U fizici se trokutasta prizma napravljena od stakla često koristi za proučavanje spektra bijelo svjetlo, budući da je sposoban da ga razloži na pojedinačne komponente. U ovom članku ćemo razmotriti formulu volumena

Šta je trouglasta prizma?

Prije nego što damo formulu volumena, razmotrimo svojstva ove figure.

Da biste to dobili, trebate uzeti trokut bilo kojeg oblika i pomaknuti ga paralelno sa sobom na određenu udaljenost. Vrhovi trougla u početnoj i krajnjoj poziciji trebaju biti povezani ravnim segmentima. Dobivena volumetrijska figura naziva se trokutasta prizma. Sastoji se od pet strana. Dvije od njih se nazivaju bazama: one su paralelne i jednake jedna drugoj. Osnove dotične prizme su trouglovi. Tri preostale stranice su paralelogrami.

Pored stranica, dotičnu prizmu karakterizira šest vrhova (po tri za svaku osnovu) i devet ivica (6 rubova leži u ravninama osnova, a 3 ivice su formirane presjekom stranica). Ako su bočni rubovi okomiti na baze, tada se takva prizma naziva pravokutna.

Razlika trouglasta prizma od svih ostalih figura ove klase je da je uvijek konveksna (četvoro-, peto-, ..., n-ugaone prizme također mogu biti konkavne).

Ovo je pravougaona figura sa jednakostraničnim trouglom u osnovi.

Volumen opće trouglaste prizme

Kako pronaći zapreminu trouglaste prizme? Formula in opšti pogled slično kao za bilo koju vrstu prizme. Ima sljedeću matematičku notaciju:

Ovdje je h visina figure, odnosno udaljenost između njegovih baza, S o je površina trokuta.

Vrijednost S o može se naći ako su poznati neki parametri za trokut, na primjer, jedna stranica i dva ugla ili dvije stranice i jedan ugao. Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove visine i dužine stranice za koju se ta visina spušta.

Što se tiče visine h figure, najlakše ju je pronaći za pravokutnu prizmu. U potonjem slučaju, h se poklapa sa dužinom bočne ivice.

Volumen pravilne trouglaste prizme

Opća formula za volumen trokutaste prizme, koja je data u prethodni odeljakČlanak se može koristiti za izračunavanje odgovarajuće vrijednosti za pravilnu trouglastu prizmu. Pošto mu je osnova jednakostraničan trokut, njegova površina je jednaka:

Svatko može dobiti ovu formulu ako zapamti da su u jednakostraničnom trokutu svi uglovi međusobno jednaki i iznose 60 o. Ovdje je simbol a dužina stranice trougla.

Visina h je dužina ivice. To nema nikakve veze sa fondacijom ispravna prizma i može uzeti proizvoljne vrijednosti. Kao rezultat, formula za volumen trokutaste prizme je pravu vrstu izgleda ovako:

Nakon što ste izračunali korijen, ovu formulu možete prepisati na sljedeći način:

Dakle, da biste pronašli zapreminu pravilne prizme sa trouglastom bazom, potrebno je kvadrirati stranu baze, pomnožiti ovu vrednost sa visinom i rezultujuću vrednost pomnožiti sa 0,433.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su osnove dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici

Bočno rebro- je zajednička strana dvije susjedne bočne strane

Visina prizme- ovo je segment okomit na osnove prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravan- ravan koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne ivice

Dijagonalni presjek- granice preseka prizme i dijagonalne ravni. Dijagonalni poprečni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je presek prizme i ravni povučene okomito na njene bočne ivice

Elementi pravilne četvorougaone prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su jednake i paralelne jedna drugoj
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravougaonik
• Bočna površina- zbir površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbir površina svih baza i bočnih strana (zbir površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četvorougaone prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Osnove su paralelne jedna s drugom
• Bočne strane su pravougaonici
• Bočne ivice su međusobno jednake
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s osnovama
• Uglovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni poprečni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno sa bazama

Formule za pravilnu četvorougaonu prizmu

Uputstva za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četvorougaona prizma" znači da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočne ivice su okomite na ravni baze. To jest, pravilna četvorougaona prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi svojstva pravilne četvorougaone prizme iznad) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima geometrije (stereometrija presjeka - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje preuzimanja kvadratni korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

U pravilnoj četvorougaonoj prizmi površina osnove je 144 cm 2, a visina 14 cm. Nađite dijagonalu prizme i površinu puna površina.

Rješenje.
Pravilan četvorougao je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će biti jednaka dijagonala osnove pravilne pravokutne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme formira se sa dijagonalom osnove i visinom prizme pravougaonog trougla. Prema tome, prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala date pravilne četverougaone prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Zadatak

Odredi ukupnu površinu pravilne četvorougaone prizme ako je njena dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne strane 4 cm.

Rješenje.
Pošto je osnova pravilne četvorougaone prizme kvadrat, nalazimo stranu baze (označenu kao a) koristeći Pitagorinu teoremu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) će tada biti jednaka:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina će biti jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine osnove

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

U pravilnoj trouglastoj prizmi ABCA_1B_1C_1, stranice baze su 4, a bočne ivice su 10. Nađite površinu poprečnog presjeka prizme ravninom koja prolazi središtem ivica AB, AC, A_1B_1 i A_1C_1.

Pokaži rješenje

Rješenje

Razmotrite sljedeću sliku.

Dakle, segment MN je srednja linija trougla A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Isto tako, KL=\frac12BC=2. Osim toga, MK = NL = 10. Iz toga slijedi da je četverougao MNLK paralelogram. Pošto je MK\paralelno AA_1, onda MK\perp ABC i MK\perp KL. Dakle, četverougao MNLK je pravougaonik. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Odgovori

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Zapremina pravilne četvorougaone prizme ABCDA_1B_1C_1D_1 je 24 . Tačka K je sredina ivice CC_1. Pronađite zapreminu piramide KBCD.

Pokaži rješenje

Rješenje

Prema uslovu, KC je visina piramide KBCD. CC_1 je visina prizme ABCDA_1B_1C_1D_1.

Pošto je K središte CC_1, onda KC=\frac12CC_1. Neka je onda CC_1=H KC=\frac12H. Imajte na umu i to S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). onda, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). dakle, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Nađi površinu bočne površine pravilne šesterokutne prizme čija je osnovna strana 6, a visina 8.

Pokaži rješenje

Rješenje

Površina bočne površine prizme nalazi se po formuli S stranice. = P osnovno · h = 6a\cdot h, gdje je P osnovno. i h su, redom, obim osnove i visina prizme, jednaki 8, a a je stranica pravilnog šestougla, jednaka 6. Dakle, S strana. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Voda je sipana u posudu u obliku pravilne trouglaste prizme. Nivo vode dostiže 40 cm Na kojoj će visini biti nivo vode ako se ulije u drugu posudu istog oblika, čija je strana dna duplo veća od prve? Izrazite svoj odgovor u centimetrima.

Pokaži rješenje

Rješenje

Neka je a strana osnove prve posude, tada je 2 a stranica osnove druge posude. Prema uslovu, zapremina tečnosti V u prvoj i drugoj posudi je ista. Označimo sa H nivo do kojeg je tečnost porasla u drugoj posudi. Onda V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, i, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Odavde \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

U pravilnoj heksagonalnoj prizmi ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 sve ivice su jednake 2. Pronađite rastojanje između tačaka A i E_1.

Pokaži rješenje

Rješenje

Trougao AEE_1 je pravougaonog oblika, pošto je ivica EE_1 okomita na ravan osnove prizme, ugao AEE_1 će biti pravi ugao.

Zatim, prema Pitagorinoj teoremi, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Nađimo AE iz trougla AFE koristeći kosinus teorem. Svaki unutrašnji ugao pravilnog šestougla je 120^(\circ). Onda AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\lijevo (-\frac12 \desno).

Dakle, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Pronađite bočnu površinu ravne prizme, u čijoj osnovi leži romb s dijagonalama jednakim 4\sqrt5 i 8, a bočna ivica jednaka 5.

Pokaži rješenje

Rješenje

Površina bočne površine ravne prizme nalazi se po formuli S stranice. = P osnovno · h = 4a\cdot h, gdje je P osnovno. i h, redom, obim osnove i visina prizme, jednaka 5, a a je stranica romba. Pronađimo stranu romba koristeći činjenicu da su dijagonale romba ABCD međusobno okomite i podijeljene točkom presjeka.

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velike teme, po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Problemi sa riječima i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Zamršena rješenja, korisne cheat sheets, razvoj prostorna imaginacija. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složeni koncepti. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješenje složeni zadaci 2 dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Školarci koji se pripremaju za polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike svakako bi trebali naučiti kako rješavati zadatke na pronalaženju površine ravne i pravilne prizme. Dugogodišnja praksa potvrđuje činjenicu da mnogi studenti takve geometrijske zadatke smatraju prilično teškim.

Istovremeno, srednjoškolci sa bilo kojim nivoom obuke trebali bi biti u stanju pronaći površinu i zapreminu pravilne i ravne prizme. Samo u tom slučaju moći će računati na dobijanje takmičarskih bodova na osnovu rezultata položenog Jedinstvenog državnog ispita.

Ključne tačke koje treba zapamtiti

• Ako su bočne ivice prizme okomite na osnovu, ona se naziva prava linija. Sve bočne strane ove figure su pravokutnici. Visina ravne prizme poklapa se sa ivicom.
• Pravilna prizma je ona čije su bočne ivice okomite na osnovu u kojoj se nalazi pravilni mnogokut. Bočne strane ove figure su jednaki pravokutnici. Ispravna prizma je uvijek ravna.

Priprema za jedinstveni državni ispit zajedno sa Školkovom je ključ vašeg uspjeha!

Kako bi vam časovi bili lakši i što efikasniji, odaberite naš portal matematike. Ovdje je sve predstavljeno potreban materijal, koji će vam pomoći da se pripremite za polaganje sertifikacionog testa.

Specijalisti edukativni projekat“Školkovo” predlaže da se ide od jednostavnog ka složenom: prvo dajemo teoriju, osnovne formule, teoreme i elementarne probleme s rješenjima, a zatim postepeno prelazimo na zadatke ekspertski nivo.

Osnovne informacije su sistematizovane i jasno predstavljene u odeljku „Teorijske informacije“. Ako ste već uspjeli ponoviti potrebno gradivo, preporučujemo da vježbate rješavanje zadataka na pronalaženju površine i zapremine prave prizme. Odjeljak „Katalog“ predstavlja veliki izbor vježbi različitim stepenima teškoće.

Pokušajte izračunati površinu ravne i pravilne prizme ili odmah. Analizirajte bilo koji zadatak. Ako to ne uzrokuje poteškoće, možete sigurno prijeći na vježbe na nivou stručnjaka. A ako se pojave određene poteškoće, preporučujemo da se redovno pripremate za Jedinstveni državni ispit na mreži zajedno sa matematičkim portalom Školkovo, a zadaci na temu „Prava i pravilna prizma“ bit će vam laki.