Κατά την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας από το Unified State Exam και το Unified State Exam στα μαθηματικά, αρκετά συχνά προκύπτει η ανάγκη, γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός τριγώνου και τη γωνία μεταξύ τους, να βρούμε την τρίτη πλευρά. Ή, γνωρίζοντας όλες τις πλευρές ενός τριγώνου, βρείτε τις γωνίες του. Για να λύσετε αυτά τα προβλήματα θα χρειαστείτε την τιμή του θεωρήματος συνημιτόνου για ένα τρίγωνο. Σε αυτό το άρθρο, ένας δάσκαλος μαθηματικών και φυσικής μιλά για το πώς αυτό το θεώρημα διατυπώνεται, αποδεικνύεται και εφαρμόζεται στην πράξη κατά την επίλυση προβλημάτων.
Διατύπωση του θεωρήματος συνημιτόνου για ένα τρίγωνο
Το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο συσχετίζει τις δύο πλευρές ενός τριγώνου και τη μεταξύ τους γωνία με την πλευρά απέναντι από αυτήν τη γωνία. Για παράδειγμα, ας υποδηλώσουμε με τα γράμματα και τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αλφάβητο, που βρίσκεται αντίστοιχα απέναντι από τις γωνίες ΕΝΑ, σιΚαι ντο.
Τότε το θεώρημα συνημιτόνου για αυτό το τρίγωνο μπορεί να γραφτεί ως:
Στο σχήμα, για τη διευκόλυνση της περαιτέρω συζήτησης, η γωνία ΜΕυποδεικνύεται από γωνία. Με λόγια αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: «Το τετράγωνο οποιασδήποτε πλευράς του τριγώνου ίσο με το άθροισματετράγωνα των άλλων δύο πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.»
Είναι σαφές ότι αν εκφράζατε την άλλη πλευρά του τριγώνου, για παράδειγμα, πλευρά, τότε στον τύπο θα έπρεπε να πάρετε το συνημίτονο της γωνίας ΕΝΑ, δηλαδή να βρίσκεται απέναντι από την επιθυμητή πλευρά στο τρίγωνο, και στα δεξιά στην εξίσωση οι πλευρές και θα ήταν στις θέσεις τους. Η έκφραση για το τετράγωνο της πλευράς λαμβάνεται με παρόμοιο τρόπο:
Απόδειξη του θεωρήματος συνημιτόνου για ένα τρίγωνο
Η απόδειξη του θεωρήματος συνημιτόνου για ένα τρίγωνο γίνεται συνήθως ως εξής. Διαχωρίζουν το αρχικό τρίγωνο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα με ύψος και στη συνέχεια παίζουν με τις πλευρές των τριγώνων που προκύπτουν και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ως αποτέλεσμα, μετά από μακροχρόνιες κουραστικές μεταμορφώσεις παίρνω επιθυμητό αποτέλεσμα. Προσωπικά δεν μου αρέσει αυτή η προσέγγιση. Και όχι μόνο λόγω των δυσκίνητων υπολογισμών, αλλά και επειδή σε αυτή την περίπτωση πρέπει να εξετάσουμε χωριστά την περίπτωση που το τρίγωνο είναι αμβλύ. Υπάρχουν πάρα πολλές δυσκολίες.
Προτείνω να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα χρησιμοποιώντας την έννοια του «βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων». Παίρνω συνειδητά αυτό το ρίσκο για τον εαυτό μου, γνωρίζοντας ότι πολλοί μαθητές προτιμούν να αποφεύγουν αυτό το θέμα, πιστεύοντας ότι είναι κατά κάποιο τρόπο θολό και είναι καλύτερα να μην ασχοληθώ με αυτό. Αλλά η απροθυμία να ασχοληθώ ξεχωριστά με ένα αμβλύ τρίγωνο εξακολουθεί να με κυριεύει. Επιπλέον, η προκύπτουσα απόδειξη αποδεικνύεται εκπληκτικά απλή και αξέχαστη. Τώρα θα το δείτε αυτό.
Ας αντικαταστήσουμε τις πλευρές του τριγώνου μας με τα ακόλουθα διανύσματα:
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο αλφάβητο. Το τετράγωνο μιας πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:
Αφού το αποτέλεσμα είναι:
Που σημαίνει, . Είναι σαφές ότι δεν παίρνουμε αρνητική λύση, γιατί το μήκος του τμήματος είναι θετικός αριθμός.
Η απαιτούμενη γωνία υποδεικνύεται στο σχήμα. Ας ξαναγράψουμε το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο αλφάβητο. Δεδομένου ότι έχουμε διατηρήσει όλη τη σημείωση, ο τύπος που εκφράζει το θεώρημα συνημιτόνου για αυτό το τρίγωνο θα παραμείνει ο ίδιος:
Ας αντικαταστήσουμε τώρα σε αυτόν τον τύπο όλες τις ποσότητες που δίνονται. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση:
Μετά από όλους τους υπολογισμούς και τους μετασχηματισμούς παίρνουμε την ακόλουθη απλή έκφραση:
Ποια πρέπει να είναι η τιμή οξεία γωνία, ώστε το συνημίτονο του να είναι ίσο με Κοιτάμε τον πίνακα που βρίσκεται στο και παίρνουμε την απάντηση: .
Έτσι λύνονται προβλήματα γεωμετρίας χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο. Εάν πρόκειται να λάβετε μέρος στην OGE ή στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, τότε σίγουρα πρέπει να κατακτήσετε αυτό το υλικό. Σχετικά προβλήματα είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα υπάρξουν στις εξετάσεις. Εξασκηθείτε να τα λύσετε μόνοι σας. Ολοκληρώστε τις παρακάτω εργασίες:
- Σε τρίγωνο αλφάβητοπλευρά ΑΒίσο με 4 cm, πλευρά ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.ίσο με 6 cm, γωνία σιίσο με 30°. Βρείτε την πλευρά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ..
- Σε τρίγωνο αλφάβητοπλευρά ΑΒίσο με 10, πλευρά ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.ίσο με 8, πλευρά ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.ισούται με 9. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ΕΝΑ.
Γράψτε τις απαντήσεις και τις λύσεις σας στα σχόλια. Καλή σου τύχη!
Υλικό που ετοίμασε ο Σεργκέι Βαλέριεβιτς
Διατύπωση:Το τετράγωνο μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.
Για ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC και του πλευρές α, βκαι c (απέναντι από τις αντίστοιχες κορυφές) αυτή η ισότητα μπορεί να γραφτεί για τις άλλες δύο πλευρές:
Το θεώρημα συνημιτόνου χρησιμοποιείται για την επίλυση τριγώνων σε δύο κύριες καταστάσεις:
1) Όταν δίνονται δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους και πρέπει να βρείτε την τελευταία πλευρά: 
2) Όταν δίνονται και οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου και πρέπει να βρείτε τις γωνίες του: 
Μερικές φορές ένας καθηγητής μαθηματικών συνιστά τη χρήση του θεωρήματος συνημιτόνου σε ένα πρόβλημα με δύο δεδομένες πλευρές και μια γωνία που δεν βρίσκεται μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση α) θα πρέπει να αποφασίσετε τετραγωνική εξίσωσηκαι επιλέξτε το μήκος της πραγματικής πλευράς από τις ρίζες που προκύπτουν. β) αυτή η κατάσταση δεν είναι τυπική για προβλήματα με την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, καθώς δεν ορίζει πάντα ένα τρίγωνο με μοναδικό τρόπο. Εάν η γωνία δεν βρίσκεται μεταξύ των πλευρών, τότε χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα μπορείτε να κατασκευάσετε δύο διαφορετικά τρίγωνα με τέτοια στοιχεία.
Το θεώρημα συνημιτόνου μερικές φορές ονομάζεται εκτεταμένο πυθαγόρειο θεώρημα ή γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος, επειδή σε γωνία 90 μοιρών, οι παραπάνω ισότητες αποδίδουν . Όπως κάθε γενίκευση, είναι πολύ πιο καθολική και αποτελεσματική από μια συγκεκριμένη περίπτωση και ισχύει περισσότερο πραγματικές καταστάσεις(σε αντίθεση με τα τεχνητά προβλήματα της Κρατικής Εξέτασης και της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά, σχεδιασμένα για το πρόγραμμα της 8ης τάξης).
Όλες οι αποδείξεις που γνωρίζω περιλαμβάνουν διανύσματα και συντεταγμένες. Στο εγχειρίδιο του Atanasyan, πραγματοποιείται μέσω των συντεταγμένων των σημείων και στο εγχειρίδιο του Pogorelov, χρησιμοποιείται η έννοια του "κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων". Ας πραγματοποιήσουμε την απόδειξη σύμφωνα με τον Atanasyan. Μου φαίνεται ότι είναι πιο κατάλληλο για έναν καθηγητή μαθηματικών να συνεργαστεί, αφού έχει λιγότερη εξάρτηση από γειτονικά θέματα. 
Ας αποδείξουμε την ισότητα για την πλευρά ΕΝΑκαι γωνία ΕΝΑ. Για να γίνει αυτό, εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα (ο άξονας Ox κατευθύνεται κατά μήκος της πλευράς AC). Το σημείο Β θα λάβει τότε τις συντεταγμένες Β (cCosA;cSinA). Αυτό είναι το μόνο γεγονός που είναι δύσκολο για έναν αδύναμο ή μέσο μαθητή, το οποίο ένας δάσκαλος μαθηματικών που εργάζεται από το εγχειρίδιο του Atanasyan θα πρέπει να εξετάσει ξεχωριστά. Συχνά είναι πολύπλοκο λόγω του γεγονότος ότι δεν υποστηρίζεται από επαρκή αριθμό εργασιών στο πρόγραμμα και δεν χρησιμοποιείται μετά τη μελέτη του θεωρήματος του συνημιτόνου. Στην περίπτωση αυτής της διάταξης σημείων (όταν είναι οξεία), ένας καθηγητής μαθηματικών χρειάζεται μόνο να αναφερθεί στον ορισμό του συνημιτόνου και του ημιτόνου οξείας γωνίας σε ορθογώνια τρίγωνα με διακεκομμένες πλευρές.
Η περαιτέρω απόδειξη βασίζεται σε αλγεβρικούς και τριγωνομετρικούς υπολογισμούς. Σε αυτά πρέπει να προσθέσετε γνώση του τύπου απόσταση μεταξύ δύο σημείων.
Εφαρμόζουμε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού στο τετράγωνο του αθροίσματος:
Το βάζουμε εκτός παρένθεσης: . Χρησιμοποιούμε το βασικό τριγωνομετρική ταυτότητακαι παίρνουμε
και στο τέλος
Ένας καθηγητής μαθηματικών μπορεί να δείξει σε έναν περίεργο μαθητή μια σπάνια απόδειξη του θεωρήματος συνημιτόνου. 
Ας σχεδιάσουμε το ύψος BH στο τρίγωνο ABC και γράψουμε AB=AH+HB ή c=bCosA+aCosB. Αν η γωνία Β είναι αμβλεία, τότε AB = AN-HB και λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι τα συνημίτονα γειτονικών γωνιών είναι αντίθετα, παίρνουμε πάλι την ισότητα c = bCosA + aCosB. Επομένως, δεν εξαρτάται από τον τύπο του τριγώνου. Ας γράψουμε παρόμοιους τύπους για το a και το b:
a=cCosB+bCosC και b=aCosC+cCosA. Πολλαπλασιάζοντας τα με τα a και b αντίστοιχα και αφαιρώντας από το άθροισμά τους την ισότητα c=bCosA+aCosB παίρνουμε την ισότητα
Το τόρεμα των συνημιτόνων μας επιτρέπει να εξηγήσουμε μια ιδιότητα των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που είναι πολύ χρήσιμη στην πράξη: 
Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των πλευρών του. Για να επαληθευτεί αυτό, αρκεί να γράψουμε το θεώρημα συνημιτόνου για κάθε διαγώνιο και να προσθέσουμε τις ισότητες που προκύπτουν.
Παραδείγματα προβλημάτων στα οποία με τον ένα ή τον άλλο τρόπο μπορείτε (ή χρειάζεται) να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συνημιτόνου:
1) Σε ένα τρίγωνο με πλευρές 2,3 και 4, βρείτε το μήκος της μέσης που τραβιέται στη μακρύτερη πλευρά.
2) Στο ίδιο τρίγωνο, βρείτε το μήκος της διχοτόμου που τραβιέται στη μεγαλύτερη πλευρά.
3) Στο τρίγωνο ABC, το τμήμα που συνδέει τα μέσα AB και BC είναι ίσο με 3 dm, η πλευρά AB είναι ίση με 7 dm, η γωνία C είναι ίση με . Βρείτε τον ήλιο.
4) Κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένο μέσα ορθογώνιο τρίγωνοΤο ΑΒΓ με ορθή γωνία Γ βρίσκεται σε απόσταση από τις κορυφές Α και Β. Τοποθετήστε τα σκέλη του τριγώνου.
Η πλήρης προετοιμασία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά είναι αδύνατη χωρίς την επίλυση προβλημάτων στο θεώρημα του συνημιτόνου. ΣΕ έκδοση της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςμπορεί να βρεθεί είτε στο δωμάτιο Β4 είτε στο Γ4. Σταδιακά, θα μεταφέρω ενδιαφέρουσες εργασίες C4 από τη διδακτική μου βάση και από τις δοκιμαστικές εξετάσεις στη σελίδα. Καθηγητές, μην ξεχνάτε ότι στο GIA, όπως και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση, το θεώρημα του συνημιτόνου μπορεί να εμφανιστεί τόσο στο πρώτο όσο και στο δεύτερο μέρος της παραλλαγής.
Kolpakov Alexander Nikolaevich,
καθηγητής μαθηματικών στη Μόσχα. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Εάν το πρόβλημα δίνει τα μήκη δύο πλευρών ενός τριγώνου και τη γωνία μεταξύ τους, τότε μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω του ημιτονοειδούς.
Ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου με χρήση ημιτονοειδούς. Οι πλευρές που δίνονται είναι a = 3, b = 4 και η γωνία γ = 30°. Το ημίτονο γωνίας 30° είναι 0,5 
Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι 3 τετραγωνικά μέτρα. εκ.
Μπορεί επίσης να υπάρχουν και άλλες προϋποθέσεις. Εάν δίνεται το μήκος μιας πλευράς και οι γωνίες, τότε πρώτα πρέπει να υπολογίσετε τη γωνία που λείπει. Επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°, τότε:
Το εμβαδόν θα είναι ίσο με το μισό του τετραγώνου της πλευράς πολλαπλασιαζόμενο με το κλάσμα. Ο αριθμητής του είναι το γινόμενο των ημιτόνων γειτονικών γωνιών και ο παρονομαστής του είναι το ημίτονο της αντίθετης γωνίας. Τώρα υπολογίζουμε το εμβαδόν χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους:
Για παράδειγμα, δίνεται ένα τρίγωνο με πλευρά a=3 και γωνίες γ=60°, β=60°. Υπολογίστε την τρίτη γωνία: 
Αντικατάσταση των δεδομένων στον τύπο
Διαπιστώνουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι 3,87 τετραγωνικά μέτρα. εκ.
II. Εμβαδόν τριγώνου μέσω συνημιτόνου
Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τα μήκη όλων των πλευρών. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, μπορείτε να βρείτε άγνωστες πλευρές και μόνο τότε να τις χρησιμοποιήσετε.
Σύμφωνα με το θεώρημα του συνημιτόνου, το τετράγωνο της άγνωστης πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των υπόλοιπων πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.
Από το θεώρημα εξάγουμε τύπους για την εύρεση του μήκους της άγνωστης πλευράς:
Γνωρίζοντας πώς να βρείτε την πλευρά που λείπει, έχοντας δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την περιοχή. Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου μέσω του συνημιτόνου βοηθά στη γρήγορη και εύκολη εύρεση λύσεων σε διάφορα προβλήματα.
Ένα παράδειγμα υπολογισμού του τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου με χρήση συνημιτόνου
Δίνεται τρίγωνο με γνωστά κόμματα a = 3, b = 4, και γωνία γ = 45°. Αρχικά, ας βρούμε την πλευρά που λείπει Με. Συνημίτονο 45°=0,7. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τα δεδομένα στην εξίσωση που προκύπτει από το θεώρημα του συνημιτόνου.
Τώρα χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςπροκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Η τριγωνομετρία χρησιμοποιείται ευρέως όχι μόνο στην ενότητα της άλγεβρας - την αρχή της ανάλυσης, αλλά και στη γεωμετρία. Από αυτή την άποψη, είναι λογικό να υποθέσουμε την ύπαρξη θεωρημάτων και τις αποδείξεις τους που σχετίζονται με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Πράγματι, τα θεωρήματα των συνημιτόνων και των ημιτόνων αντλούν πολύ ενδιαφέρουσες, και κυρίως χρήσιμες, σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των τριγώνων.
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να εξαγάγετε οποιαδήποτε από τις πλευρές του τριγώνου:
Η απόδειξη της πρότασης προκύπτει με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.
Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC. Από την κορυφή Γ κατεβάζουμε το ύψος h στη βάση του σχήματος, στο σε αυτήν την περίπτωσηΤο μήκος του δεν είναι απολύτως σημαντικό. Τώρα, αν θεωρήσουμε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ACB, τότε μπορούμε να εκφράσουμε τις συντεταγμένες του σημείου C ως τριγωνομετρικό συναρτήσεις cosκαι αμαρτία.
Ας θυμηθούμε τον ορισμό του συνημιτόνου και ας γράψουμε τον λόγο των πλευρών του τριγώνου ACD: cos α = AD/AC | πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ισότητας με AC. AD = AC * cos α.
Παίρνουμε το μήκος AC ως b και παίρνουμε μια έκφραση για την πρώτη συντεταγμένη του σημείου C:
x = b * cosα. Ομοίως, βρίσκουμε την τιμή της τεταγμένης C: y = b * sin α. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και εκφράζουμε το h εναλλάξ για το τρίγωνο ACD και DCB:
Είναι προφανές ότι και οι δύο εκφράσεις (1) και (2) είναι ίσες μεταξύ τους. Ας εξισώσουμε τις δεξιές πλευρές και ας παρουσιάσουμε παρόμοιες:
Στην πράξη, αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε το μήκος της άγνωστης πλευράς ενός τριγώνου από δεδομένες γωνίες. Το θεώρημα συνημιτόνου έχει τρεις συνέπειες: για άμεση, οξεία και αμβλεία γωνίατρίγωνο.
Ας αντικαταστήσουμε την τιμή του cos α με τη συνήθη μεταβλητή x, τότε για την οξεία γωνία του τριγώνου ABC λαμβάνουμε:
Εάν η γωνία αποδειχθεί ορθή, τότε το 2bx θα εξαφανιστεί από την παράσταση, αφού cos 90° = 0. Γραφικά, η δεύτερη συνέπεια μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
Στην περίπτωση μιας αμβλείας γωνίας, το σύμβολο "-" πριν από το διπλό όρισμα στον τύπο θα αλλάξει σε "+":
Όπως φαίνεται από την εξήγηση, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στις σχέσεις. Το θεώρημα συνημιτόνου δεν είναι τίποτα άλλο από μια μετάφραση του Πυθαγόρειου θεωρήματος σε τριγωνομετρικά μεγέθη.
Πρακτική εφαρμογή του θεωρήματος
Ασκηση 1. Δίνεται ένα τρίγωνο ABC, του οποίου η πλευρά BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm, και cos α = ½. Πρέπει να βρείτε το μήκος της πλευράς ΑΒ.
Για να κάνετε σωστά τον υπολογισμό, πρέπει να προσδιορίσετε τη γωνία α. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να ανατρέξετε στον πίνακα τιμών για τριγωνομετρικές συναρτήσεις, σύμφωνα με την οποία το συνημίτονο τόξου είναι ίσο με 1/2 για γωνία 60°. Με βάση αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο της πρώτης συνέπειας του θεωρήματος:
Εργασία 2. Για το τρίγωνο ABC, όλες οι πλευρές είναι γνωστές: AB =4√2,BC=5,AC=7. Πρέπει να βρείτε όλες τις γωνίες του σχήματος.
Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς σχέδιο των συνθηκών του προβλήματος.
Δεδομένου ότι οι τιμές γωνίας παραμένουν άγνωστες, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε πλήρης φόρμουλαγια οξεία γωνία.
Κατ' αναλογία, δεν είναι δύσκολο να δημιουργηθούν τύποι και να υπολογιστούν οι τιμές άλλων γωνιών:
Το άθροισμα των τριών γωνιών του τριγώνου πρέπει να είναι 180°: 53 + 82 + 45 = 180, επομένως, η λύση έχει βρεθεί.
Θεώρημα ημιτόνων
Το θεώρημα δηλώνει ότι όλες οι πλευρές ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ανάλογες με τα ημίτονο των απέναντι γωνιών. Οι σχέσεις γράφονται με τη μορφή τριπλής ισότητας:
Η κλασική απόδειξη της δήλωσης πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός σχήματος εγγεγραμμένο σε κύκλο.
Για να επαληθεύσετε την ακρίβεια της δήλωσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του τριγώνου ABC στο σχήμα, είναι απαραίτητο να επιβεβαιώσετε το γεγονός ότι 2R = BC / sin A. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι άλλες πλευρές σχετίζονται με τα ημίτονο αντίθετων γωνιών, όπως 2R ή Δ ενός κύκλου.
Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε τη διάμετρο του κύκλου από την κορυφή Β. Από την ιδιότητα των γωνιών που εγγράφονται σε κύκλο, το ∠GCB είναι μια ευθεία γραμμή και το ∠CGB είναι είτε ίσο με ∠CAB είτε (π - ∠CAB). Στην περίπτωση του ημιτονοειδούς, η τελευταία περίσταση δεν είναι σημαντική, αφού αμαρτία (π –α) = αμαρτία α. Με βάση τα παραπάνω συμπεράσματα, μπορούμε να πούμε ότι:
sin ∠CGB = BC/ BG ή sin A = BC/2R,
Αν εξετάσουμε άλλες γωνίες του σχήματος, λαμβάνουμε έναν εκτεταμένο τύπο για το θεώρημα των ημιτόνων:
Οι τυπικές εργασίες για την εξάσκηση του θεωρήματος του ημιτόνου καταλήγουν στην εύρεση μιας άγνωστης πλευράς ή γωνίας ενός τριγώνου.
Όπως φαίνεται από τα παραδείγματα, η επίλυση τέτοιων προβλημάτων δεν είναι δύσκολη και συνίσταται στη διενέργεια μαθηματικών υπολογισμών.