Ang isa sa mga larangan ng matematika na higit na pinaghihirapan ng mga estudyante ay ang trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong magamit ang trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang binuo na memorya ng matematika o ang kakayahang makakuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.

Pinagmulan ng trigonometrya

Ang pagkilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo, ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.

Sa kasaysayan, ang pangunahing bagay ng pag-aaral sa sangay na ito ng agham sa matematika ay mga tamang tatsulok. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na isakatuparan iba't ibang operasyon, na nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na pinag-uusapan gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya at maging sa sining.

Unang yugto

Sa una, pinag-uusapan ng mga tao ang ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at panig nang eksklusibo gamit ang halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa Araw-araw na buhay ang sangay na ito ng matematika.

Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga tamang tatsulok, pagkatapos ay ginagamit ng mga mag-aaral ang nakuhang kaalaman sa pisika at paglutas ng mga abstract na problema. trigonometriko equation, trabaho na nagsisimula sa high school.

Spherical trigonometrya

Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, at cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan iba't ibang mga panuntunan ang nalalapat, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyon na ito ay hindi pinag-aralan sa paaralan, ngunit ito ay kinakailangan upang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito kahit man lang dahil ibabaw ng lupa, at ang ibabaw ng alinmang planeta ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.

Kunin ang globo at ang thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Mangyaring tandaan - ito ay kinuha sa hugis ng isang arko. Ang spherical geometry ay tumatalakay sa mga ganitong anyo, na ginagamit sa geodesy, astronomy at iba pang teoretikal at inilapat na larangan.

Kanang tatsulok

Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.

Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Ito ang pinakamahaba. Natatandaan natin na ayon sa Pythagorean theorem, nito numerical value katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.

Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.

Ang dalawang natitirang panig, na bumubuo ng isang tamang anggulo, ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay katumbas ng 180 degrees.

Kahulugan

Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na batayan, ang isa ay maaaring bumaling sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing gilid sa hypotenuse.

Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugang ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung sa iyong sagot sa isang problema ay nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Ang sagot na ito ay malinaw na mali.

Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang paghahati ng sine sa cosine ay magbibigay ng parehong resulta. Tingnan: ayon sa formula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hatiin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply sa hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong relasyon tulad ng sa kahulugan ng tangent.

Ang Cotangent, nang naaayon, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa tangent.

Kaya, tiningnan natin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari tayong lumipat sa mga formula.

Ang pinakasimpleng mga formula

Sa trigonometrya hindi mo magagawa nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? Ngunit ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.

Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung kailangan mong malaman ang laki ng anggulo kaysa sa gilid.

Maraming mga mag-aaral ang hindi matandaan ang pangalawang pormula, na napakapopular din sa paglutas mga gawain sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay hinati sa parisukat ng cosine. Ito ay lumiliko out na ang isang simpleng mathematical operasyon ay trigonometriko formula ganap na hindi nakikilala. Tandaan: ang pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, mga panuntunan sa pagbabagong-anyo at ilang pangunahing mga formula, maaari mong makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.

Mga formula para sa dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento

Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawa, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.

Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento sa form dobleng anggulo. Ang mga ito ay ganap na hinango mula sa mga nauna - bilang isang pagsasanay subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkuha ng anggulo ng alpha katumbas ng anggulo beta.

Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring muling ayusin upang mabawasan ang kapangyarihan ng sine, cosine, tangent alpha.

Theorems

Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano hanapin ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.

Ang sine theorem ay nagsasaad na sa pamamagitan ng paghahati ng haba ng bawat panig ng isang tatsulok sa kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin parehong numero. Bukod dito, ang numerong ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng isang naibigay na tatsulok.

Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Lumalabas na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto na pinarami ng double cosine ng katabing anggulo - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.

Mga pagkakamaling walang ingat

Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tingnan natin ang mga pinakasikat.

Una, hindi mo dapat i-convert ang mga fraction sa mga decimal hanggang sa makuha mo ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang fraction maliban kung iba ang nakasaad sa mga kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na isang pagkakamali, ngunit dapat itong alalahanin na sa bawat yugto ng problema ay maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng iyong oras sa hindi kinakailangang mga pagpapatakbo ng matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o ugat ng dalawa, dahil matatagpuan ang mga ito sa mga problema sa bawat hakbang. Ang parehong napupunta para sa pag-round ng "pangit" na mga numero.

Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nakalimutan mong ibawas dobleng produkto panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng ganap na hindi tamang resulta, ngunit nagpapakita rin ng kumpletong hindi pagkakaunawaan ng paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.

Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo ng 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling malito ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.

Aplikasyon

Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadaling magsimulang mag-aral ng trigonometrya dahil hindi nila naiintindihan ang praktikal na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ay mga konsepto salamat sa kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malayong mga bituin, hulaan ang pagbagsak ng meteorite, magpadala ng research probe sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa isang ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.

Sa wakas

Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.

Ang buong punto ng trigonometrya ay bumaba sa katotohanan na ang paggamit ng mga kilalang parameter ng isang tatsulok ay kailangan mong kalkulahin ang mga hindi alam. Mayroong anim na parameter sa kabuuan: haba tatlong panig At ang laki ng tatlo mga sulok Ang tanging pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.

Alam mo na ngayon kung paano maghanap ng sine, cosine, tangent batay sa kilalang haba ng mga binti o hypotenuse. Dahil ang ibig sabihin ng mga terminong ito ay isang ratio, at ang ratio ay isang fraction, pangunahing layunin trigonometriko problema ay paghahanap ng mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito matutulungan ka ng regular na matematika ng paaralan.

Ano ang sine, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang isang tamang tatsulok.

Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Tama iyon, hypotenuse at legs: ang hypotenuse ay ang gilid na nasa tapat tamang anggulo(sa aming halimbawa ito ang panig \(AC\) ); ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig \(AB\) at \(BC\) (ang mga katabi ng kanang anggulo), at kung isasaalang-alang natin ang mga binti na nauugnay sa anggulo \(BC\), kung gayon ang binti \(AB\) ay ang katabing binti, at binti \(BC\) ay kabaligtaran. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?

Sine ng anggulo– ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.

Sa aming tatsulok:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosine ng anggulo– ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.

Sa aming tatsulok:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangent ng anggulo– ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) gilid sa katabi (malapit).

Sa aming tatsulok:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangent ng anggulo– ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).

Sa aming tatsulok:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan Tandaan! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis At cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus At cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ang isang ito:

Cosine → touch → touch → katabi;

Cotangent → touch → touch → katabi.

Una sa lahat, kailangan mong tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent dahil ang mga ratios ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa parehong anggulo). Hindi naniniwala? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:

Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng anggulo \(\beta \) . Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng anggulo \(\beta \) mula sa tatsulok \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay magkakaiba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.

Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay ipagpatuloy at pagsamahin ang mga ito!

Para sa tatsulok \(ABC \) na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \ alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang pareho para sa anggulo \(\beta \) .

Mga sagot: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Unit (trigonometric) bilog

Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degrees at radians, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng \(1\) . Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, tingnan natin ito nang mas detalyado.

Tulad ng nakikita mo, ang bilog na ito ay itinayo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinanggalingan ng mga coordinate, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng \(x\) axis (sa aming halimbawa, ito ay ang radius \(AB\)).

Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang coordinate kasama ang \(x\) axis at ang coordinate kasama ang \(y\) axis. Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang tungkol sa itinuturing na tamang tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang tatsulok \(ACG\) . Ito ay hugis-parihaba dahil ang \(CG\) ay patayo sa \(x\) axis.

Ano ang \(\cos \ \ alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \)? Tama iyan \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bilang karagdagan, alam namin na ang \(AC\) ay ang radius ng unit circle, na nangangahulugang \(AC=1\) . I-substitute natin ang value na ito sa ating formula para sa cosine. Narito ang mangyayari:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ano ang katumbas ng \(\sin \ \alpha \) mula sa tatsulok \(ACG \)? Well, siyempre, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Palitan ang halaga ng radius \(AC\) sa formula na ito at makuha ang:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Kaya, masasabi mo ba kung ano ang mga coordinate ng puntong \(C\) na kabilang sa bilog? Well, hindi pwede? Paano kung napagtanto mo na ang \(\cos \ \alpha \) at \(\sin \alpha \) ay mga numero lamang? Anong coordinate ang katumbas ng \(\cos \alpha \)? Well, siyempre, ang coordinate \(x\)! At anong coordinate ang katumbas ng \(\sin \alpha \)? Tama, coordinate \(y\)! Kaya ang punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Ano ang katumbas ng \(tg \alpha \) at \(ctg \alpha \)? Tama, gamitin natin ang kaukulang mga kahulugan ng tangent at cotangent at kunin iyon \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Paano kung mas malaki ang anggulo? Halimbawa, tulad ng sa larawang ito:

Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, lumiko tayo muli sa isang kanang tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : anggulo (bilang katabi ng anggulo \(\beta \) ). Ano ang halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tama, sumunod kami sa mga naaangkop na kahulugan trigonometriko function:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\anggulo ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\anggulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate \(y\) ; ang halaga ng cosine ng anggulo - coordinate \(x\) ; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay nalalapat sa anumang pag-ikot ng radius vector.

Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay nasa positibong direksyon ng \(x\) axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na halaga, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot sa clockwise – negatibo.

Kaya, alam natin na ang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng bilog ay \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . Posible bang paikutin ang radius vector sa pamamagitan ng \(390()^\circ \) o ng \(-1140()^\circ \)? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kaya, ang radius vector ay gagawa ng isang buong rebolusyon at hihinto sa posisyon \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Sa pangalawang kaso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ibig sabihin, ang radius vector ay gagawa ng tatlong buong rebolusyon at hihinto sa posisyon \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba sa pamamagitan ng \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer ), tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng anggulo \(\beta =-60()^\circ \) . Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atbp. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat ng pangkalahatang pormula \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (kung saan ang \(m \) ay anumang integer)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang mga halaga:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Narito ang isang unit circle para tulungan ka:

Nahihirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(array)\)

Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang sulok sa loob \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tumutugma sa isang punto na may mga coordinate \(\left(0;1 \right) \) , samakatuwid:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ay hindi umiiral;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay nasa \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \kanan) \), ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang mga sagot.

Mga sagot:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ay hindi umiiral

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ay hindi umiiral

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ay hindi umiiral

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ay hindi umiiral

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:

Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:

\(\kaliwa. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Dapat mong tandaan o maipakita ito!! \) !}

Ngunit ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat mong tandaan:

Huwag matakot, ngayon ay magpapakita kami sa iyo ng isang halimbawa ng isang medyo simpleng pagsasaulo ng mga katumbas na halaga:

Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong sukat ng anggulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo sa \(30()^\circ \) . Alam ang mga halagang ito ng \(4\), medyo simple na ibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), alam ito, maaari mong ibalik ang mga halaga para sa \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Ang numerator na "\(1 \)" ay tumutugma sa \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) at ang denominator na "\(\sqrt(\text(3)) \)" ay tumutugma sa \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinahiwatig sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala mo ang diagram na may mga arrow, sapat na upang matandaan lamang ang \(4\) mga halaga mula sa talahanayan.

Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog

Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng gitna ng bilog, ang radius at anggulo ng pag-ikot nito? Well, siyempre kaya mo! Ilabas na natin pangkalahatang pormula upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto. Halimbawa, narito ang isang bilog sa harap namin:

Binibigyan tayo ng puntong iyon \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- gitna ng bilog. Ang radius ng bilog ay \(1.5\) . Kinakailangang hanapin ang mga coordinate ng puntong \(P\) na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng puntong \(O\) sa pamamagitan ng \(\delta \) degrees.

Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate \(x\) ng punto \(P\) ay tumutugma sa haba ng segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . Ang haba ng segment na \(UK\) ay tumutugma sa coordinate \(x\) ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay katumbas ng \(3\) . Ang haba ng segment \(KQ\) ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Pagkatapos mayroon kaming na para sa puntong \(P\) ang coordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Gamit ang parehong lohika, nakita namin ang halaga ng y coordinate para sa puntong \(P\) . kaya,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Kaya, sa pangkalahatang pananaw Ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Saan

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - mga coordinate ng gitna ng bilog,

\(r\) - radius ng bilog,

\(\delta \) - anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.

Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay katumbas ng zero at ang radius ay katumbas ng isa:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Naka-disable ang Javascript sa iyong browser.
Upang magsagawa ng mga kalkulasyon, dapat mong paganahin ang mga kontrol ng ActiveX!

Mga tagubilin

Video sa paksa

tala

Kapag kinakalkula ang mga gilid ng isang tamang tatsulok, ang kaalaman sa mga katangian nito ay maaaring gumanap ng isang papel:
1) Kung ang binti ng isang tamang anggulo ay nasa tapat ng isang anggulo ng 30 degrees, kung gayon ito ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse;
2) Ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa sa alinman sa mga binti;
3) Kung ang isang bilog ay nakapaligid sa isang kanang tatsulok, ang gitna nito ay dapat na nasa gitna ng hypotenuse.

Ang hypotenuse ay ang gilid sa isang kanang tatsulok na nasa tapat ng 90 degree na anggulo. Upang makalkula ang haba nito, sapat na malaman ang haba ng isa sa mga binti at ang laki ng isa sa mga talamak na anggulo ng tatsulok.

Mga tagubilin

Ipaalam sa amin ang isa sa mga binti at ang anggulong katabi nito. Upang maging tiyak, hayaan itong maging panig |AB| at anggulo α. Pagkatapos ay maaari nating gamitin ang formula para sa trigonometriko cosine– cosine ng ratio ng katabing binti sa . Yung. sa aming notasyon cos α = |AB| / |AC|. Mula dito nakukuha natin ang haba ng hypotenuse |AC| = |AB| / cos α.
Kung alam natin ang panig |BC| at anggulo α, pagkatapos ay gagamitin natin ang formula upang kalkulahin ang sine ng anggulo - ang sine ng anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Nalaman namin na ang haba ng hypotenuse ay |AC| = |BC| / cos α.

Para sa kalinawan, tingnan natin ang isang halimbawa. Hayaang ibigay ang haba ng binti |AB|. = 15. At anggulo α = 60°. Nakukuha namin ang |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30.
Tingnan natin kung paano mo masusuri ang iyong resulta gamit ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, kailangan nating kalkulahin ang haba ng ikalawang binti |BC|. Gamit ang formula para sa padaplis ng anggulo tan α = |BC| / |AC|, nakukuha namin ang |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Susunod, inilapat namin ang Pythagorean theorem, makakakuha tayo ng 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Nakumpleto ang tseke.

Nakatutulong na payo

Pagkatapos kalkulahin ang hypotenuse, suriin kung ang resultang halaga ay nakakatugon sa Pythagorean theorem.

Mga Pinagmulan:

• Talaan ng mga pangunahing numero mula 1 hanggang 10000

Mga binti ay ang dalawang maikling gilid ng isang right triangle na bumubuo sa vertex na ang laki ay 90°. Ang ikatlong panig sa naturang tatsulok ay tinatawag na hypotenuse. Ang lahat ng mga panig at anggulo ng tatsulok na ito ay magkakaugnay ng ilang mga relasyon na ginagawang posible upang makalkula ang haba ng binti kung maraming iba pang mga parameter ang kilala.

Mga tagubilin

Gamitin ang Pythagorean theorem para sa leg (A) kung alam mo ang haba ng iba pang dalawang panig (B at C) ng right triangle. Ang teorem na ito ay nagsasaad na ang kabuuan ng mga parisukat na haba ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse. Mula dito sumusunod na ang haba ng bawat isa sa mga binti ay pantay parisukat na ugat mula sa mga haba ng hypotenuse at ang pangalawang binti: A=√(C²-B²).

Gamitin ang kahulugan ng direktang trigonometric function na "sine" para sa isang matinding anggulo kung alam mo ang magnitude ng anggulo (α) na nasa tapat ng binti na kinakalkula at ang haba ng hypotenuse (C). Ito ay nagsasaad na ang sine ng kilalang ratio na ito ng haba ng nais na binti sa haba ng hypotenuse. Nangangahulugan ito na ang haba ng nais na binti ay katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse at sine. kilalang anggulo: A=C∗sin(α). Para sa parehong kilalang dami, maaari mo ring gamitin ang cosecant at kalkulahin ang kinakailangang haba sa pamamagitan ng paghahati sa haba ng hypotenuse sa cosecant ng kilalang anggulo A=C/cosec(α).

Gamitin ang kahulugan ng direktang trigonometric cosine function kung, bilang karagdagan sa haba ng hypotenuse (C), ang magnitude ng acute angle (β) na katabi ng ninanais ay kilala rin. Ang cosine ng anggulong ito ay ang ratio ng mga haba ng nais na binti at hypotenuse, at mula dito maaari nating tapusin na ang haba ng binti ay katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse at ang cosine ng kilalang anggulo: A=C∗cos(β). Maaari mong gamitin ang kahulugan ng secant function at kalkulahin nais na halaga, na hinahati ang haba ng hypotenuse sa secant ng kilalang anggulo A=C/sec(β).

Kunin ang kinakailangang formula mula sa isang katulad na kahulugan para sa derivative ng trigonometric function tangent, kung bilang karagdagan sa halaga ng acute angle (α) na nakahiga sa tapat ng ninanais na binti (A), ang haba ng pangalawang binti (B) ay kilala . Ang tangent ng anggulo sa tapat ng nais na binti ay ang ratio ng haba ng binti na ito sa haba ng pangalawang binti. Nangangahulugan ito na ang nais na halaga ay magiging katumbas ng produkto ng haba ng kilalang binti at ang padaplis ng kilalang anggulo: A=B∗tg(α). Mula sa parehong mga kilalang dami, isa pang formula ang maaaring makuha kung gagamitin natin ang kahulugan ng cotangent function. Sa kasong ito, upang kalkulahin ang haba ng binti, kakailanganing hanapin ang ratio ng haba ng kilalang binti sa cotangent ng kilalang anggulo: A=B/ctg(α).

Video sa paksa

Ang salitang "kathet" ay nagmula sa Russian mula sa Greek. Sa eksaktong pagsasalin, nangangahulugan ito ng isang plumb line, iyon ay, patayo sa ibabaw ng lupa. Sa matematika, ang mga binti ay ang mga gilid na bumubuo ng isang tamang anggulo ng isang tamang tatsulok. Ang gilid sa tapat ng anggulong ito ay tinatawag na hypotenuse. Ang terminong "cathet" ay ginagamit din sa arkitektura at teknolohiya ng hinang.

Ang secant ng anggulong ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng hypotenuse sa katabing binti, iyon ay, secCAB = c/b. Ang resulta ay ang reciprocal ng cosine, iyon ay, maaari itong ipahayag gamit ang formula secCAB=1/cosSAB.
Ang cosecant ay katumbas ng quotient ng hypotenuse na hinati ng kabaligtaran na bahagi at ang kapalit ng sine. Maaari itong kalkulahin gamit ang formula na cosecCAB=1/sinCAB

Ang parehong mga binti ay konektado sa isa't isa at sa pamamagitan ng isang cotangent. SA sa kasong ito ang padaplis ay magiging ratio ng gilid a sa gilid b, iyon ay, ang kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang kaugnayang ito ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng formula na tgCAB=a/b. Alinsunod dito, ang kabaligtaran na ratio ay ang cotangent: ctgCAB=b/a.

Ang kaugnayan sa pagitan ng mga laki ng hypotenuse at magkabilang binti ay tinutukoy ng sinaunang Greek Pythagoras. Ginagamit pa rin ng mga tao ang theorem at ang kanyang pangalan. Sinasabi nito na ang parisukat ng hypotenuse katumbas ng kabuuan parisukat ng mga binti, iyon ay, c2=a2+b2. Alinsunod dito, ang bawat binti ay magiging katumbas ng square root ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng hypotenuse at ng kabilang binti. Ang formula na ito ay maaaring isulat bilang b=√(c2-a2).

Ang haba ng binti ay maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng mga relasyong kilala mo. Ayon sa theorems ng sines at cosines, ang isang binti ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at isa sa mga function na ito. Maaari itong ipahayag bilang at o cotangent. Ang binti a ay matatagpuan, halimbawa, gamit ang formula a = b*tan CAB. Sa eksaktong parehong paraan, depende sa ibinigay na tangent o , ang pangalawang binti ay tinutukoy.

Ang terminong "cathet" ay ginagamit din sa arkitektura. Ito ay inilapat sa Ionic capital at plumb sa gitna ng likod nito. Iyon ay, sa kasong ito, ang terminong ito ay patayo sa isang naibigay na linya.

Sa teknolohiya ng hinang mayroong isang "fillet weld leg". Tulad ng sa ibang mga kaso, ito ang pinakamaikling distansya. Dito pinag-uusapan natin tungkol sa agwat sa pagitan ng isa sa mga bahagi na hinangin sa hangganan ng tahi na matatagpuan sa ibabaw ng kabilang bahagi.

Video sa paksa

Mga Pinagmulan:

• ano ang binti at hypotenuse sa 2019

Average na antas

Kanang tatsulok. The Complete Illustrated Guide (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga problema, ang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwa, kaya kailangan mong matutunang makilala ang isang tamang tatsulok sa form na ito,

at dito

at dito

Ano ang maganda sa right triangle? Well..., una, may mga espesyal na magagandang pangalan para sa mga panig nito.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: mayroong dalawang paa, at mayroon lamang isang hypotenuse(isa at tanging, natatangi at pinakamahaba)!

Buweno, napag-usapan na natin ang mga pangalan, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean Theorem.

Pythagorean theorem.

Ang teorama na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang tamang tatsulok. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ito ay nagdala ng maraming benepisyo sa mga nakakaalam nito. At ang pinakamagandang bagay tungkol dito ay simple ito.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin ang parehong Pythagorean na pantalon at tingnan ang mga ito.

Hindi ba ito mukhang ilang uri ng shorts? Well, saang panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, o mas tiyak sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binabalangkas niya ito ng ganito:

"Sum mga lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti, ay katumbas ng parisukat na lugar, na binuo sa hypotenuse."

Medyo iba ba talaga ang tunog nito? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, ito mismo ang lumabas na larawan.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino ang nagmula sa biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem?

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Kita mo, noong unang panahon walang... algebra! Walang mga palatandaan at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kakila-kilabot para sa mga mahihirap na sinaunang mag-aaral na matandaan ang lahat sa mga salita??! At maaari tayong magalak na mayroon tayong simpleng pagbabalangkas ng Pythagorean theorem. Ulitin natin itong muli upang mas matandaan ito:

Dapat itong maging madali ngayon:

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Buweno, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa mga tamang tatsulok ay tinalakay. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang mga sumusunod na antas ng teorya, at ngayon ay magpatuloy tayo... sa madilim na gubat... trigonometrya! Sa mga katakut-takot na salitang sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Sa katunayan, ang lahat ay hindi masyadong nakakatakot. Siyempre, ang "tunay" na kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat tingnan sa artikulo. Pero ayoko talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang tamang tatsulok, maaari mo lamang punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang ang lahat? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Sa totoo lang parang ganito:

Paano ang anggulo? Mayroon bang isang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, isang kabaligtaran (para sa isang anggulo) na binti? Syempre meron! Ito ay isang paa!

Paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling binti ang katabi ng sulok? Siyempre, ang binti. Nangangahulugan ito na para sa anggulo ang binti ay katabi, at

Ngayon, pansinin mo! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Tingnan kung gaano ito kaganda:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ko ito isusulat sa mga salita ngayon? Ano ang paa na may kaugnayan sa anggulo? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. Paano ang binti? Katabi ng kanto. Kaya ano ang mayroon tayo?

Tingnan kung paano nagpalit ng puwesto ang numerator at denominator?

At ngayon ang mga sulok muli at gumawa ng isang palitan:

Buod

Isulat natin sa madaling sabi ang lahat ng ating natutunan.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing theorem tungkol sa right triangles ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi napakahusay, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Ito ay lubos na posible na nagamit mo na ang Pythagorean theorem nang maraming beses, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang gayong teorama? Paano ko ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Tingnan kung gaano namin katalinong hinati ang mga gilid nito sa mga haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang tuldok

Dito kami, gayunpaman, ay may nabanggit na iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa pagguhit at isipin kung bakit ganito.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Paano ang isang mas maliit na lugar? Tiyak, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin silang dalawa sa isang pagkakataon at isinandal sila sa isa't isa gamit ang kanilang hypotenuse. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Nangangahulugan ito na ang lugar ng "mga hiwa" ay pantay.

Pagsamahin natin ang lahat ngayon.

I-convert natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang tamang tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

At muli ang lahat ng ito sa anyo ng isang tablet:

Ito ay napaka komportable!

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

I. Sa dalawang panig

II. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Kasama ang binti at matinding anggulo

a)

b)

Pansin! Napakahalaga dito na ang mga binti ay "angkop". Halimbawa, kung ito ay magiging ganito:

SAKA TRIANGLES AY HINDI PANTAY, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isang magkaparehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong triangles ang binti ay katabi, o sa parehong ito ay kabaligtaran.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng "ordinaryong" tatsulok, tatlo sa kanilang mga elemento ay dapat na pantay: dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at gilid sa pagitan nila, o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Mahusay, tama?

Ang sitwasyon ay halos pareho sa mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tamang tatsulok

I. Kasama ang isang matinding anggulo

II. Sa dalawang panig

III. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganito?

Sa halip na isang tamang tatsulok, isaalang-alang ang isang buong parihaba.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya pala

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang mas nakakagulat ay ang kabaligtaran ay totoo rin.

Anong kabutihan ang makukuha mula sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming: , iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit mayroon lamang isang punto sa tatsulok, ang mga distansya mula sa kung saan mula sa lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay pantay, at ito ay ang CENTER OF THE CIRCLE. So anong nangyari?

Kaya't magsimula tayo sa "bukod sa...".

Tingnan natin at.

Pero katulad na mga tatsulok lahat ng anggulo ay pantay!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon ay iguhit natin ito nang sama-sama:

Anong benepisyo ang maaaring makuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito?

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang right triangle.

Isulat natin ang mga relasyon ng mga kaukulang partido:

Upang mahanap ang taas, lutasin namin ang proporsyon at makuha ang unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad: .

Ano ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Kailangan mong tandaan ang parehong mga formula na ito nang napakahusay at gamitin ang isa na mas maginhawa. Isulat natin muli ang mga ito

Pythagorean theorem:

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti: .

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

• sa dalawang panig:
• sa pamamagitan ng binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok:

• isang matinding sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang paa:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing gilid sa kabaligtaran na bahagi: .

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang tamang tatsulok, ang median na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: .

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga binti:

Sa buhay, madalas nating haharapin mga problema sa matematika: sa paaralan, sa unibersidad, at pagkatapos ay tulungan ang iyong anak sa pagkumpleto takdang aralin. Ang mga tao sa ilang mga propesyon ay makakatagpo ng matematika araw-araw. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na kabisaduhin o alalahanin ang mga panuntunan sa matematika. Sa artikulong ito titingnan natin ang isa sa mga ito: paghahanap ng gilid ng isang tamang tatsulok.

Ano ang tamang tatsulok

Una, tandaan natin kung ano ang tamang tatsulok. Ang isang tamang tatsulok ay geometric na pigura ng tatlong mga segment na nag-uugnay sa mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, at ang isa sa mga anggulo ng figure na ito ay 90 degrees. Ang mga gilid na bumubuo ng tamang anggulo ay tinatawag na mga binti, at ang panig na nasa tapat ng tamang anggulo ay tinatawag na hypotenuse.

Paghahanap ng binti ng isang tamang tatsulok

Mayroong ilang mga paraan upang malaman ang haba ng binti. Gusto kong isaalang-alang ang mga ito nang mas detalyado.

Pythagorean theorem upang mahanap ang gilid ng isang right triangle

Kung alam natin ang hypotenuse at ang binti, makikita natin ang haba ng hindi kilalang binti gamit ang Pythagorean theorem. Parang ganito: "Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Formula: c²=a²+b², kung saan ang c ay ang hypotenuse, ang a at b ay ang mga binti. Binabago namin ang formula at makuha ang: a²=c²-b².

Halimbawa. Ang hypotenuse ay 5 cm, at ang binti ay 3 cm. Binabago namin ang formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Susunod na malulutas namin ang: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometric ratios upang mahanap ang binti ng isang right triangle

Makakahanap ka rin ng hindi kilalang binti kung alam ang anumang iba pang panig at anumang matinding anggulo ng tamang tatsulok. Mayroong apat na pagpipilian para sa paghahanap ng isang binti gamit ang mga trigonometric function: sine, cosine, tangent, cotangent. Ang talahanayan sa ibaba ay makakatulong sa amin na malutas ang mga problema. Isaalang-alang natin ang mga opsyong ito.

Hanapin ang binti ng isang kanang tatsulok gamit ang sine

Ang sine ng isang anggulo (sin) ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse. Formula: sin=a/c, kung saan ang a ay ang binti sa tapat ng ibinigay na anggulo, at c ay ang hypotenuse. Susunod, binabago namin ang formula at makuha ang: a=sin*c.

Halimbawa. Ang hypotenuse ay 10 cm, ang anggulo A ay 30 degrees. Gamit ang talahanayan, kinakalkula namin ang sine ng anggulo A, ito ay katumbas ng 1/2. Pagkatapos, gamit ang binagong formula, malulutas natin ang: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Hanapin ang binti ng isang tamang tatsulok gamit ang cosine

Ang cosine ng isang anggulo (cos) ay ang ratio ng katabing paa sa hypotenuse. Formula: cos=b/c, kung saan ang b ay ang binti na katabi ang anggulong ito, at c ay ang hypotenuse. Ibahin natin ang formula at makuha ang: b=cos*c.

Halimbawa. Ang anggulo A ay katumbas ng 60 degrees, ang hypotenuse ay katumbas ng 10 cm. Gamit ang talahanayan, kinakalkula namin ang cosine ng anggulo A, ito ay katumbas ng 1/2. Susunod na malulutas natin ang: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Hanapin ang binti ng isang right triangle gamit ang tangent

Ang padaplis ng isang anggulo (tg) ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Formula: tg=a/b, kung saan ang a ay ang gilid na katapat ng anggulo, at ang b ay ang katabing gilid. Ibahin natin ang formula at makuha ang: a=tg*b.

Halimbawa. Ang anggulo A ay katumbas ng 45 degrees, ang hypotenuse ay katumbas ng 10 cm. Gamit ang talahanayan, kinakalkula namin ang tangent ng anggulo A, ito ay katumbas ng Solve: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Hanapin ang binti ng isang right triangle gamit ang cotangent

Angle cotangent (ctg) ay ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran. Formula: ctg=b/a, kung saan ang b ay ang binti na katabi ng anggulo, at ang kabaligtaran na binti. Sa madaling salita, ang cotangent ay isang "inverted tangent." Nakukuha namin ang: b=ctg*a.

Halimbawa. Ang anggulo A ay 30 degrees, ang tapat na binti ay 5 cm. Ayon sa talahanayan, ang tangent ng anggulo A ay √3. Kinakalkula namin: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Kaya ngayon alam mo kung paano makahanap ng isang binti sa isang tamang tatsulok. Tulad ng nakikita mo, hindi ganoon kahirap, ang pangunahing bagay ay tandaan ang mga formula.