Πίνακες, ορίζουσες, συστήματα γραμμικών εξισώσεων, ορισμός πινάκων. Τύποι πινάκων. Καθοριστικές. Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση καθοριστικών παραγόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικές εξισώσεις. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση. Εάν το αναγνωριστικό συστήματος δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, αλλά αν είναι ίση με μηδέν, τότε δεν μπορεί. Επιπλέον, η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που έχουν μοναδική λύση.

Ορισμός. Μια ορίζουσα που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και συμβολίζεται (δέλτα).

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές των αντίστοιχων αγνώστων με ελεύθερους όρους:

;

Θεώρημα Cramer. Εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής περιέχει την ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής περιέχει την ορίζουσα που προκύπτει από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές αυτού του αγνώστου με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Παράδειγμα 1.Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με Θεώρημα Cramerέχουμε:

Λοιπόν, η λύση στο σύστημα (2):

ηλεκτρονική αριθμομηχανή, αποφασιστική μέθοδοςΚράμερ.

Τρεις περιπτώσεις επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Όπως είναι σαφές από Θεώρημα Cramer, κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, μπορούν να προκύψουν τρεις περιπτώσεις:

Πρώτη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση

(το σύστημα είναι συνεπές και συγκεκριμένο)

Δεύτερη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων

(το σύστημα είναι συνεπές και αβέβαιο)

** ,

εκείνοι. οι συντελεστές των αγνώστων και των ελεύθερων όρων είναι ανάλογοι.

Τρίτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις

(το σύστημα είναι ασυνεπές)

Το σύστημα λοιπόν Μγραμμικές εξισώσεις με nπου ονομάζονται μεταβλητές μη άρθρωση, αν δεν έχει μια ενιαία λύση, και άρθρωση, εάν έχει τουλάχιστον μία λύση. Ένα ταυτόχρονο σύστημα εξισώσεων που έχει μόνο μία λύση ονομάζεται βέβαιοςκαι περισσότερα από ένα - αβέβαιος.

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer

Ας δοθεί το σύστημα

Με βάση το θεώρημα του Cramer

………….
,

Οπου
-

καθοριστικός παράγοντας συστήματος. Λαμβάνουμε τις υπόλοιπες ορίζουσες αντικαθιστώντας τη στήλη με τους συντελεστές της αντίστοιχης μεταβλητής (άγνωστη) με ελεύθερους όρους:

Παράδειγμα 2.

Επομένως, το σύστημα είναι καθορισμένο. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, (1; 0; -1) είναι η μόνη λύση στο σύστημα.

Για να ελέγξετε λύσεις σε συστήματα εξισώσεων 3 X 3 και 4 X 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης του Cramer.

Αν σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχουν μεταβλητές σε μία ή περισσότερες εξισώσεις, τότε στην ορίζουσα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν! Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Κοιτάξτε προσεκτικά το σύστημα των εξισώσεων και την ορίζουσα του συστήματος και επαναλάβετε την απάντηση στο ερώτημα σε ποιες περιπτώσεις ένα ή περισσότερα στοιχεία της ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν. Άρα, η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν, επομένως το σύστημα είναι οριστικό. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση στο σύστημα είναι (2; -1; 1).

Αρχή σελίδας

Συνεχίζουμε να επιλύουμε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer από κοινού

Όπως ήδη αναφέρθηκε, εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν και οι ορίζουσες των αγνώστων δεν είναι ίσες με μηδέν, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Ας το εξηγήσουμε με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι είτε ασυνεπές και οριστικό, είτε ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Για να διευκρινίσουμε, υπολογίζουμε ορίζουσες για αγνώστους

Οι ορίζουσες των αγνώστων δεν είναι ίσες με το μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις.

Σε προβλήματα που αφορούν συστήματα γραμμικών εξισώσεων, υπάρχουν επίσης εκείνα όπου, εκτός από τα γράμματα που δηλώνουν μεταβλητές, υπάρχουν και άλλα γράμματα. Αυτά τα γράμματα αντιπροσωπεύουν έναν αριθμό, τις περισσότερες φορές πραγματικό. Στην πράξη, τα προβλήματα αναζήτησης οδηγούν σε τέτοιες εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων γενικές ιδιότητεςοποιαδήποτε φαινόμενα ή αντικείμενα. Δηλαδή έχετε εφεύρει κάποιο νέο υλικόή μια συσκευή και για να περιγράψετε τις ιδιότητές της, οι οποίες είναι κοινές ανεξάρτητα από το μέγεθος ή τον αριθμό μιας παρουσίας, πρέπει να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου αντί για κάποιους συντελεστές για μεταβλητές υπάρχουν γράμματα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε μακριά για παραδείγματα.

Το ακόλουθο παράδειγμα αφορά ένα παρόμοιο πρόβλημα, μόνο ο αριθμός των εξισώσεων, των μεταβλητών και των γραμμάτων που δηλώνουν έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό αυξάνεται.

Παράδειγμα 8.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

Ένα σύστημα Ν γραμμικού αλγεβρικές εξισώσεις(SLAE) με αγνώστους, οι συντελεστές των οποίων είναι τα στοιχεία του πίνακα και οι ελεύθεροι όροι είναι αριθμοί

Ο πρώτος δείκτης δίπλα στους συντελεστές υποδεικνύει σε ποια εξίσωση βρίσκεται ο συντελεστής και ο δεύτερος - σε ποιον από τους αγνώστους βρίσκεται.

Εάν η ορίζουσα του πίνακα δεν είναι μηδέν

τότε το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων έχει μοναδική λύση.

Η λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι ένα τέτοιο διατεταγμένο σύνολο αριθμών που μετατρέπει καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος σε σωστή ισότητα.

Αν οι δεξιές πλευρές όλων των εξισώσεων του συστήματος είναι ίσες με μηδέν, τότε το σύστημα των εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές. Στην περίπτωση που κάποια από αυτά είναι διαφορετικά από μηδενικά – ετερογενή

Εάν ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων έχει τουλάχιστον μία λύση, τότε ονομάζεται συμβατό, διαφορετικά ονομάζεται ασυμβίβαστο.

Εάν η λύση του συστήματος είναι μοναδική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται οριστικό. Στην περίπτωση που η λύση ενός κοινού συστήματος δεν είναι μοναδική, το σύστημα των εξισώσεων ονομάζεται απροσδιόριστο.

Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων ονομάζονται ισοδύναμα (ή ισοδύναμα) αν όλες οι λύσεις ενός συστήματος είναι λύσεις του δεύτερου και αντίστροφα. Λαμβάνουμε ισοδύναμα (ή ισοδύναμα) συστήματα χρησιμοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς.

Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί SLAE

1) αναδιάταξη των εξισώσεων.

2) πολλαπλασιασμός (ή διαίρεση) των εξισώσεων με έναν μη μηδενικό αριθμό.

3) προσθέτοντας μια άλλη εξίσωση σε κάποια εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη με έναν αυθαίρετο μη μηδενικό αριθμό.

Η λύση στο SLAE μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους.

ΜΕΘΟΔΟΣ CRAMER

ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΡΑΜΕΡ. Εάν η ορίζουσα ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με αγνώστους είναι μη μηδενική, τότε αυτό το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer:

— ορίζουσες που σχηματίζονται αντικαθιστώντας τη στήλη με μια στήλη ελεύθερων όρων.

Εάν , και τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε το SLAE δεν έχει λύσεις. Αν , τότε το SLAE έχει πολλές λύσεις. Ας δούμε παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer.

—————————————————————

Δίνεται σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer

Ας βρούμε την ορίζουσα του πίνακα συντελεστών για αγνώστους

Από τότε για αυτό το σύστημαΟι εξισώσεις είναι συμβατές και έχουν μια μοναδική λύση. Ας υπολογίσουμε τις ορίζουσες:

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε τους αγνώστους

Έτσι η μόνη λύση στο σύστημα.

Δίνεται ένα σύστημα τεσσάρων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer.

Ας βρούμε την ορίζουσα του πίνακα συντελεστών για τους αγνώστους. Για να γίνει αυτό, ας το επεκτείνουμε κατά μήκος της πρώτης γραμμής.

Ας βρούμε τα συστατικά της ορίζουσας:

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην ορίζουσα

Ορίζουσα, επομένως το σύστημα των εξισώσεων είναι συνεπές και έχει μοναδική λύση. Ας υπολογίσουμε τις ορίζουσες χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer:

Ας αποσυνθέσουμε καθεμία από τις ορίζουσες σύμφωνα με τη στήλη στην οποία υπάρχουν περισσότερα μηδενικά.

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε

Λύση συστήματος

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί μαθηματική αριθμομηχανή YukhymCALC. Ένα τμήμα του προγράμματος και τα αποτελέσματα των υπολογισμών παρουσιάζονται παρακάτω.

——————————

C R A M E R A ΜΕΘΟΔΟΣ

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

Δείτε υλικά:

(jσχόλια σε)

Στη γενική περίπτωση, ο κανόνας για τον υπολογισμό των καθοριστικών παραγόντων της τάξης είναι αρκετά επαχθής. Για ορίζοντες δεύτερης και τρίτης τάξης υπάρχουν ορθολογικούς τρόπουςτους υπολογισμούς τους.

Υπολογισμοί οριζόντων δεύτερης τάξης

Για να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης τάξης, πρέπει να αφαιρέσετε το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου από το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου:

Παράδειγμα

Ασκηση.Υπολογίστε την ορίζουσα δεύτερης τάξης

Λύση.

Απάντηση.

Μέθοδοι υπολογισμού οριζόντων τρίτης τάξης

Υπάρχουν οι ακόλουθοι κανόνες για τον υπολογισμό οριζόντων τρίτης τάξης.

Κανόνας τριγώνου

Σχηματικά, αυτός ο κανόνας μπορεί να απεικονιστεί ως εξής:

Το γινόμενο των στοιχείων της πρώτης ορίζουσας που συνδέονται με ευθείες γραμμές λαμβάνεται με πρόσημο συν. ομοίως, για τη δεύτερη ορίζουσα, τα αντίστοιχα γινόμενα λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο, δηλ.

Παράδειγμα

Ασκηση.Υπολογίστε ορίζουσα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγώνου.

Λύση.

Απάντηση.

Ο κανόνας του Sarrus

Στα δεξιά της ορίζουσας προστίθενται οι δύο πρώτες στήλες και τα γινόμενα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο και στις παράλληλες προς αυτήν διαγώνιες λαμβάνονται με σύμβολο συν. και τα γινόμενα των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου και των παράλληλων προς αυτήν διαγωνίων, με πρόσημο μείον:

Παράδειγμα

Ασκηση.Υπολογίστε ορίζουσα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Sarrus.

Λύση.

Απάντηση.

Επέκταση της ορίζουσας ανά γραμμή ή στήλη

Καθοριστικός ίσο με το άθροισμαγινόμενα των στοιχείων της ορίζουσας συμβολοσειράς από τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

Συνήθως επιλέγεται η γραμμή/στήλη που περιέχει μηδενικά. Η σειρά ή η στήλη κατά μήκος της οποίας πραγματοποιείται η αποσύνθεση θα υποδεικνύεται με ένα βέλος.

Παράδειγμα

Ασκηση.Επεκτείνοντας κατά μήκος της πρώτης σειράς, υπολογίστε την ορίζουσα

Λύση.

Απάντηση.

Αυτή η μέθοδος επιτρέπει στον υπολογισμό της ορίζουσας να μειωθεί στον υπολογισμό μιας ορίζουσας κατώτερης τάξης.

Παράδειγμα

Ασκηση.Υπολογίστε ορίζουσα

Λύση.Ας κάνουμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς στις ευθείες της ορίζουσας: από τη δεύτερη γραμμή αφαιρούμε τις πρώτες τέσσερις και από την τρίτη την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί επτά, ως αποτέλεσμα, σύμφωνα με τις ιδιότητες της ορίζουσας, παίρνουμε μια ορίζουσα ίσο με το δεδομένο.

Η ορίζουσα είναι μηδέν επειδή η δεύτερη και η τρίτη σειρά είναι αναλογικές.

Απάντηση.

Για τον υπολογισμό ορίζουσες τέταρτης τάξης και υψηλότερης, χρησιμοποιούνται είτε επέκταση γραμμής/στήλης είτε αναγωγή σε τριγωνική μορφή είτε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Laplace.

Αποσύνθεση της ορίζουσας σε στοιχεία γραμμής ή στήλης

Παράδειγμα

Ασκηση.Υπολογίστε ορίζουσα , αποσυνθέτοντάς το σε στοιχεία κάποιας γραμμής ή κάποιας στήλης.

Λύση.Ας κάνουμε πρώτα στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές της ορίζουσας, κάνοντας όσο το δυνατόν περισσότερα μηδενικά είτε στη γραμμή είτε στη στήλη. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε πρώτα εννέα τρίτα από την πρώτη γραμμή, πέντε τρίτα από τη δεύτερη και τρία τρίτα από την τέταρτη, παίρνουμε:

Ας αποσυνθέσουμε την ορίζουσα που προκύπτει στα στοιχεία της πρώτης στήλης:

Θα επεκτείνουμε επίσης την προκύπτουσα ορίζουσα τρίτης τάξης στα στοιχεία της γραμμής και της στήλης, έχοντας προηγουμένως λάβει μηδενικά, για παράδειγμα, στην πρώτη στήλη.

Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε τις δύο δεύτερες γραμμές από την πρώτη γραμμή και τη δεύτερη από την τρίτη:

Απάντηση.

Σχόλιο

Η τελευταία και η προτελευταία ορίζουσα δεν μπορούσαν να υπολογιστούν, αλλά αμέσως συμπεραίνουμε ότι είναι ίσες με μηδέν, αφού περιέχουν αναλογικές σειρές.

Αναγωγή της ορίζουσας σε τριγωνική μορφή

Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σε γραμμές ή στήλες, η ορίζουσα μειώνεται σε τριγωνική μορφή και στη συνέχεια η τιμή της, σύμφωνα με τις ιδιότητες της ορίζουσας, ισούται με το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο.

Παράδειγμα

Ασκηση.Υπολογίστε ορίζουσα φέρνοντάς το σε τριγωνική μορφή.

Λύση.Πρώτα κάνουμε μηδενικά στην πρώτη στήλη κάτω από την κύρια διαγώνιο.

4. Ιδιότητες οριζόντιων παραγόντων. Ορίζουσα του γινομένου πινάκων.

Όλοι οι μετασχηματισμοί θα είναι ευκολότεροι να εκτελεστούν εάν το στοιχείο είναι ίσο με 1. Για να γίνει αυτό, θα ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη στήλη της ορίζουσας, η οποία, σύμφωνα με τις ιδιότητες της ορίζουσας, θα την κάνει να αλλάξει το πρόσημά της σε απεναντι απο:

Στη συνέχεια, παίρνουμε μηδενικά στη δεύτερη στήλη στη θέση των στοιχείων κάτω από την κύρια διαγώνιο. Και πάλι, εάν το διαγώνιο στοιχείο είναι ίσο με , τότε οι υπολογισμοί θα είναι απλούστεροι. Για να το κάνετε αυτό, αλλάξτε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή (και ταυτόχρονα αλλάξτε στο αντίθετο πρόσημο της ορίζουσας):

Απάντηση.

Θεώρημα Laplace

Παράδειγμα

Ασκηση.Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Laplace, υπολογίστε την ορίζουσα

Λύση.Ας επιλέξουμε δύο σειρές σε αυτήν την ορίζουσα πέμπτης τάξης - τη δεύτερη και την τρίτη, και μετά λαμβάνουμε (παραλείπουμε τους όρους που είναι ίσοι με μηδέν):

Απάντηση.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ I

§ 31 Η περίπτωση που η κύρια ορίζουσα ενός συστήματος εξισώσεων είναι ίση με μηδέν, και τουλάχιστον μία από τις βοηθητικές ορίζουσες είναι διαφορετική από το μηδέν

Θεώρημα.Αν η κύρια ορίζουσα του συστήματος των εξισώσεων

(1)

ισούται με μηδέν, και τουλάχιστον μία από τις βοηθητικές ορίζουσες είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα είναι ασυνεπές.

Τυπικά, η απόδειξη αυτού του θεωρήματος δεν είναι δύσκολο να επιτευχθεί με αντίφαση. Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων (1) έχει μια λύση ( Χ 0 , y 0). Στη συνέχεια, όπως φαίνεται στην προηγούμενη παράγραφο,

Δ Χ 0 = Δ Χ , Δ y 0 = Δ y (2)

Αλλά σύμφωνα με την προϋπόθεση Δ = 0, και τουλάχιστον μία από τις ορίζουσες Δ Χ Και Δ y διαφορετικό από το μηδέν. Έτσι, οι ισότητες (2) δεν μπορούν να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ωστόσο, φαίνεται ενδιαφέρον να μάθουμε λεπτομερέστερα γιατί το σύστημα των εξισώσεων (1) είναι ασυνεπές στην υπό εξέταση περίπτωση.

σημαίνει ότι οι συντελεστές για τους αγνώστους στο σύστημα των εξισώσεων (1) είναι ανάλογοι. Ας, για παράδειγμα,

ένα 1 =κα 2 ,σι 1 = kb 2 .

σημαίνει ότι οι συντελεστές για στο και οι ελεύθεροι όροι των εξισώσεων του συστήματος (1) δεν είναι ανάλογοι. Επειδή η σι 1 = kb 2, λοιπόν ντο 1 =/= kc 2 .

Επομένως, το σύστημα των εξισώσεων (1) μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Σε αυτό το σύστημα, οι συντελεστές για τους αγνώστους είναι αναλογικοί, αντίστοιχα, αλλά οι συντελεστές για στο (ή πότε Χ ) και οι ελεύθεροι όροι δεν είναι αναλογικοί. Ένα τέτοιο σύστημα είναι, φυσικά, ασυμβίβαστο. Πράγματι, αν είχε μια λύση ( Χ 0 , y 0), τότε θα ισχύουν οι αριθμητικές ισότητες

κ (ένα 2 Χ 0 + σι 2 y 0) = ντο 1

ένα 2 Χ 0 + σι 2 y 0 = ντο 2 .

Αλλά η μία από αυτές τις ισότητες έρχεται σε αντίθεση με την άλλη: τελικά, ντο 1 =/= kc 2 .

Εξετάσαμε μόνο την περίπτωση όταν Δ Χ =/= 0. Η περίπτωση μπορεί να εξεταστεί ομοίως όταν Δ y =/= 0."

Το αποδεδειγμένο θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί με αυτόν τον τρόπο.

Αν οι συντελεστές για τους αγνώστους ΧΚαι στοστο σύστημα των εξισώσεων (1) είναι αναλογικοί, αλλά οι συντελεστές για οποιοδήποτε από αυτά τα άγνωστα και οι ελεύθεροι όροι δεν είναι ανάλογοι, τότε αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι ασυνεπές.

Είναι εύκολο, για παράδειγμα, να βεβαιωθείτε ότι καθένα από αυτά τα συστήματα θα είναι ασύμβατο:

Μέθοδος Cramer για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Οι τύποι του Cramer

Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση οριζόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση.

Η μέθοδος του Cramer. Εφαρμογή για συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Εάν η ορίζουσα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, αλλά αν είναι ίση με μηδέν, τότε δεν μπορεί. Επιπλέον, η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που έχουν μοναδική λύση.

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές των αντίστοιχων αγνώστων με ελεύθερους όρους:

;

Παράδειγμα 1.Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με Θεώρημα Cramerέχουμε:

Λοιπόν, η λύση στο σύστημα (2):

Τρεις περιπτώσεις επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Πρώτη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση

(το σύστημα είναι συνεπές και συγκεκριμένο)

Δεύτερη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων

(το σύστημα είναι συνεπές και αβέβαιο)

**
,

εκείνοι. οι συντελεστές των αγνώστων και των ελεύθερων όρων είναι ανάλογοι.

Τρίτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις

(το σύστημα είναι ασυνεπές)

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer

Ας δοθεί το σύστημα

Με βάση το θεώρημα του Cramer

………….
,

Οπου
—

Παράδειγμα 2.

Επομένως, το σύστημα είναι καθορισμένο. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, (1; 0; -1) είναι η μόνη λύση στο σύστημα.

Για να ελέγξετε τις λύσεις στα συστήματα των εξισώσεων 3 X 3 και 4 X 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης του Cramer.

Παράδειγμα 3.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση στο σύστημα είναι (2; -1; 1).

Αρχή σελίδας

Κάντε το τεστ στα Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων

Παράδειγμα 4.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Σε προβλήματα που αφορούν συστήματα γραμμικών εξισώσεων, υπάρχουν επίσης εκείνα όπου, εκτός από τα γράμματα που δηλώνουν μεταβλητές, υπάρχουν και άλλα γράμματα. Αυτά τα γράμματα αντιπροσωπεύουν έναν αριθμό, τις περισσότερες φορές πραγματικό. Στην πράξη, τέτοιες εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων οδηγούνται από προβλήματα αναζήτησης γενικών ιδιοτήτων οποιωνδήποτε φαινομένων ή αντικειμένων. Δηλαδή, έχετε εφεύρει κάποιο νέο υλικό ή συσκευή και για να περιγράψετε τις ιδιότητές του, οι οποίες είναι κοινές ανεξάρτητα από το μέγεθος ή την ποσότητα του δείγματος, πρέπει να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου αντί για κάποιους συντελεστές για τις μεταβλητές εκεί είναι γράμματα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε μακριά για παραδείγματα.

Παράδειγμα 6.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Και τελικά σύστημα των τεσσάρωνεξισώσεις με τέσσερις αγνώστους.

Παράδειγμα 7.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Προσοχή! Οι μέθοδοι για τον υπολογισμό των οριζόντων τέταρτης τάξης δεν θα επεξηγηθούν εδώ. Για αυτό, μεταβείτε στην κατάλληλη ενότητα του ιστότοπου. Θα υπάρξουν όμως κάποια μικρά σχόλια. Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Ένα μικρό σχόλιο. Στην αρχική ορίζουσα, τα στοιχεία της τέταρτης σειράς αφαιρέθηκαν από τα στοιχεία της δεύτερης σειράς, τα στοιχεία της τέταρτης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί 2, αφαιρέθηκαν από τα στοιχεία της τρίτης σειράς και τα στοιχεία της πρώτης σειράς, πολλαπλασιάζεται επί 2, από τα στοιχεία της τέταρτης σειράς. Μετασχηματισμοί των αρχικών οριζόντιων με τα τρία πρώταάγνωστα παρήχθησαν σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο. Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

Για τον μετασχηματισμό της ορίζουσας για τον τέταρτο άγνωστο, τα στοιχεία της τέταρτης σειράς αφαιρέθηκαν από τα στοιχεία της πρώτης σειράς.

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση στο σύστημα είναι (1; 1; -1; -1).

Οι πιο προσεκτικοί άνθρωποι πιθανώς παρατήρησαν ότι το άρθρο δεν περιείχε παραδείγματα επίλυσης απροσδιόριστων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Και όλα αυτά επειδή είναι αδύνατο να επιλυθούν τέτοια συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer· μπορεί κανείς μόνο να δηλώσει ότι το σύστημα είναι αβέβαιο. Λύσεις σε τέτοια συστήματα παρέχονται με τη μέθοδο Gauss.

Δεν έχετε χρόνο να εμβαθύνετε στη λύση; Μπορείτε να παραγγείλετε μια δουλειά!

Αρχή σελίδας

Κάντε το τεστ στα Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων

Άλλο με θέμα "Συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων"

Αριθμομηχανή - επίλυση συστημάτων εξισώσεων online

Εφαρμογή λογισμικού της μεθόδου Cramer σε C++

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της υποκατάστασης και τη μέθοδο της πρόσθεσης

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss

Συνθήκη συνέπειας για σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Θεώρημα Kronecker-Capelli

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα (αντίστροφος πίνακας)

Συστήματα γραμμικών ανισώσεων και κυρτών συνόλων σημείων

Έναρξη του θέματος «Γραμμική άλγεβρα»

Καθοριστικές

Σε αυτό το άρθρο θα εξοικειωθούμε με μια πολύ σημαντική έννοια από τον κλάδο της γραμμικής άλγεβρας, η οποία ονομάζεται ορίζουσα.

Θα ήθελα να σημειώσω αμέσως σημαντικό σημείο: η έννοια της ορίζουσας ισχύει μόνο για τετράγωνους πίνακες (αριθμός γραμμών = αριθμός στηλών), άλλοι πίνακες δεν την έχουν.

Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα(ορίζουσα) - αριθμητικό χαρακτηριστικό του πίνακα.

Προσδιορισμός οριζόντιων παραγόντων: |A|, det A, ∆ ΕΝΑ.

ΚαθοριστικόςΗ σειρά «n» είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των πιθανών γινομένων των στοιχείων της που ικανοποιούν τις ακόλουθες απαιτήσεις:

1) Κάθε τέτοιο προϊόν περιέχει ακριβώς "n" στοιχεία (δηλαδή, μια ορίζουσα 2ης τάξης - 2 στοιχεία).

2) Σε κάθε προϊόν υπάρχει ένας αντιπρόσωπος κάθε γραμμής και κάθε στήλης ως παράγοντας.

3) Τυχόν δύο παράγοντες σε κάθε προϊόν δεν μπορούν να ανήκουν στην ίδια γραμμή ή στήλη.

Το πρόσημο του γινόμενου καθορίζεται από τη σειρά εναλλαγής των αριθμών στηλών, εάν τα στοιχεία στο γινόμενο είναι διατεταγμένα σε αύξουσα σειρά αριθμών σειρών.

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα εύρεσης της ορίζουσας ενός πίνακα:

Για έναν πίνακα πρώτης τάξης (δηλ.

Γραμμικές εξισώσεις. Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος του Cramer.

υπάρχει μόνο 1 στοιχείο), η ορίζουσα είναι ίση με αυτό το στοιχείο:

2. Θεωρήστε έναν τετραγωνικό πίνακα δεύτερης τάξης:

3. Θεωρήστε έναν τετραγωνικό πίνακα τρίτης τάξης (3×3):

4. Ας δούμε τώρα παραδείγματα με πραγματικούς αριθμούς:

Κανόνας τριγώνου.

Ο κανόνας του τριγώνου είναι ένας τρόπος υπολογισμού της ορίζουσας ενός πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει την εύρεση του σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

Όπως ήδη καταλαβαίνετε, η μέθοδος ονομάστηκε κανόνας τριγώνου λόγω του γεγονότος ότι τα πολλαπλασιασμένα στοιχεία του πίνακα σχηματίζουν περίεργα τρίγωνα.

Για να το καταλάβουμε καλύτερα, ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ας δούμε τώρα τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα με πραγματικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου:

Για να εμπεδώσουμε το υλικό που καλύψαμε, ας λύσουμε ένα άλλο πρακτικό παράδειγμα:

Ιδιότητες προσδιοριστικών παραγόντων:

1. Αν τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης είναι ίσα με μηδέν, τότε η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

2. Η ορίζουσα θα αλλάξει πρόσημο εάν ανταλλάσσονται 2 σειρές ή στήλες. Ας το δούμε αυτό με ένα μικρό παράδειγμα:

3. Η ορίζουσα του μετατιθέμενου πίνακα είναι ίση με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα.

4. Η ορίζουσα ισούται με μηδέν αν τα στοιχεία μιας σειράς είναι ίσα με τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (και για στήλες). Το απλούστερο παράδειγμα αυτής της ιδιότητας των οριζόντων είναι:

5. Η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν αν οι 2 σειρές της είναι ανάλογες (και για τις στήλες). Παράδειγμα (οι γραμμές 1 και 2 είναι αναλογικές):

6. Ο κοινός παράγοντας μιας σειράς (στήλης) μπορεί να αφαιρεθεί από την ορίζουσα.

7) Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει εάν τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) προστεθούν στα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με την ίδια τιμή. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα:

Ελάσσονα και αλγεβρικό συμπλήρωμα

Πρόσθεση και αφαίρεση πινάκων με παραδείγματα

Δράσεις με πίνακες

Η έννοια της "μήτρας"

Προβολές: 57258

Η ορίζουσα (γνωστή και ως ορίζουσα) βρίσκεται μόνο σε τετραγωνικούς πίνακες. Η ορίζουσα δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια τιμή που συνδυάζει όλα τα στοιχεία του πίνακα, η οποία διατηρείται κατά τη μεταφορά σειρών ή στηλών. Μπορεί να συμβολιστεί ως det(A), |A|, Δ(A), Δ, όπου το A μπορεί να είναι είτε πίνακας είτε γράμμα που το δηλώνει. Μπορείτε να το βρείτε χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους:

Όλες οι παραπάνω προτεινόμενες μέθοδοι θα αναλυθούν σε πίνακες μεγέθους τρία και άνω. Η ορίζουσα ενός δισδιάστατου πίνακα βρίσκεται χρησιμοποιώντας τρεις στοιχειώδεις μαθηματικές πράξεις, επομένως η εύρεση της ορίζουσας ενός δισδιάστατου πίνακα δεν θα εμπίπτει σε καμία από τις μεθόδους. Λοιπόν, εκτός από προσθήκη, αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

Ας βρούμε την ορίζουσα ενός πίνακα 2x2:

Για να βρούμε την ορίζουσα του πίνακα μας, πρέπει να αφαιρέσουμε το γινόμενο των αριθμών της μιας διαγωνίου από την άλλη, δηλαδή,

Παραδείγματα εύρεσης της ορίζουσας πινάκων δεύτερης τάξης

Αποσύνθεση γραμμής/στήλης

Επιλέξτε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη στον πίνακα. Κάθε αριθμός στην επιλεγμένη γραμμή πολλαπλασιάζεται με (-1) i+j όπου (i,j είναι ο αριθμός της γραμμής, στήλης αυτού του αριθμού) και πολλαπλασιάζεται με την ορίζουσα δεύτερης τάξης, που αποτελείται από τα υπόλοιπα στοιχεία μετά τη διαγραφή η σειρά i και η στήλη j. Ας το αναλύσουμε στο matrix

Επιλέξτε μια γραμμή/στήλη

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη δεύτερη γραμμή.

Σημείωση: Εάν δεν αναφέρεται ρητά ποια γραμμή να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε την ορίζουσα, επιλέξτε τη γραμμή που έχει μηδέν. Θα υπάρξουν λιγότεροι υπολογισμοί.

Ας κάνουμε μια έκφραση

Δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ότι το πρόσημο ενός αριθμού αλλάζει κάθε δεύτερη φορά. Επομένως, αντί για μονάδες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο πίνακα:

Ας αλλάξουμε το πρόσημο των αριθμών μας

Ας βρούμε τις ορίζουσες των πινάκων μας

Ας τα μετρήσουμε όλα

Η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Παραδείγματα εύρεσης της ορίζουσας με επέκταση γραμμής/στήλης:

Μέθοδος αναγωγής σε τριγωνική μορφή (χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς)

Η ορίζουσα βρίσκεται με την αναγωγή του πίνακα σε τριγωνική (βήμα) μορφή και πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο

Τριγωνικός πίνακας είναι ένας πίνακας του οποίου τα στοιχεία στη μία πλευρά της διαγωνίου είναι ίσα με μηδέν.

Κατά την κατασκευή μιας μήτρας, θα πρέπει να θυμάστε τρεις απλούς κανόνες:

Κάθε φορά που οι σειρές εναλλάσσονται, η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο.
Κατά τον πολλαπλασιασμό/διαίρεση μιας συμβολοσειράς με το όχι μηδενικός αριθμός, θα πρέπει να διαιρεθεί (αν πολλαπλασιαστεί)/πολλαπλασιαστεί (αν διαιρεθεί) με αυτό ή αυτή η ενέργεια θα πρέπει να εκτελεστεί με την προκύπτουσα ορίζουσα.
Όταν προσθέτουμε μια συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό σε μια άλλη συμβολοσειρά, η ορίζουσα δεν αλλάζει (η πολλαπλασιασμένη συμβολοσειρά παίρνει την αρχική της τιμή).

Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε μηδενικά στην πρώτη στήλη και μετά στη δεύτερη.

Ας ρίξουμε μια ματιά στον πίνακα μας:

Τόοοοο. Για να γίνουν οι υπολογισμοί πιο ευχάριστοι, θα ήθελα να έχω τον πλησιέστερο αριθμό από πάνω. Μπορείτε να το αφήσετε, αλλά μην το κάνετε. Εντάξει, έχουμε δύο στη δεύτερη γραμμή και τέσσερις στην πρώτη.

Ας ανταλλάξουμε αυτές τις δύο γραμμές.

Ανταλλάξαμε τις γραμμές, τώρα πρέπει είτε να αλλάξουμε το πρόσημο μιας γραμμής είτε στο τέλος να αλλάξουμε το πρόσημο της ορίζουσας.

Καθοριστικές. Υπολογισμός οριζόντων (σελίδα 2)

Θα το κάνουμε αργότερα.

Τώρα, για να πάρετε το μηδέν στην πρώτη γραμμή, πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με 2.

Ας αφαιρέσουμε την 1η γραμμή από τη δεύτερη.

Σύμφωνα με τον 3ο κανόνα μας, επαναφέρουμε την αρχική συμβολοσειρά στην αρχική της θέση.

Τώρα ας κάνουμε ένα μηδέν στην 3η γραμμή. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την 1η γραμμή επί 1,5 και να αφαιρέσουμε από την τρίτη, αλλά η εργασία με κλάσματα φέρνει λίγη ευχαρίστηση. Επομένως, ας βρούμε έναν αριθμό στον οποίο μπορούν να μειωθούν και οι δύο γραμμές - αυτός είναι το 6.

Πολλαπλασιάστε την 3η γραμμή με 2.

Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε την 1η γραμμή επί 3 και ας αφαιρέσουμε από την 3η.

Ας επιστρέψουμε την 1η σειρά μας.

Μην ξεχνάτε ότι πολλαπλασιάσαμε την 3η γραμμή επί 2, οπότε θα διαιρέσουμε την ορίζουσα με το 2.

Υπάρχει μία στήλη. Τώρα, για να πάρουμε μηδενικά στη δεύτερη - ξεχάστε την 1η γραμμή - δουλεύουμε με τη 2η γραμμή. Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη γραμμή με -3 και προσθέστε την στην τρίτη.

Μην ξεχάσετε να επιστρέψετε τη δεύτερη γραμμή.

Έτσι έχουμε φτιάξει μια τριγωνική μήτρα. Τι μας μένει; Το μόνο που μένει είναι να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς στην κύρια διαγώνιο, κάτι που θα κάνουμε.

Λοιπόν, μένει να θυμόμαστε ότι πρέπει να διαιρέσουμε την ορίζοντή μας με το 2 και να αλλάξουμε το πρόσημο.

Ο κανόνας του Sarrus (Κανόνας των τριγώνων)

Ο κανόνας του Sarrus ισχύει μόνο για τετράγωνους πίνακες τρίτης τάξης.

Η ορίζουσα υπολογίζεται προσθέτοντας τις δύο πρώτες στήλες στα δεξιά του πίνακα, πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία των διαγωνίων του πίνακα και προσθέτοντάς τα και αφαιρώντας το άθροισμα των αντίθετων διαγωνίων. Αφαιρέστε τις μωβ από τις πορτοκαλί διαγώνιες.

Ο κανόνας των τριγώνων είναι ίδιος, μόνο η εικόνα είναι διαφορετική.

Το θεώρημα του Laplace βλέπε Αποσύνθεση Γραμμών/Στήλων

1.1. Συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων και ορίζουσες δεύτερης τάξης

Θεωρήστε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους:

Πιθανότητα με αγνώστους Και έχουν δύο δείκτες: ο πρώτος δείχνει τον αριθμό της εξίσωσης, ο δεύτερος - τον αριθμό της μεταβλητής.

Κανόνας του Cramer: Η λύση στο σύστημα βρίσκεται διαιρώντας τις βοηθητικές ορίζουσες με την κύρια ορίζουσα του συστήματος

Σημείωση 1.Η χρήση του κανόνα του Cramer είναι δυνατή εάν ο προσδιοριστής του συστήματος όχι ίσο με μηδέν.

Σημείωση 2.Οι τύποι του Cramer γενικεύονται σε συστήματα ανώτερης τάξης.

Παράδειγμα 1.Λύστε το σύστημα:
.

Λύση.

;
;

;

Εξέταση:

Συμπέρασμα:Το σύστημα έχει λυθεί σωστά:
.

1.2. Συστήματα τριών γραμμικών εξισώσεων και ορίζουσες τρίτης τάξης

Θεωρήστε ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστους:

Μια ορίζουσα που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους ονομάζεται καθοριστικός ή κύριος προσδιοριστής συστήματος:

Αν
τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία καθορίζεται από τους τύπους του Cramer:

πού είναι οι ορίζοντες
– λέγονται βοηθητικές και λαμβάνονται από την ορίζουσα αντικαθιστώντας την πρώτη, δεύτερη ή τρίτη στήλη του με μια στήλη ελεύθερων μελών του συστήματος.

Παράδειγμα 2.Λύστε το σύστημα
.

Ας σχηματίσουμε τις κύριες και τις βοηθητικές ορίζουσες:

Απομένει να εξεταστούν οι κανόνες για τον υπολογισμό των οριζόντων τρίτης τάξης. Υπάρχουν τρία από αυτά: ο κανόνας της προσθήκης στηλών, ο κανόνας Sarrus, ο κανόνας της αποσύνθεσης.

α) Ο κανόνας για την προσθήκη των δύο πρώτων στηλών στην κύρια ορίζουσα:

Ο υπολογισμός πραγματοποιείται ως εξής: τα γινόμενα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου και των παραλλήλων σε αυτήν συμβαδίζουν με το πρόσημο τους· με το αντίθετο πρόσημο λαμβάνονται τα γινόμενα των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου και των παραλλήλων σε αυτήν.

β) Ο κανόνας του Sarrus:

Με το πρόσημά τους παίρνουν τα γινόμενα των στοιχείων της κύριας διαγώνιου και κατά μήκος παραλλήλων προς αυτήν και το τρίτο στοιχείο που λείπει λαμβάνεται από την απέναντι γωνία. Με το αντίθετο σύμβολο, πάρτε τα γινόμενα των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου και κατά μήκος των παραλλήλων σε αυτό, το τρίτο στοιχείο λαμβάνεται από την απέναντι γωνία.

γ) Κανόνας αποσύνθεσης κατά στοιχεία γραμμής ή στήλης:

Αν
, Επειτα .

Αλγεβρικό συμπλήρωμαείναι μια ορίζουσα κατώτερης τάξης που λαμβάνεται διαγράφοντας την αντίστοιχη γραμμή και στήλη και λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο
, Οπου - αριθμός σειράς, – αριθμός στήλης.

Για παράδειγμα,

,
,
και τα λοιπά.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, υπολογίζουμε τις βοηθητικές ορίζουσες Και , επεκτείνοντάς τα σύμφωνα με τα στοιχεία της πρώτης σειράς.

Έχοντας υπολογίσει όλους τους ορίζοντες, βρίσκουμε τις μεταβλητές χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer:

Εξέταση:

Συμπέρασμα:το σύστημα λύνεται σωστά: .

Βασικές ιδιότητες των οριζόντων

Πρέπει να θυμόμαστε ότι η καθοριστική είναι αριθμός, βρέθηκε σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Ο υπολογισμός του μπορεί να απλοποιηθεί εάν χρησιμοποιήσουμε βασικές ιδιότητες που ισχύουν για ορίζοντες οποιασδήποτε τάξης.

Ιδιοκτησία 1. Η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει εάν όλες οι σειρές της αντικατασταθούν από στήλες που αντιστοιχούν σε αριθμό και αντίστροφα.

Η λειτουργία αντικατάστασης σειρών με στήλες ονομάζεται μεταφορά. Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι οποιαδήποτε πρόταση είναι αληθής για τις σειρές της ορίζουσας θα ισχύει και για τις στήλες της.

Ιδιοκτησία 2. Εάν αντικατασταθούν δύο σειρές (στήλες) στην ορίζουσα, το πρόσημο της ορίζουσας θα αλλάξει στο αντίθετο.

Ιδιοκτησία 3. Αν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς μιας ορίζουσας είναι ίσα με 0, τότε η ορίζουσα είναι ίση με 0.

Ιδιοκτησία 4. Αν τα στοιχεία της ορίζουσας συμβολοσειράς πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με κάποιο αριθμό , τότε η τιμή της ορίζουσας θα αυξηθεί (μειωθεί) σε μια φορά.

Εάν τα στοιχεία μιας σειράς έχουν έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορεί να αφαιρεθεί από το ορίζοντα.

Ιδιοκτησία 5. Εάν μια ορίζουσα έχει δύο ίδιες ή αναλογικές σειρές, τότε μια τέτοια ορίζουσα είναι ίση με 0.

Ιδιοκτησία 6. Εάν τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς μιας ορίζουσας είναι το άθροισμα δύο όρων, τότε η ορίζουσα είναι ίση με το άθροισμα των δύο ορίζοντων.

Ιδιοκτησία 7. Η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει εάν τα στοιχεία μιας σειράς προστεθούν στα στοιχεία μιας άλλης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό.

Σε αυτήν την ορίζουσα, πρώτα η τρίτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιάστηκε με 2, στη συνέχεια αφαιρέθηκε η δεύτερη από την τρίτη στήλη, μετά την οποία η δεύτερη σειρά προστέθηκε στην πρώτη και την τρίτη, με αποτέλεσμα να έχουμε πολλά μηδενικά και απλοποίησε τον υπολογισμό.

Στοιχειώδηςμεταμορφώσεις η ορίζουσα ονομάζεται απλοποίηση της μέσω της χρήσης των καθορισμένων ιδιοτήτων.

Παράδειγμα 1.Υπολογίστε ορίζουσα

Ο άμεσος υπολογισμός σύμφωνα με έναν από τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς. Επομένως, συνιστάται η χρήση των ιδιοτήτων:

α) από τη γραμμή 1, αφαιρέστε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη επί 2.

β) από τη γραμμή II αφαιρέστε το τρίτο, πολλαπλασιασμένο επί 3.

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

Ας επεκτείνουμε αυτήν την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης στήλης, η οποία περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο.

Συστήματα και καθοριστικοί παράγοντες ανώτερης τάξης

Σύστημα γραμμικές εξισώσεις με Τα άγνωστα μπορούν να γραφτούν ως εξής:

Για αυτήν την περίπτωση, είναι επίσης δυνατό να συνθέσουμε τις κύριες και βοηθητικές ορίζουσες και να καθορίσουμε τους αγνώστους χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer. Το πρόβλημα είναι ότι οι ορίζοντες υψηλότερης τάξης μπορούν να υπολογιστούν μόνο χαμηλώνοντας τη σειρά και μειώνοντάς τους σε ορίζοντες τρίτης τάξης. Αυτό μπορεί να γίνει με άμεση αποσύνθεση σε στοιχεία σειρών ή στηλών, καθώς και με χρήση προκαταρκτικών στοιχειωδών μετασχηματισμών και περαιτέρω αποσύνθεση.

Παράδειγμα 4.Υπολογίστε την ορίζουσα τέταρτης τάξης

Λύσημπορούμε να το βρούμε με δύο τρόπους:

α) με άμεση επέκταση στα στοιχεία της πρώτης σειράς:

β) μέσω προκαταρκτικών μετασχηματισμών και περαιτέρω αποσύνθεσης

	α) από τη γραμμή I αφαιρέστε III
	β) προσθέστε τη γραμμή II στο IV

Παράδειγμα 5.Υπολογίστε την ορίζουσα πέμπτης τάξης, λαμβάνοντας μηδενικά στην τρίτη σειρά χρησιμοποιώντας την τέταρτη στήλη

από την πρώτη γραμμή αφαιρούμε τη δεύτερη, από την τρίτη αφαιρούμε τη δεύτερη, από την τέταρτη αφαιρούμε τη δεύτερη πολλαπλασιαζόμενη επί 2.

αφαιρέστε το τρίτο από τη δεύτερη στήλη:

αφαιρέστε την τρίτη από τη δεύτερη γραμμή:

Παράδειγμα 6.Λύστε το σύστημα:

Λύση.Ας συνθέσουμε μια ορίζουσα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των οριζόντων, ας τον υπολογίσουμε:

(από την πρώτη σειρά αφαιρούμε την τρίτη, και στη συνέχεια στην προκύπτουσα ορίζουσα τρίτης τάξης από την τρίτη στήλη αφαιρούμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί 2). Καθοριστικός
, επομένως, ισχύουν οι τύποι του Cramer.

Ας υπολογίσουμε τις υπόλοιπες ορίζουσες:

Η τέταρτη στήλη πολλαπλασιάστηκε επί 2 και αφαιρέθηκε από την υπόλοιπη

Η τέταρτη στήλη αφαιρέθηκε από την πρώτη και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστηκε επί 2, αφαιρέθηκε από τη δεύτερη και την τρίτη στήλη.

Εδώ πραγματοποιήσαμε τους ίδιους μετασχηματισμούς όπως για
.

Όταν βρεις η πρώτη στήλη πολλαπλασιάστηκε επί 2 και αφαιρέθηκε από την υπόλοιπη.

Σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer έχουμε:

Αφού αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στις εξισώσεις, είμαστε πεπεισμένοι ότι η λύση στο σύστημα είναι σωστή.

2. ΟΙ ΜΕΤΡΕΣ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥΣ

ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Συστήματα Μγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος.
Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων- αυτό είναι ένα τέτοιο σύνολο αριθμών ( x 1 , x 2 , …, x n), όταν αντικατασταθεί σε καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος, προκύπτει η σωστή ισότητα.
Οπου a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— συντελεστές συστήματος·
b i, i = 1, …, m- δωρεάν μέλη
x j, j = 1, …, n- άγνωστο.
Το παραπάνω σύστημα μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας: Α Χ = Β,

Οπου ( ΕΝΑ|σι) είναι η κύρια μήτρα του συστήματος.
ΕΝΑ— εκτεταμένη μήτρα συστήματος.
Χ— στήλη αγνώστων·
σι— στήλη ελεύθερων μελών.
Αν μήτρα σιδεν είναι μηδενικός πίνακας ∅, τότε αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται ανομοιογενές.
Αν μήτρα σι= ∅, τότε αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές. Ένα ομοιογενές σύστημα έχει πάντα μια μηδενική (τετριμμένη) λύση: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Κοινό σύστημα γραμμικών εξισώσεωνείναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που έχει λύση.
Ασυνεπές σύστημα γραμμικών εξισώσεωνείναι ένα άλυτο σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Ορισμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεωνείναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που έχει μοναδική λύση.
Αόριστο σύστημα γραμμικών εξισώσεωνείναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με άπειρο αριθμό λύσεων.
Συστήματα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους
Εάν ο αριθμός των αγνώστων είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων, τότε ο πίνακας είναι τετράγωνος. Η ορίζουσα ενός πίνακα ονομάζεται η κύρια ορίζουσα ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και συμβολίζεται με το σύμβολο Δ.
Μέθοδος Cramerγια την επίλυση συστημάτων nγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος.
Ο κανόνας του Cramer.
Εάν η κύρια ορίζουσα ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων δεν είναι ίση με το μηδέν, τότε το σύστημα είναι συνεπές και ορισμένο και η μόνη λύση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Cramer:
όπου Δ i είναι ορίζουσες που λαμβάνονται από την κύρια ορίζουσα του συστήματος Δ με αντικατάσταση Εγώη στήλη στη στήλη των ελεύθερων μελών. .
Συστήματα m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους
Θεώρημα Kronecker–Capelli.

Προκειμένου ένα δεδομένο σύστημα γραμμικών εξισώσεων να είναι συνεπές, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα του συστήματος να είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα του συστήματος, rang(Α) = rang(Α|B).
Αν rang(Α) ≠ rang(Α|B), τότε το σύστημα προφανώς δεν έχει λύσεις.
Αν rang(Α) = rang(Α|B), τότε είναι δυνατές δύο περιπτώσεις:
1) rank(Α) = n(αριθμός αγνώστων) - η λύση είναι μοναδική και μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.
2) κατάταξη (Α)< n - υπάρχουν άπειρες λύσεις.
Μέθοδος Gaussγια την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Ας δημιουργήσουμε έναν εκτεταμένο πίνακα ( ΕΝΑ|σι) ενός δεδομένου συστήματος από τους συντελεστές των αγνώστων και των δεξιών πλευρών.
Η μέθοδος Gauss ή η μέθοδος εξάλειψης αγνώστων συνίσταται στη μείωση του εκτεταμένου πίνακα ( ΕΝΑ|σι) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές του σε μια διαγώνια μορφή (στην επάνω τριγωνική μορφή). Επιστρέφοντας στο σύστημα των εξισώσεων, προσδιορίζονται όλοι οι άγνωστοι.
Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί σε χορδές περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:
1) ανταλλάξτε δύο γραμμές.
2) πολλαπλασιάζοντας μια συμβολοσειρά με έναν αριθμό διαφορετικό από το 0.
3) προσθήκη μιας άλλης συμβολοσειράς σε μια συμβολοσειρά, πολλαπλασιασμένη με έναν αυθαίρετο αριθμό.
4) ρίχνοντας μια γραμμή μηδέν.
Ένας εκτεταμένος πίνακας που ανάγεται σε διαγώνια μορφή αντιστοιχεί σε ένα γραμμικό σύστημα ισοδύναμο με το δεδομένο, η λύση του οποίου δεν προκαλεί δυσκολίες. .
Σύστημα ομοιογενών γραμμικών εξισώσεων.
Ένα ομοιογενές σύστημα έχει τη μορφή:

αντιστοιχεί σε αυτό εξίσωση μήτρας A X = 0.
1) Ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού r(A) = r(A|B), υπάρχει πάντα μια μηδενική λύση (0, 0, …, 0).
2) Για να έχει ένα ομοιογενές σύστημα μη μηδενική λύση, είναι απαραίτητο και αρκετό αυτό r = r(A)< n , που ισοδυναμεί με Δ = 0.
3) Αν r< n , τότε προφανώς Δ = 0, τότε προκύπτουν ελεύθεροι άγνωστοι c 1 , c 2 , …, c n-r, το σύστημα έχει μη τετριμμένες λύσεις, και υπάρχουν άπειρες από αυτές.
4) Γενική λύση Χστο r< n μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας ως εξής:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
που είναι οι λύσεις X 1, X 2, …, X n-rσχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων.
5) Το θεμελιώδες σύστημα λύσεων μπορεί να ληφθεί από γενική λύσηομοιογενές σύστημα:

,
αν ορίσουμε διαδοχικά τις τιμές των παραμέτρων ίσες με (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0,…, 1).
Επέκταση της γενικής λύσης ως προς το θεμελιώδες σύστημα λύσεωνείναι μια εγγραφή μιας γενικής λύσης με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού λύσεων που ανήκουν στο θεμελιώδες σύστημα.
Θεώρημα. Για να έχει μια μη μηδενική λύση ένα σύστημα γραμμικών ομοιογενών εξισώσεων, είναι απαραίτητο και αρκετό Δ ≠ 0.
Άρα, αν η ορίζουσα Δ ≠ 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.
Αν Δ ≠ 0, τότε το σύστημα γραμμικών ομογενών εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
Θεώρημα. Για να έχει ένα ομοιογενές σύστημα μη μηδενική λύση, είναι απαραίτητο και αρκετό αυτό r(A)< n .
Απόδειξη:
1) rδεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερα n(η κατάταξη του πίνακα δεν υπερβαίνει τον αριθμό των στηλών ή των γραμμών).
2) r< n , επειδή Αν r = n, τότε η κύρια ορίζουσα του συστήματος Δ ≠ 0, και, σύμφωνα με τους τύπους του Cramer, υπάρχει μια μοναδική ασήμαντη λύση x 1 = x 2 = … = x n = 0, που έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση. Που σημαίνει, r(A)< n .
Συνέπεια. Για ένα ομοιογενές σύστημα nγραμμικές εξισώσεις με nοι άγνωστοι είχαν μη μηδενική λύση, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι Δ = 0.