεδο. Στη συνέχεια εξετάζονται τα στοιχεία. Μπορεί να υπάρχουν πολλά από αυτά και μπορούν να εντοπιστούν με οποιονδήποτε τρόπο: να χωρίζουν τις πλευρές ή να είναι παράλληλες με αυτές, καθώς και να τέμνονται γωνίες ή να μην το κάνουν. Οι άξονες συμμετρίας συνήθως ορίζονται ως L.

Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν ισοσκελές και Στην πρώτη περίπτωση, θα υπάρχει ένας κατακόρυφος άξονας συμμετρίας, στις δύο πλευρές του οποίου υπάρχουν ίσες όψεις, και στη δεύτερη, οι γραμμές θα τέμνουν κάθε γωνία και θα συμπίπτουν με όλες τις διχοτόμους, τις διάμεσους και τα υψόμετρα. Τα συνηθισμένα τρίγωνα δεν έχουν αυτό.

Παρεμπιπτόντως, το σύνολο όλων των παραπάνω στοιχείων στην κρυσταλλογραφία και τη στερεομετρία ονομάζεται βαθμός συμμετρίας. Αυτός ο δείκτης εξαρτάται από τον αριθμό των αξόνων, των επιπέδων και των κέντρων.

Παραδείγματα στη γεωμετρία

Συμβατικά, μπορούμε να χωρίσουμε ολόκληρο το σύνολο των αντικειμένων μελέτης των μαθηματικών σε σχήματα που έχουν άξονα συμμετρίας και σε εκείνα που δεν έχουν. Όλοι οι κύκλοι, τα οβάλ, καθώς και κάποιες ειδικές θήκες εμπίπτουν αυτόματα στην πρώτη κατηγορία, ενώ οι υπόλοιποι στη δεύτερη ομάδα.

Όπως και στην περίπτωση που μιλήσαμε για τον άξονα συμμετρίας ενός τριγώνου, αυτό το στοιχείο δεν υπάρχει πάντα για ένα τετράπλευρο. Για ένα τετράγωνο, ορθογώνιο, ρόμβο ή παραλληλόγραμμο είναι, αλλά για ένα ακανόνιστο σχήμα, κατά συνέπεια, δεν είναι. Για έναν κύκλο, ο άξονας συμμετρίας είναι το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το κέντρο του.

Επιπλέον, είναι ενδιαφέρον να εξετάσουμε τρισδιάστατα σχήματα από αυτή την άποψη. Εκτός από όλα τα κανονικά πολύγωνα και τη σφαίρα, ορισμένοι κώνοι, καθώς και πυραμίδες, παραλληλόγραμμα και κάποιοι άλλοι, θα έχουν τουλάχιστον έναν άξονα συμμετρίας. Κάθε περίπτωση πρέπει να εξετάζεται χωριστά.

Παραδείγματα στη φύση

Στη ζωή λέγεται διμερής, εμφανίζεται περισσότερο
συχνά. Κάθε άτομο και πολλά ζώα είναι ένα παράδειγμα αυτού. Το αξονικό ονομάζεται ακτινωτό και είναι πολύ λιγότερο κοινό, συνήθως σε χλωρίδα. Κι όμως υπάρχουν. Για παράδειγμα, αξίζει να σκεφτούμε πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα αστέρι και έχει καθόλου; Φυσικά, μιλάμε για θαλάσσια ζωή και όχι για το αντικείμενο μελέτης των αστρονόμων. Και η σωστή απάντηση θα ήταν: εξαρτάται από τον αριθμό των ακτίνων του αστεριού, για παράδειγμα πέντε, αν είναι πεντάκτινο.

Επιπλέον, ακτινική συμμετρία παρατηρείται σε πολλά λουλούδια: μαργαρίτες, αραβοσίτου, ηλίανθους κ.λπ. Παραδείγματα μεγάλο ποσό, βρίσκονται κυριολεκτικά παντού.

Αρρυθμία

Αυτός ο όρος, πρώτα απ 'όλα, θυμίζει περισσότερο την ιατρική και την καρδιολογία, αλλά αρχικά έχει μια ελαφρώς διαφορετική σημασία. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηένα συνώνυμο θα ήταν η «ασυμμετρία», δηλαδή η απουσία ή η παραβίαση της κανονικότητας με τη μια ή την άλλη μορφή. Μπορεί να θεωρηθεί ως ατύχημα, και μερικές φορές μπορεί να γίνει μια υπέροχη τεχνική, για παράδειγμα στην ένδυση ή την αρχιτεκτονική. Άλλωστε, υπάρχουν πολλά συμμετρικά κτίρια, αλλά το περίφημο έχει ελαφρώς κλίση, και παρόλο που δεν είναι το μόνο, είναι το πιο διάσημο παράδειγμα. Είναι γνωστό ότι αυτό συνέβη τυχαία, αλλά αυτό έχει τη δική του γοητεία.

Επιπλέον, είναι προφανές ότι ούτε τα πρόσωπα και τα σώματα των ανθρώπων και των ζώων είναι απολύτως συμμετρικά. Έχουν γίνει ακόμη και μελέτες που δείχνουν ότι τα «σωστά» πρόσωπα κρίνονται ως άψυχα ή απλά μη ελκυστικά. Ακόμα, η αντίληψη της συμμετρίας και αυτό το φαινόμενο από μόνο του είναι εκπληκτικά και δεν έχουν ακόμη μελετηθεί πλήρως, και ως εκ τούτου είναι εξαιρετικά ενδιαφέροντα.

Έστω g μια σταθερή γραμμή (Εικ. 191). Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο Χ και ας ρίξουμε την κάθετη ΑΧ στην ευθεία g. Στη συνέχεια της κάθετου πέρα από το σημείο Α, σχεδιάζουμε το τμήμα ΑΧ" ίσο με το τμήμα ΑΧ. Το σημείο Χ" ονομάζεται συμμετρικό προς το σημείο Χ ως προς την ευθεία g.

Αν ένα σημείο Χ βρίσκεται σε μια ευθεία g, τότε το συμμετρικό σημείο σε αυτό είναι το ίδιο το σημείο Χ. Προφανώς, το σημείο συμμετρικό προς το σημείο Χ" είναι ένα σημείο Χ.

Η μετατροπή ενός σχήματος F σε σχήμα F», στο οποίο κάθε σημείο του Χ πηγαίνει σε ένα σημείο Χ», συμμετρικό ως προς μια δεδομένη ευθεία g, ονομάζεται μετασχηματισμός συμμετρίας ως προς μια ευθεία γραμμή g. Στην περίπτωση αυτή, τα σχήματα F και F" ονομάζονται συμμετρικά ως προς την ευθεία g (Εικ. 192).

Εάν ένας μετασχηματισμός συμμετρίας σε σχέση με μια ευθεία g παίρνει ένα σχήμα F στον εαυτό του, τότε αυτό το σχήμα ονομάζεται συμμετρικό σε σχέση με μια ευθεία g και η ευθεία g ονομάζεται άξονας συμμετρίας του σχήματος.

Για παράδειγμα, οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου παράλληλες προς τις πλευρές του είναι οι άξονες συμμετρίας του ορθογωνίου (Εικ. 193). Οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι οι άξονες συμμετρίας του (Εικ. 194).

Θεώρημα 9.3. Ο μετασχηματισμός της συμμετρίας γύρω από μια ευθεία είναι μια κίνηση.

Απόδειξη. Ας πάρουμε αυτή την ευθεία ως τον άξονα y του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων (Εικ. 195). Έστω ένα αυθαίρετο σημείο A (x; y) του σχήματος F πηγαίνει στο σημείο A" (x"; y") του σχήματος F". Από τον ορισμό της συμμετρίας ως προς μια ευθεία γραμμή προκύπτει ότι τα σημεία Α και Α" έχουν ίσες τεταγμένες και τα τετμημένα διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο:

x"= -x.
Ας πάρουμε δύο αυθαίρετα σημεία A(x 1; y 1) και B (x 2; y 2) - Θα πάνε στα σημεία A" (- x 1, y 1) και B" (-x 2; y 2).

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

Από αυτό είναι σαφές ότι ΑΒ = Α "Β". Και αυτό σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός της συμμετρίας γύρω από μια ευθεία είναι κίνηση. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Επιστημονικό και πρακτικό συνέδριο

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα «Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης» ολοκληρωμένο σχολείοΝο. 23"

πόλη Vologda

ενότητα: φυσικές επιστήμες

σχεδιαστική και ερευνητική εργασία

ΕΙΔΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

Την εργασία ολοκλήρωσε ένας μαθητής της 8ης τάξης

Κρένεβα Μαργαρίτα

Επικεφαλής: ανώτερος καθηγητής μαθηματικών

έτος 2014

Δομή έργου:

1. Εισαγωγή.

2. Στόχοι και στόχοι του έργου.

3. Τύποι συμμετρίας:

3.1. Κεντρική συμμετρία;

3.2. Αξονική συμμετρία;

3.3. Συμμετρία καθρέφτη (συμμετρία ως προς ένα επίπεδο).

3.4. Περιστροφική συμμετρία;

3.5. Φορητή συμμετρία.

4. Συμπεράσματα.

Η συμμετρία είναι η ιδέα μέσω της οποίας ο άνθρωπος προσπάθησε για αιώνες να κατανοήσει και να δημιουργήσει τάξη, ομορφιά και τελειότητα.

G. Weil

Εισαγωγή.

Το θέμα της εργασίας μου επιλέχθηκε μετά από μελέτη της ενότητας «Αξονική και κεντρική συμμετρία» στο μάθημα «Γεωμετρία 8ης τάξης». Με ενδιέφερε πολύ αυτό το θέμα. Ήθελα να μάθω: ποιοι τύποι συμμετρίας υπάρχουν, πώς διαφέρουν μεταξύ τους, ποιες είναι οι αρχές κατασκευής συμμετρικές φιγούρεςσε κάθε τύπο.

Στόχος της εργασίας : Εισαγωγή σε διαφορετικούς τύπους συμμετρίας.

Καθήκοντα:

Μελετήστε τη βιβλιογραφία για αυτό το θέμα.

Συνοψίστε και συστηματοποιήστε το υλικό που μελετήθηκε.

Ετοιμάστε μια παρουσίαση.

Στην αρχαιότητα, η λέξη «ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ» χρησιμοποιήθηκε για να σημαίνει «αρμονία», «ομορφιά». Μετάφραση από τα ελληνικά, αυτή η λέξη σημαίνει «αναλογικότητα, αναλογικότητα, ομοιομορφία στη διάταξη των μερών ενός πράγματος σύμφωνα με αντίθετες πλευρέςαπό ένα σημείο, γραμμή ή επίπεδο.

Υπάρχουν δύο ομάδες συμμετριών.

Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει συμμετρία θέσεων, σχημάτων, δομών. Αυτή είναι η συμμετρία που φαίνεται άμεσα. Μπορεί να ονομαστεί γεωμετρική συμμετρία.

Η δεύτερη ομάδα χαρακτηρίζει τη συμμετρία φυσικά φαινόμενακαι τους νόμους της φύσης. Αυτή η συμμετρία βρίσκεται στην ίδια τη βάση της φυσικής επιστημονικής εικόνας του κόσμου: μπορεί να ονομαστεί φυσική συμμετρία.

Θα σταματήσω να μελετώγεωμετρική συμμετρία .

Με τη σειρά τους, υπάρχουν επίσης διάφοροι τύποι γεωμετρικής συμμετρίας: κεντρική, αξονική, καθρέφτη (συμμετρία σε σχέση με το επίπεδο), ακτινική (ή περιστροφική), φορητή και άλλα. Σήμερα θα εξετάσω 5 τύπους συμμετρίας.

Κεντρική συμμετρία

Δύο σημεία Α και Α 1 λέγονται συμμετρικά ως προς το σημείο Ο αν βρίσκονται σε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ο και βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςστην ίδια απόσταση από αυτό. Το σημείο Ο ονομάζεται κέντρο συμμετρίας.

Το σχήμα λέγεται ότι είναι συμμετρικό ως προς το σημείοΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ , αν για κάθε σημείο του σχήματος υπάρχει ένα σημείο συμμετρικό προς αυτό σε σχέση με το σημείοΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ανήκει επίσης σε αυτό το σχήμα. ΤελείαΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ονομάζεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, λένε ότι το σχήμα έχει κεντρική συμμετρία.

Παραδείγματα σχημάτων με κεντρική συμμετρία είναι ένας κύκλος και ένα παραλληλόγραμμο.

Τα σχήματα που εμφανίζονται στη διαφάνεια είναι συμμετρικά σε σχέση με ένα συγκεκριμένο σημείο

2. Αξονική συμμετρία

Δύο σημείαΧ Και Υ λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθείαt , αν αυτή η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος XY και είναι κάθετη σε αυτό. Πρέπει επίσης να πούμε ότι κάθε σημείο είναι μια ευθεία γραμμήt θεωρείται συμμετρικό με τον εαυτό του.

Ευθείαt - ΑΞΟΝΑΣ συμμετριας.

Το σχήμα λέγεται ότι είναι συμμετρικό ως προς μια ευθεία γραμμήt, αν για κάθε σημείο του σχήματος υπάρχει ένα σημείο συμμετρικό προς αυτό ως προς την ευθείαt ανήκει επίσης σε αυτό το σχήμα.

Ευθείαtπου ονομάζεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, το σχήμα λέγεται ότι έχει αξονική συμμετρία.

Μια γωνία που δεν έχει αναπτυχθεί, τα ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα, ένα ορθογώνιο και ένας ρόμβος έχουν αξονική συμμετρία.επιστολές (βλ. παρουσίαση).

Συμμετρία καθρέφτη (συμμετρία ως προς ένα επίπεδο)

Δύο σημεία Π 1 Και Τα P ονομάζονται συμμετρικά σε σχέση με το επίπεδο a εάν βρίσκονται σε ευθεία γραμμή κάθετη στο επίπεδο a και βρίσκονται στην ίδια απόσταση από αυτό

Συμμετρία καθρέφτη γνωστό σε κάθε άνθρωπο. Συνδέει οποιοδήποτε αντικείμενο και την αντανάκλασή του σε έναν επίπεδο καθρέφτη. Λένε ότι η μία φιγούρα είναι συμμετρική με την άλλη.

Σε ένα επίπεδο, μια φιγούρα με αμέτρητους άξονες συμμετρίας ήταν ένας κύκλος. Στο διάστημα, μια μπάλα έχει αμέτρητα επίπεδα συμμετρίας.

Αλλά αν ένας κύκλος είναι μοναδικός, τότε στον τρισδιάστατο κόσμο υπάρχει μια ολόκληρη σειρά σωμάτων με άπειρο αριθμό επιπέδων συμμετρίας: ένας ευθύς κύλινδρος με έναν κύκλο στη βάση, ένας κώνος με μια κυκλική βάση, μια μπάλα.

Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι κάθε συμμετρικό επίπεδο σχήμα μπορεί να ευθυγραμμιστεί με τον εαυτό του χρησιμοποιώντας έναν καθρέφτη. Είναι έκπληξη ότι τέτοια σύνθετες φιγούρες, όπως ένα πεντάκτινο αστέρι ή ένα ισόπλευρο πεντάγωνο, είναι επίσης συμμετρικά. Όπως προκύπτει από τον αριθμό των αξόνων, διακρίνονται από υψηλή συμμετρία. Και το αντίστροφο: δεν είναι τόσο εύκολο να καταλάβουμε γιατί ένα τέτοιο φαινομενικά κανονικό σχήμα, όπως ένα λοξό παραλληλόγραμμο, είναι ασύμμετρο.

4. Π περιστροφική συμμετρία (ή ακτινική συμμετρία)

Περιστροφική συμμετρία - αυτό είναι η συμμετρία, η διατήρηση του σχήματος ενός αντικειμένουόταν περιστρέφεται γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα μέσω γωνίας ίσης με 360°/n(ή πολλαπλάσιο αυτής της τιμής), όπουn= 2, 3, 4, … Ο υποδεικνυόμενος άξονας ονομάζεται περιστροφικός άξοναςn-η σειρά.

Στοn=2 όλα τα σημεία του σχήματος περιστρέφονται υπό γωνία 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) γύρω από τον άξονα, ενώ διατηρείται το σχήμα του σχήματος, δηλ. κάθε σημείο του σχήματος πηγαίνει σε ένα σημείο του ίδιου σχήματος (το σχήμα μεταμορφώνεται στον εαυτό του). Ο άξονας ονομάζεται άξονας δεύτερης τάξης.

Το σχήμα 2 δείχνει έναν άξονα τρίτης τάξης, Σχήμα 3 - 4η τάξη, Εικόνα 4 - 5η τάξη.

Ένα αντικείμενο μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες περιστροφής: Εικ. 1 - 3 άξονες περιστροφής, Εικ. 2 - 4 άξονες, Εικ. 3 - 5 άξονες, Εικ. 4 – μόνο 1 άξονας

Τα γνωστά γράμματα "I" και "F" έχουν περιστροφική συμμετρία. Εάν περιστρέψετε το γράμμα "I" κατά 180° γύρω από έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο του γράμματος και που διέρχεται από το κέντρο του, το γράμμα θα ευθυγραμμιστεί με τον εαυτό του. Με άλλα λόγια, το γράμμα "I" είναι συμμετρικό ως προς μια περιστροφή 180°, 180°= 360°: 2,n=2, που σημαίνει ότι έχει συμμετρία δεύτερης τάξης.

Σημειώστε ότι το γράμμα "F" έχει επίσης περιστροφική συμμετρία δεύτερης τάξης.

Επιπλέον, το γράμμα έχει κέντρο συμμετρίας και το γράμμα F έχει άξονα συμμετρίας

Ας επιστρέψουμε σε παραδείγματα από τη ζωή: ένα ποτήρι, ένα κιλό παγωτό σε σχήμα κώνου, ένα κομμάτι σύρμα, ένα σωλήνα.

Αν ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτά τα σώματα, θα παρατηρήσουμε ότι όλα τους, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, αποτελούνται από έναν κύκλο, μέσα από έναν άπειρο αριθμό αξόνων συμμετρίας υπάρχουν αμέτρητα επίπεδα συμμετρίας. Τα περισσότερα από αυτά τα σώματα (ονομάζονται σώματα περιστροφής) έχουν, φυσικά, ένα κέντρο συμμετρίας (το κέντρο ενός κύκλου), από το οποίο διέρχεται τουλάχιστον ένας περιστροφικός άξονας συμμετρίας.

Για παράδειγμα, ο άξονας του χωνιού παγωτού φαίνεται καθαρά. Τρέχει από τη μέση του κύκλου (που κολλάει έξω από το παγωτό!) μέχρι το αιχμηρό άκρο του χωνιού του χωνιού. Αντιλαμβανόμαστε το σύνολο των στοιχείων συμμετρίας ενός σώματος ως ένα είδος μέτρου συμμετρίας. Η μπάλα, χωρίς αμφιβολία, από άποψη συμμετρίας, είναι μια αξεπέραστη ενσάρκωση της τελειότητας, ένα ιδανικό. Οι αρχαίοι Έλληνες το αντιλαμβάνονταν ως το πιο τέλειο σώμα και τον κύκλο, φυσικά, ως την πιο τέλεια επίπεδη φιγούρα.

Για να περιγράψουμε τη συμμετρία ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, είναι απαραίτητο να υποδείξουμε όλους τους άξονες περιστροφής και τη σειρά τους, καθώς και όλα τα επίπεδα συμμετρίας.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα γεωμετρικό σώμα που αποτελείται από δύο πανομοιότυπες κανονικές τετραγωνικές πυραμίδες.

Έχει έναν περιστροφικό άξονα 4ης τάξης (άξονας ΑΒ), τέσσερις περιστροφικούς άξονες 2ης τάξης (άξονες CE,DF, βουλευτής, NQ), πέντε επίπεδα συμμετρίας (επίπεδαCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Φορητή συμμετρία

Ένας άλλος τύπος συμμετρίας είναιφορητός Με συμμετρία.

Μια τέτοια συμμετρία αναφέρεται όταν, όταν μετακινείται ένα σχήμα κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής σε κάποια απόσταση "a" ή μια απόσταση που είναι πολλαπλάσιο αυτής της τιμής, συμπίπτει με τον εαυτό του Η ευθεία γραμμή κατά μήκος της οποίας γίνεται η μεταφορά ονομάζεται άξονας μεταφοράς και η απόσταση "a" ονομάζεται στοιχειώδης μεταφορά, περίοδος ή βήμα συμμετρίας.

ΕΝΑ

Ένα περιοδικά επαναλαμβανόμενο μοτίβο σε μια μακριά λωρίδα ονομάζεται περίγραμμα. Στην πράξη τα περιγράμματα συναντώνται σε διάφορες μορφές (τοιχογραφία, χυτοσίδηρος, γύψινα ανάγλυφα ή κεραμικά). Τα σύνορα χρησιμοποιούνται από ζωγράφους και καλλιτέχνες όταν διακοσμούν ένα δωμάτιο. Για να φτιάξετε αυτά τα στολίδια, γίνεται ένα στένσιλ. Μετακινούμε το στένσιλ, αναποδογυρίζοντάς το ή όχι, χαράσσοντας το περίγραμμα, επαναλαμβάνοντας το σχέδιο και παίρνουμε ένα στολίδι (οπτική επίδειξη).

Το περίγραμμα είναι εύκολο να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας ένα στένσιλ (το αρχικό στοιχείο), μετακινώντας ή αναποδογυρίζοντας το και επαναλαμβάνοντας το σχέδιο. Το σχήμα δείχνει πέντε τύπους στένσιλ:ΕΝΑ ) ασύμμετρη?προ ΧΡΙΣΤΟΥ ) με έναν άξονα συμμετρίας: οριζόντιο ή κατακόρυφο.σολ ) κεντρικά συμμετρικό?ρε ) με δύο άξονες συμμετρίας: κάθετο και οριζόντιο.

Για την κατασκευή περιγραμμάτων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί:

ΕΝΑ ) παράλληλη μεταφορά?σι ) συμμετρία ως προς τον κατακόρυφο άξονα.V ) κεντρική συμμετρία.σολ ) συμμετρία ως προς τον οριζόντιο άξονα.

Μπορείτε να φτιάξετε πρίζες με τον ίδιο τρόπο. Για να γίνει αυτό, ο κύκλος χωρίζεται σεn ίσους τομείς, σε ένα από αυτά εκτελείται ένα δείγμα μοτίβο και στη συνέχεια το τελευταίο επαναλαμβάνεται διαδοχικά στα υπόλοιπα μέρη του κύκλου, περιστρέφοντας το σχέδιο κάθε φορά κατά γωνία 360°/n .

Ένα σαφές παράδειγμα χρήσης αξονικής και φορητής συμμετρίας είναι ο φράκτης που φαίνεται στη φωτογραφία.

Συμπέρασμα: Έτσι, υπάρχουν διαφορετικά είδηοι συμμετρίες, τα συμμετρικά σημεία σε καθένα από αυτά τα είδη συμμετρίας κατασκευάζονται σύμφωνα με ορισμένους νόμους. Στη ζωή, συναντάμε ένα είδος συμμετρίας παντού, και συχνά στα αντικείμενα που μας περιβάλλουν, μπορούν να σημειωθούν αρκετοί τύποι συμμετρίας ταυτόχρονα. Αυτό δημιουργεί τάξη, ομορφιά και τελειότητα στον κόσμο γύρω μας.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

Εγχειρίδιο Μαθηματικών Δημοτικού. M.Ya. Vygodsky. – Εκδοτικός οίκος «Nauka». - Μόσχα 1971 – 416 σελίδες.

Σύγχρονο λεξικό ξένες λέξεις. - Μ.: Ρωσική γλώσσα, 1993.

Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείοIX - Χτάξεις. Γ.Ι. Γκλέιζερ. – Εκδοτικός οίκος «Prosveshcheniye». - Μόσχα 1983 – 351 σελίδες.

Εικαστική γεωμετρία Ε ́ – ΣΤ ́ τάξεις. ΑΝ. Sharygin, L.N. Εργκανζίεβα. – Εκδοτικός οίκος «Δρόφα», Μόσχα 2005. – 189 σελίδες

Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. Βιολογία. S. Ismailova. – Εκδοτικός Οίκος Avanta+. - Μόσχα 1997 – 704 σελίδες.

Urmantsev Yu.A. Συμμετρία της φύσης και η φύση της συμμετρίας - Μ.: Μυσλ arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/