Penrose mozaik i zlatni omjer. Penrose mozaik, ili kako su srednjoazijski arhitekti anticipirali otkriće evropskih naučnika za pet vekova. Mozaici u prirodi

Slajd 1

I drevni islamski obrasci

Penrose mozaik

Prezentaciju je napravila učenica 7B razreda Centralnog obrazovnog centra br. 1679, Marina Zherder. Menadžeri projekta Sinyukova E.V. i Zherder V.M.

Slajd 2

Šta je mozaik

Mozaik je uzorak sastavljen od pločica različite forme. Oni mogu popločati beskrajnu ravninu bez praznina.

Slajd 3

Periodični mozaik je mozaik čiji se uzorak ponavlja u pravilnim intervalima. Neperiodični mozaik je mozaik čiji se uzorak može ponavljati u nepravilnim intervalima.

Slajd 4

Mozaici u prirodi

Postoje i brojni primjeri periodičnih mozaika u prirodi. Uglavnom kristali čvrste materije- na primjer: kristal soli Dijamant kristal Grafitni kristal Grafenski kristal

Slajd 5

Mozaici na Escherovim slikama

Mozaici su važna tema u umjetnosti. Umjetnik M.C. Escher poznat je po svojim mozaicima i nestvarnim slikama.

Slajd 6

Šta je Penrose mozaik?

Godine 1973. engleski matematičar Roger Penrose kreirao je poseban mozaik od geometrijski oblici, koji je postao poznat kao Penrose mozaik.

Slajd 7

Poligonalne mozaik ploče

Penrose mozaik je mozaik sastavljen od poligonalnih pločica od dvije određene forme.

Slajd 8

Simetrija mozaika

Dobivena slika izgleda kao neka vrsta "ritmičkog" ornamenta - slika s translacijskom simetrijom.

Slajd 9

Simetrija

Translacijska simetrija znači da možete odabrati određeni komad u uzorku koji se može "kopirati" na ravan, a zatim kombinirati ove "duplikate" jedan s drugim paralelnim prijenosom.

Slajd 10

Struktura mozaika

Međutim, ako pažljivo pogledate, možete vidjeti da Penroseov obrazac nema takve ponavljajuće strukture - on je neperiodičan. Ali nije stvar u tome optička iluzija, ali da mozaik nije haotičan: ima rotacijsku simetriju petog reda.

Slajd 11

Minimalni ugao

To znači da se slika može rotirati za minimalni ugao jednak 360 / n stepeni, gde je n red simetrije, u u ovom slučaju n = 5. Dakle, ugao rotacije, koji ništa ne mijenja, mora biti višekratnik 360 / 5 = 72 stepena.

Slajd 12

Neobičan fenomen

Dan Shechtman je 1984. godine, proučavajući strukturu legure aluminijum-magnezijum, otkrio da atomska rešetka Ova supstanca pokazuje fizički fenomen neuobičajen za kristale.

Slajd 13

"Pogrešni" kristali

Uzorak supstance kojoj je izložen posebna metoda brzo hlađenje, raspršilo je snop elektrona tako da se na fotografskoj ploči formirao izraženi difrakcijski uzorak sa simetrijom petog reda na mjestu difrakcijskih maksimuma (ikosaedarska simetrija).

Slajd 14

Kvazikristali

Naučnici su se složili da će se ova opcija nazvati kvazikristalima - nešto slično posebno stanje supstance. I matematički model za to je odavno spreman - Penrose mozaik.

Slajd 15

Godine 2007. fizičari Peter Lu i Paul Steinhardt objavili su članak u časopisu Science o Penrose mozaicima.

Publikacija 2007

Slajd 16

Interes za kvazikristale

Čini se da tu ima malo neočekivanog: otkriće kvazikristala izazvalo je veliko interesovanje za ovu temu, što je dovelo do pojave gomile publikacija u naučnoj štampi.

Slajd 17

Uzorci u Aziji

Međutim, vrhunac rada je da je posvećen daleko od toga moderna nauka. I generalno - ne nauka. Peter Lu je skrenuo pažnju na šare koje pokrivaju džamije u Aziji, izgrađene u srednjem vijeku.

Slajd 18

Postoje dva stila u islamskom ornamentu: Girikh (pers.) - složeni geometrijski ornament sastavljen od linija stilizovanih u pravougaone i poligonalne oblike. U većini slučajeva koristi se za vanjsku dekoraciju džamija i knjiga u velikim publikacijama.

Stilovi. Girikh

Slajd 19

Islimi (pers.) – vrsta ornamenta izgrađena na kombinaciji vijuga i spirale. Utjelovljuje u stiliziranom ili naturalističkom obliku ideju kontinuirano razvijajućeg cvjetnog lisnatog izdanka. Najrasprostranjeniji je u odjeći, knjigama, unutrašnja dekoracija džamije, posuđe.

Slajd 20

Mozaici Uzbekistana

Dok je putovao po Uzbekistanu, Lou se zainteresovao za uzorke mozaika koji su krasili lokalnu srednjovjekovnu arhitekturu i primijetio je nešto poznato u vezi s njima.

Naslovnica Kur'ana iz 1306-1315 i crtež geometrijskih fragmenata na kojima se temelji uzorak.

Slajd 21

Mozaici iz različitih zemalja

Vrativši se na Harvard, naučnik je počeo da ispituje slične motive u mozaicima na zidovima srednjovekovnih zgrada u Avganistanu, Iranu, Iraku i Turskoj.

Slajd 23

Girikh sheme

Slajd 24

Nalog za izgradnju

Da bi stvorili ove uzorke, koristili su ne jednostavne, nasumično izmišljene konture, već figure koje su raspoređene određenim redoslijedom. Pokazalo se da su drevni uzorci točne konstrukcije Penrose mozaika!

Slajd 25

U islamskoj tradiciji postojala je stroga zabrana prikazivanja ljudi i životinja, pa su geometrijski uzorci postali veoma popularni u dizajnu zgrada.

islamske tradicije

Slajd 26

Tajna starih majstora

Srednjovjekovni majstori su ga učinili raznolikim. Ali niko nije znao u čemu je tajna njihove „strategije“. Dakle, ispostavlja se da je tajna u korištenju specijalnih mozaika koji mogu, iako ostaju simetrični, ispuniti ravan bez ponavljanja.

Sramota! Ljudi srednjeg vijeka nadmašili su moderne naučnike. Mislili smo da su napredna matematika i kristalografija naša dostignuća. Ispostavilo se da ništa slično ne postoji - sve se to dogodilo prije pola hiljade godina. Osim toga, čini se da modernu nauku nisu nadmašili najbolji matematičari, već jednostavni umjetnici. Pa, možda nije baš jednostavno... Ali ipak!

Ne, zaista, savremeni matematičari prave potpunu glupost! Ili savijaju papir 12 puta, pa heklaju Lorentzove jednadžbe, ili uvijaju kuglice u krofne. Generalno, jedini ozbiljni ljudi su ostali Perelman i Okunov - sva nada leži u njima...

Ali zanimljivo je da su ljudi u antičko doba postigli matematička dostignuća, ponekad ne pridajući im poseban značaj. Zanimljivo je i da naučnici danas ponavljaju ista „drevna“ otkrića, a da uopšte ne sumnjaju da izmišljaju nešto što je vekovima postojalo bez njihovih nagađanja.

Na primjer, engleski matematičar Roger Penrose smislio je tako nešto 1973. godine - poseban mozaik geometrijskih oblika. U skladu s tim, postao je poznat kao Penrose mozaik. Šta je tu tako specifično?

Penrose mozaik prema njegovom tvorcu. Sastavljen je od dva tipa rombova, jedan sa uglom od 72 stepena, drugi sa uglom od 36 stepeni. Slika koju proizvodi je simetrična, ali ne periodična (ilustracija sa en.wikipedia.org).

Penrose mozaik je uzorak sastavljen od poligonalnih pločica dva specifična oblika (malo različitih rombova). Oni mogu popločati beskrajnu ravninu bez praznina.

Dobivena slika izgleda kao neka vrsta "ritmičkog" ornamenta - slika s translacijskom simetrijom. Ova vrsta simetrije znači da možete odabrati određeni komad u uzorku koji se može "kopirati" na ravan, a zatim kombinovati ove "duplikate" jedan s drugim paralelnim prijenosom (drugim riječima, bez rotacije i bez povećanja).

Međutim, ako bolje pogledate, možete vidjeti da Penroseov obrazac nema takve ponavljajuće strukture - on je aperiodičan. Ali poenta nije optička iluzija, već činjenica da mozaik nije haotičan: ima rotacijsku simetriju petog reda.

Primjeri kvazicistala su legura AlMnPd i Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustracija Paul J. Steinhardt).

To znači da se slika može rotirati do minimalnog ugla od 360/ n stepeni, gde n– red simetrije, u ovom slučaju n= 5. Dakle, ugao rotacije, koji ništa ne mijenja, mora biti višekratnik od 360 / 5 = 72 stepena.

Otprilike jednu deceniju, Penroseov izum se smatrao samo slatkom matematičkom apstrakcijom. Međutim, 1984. Dan Shechtman, profesor na Izraelskom institutu za tehnologiju (Technion), dok je proučavao strukturu legure aluminijum-magnezijum, otkrio je da se difrakcija dešava na atomskoj rešetki ove supstance.

Kako možemo biti ovdje? Pitanje nije lako, pa su se naučnici složili da će se ova opcija zvati kvazikristali – nešto poput posebnog stanja materije.

Ovdje je prikazan jedan od primjera polaganja pločica prikazanih u arapskom rukopisu iz 15. stoljeća. Istraživači su koristili boje da istaknu područja koja se ponavljaju. Svi geometrijski obrasci srednjovjekovnih arapskih majstora koji su proučavali Lu i Steinhardt izgrađeni su na osnovu ovih pet elemenata. Kao što vidite, elementi koji se ponavljaju ne moraju nužno biti u liniji sa granicama pločica (ilustracija Peter J. Lu).

Pa, ljepota otkrića, kao što ste pretpostavili, je u tome što je matematički model za njega odavno spreman. I, kao što ste vjerovatno shvatili, ovo je Penrose mozaik. Ali ovaj nema ni deset godina, nego mnogo stariji. To je postalo poznato tek u naše dane, u osvit 21. veka, a ovaj model se pokazao mnogo starijim nego što se moglo zamisliti.

Godine 2007. Peter J. Lu, fizičar sa Univerziteta Harvard, zajedno sa još jednim fizičarom, Paulom J. Steinhardtom, ali sa Univerziteta Princeton, objavio je članak u Science o mozaicima Penrose (Lou bi trebao biti poznat redovnim čitaocima Membrane - imamo već je govorio o svojim otkrićima dijamantskog rezanja drevnih sjekira i složenih drevnih mašina). Čini se da tu ima malo neočekivanog: otkriće kvazikristala izazvalo je veliko interesovanje za ovu temu, što je dovelo do pojave gomile publikacija u naučnoj štampi.

Međutim, vrhunac rada je da nije posvećen modernoj nauci. I generalno - ne nauka.

“Kvazikristalni” obrasci našli su svoje mjesto ne samo u arhitekturi. Ovdje vidite naslovnicu Kurana iz 1306-1315 i crtež geometrijskih fragmenata na kojima se temelji uzorak. Ovaj i sljedeći primjeri ne odgovaraju Penroseovim rešetkama, ali imaju rotacijsku simetriju petog reda (ilustracija Peter J. Lu).

Lu je skrenuo pažnju na šare koje pokrivaju džamije u Aziji, izgrađene u srednjem vijeku. Ovi lako prepoznatljivi dizajni napravljeni su od mozaik pločica. Zovu se girihi (od arapske riječi za "čvor") i predstavljaju geometrijski dizajn karakterističan za islamsku umjetnost i koji se sastoji od poligonalnih oblika.

Dugo se vjerovalo da su ovi uzorci stvoreni pomoću ravnala i kompasa. Međutim, prije nekoliko godina, putujući po Uzbekistanu, Lou se zainteresirao za uzorke mozaika koji su krasili lokalnu srednjovjekovnu arhitekturu i primijetio nešto poznato u vezi s njima.

Vrativši se na Harvard, naučnik je počeo da ispituje slične motive u mozaicima na zidovima srednjovekovnih zgrada u Avganistanu, Iranu, Iraku i Turskoj.

Otkrio je da su ovi uzorci gotovo identični i da je mogao identificirati osnovne elemente girikha koji se koriste u svim geometrijskim dizajnom. Osim toga, pronašao je crteže ovih slika u drevnim rukopisima, koje su drevni umjetnici koristili kao neku vrstu varalice za ukrašavanje zidova.

Ali sve to, ispostavilo se, nije toliko važno. Da bi stvorili ove uzorke, koristili su ne jednostavne, nasumično izmišljene konture, već figure koje su raspoređene određenim redoslijedom. I to nije posebno iznenađujuće.

Ono što je zaista zanimljivo je da su se ljudi, zaboravivši na takve šeme, kasnije ponovo susreli. Da, da, drevni uzorci nisu ništa više od onoga što će se stoljećima kasnije zvati Penroseove rešetke i naći u strukturi kvazikristala!

Ove slike ističu slična područja, iako su iz vrlo različitih džamija (ilustracija Peter J. Lu).

U islamskoj tradiciji postojala je stroga zabrana prikazivanja ljudi i životinja, pa su geometrijski uzorci postali veoma popularni u dizajnu zgrada. Srednjovjekovni majstori su ga nekako uspjeli učiniti raznolikim. Ali niko nije znao u čemu je tajna njihove „strategije“. Dakle, ispostavlja se da je tajna u korištenju specijalnih mozaika koji mogu, iako ostaju simetrični, ispuniti ravan bez ponavljanja.

Još jedan “trik” ovih slika je da bi umjetnici, “kopiranjem” ovakvih shema u raznim hramovima prema crtežima, neizbježno morali dozvoliti izobličenja. Ali kršenja ove prirode su minimalna. To se može objasniti samo činjenicom da nije bilo smisla u crtežima velikih razmjera: glavna stvar je bio princip po kojem se slika gradi.

Za sastavljanje girikha korišteno je pet vrsta pločica (deseterokutni i peterokutni rombovi i "leptiri"), koji su bili sastavljeni u mozaik jedan uz drugi bez slobodnog prostora između njih. Mozaici stvoreni od njih mogli su imati ili rotacijsku i translacijsku simetriju odjednom, ili samo petog reda rotacijske simetrije (to jest, bili su Penrose mozaici).

Fragment ukrasa iranskog mauzoleja iz 1304. Desno je rekonstrukcija girikha (ilustracija Peter J. Lu).

Istraživači su smatrali da je svetilište Imama Darb-ija u iranskom gradu Isfahanu, koje datira iz 1453. godine, primjer gotovo idealne kvazikristalne strukture.

Ovo otkriće je impresioniralo mnoge ljude. Američko udruženje za unapređenje nauke (

O postojanju Penrose mozaici Ne znaju svi, a još manje da je ovaj nevjerovatni mozaik ponekad doslovno pod nogama.
Kada moj suprug i ja posjetimo porodicu našeg sina u Finskoj, naravno, šetamo ugodnim i uređenim gradom Helsinkiju. Program našeg boravka obavezno uključuje posjetu Akademskoj knjižari Akateeminen Kirjakauppa koja se nalazi u centru u ulici Keskuskatu, što na ruskom znači Centralna ulica. Posjeta ovoj knjižari pruža nam estetski užitak i, iako su knjige u Finskoj skupe, uvijek želimo kupiti barem malu, lijepo ilustrovanu knjigu o cvijeću i biljkama.
Jednog dana, moj sin, matematičar po profesiji, savjetovao nam je kada šetamo ovom pješačkom ulicom da pažljivo razmotrimo popločavanje površine pločicama. Objasnio je šta je to Penrose mozaik.

Naravno, svi smo vidjeli pločice. Najčešće se to dešava kvadratni oblik. Pločice su postavljene u raznim prekrasnim šarama.

Ponekad se koriste pločice različitih oblika i veličina, ali opšti oblik Površinska obloga je i dalje kvadratna.

Ponekad se pločice postavljaju offset ili se koriste nekvadratne pločice

Ali svi ti obrasci se i dalje sastoje od dijelova koji se ponavljaju

U ulici Keskuskatu u Helsinkiju, pločice su tako postavljene obrazac se ne ponavlja.

Sve do 1964. niko nije vjerovao da je moguće smisliti takav set pločica koji bi se mogao koristiti za asfaltiranje aviona bez ponavljanja uzorka.
Godine 1964. matematičar Robert Berger je smislio takav skup. Nažalost, u ovom setu je bilo 20.426 pločica različitih oblika i veličina.
Gotovo odmah je shvatio kako smanjiti broj različitih pločica u setu na 104 vrste.
Godine 1968. poznati matematičar Donald Knuth smanjio je broj različitih pločica na 92.

Godine 1971. Raphael Robinson osmislio je set od samo šest pločica koje se mogu koristiti za pokrivanje površine bez ponavljanja. Ali vjerovatno ih nećete htjeti koristiti u svom kupatilu.

Godine 1973. engleski matematičar Roger Penrose osmislio je set od šest prekrasnih pločica. Ako ovim pločicama prekrijete čak i vrlo veliki pod, uzorak se neće ponoviti.

Prava slava došla je do Rogera Penrosea kada je otkrio da su samo dvije vrste pločica dovoljne za stvaranje jedinstvenog uzorka. Ove pločice su geometrijski oblici - rombovi, koji se malo razlikuju jedan od drugog.
Ovo je fotografija matematičara Rodžera Penrouza na površini prekrivenoj šarom koja se ne ponavlja.
Popločavanje aviona ornament koji se ne ponavlja od pločica se sada zove Penrose mozaik.

Rezultirajuće popločavanje izgleda kao da mozaik ima određeno svojstvo simetrije, kada se neki dio geometrijskog uzorka može prenositi paralelno bez rotiranja, a dijelovi se međusobno kombinirati.

Zapravo, nakon pažljivog pregleda Penrose mozaika, primijetit ćete da uzorak nema periodičnost, ali u isto vrijeme uzorak nije haotičan. Simetrija Penroseovog geometrijskog uzorka naziva se rotacijski, a striktno matematički, peti red.

Oko deset godina matematički izum Rodžera Penrouza nije imao primijenjena vrijednost i bio je poznat uglavnom matematičarima. Ali 1984. izraelski profesor Dan Shechtman, proučavajući fiziku čvrstog stanja, otkrio je difrakciju tog istog petog reda na atomskoj rešetki legure aluminijum-magnezijum. Kada su raspravljali o ovom fenomenu, naučnici su prihvatili već dobro poznati Penroseov mozaik kao matematički model.

Kasnije se pokazalo da je pokrivanje površine geometrijskim figurama bez praznina ili preklapanja bilo široko korišteno u islamskoj umjetnosti još u srednjem vijeku. U Aziji su džamije bile prekrivene mozaičkim geometrijskim uzorcima. Dijagrami pronađeni u drevnim rukopisima pokazuju da uzorci koji ukrašavaju zidove nisu haotični, već se sastoje od određene brojke, uređen po strogom redu. Budući da je islamskoj umjetnosti bilo zabranjeno prikazivanje životinja ili ljudi, drevni majstori ukrašavali su hramove geometrijskim uzorcima.
Širok izbor uzoraka koji se ne ponavljaju izazivaju divljenje i iznenađenje. Razlog leži upravo u činjenici da su korišteni posebne vrste mozaici, od kojih su mnogi imali istu rotacionu simetriju petog reda, a zapravo su bili Penrose mozaici. Može se pretpostaviti da je uloga matematike bila veoma važna u srednjovjekovnoj umjetnosti islama.

U nastavku nudim fotografije za pregled Penrose mozaik pločice pješačka ulica Keskuskatu u Helsinkiju. Površina je obložena pločicama bez razmaka ili preklapanja, dok obrazac se nigdje ne ponavlja.

I drevni
islamski obrasci
Završena prezentacija
učenica 7B razreda Centralnog obrazovnog centra br.1679
Zherder Marina.
Projekt menadžeri
Sinyukova E.V. i Zherder V.M.
5klass.net

Šta je mozaik

Mozaik predstavlja
uzorak
od pločica
različite forme. od njih
može biti popločan
beskrajno
avion bez
prostori.

Periodični mozaik je mozaik,
čiji se obrazac ponavlja
jednakim intervalima.
Neperiodični mozaik je mozaik
obrazac koji se može ponoviti
u nepravilnim intervalima.

Mozaici u prirodi

I u prirodi ima mnogo primjera
periodični mozaik. Uglavnom
kristali čvrstih materija - na primjer:
kristal soli
Dijamantski kristal
Grafitni kristal
Grafenski kristal

Mozaici na Escherovim slikama

Mozaici su važna tema
art. Umjetnik
M.C. Escher je poznat po svom
mozaici a ne stvarni
slike.

Šta je Penrose mozaik?

Godine 1973
engleski
matematičar Roger
Penrouz (Rodžer
Penrose) kreirana
specijalni mozaik
od geometrijskog
figure, koje
postao poznat kao Penrose mozaik.

Poligonalne mozaik ploče

Penrose mozaik predstavlja
mozaik od poligona
pločice dva specifična oblika.

Simetrija mozaika

Rezultirajuća slika izgleda ovako
kao da je to neka vrsta "ritmice"
ukras - slika,
posjedovanje
emitovanje
simetrija.

Simetrija

Translacijska simetrija znači
Šta možete izabrati od uzorka?
određeni komad koji može biti
"kopiju" u avionu, a zatim
kombinovati ove "duplikate" jedni s drugima
paralelni transfer.

10. Struktura mozaika

Međutim, ako dobro pogledate, možete
vidi da takvih nema u Penroseovom obrascu
strukture koje se ponavljaju - it
neperiodični. Ali nije stvar u tome
optička iluzija, ali da je mozaik
nije haotično: ona
ima
rotacijski
peta simetrija
red.

11. Minimalni ugao

To znači da
slika je moguća
uključiti
minimalni ugao,
jednako 360/n stepeni,
gdje je n red
simetrija, u ovome
slučaj n = 5.
Dakle, ugao
okreni to nije nista
ne menja, trebalo bi da bude
višestruko od 360 / 5 = 72
stepeni.

12. Neobična pojava

Godine 1984. Dan
Shekhtman studira
proučavanje strukture
legura aluminijum-magnezijum,
otkrio to na
atomska rešetka
ovu supstancu
se dešava
neobično za
kristali
fizički fenomen.

13. “Pogrešni” kristali

Uzorak supstance kojoj je izložen
posebna brza metoda
hlađenje, raspršio elektronski snop
tako da na fotografskoj ploči a
izrečena
difrakcija
slikanje sa simetrijom
peti red u
lokacija
difrakcija
maksimumi
(simetrija ikosaedra).

14. Kvazikristali

Naučnici su se složili
to dato
postojaće opcija
nazovi svoje ime
kvazikristali -
nešto posebno
stanje materije. I
prošlo je dosta vremena za njega
bio spreman
matematički model
- Penrose mozaik.

15.

Publikacija 2007
2007. fizičari Peter Lu i Paul
Steinhardt objavljen u časopisu
Naučni članak o mozaicima
Penrose.

16. Interes za kvazikristale

Činilo bi se da,
neočekivano ovdje
malo: otvaranje
kvazikristali
privukao uživo
interesovanje za ovo
tema koja je vodila
do pojave gomile
publikacije u
naučna štampa.

17. Obrasci u Aziji

Međutim, vrhunac rada je da je
nije posvećena modernoj nauci.
I generalno - ne nauka. Peter Lu
primetio obrasce
pokrivanje džamija
u Aziji, izgrađen
još u srednjem vijeku.

18.

Stilovi. Girikh
U islamskom ornamentu postoje dva
stil:
Girikh (pers.) – kompleks
geometrijski ornament,
sastavljen od stilizovanih
pravougaone i poligonalne
oblici linija. U većini slučajeva
koristi se za eksterno
dizajn džamija i knjiga u velikom
publikacija.

19. Islimi

Islimi (pers.) – vrsta ukrasa,
izgrađena na vezi vijuga i
spirale. Utjelovljuje stilizirano
ili naturalistički oblik ideje
kontinuirano razvija cvjetanje
listopadni izdanak. Greatest
postao je raširen u odjeći,
knjige, unutrašnje uređenje džamija,
posuđe

20. Mozaici Uzbekistana

Tokom putovanja u
Uzbekistan, Lu se zainteresovao za šablone
mozaici koji su ukrašavali lokal
srednjovjekovne arhitekture, a zapažene u
nešto poznato o njima.
Naslovnica Kurana 1306-1315 i
crtanje
geometrijski
fragmenti
na kojoj se zasniva
uzorak.

21. Mozaici iz različitih zemalja

Nazad u
Harvard, naučnik je postao
razmotriti
slični motivi u
mozaici na zidovima
srednjovjekovni
zgrade
Avganistan, Iran,
Iraku i Turskoj.

22. Islamski mozaici

Ovaj primjer je datiran kasnije
period - 1622. (indijska džamija).

23. Girikh sheme

Peter Lu je otkrio tu geometriju
girikh kola su skoro identična, i
bio u stanju da identifikuje glavne elemente
koristi se u svemu
geometrijski uzorci. osim toga,
pronašao je crteže ovih slika u
drevni rukopisi, koji
koristili su se drevni umjetnici
kao neka vrsta varalice
zidna dekoracija.

24. Nalog za izgradnju

Za kreiranje ovih uzoraka koristili smo br
jednostavne, nasumično izmišljene konture,
i figure koje su se nalazile u
određenim redosledom. Drevni uzorci
ispostavilo se da su točne konstrukcije mozaika
Penrose!

25.

islamske tradicije
U islamskoj tradiciji
postojala je stroga
zabrana slike
ljudi i životinje,
dakle u dizajnu
velike zgrade
stekao popularnost
geometrijski
ornament.

26. Tajna starih majstora

Srednjovjekovni majstori
to uradio
raznolika. Ali šta
bila njihova tajna
"strategije" - niko
znao. Dakle, evo tajne kako
puta se ispostavi da jeste
koristiti
specijalni mozaici,
ko može, ostaje
simetričan,
napuni avion, ne
ponavljanje.

27. "fokus"

Još jedan od ovih "trik".
"Trik" slika je u tome što,
"kopiranje" takvih shema u
razni hramovi okolo
crteži, umjetnici
neizbežno bi morao
dozvoliti izobličenja. Ali
kršenja ovoga
karakter je minimalan.
Ovo se može objasniti samo
da majstori nisu
korišteni crteži za
pravljenje mozaika.

28. Pločice

Za sastavljanje utega
rabljenih pločica od pet
vrsta (deset i
peterokutni rombovi i
"leptiri"), koji su
sastavljeni su mozaici,
jedna uz drugu
bez besplatnog
prostor između
njima.

29. Simetrija mozaika

Mozaici stvoreni od njih,
mogao odmah
rotacijski i
emitovanje
simetrija, to je sve
rotaciona simetrija
peti red (tj
bili mozaici
Penrose).

30. Girihi

Fragment ornamenta iranskog mauzoleja
1304 godine. Desno – rekonstrukcija girika

31. Datum nastanka mozaika

Istraživši stotine
datum
izgled
fotografije
mozaici
srednjovjekovni
Musliman
atrakcije,
Lou i Steinhardt su uspjeli
dati datum pojavljivanja
sličan trend XIII
veka. Postepeno ovo
način da dobijete sve
veliku popularnost i
XV vijek je postao naširoko
rasprostranjena.

32. Keramičke pločice

Zabavljanje otprilike
poklapa se sa periodom
razvoj tehnologije
dekoracija
palate, džamije,
razne važne
zastakljene zgrade
boja
keramičke pločice
u obliku raznih
poligoni. To
postoji jedan keramički
specijalne pločice
kreirane su forme
posebno za girike.
Keramika
pločica

33. Zaključak

Ono što je zapadna nauka otkrila
zasnovano na velikoj generalizaciji
trnovito iskustvo, istočnjačka nauka
napravljeno na osnovu intuicije i osjećaja
predivno. A rezultati su očigledni: u
oličenje zakona geometrije u
praksa istočnjačkih mislilaca
ispred zapadnih za pet vekova!

Godine 1973. engleski matematičar Roger Penrose stvorio je poseban mozaik geometrijskih oblika, koji je postao poznat kao Penrose mozaik.
Penrose mozaik je uzorak sastavljen od poligonalnih pločica dva specifična oblika (malo različitih rombova). Oni mogu popločati beskrajnu ravninu bez praznina.

Penrose mozaik prema njegovom tvorcu.
Sastavljen je od dvije vrste rombova,
jedan pod uglom od 72 stepena, drugi pod uglom od 36 stepeni.
Slika se ispostavi da je simetrična, ali ne periodična.

To znači da se slika može rotirati za minimalni ugao jednak 360 / n stepeni, gdje je n red simetrije, u ovom slučaju n = 5. Dakle, ugao rotacije, koji ništa ne mijenja, mora biti višestruki od 360 / 5 = 72 stepena.

Prethodne ideje koje su postojale u fizici čvrstog stanja isključivale su ovu mogućnost: struktura difrakcionog uzorka ima simetriju petog reda. Njegovi dijelovi se ne mogu kombinirati paralelnim prijenosom, što znači da uopće nije kristal. Ali difrakcija je karakteristična za kristalnu rešetku! Naučnici su se složili da će se ova opcija nazvati kvazikristalima – nešto poput posebnog stanja materije. Pa, ljepota otkrića je u tome što je matematički model za njega odavno bio spreman - Penroseov mozaik.

A nedavno je postalo jasno da je ova matematička konstrukcija mnogo više godina nego što se može zamisliti. Godine 2007. Peter J. Lu, fizičar sa Univerziteta Harvard, zajedno sa još jednim fizičarem, Paulom J. Steinhardtom, ali sa Univerziteta Princeton, objavio je članak u Science o mozaicima Penrose. Čini se da tu ima malo neočekivanog: otkriće kvazikristala izazvalo je veliko interesovanje za ovu temu, što je dovelo do pojave gomile publikacija u naučnoj štampi.

Međutim, vrhunac rada je da nije posvećen modernoj nauci. I generalno - ne nauka. Peter Lu je skrenuo pažnju na šare koje pokrivaju džamije u Aziji, izgrađene u srednjem vijeku. Ovi lako prepoznatljivi dizajni napravljeni su od mozaik pločica. Zovu se girihi (od arapske riječi za "čvor") i predstavljaju geometrijski dizajn karakterističan za islamsku umjetnost i koji se sastoji od poligonalnih oblika.

Primjer rasporeda pločica prikazanog u arapskom rukopisu iz 15. stoljeća.
Istraživači su koristili boje da istaknu područja koja se ponavljaju.
Svi geometrijski uzorci izgrađeni su na osnovu ovih pet elemenata.
srednjovjekovni arapski majstori. Elementi koji se ponavljaju
ne moraju se nužno podudarati s granicama pločica.

Postoje dva stila u islamskom ornamentu: geometrijski - girikh, i cvjetni - islimi.
Girikh(osoba) - složeni geometrijski uzorak sastavljen od linija stiliziranih u pravokutne i poligonalne oblike. U većini slučajeva koristi se za vanjsku dekoraciju džamija i knjiga u velikim publikacijama.
Islimi(osoba) – vrsta ornamenta izgrađena na kombinaciji vijuga i spirale. Utjelovljuje u stiliziranom ili naturalističkom obliku ideju cvjetnog lišća koje se stalno razvija i uključuje beskrajnu raznolikost opcija. Najviše je rasprostranjena u odjeći, knjigama, unutrašnjem uređenju džamija i posuđu.

Naslovnica Kurana 1306-1315 i crtež geometrijskih fragmenata,
na kojoj se zasniva obrazac. Ovaj i sljedeći primjeri se ne podudaraju
Penroseove rešetke, ali imaju rotacijsku simetriju petog reda

Prije otkrića Petera Lua, vjerovalo se da su drevni arhitekti kreirali uzorke giriha koristeći ravnalo i šestar (ako ne nadahnuto). Međutim, prije nekoliko godina, putujući po Uzbekistanu, Lou se zainteresirao za uzorke mozaika koji su krasili lokalnu srednjovjekovnu arhitekturu i primijetio nešto poznato u vezi s njima. Vrativši se na Harvard, naučnik je počeo da ispituje slične motive u mozaicima na zidovima srednjovekovnih zgrada u Avganistanu, Iranu, Iraku i Turskoj.

Ovaj uzorak je datiran više od kasni period– 1622. (indijska džamija).
Gledajući ga i crtež njegove strukture, ne može se ne diviti napornom radu
istraživači. I, naravno, sami majstori.

Peter Lu je otkrio da su geometrijski uzorci girikha bili gotovo identični i da je mogao identificirati osnovne elemente korištene u svim geometrijskim dizajnom. Osim toga, pronašao je crteže ovih slika u drevnim rukopisima, koje su drevni umjetnici koristili kao neku vrstu varalice za ukrašavanje zidova.
Da bi stvorili ove uzorke, koristili su ne jednostavne, nasumično izmišljene konture, već figure koje su raspoređene određenim redoslijedom. Pokazalo se da su drevni uzorci točne konstrukcije Penrose mozaika!

Ove slike ističu ista područja,
iako su to fotografije iz raznih džamija

Fragment ukrasa iranskog mauzoleja iz 1304. Desno – rekonstrukcija girika

Nakon što su pregledali stotine fotografija srednjovjekovnih muslimanskih lokaliteta, Lu i Steinhardt su uspjeli datirati trend u 13. vijek. Postepeno je ova metoda stekla sve veću popularnost i do 15. veka postala je široko rasprostranjena. Datiranje se otprilike poklapa sa periodom razvoja tehnike ukrašavanja palača, džamija i raznih značajnih građevina glaziranim keramičkim pločicama u obliku raznih poligona. Odnosno, keramičke pločice posebne forme stvorena posebno za Girikhove.

Istraživači su smatrali da je svetilište Imama Darb-ija u iranskom gradu Isfahanu, koje datira iz 1453. godine, primjer gotovo idealne kvazikristalne strukture.

Portal svetišta imama Darb-ija u Isfahanu (Iran).
Ovdje su dva sistema girikha postavljena jedan na drugi.

Stub iz dvorišta džamije u Turskoj (oko 1200.)
i zidovi medrese u Iranu (1219). Ovo su rani radovi
a koriste samo dva strukturni elementi, pronašao Lou

Sada ostaje pronaći odgovore na brojne misterije u historiji Girikha i Penrose mozaika. Kako i zašto su drevni matematičari otkrili kvazikristalne strukture? Da li su srednjovjekovni Arapi mozaicima davali bilo kakvo drugo značenje osim umjetničkog? Zašto je tako zanimljiv matematički koncept zaboravljen pola milenijuma? A najzanimljivije je šta drugo savremenih otkrića su novi, što je zapravo dobro zaboravljeno staro?