Piramida- jedna od varijanti poliedra formiranog od mnogouglova i trokuta koji leže u osnovi i koji su njegova lica.
Štaviše, na vrhu piramide (tj. u jednoj tački) sva lica su ujedinjena.
Da bi se izračunala površina piramide, vrijedi utvrditi da se njena bočna površina sastoji od nekoliko trokuta. I lako možemo pronaći njihove oblasti koristeći
razne formule. U zavisnosti od toga koje podatke znamo o trouglovima, tražimo njihovu površinu.
Navodimo neke formule koje se mogu koristiti za pronalaženje površine trokuta:
- S = (a*h)/2 . IN u ovom slučaju znamo visinu trougla h , koji je spušten u stranu a .
- S = a*b*sinβ . Evo stranica trougla a , b , a ugao između njih je β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Evo stranica trougla a, b, c . Polumjer kružnice koja je upisana u trokut je r .
- S = (a*b*c)/4*R . Polumjer opisane kružnice oko trougla je R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ovu formulu treba primijeniti samo kada je trokut pravokutni.
- S = (a²*√3)/4 . Ovu formulu primjenjujemo na jednakostranični trokut.
Tek nakon što izračunamo površine svih trokuta koji su lica naše piramide možemo izračunati površinu njene bočne površine. Da bismo to učinili, koristit ćemo gornje formule.
Da biste izračunali površinu bočne površine piramide, ne nastaju poteškoće: morate saznati zbroj površina svih trokuta. Izrazimo to formulom:
Sp = ΣSi
Evo Si je površina prvog trokuta, i S P - površina bočne površine piramide.
Pogledajmo primjer. S obzirom na pravilnu piramidu, njene bočne strane čine nekoliko jednakostraničnih trokuta,
« Geometrija je najmoćniji alat za izoštravanje naših mentalnih sposobnosti».
Galileo Galilei.
a kvadrat je osnova piramide. Štaviše, ivica piramide ima dužinu od 17 cm. Nađimo površinu bočne površine ove piramide.
Razmišljamo ovako: znamo da su lica piramide trouglovi, da su jednakostranična. Takođe znamo koja je dužina ivice ove piramide. Iz toga proizilazi da svi trokuti imaju jednake stranice i da im je dužina 17 cm.
Da biste izračunali površinu svakog od ovih trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Dakle, pošto znamo da kvadrat leži u osnovi piramide, ispada da imamo četiri jednakostranična trokuta. To znači da se bočna površina piramide može lako izračunati pomoću sljedeće formule: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Naš odgovor je sljedeći: 500,548 cm² - ovo je površina bočne površine ove piramide.
Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, trebali biste razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju najjednostavniji. Ali dešavaju se različite vrste i oblike, što znači da će formula za proračun za geometrijske oblike biti drugačija.
piramida - geometrijska figura , koji označava i predstavlja nekoliko lica. U suštini, ovo je isti poliedar, u čijoj osnovi leži poligon, a na stranama trokuta koji se spajaju u jednoj tački - vrhu. Figura dolazi u dvije glavne vrste:
- ispravan;
- skraćeno.
U prvom slučaju, baza je pravilan poligon. Sve je tu bočne površine jednaka između sebe i same figure zadovoljit će oko perfekcioniste.
U drugom slučaju postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je poprečni presjek formiran paralelno s bazom.
Uslovi i simboli
Ključni pojmovi:
- Pravilan (jednakostranični) trougao- figura sa tri jednaka ugla i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi uglovi su 60 stepeni. Figura je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u osnovi, tada će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je osnova kvadrat, piramida će se zvati pravilna četvorougaona piramida.
- Vertex– najviša tačka na kojoj se ivice spajaju. Visinu vrha formira prava linija koja se proteže od vrha do osnove piramide.
- Edge– jedna od ravni poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za skraćenu piramidu.
- Odjeljak- ravna figura nastala kao rezultat seciranja. Ne treba ga brkati sa sekcijom, jer sekcija takođe pokazuje šta se nalazi iza sekcije.
- Apothem- segment povučen od vrha piramide do njene osnove. To je takođe visina lica na kojoj se nalazi druga tačka visine. Ova definicija važi samo za pravilan poliedar. Na primjer, ako ovo nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trougla će postati apotema.
Formule površine
Pronađite bočnu površinu piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako figura nije simetrična i predstavlja poligon sa različite strane, tada je u ovom slučaju lakše izračunati ukupnu površinu kroz ukupnost svih površina. Drugim riječima, morate izračunati površinu svakog lica i sabrati ih.
Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračunavanje kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverokuta itd. Same formule različitim slučajevima takođe će imati razlike.
U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je mnogo lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, izračuni su potrebni posebno za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U suprotnom, morali biste sve ispisati na nekoliko stranica, što bi vas samo zbunilo i zbunilo.
Osnovna formula za proračun Bočna površina pravilne piramide imat će sljedeći oblik:
S=½ Pa (P je obim baze i apotema)
Pogledajmo jedan primjer. Poliedar ima osnovu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5 i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotema jednaka 5 cm. Prvo treba pronaći obim. Pošto je svih pet strana baze jednakih, možete je pronaći ovako: P = 5 * 10 = 50 cm Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat.
Bočna površina je ispravna trouglasta piramida najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:
S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je lice baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Pogledajmo primjer. Dat je lik sa apotemom od 5 cm i osnovnom ivicom od 8 cm Računamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm na kvadrat.
Bočna površina krnje piramide Malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza, i apotema. Pogledajmo primjer. Recimo da su za četvorougaoni lik dimenzije stranica osnova 3 i 6 cm, a apotema 4 cm.
Ovdje prvo trebate pronaći perimetre baza: r_01 =3*4=12 cm; r_02=6*4=24 cm Ostaje da zamenimo vrednosti u glavnu formulu i dobijamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.
Tako možete pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Treba biti oprezan i ne zbuniti se ovi proračuni sa ukupnom površinom cijelog poliedra. A ako i dalje trebate to učiniti, samo izračunajte površinu velika baza poliedra i dodajte ga na površinu bočne površine poliedra.
Video
Objedinite informacije o tome kako pronaći površinu bočne površine različite piramide, ovaj video će vam pomoći.
Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.
Površina piramide. U ovom članku ćemo razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je osnova pravilan poligon, vrh piramide je projektovan u centar ovog poligona.
Bočna strana takve piramide je jednakokraki trokut.Visina ovog trokuta povučena iz vrha pravilne piramide naziva se apotema, SF - apotema:
U tipu problema predstavljenom u nastavku, morate pronaći površinu cijele piramide ili površinu njene bočne površine. Na blogu se već raspravljalo o nekoliko problema sa pravilnim piramidama, gdje je pitanje bilo oko pronalaženja elemenata (visina, osnovna ivica, bočna ivica).
IN Zadaci objedinjenog državnog ispita U pravilu se razmatraju pravilne trouglaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio nikakve probleme sa pravilnim petougaonim i sedmougaonim piramidama.
Formula za površinu cijele površine je jednostavna - morate pronaći zbir površine osnove piramide i površine njene bočne površine:
Razmotrimo zadatke:
Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide su 72, bočne ivice su 164. Nađite površinu ove piramide.
Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:
*Bočna površina se sastoji od četiri trougla jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.
Možemo izračunati površinu stranice piramide koristeći:
Dakle, površina piramide je:
Odgovor: 28224
Stranice baze su ispravne heksagonalna piramida su 22, bočne ivice su 61. Nađite površinu bočne površine ove piramide.
Osnova pravilne šestougaone piramide je pravilan šestougao.
Bočna površina ove piramide sastoji se od šest površina jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:
Nađimo površinu trokuta koristeći Heronovu formulu:
Dakle, bočna površina je:
Odgovor: 3240
*U gore predstavljenim problemima, površina bočne strane se može naći pomoću druge formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.
27155. Nađi površinu pravilne četvorougaone piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.
Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:
Površina osnove je 36 jer je kvadrat sa stranicom 6.
Bočna površina se sastoji od četiri lica, koja su jednakih trouglova. Da biste pronašli površinu takvog trokuta, morate znati njegovu osnovu i visinu (apotemu):
*Površina trokuta jednaka je polovini umnoška osnove i visine povučene ovoj osnovici.
Baza je poznata, jednaka je šest. Hajde da nađemo visinu. Razmislite o pravokutnom trokutu (naglašeno žutom):
Jedna noga je jednaka 4, pošto je ovo visina piramide, druga je jednaka 3, jer je jednaka polovini ivice baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:
To znači da je površina bočne površine piramide:
Dakle, površina cijele piramide je:
Odgovor: 96
27069. Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide jednake su 10, bočne ivice jednake su 13. Nađite površinu ove piramide.
27070. Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide jednake su 10, bočne ivice jednake su 13. Nađite površinu bočne površine ove piramide.
Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. IN ispravna piramida osnova je ortogonalna projekcija bočna površina, dakle:
P- perimetar baze, l- apotema piramide
*Ova formula se zasniva na formuli za površinu trokuta.
Ako želite saznati više o tome kako se ove formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Prilikom pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija sa bočnim stranama jasna, budući da su trouglovi, onda je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći površinu osnove piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili nepravilna figura. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce, postoje samo zadaci s tačnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilan trougao
Odnosno, jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide se izračunava po formuli:
S = (a 2 * √3) / 4.
Square
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni regularni n-ugao
Strana poligona ima istu notaciju. Za broj korištenih uglova latinično pismo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunavanju bočne i ukupne površine?
Pošto je osnova pravilna figura, sva lica piramide su jednaka. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem stranica baze.
Square jednakokraki trougao izračunava se pomoću formule u kojoj se polovina proizvoda baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu to izgleda ovako:
S = ½ P*A, gdje je P obim osnove piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njena osnova ima stranu 4 cm, a apotema ima vrijednost √3 cm.
Rješenje. Morate početi s izračunavanjem perimetra baze. Pošto je ovo pravilan trokut, onda je P = 3*4 = 12 cm. Pošto je apotema poznata, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Za trougao u osnovi dobijate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete sabrati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovori. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina donje strane je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Rješenje. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, njegova osnova je kvadrat. Kada znate površinu baze i bočnih strana, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trougla. Stoga možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.
Prvi proračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, tako da ćete prilikom izračunavanja konačnog broja morati da ga pomnožite sa 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovori. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Rješenje. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo komplikovaniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorine teoreme i razmotriti da je formirana visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovini stranice kvadrata, jer visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Tražena apotema (hipotenuza pravougaonog trougla) je jednako √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovori. 96 cm 2.
Problem br. 4
Stanje. Dana ispravna strana njegove osnove su 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Rješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.
Prije svega, osnovna površina se izračunava korištenjem gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati polu-perimetar jednakokračnog trokuta, što je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm Ostaje samo da pomoću Heronove formule izračunate površinu svakog takvog trokuta, a zatim ga pomnožite sa šest i dodate onom dobijenom za osnovu.
Proračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje da ih zbrojimo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovori. Osnova je 726√3 cm2, bočna površina je 3960 cm2, ukupna površina je 5217 cm2.
Paralelepiped je četvorougaona prizma sa paralelogramom u osnovi. Postoje gotove formule za izračunavanje bočne i ukupne površine figure, za koje su potrebne samo dužine tri dimenzije paralelepipeda.
Kako pronaći bočnu površinu pravokutnog paralelepipeda
Potrebno je razlikovati pravougaoni i ravni paralelepiped. Osnova ravne figure može biti bilo koji paralelogram. Površina takve figure mora se izračunati pomoću drugih formula.
Zbir S bočnih strana pravokutnog paralelepipeda izračunava se pomoću jednostavne formule P*h, gdje je P obim, a h visina. Slika pokazuje da su suprotne strane pravokutnog paralelepipeda jednake, a visina h poklapa se s dužinom rubova okomitih na osnovu.
Površina kvadra
Ukupna površina figure sastoji se od strane i površine 2 baze. Kako pronaći površinu pravokutnog paralelepipeda:
Gdje su a, b i c dimenzije geometrijskog tijela.
Opisane formule su lako razumljive i korisne u rješavanju mnogih geometrijskih problema. Primjer tipičnog zadatka prikazan je na sljedećoj slici.
Prilikom rješavanja problema ove vrste, treba imati na umu da se osnova četverokutne prizme bira proizvoljno. Ako kao osnovu uzmemo lice dimenzija x i 3, tada će vrijednosti Sside biti različite, a Stotal će ostati 94 cm2.
Površina kocke
Kocka je kuboid, u kojem su sve 3 dimenzije jednake jedna drugoj. U tom smislu, formule za ukupnu i bočnu površinu kocke razlikuju se od standardnih.
Obim kocke je 4a, dakle, Sside = 4*a*a = 4*a2. Ovi izrazi nisu potrebni za pamćenje, ali značajno ubrzavaju rješavanje zadataka.