Kadalasan, sa mga problemang C1 mula sa USE sa matematika, hinihiling sa mga mag-aaral na lutasin ang isang trigonometric equation na naglalaman ng formula dobleng anggulo.
Ngayon ay susuriin nating muli ang problema sa C1 at, sa partikular, susuriin natin ang isang medyo hindi pamantayang halimbawa, na sabay na naglalaman ng parehong formula ng dobleng anggulo at kahit isang homogenous na equation. Kaya:
Lutasin ang equation. Hanapin ang mga ugat ng equation na ito na kabilang sa pagitan:
sinx+ kasalanan2 x 2 −cos2 x 2 ,x∈ [ −2 π ;− π 2 ]
\sin x+\frac(((\sin )^(2))x)(2)-\frac(((\cos )^(2))x)(2),x\in \left[ -2\ text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]
Mga kapaki-pakinabang na formula para sa paglutas
Una sa lahat, nais kong ipaalala sa iyo na ang lahat ng mga gawain sa C1 ay nalutas ayon sa parehong pamamaraan. Una sa lahat, ang orihinal na konstruksiyon ay dapat ma-convert sa isang expression na naglalaman ng isang sine, cosine o tangent:
sinx=a
cosx=a
tgx=a
Ito ang tiyak na pangunahing kahirapan ng gawain C1. Ang katotohanan ay ang bawat tiyak na expression ay nangangailangan ng sarili nitong mga kalkulasyon, sa tulong ng kung saan maaari kang pumunta mula sa source code sa naturang mga simpleng constructions. Sa aming kaso, ito ang double angle formula. Hayaan akong isulat ito:
cos2x= cos2 x− kasalanan2 x
\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x
Gayunpaman, sa aming gawain ay walang cos2 x((\cos )^(2))x o kasalanan2 x((\sin )^(2))x, ngunit mayroon kasalanan2 x 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) at cos2 x 2 \frac(((\cos )^(2))x)(2).
Solusyonan natin ang problema
Ano ang gagawin sa mga kalkulasyong ito? Magdaya tayo nang kaunti at magpakilala ng bagong variable sa ating mga formula para sa sine at cosine ng isang dobleng anggulo:
x= t2
Isinulat namin ang sumusunod na konstruksyon na may sine at cosine:
cos2⋅ t2=cos2 t 2 −kasalanan2 t 2
\cos 2\cdot \frac(t)(2)=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2 )
O sa madaling salita:
gastos= cos2 t 2 −kasalanan2 t 2
\cos t=\frac(((\cos )^(2))t)(2)-\frac(((\sin )^(2))t)(2)
Bumalik kami sa aming orihinal na gawain. tayo kasalanan2 x 2 \frac(((\sin )^(2))x)(2) lumipat sa kanan:
sinx= cos2 x 2 −kasalanan2 x 2
\sin x=\frac(((\cos )^(2))x)(2)-\frac(((\sin )^(2))x)(2)
Sa kanan ay eksaktong parehong mga kalkulasyon na kaka-record lang namin. Ibahin natin ang mga ito:
sinx=cosx
At ngayon pansin: mayroon kaming isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree. Tingnan mo, wala kaming mga termino na numero lang at makatarungan x x, mayroon lang tayong sine at cosine. Wala rin kaming square trigonometriko function, ang lahat ng mga function ay napupunta sa unang kapangyarihan. Paano nalutas ang mga ganitong istruktura? Una sa lahat, ipagpalagay natin na cosx=0\cosx=0.
Palitan ang halagang ito sa pangunahing trigonometric identity:
kasalanan2 x+ cos2 x=1
((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x=1
kasalanan2 x+0=1
((\sin )^(2))x+0=1
sinx=±1
Kung papalitan natin ang mga numerong ito, 0 at ±1, sa orihinal na konstruksyon, makukuha natin ang sumusunod:
±1 = 0
\pm1\text( )=\text( )0
Nakakuha kami ng kumpletong kalokohan. Samakatuwid, ang aming palagay ay iyon cosx=0\cos x=0 ay mali, cosx\cos hindi maaaring maging 0 ang x sa expression na ito. At kung cosx\cos ang x ay hindi katumbas ng 0, pagkatapos ay hatiin natin ang magkabilang panig cosx\cosx:
sinxcosx=1
\frac(\sin x)(\cos x)=1
sinxcosx=tgx
\frac(\sin x)(\cos x)=tgx
tgx=1
At kaya nakuha namin ang pinakahihintay na pinakasimpleng pagpapahayag ng form tgx=a tgx=a. Mahusay, lutasin natin ito. Ito ay isang halaga ng talahanayan:
x= π 4 + n,n ˜ ∈Z
x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) n,n˜\sa Z
Natagpuan namin ang ugat, nalutas namin ang unang bahagi ng problema, iyon ay, tapat kaming nakakuha ng isang pangunahing marka sa dalawa.
Lumipat tayo sa ikalawang bahagi: hanapin ang mga ugat ng equation na ito na kabilang sa pagitan, o sa halip, sa segment
[\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2 )\kanan]\]. Iminumungkahi ko, bilang huling pagkakataon, upang lutasin ang expression na ito nang graphical, ibig sabihin, gumuhit ng isang bilog, markahan ang simula dito, ibig sabihin, 0, pati na rin ang mga dulo ng segment:
Sa segment
−2 π ;− π 2
2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\pi )(2) hanapin ang lahat ng value na kabilang sa
π 4 + n
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. At ngayon ang pinaka-masaya: ang katotohanan ay ang tuldok mismo π 4 Ang \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) ay hindi kabilang sa segment
[ −2 π ;− π 2 ] ,
\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right], ito ay malinaw:
π 4 ∉˜ [ −2 π ;− π 2 ]
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)\notin ˜\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\text( )\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \right]
Kung dahil lang negatibo ang magkabilang dulo ng segment na ito, at ang numero π 4 Ang \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) ay positibo, ngunit sa kabilang banda, ang ilang mga halaga tulad ng
π 4 + n
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n nabibilang pa rin sa aming segment . Kaya paano mo i-highlight ang mga ito? Napakasimple: kunin ang dulo ng segment
−2π
2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) at idagdag π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) , ibig sabihin, lahat ng bagay ay nangyayari kapareho ng kung sinimulan namin ang ulat hindi mula sa 0, ngunit mula sa −2π-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ), at mayroon kaming unang tuldok:
x=−2 π + π 4 =−7p 4
x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)=- \frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)
Ngayon ang pangalawang numero:
x=−2 π + π 4 + π =− 3 pi 4
x=-2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4 ))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)
Ito ang pangalawang kahulugan. Walang iba pang mga ugat, dahil kapag minarkahan ang mga ito at kapag minarkahan ang aming segment ng paghihigpit, nakita namin mismo na dalawang uri lamang ang nasa loob ng segment na ito - π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) at π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ). Ang mga puntong ito ay tayo at atin. Isinulat namin ang sagot:
−7p 4 ;−3 pi 4
-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4);-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)
Para sa gayong solusyon, makakatanggap ka ng dalawang pangunahing puntos sa dalawang posible.
Ano ang kailangan mong tandaan para sa tamang desisyon
Muli ang mga pangunahing hakbang na dapat sundin. Una sa lahat, kailangan mong malaman ang mga kalkulasyon ng double angle ng sine o cosine, sa partikular, sa aming problema, ang cosine ng double angle. Bilang karagdagan, pagkatapos ng aplikasyon nito, kinakailangan upang malutas ang pinakasimpleng trigonometric equation. Ito ay nalutas nang simple, ngunit ito ay kinakailangan upang isulat at suriin iyon cosx\cos x sa aming pagbuo ay hindi katumbas ng 0. Pagkatapos ng trigonometric equation, nakakakuha kami ng elementary expression, sa aming kaso ito ay tgx=1 tgx=1, na madaling malutas gamit ang mga karaniwang formula na kilala mula pa noong grade 9-10. Kaya, malulutas namin ang halimbawa at makuha ang sagot sa unang bahagi ng gawain - ang hanay ng lahat ng mga ugat. Sa aming kaso, ito
π 4 + πn,n∈Z
\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n, n\in ˜Z. Pagkatapos ay nananatili lamang ito upang piliin ang mga ugat na kabilang sa segment
[ −2 π ;− π 2 ]
\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \tama]. Upang gawin ito, gumuhit kami muli ng isang trigonometric na bilog, markahan ang aming mga ugat at ang aming segment dito, at pagkatapos ay bilangin mula sa dulo ang pareho π 4 \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) at π 4 + π \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( ) na ginawa habang markahan ang lahat ugat ng anyo π 4 + n\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n. Pagkatapos ng isang simpleng pagkalkula, nakakuha kami ng dalawang kongkretong ugat, ibig sabihin,
−7p 4
-\frac(7\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) at
−3 pi 4
-\frac(3\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4), na siyang sagot sa ikalawang bahagi ng problema, ibig sabihin, ang mga ugat na kabilang sa segment
[ −2 π ;− π 2 ]
\left[ -2\text( )\!\!\pi\!\!\text( );-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2) \tama].
Pangunahing puntos
Upang harapin ang mga ganitong uri ng mga gawain sa C1 nang walang problema, tandaan ang dalawang pangunahing formula:
- Sine ng dobleng anggulo:
sin2 α =2sin α cos α
\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\sin \text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\cos \text( )\ !\!\alpha\!\!\text( ) - ang formula na ito para sa mga sine ay palaging gumagana sa form na ito;
- Cosine ng dobleng anggulo: cos2α=co s2 α−si n2 α \cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( =)co((s)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) -si((n)^(2))\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ) - at dito posible ang mga opsyon.
Ang lahat ay malinaw mula sa una. Ngunit anong uri ng mga opsyon ang posible sa pangalawang kaso? Ang katotohanan ay ang cosine ng isang dobleng anggulo ay maaaring isulat sa iba't ibang paraan:
cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α
\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=2\cos 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )-1=1-2\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )
Ang mga pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan. Buweno, anong pagkakapantay-pantay ang pipiliin kapag nagresolba case study C1? Ito ay simple: kung plano mong bawasan ang konstruksiyon sa mga sine, pagkatapos ay piliin ang huling agnas, kung saan mayroon lamang
kasalanan2α
\sin 2\text( )\!\!\alpha\!\!\text( ). Sa kabaligtaran, kung gusto mong bawasan ang buong expression sa pagtatrabaho sa mga cosine, piliin ang pangalawang opsyon - ang isa kung saan ang cosine ay ang tanging trigonometric function.
Karamihan sa mga madalas itanong
Posible bang gumawa ng selyo sa isang dokumento ayon sa ibinigay na sample? Sagot Oo, posible. Magpadala ng na-scan na kopya o larawan sa aming email address Magandang kalidad at gagawin namin ang kinakailangang duplicate.
Anong mga uri ng pagbabayad ang tinatanggap mo?
Sagot Maaari mong bayaran ang dokumento sa oras ng pagtanggap ng courier, pagkatapos mong suriin ang kawastuhan ng pagpuno at ang kalidad ng diploma. Maaari rin itong gawin sa opisina ng mga kumpanyang pangkoreo na nag-aalok ng cash on delivery services.
Ang lahat ng mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad ng mga dokumento ay inilarawan sa seksyong "Pagbabayad at Paghahatid". Handa rin kaming makinig sa iyong mga mungkahi sa mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad para sa dokumento.
Maaari ba akong makasigurado na pagkatapos mong mag-order ay hindi ka mawawala kasama ng aking pera? Sagot Mayroon kaming medyo mahabang karanasan sa larangan ng paggawa ng diploma. Mayroon kaming ilang mga site na patuloy na ina-update. Nagtatrabaho ang aming mga espesyalista iba't ibang sulok bansa, na gumagawa ng higit sa 10 mga dokumento sa isang araw. Sa paglipas ng mga taon, ang aming mga dokumento ay nakatulong sa maraming tao na malutas ang mga problema sa trabaho o lumipat sa higit pa trabahong mataas ang suweldo. Nagkamit kami ng tiwala at pagkilala sa mga customer, kaya talagang walang dahilan para gawin namin ito. Bukod dito, imposibleng gawin ito nang pisikal: babayaran mo ang iyong order sa oras na matanggap mo ito sa iyong mga kamay, walang prepayment.
Maaari ba akong mag-order ng diploma mula sa anumang unibersidad? Sagot Sa pangkalahatan, oo. Halos 12 taon na kaming nagtatrabaho sa lugar na ito. Sa panahong ito, nabuo ang halos kumpletong database ng mga dokumentong inilabas ng halos lahat ng unibersidad sa bansa at sa ibang bansa. magkaibang taon pagpapalabas. Ang kailangan mo lang ay pumili ng unibersidad, espesyalidad, dokumento, at punan ang isang order form.
Ano ang dapat kong gawin kung makakita ako ng mga typo at error sa isang dokumento?
Sagot Kapag tumatanggap ng dokumento mula sa aming courier o kumpanya ng koreo, inirerekumenda namin na maingat mong suriin ang lahat ng mga detalye. Kung may nakitang typo, error o hindi tumpak, may karapatan kang hindi kunin ang diploma, at dapat mong personal na ipahiwatig ang mga nakitang pagkukulang sa courier o sa pagsusulat sa pamamagitan ng pagpapadala ng liham sa email.
SA sa madaling panahon Itatama namin ang dokumento at muling ipapadala ito sa tinukoy na address. Siyempre, ang pagpapadala ay babayaran ng aming kumpanya.
Upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan, bago punan ang orihinal na form, nagpapadala kami ng layout ng hinaharap na dokumento sa mail ng customer para sa pag-verify at pag-apruba ng huling bersyon. Bago ipadala ang dokumento sa pamamagitan ng courier o mail, kumukuha din kami ng karagdagang larawan at video (kabilang ang ultraviolet light) upang magkaroon ka ng visual na ideya kung ano ang makukuha mo sa huli.
Ano ang kailangan mong gawin upang mag-order ng diploma mula sa iyong kumpanya?
Sagot Upang mag-order ng isang dokumento (sertipiko, diploma, akademikong sertipiko, atbp.), kailangan mong punan ang isang online na form ng order sa aming website o ibigay ang iyong e-mail upang magpadala kami sa iyo ng form ng palatanungan, na kailangan mong punan at ipadala pabalik sa amin.
Kung hindi mo alam kung ano ang ipahiwatig sa anumang field ng order form/kwestyoner, iwanang blangko ang mga ito. Samakatuwid, lilinawin namin ang lahat ng nawawalang impormasyon sa telepono.
Pinakabagong pagsusuri
Alexei:
Kailangan kong kumuha ng diploma para makakuha ng trabaho bilang manager. At higit sa lahat, mayroon akong parehong karanasan at kakayahan, ngunit kung walang dokumento ay hindi ko magagawa, makakakuha ako ng trabaho kahit saan. Sa sandaling nasa iyong site, nagpasya pa rin akong bumili ng diploma. Natapos ang diploma sa loob ng 2 araw! Ngayon may trabaho na ako na hindi ko pinangarap dati!! Salamat!
Karamihan sa mga madalas itanong
Posible bang gumawa ng selyo sa isang dokumento ayon sa ibinigay na sample? Sagot Oo, posible. Magpadala ng na-scan na kopya o isang magandang kalidad na larawan sa aming email address, at gagawin namin ang kinakailangang duplicate.
Anong mga uri ng pagbabayad ang tinatanggap mo?
Sagot Maaari mong bayaran ang dokumento sa oras ng pagtanggap ng courier, pagkatapos mong suriin ang kawastuhan ng pagpuno at ang kalidad ng diploma. Maaari rin itong gawin sa opisina ng mga kumpanyang pangkoreo na nag-aalok ng cash on delivery services.
Ang lahat ng mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad ng mga dokumento ay inilarawan sa seksyong "Pagbabayad at Paghahatid". Handa rin kaming makinig sa iyong mga mungkahi sa mga tuntunin ng paghahatid at pagbabayad para sa dokumento.
Maaari ba akong makasigurado na pagkatapos mong mag-order ay hindi ka mawawala kasama ng aking pera? Sagot Mayroon kaming medyo mahabang karanasan sa larangan ng paggawa ng diploma. Mayroon kaming ilang mga site na patuloy na ina-update. Ang aming mga espesyalista ay nagtatrabaho sa iba't ibang bahagi ng bansa, na gumagawa ng higit sa 10 mga dokumento sa isang araw. Sa paglipas ng mga taon, ang aming mga dokumento ay nakatulong sa maraming tao na malutas ang mga problema sa trabaho o lumipat sa mas mataas na suweldong trabaho. Nagkamit kami ng tiwala at pagkilala sa mga customer, kaya talagang walang dahilan para gawin namin ito. Bukod dito, imposibleng gawin ito nang pisikal: babayaran mo ang iyong order sa oras na matanggap mo ito sa iyong mga kamay, walang prepayment.
Maaari ba akong mag-order ng diploma mula sa anumang unibersidad? Sagot Sa pangkalahatan, oo. Halos 12 taon na kaming nagtatrabaho sa lugar na ito. Sa panahong ito, nabuo ang halos kumpletong database ng mga dokumentong inisyu ng halos lahat ng unibersidad sa bansa at para sa iba't ibang taon ng isyu. Ang kailangan mo lang ay pumili ng unibersidad, espesyalidad, dokumento, at punan ang isang order form.
Ano ang dapat kong gawin kung makakita ako ng mga typo at error sa isang dokumento?
Sagot Kapag tumatanggap ng dokumento mula sa aming courier o kumpanya ng koreo, inirerekumenda namin na maingat mong suriin ang lahat ng mga detalye. Kung may nakitang typo, error, o kamalian, may karapatan kang hindi kunin ang diploma, at dapat mong ipahiwatig ang mga pagkukulang na natagpuan nang personal sa courier o sa pamamagitan ng pagsulat sa pamamagitan ng pagpapadala ng e-mail.
Sa lalong madaling panahon, itatama namin ang dokumento at muling ipapadala ito sa tinukoy na address. Siyempre, ang pagpapadala ay babayaran ng aming kumpanya.
Upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan, bago punan ang orihinal na form, nagpapadala kami ng layout ng hinaharap na dokumento sa mail ng customer para sa pag-verify at pag-apruba ng huling bersyon. Bago ipadala ang dokumento sa pamamagitan ng courier o mail, kumukuha din kami ng karagdagang larawan at video (kabilang ang ultraviolet light) upang magkaroon ka ng visual na ideya kung ano ang makukuha mo sa huli.
Ano ang kailangan mong gawin upang mag-order ng diploma mula sa iyong kumpanya?
Sagot Upang mag-order ng isang dokumento (sertipiko, diploma, akademikong sertipiko, atbp.), kailangan mong punan ang isang online na form ng order sa aming website o ibigay ang iyong e-mail upang magpadala kami sa iyo ng form ng palatanungan, na kailangan mong punan at ipadala pabalik sa amin.
Kung hindi mo alam kung ano ang ipahiwatig sa anumang field ng order form/kwestyoner, iwanang blangko ang mga ito. Samakatuwid, lilinawin namin ang lahat ng nawawalang impormasyon sa telepono.
Pinakabagong pagsusuri
Alexei:
Kailangan kong kumuha ng diploma para makakuha ng trabaho bilang manager. At higit sa lahat, mayroon akong parehong karanasan at kakayahan, ngunit kung walang dokumento ay hindi ko magagawa, makakakuha ako ng trabaho kahit saan. Sa sandaling nasa iyong site, nagpasya pa rin akong bumili ng diploma. Natapos ang diploma sa loob ng 2 araw! Ngayon may trabaho na ako na hindi ko pinangarap dati!! Salamat!
Ang trigonometrya ay isa sa mga sangay ng matematika, ang pokus nito ay ang mga anggulo at ang mga ugnayan sa pagitan nila. Ang mga pundasyon ng agham ay inilatag mga taon ng paaralan, kapag ipinakilala ang mga kahulugan ng mga function ng anggulo. Sa hinaharap, ang resultang base ay ginagamit sa pagbuo ng astronomiya, instrumentasyon, arkitektura at iba pang mga lugar ng kaalaman. Tulad ng anumang eksaktong agham, ang trigonometrya ay hindi kumpleto nang walang mga formula. Praktikal na paggamit natagpuan ang mga expression para sa pagtukoy ng isang dobleng argumento. Halimbawa, sa pamamagitan ng paggamit sa kaukulang equation, madali mong malalaman ang dobleng anggulo ng sine.
Trigonometric expression para sa pagkalkula
Ang expression ay nakasulat at naaalala lamang: ang sine ng isang dobleng anggulo ay kinakalkula bilang ang dobleng produkto ng sine at cosine ng isang solong argumento.
Ang formula na ito ay nagmula sa expression para sa sine ng kabuuan ng mga anggulo ( Q 1 + Q 2 ) :
kasalanan( Q 1 + Q 2) = kasalanan Q 1* cos Q 1+ kasalanan Q 2*cos Q 2 .
Ipagpalagay na ang mga ibinigay na anggulo ay pantay sa bawat isa, ang formula ay nakasulat sa karaniwang anyo.
Maaari kang gumamit ng expression para sa anumang halaga ng argument ng function. Ang pagkalkula ng dobleng anggulo ng sine mula dito ay medyo simple, ang mga halimbawa sa ibaba ay makakatulong upang ma-verify ito.
Halimbawa ng paggamit
Narito ang ilang mga paglalarawan ng aplikasyon ng resultang formula. Hayaang kailanganin na kalkulahin ang halaga ng trigonometric function ng sine ng isang anggulo na katumbas ng 60 degrees. Ang katumbas na solong anggulo ay magiging 30 degrees. Dahil ang mga halaga ng sine at cosine ng isang 30 degree na anggulo ay kilala, ang dobleng anggulo ng sine ay magiging sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.
Ang formula ay ginagamit hindi lamang upang kalkulahin ang "manu-mano", maaari ka ring makahanap ng mga halaga gamit ito gamit ang mga mathematical na pakete o mga talahanayan ng MS Excel.
Sa kabila ng pagiging simple ng trigonometriko na pagkakakilanlan, nagdudulot ito ng mga paghihirap para sa mga nagtapos sa paaralan. Ito ang eksaktong inaasahan ng mga developer ng mga gawain sa USE, na nag-aalok ng mga pagsubok upang suriin ang mga pangunahing formula. Konklusyon - ang formula upang makalkula ang dobleng anggulo ng sine, kailangan mong malaman sa pamamagitan ng puso!
Ang mga formula ng dobleng anggulo ay ginagamit upang ipahayag ang mga sinus, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo na may halagang 2 α gamit ang mga trigonometric na function ng anggulo α . Ipakikilala ng artikulong ito ang lahat ng mga formula ng double angle na may mga patunay. Isasaalang-alang ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga formula. Sa huling bahagi, ipapakita ang mga formula para sa triple, quadruple na anggulo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Listahan ng mga formula ng dobleng anggulo
Upang i-convert ang mga formula ng dobleng anggulo, tandaan na ang mga anggulo sa trigonometrya ay may anyo n α notation, kung saan ang n ay natural na numero, ang halaga ng expression ay nakasulat nang walang bracket. Kaya, ang sin n α ay itinuturing na may parehong kahulugan ng sin (n α) . Sa notasyong sin n α mayroon tayong katulad na notasyon (sin α) n . Ang paggamit ng notasyon ay naaangkop para sa lahat ng trigonometric function na may kapangyarihan ng n.
Ang mga sumusunod ay ang mga formula ng dobleng anggulo:
sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α
Tandaan na ang mga sin at cos formula na ito ay naaangkop sa anumang halaga ng anggulong α. Ang formula para sa tangent ng isang double angle ay wasto para sa anumang halaga ng α, kung saan ang t g 2 α ay may katuturan, iyon ay, α ≠ π 4 + π 2 · z, z ay anumang integer. Ang cotangent ng isang dobleng anggulo ay umiiral para sa anumang α , kung saan ang c t g 2 α ay tinukoy sa α ≠ π 2 · z .
Ang cosine ng double angle ay may triple notation ng double angle. Lahat ng mga ito ay naaangkop.
Patunay ng mga formula ng double angle
Ang patunay ng mga formula ay nagmula sa mga pormula ng karagdagan. Inilapat namin ang mga formula para sa sine ng kabuuan:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β at ang cosine ng sum cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Ipagpalagay na β = α , pagkatapos makuha namin iyon
kasalanan (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α at cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α
Kaya, ang mga formula para sa sine at cosine ng double angle sin 2 α \u003d 2 sin α cos α at cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α ay napatunayan.
Ang natitirang mga formula cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α at cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 ay humahantong sa form cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, kapag pinapalitan 1 na may kabuuan ng mga parisukat sa pamamagitan ng pangunahing pagkakakilanlan sin 2 α + cos 2 α = 1 . Nakukuha natin ang kasalanan 2 α + cos 2 α = 1. Kaya 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α at 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - kasalanan 2 α.
Upang patunayan ang mga formula para sa dobleng anggulo ng tangent at cotangent, inilalapat namin ang mga pagkakapantay-pantay t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α at c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α. Pagkatapos ng pagbabago, nakukuha natin na t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α at c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - kasalanan 2 α 2 · kasalanan α · cos α . Hatiin ang expression sa cos 2 α kung saan cos 2 α ≠ 0 na may anumang halaga ng α kapag t g α ay tinukoy. Hatiin ang isa pang expression sa sin 2 α , kung saan ang sin 2 α ≠ 0 na may anumang halaga ng α , kapag ang c t g 2 α ay may katuturan. Upang patunayan ang formula ng dobleng anggulo para sa tangent at cotangent, pinapalitan namin at nakuha ang: