Ang discriminant, tulad ng mga quadratic equation, ay nagsisimulang pag-aralan sa kursong algebra sa ika-8 baitang. Maaari mong lutasin ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant at gamit ang Vieta's theorem. Pamamaraan ng pag-aaral quadratic equation, tulad ng mga discriminant formula, ay sa halip ay hindi matagumpay na naitanim sa mga mag-aaral, tulad ng maraming bagay sa totoong edukasyon. Kaya pumasa sila mga taon ng paaralan, pinapalitan ng edukasyon sa grade 9-11 ang " mataas na edukasyon"at ang lahat ay nakatingin muli- "Paano lutasin ang isang quadratic equation?", "Paano hanapin ang mga ugat ng equation?", "Paano hanapin ang discriminant?" At...

Discriminant formula

Ang discriminant D ng quadratic equation a*x^2+bx+c=0 ay katumbas ng D=b^2–4*a*c.
Ang mga ugat (mga solusyon) ng isang quadratic equation ay nakasalalay sa tanda ng discriminant (D):
D>0 - ang equation ay may 2 magkaibang tunay na ugat;
D=0 - ang equation ay may 1 ugat (2 magkatugmang ugat):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Ang formula para sa pagkalkula ng discriminant ay medyo simple, kaya maraming website ang nag-aalok ng online na discriminant calculator. Hindi pa namin naiisip ang ganitong uri ng mga script, kaya kung may nakakaalam kung paano ito ipatupad, mangyaring sumulat sa amin sa pamamagitan ng email Ang email address na ito ay pinoprotektahan mula sa mga spambots. Dapat ay pinagana mo ang JavaScript upang matingnan ito. .

Pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation:

Nahanap namin ang mga ugat ng equation gamit ang formula
Kung ang koepisyent ng isang parisukat na variable ay ipinares, pagkatapos ay ipinapayong kalkulahin hindi ang discriminant, ngunit ang ikaapat na bahagi nito
Sa ganitong mga kaso, ang mga ugat ng equation ay matatagpuan gamit ang formula

Ang pangalawang paraan upang mahanap ang mga ugat ay ang Vieta's Theorem.

Ang theorem ay binuo hindi lamang para sa mga quadratic equation, kundi pati na rin para sa polynomials. Mababasa mo ito sa Wikipedia o iba pang elektronikong mapagkukunan. Gayunpaman, upang pasimplehin, isaalang-alang natin ang bahaging may kinalaman sa mga quadratic na equation sa itaas, iyon ay, mga equation ng form (a=1)
Ang kakanyahan ng mga formula ni Vieta ay ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng koepisyent ng variable, na kinuha sa kabaligtaran na tanda. Ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino. Ang teorama ni Vieta ay maaaring isulat sa mga pormula.
Ang derivation ng formula ng Vieta ay medyo simple. Isulat natin ang quadratic equation sa pamamagitan ng mga simpleng salik
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ng mapanlikha ay simple sa parehong oras. Mabisang gamitin ang formula ng Vieta kapag ang pagkakaiba sa modulus ng mga ugat o ang pagkakaiba sa moduli ng mga ugat ay 1, 2. Halimbawa, ang mga sumusunod na equation, ayon sa teorem ng Vieta, ay may mga ugat.




Hanggang sa equation 4, ang pagsusuri ay dapat magmukhang ganito. Ang produkto ng mga ugat ng equation ay 6, samakatuwid ang mga ugat ay maaaring ang mga halaga (1, 6) at (2, 3) o mga pares na may magkasalungat na mga palatandaan. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7 (ang koepisyent ng variable na may kabaligtaran na tanda). Mula dito napagpasyahan namin na ang mga solusyon sa quadratic equation ay x=2; x=3.
Mas madaling piliin ang mga ugat ng equation sa mga divisors ng libreng termino, pagsasaayos ng kanilang sign upang matupad ang mga formula ng Vieta. Sa una, ito ay tila mahirap gawin, ngunit sa pagsasanay sa isang bilang ng mga quadratic equation, ang diskarteng ito ay magiging mas epektibo kaysa sa pagkalkula ng discriminant at paghahanap ng mga ugat ng quadratic equation sa klasikal na paraan.
Tulad ng nakikita mo, ang teorya ng paaralan ng pag-aaral ng diskriminasyon at mga pamamaraan ng paghahanap ng mga solusyon sa equation ay walang praktikal na kahulugan - "Bakit kailangan ng mga mag-aaral ang isang quadratic equation?", "Ano ang pisikal na kahulugan ng discriminant?"

Subukan nating malaman ito Ano ang inilalarawan ng discriminant?

Sa kursong algebra pinag-aaralan nila ang mga function, mga scheme para sa pag-aaral ng mga function at pagbuo ng isang graph ng mga function. Sa lahat ng mga pag-andar, ang parabola ay sumasakop sa isang mahalagang lugar, ang equation na maaaring isulat sa anyo
Kaya ang pisikal na kahulugan ng quadratic equation ay ang mga zero ng parabola, iyon ay, ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may abscissa axis Ox
Hinihiling ko sa iyo na tandaan ang mga katangian ng mga parabola na inilarawan sa ibaba. Darating ang oras upang kumuha ng mga pagsusulit, pagsusulit, o mga pagsusulit sa pasukan at magpapasalamat ka para sa reference na materyal. Ang sign ng squared variable ay tumutugma sa kung ang mga sanga ng parabola sa graph ay tataas (a>0),

o isang parabola na may mga sanga pababa (a<0) .

Ang vertex ng parabola ay namamalagi sa pagitan ng mga ugat

Pisikal na kahulugan ng discriminant:

Kung ang discriminant ay mas malaki sa zero (D>0) ang parabola ay may dalawang punto ng intersection sa Ox axis.
Kung ang discriminant katumbas ng zero(D=0) pagkatapos ay ang parabola sa vertex ay dumadampi sa x-axis.
At ang huling kaso, kapag ang discriminant mas mababa sa zero(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Hindi kumpletong quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay pinag-aralan sa ika-8 baitang, kaya walang kumplikado dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay ganap na kinakailangan.

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form na ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago pag-aralan ang mga tiyak na paraan ng solusyon, tandaan na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring hatiin sa tatlong klase:

1. Walang mga ugat;
2. Magkaroon ng eksaktong isang ugat;
3. Magkaroon ng dalawa iba't ibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga quadratic na equation at mga linear, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

diskriminasyon

Hayaang ibigay ang quadratic equation na ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ang discriminant ay simpleng numero D = b 2 − 4ac.

Kailangan mong malaman ang formula na ito sa puso. Kung saan ito nanggaling ay hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

1. Kung si D< 0, корней нет;
2. Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
3. Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan ay naniniwala ang maraming tao. Tingnan ang mga halimbawa at mauunawaan mo ang lahat sa iyong sarili:

Gawain. Gaano karaming mga ugat mayroon ang mga quadratic equation:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Isulat natin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Kaya ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa katulad na paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation na natitira ay:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ang discriminant ay zero - ang ugat ay magiging isa.

Pakitandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay nakakapagod, ngunit hindi mo paghaluin ang mga posibilidad at gumawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung nakuha mo ito, pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 na nalutas na mga equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.

Mga ugat ng isang quadratic equation

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon mismo. Kung ang discriminant D > 0, ang mga ugat ay makikita gamit ang mga formula:

Pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makakakuha ka ng parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ang equation muli ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at mabibilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag pinapalitan ang mga negatibong coefficient sa formula. Dito muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, isulat ang bawat hakbang - at sa lalong madaling panahon ay mapupuksa mo ang mga pagkakamali.

Hindi kumpletong quadratic equation

Nangyayari na ang isang quadratic equation ay bahagyang naiiba sa ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Madaling mapansin na ang mga equation na ito ay nawawala ang isa sa mga termino. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa mga karaniwang equation: hindi man lang nila kailangan na kalkulahin ang discriminant. Kaya, ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. ang koepisyent ng variable na x o ang libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b = c = 0. Sa kasong ito, ang equation ay nasa anyo na ax 2 = 0. Malinaw, ang naturang equation ay may iisang ugat: x = 0.

Isaalang-alang natin ang natitirang mga kaso. Hayaan ang b = 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0. Ibahin natin ito ng kaunti:

Mula sa arithmetic Kuwadrado na ugat umiiral lamang mula sa isang hindi negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang para sa (−c /a) ≥ 0. Konklusyon:

1. Kung sa isang hindi kumpletong quadratic equation ng anyong ax 2 + c = 0 ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0 ay nasiyahan, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
2. Kung (−c /a)< 0, корней нет.

Gaya ng nakikita mo, hindi kailangan ng discriminant—walang kumplikadong kalkulasyon sa hindi kumpletong quadratic equation. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c /a) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga x 2 at makita kung ano ang nasa kabilang panig ng equal sign. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung ito ay negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon tingnan natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Inalis ang karaniwang salik sa mga bracket

Ang produkto ay zero kapag kahit isa sa mga salik ay zero. Dito nagmula ang mga ugat. Sa konklusyon, tingnan natin ang ilan sa mga equation na ito:

Gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Walang mga ugat, dahil ang isang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Ang ilang mga problema sa matematika ay nangangailangan ng kakayahang kalkulahin ang halaga ng square root. Kasama sa mga naturang problema ang paglutas ng mga equation ng pangalawang order. Sa artikulong ito ipapakita namin mabisang paraan mga kalkulasyon parisukat na ugat at gamitin ito kapag nagtatrabaho sa mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation.

Ano ang square root?

Sa matematika, ang konseptong ito ay tumutugma sa simbolo na √. Sinasabi ng makasaysayang data na ito ay unang ginamit noong unang kalahati ng ika-16 na siglo sa Alemanya (ang unang gawaing Aleman sa algebra ni Christoph Rudolf). Naniniwala ang mga siyentipiko na ang tinukoy na simbolo ay isang transformed Latin na titik r (ang ibig sabihin ng radix ay "ugat" sa Latin).

Ang ugat ng anumang numero ay katumbas ng halaga na ang parisukat ay tumutugma sa radikal na expression. Sa wika ng matematika, ang kahulugang ito ay magiging ganito: √x = y, kung y 2 = x.

Ang ugat ng isang positibong numero (x > 0) ay isa ring positibong numero (y > 0), ngunit kung kukunin mo ang ugat ng isang negatibong numero (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Narito ang dalawang simpleng halimbawa:

√9 = 3, dahil 3 2 = 9; √(-9) = 3i, dahil i 2 = -1.

Ang iterative formula ng Heron para sa paghahanap ng mga halaga ng square roots

Ang mga halimbawa sa itaas ay napaka-simple, at ang pagkalkula ng mga ugat sa kanila ay hindi mahirap. Nagsisimulang lumitaw ang mga paghihirap kapag naghahanap ng mga halaga ng ugat para sa anumang halaga na hindi maaaring kinakatawan bilang isang parisukat natural na numero, halimbawa √10, √11, √12, √13, hindi banggitin ang katotohanan na sa pagsasagawa ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat para sa mga non-integer na numero: halimbawa √(12,15), √(8,5) at iba pa.

Sa lahat ng mga kaso sa itaas, dapat mong gamitin espesyal na pamamaraan square root kalkulasyon. Sa kasalukuyan, maraming mga ganitong pamamaraan ang kilala: halimbawa, pagpapalawak ng serye ng Taylor, paghahati ng haligi at ilang iba pa. Sa lahat ng kilalang pamamaraan, marahil ang pinakasimple at pinakaepektibo ay ang paggamit ng iterative formula ni Heron, na kilala rin bilang Babylonian na paraan ng pagtukoy ng square roots (may ebidensya na ginamit ito ng mga sinaunang Babylonians sa kanilang praktikal na kalkulasyon).

Hayaang kailanganin upang matukoy ang halaga ng √x. Ang formula para sa paghahanap ng square root ay ang mga sumusunod:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kung saan lim n->∞ (a n) => x.

I-decipher natin ang mathematical notation na ito. Upang kalkulahin ang √x, dapat kang kumuha ng isang tiyak na numero a 0 (maaari itong maging arbitrary, ngunit upang mabilis na makuha ang resulta, dapat mong piliin ito upang ang (a 0) 2 ay mas malapit hangga't maaari sa x. Pagkatapos ay palitan ito ng ipinahiwatig na formula para sa pagkalkula ng square root at makakuha ng isang bagong numero a 1, na magiging mas malapit sa nais na halaga. ang katumpakan ay nakuha.

Isang halimbawa ng paggamit ng iterative formula ni Heron

Ang algorithm na inilarawan sa itaas para sa pagkuha ng square root ng isang naibigay na numero ay maaaring mukhang medyo kumplikado at nakalilito sa marami, ngunit sa katotohanan ang lahat ay nagiging mas simple, dahil ang formula na ito ay mabilis na nagtatagpo (lalo na kung pipiliin mo masuwerteng numero a 0).

Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa: kailangan mong kalkulahin ang √11. Pumili tayo ng 0 = 3, dahil ang 3 2 = 9, na mas malapit sa 11 kaysa sa 4 2 = 16. Ang pagpapalit sa formula, makuha natin ang:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

Walang punto sa pagpapatuloy ng mga kalkulasyon, dahil nalaman namin na ang isang 2 at isang 3 ay nagsisimulang mag-iba lamang sa ika-5 decimal na lugar. Kaya, sapat na upang ilapat ang formula nang 2 beses lamang upang makalkula ang √11 na may katumpakan na 0.0001.

Sa ngayon, ang mga calculator at computer ay malawakang ginagamit upang kalkulahin ang mga ugat, gayunpaman, ito ay kapaki-pakinabang na tandaan ang minarkahang formula upang ma-manu-manong kalkulahin ang kanilang eksaktong halaga.

Mga equation ng pangalawang order

Ang pag-unawa kung ano ang square root at ang kakayahang kalkulahin ito ay ginagamit sa paglutas ng mga quadratic equation. Ang mga equation na ito ay tinatawag na equalities na may isang hindi alam, ang pangkalahatang anyo nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Dito ang c, b at a ay kumakatawan sa ilang mga numero, at ang a ay hindi dapat katumbas ng zero, at ang mga halaga ng c at b ay maaaring ganap na arbitrary, kabilang ang katumbas ng zero.

Anumang mga halaga ng x na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay na ipinahiwatig sa figure ay tinatawag na mga ugat nito (ang konsepto na ito ay hindi dapat malito sa square root √). Dahil ang equation na isinasaalang-alang ay nasa 2nd order (x 2), kung gayon ay hindi maaaring higit sa dalawang ugat para dito. Tingnan pa natin ang artikulo kung paano mahahanap ang mga ugat na ito.

Paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation (formula)

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng uri ng pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ay tinatawag ding unibersal na pamamaraan, o ang discriminant na pamamaraan. Maaari itong magamit para sa anumang mga quadratic equation. Ang formula para sa discriminant at mga ugat ng quadratic equation ay ang mga sumusunod:

Ipinapakita nito na ang mga ugat ay nakasalalay sa halaga ng bawat isa sa tatlong coefficient ng equation. Bukod dito, ang pagkalkula ng x 1 ay naiiba sa pagkalkula ng x 2 lamang sa pamamagitan ng pag-sign sa harap ng square root. Ang radikal na expression, na katumbas ng b 2 - 4ac, ay walang iba kundi ang diskriminasyon sa pagkakapantay-pantay na pinag-uusapan. Ang discriminant sa formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay gumaganap mahalagang papel, dahil tinutukoy nito ang bilang at uri ng mga solusyon. Kaya, kung ito ay katumbas ng zero, magkakaroon lamang ng isang solusyon, kung ito ay positibo, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat, at sa wakas, ang isang negatibong diskriminasyon ay humahantong sa dalawang kumplikadong mga ugat x 1 at x 2.

Vieta's theorem o ilang mga katangian ng mga ugat ng pangalawang-order na equation

Sa pagtatapos ng ika-16 na siglo, isa sa mga tagapagtatag ng modernong algebra, isang Pranses, na nag-aaral ng mga pangalawang-order na equation, ay nakuha ang mga katangian ng mga ugat nito. Sa matematika maaari silang isulat tulad nito:

x 1 + x 2 = -b / a at x 1 * x 2 = c / a.

Ang parehong mga pagkakapantay-pantay ay madaling makuha ng sinuman; para magawa ito, kailangan mo lang gawin ang naaangkop na mga operasyong matematika na may mga ugat na nakuha sa pamamagitan ng formula na may discriminant.

Ang kumbinasyon ng dalawang expression na ito ay maaaring wastong tawaging pangalawang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, na ginagawang posible na hulaan ang mga solusyon nito nang hindi gumagamit ng discriminant. Dito dapat tandaan na kahit na ang parehong mga expression ay palaging wasto, ito ay maginhawa upang gamitin ang mga ito upang malutas ang isang equation lamang kung ito ay maaaring i-factorize.

Ang gawain ng pagsasama-sama ng nakuha na kaalaman

Magdesisyon tayo problema sa matematika, kung saan ipapakita namin ang lahat ng mga diskarteng tinalakay sa artikulo. Ang mga kondisyon ng problema ay ang mga sumusunod: kailangan mong makahanap ng dalawang numero kung saan ang produkto ay -13 at ang kabuuan ay 4.

Ang kundisyong ito ay agad na nagpapaalala sa atin ng Vieta's theorem; gamit ang mga formula para sa kabuuan ng square roots at ang kanilang produkto, isinulat namin:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Kung ipagpalagay natin na a = 1, kung gayon b = -4 at c = -13. Ang mga coefficient na ito ay nagbibigay-daan sa amin na lumikha ng pangalawang-order na equation:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Gamitin natin ang formula sa discriminant at makuha ang mga sumusunod na ugat:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Ibig sabihin, nabawasan ang problema sa paghahanap ng numerong √68. Tandaan na 68 = 4 * 17, pagkatapos, gamit ang square root property, makuha natin ang: √68 = 2√17.

Ngayon gamitin natin ang itinuturing na square root formula: a 0 = 4, pagkatapos:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

Hindi na kailangang kalkulahin ang isang 3 dahil ang mga halaga na natagpuan ay naiiba lamang ng 0.02. Kaya, √68 = 8.246. Ang pagpapalit nito sa formula para sa x 1,2, nakukuha natin:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 at x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

Tulad ng nakikita natin, ang kabuuan ng mga numerong natagpuan ay talagang katumbas ng 4, ngunit kung mahahanap natin ang kanilang produkto, kung gayon ito ay magiging katumbas ng -12.999, na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema na may katumpakan na 0.001.

Quadratic equation. diskriminasyon. Solusyon, mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Mga uri ng quadratic equation

Ano ang isang quadratic equation? Anong itsura? Sa termino quadratic equation ang keyword ay "parisukat". Nangangahulugan ito na sa equation Kailangan dapat mayroong x square. Bilang karagdagan dito, ang equation ay maaaring (o maaaring hindi!) naglalaman lamang ng X (sa unang kapangyarihan) at isang numero lamang (libreng miyembro). At dapat walang X sa isang kapangyarihang higit sa dalawa.

Sa mga termino sa matematika, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:

Dito a, b at c- ilang mga numero. b at c- ganap na anuman, ngunit A– anumang bagay maliban sa zero. Halimbawa:

Dito A =1; b = 3; c = -4

Dito A =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito A =-3; b = 6; c = -18

Well, naiintindihan mo...

Sa mga quadratic equation na ito sa kaliwa ay mayroong buong set mga miyembro. X squared na may coefficient A, x sa unang kapangyarihan na may koepisyent b At libreng miyembro s.

Ang ganitong mga quadratic equation ay tinatawag puno na.

At kung b= 0, ano ang makukuha natin? Meron kami X ay mawawala sa unang kapangyarihan. Nangyayari ito kapag pinarami ng zero.) Lumalabas, halimbawa:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

At iba pa. At kung ang parehong coefficients b At c ay katumbas ng zero, kung gayon ito ay mas simple:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

Ang mga naturang equation kung saan may nawawala ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Na medyo lohikal.) Pakitandaan na ang x squared ay naroroon sa lahat ng equation.

By the way, bakit A hindi maaaring katumbas ng zero? At ikaw ang pumalit sa halip A zero.) Mawawala ang ating X squared! Ang equation ay magiging linear. At ang solusyon ay ganap na naiiba ...

Iyan ang lahat ng pangunahing uri ng mga quadratic equation. Kumpleto at hindi kumpleto.

Paglutas ng mga quadratic equation.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation.

Ang mga quadratic equation ay madaling lutasin. Ayon sa mga formula at malinaw, simpleng mga panuntunan. Sa unang yugto, ito ay kinakailangan upang bawasan ang ibinigay na equation sa karaniwang view, ibig sabihin. sa form:

Kung ang equation ay naibigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto.) Ang pangunahing bagay ay upang matukoy nang tama ang lahat ng mga coefficient, A, b At c.

Ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito ang hitsura:

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon. Ngunit higit pa tungkol sa kanya sa ibaba. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa isang quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c Kinakalkula namin sa formula na ito. Palitan natin gamit ang iyong sariling mga palatandaan! Halimbawa, sa equation:

A =1; b = 3; c= -4. Narito isusulat namin ito:

Ang halimbawa ay halos malutas:

Ito ang sagot.

Napakasimple ng lahat. At ano, sa palagay mo imposibleng magkamali? Well, oo, paano...

Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b at c. O sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang nakakatulong dito ay isang detalyadong pagtatala ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin mo yan!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng humigit-kumulang 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya. At ang bilang ng mga error ay bababa nang husto. Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwalang mahirap isulat nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan. Well, o pumili. Ano ang mas mahusay, mabilis o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang isulat ang lahat nang napakaingat. Gagana ito nang mag-isa. Lalo na kung gumagamit ka ng mga praktikal na pamamaraan na inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may isang bungkos ng mga minus ay madaling malutas at walang mga pagkakamali!

Ngunit, kadalasan, ang mga parisukat na equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Nakilala mo ba?) Oo! Ito hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation.

Maaari din silang malutas gamit ang isang pangkalahatang formula. Kailangan mo lang maunawaan ng tama kung ano ang mga ito ay katumbas dito. a, b at c.

Naisip mo na ba ito? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; A c? Ito ay wala doon sa lahat! Well oo, tama iyan. Sa matematika ang ibig sabihin nito ay c = 0 ! Iyon lang. Ipalit ang zero sa formula sa halip c, at magtatagumpay tayo. Pareho sa pangalawang halimbawa. Wala lang tayong zero dito Sa, A b !

Ngunit ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay maaaring malutas nang mas simple. Nang walang anumang mga formula. Isaalang-alang natin ang una hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin sa kaliwang bahagi? Maaari mong alisin ang X sa mga bracket! Ilabas na natin.

At ano mula dito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag maniwala sa akin? Okay, pagkatapos ay bumuo ng dalawang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
Hindi gumagana? Ayan yun...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x 1 = 0, x 2 = 4.

Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong angkop. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha natin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Gaya ng nakikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa paggamit ng pangkalahatang formula. Hayaan akong tandaan, sa pamamagitan ng paraan, kung aling X ang magiging una at alin ang magiging pangalawa - ganap na walang malasakit. Ito ay maginhawa upang magsulat sa pagkakasunud-sunod, x 1- ano ang mas maliit at x 2- na kung saan ay mas malaki.

Ang pangalawang equation ay maaari ding malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Ito ay lalabas:

Dalawang ugat din . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng X sa labas ng mga bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglipat ng numero sa kanan at pagkatapos ay i-extract ang ugat.
Napakahirap lituhin ang mga diskarteng ito. Dahil lang sa unang kaso kailangan mong kunin ang ugat ng X, na sa paanuman ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket...

diskriminasyon. Discriminant formula.

Magic word may diskriminasyon ! Bihira ang isang high school student na hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "wesolve through a discriminant" inspires confidence and reassurance. Dahil hindi na kailangang umasa ng mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa paggamit.) Pinapaalala ko sa iyo ang karamihan pangkalahatang pormula para sa mga solusyon anuman quadratic equation:

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag na discriminant. Karaniwan ang discriminant ay tinutukoy ng titik D. Discriminant formula:

D = b 2 - 4ac

At ano ang kapansin-pansin sa ekspresyong ito? Bakit karapat-dapat ito ng isang espesyal na pangalan? Ano ang kahulugan ng discriminant? Kung tutuusin -b, o 2a sa formula na ito ay hindi nila ito partikular na tinatawag na kahit ano... Mga titik at titik.

Narito ang bagay. Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito, posible tatlong kaso lang.

1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na ang ugat ay maaaring makuha mula dito. Kung ang ugat ay nakuha ng mabuti o hindi maganda ay isa pang tanong. Ang mahalaga ay kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay magkakaroon ka ng isang solusyon. Dahil ang pagdaragdag o pagbabawas ng zero sa numerator ay hindi nagbabago ng anuman. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit, sa isang pinasimple na bersyon, kaugalian na pag-usapan isang solusyon.

3. Negatibo ang discriminant. Ang square root ng isang negatibong numero ay hindi maaaring kunin. Well, okay. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sa totoo lang, kapag simpleng solusyon quadratic equation, ang konsepto ng discriminant ay hindi partikular na kinakailangan. Pinapalitan namin ang mga halaga ng mga coefficient sa formula at binibilang. Ang lahat ay nangyayari doon nang mag-isa, dalawang ugat, isa, at wala. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga gawain, nang walang kaalaman kahulugan at pormula ng discriminant hindi sapat. Lalo na sa mga equation na may mga parameter. Ang ganitong mga equation ay aerobatics para sa State Examination at sa Unified State Examination!)

Kaya, kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na iyong naalala. O natutunan mo, na hindi rin masama.) Alam mo kung paano matukoy nang tama a, b at c. Alam mo ba kung paano? matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin bilangin ang resulta. Naintindihan mo ba yun keyword dito - matulungin?

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang parehong mga iyon ay dahil sa kawalan ng pansin... Kung saan sa kalaunan ay nagiging masakit at nakakasakit...

Unang appointment . Huwag maging tamad bago lutasin ang isang quadratic equation at dalhin ito sa karaniwang anyo. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c. Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. Ganito:

At muli, huwag magmadali! Ang isang minus sa harap ng isang X squared ay maaari talagang magalit sa iyo. Madaling kalimutan... Tanggalin ang minus. Paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa. Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Ayon sa teorama ni Vieta. Huwag kang matakot, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huling bagay ang equation. Yung. ang ginamit namin para isulat ang root formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, ang pagsuri sa mga ugat ay madali. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Ang resulta ay dapat na isang libreng miyembro, i.e. sa aming kaso -2. Mangyaring tandaan, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro kasama ang iyong tanda . Kung hindi ito gagana, nangangahulugan ito na nagkagulo na sila sa isang lugar. Hanapin ang error.

Kung ito ay gumagana, kailangan mong idagdag ang mga ugat. Huling at huling pagsusuri. Ang koepisyent ay dapat b Sa kabaligtaran pamilyar. Sa aming kaso -1+2 = +1. Isang koepisyent b, na nasa harap ng X, ay katumbas ng -1. Kaya, lahat ay tama!
Nakakalungkot na napakasimple lang nito para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay purong, na may koepisyent. a = 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang gayong mga equation! Magkakaroon ng mas kaunting mga error.

Pangatlo ang reception . Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa pamamagitan ng karaniwang denominador, gaya ng inilarawan sa aralin na "Paano lulutasin ang mga equation? Magkaparehong pagbabago." Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, patuloy na gumagapang ang mga error sa ilang kadahilanan...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na pasimplehin ang masamang halimbawa sa isang bungkos ng mga minus. Pakiusap! Heto siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:

Iyon lang! Ang paglutas ay isang kasiyahan!

Kaya, sabihin buod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang factor.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling ma-verify gamit ang Vieta's theorem. Gawin mo!

Ngayon ay maaari na tayong magpasya.)

Lutasin ang mga equation:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Mga sagot (magulo):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - anumang numero

x 1 = -3
x 2 = 3

walang solusyon

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Kasya ba ang lahat? Malaki! Ang mga quadratic equation ay hindi bagay sa iyo sakit ng ulo. Ang unang tatlo ay nagtrabaho, ngunit ang iba ay hindi? Kung gayon ang problema ay hindi sa mga quadratic equation. Ang problema ay nasa magkaparehong pagbabago ng mga equation. Tingnan ang link, ito ay kapaki-pakinabang.

Hindi masyadong gumagana? O sadyang hindi ito gumagana? Pagkatapos ay tutulungan ka ng Seksyon 555. Lahat ng mga halimbawang ito ay pinaghiwa-hiwalay doon. Ipinakita pangunahing mga pagkakamali sa solusyon. Siyempre, pinag-uusapan din natin ang paggamit ng magkatulad na pagbabago sa paglutas ng iba't ibang mga equation. Malaking tulong!

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Unang antas

Quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)

Sa terminong "quadratic equation," ang pangunahing salita ay "quadratic." Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat na naglalaman ng isang variable (na parehong x) squared, at hindi dapat magkaroon ng xes sa pangatlo (o mas mataas) na kapangyarihan.

Ang solusyon ng maraming equation ay bumaba sa paglutas ng mga quadratic equation.

Alamin natin na ito ay isang quadratic equation at hindi ibang equation.

Halimbawa 1.

Alisin natin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng x

Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2.

I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:

Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi quadratic!

Halimbawa 3.

I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4.

Mukhang naroroon, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:

Tingnan, ito ay nabawasan - at ngayon ito ay isang simpleng linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

1. parisukat;
2. parisukat;
3. hindi parisukat;
4. hindi parisukat;
5. hindi parisukat;
6. parisukat;
7. hindi parisukat;
8. parisukat.

Karaniwang hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:

• Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, sa mga kumpletong quadratic equation ay mayroong binigay- ito ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

• Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

  Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawala silang elemento. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared!!! Kung hindi man, hindi na ito magiging isang quadratic equation, ngunit ibang equation.

Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang may X squared, at okay. Ang paghahati na ito ay tinutukoy ng mga pamamaraan ng solusyon. Tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!

May mga uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

1. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
2. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
3. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

1. i. Dahil alam natin kung paano kunin ang square root, ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay ay dapat mong malaman at laging tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.

Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Lutasin ang equation

Ngayon ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo kung paano kunin ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!!!

Halimbawa 6:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Lutasin ang equation

Oh! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat!

Para sa mga naturang equation na walang mga ugat, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang espesyal na icon - (empty set). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Lutasin ang equation

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

kaya,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagama't lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Magbibigay kami ng mga halimbawa dito.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang paglutas ng kumpletong quadratic equation ay medyo mas mahirap (konti lang) kaysa sa mga ito.

Tandaan, Anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Ang iba pang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang pamamaraang ito ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon humakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
• Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa ating mga equation at tingnan ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Lutasin ang equation

Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3.

Sagot:

Halimbawa 10:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat ng discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng equation na tinatawag na reduced (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang Vieta's theorem:

Kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay pantay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay katumbas ng:

Bumuo tayo at lutasin ang sistema:

• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Sagot:

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - ang hindi alam, - ilang mga numero, at.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, A - libreng miyembro.

Bakit? Dahil kung magiging linear agad ang equation, kasi mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa upuan equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga termino ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.

Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:

Una, tingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Maaari nating makilala ang mga sumusunod na uri ng mga equation:

I., sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon tingnan natin ang solusyon sa bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang squared na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nag-multiply ka ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. kaya naman:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maisulat sa madaling sabi na walang solusyon ang isang problema, ginagamit namin ang icon na walang laman na hanay.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Ilalabas natin karaniwang multiplier sa labas ng mga bracket:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

I-factor natin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat mula sa discriminant sa formula para sa mga ugat? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyang-pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat:
• Kung, kung gayon ang equation ay may parehong mga ugat, at sa katunayan, isang ugat:

  Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.

• Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit posible iba't ibang dami ugat? Lumiko tayo sa geometric na kahulugan quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang espesyal na kaso, na isang quadratic equation, . Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa abscissa axis (axis). Ang isang parabola ay maaaring hindi magsalubong sa axis, o maaaring magsalubong dito sa isa (kapag ang vertex ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung, pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Sagot: .

Sagot:

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Napakadaling gamitin ang theorem ng Vieta: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang theorem ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa pinababang quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa #1:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay katumbas ng:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa #2:

Solusyon:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: nagbibigay sila sa kabuuan.

at: nagbibigay sila sa kabuuan. Upang makuha, ito ay sapat na upang baguhin lamang ang mga palatandaan ng dapat na mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.

Sagot:

Halimbawa #3:

Solusyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Samakatuwid ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay pantay - hindi magkasya;

at: - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Ang natitira na lang ay tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, ang ugat na may mas maliit na modulus ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa #4:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas, at pagkatapos ay tukuyin kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa #5:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na kahit isa sa mga ugat ay negatibo. Pero dahil positive ang produkto nila, ibig sabihin may minus sign ang parehong ugat.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, napaka-maginhawang magkaroon ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang masamang diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ni Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit kailangan ang teorama ni Vieta upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang makinabang ka sa paggamit nito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa pagiging awtomatiko. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi ka maaaring gumamit ng isang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:

Mga solusyon sa mga gawain para sa malayang gawain:

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa piraso:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo lang kailangan.

Sagot: ; .

Gawain 2.

At muli ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat na pantay, at ang produkto ay dapat na pantay.

Ngunit dahil ito ay dapat na hindi, ngunit, binago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na kaya yun?

Kailangan mong ilipat ang lahat ng mga termino sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Okay, stop! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang magbigay ng isang equation. Kung hindi ka makapamuno, talikuran ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagbibigay ng quadratic equation ay nangangahulugan na gawing pantay ang nangungunang coefficient:

Malaki. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng at ang produkto.

Narito ito ay kasingdali ng paghihimay ng peras upang pumili: pagkatapos ng lahat, ito ay isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Gawain 4.

Ang libreng miyembro ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan ay ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit isang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Gawain 5.

Ano ang dapat mong gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga kadahilanan ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na ang minus ay magkakaroon ng mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Hayaan akong buod:

1. Ang theorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa mga quadratic equation na ibinigay.
2. Gamit ang teorama ni Vieta, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
3. Kung ang equation ay hindi ibinigay o walang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino ay natagpuan, kung gayon walang mga buong ugat, at kailangan mong lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang discriminant).

3. Paraan para sa pagpili ng kumpletong parisukat

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan sa anyo ng mga termino mula sa pinaikling mga formula ng multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos palitan ang mga variable, ang equation ay maaaring iharap sa anyo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

SA pangkalahatang pananaw ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi nagpapaalala sa iyo ng kahit ano? Ito ay isang bagay na may diskriminasyon! Iyan ay eksakto kung paano namin nakuha ang discriminant formula.

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Quadratic equation- ito ay isang equation ng anyo, kung saan - ang hindi alam, - ang mga coefficient ng quadratic equation, - ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

• kung ang koepisyent, ang equation ay mukhang: ,
• kung mayroong isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
• kung at, ang equation ay mukhang: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag natin ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

• kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin natin ang discriminant gamit ang formula: , na nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (equation ng form kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , A.

2.3. Solusyon sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat