Para sa kumpletong pag-aaral ng function at pag-plot ng graph nito, inirerekomenda ang sumusunod na scheme:
A) hanapin ang domain ng kahulugan, break point; imbestigahan ang pag-uugali ng function na malapit sa mga discontinuity point (hanapin ang mga limitasyon ng function sa kaliwa at kanan sa mga puntong ito). Tukuyin ang mga patayong asymptotes.
B) tukuyin ang kapantay o kakaiba ng pag-andar at gumawa ng konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng simetrya. Kung , kung gayon ang function ay pantay, simetriko na may paggalang sa OY axis; para sa , ang function ay kakaiba, simetriko na may paggalang sa pinagmulan; at kung ay isang function pangkalahatang pananaw.
C) hanapin ang mga punto ng intersection ng function na may coordinate axes OY at OX (kung maaari), tukuyin ang mga pagitan ng sign ng function. Ang mga hangganan ng sign constancy interval ng isang function ay tinutukoy ng mga punto kung saan ang function ay katumbas ng zero (ang mga zero ng function) o wala at sa pamamagitan ng mga hangganan ng domain ng kahulugan ng function na ito. Sa mga pagitan kung saan matatagpuan ang graph ng function sa itaas ng axis ng OX, at kung saan - sa ibaba ng axis na ito.
D) hanapin ang unang derivative ng function, tukuyin ang mga zero at pagitan ng constancy. Sa mga pagitan kung saan tumataas ang function at kung saan ito bumababa. Gumawa ng isang konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng extrema (mga punto kung saan umiiral ang function at ang derivative at kapag dumadaan kung saan nagbabago ang sign. Kung binago nito ang sign mula plus hanggang minus, sa puntong ito ang function ay may maximum, at kung mula minus hanggang minus. plus, pagkatapos ay isang minimum). Maghanap ng mga halaga ng function sa mga extremum point.
E) hanapin ang pangalawang derivative, ang mga zero nito at mga pagitan ng constancy. Sa mga pagitan kung saan< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) maghanap ng mga pahilig (pahalang) na asymptotes na ang mga equation ay may anyo 
; saan 
.
Sa 
ang graph ng function ay magkakaroon ng dalawang oblique asymptotes, at ang bawat value ng x at at maaaring tumutugma sa dalawang value ng b.
G) maghanap ng mga karagdagang punto upang pinuhin ang graph (kung kinakailangan) at bumuo ng isang graph.
Halimbawa 1
Siyasatin ang function at i-plot ang graph nito. Solusyon: A) domain ng kahulugan ; ang function ay tuloy-tuloy sa domain ng kahulugan; – breaking point, kasi ; 
. Pagkatapos ay ang vertical asymptote.
B)
mga. y(x) ay isang pangkalahatang function.
C) Nahanap namin ang mga punto ng intersection ng graph na may OY axis: itinakda namin ang x=0; pagkatapos ay y(0)=–1, ibig sabihin. ang graph ng function ay tumatawid sa axis sa punto (0;-1). Mga zero ng function (mga punto ng intersection ng graph na may OX axis): ipinapalagay namin na y=0; Pagkatapos 
.
diskriminasyon quadratic equation mas mababa sa zero, kaya walang mga zero. Kung gayon ang hangganan ng mga pagitan ng katatagan ay ang puntong x=1, kung saan wala ang function.
Ang tanda ng pag-andar sa bawat isa sa mga agwat ay tinutukoy ng paraan ng mga bahagyang halaga:
Makikita mula sa diagram na sa pagitan ang graph ng function ay matatagpuan sa ilalim ng OX axis, at sa interval sa itaas ng OX axis.
D) Nalaman namin ang pagkakaroon ng mga kritikal na punto.
.
Ang mga kritikal na punto (kung saan o wala) ay matatagpuan mula sa mga pagkakapantay-pantay at .
Nakukuha namin ang: x1=1, x2=0, x3=2. Gumawa tayo ng auxiliary table
Talahanayan 1 
(Ang unang linya ay naglalaman ng mga kritikal na punto at ang mga agwat kung saan ang mga puntong ito ay nahahati sa axis ng OX; ang pangalawang linya ay nagpapahiwatig ng mga halaga ng derivative sa mga kritikal na punto at ang mga palatandaan sa mga pagitan. Ang mga palatandaan ay tinutukoy ng pamamaraan ng mga bahagyang halaga. Ang ikatlong linya ay nagpapahiwatig ng mga halaga ng function na y(x) sa mga kritikal na punto at ipinapakita ang pag-uugali ng function - pagtaas o pagbaba sa mga katumbas na pagitan ng numerical axis. Bukod pa rito, ang pagkakaroon ng isang minimum o maximum ay ipinahiwatig.
E) Hanapin ang mga pagitan ng convexity at concavity ng function.
; bumuo kami ng isang talahanayan tulad ng sa talata D); tanging sa pangalawang linya ay isinulat namin ang mga palatandaan, at sa pangatlo ay ipinapahiwatig namin ang uri ng umbok. kasi ; yun kritikal na punto isang x=1.
talahanayan 2 
Ang puntong x=1 ay ang inflection point.
E) Maghanap ng oblique at horizontal asymptotes 
Kung gayon ang y=x ay isang pahilig na asymptote.
G) Ayon sa data na nakuha, bumuo kami ng isang graph ng function 
1). Saklaw ng pag-andar.
Malinaw, ang function na ito ay tinukoy sa buong linya ng numero, maliban sa mga puntos na "" at "", dahil sa mga puntong ito, ang denominator ay katumbas ng zero at, samakatuwid, ang function ay hindi umiiral, at ang mga linya at ay vertical asymptotes.
2). Pag-uugali ng function kapag ang argument ay may posibilidad na infinity, ang pagkakaroon ng mga discontinuity point at pagsuri para sa mga pahilig na asymptotes.
Suriin muna natin kung paano kumikilos ang function kapag papalapit sa infinity sa kaliwa at sa kanan. 
Kaya, sa , ang function ay may posibilidad na 1, i.e. ay ang pahalang na asymptote.
Sa kapitbahayan ng mga discontinuity point, ang pag-uugali ng function ay tinukoy bilang mga sumusunod: 
Yung. kapag papalapit sa mga discontinuity point sa kaliwa, ang function ay bumababa nang walang hanggan, habang sa kanan, ito ay tumataas nang walang hanggan.
Tinutukoy namin ang pagkakaroon ng isang pahilig na asymptote sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa pagkakapantay-pantay: 
Walang mga pahilig na asymptotes.
3). Mga intersection point na may coordinate axes.
Narito ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang dalawang sitwasyon: upang mahanap ang punto ng intersection sa Ox axis at sa Oy axis. Ang isang tanda ng intersection sa x-axis ay ang zero na halaga ng function, i.e. kailangan mong lutasin ang equation:
Ang equation na ito ay walang mga ugat, samakatuwid, ang graph ng function na ito ay walang mga punto ng intersection sa Ox axis.
Ang isang tanda ng intersection sa Oy axis ay ang halaga x \u003d 0. Sa kasong ito
,
mga. - ang punto ng intersection ng function graph na may Oy axis.
4).Pagpapasiya ng mga extremum point at mga pagitan ng pagtaas at pagbaba.
Upang imbestigahan ang isyung ito, tinutukoy namin ang unang derivative: 
.
Tinutumbas namin sa zero ang halaga ng unang derivative. 
.
Ang fraction ay zero kapag sero numerator nito, i.e. .
Tukuyin natin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function.
Kaya, ang function ay may isang extremum point at hindi umiiral sa dalawang punto.
Kaya, ang function ay tumataas sa mga pagitan at at bumababa sa mga pagitan at .
5). Mga inflection point at mga lugar ng convexity at concavity.
Ang katangiang ito ng pag-uugali ng function ay tinutukoy gamit ang pangalawang derivative. Alamin muna natin ang pagkakaroon ng mga inflection point. Ang pangalawang derivative ng function ay 
Para sa at ang function ay malukong;
para sa at ang function ay matambok.
6). Pag-plot ng isang function.
Gamit ang mga halaga na matatagpuan sa mga puntos, bumuo kami ng isang eskematiko na graph ng function:
Halimbawa3
I-explore ang Function 
at i-plot ito. Solusyon
Ang ibinigay na function ay isang non-periodic function ng pangkalahatang anyo. Ang graph nito ay dumadaan sa pinagmulan, dahil .
Ang domain ng ibinigay na function ay ang lahat ng value ng variable , maliban sa at , kung saan nawawala ang denominator ng fraction.
Samakatuwid, ang mga punto at ang mga breakpoint ng function.
kasi 
, 
kasi 
,
, kung gayon ang punto ay isang discontinuity point ng pangalawang uri.
Ang mga tuwid na linya at ang mga patayong asymptotes ng graph ng function.
Oblique asymptote equation , kung saan , 
.
Sa 
,
.
Kaya, para sa at ang graph ng function ay may isang asymptote .
Hanapin natin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function at ang mga punto ng extremums.
.
Ang unang derivative ng function sa at , samakatuwid, sa at ang function ay tumataas.
Para sa , samakatuwid, para sa , ang function ay bumababa.
ay hindi umiiral para sa , . 
, samakatuwid, sa 
ang graph ng function ay malukong.
Sa 
, samakatuwid, sa 
ang graph ng function ay convex. 
Kapag dumadaan sa mga puntong , , nagbabago ang tanda. Kapag , ang function ay hindi tinukoy, samakatuwid, ang graph ng function ay may isang inflection point .
Bumuo tayo ng graph ng function. 
Pagtuturo
Hanapin ang saklaw ng function. Halimbawa, ang function na sin(x) ay tinukoy sa buong pagitan mula -∞ hanggang +∞, at ang function na 1/x ay tinukoy mula sa -∞ hanggang +∞, maliban sa puntong x = 0.
Tukuyin ang mga lugar ng pagpapatuloy at mga break point. Karaniwan ang isang function ay tuloy-tuloy sa parehong domain kung saan ito ay tinukoy. Upang makita ang mga discontinuities, kailangan mong kalkulahin kapag ang argument ay lumalapit sa mga nakahiwalay na punto sa loob ng domain ng kahulugan. Halimbawa, ang function na 1/x ay may posibilidad na infinity kapag x→0+ at minus infinity kapag x→0-. Nangangahulugan ito na sa puntong x = 0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri.
Kung ang mga limitasyon sa discontinuity point ay may hangganan ngunit hindi pantay, ito ay isang discontinuity ng unang uri. Kung pantay ang mga ito, ang function ay itinuturing na tuloy-tuloy, kahit na hindi ito tinukoy sa isang nakahiwalay na punto.
Hanapin ang mga patayong asymptotes, kung mayroon man. Makakatulong sa iyo ang mga kalkulasyon dito nakaraang hakbang, dahil ang vertical asymptote ay halos palaging nasa discontinuity point ng pangalawang uri. Gayunpaman, kung minsan hindi mga indibidwal na punto ang hindi kasama sa domain ng kahulugan, ngunit ang buong agwat ng mga puntos, at pagkatapos ay ang mga patayong asymptote ay maaaring matatagpuan sa mga gilid ng mga agwat na ito.
Suriin kung ang function ay may mga espesyal na katangian: kahit, kakaiba, at pana-panahon.
Ang function ay magiging kahit na para sa alinmang x sa domain f(x) = f(-x). Halimbawa cos(x) at x^2 - kahit na mga function.
Ang periodicity ay isang ari-arian na nagsasabing mayroong tiyak na numerong T na tinatawag na tuldok, na para sa alinmang x f(x) = f(x + T). Halimbawa, lahat ng major trigonometriko function(sine, cosine, tangent) - panaka-nakang.
Maghanap ng mga puntos. Upang gawin ito, kalkulahin ang derivative ng ibinigay na function at hanapin ang mga x value kung saan ito nawawala. Halimbawa, ang function na f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ay may derivative na g(x) = 3x^2 + 18x na naglalaho sa x = 0 at x = -6.
Upang matukoy kung aling mga extremum point ang maxima at alin ang minima, subaybayan ang pagbabago sa mga palatandaan ng derivative sa mga nakitang zero. Ang g(x) ay nagbabago ng sign mula sa plus sa x = -6 at pabalik mula sa minus patungo sa plus sa x = 0. Samakatuwid, ang function na f(x) ay may pinakamababa sa unang punto at pinakamababa sa pangalawa.
Kaya, nakakita ka rin ng mga lugar ng monotonicity: ang f(x) ay tumataas nang monotonikal sa pagitan -∞;-6, bumababa nang monotonikal sa -6;0 at tumataas muli sa 0;+∞.
Hanapin ang pangalawang derivative. Ipapakita ng mga ugat nito kung saan magiging matambok ang graph ng isang ibinigay na function, at kung saan ito magiging malukong. Halimbawa, ang pangalawang derivative ng function na f(x) ay magiging h(x) = 6x + 18. Naglalaho ito sa x = -3, binabago ang sign nito mula minus hanggang plus. Samakatuwid, ang graph f (x) bago ang puntong ito ay magiging matambok, pagkatapos nito - malukong, at ang puntong ito mismo ay magiging isang inflection point.
Ang isang function ay maaaring may iba pang mga asymptotes, maliban sa mga patayo, ngunit kung ang domain ng kahulugan nito ay kinabibilangan ng . Upang mahanap ang mga ito, kalkulahin ang limitasyon ng f(x) kapag x→∞ o x→-∞. Kung ito ay may hangganan, pagkatapos ay natagpuan mo ang pahalang na asymptote.
Ang oblique asymptote ay isang tuwid na linya ng anyong kx + b. Upang mahanap ang k, kalkulahin ang limitasyon ng f(x)/x bilang x→∞. Upang mahanap ang b - limit (f(x) – kx) na may parehong x→∞.
I-plot ang function sa nakalkulang data. Lagyan ng label ang mga asymptotes, kung mayroon man. Markahan ang mga extremum point at ang mga halaga ng function sa kanila. Para sa higit na katumpakan ng graph, kalkulahin ang mga halaga ng function sa ilang higit pang mga intermediate na punto. Nakumpleto ang pananaliksik.
Ang mga reference point sa pag-aaral ng mga function at ang pagbuo ng kanilang mga graph ay mga katangian na punto - mga punto ng discontinuity, extremum, inflection, intersection sa mga coordinate axes. Sa tulong ng differential calculus, maaaring magtatag ang isa katangian mga pagbabago sa function: pagtaas at pagbaba, maxima at minima, ang direksyon ng convexity at concavity ng graph, ang pagkakaroon ng mga asymptotes.
Ang isang sketch ng function graph ay maaaring (at dapat) i-sketch pagkatapos mahanap ang mga asymptotes at extremum point, at ito ay maginhawa upang punan ang buod ng talahanayan ng pag-aaral ng function sa kurso ng pag-aaral.
Karaniwan, ang sumusunod na pamamaraan ng pananaliksik sa pag-andar ay ginagamit.
1.Hanapin ang domain, continuity interval, at breakpoints ng isang function.
2.Suriin ang function para sa kahit o kakaiba (axial o sentral na simetrya sining ng grapiko.
3.Maghanap ng mga asymptotes (vertical, horizontal o oblique).
4.Hanapin at galugarin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function, ang mga extremum point nito.
5.Hanapin ang mga pagitan ng convexity at concavity ng curve, ang mga inflection point nito.
6.Hanapin ang mga punto ng intersection ng curve na may mga coordinate axes, kung mayroon sila.
7.Bumuo ng talaan ng buod ng pag-aaral.
8.Bumuo ng isang graph, na isinasaalang-alang ang pag-aaral ng function, na isinasagawa ayon sa mga punto sa itaas.
Halimbawa. I-explore ang Function
at i-plot ito.
7. Gumawa tayo ng isang talahanayan ng buod ng pag-aaral ng function, kung saan ilalagay natin ang lahat ng mga katangiang puntos at ang mga pagitan sa pagitan nila. Dahil sa parity ng function, nakukuha namin ang sumusunod na talahanayan:
Mga Tampok ng Tsart |
||||
[-1, 0[ |
Tumataas |
Matambok |
||
(0; 1) – pinakamataas na punto |
||||
]0, 1[ |
Bumababa |
Matambok |
||
Inflection point, mga form na may axis baka mahinang anggulo |
Para sa kumpletong pag-aaral ng function at pag-plot ng graph nito, inirerekomendang gamitin ang sumusunod na scheme:
1) hanapin ang saklaw ng function;
2) hanapin ang mga discontinuity point ng function at vertical asymptotes (kung mayroon sila);
3) imbestigahan ang pag-uugali ng function sa infinity, hanapin ang pahalang at pahilig na mga asymptotes;
4) imbestigahan ang function para sa evenness (oddity) at para sa periodicity (para sa trigonometric functions);
5) hanapin ang extrema at mga pagitan ng monotonicity ng function;
6) matukoy ang mga pagitan ng convexity at inflection point;
7) maghanap ng mga punto ng intersection sa mga coordinate axes, kung maaari, at ilang karagdagang mga punto na nagpapadalisay sa graph.
Ang pag-aaral ng function ay isinasagawa nang sabay-sabay sa pagbuo ng graph nito.
Halimbawa 9 Galugarin ang function at bumuo ng isang graph.
1. Domain ng kahulugan: ;
2. Ang function break sa mga punto 
,
;
Sinisiyasat namin ang function para sa pagkakaroon ng mga vertical asymptotes.
;
,
─ patayong asymptote.
;
,
─ patayong asymptote.
3. Sinisiyasat namin ang function para sa pagkakaroon ng pahilig at pahalang na mga asymptotes.
Diretso 
─ oblique asymptote, kung 
,
.
,
.
Diretso 
─ pahalang na asymptote.
4. Ang function ay kahit na dahil 
. Ang parity ng function ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph na may paggalang sa y-axis.
5. Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity at extrema ng function.
Hanapin natin ang mga kritikal na punto, i.e. mga punto kung saan ang derivative ay 0 o wala: 
;
. Mayroon kaming tatlong puntos 
;
. Hinahati ng mga puntong ito ang buong totoong axis sa apat na pagitan. Tukuyin natin ang mga palatandaan 
sa bawat isa sa kanila.
Sa pagitan (-∞; -1) at (-1; 0) tumataas ang function, sa pagitan (0; 1) at (1; +∞) bumababa ito. Kapag dumaan sa isang punto 
ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, samakatuwid, sa puntong ito, ang function ay may maximum 
.
6. Maghanap tayo ng mga pagitan ng convexity, mga inflection point.
Hanapin natin ang mga punto kung saan 
ay 0, o wala.
walang tunay na ugat. 
,
,
puntos 
At 
hatiin ang totoong axis sa tatlong pagitan. Tukuyin natin ang tanda 
sa bawat pagitan.
Kaya, ang curve sa mga pagitan 
At 
matambok pababa, sa pagitan (-1;1) matambok paitaas; walang mga inflection point, dahil ang function sa mga punto 
At 
hindi determinado.
7. Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga axes.
may ehe 
ang graph ng function ay nag-intersect sa punto (0; -1), at sa axis 
ang graph ay hindi nagsalubong, dahil ang numerator ng function na ito ay walang tunay na ugat.
Ang graph ng ibinigay na function ay ipinapakita sa Figure 1.
Figure 1 ─ Graph ng function 
Paglalapat ng konsepto ng derivative sa ekonomiya. Pagkalastiko ng function
Upang pag-aralan ang mga prosesong pang-ekonomiya at malutas ang iba pang inilapat na mga problema, ang konsepto ng pagkalastiko ng pag-andar ay kadalasang ginagamit.
Kahulugan. Pagkalastiko ng function 
ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng kamag-anak na pagtaas ng function 
sa relatibong pagtaas ng variable 
sa 
, . (VII)
Ang elasticity ng isang function ay nagpapakita ng humigit-kumulang kung gaano karaming porsyento ang function na magbabago 
kapag binabago ang independent variable 
ng 1%.
Ang elasticity ng isang function ay ginagamit sa pagsusuri ng demand at pagkonsumo. Kung ang pagkalastiko ng demand (sa ganap na halaga) 
, ang demand ay itinuturing na elastic kung 
─ neutral kung 
─ hindi nababanat na may kinalaman sa presyo (o kita).
Halimbawa 10 Kalkulahin ang elasticity ng isang function 
at hanapin ang halaga ng elasticity index para sa 
= 3.
Solusyon: ayon sa formula (VII) ang elasticity ng function:
Hayaan ang x=3 pagkatapos 
Nangangahulugan ito na kung ang independent variable ay tumaas ng 1%, ang halaga ng dependent variable ay tataas ng 1.42%.
Halimbawa 11 Hayaang gumana ang demand 
patungkol sa presyo 
may porma 
, Saan 
─ pare-pareho ang koepisyent. Hanapin ang halaga ng elasticity index ng demand function sa presyo x = 3 den. mga yunit
Solusyon: kalkulahin ang elasticity ng demand function gamit ang formula (VII)
Ipagpalagay 
monetary units, nakukuha namin 
. Nangangahulugan ito na sa presyo 
yunit ng pananalapi ang pagtaas ng presyo ng 1% ay magdudulot ng pagbaba ng demand ng 6%, i.e. elastic ang demand.
Isa sa mga kritikal na gawain differential calculus ay ang pag-unlad karaniwang mga halimbawa pag-aaral ng pag-uugali ng mga function.
Kung ang function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa pagitan, at ang derivative nito ay positibo o katumbas ng 0 sa pagitan (a, b), kung gayon ang y \u003d f (x) ay tataas ng (f "(x) 0). Kung ang function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa segment , at ang derivative nito ay negatibo o katumbas ng 0 sa interval (a,b), kung gayon ang y=f(x) ay bumababa ng (f"( x)0)
Ang mga agwat kung saan ang function ay hindi bumababa o tumataas ay tinatawag na mga pagitan ng monotonicity ng function. Ang likas na katangian ng monotonicity ng isang function ay maaari lamang magbago sa mga puntong iyon ng domain ng kahulugan nito, kung saan nagbabago ang tanda ng unang derivative. Ang mga punto kung saan ang unang derivative ng isang function ay naglalaho o nasira ay tinatawag na mga kritikal na punto.
Teorama 1 (1st sapat na kondisyon ang pagkakaroon ng isang extremum).
Hayaang tukuyin ang function na y=f(x) sa puntong x 0 at magkaroon ng neighborhood δ>0 na ang function ay tuloy-tuloy sa segment , differentiable sa interval (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , at ang derivative nito ay nagpapanatili ng pare-parehong tanda sa bawat isa sa mga pagitan na ito. Kung sa x 0 -δ, x 0) at (x 0, x 0 + δ) ay magkaiba ang mga senyales ng derivative, kung gayon ang x 0 ay isang extremum point, at kung magkatugma sila, ang x 0 ay hindi isang extremum point . Bukod dito, kung, kapag dumadaan sa puntong x0, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus (sa kaliwa ng x 0, f "(x)> 0 ay ginanap, kung gayon ang x 0 ay ang pinakamataas na punto; kung ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus (sa kanan ng x 0 ay isinasagawa ng f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Ang maximum at minimum na mga punto ay tinatawag na mga extremum point ng function, at ang maxima at minima ng function ay tinatawag na mga extreme value nito.
Theorem 2 (kinakailangang criterion para sa isang lokal na extremum).
Kung ang function na y=f(x) ay may extremum sa kasalukuyang x=x 0, kung gayon alinman sa f'(x 0)=0 o f'(x 0) ay wala.
Sa mga extremum point ng isang differentiable function, ang tangent sa graph nito ay parallel sa Ox axis.
Algorithm para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum:
1) Hanapin ang derivative ng function.
2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. mga punto kung saan ang function ay tuloy-tuloy at ang derivative ay zero o wala.
3) Isaalang-alang ang kapitbahayan ng bawat isa sa mga punto, at suriin ang tanda ng derivative sa kaliwa at kanan ng puntong ito.
4) Tukuyin ang mga coordinate ng mga matinding puntos, para sa halagang ito ng mga kritikal na punto, ipalit sa function na ito. Gamit ang sapat na extremum na mga kondisyon, gumuhit ng angkop na mga konklusyon.
Halimbawa 18. Siyasatin ang function na y=x 3 -9x 2 +24x
Solusyon.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Pag-equate ng derivative sa zero, makikita natin ang x 1 =2, x 2 =4. Sa kasong ito, ang derivative ay tinukoy sa lahat ng dako; samakatuwid, bukod sa dalawang nahanap na punto, walang iba pang mga kritikal na punto.
3) Ang sign ng derivative na y "=3(x-2)(x-4) ay nagbabago depende sa pagitan tulad ng ipinapakita sa Figure 1. Kapag dumadaan sa puntong x=2, ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, at kapag dumadaan sa puntong x=4 - mula minus hanggang plus.
4) Sa puntong x=2, ang function ay may pinakamataas na y max =20, at sa puntong x=4 - isang minimum na y min =16.
Theorem 3. (2nd sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum).
Hayaang umiral ang f "(x 0) at f "" (x 0) sa puntong x 0. Pagkatapos kung f "" (x 0)> 0, kung gayon ang x 0 ang pinakamababang punto, at kung f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Sa segment, ang function na y \u003d f (x) ay maaaring maabot ang pinakamaliit (hindi bababa sa) o pinakamalaking (hindi bababa) na halaga alinman sa mga kritikal na punto ng function na nakahiga sa pagitan (a; b), o sa mga dulo ng segment.
Ang algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function y=f(x) sa segment :
1) Hanapin ang f "(x).
2) Hanapin ang mga punto kung saan ang f "(x) = 0 o f" (x) - ay wala, at piliin mula sa kanila ang mga nasa loob ng segment.
3) Kalkulahin ang halaga ng function y \u003d f (x) sa mga puntos na nakuha sa talata 2), pati na rin sa mga dulo ng segment at piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit sa kanila: sila, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamalaking ( para sa pinakamalaki) at pinakamaliit (para sa pinakamaliit) na halaga ng function sa pagitan .
Halimbawa 19. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng tuluy-tuloy na function y=x 3 -3x 2 -45+225 sa segment .
1) Mayroon kaming y "=3x 2 -6x-45 sa segment
2) Ang derivative y" ay umiiral para sa lahat ng x. Hanapin natin ang mga punto kung saan y"=0; makuha namin:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga puntos na x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Tanging ang puntong x=5 ang nabibilang sa segment. Ang pinakamalaking sa mga nahanap na halaga ng function ay 225, at ang pinakamaliit ay ang numero 50. Kaya, sa max = 225, sa max = 50.
Pagsisiyasat ng isang function sa convexity
Ipinapakita ng figure ang mga graph ng dalawang function. Ang una sa kanila ay nakabukas na may isang umbok pataas, ang pangalawa - na may isang umbok pababa.
Ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy sa segment at naiba sa pagitan (a;b), ay tinatawag na convex pataas (pababa) sa segment na ito, kung para sa axb ang graph nito ay hindi mas mataas (hindi mas mababa) kaysa sa tangent iginuhit sa anumang punto M 0 (x 0 ;f(x 0)), kung saan ang axb.
Theorem 4. Hayaang ang function na y=f(x) ay magkaroon ng pangalawang derivative sa anumang panloob na punto x ng segment at maging tuluy-tuloy sa mga dulo ng segment na ito. Pagkatapos kung ang hindi pagkakapantay-pantay f""(x)0 ay nasiyahan sa pagitan (a;b), kung gayon ang function ay pababang matambok sa segment ; kung ang hindi pagkakapantay-pantay f""(x)0 ay nasiyahan sa pagitan (а;b), kung gayon ang function ay matambok paitaas sa .
Theorem 5. Kung ang function na y=f(x) ay may pangalawang derivative sa interval (a;b) at kung nagbabago ito ng sign kapag dumadaan sa point x 0 , kung gayon ang M(x 0 ;f(x 0)) ay isang inflection point.
Panuntunan para sa paghahanap ng mga inflection point:
1) Maghanap ng mga punto kung saan ang f""(x) ay wala o naglalaho.
2) Suriin ang sign f""(x) sa kaliwa at sa kanan ng bawat puntong makikita sa unang hakbang.
3) Batay sa Theorem 4, gumuhit ng konklusyon.
Halimbawa 20. Maghanap ng mga extremum point at inflection point ng function graph y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Mayroon tayong f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Malinaw, f"(x)=0 para sa x 1 =0, x 2 =1. Ang derivative, kapag dumadaan sa puntong x=0, nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, at kapag dumadaan sa puntong x=1, hindi ito nagbabago ng sign. Nangangahulugan ito na ang x=0 ay ang pinakamababang punto (y min =12), at walang extremum sa puntong x=1. Susunod, hanapin namin 
. Ang pangalawang derivative ay naglalaho sa mga puntong x 1 =1, x 2 =1/3. Ang mga palatandaan ng pangalawang derivative ay nagbabago tulad ng sumusunod: Sa ray (-∞;) mayroon tayong f""(x)>0, sa interval (;1) mayroon tayong f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Samakatuwid, ang x= ay ang inflection point ng function graph (transition mula sa convexity pababa hanggang convexity up) at ang x=1 ay isa ring inflection point (transition mula sa convexity pataas hanggang convexity down). Kung x=, kung gayon y= ; kung, kung gayon x=1, y=13.
Isang algorithm para sa paghahanap ng asymptote ng isang graph
I. Kung y=f(x) bilang x → a , kung gayon ang x=a ay ang patayong asymptote.
II. Kung y=f(x) bilang x → ∞ o x → -∞ kung gayon ang y=A ay ang pahalang na asymptote.
III. Upang mahanap ang pahilig na asymptote, ginagamit namin ang sumusunod na algorithm:
1) Kalkulahin . Kung umiiral ang limitasyon at katumbas ng b, kung gayon ang y=b ay ang pahalang na asymptote; kung , pagkatapos ay pumunta sa pangalawang hakbang.
2) Kalkulahin . Kung ang limitasyong ito ay hindi umiiral, pagkatapos ay walang asymptote; kung ito ay umiiral at katumbas ng k, pagkatapos ay pumunta sa ikatlong hakbang.
3) Kalkulahin . Kung ang limitasyong ito ay hindi umiiral, pagkatapos ay walang asymptote; kung ito ay umiiral at katumbas ng b, pagkatapos ay pumunta sa ikaapat na hakbang.
4) Isulat ang equation ng oblique asymptote y=kx+b.
Halimbawa 21: Maghanap ng asymptote para sa isang function 
1) 
2)
3)
4) Ang oblique asymptote equation ay may anyo
Ang scheme ng pag-aaral ng function at ang pagbuo ng graph nito
I. Hanapin ang domain ng function.
II. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may coordinate axes.
III. Maghanap ng mga asymptotes.
IV. Maghanap ng mga punto ng posibleng extremum.
V. Maghanap ng mga kritikal na punto.
VI. Gamit ang pantulong na pagguhit, siyasatin ang tanda ng una at pangalawang derivatives. Tukuyin ang mga lugar ng pagtaas at pagbaba ng function, hanapin ang direksyon ng convexity ng graph, extremum point at inflection point.
VII. Bumuo ng isang graph, na isinasaalang-alang ang pag-aaral na isinagawa sa parapo 1-6.
Halimbawa 22: Mag-plot ng function graph ayon sa scheme sa itaas
Solusyon.
I. Ang domain ng function ay ang set ng lahat ng tunay na numero, maliban sa x=1.
II. Dahil ang equation x 2 +1=0 ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang graph ng function ay walang mga punto ng intersection sa Ox axis, ngunit intersects ang Oy axis sa punto (0; -1).
III. Linawin natin ang tanong ng pagkakaroon ng mga asymptotes. Sinisiyasat namin ang pag-uugali ng function na malapit sa discontinuity point x=1. Dahil y → ∞ para sa x → -∞, y → +∞ para sa x → 1+, kung gayon ang linyang x=1 ay isang patayong asymptote ng graph ng function.
Kung x → +∞(x → -∞), pagkatapos ay y → +∞(y → -∞); samakatuwid, ang graph ay walang pahalang na asymptote. Dagdag pa, mula sa pagkakaroon ng mga limitasyon
Ang paglutas ng equation x 2 -2x-1=0, nakakakuha tayo ng dalawang puntos ng posibleng extremum:
x 1 =1-√2 at x 2 =1+√2
V. Upang mahanap ang mga kritikal na punto, kinakalkula namin ang pangalawang derivative:
Dahil ang f""(x) ay hindi naglalaho, walang mga kritikal na punto.
VI. Sinisiyasat namin ang tanda ng una at pangalawang derivatives. Mga posibleng extremum point na dapat isaalang-alang: x 1 =1-√2 at x 2 =1+√2, hatiin ang lugar ng pag-iral ng function sa mga pagitan (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) at (1+√2;+∞).
Sa bawat isa sa mga agwat na ito, pinapanatili ng derivative ang tanda nito: sa una - plus, sa pangalawa - minus, sa pangatlo - plus. Ang pagkakasunod-sunod ng mga palatandaan ng unang hinalaw ay isusulat tulad ng sumusunod: +, -, +.
Nakuha namin na ang function sa (-∞;1-√2) ay tumataas, sa (1-√2;1+√2) ito ay bumababa, at sa (1+√2;+∞) ito ay tumataas muli. Extremum na puntos: maximum sa x=1-√2, bukod pa rito f(1-√2)=2-2√2 minimum sa x=1+√2, saka f(1+√2)=2+2√2. Sa (-∞;1) ang graph ay matambok pataas, at sa (1;+∞) - pababa.
VII Gumawa tayo ng talahanayan ng mga nakuhang halaga
VIII Batay sa nakuhang datos, bumuo kami ng sketch ng graph ng function 