Όταν μελετάμε πολύγωνα, μιλάμε για επίπεδο πολύγωνο, εννοώντας το ίδιο το πολύγωνο και την εσωτερική του περιοχή.
Το ίδιο συμβαίνει και στη στερεομετρία. Κατ' αναλογία με την έννοια του επίπεδου πολυγώνου, εισάγεται η έννοια του σώματος και της επιφάνειάς του.
Τελεία γεωμετρικό σχήμαονομάζεται εσωτερικός εάν υπάρχει μια μπάλα με κέντρο σε αυτό το σημείο που ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτό το σχήμα. Ένας αριθμός ονομάζεται περιοχή εάν όλα
τα σημεία του είναι εσωτερικά και αν δύο από τα σημεία του μπορούν να συνδεθούν με μια διακεκομμένη γραμμή που ανήκει εξ ολοκλήρου στο σχήμα.
Ένα σημείο στο διάστημα ονομάζεται οριακό σημείο μιας δεδομένης φιγούρας εάν οποιαδήποτε μπάλα με κέντρο σε αυτό το σημείο περιέχει τόσο σημεία που ανήκουν στο σχήμα όσο και σημεία που δεν ανήκουν σε αυτό. Τα οριακά σημεία μιας περιοχής σχηματίζουν το όριο της περιοχής.
Ένα σώμα είναι μια πεπερασμένη περιοχή μαζί με το όριο του. Το όριο ενός σώματος ονομάζεται επιφάνεια του σώματος. Ένα σώμα ονομάζεται απλό αν μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό τριγωνικών πυραμίδων.
Στην απλούστερη περίπτωση, σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα του οποίου τα επίπεδα κάθετα σε μια ορισμένη ευθεία (άξονας περιστροφής) τέμνονται σε κύκλους με κέντρα σε αυτή την ευθεία γραμμή. Ένας κύλινδρος, ένας κώνος και μια μπάλα είναι παραδείγματα σωμάτων περιστροφής.
48. Πολυεδρικές γωνίες. Πολύεδρα.
Διεδρική γωνία είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα με κοινή γραμμή οριοθέτησης. Τα ημιεπίπεδα ονομάζονται όψεις και η ευθεία που τα περιορίζει ονομάζεται ακμή διεδρικής γωνίας.
Το Σχήμα 142 δείχνει μια διεδρική γωνία με ακμή α και όψεις
Ένα επίπεδο κάθετο στην άκρη μιας διεδρικής γωνίας τέμνει τις όψεις του κατά μήκος δύο ημιευθειών. Η γωνία που σχηματίζεται από αυτές τις ημιευθείες ονομάζεται γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας. Το μέτρο μιας διεδρικής γωνίας λαμβάνεται ως το μέτρο της αντίστοιχής της γραμμική γωνία. Αν ένα επίπεδο y τραβηχτεί μέσα από το σημείο Α της ακμής a μιας διεδρικής γωνίας, κάθετο σε αυτή την ακμή, τότε θα τέμνει τα επίπεδα a και 0 κατά μήκος της ημιευθείας γραμμικής γωνίας της δεδομένης διεδρικής γωνίας. Το μέτρο μοίρας αυτής της γραμμικής γωνίας είναι μέτρο βαθμούδίεδρος γωνία. Το μέτρο της διεδρικής γωνίας δεν εξαρτάται από την επιλογή της γραμμικής γωνίας.
Τριεδρική γωνία είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρεις επίπεδες γωνίες. Αυτές οι γωνίες ονομάζονται όψεις μιας τριεδρικής γωνίας και οι πλευρές τους ονομάζονται ακμές. Η κοινή κορυφή των επίπεδων γωνιών ονομάζεται κορυφή μιας τριεδρικής γωνίας. Οι δίεδρες γωνίες που σχηματίζονται από τις όψεις και τις προεκτάσεις τους ονομάζονται δίεδρες γωνίες μιας τριεδρικής γωνίας.
Η έννοια της πολυεδρικής γωνίας ορίζεται ομοίως ως ένα σχήμα που αποτελείται από επίπεδες γωνίες Για μια πολυεδρική γωνία, οι έννοιες των όψεων, των ακμών και των διεδρικών γωνιών ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως για μια τριεδρική γωνία.
Πολύεδρο είναι ένα σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από πεπερασμένος αριθμόςεπίπεδα πολύγωνα (Εικ. 145).
Ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου κάθε πολυγώνου στην επιφάνειά του (Εικ. 145, α, β). ένα κοινό μέροςένα τέτοιο επίπεδο και η επιφάνεια ενός κυρτού πολυέδρου ονομάζεται όψη. Οι όψεις ενός κυρτού πολυέδρου είναι κυρτά πολύγωνα. Οι πλευρές των όψεων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου και οι κορυφές ονομάζονται κορυφές του πολυεδρικού.
49. Πρίσμα. Παραλληλεπίπεδο. Κύβος
Ένα πρίσμα είναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από δύο επίπεδα πολύγωνα, συνδυασμένα με παράλληλη μετάφραση, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των πολυγώνων. Τα πολύγωνα ονομάζονται βάσεις του πρίσματος και τα τμήματα που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές ονομάζονται πλάγιες ακμές του πρίσματος (Εικ. 146).
Εφόσον η παράλληλη μετάφραση είναι κίνηση, οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες. Εφόσον κατά την παράλληλη μετάφραση το επίπεδο πηγαίνει σε ένα παράλληλο επίπεδο (ή στον εαυτό του), τότε
οι βάσεις του πρίσματος βρίσκονται μέσα παράλληλα επίπεδα. Εφόσον κατά την παράλληλη μετατόπιση τα σημεία μετατοπίζονται κατά μήκος παράλληλων (ή που συμπίπτουν) ευθειών κατά την ίδια απόσταση, τότε οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες.
Το σχήμα 147, a δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα ABCD και συνδυάζονται με την αντίστοιχη παράλληλη μετάφραση και είναι οι βάσεις του πρίσματος, και τα τμήματα AA είναι οι πλευρικές ακμές του πρίσματος. Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες (η παράλληλη μετάφραση είναι κίνηση και μετατρέπει ένα σχήμα σε ίσο σχήμα, παράγραφος 79). Οι πλευρικές νευρώσεις είναι παράλληλες και ίσες.
Η επιφάνεια του πρίσματος αποτελείται από τη βάση και την πλαϊνή επιφάνεια. Η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από παραλληλόγραμμα. Σε καθένα από αυτά τα παραλληλόγραμμα, δύο πλευρές είναι οι αντίστοιχες πλευρές των βάσεων και οι άλλες δύο είναι γειτονικές πλευρικές ακμές του πρίσματος.
Στην Εικόνα 147, γ πλευρική επιφάνειατα πρίσματα αποτελούνται από παραλληλόγραμμα Πλήρης επιφάνειααποτελείται από τις βάσεις και τα παραπάνω παραλληλόγραμμα.
Το ύψος ενός πρίσματος είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του. Ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη ονομάζεται διαγώνιος πρίσματος. Το διαγώνιο τμήμα ενός πρίσματος είναι το τμήμα του επιπέδου του που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Το σχήμα 147α δείχνει ένα πρίσμα με το ύψος του και μια από τις διαγώνιές του. Η τομή είναι ένα από τα διαγώνια τμήματα αυτού του πρίσματος.
Ένα πρίσμα ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις. Διαφορετικά λέγεται το πρίσμα
κεκλιμένος Ένα ορθό πρίσμα ονομάζεται κανονικό αν οι βάσεις του είναι κανονικά πολύγωνα.
Το σχήμα 147, a δείχνει ένα κεκλιμένο πρίσμα, και το σχήμα 147, β - ένα ευθύ, εδώ η άκρη είναι κάθετη στις βάσεις του πρίσματος. Το Σχήμα 148 δείχνει σωστά πρίσματα, οι βάσεις τους είναι, αντίστοιχα, ένα κανονικό τρίγωνο, ένα τετράγωνο, ένα κανονικό εξάγωνο.
Αν οι βάσεις ενός πρίσματος είναι παραλληλόγραμμες, τότε λέγεται παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παραλληλόγραμμα. Το Σχήμα 147, a δείχνει ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο, και το Σχήμα 147, β - ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο.
Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου που δεν έχουν κοινές κορυφές ονομάζονται αντίθετες. Στην Εικόνα 147, και οι όψεις είναι απέναντι.
Είναι δυνατόν να αποδειχθούν κάποιες ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου.
Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.
Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής.
Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλεπιπέδου είναι το κέντρο συμμετρίας του.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο ονομάζεται κυβοειδής. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όλες τις όψεις που είναι ορθογώνιες.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με όλες τις άκρες ίσες ονομάζεται κύβος.
Τα μήκη των μη παράλληλων άκρων ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου ονομάζονται γραμμικές διαστάσεις ή διαστάσεις του. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει τρεις γραμμικές διαστάσεις.
Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:
ΣΕ ορθογώνιο παραλληλεπίπεδοτετράγωνο οποιασδήποτε διαγώνιου ίσο με το άθροισματετράγωνα των τριών γραμμικών του διαστάσεων.
Για παράδειγμα, σε έναν κύβο με ακμή a οι διαγώνιοι είναι ίσες:
50. Πυραμίδα.
Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από ένα επίπεδο πολύγωνο - τη βάση της πυραμίδας, ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης - την κορυφή της πυραμίδας και όλα τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή με τα σημεία της βάσης (Εικ. 150). Τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή της πυραμίδας με τις κορυφές της βάσης ονομάζονται πλευρικές ακμές. Το Σχήμα 150α δείχνει την πυραμίδα SABCD. Το τετράπλευρο ABCD είναι η βάση της πυραμίδας, το σημείο S είναι η κορυφή της πυραμίδας, τα τμήματα SA, SB, SC και SD είναι τα άκρα της πυραμίδας.
Το ύψος μιας πυραμίδας είναι η κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης. Στο Σχήμα 150, ένα SO είναι το ύψος της πυραμίδας.
Μια πυραμίδα ονομάζεται -γωνιακή αν η βάση της είναι
Τετράγωνο. Μια τριγωνική πυραμίδα ονομάζεται επίσης τετράεδρο.
Το Σχήμα 151, το α δείχνει τριγωνική πυραμίδα, ή τετράεδρο, στο Σχήμα 151, β - τετραγωνικό, στο Σχήμα 151, γ - εξαγωνικό.
Ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση της πυραμίδας και που την τέμνει αποκόπτει μια παρόμοια πυραμίδα.
Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η βάση του ύψους της συμπίπτει με το κέντρο αυτού του πολυγώνου. Το σχήμα 151 δείχνει κανονικές πυραμίδες. Μια κανονική πυραμίδα έχει ίσες πλευρικές νευρώσεις. Επομένως, οι πλευρικές όψεις είναι ίσες ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας, που αντλείται από την κορυφή της, ονομάζεται απόθεμα.
Σύμφωνα με το T.3.4, το επίπεδο α, παράλληλο στο επίπεδο 0 της βάσης της πυραμίδας και τέμνει την πυραμίδα, αποκόπτει μια παρόμοια πυραμίδα από αυτήν. Το άλλο μέρος της πυραμίδας είναι ένα πολύεδρο που ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα. Οι όψεις μιας κόλουρης πυραμίδας που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα ονομάζονται βάσεις μιας κόλουρης πυραμίδας, οι υπόλοιπες όψεις ονομάζονται πλευρικές όψεις. Οι βάσεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι παρόμοια (εξάλλου, ομοθετικά) πολύγωνα, οι πλευρικές όψεις είναι τραπεζοειδή. Το Σχήμα 152 δείχνει μια κολοβωμένη πυραμίδα
51. Κανονικά πολύεδρα.
Ένα κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό αν οι όψεις του είναι κανονικά πολύγωναμε τον ίδιο αριθμό πλευρών και τον ίδιο αριθμό ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του πολυέδρου.
Υπάρχουν πέντε τύποι κανονικών κυρτών πολύεδρων (Εικ. 154): κανονικό τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο. Το κανονικό τετράεδρο και ο κύβος συζητήθηκαν νωρίτερα (παράγραφοι 49, 50). Τρεις άκρες συναντώνται σε κάθε κορυφή ενός κανονικού τετραέδρου και ενός κύβου.
Οι όψεις του οκταέδρου είναι κανονικά τρίγωνα. Τέσσερις άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του.
Οι όψεις του δωδεκάεδρου είναι κανονικά πεντάγωνα. Τρεις άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.
Οι όψεις του εικοσάεδρου είναι κανονικά τρίγωνα, αλλά σε αντίθεση με το τετράεδρο και το οκτάεδρο, πέντε άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.
Εισαγωγή
Μια επιφάνεια που αποτελείται από πολύγωνα και οριοθετεί κάποιο γεωμετρικό σώμα ονομάζεται πολυεδρική επιφάνεια ή πολύεδρο.
Ένα πολύεδρο είναι ένα οριοθετημένο σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων. Τα πολύγωνα που συνέδεαν ένα πολύεδρο ονομάζονται όψεις και οι γραμμές τομής των όψεων ονομάζονται ακμές.
Τα Πολύεδρα μπορεί να είναι ποικίλα και πολύ πολύπλοκη δομή. Διάφορες κατασκευές, όπως σπίτια που χτίζονται με τούβλα και τσιμεντόλιθους, είναι παραδείγματα πολύεδρων. Άλλα παραδείγματα μπορούν να βρεθούν ανάμεσα στα έπιπλα, όπως ένα τραπέζι. Στη χημεία, το σχήμα των μορίων υδρογονάνθρακα είναι ένα τετράεδρο, ένα κανονικό εικοσάεδρο, ένας κύβος. Στη φυσική, οι κρύσταλλοι χρησιμεύουν ως παραδείγματα πολύεδρων.
Από την αρχαιότητα, οι ιδέες για την ομορφιά έχουν συνδεθεί με τη συμμετρία. Αυτό πιθανώς εξηγεί το ενδιαφέρον των ανθρώπων για τα πολύεδρα - εκπληκτικά σύμβολα συμμετρίας που τράβηξαν την προσοχή εξαιρετικών στοχαστών που έμειναν έκπληκτοι από την ομορφιά, την τελειότητα και την αρμονία αυτών των μορφών.
Οι πρώτες αναφορές των πολύεδρων είναι γνωστές τρεις χιλιάδες χρόνια π.Χ. στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα. Αρκεί να θυμηθούμε τις περίφημες αιγυπτιακές πυραμίδες και την πιο διάσημη από αυτές, την Πυραμίδα του Χέοπα. Αυτό κανονική πυραμίδα, στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα τετράγωνο με πλευρά 233 μ. και το ύψος του οποίου φτάνει τα 146,5 μ. Δεν είναι τυχαίο που λένε ότι η Πυραμίδα του Χέοπα είναι μια βουβή πραγματεία για τη γεωμετρία.
Η ιστορία των κανονικών πολύεδρων ανάγεται στην αρχαιότητα. Από τον 7ο αιώνα π.Χ Αρχαία ΕλλάδαΔημιουργούνται φιλοσοφικές σχολές στις οποίες γίνεται σταδιακή μετάβαση από την πρακτική στη φιλοσοφική γεωμετρία. Η συλλογιστική με τη βοήθεια της οποίας κατέστη δυνατή η απόκτηση νέων γεωμετρικών ιδιοτήτων απέκτησε μεγάλη σημασία σε αυτές τις σχολές.
Μία από τις πρώτες και πιο γνωστές σχολές ήταν η Πυθαγόρεια σχολή, που πήρε το όνομά της από τον ιδρυτή της Πυθαγόρα. Το χαρακτηριστικό σημάδι των Πυθαγορείων ήταν το πεντάγραμμο, στη γλώσσα των μαθηματικών είναι ένα κανονικό μη κυρτό ή σε σχήμα αστεριού πεντάγωνο. Στο πεντάγραμμο ανατέθηκε η ικανότητα να προστατεύει ένα άτομο από τα κακά πνεύματα.
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι η ύλη αποτελείται από τέσσερα βασικά στοιχεία: φωτιά, γη, αέρα και νερό. Απέδωσαν την ύπαρξη πέντε κανονικών πολύεδρων στη δομή της ύλης και του Σύμπαντος. Σύμφωνα με αυτή τη γνώμη, τα άτομα των κύριων στοιχείων πρέπει να έχουν τη μορφή διαφορετικά σώματα:
§ Το Σύμπαν είναι ένα δωδεκάεδρο
§ Γη - κύβος
§ Φωτιά - τετράεδρο
§ Νερό – εικοσάεδρο
§ Αέρα - οκτάεδρο
Αργότερα, η διδασκαλία των Πυθαγορείων για τα κανονικά πολύεδρα σκιαγραφήθηκε στα έργα του από έναν άλλο αρχαίο Έλληνα επιστήμονα, τον ιδεαλιστή φιλόσοφο Πλάτωνα. Από τότε, τα κανονικά πολύεδρα έγιναν γνωστά ως πλατωνικά στερεά.
Τα πλατωνικά στερεά είναι κανονικά ομοιογενή κυρτά πολύεδρα, δηλαδή κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις και οι γωνίες είναι ίσες και οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα. Ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνει σε κάθε κορυφή ενός κανονικού πολυέδρου. Ολα διεδρικές γωνίεςστα άκρα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες. Τα πλατωνικά στερεά είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο επίπεδων κανονικών πολυγώνων.
Η θεωρία των πολυεδρών είναι ένας σύγχρονος κλάδος των μαθηματικών. Σχετίζεται στενά με την τοπολογία, τη θεωρία γραφημάτων και έχει μεγάλης σημασίαςόσον αφορά θεωρητική έρευναστη γεωμετρία και για πρακτικές εφαρμογές σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, για παράδειγμα, στην άλγεβρα, τη θεωρία αριθμών, εφαρμοσμένα μαθηματικά - γραμμικός προγραμματισμός, θεωρία βέλτιστου ελέγχου. Ετσι, αυτό το θέμαείναι σχετική και η γνώση για αυτό το θέμα είναι σημαντική για τη σύγχρονη κοινωνία.
Κύριο μέρος
Ένα πολύεδρο είναι ένα οριοθετημένο σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων.
Ας δώσουμε έναν ορισμό του πολυέδρου που είναι ισοδύναμος με τον πρώτο ορισμό του πολυέδρου.
Πολύεδρο – Αυτό είναι ένα σχήμα που είναι η ένωση ενός πεπερασμένου αριθμού τετραέδρων για τα οποία πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) κάθε δύο τετράεδρα δεν έχουν κοινά σημεία ή έχουν κοινή κορυφή ή μόνο κοινή άκρη ή ολόκληρη κοινή όψη.
2) από κάθε τετράεδρο στο άλλο μπορείτε να πάτε κατά μήκος μιας αλυσίδας τετραέδρων, στην οποία κάθε επόμενο είναι δίπλα στο προηγούμενο κατά μήκος μιας ολόκληρης όψης.
Πολυεδρικά στοιχεία
Η όψη ενός πολυέδρου είναι ένα ορισμένο πολύγωνο (ένα πολύγωνο είναι μια περιορισμένη κλειστή περιοχή της οποίας το όριο αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό τμημάτων).
Οι πλευρές των όψεων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου και οι κορυφές των όψεων ονομάζονται κορυφές του πολυέδρου. Τα στοιχεία ενός πολυέδρου, εκτός από τις κορυφές, τις ακμές και τις όψεις του, περιλαμβάνουν επίσης τις επίπεδες γωνίες των όψεών του και τις δίεδρες γωνίες στις άκρες του. Η διεδρική γωνία σε μια άκρη ενός πολύεδρου καθορίζεται από τις όψεις του που πλησιάζουν αυτή την άκρη.
Ταξινόμηση πολύεδρων
Κυρτό πολύεδρο -είναι ένα πολύεδρο, του οποίου οποιαδήποτε δύο σημεία μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα. Τα κυρτά πολύεδρα έχουν πολλές αξιοσημείωτες ιδιότητες.
Θεώρημα Euler.Για κάθε κυρτό πολύεδρο V-R+G=2,
Οπου ΣΕ – τον αριθμό των κορυφών του, R - τον αριθμό των πλευρών του, σολ - τον αριθμό των προσώπων του.
Θεώρημα Cauchy.Δύο κλειστά κυρτά πολύεδρα, που αποτελούνται πανομοιότυπα από αντίστοιχα ίσες όψεις, είναι ίσα.
Ένα κυρτό πολύεδρο θεωρείται κανονικό εάν όλες οι όψεις του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του.
Κανονικό πολύεδρο
Ένα πολύεδρο ονομάζεται κανονικό εάν, πρώτον, είναι κυρτό, δεύτερον, όλες οι όψεις του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και τρίτον, συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του τον ίδιο αριθμόόψεις και, τέταρτον, όλες οι δίεδρες γωνίες του είναι ίσες.
Υπάρχουν πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα - το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο με τριγωνικές όψεις, ο κύβος (εξάεδρο) με τετράγωνες όψεις και το δωδεκάεδρο με πενταγωνικές όψεις. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος είναι γνωστή για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια. αυτή η απόδειξη και η μελέτη των πέντε τα σωστά σώματαΤα Στοιχεία του Ευκλείδη (του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, του συγγραφέα των πρώτων θεωρητικών πραγματειών για τα μαθηματικά που έχουν φτάσει μέχρι εμάς) τελειώνουν. Γιατί τα κανονικά πολύεδρα πήραν τέτοια ονόματα; Αυτό οφείλεται στον αριθμό των προσώπων τους. Ένα τετράεδρο έχει 4 όψεις, μεταφρασμένο από το ελληνικό "tetra" - τέσσερα, "hedron" - πρόσωπο. Ένα εξάεδρο (κύβος) έχει 6 όψεις, ένα "εξάεδρο" έχει έξι. οκτάεδρο - οκτάεδρο, "οκτάεδρο" - οκτώ. δωδεκάεδρο - δωδεκάεδρο, "δώδεκα" - δώδεκα. Το εικοσάεδρο έχει 20 όψεις και το icosi έχει είκοσι.
2.3. Τύποι κανονικών πολύεδρων:
1) Κανονικό τετράεδρο(αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του είναι η κορυφή τριών τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180 0).
2)Κύβος- ένα παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλα τα πρόσωπα είναι τετράγωνα. Ο κύβος αποτελείται από έξι τετράγωνα. Κάθε κορυφή του κύβου είναι η κορυφή τριών τετραγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 270 0.
3) Κανονικό οκτάεδροή απλά οκτάεδρο– ένα πολύεδρο με οκτώ κανονικές τριγωνικές όψεις και τέσσερις όψεις που συναντώνται σε κάθε κορυφή. Το οκτάεδρο αποτελείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του οκταέδρου είναι η κορυφή τεσσάρων τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 240 0. Μπορεί να κατασκευαστεί διπλώνοντας τις βάσεις δύο πυραμίδων, των οποίων οι βάσεις είναι τετράγωνες και οι πλευρικές όψεις είναι κανονικά τρίγωνα. Οι άκρες ενός οκταέδρου μπορούν να ληφθούν συνδέοντας τα κέντρα των γειτονικών όψεων ενός κύβου, αλλά αν συνδέσουμε τα κέντρα των γειτονικών όψεων ενός κανονικού οκταέδρου, θα έχουμε τις άκρες ενός κύβου. Λένε ότι ο κύβος και το οκτάεδρο είναι διπλά μεταξύ τους.
4)Εικοσάεδρο- αποτελείται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του εικοσάεδρου είναι η κορυφή πέντε τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι ίσο με 300 0.
5) Δωδεκάεδρο- ένα πολύεδρο που αποτελείται από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα. Κάθε κορυφή του δωδεκάεδρου είναι η κορυφή τριών κανονικών πενταγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 324 0.
Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι επίσης διπλά μεταξύ τους με την έννοια ότι συνδέοντας τα κέντρα των γειτονικών όψεων του εικοσάεδρου με τμήματα, παίρνουμε ένα δωδεκάεδρο και το αντίστροφο.
Ένα κανονικό τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του.
Επιπλέον, δεν υπάρχει κανένα κανονικό πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά εξάγωνα, επτάγωνα και n-γώνια γενικά για n ≥ 6.
Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα πολύεδρο στο οποίο όλες οι όψεις είναι κανονικά ίσα πολύγωνα και όλες οι δίεδρες γωνίες είναι ίσες. Υπάρχουν όμως και πολύεδρα στα οποία όλες οι πολυεδρικές γωνίες είναι ίσες και οι όψεις είναι κανονικές, αλλά αντίθετες κανονικά πολύγωνα. Τα πολύεδρα αυτού του τύπου ονομάζονται ισογωνικά ημικανονικά πολύεδρα. Τα πολύεδρα αυτού του τύπου ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη. Περιέγραψε λεπτομερώς 13 πολύεδρα, τα οποία αργότερα ονομάστηκαν τα σώματα του Αρχιμήδη προς τιμή του μεγάλου επιστήμονα. Αυτά είναι κολοβό τετράεδρο, κολοβωμένο οξάεδρο, κολοβωμένο εικοσάεδρο, κολοβό κύβο, κολοβό δωδεκάεδρο, κυβοκτάεδρο, εικοσιδωδεκάεδρο, κολοβωμένο κυβοκάεδρο, κολοβωμένο εικοσιδωδεκάεδρο, ρομβοκύβωτο be, "snub" (snub) δωδεκάεδρο.
2.4. Τα ημικανονικά πολύεδρα ή τα στερεά του Αρχιμήδειου είναι κυρτά πολύεδρα με δύο ιδιότητες:
1. Όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα δύο ή περισσότερων τύπων (αν όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου, είναι κανονικό πολύεδρο).
2. Για οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών, υπάρχει μια συμμετρία του πολυέδρου (δηλαδή μια κίνηση που μετατρέπει το πολύεδρο στον εαυτό του) μεταφέροντας τη μια κορυφή στην άλλη. Ειδικότερα, όλες οι πολυεδρικές γωνίες κορυφής είναι ίσες.
Εκτός από τα ημικανονικά πολύεδρα, από τα κανονικά πολύεδρα - Πλατωνικά στερεά - μπορείτε να αποκτήσετε τα λεγόμενα κανονικά αστρικά πολύεδρα. Υπάρχουν μόνο τέσσερα από αυτά, ονομάζονται επίσης σώματα Kepler-Poinsot. Ο Κέπλερ ανακάλυψε ένα μικρό δωδεκάεδρο, το οποίο ονόμασε φραγκόσυκο ή σκαντζόχοιρο, και ένα μεγάλο δωδεκάεδρο. Ο Poinsot ανακάλυψε δύο άλλα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα, αντίστοιχα διπλά από το πρώτο 
δύο: το μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο και το μεγάλο εικοσάεδρο.
Δύο τετράεδρα που περνούν το ένα από το άλλο σχηματίζουν ένα οκτάεδρο. Ο Johannes Kepler έδωσε σε αυτή τη φιγούρα το όνομα "stella octangula" - "οκταγωνικό αστέρι". Βρίσκεται επίσης στη φύση: αυτός είναι ο λεγόμενος διπλός κρύσταλλος.
Στον ορισμό ενός κανονικού πολυέδρου, η λέξη "κυρτή" δεν τονίστηκε εσκεμμένα - βασιζόμενη στην προφανή προφανή. Και σημαίνει μια πρόσθετη απαίτηση: «και όλες οι όψεις των οποίων βρίσκονται στη μία πλευρά του αεροπλάνου που διέρχεται από οποιαδήποτε από αυτές». Εάν εγκαταλείψουμε έναν τέτοιο περιορισμό, τότε στα πλατωνικά στερεά, εκτός από το «εκτεταμένο οκτάεδρο», θα πρέπει να προσθέσουμε άλλα τέσσερα πολύεδρα (ονομάζονται στερεά Kepler-Poinsot), καθένα από τα οποία θα είναι «σχεδόν κανονικό». Όλα αυτά προέρχονται από το «πρωταγωνιστή» του Πλατόνοφ 
σώμα, δηλαδή επεκτείνοντας τις άκρες του μέχρι να τέμνονται μεταξύ τους και γι' αυτό ονομάζονται αστρικά. Ο κύβος και το τετράεδρο δεν δημιουργούν νέες φιγούρες - τα πρόσωπά τους, όσο και να συνεχίσετε, δεν τέμνονται.
Εάν επεκτείνετε όλες τις όψεις του οκταέδρου μέχρι να διασταυρωθούν μεταξύ τους, θα λάβετε μια φιγούρα που εμφανίζεται όταν δύο τετράεδρα αλληλοδιεισδύουν - το "stella octangula", το οποίο ονομάζεται "εκτεταμένο". 
οκτάεδρο."
Το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο δίνουν στον κόσμο τέσσερα «σχεδόν κανονικά πολύεδρα» ταυτόχρονα. Ένα από αυτά είναι το μικρό αστρικό δωδεκάεδρο, το οποίο απέκτησε για πρώτη φορά ο Johannes Kepler.
Για αιώνες, οι μαθηματικοί δεν αναγνώριζαν το δικαίωμα όλων των ειδών τα αστέρια να ονομάζονται πολύγωνα λόγω του γεγονότος ότι οι πλευρές τους τέμνονται. Ο Ludwig Schläfli δεν έδιωξε ένα γεωμετρικό σώμα από την οικογένεια των πολύεδρων απλώς και μόνο επειδή οι όψεις του διασταυρώθηκαν, ωστόσο, παρέμεινε ανένδοτος μόλις η συζήτηση στράφηκε στο μικρό αστερικό δωδεκάεδρο. Το επιχείρημά του ήταν απλό και βαρύ: αυτό το ζώο της Κεπλερίας δεν υπακούει στη φόρμουλα του Euler! Σχηματίζονται οι ράχες του 
δώδεκα όψεις, τριάντα ακμές και δώδεκα κορυφές, και, επομένως, το B+G-R δεν ισούται καθόλου με δύο.
Ο Schläfli είχε και δίκιο και λάθος. Φυσικά, ο γεωμετρικός σκαντζόχοιρος δεν είναι τόσο τσιμπημένος ώστε να επαναστατεί ενάντια στην αλάνθαστη φόρμουλα. Απλώς δεν χρειάζεται να θεωρήσετε ότι σχηματίζεται από δώδεκα τεμνόμενες όψεις σε σχήμα αστεριού, αλλά να το δείτε ως ένα απλό, ειλικρινές γεωμετρικό σώμα που αποτελείται από 60 τρίγωνα, με 90 άκρες και 32 κορυφές.
Τότε το B+G-R=32+60-90 είναι ίσο, όπως αναμενόταν, με 2. Αλλά τότε η λέξη «σωστό» δεν ισχύει για αυτό το πολύεδρο - τελικά, οι όψεις του δεν είναι πλέον ισόπλευρες, αλλά απλώς ισοσκελές τρίγωνα. Ο Κέπλερ δεν το έκανε 
συνειδητοποίησε ότι η φιγούρα που έλαβε είχε διπλό.
Το πολύεδρο, το οποίο ονομάζεται «μεγάλο δωδεκάεδρο», κατασκευάστηκε από τον Γάλλο γεωμέτρη Louis Poinsot διακόσια χρόνια μετά τις αστρικές μορφές του Κέπλερ.
Το μεγάλο εικοσάεδρο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Louis Poinsot το 1809. Και πάλι ο Κέπλερ, έχοντας δει ένα μεγάλο αστεροειδή δωδεκάεδρο, άφησε την τιμή να ανακαλύψει τη δεύτερη φιγούρα στον Λουί Πουινσό. Αυτά τα στοιχεία υπακούουν επίσης κατά το ήμισυ στον τύπο του Euler.
Πολύεδρα στη φύση
Τα κανονικά πολύεδρα είναι τα πιο συμφέροντα σχήματα, γι' αυτό και είναι ευρέως διαδεδομένα στη φύση. Αυτό επιβεβαιώνεται από το σχήμα ορισμένων κρυστάλλων. Για παράδειγμα, κρύσταλλοι επιτραπέζιο αλάτιέχουν σχήμα κύβου. Στην παραγωγή αλουμινίου χρησιμοποιείται χαλαζίας αλουμινίου-καλίου, ο μονοκρύσταλλος του οποίου έχει σχήμα κανονικού οκταέδρου. Η παραγωγή θειικού οξέος, σιδήρου και ειδικών τύπων τσιμέντου δεν μπορεί να γίνει χωρίς θειούχους πυρίτες. Κρύσταλλοι αυτού χημική ουσίαέχουν σχήμα δωδεκάεδρου. Σε διαφορετικά χημικές αντιδράσειςχρησιμοποιείται θειικό αντιμόνιο νάτριο - μια ουσία που συντίθεται από επιστήμονες. Ο κρύσταλλος του θειικού αντιμονίου νατρίου έχει σχήμα τετραέδρου. Το τελευταίο κανονικό πολύεδρο, το εικοσάεδρο, μεταφέρει το σχήμα των κρυστάλλων του βορίου.
Τα πολύεδρα σε σχήμα αστεριού είναι πολύ διακοσμητικά, γεγονός που τους επιτρέπει να χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία κοσμημάτων για την κατασκευή όλων των ειδών κοσμημάτων. Χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική. Πολλές μορφές αστρικών πολύεδρων προτείνονται από την ίδια τη φύση. Οι νιφάδες χιονιού είναι πολύεδρα σε σχήμα αστεριού. Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι προσπάθησαν να περιγράψουν όλους τους πιθανούς τύπους νιφάδων χιονιού και συνέταξαν ειδικούς άτλαντες. Αρκετές χιλιάδες είναι πλέον γνωστές διάφοροι τύποινιφάδες χιονιού.
Τα κανονικά πολύεδρα βρίσκονται επίσης στη ζωντανή φύση. Για παράδειγμα, ένας σκελετός μονοκύτταρος οργανισμόςΤο Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) έχει σχήμα εικοσάεδρου. Τα περισσότερα feodaria ζουν στα βάθη της θάλασσας και χρησιμεύουν ως λεία για κοραλλιογενή ψάρια. Αλλά το πιο απλό ζώο προστατεύεται με δώδεκα αγκάθια που αναδύονται από τις 12 κορυφές του σκελετού. Μοιάζει περισσότερο με αστρικό πολύεδρο. 
Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε πολύεδρα σε μορφή λουλουδιών. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα είναι οι κάκτοι.
Σχετική πληροφορία.
Οι όψεις ενός πολυέδρου είναι τα πολύγωνα που το σχηματίζουν. Οι όψεις ενός πολυέδρου είναι τα πολύγωνα που το σχηματίζουν. Οι άκρες ενός πολυέδρου είναι οι πλευρές των πολυγώνων. Οι άκρες ενός πολυέδρου είναι οι πλευρές των πολυγώνων. Οι κορυφές ενός πολυέδρου είναι οι κορυφές ενός πολυγώνου. Οι κορυφές ενός πολυέδρου είναι οι κορυφές ενός πολυγώνου. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει 2 κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει 2 κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Κανονικά πολύεδρα Εάν οι όψεις ενός πολυέδρου είναι κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών και τον ίδιο αριθμό ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του πολύεδρου, τότε το κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό. Αν οι όψεις ενός πολυέδρου είναι κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών και τον ίδιο αριθμό ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του πολυέδρου, τότε το κυρτό πολύεδρο ονομάζεται κανονικό.
Ένα οκτάεδρο είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά τρίγωνα και 4 όψεις συναντώνται σε κάθε κορυφή. Ένα οκτάεδρο είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά τρίγωνα και 4 όψεις συναντώνται σε κάθε κορυφή. Σωστή φόρμαδιαμάντι - οκτάεδρο
