LOGARITHMIC INEQUALITIES SA PAGGAMIT
Sechin Mikhail Alexandrovich
Maliit na Academy of Sciences para sa mga Mag-aaral ng Republika ng Kazakhstan "Seeker"
MBOU "Soviet secondary school No. 1", grade 11, bayan. Distrito ng Sovietsky Soviet
Gunko Lyudmila Dmitrievna, guro ng MBOU "Soviet secondary school No. 1"
Distrito ng Sovietsky
Layunin ng gawain: pag-aaral ng mekanismo ng solusyon hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic C3 gamit ang mga di-karaniwang pamamaraan, pagtuklas interesanteng kaalaman logarithm.
Paksa ng pag-aaral:
3) Matutong lutasin ang mga partikular na logarithmic C3 na hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga hindi karaniwang pamamaraan.
Mga resulta:
Nilalaman
Panimula…………………………………………………………………………….4
Kabanata 1. Background………………………………………………………………...5
Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ……………………… 7
2.1. Katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat…………… 7
2.2. Paraan ng rasyonalisasyon ……………………………………………………… 15
2.3. Di-karaniwang pagpapalit……………………………………………………………………………………………………………… ..... 22
2.4. Mga gawaing may bitag…………………………………………………… 27
Konklusyon……………………………………………………………… 30
Panitikan………………………………………………………………. 31
Panimula
Ako ay nasa ika-11 na baitang at plano kong pumasok sa isang unibersidad kung saan ang matematika ay isang pangunahing asignatura. At iyon ang dahilan kung bakit marami akong ginagawa sa mga gawain ng bahagi C. Sa gawain C3, kailangan mong lutasin ang isang hindi karaniwang hindi pagkakapantay-pantay o isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kadalasang nauugnay sa mga logarithms. Habang naghahanda para sa pagsusulit, nakatagpo ako ng problema ng kakulangan ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng pagsusuri na inaalok sa C3. Mga pamamaraan na pinag-aaralan sa kurikulum ng paaralan sa paksang ito, huwag magbigay ng batayan para sa paglutas ng mga gawain C3. Iminungkahi ng guro sa matematika na gawin ko ang mga takdang-aralin sa C3 nang mag-isa sa ilalim ng kanyang patnubay. Bilang karagdagan, interesado ako sa tanong: mayroon bang mga logarithms sa ating buhay?
Dahil dito, napili ang tema:
"Logarithmic inequalities sa pagsusulit"
Layunin ng gawain: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng mga problema sa C3 gamit ang mga di-karaniwang pamamaraan, na nagpapakita ng mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithm.
Paksa ng pag-aaral:
1) Hanapin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga hindi karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
2) Maghanap ng karagdagang impormasyon tungkol sa logarithms.
3) Matutong lutasin ang mga partikular na problema sa C3 gamit ang mga di-karaniwang pamamaraan.
Mga resulta:
Ang praktikal na kahalagahan ay nakasalalay sa pagpapalawak ng kagamitan para sa paglutas ng mga problema C3. Ang materyal na ito ay maaaring gamitin sa ilang mga aralin, para sa pagsasagawa ng mga bilog, mga opsyonal na klase sa matematika.
Ang produkto ng proyekto ay ang koleksyon na "Logarithmic C3 inequalities with solutions".
Kabanata 1. Background
Noong ika-16 na siglo, mabilis na tumaas ang bilang ng mga tinatayang kalkulasyon, pangunahin sa astronomiya. Ang pagpapabuti ng mga instrumento, ang pag-aaral ng mga paggalaw ng planeta, at iba pang gawain ay nangangailangan ng napakalaki, kung minsan ay maraming taon, mga kalkulasyon. Nagbanta ang astronomiya tunay na panganib malunod sa hindi natutupad na mga kalkulasyon. Ang mga paghihirap ay lumitaw din sa ibang mga lugar, halimbawa, sa negosyo ng seguro, kailangan ang mga talahanayan ng tambalang interes iba't ibang kahulugan porsyento. Ang pangunahing kahirapan ay pagpaparami, paghahati multi-digit na mga numero, lalo na ang mga trigonometriko na dami.
Ang pagtuklas ng logarithms ay batay sa mga kilalang katangian ng mga pag-unlad sa pagtatapos ng ika-16 na siglo. Sa koneksyon sa pagitan ng mga tuntunin ng geometric progression q, q2, q3, ... at pag-unlad ng aritmetika ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay 1, 2, 3, ... Nagsalita si Archimedes sa "Psalmite". Ang isa pang kinakailangan ay ang pagpapalawig ng konsepto ng degree sa negatibo at fractional exponents. Itinuro ng maraming may-akda na ang multiplikasyon, paghahati, pagtaas sa isang kapangyarihan, at pagkuha ng ugat ay katumbas ng pagpaparami sa aritmetika - sa parehong pagkakasunud-sunod - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati.
Narito ang ideya ng logarithm bilang isang exponent.
Sa kasaysayan ng pag-unlad ng doktrina ng logarithms, maraming mga yugto ang lumipas.
Stage 1
Ang logarithms ay naimbento nang hindi lalampas sa 1594 nang nakapag-iisa ng Scottish baron Napier (1550-1617) at makalipas ang sampung taon ng Swiss mekaniko na si Burgi (1552-1632). Parehong nais na magbigay ng isang bagong maginhawang paraan ng mga kalkulasyon ng aritmetika, kahit na nilapitan nila ang problemang ito sa iba't ibang paraan. Napier kinematically ipinahayag ang logarithmic function at, sa gayon, pumasok sa bagong lugar teorya ng pag-andar. Nanatili si Bürgi sa batayan ng pagsasaalang-alang ng mga discrete progressions. Gayunpaman, ang kahulugan ng logarithm para sa pareho ay hindi katulad ng modernong isa. Ang terminong "logarithm" (logarithmus) ay kabilang sa Napier. Nagmula ito sa kumbinasyon ng mga salitang Griyego: logos - "relasyon" at ariqmo - "numero", na nangangahulugang "bilang ng mga relasyon". Sa una, gumamit si Napier ng ibang termino: numeri artificiales - "artificial numbers", kumpara sa numeri naturalts - "natural numbers".
Noong 1615, sa isang pakikipag-usap kay Henry Briggs (1561-1631), isang propesor ng matematika sa Gresh College sa London, iminungkahi ni Napier na kunin ang zero para sa logarithm ng isa, at 100 para sa logarithm ng sampu, o, kung ano ang katumbas ng pareho. , 1 lang. Ganito ang mga decimal logarithms at Ang unang logarithmic table ay na-print. Nang maglaon, ang mga talahanayan ng Briggs ay dinagdagan ng Dutch bookeller at mathematician na si Andrian Flakk (1600-1667). Napier at Briggs, bagama't sila ay dumating sa logarithms bago ang iba, inilathala ang kanilang mga talahanayan nang mas huli kaysa sa iba - noong 1620. Ang mga sign log at Log ay ipinakilala noong 1624 ni I. Kepler. Ang terminong "natural logarithm" ay ipinakilala ni Mengoli noong 1659, na sinundan ni N. Mercator noong 1668, at ang guro sa London na si John Spadel ay naglathala ng mga talahanayan ng natural na logarithm ng mga numero mula 1 hanggang 1000 sa ilalim ng pangalang "New Logarithms".
Sa Russian, ang unang logarithmic table ay nai-publish noong 1703. Ngunit sa lahat ng logarithmic na talahanayan, ang mga pagkakamali ay ginawa sa pagkalkula. Ang unang mga talahanayan na walang error ay nai-publish noong 1857 sa Berlin sa pagproseso ng German mathematician na si K. Bremiker (1804-1877).
Stage 2
Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng logarithms ay nauugnay sa isang mas malawak na aplikasyon ng analytic geometry at infinitesimal calculus. Sa oras na iyon, ang koneksyon sa pagitan ng quadrature ng isang equilateral hyperbola at ang natural na logarithm ay naitatag. Ang teorya ng logarithms ng panahong ito ay nauugnay sa mga pangalan ng isang bilang ng mga mathematician.
German mathematician, astronomer at engineer na si Nikolaus Mercator sa kanyang sanaysay
Ang "Logarithmotechnics" (1668) ay nagbibigay ng isang serye na nagbibigay ng pagpapalawak ng ln(x + 1) sa mga tuntunin ng
kapangyarihan x:
Ang expression na ito ay eksaktong tumutugma sa kurso ng kanyang pag-iisip, bagaman, siyempre, hindi niya ginamit ang mga palatandaan d, ..., ngunit mas masalimuot na mga simbolo. Sa pagkatuklas ng logarithmic series, nagbago ang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms: nagsimula silang matukoy gamit ang infinite series. Sa kanyang mga lektura "Elementary Mathematics na may pinakamataas na punto view", nabasa noong 1907-1908, iminungkahi ni F. Klein ang paggamit ng formula bilang panimulang punto para sa pagbuo ng teorya ng logarithms.
Stage 3
Kahulugan logarithmic function bilang isang function ng inverse
exponential, logarithm bilang isang exponent ng isang ibinigay na base
ay hindi na-formula kaagad. Ang gawa ni Leonhard Euler (1707-1783)
"Introduction to the analysis of infinitesimals" (1748) nagsilbi bilang karagdagang
pagbuo ng teorya ng logarithmic function. kaya,
134 na taon na ang lumipas mula noong unang ipinakilala ang logarithms
(nagbibilang mula 1614) bago magkaroon ng kahulugan ang mga mathematician
ang konsepto ng logarithm, na ngayon ay batayan ng kurso sa paaralan.
Kabanata 2. Koleksyon ng mga logarithmic inequalities
2.1. Mga katumbas na transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat.
Mga katumbas na transition
kung a > 1
kung 0 <
а <
1
Pangkalahatang paraan ng pagitan
Ang pamamaraang ito pinaka-unibersal sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng halos anumang uri. Ang scheme ng solusyon ay ganito:
1. Dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa ganoong anyo, kung saan ang function ay matatagpuan sa kaliwang bahagi 
, at 0 sa kanan.
2. Hanapin ang saklaw ng function .
3. Hanapin ang mga zero ng isang function , ibig sabihin, lutasin ang equation 
(at ang paglutas ng isang equation ay karaniwang mas madali kaysa sa paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay).
4. Iguhit ang domain ng kahulugan at mga zero ng function sa isang tunay na linya.
5. Tukuyin ang mga palatandaan ng function sa mga natanggap na pagitan.
6. Piliin ang mga pagitan kung saan kinukuha ng function ang mga kinakailangang halaga, at isulat ang sagot.
Halimbawa 1
Solusyon:
Ilapat ang paraan ng pagitan
saan
Para sa mga halagang ito, ang lahat ng mga expression sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms ay positibo.
Sagot:
Halimbawa 2
Solusyon:
1st paraan . Ang ODZ ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay x> 3. Pagkuha ng logarithms para sa ganoon x sa base 10, nakukuha namin
Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan sa agnas, i.e. paghahambing ng mga kadahilanan sa zero. Gayunpaman, sa kasong ito madaling matukoy ang mga sign constancy interval ng isang function
kaya maaaring ilapat ang paraan ng pagitan.
Function f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ay tuloy-tuloy para sa x> 3 at naglalaho sa mga punto x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kaya, tinutukoy namin ang mga agwat ng pare-pareho ng pag-andar f(x):
Sagot:
2nd way . Ilapat natin ang mga ideya ng paraan ng mga pagitan nang direkta sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Para dito, naaalala namin na ang mga expression a b- a c at ( a - 1)(b- 1) magkaroon ng isang tanda. Pagkatapos ang aming hindi pagkakapantay-pantay para sa x> 3 ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
o
Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan
Sagot:
Halimbawa 3
Solusyon:
Ilapat ang paraan ng pagitan
Sagot:
Halimbawa 4
Solusyon:
Mula noong 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 para sa lahat ng tunay x, Iyon
Upang malutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit namin ang paraan ng agwat
Sa unang hindi pagkakapantay-pantay, ginagawa natin ang pagbabago
pagkatapos ay dumating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay -0.5< y < 1.
Mula saan, kasi
nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay
na isinasagawa sa x, para saan 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ngayon, isinasaalang-alang ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, sa wakas ay nakuha namin
Sagot:
Halimbawa 5
Solusyon:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang hanay ng mga sistema
o
Ilapat ang paraan ng pagitan o
Sagot:
Halimbawa 6
Solusyon:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema
Hayaan
Pagkatapos y > 0,
at ang unang hindi pagkakapantay-pantay
sistema ay tumatagal ng form
o, lumalawak
square trinomial sa mga kadahilanan,
Paglalapat ng paraan ng pagitan sa huling hindi pagkakapantay-pantay,
nakikita natin na ang mga solusyon nito ay nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y> 0 ang magiging lahat y > 4.
Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema:
Kaya, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay lahat
2.2. paraan ng rasyonalisasyon.
Mas naunang pamamaraan Ang rasyonalisasyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nalutas, hindi ito alam. Ito ang bagong moderno mabisang paraan mga solusyon ng exponential at logarithmic inequalities" (sipi mula sa aklat ni Kolesnikova S.I.)
At kahit na kilala siya ng guro, may takot - ngunit kilala ba siya ng eksperto sa USE, at bakit hindi nila siya binibigyan sa paaralan? May mga sitwasyon nang sinabi ng guro sa mag-aaral: "Saan mo ito nakuha? Umupo - 2."
Ngayon ang pamamaraan ay itinataguyod sa lahat ng dako. At para sa mga eksperto, may mga alituntunin na nauugnay sa pamamaraang ito, at sa "Ang pinaka kumpletong mga edisyon ng mga karaniwang opsyon ..." sa solusyon C3, ginagamit ang pamamaraang ito.
MAGANDA ANG PARAAN!
"Magic Table"
Sa ibang source
Kung a >1 at b >1, pagkatapos ay mag-log a b >0 at (a -1)(b -1)>0;
Kung a >1 at 0 kung 0<a<1 и b
>1, pagkatapos ay mag-log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
kung 0<a<1 и 00 at (a -1)(b -1)>0. Ang pangangatwiran sa itaas ay simple, ngunit kapansin-pansing pinapasimple ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Halimbawa 4
log x (x 2 -3)<0
Solusyon:
Halimbawa 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Solusyon: Halimbawa 6
Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, isinusulat namin ang (x-1-1) (x-1) sa halip na ang denominator, at ang produkto (x-1) (x-3-9 + x) sa halip na ang numerator. Halimbawa 7
Halimbawa 8
2.3. Hindi karaniwang pagpapalit. Halimbawa 1
Halimbawa 2
Halimbawa 3
Halimbawa 4
Halimbawa 5
Halimbawa 6
Halimbawa 7
log 4 (3 x -1) log 0.25 Gawin natin ang pagpapalit y=3 x -1; pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagkakaroon ng anyo log 4 log 0.25 kasi log 0.25 Gumawa tayo ng kapalit na t =log 4 y at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay t 2 -2t +≥0, ang solusyon kung saan ay ang mga pagitan - Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng y, mayroon kaming isang hanay ng dalawang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng set ng dalawang exponential inequalities, Ang solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay ng set na ito ay ang pagitan 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Halimbawa 8
Solusyon:
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema Ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, na tumutukoy sa ODZ, ang magiging hanay ng mga iyon x,
para sa x > 0.
Upang malutas ang unang hindi pagkakapantay-pantay, ginagawa namin ang pagbabago Pagkatapos ay nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay o Ang hanay ng mga solusyon ng huling hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa pamamagitan ng pamamaraan mga pagitan: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, nakukuha namin o Marami sa mga iyon x, na nagbibigay-kasiyahan sa huling hindi pagkakapantay-pantay nabibilang sa ODZ ( x> 0), samakatuwid, ay isang solusyon sa system, at samakatuwid ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Sagot: 2.4. Mga gawaing may mga bitag. Halimbawa 1
Solusyon. Ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay ay lahat ng x ay nakakatugon sa kundisyon 0 Halimbawa 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Sagot. (0; 0.5) U .
Sagot :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , pagkatapos ay muling isusulat namin ang huling hindi pagkakapantay-pantay bilang 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Ang solusyon ng koleksyong ito ay ang mga pagitan 0<у≤2 и 8≤у<+.
ibig sabihin, mga pinagsama-sama 
. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa mga pagitan 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Samakatuwid, ang lahat ng x mula sa pagitan 0
Konklusyon
Hindi madaling makahanap ng mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa C3 mula sa isang malaking kasaganaan ng iba't ibang mga mapagkukunang pang-edukasyon. Sa kurso ng gawaing ginawa, nakapag-aral ako ng mga di-karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Ang mga ito ay: katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga pagitan, ang paraan ng rasyonalisasyon , hindi karaniwang pagpapalit , mga gawain na may mga bitag sa ODZ. Ang mga pamamaraang ito ay wala sa kurikulum ng paaralan.
Gamit ang iba't ibang pamamaraan, nalutas ko ang 27 hindi pagkakapantay-pantay na inaalok sa USE sa bahagi C, katulad ng C3. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga solusyon sa pamamagitan ng mga pamamaraan ay naging batayan ng koleksyon na "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions", na naging produkto ng proyekto ng aking aktibidad. Ang hypothesis na iniharap ko sa simula ng proyekto ay nakumpirma: Ang mga problema sa C3 ay mabisang malulutas kung malalaman ang mga pamamaraang ito.
Bilang karagdagan, natuklasan ko ang mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithms. Ito ay kawili-wili para sa akin na gawin ito. Ang aking mga produkto ng proyekto ay magiging kapaki-pakinabang para sa parehong mga mag-aaral at guro.
Mga konklusyon:
Kaya, ang layunin ng proyekto ay nakamit, ang problema ay nalutas. At nakuha ko ang pinakakumpleto at maraming nalalaman na karanasan sa mga aktibidad ng proyekto sa lahat ng yugto ng trabaho. Sa kurso ng pagtatrabaho sa proyekto, ang aking pangunahing epekto sa pag-unlad ay sa kakayahan sa pag-iisip, mga aktibidad na may kaugnayan sa mga lohikal na operasyon ng kaisipan, ang pagbuo ng kakayahang malikhain, personal na inisyatiba, responsibilidad, tiyaga, at aktibidad.
Isang garantiya ng tagumpay kapag gumagawa ng isang proyekto sa pananaliksik para sa Ako ay naging: makabuluhang karanasan sa paaralan, ang kakayahang kunin ang impormasyon mula sa iba't ibang mga mapagkukunan, suriin ang pagiging maaasahan nito, ranggo ito ayon sa kahalagahan nito.
Bilang karagdagan sa direktang kaalaman sa paksa sa matematika, pinalawak niya ang kanyang praktikal na kasanayan sa larangan ng computer science, nakakuha ng bagong kaalaman at karanasan sa larangan ng sikolohiya, nakipag-ugnayan sa mga kaklase, at natutong makipagtulungan sa mga matatanda. Sa kurso ng mga aktibidad ng proyekto, ang organisasyon, intelektwal at komunikasyon na pangkalahatang mga kasanayan sa edukasyon at kakayahan ay binuo.
Panitikan
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable (karaniwang mga gawain C3).
2. Malkova A. G. Paghahanda para sa Unified State Examination sa Mathematics.
3. S. S. Samarova, Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
4. Matematika. Koleksyon ng mga gawa sa pagsasanay na na-edit ni A.L. Semyonov at I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Sa palagay mo ba ay may oras pa bago ang pagsusulit, at magkakaroon ka ng oras upang maghanda? Marahil ay ganito. Ngunit sa anumang kaso, mas maaga ang mag-aaral ay nagsisimula sa pagsasanay, mas matagumpay na pumasa siya sa mga pagsusulit. Ngayon ay nagpasya kaming mag-alay ng isang artikulo sa mga logarithmic inequalities. Ito ay isa sa mga gawain, na nangangahulugang isang pagkakataon upang makakuha ng dagdag na punto.
Alam mo na ba kung ano ang logarithm (log)? Sana talaga. Ngunit kahit na wala kang sagot sa tanong na ito, hindi ito problema. Napakadaling maunawaan kung ano ang logarithm.
Bakit eksaktong 4? Kailangan mong itaas ang numero 3 sa ganoong kapangyarihan upang makakuha ng 81. Kapag naunawaan mo ang prinsipyo, maaari kang magpatuloy sa mas kumplikadong mga kalkulasyon.
Dumaan ka sa hindi pagkakapantay-pantay ilang taon na ang nakalipas. At mula noon, palagi mo silang nakikilala sa matematika. Kung nagkakaproblema ka sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, tingnan ang naaangkop na seksyon.
Ngayon, kapag nakilala na natin ang mga konsepto nang hiwalay, ipapasa natin ang kanilang pagsasaalang-alang sa pangkalahatan.
Ang pinakasimpleng logarithmic inequality.
Ang pinakasimpleng logarithmic inequalities ay hindi limitado sa halimbawang ito, mayroong tatlo pa, na may iba't ibang mga palatandaan lamang. Bakit kailangan ito? Upang mas maunawaan kung paano lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa mga logarithms. Ngayon ay nagbibigay kami ng isang mas naaangkop na halimbawa, medyo simple pa rin, iniiwan namin ang mga kumplikadong logarithmic inequalities para sa ibang pagkakataon.
Paano ito lutasin? Nagsisimula ang lahat sa ODZ. Dapat mong malaman ang higit pa tungkol dito kung gusto mong laging madaling malutas ang anumang hindi pagkakapantay-pantay.
Ano ang ODZ? DPV para sa logarithmic inequalities
Ang pagdadaglat ay kumakatawan sa hanay ng mga wastong halaga. Sa mga takdang-aralin para sa pagsusulit, madalas na lumalabas ang mga salitang ito. Ang DPV ay kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang sa kaso ng logarithmic inequalities.
Tingnan muli ang halimbawa sa itaas. Isasaalang-alang namin ang ODZ batay dito, upang maunawaan mo ang prinsipyo, at ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi nagtataas ng mga katanungan. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na ang 2x+4 ay dapat na mas malaki sa zero. Sa aming kaso, nangangahulugan ito ng sumusunod.
Ang bilang na ito ay dapat na positibo ayon sa kahulugan. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ipinakita sa itaas. Ito ay maaaring gawin kahit pasalita, dito ay malinaw na ang X ay hindi maaaring mas mababa sa 2. Ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang kahulugan ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga.
Ngayon ay lumipat tayo sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequality.
Itinatapon namin ang mga logarithms mismo mula sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Ano ang natitira sa atin bilang resulta? simpleng hindi pagkakapantay-pantay.
Madali itong malutas. Ang X ay dapat na mas malaki kaysa sa -0.5. Ngayon pinagsasama namin ang dalawang nakuhang halaga sa system. kaya,
Ito ang magiging rehiyon ng mga tinatanggap na halaga para sa itinuturing na hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
Bakit kailangan ang ODZ? Ito ay isang pagkakataon upang alisin ang mga mali at imposibleng mga sagot. Kung ang sagot ay wala sa saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga, kung gayon ang sagot ay walang katuturan. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa loob ng mahabang panahon, dahil sa pagsusulit ay madalas na kailangan upang maghanap para sa ODZ, at ito ay may kinalaman hindi lamang sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.
Algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality
Ang solusyon ay binubuo ng ilang mga hakbang. Una, kinakailangan upang mahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Magkakaroon ng dalawang halaga sa ODZ, isinasaalang-alang namin ito sa itaas. Ang susunod na hakbang ay upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay mismo. Ang mga pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
- paraan ng pagpapalit ng multiplier;
- pagkabulok;
- paraan ng rasyonalisasyon.
Depende sa sitwasyon, dapat gamitin ang isa sa mga pamamaraan sa itaas. Dumiretso tayo sa solusyon. Ipapakita namin ang pinakasikat na paraan na angkop para sa paglutas ng mga gawain sa PAGGAMIT sa halos lahat ng kaso. Susunod, isasaalang-alang natin ang paraan ng agnas. Makakatulong ito kung makatagpo ka ng isang partikular na "mapanlinlang" na hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, ang algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality.
Mga halimbawa ng solusyon :
Ito ay hindi walang kabuluhan na kinuha namin ang gayong hindi pagkakapantay-pantay! Bigyang-pansin ang base. Tandaan: kung ito ay mas malaki sa isa, ang tanda ay nananatiling pareho kapag hinahanap ang hanay ng mga wastong halaga; kung hindi, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baguhin.
Bilang resulta, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
Ngayon dinadala namin ang kaliwang bahagi sa anyo ng equation na katumbas ng zero. Sa halip na "mas mababa sa" sign, inilalagay namin ang "pantay", nilulutas namin ang equation. Kaya, mahahanap natin ang ODZ. Umaasa kami na wala kang problema sa paglutas ng gayong simpleng equation. Ang mga sagot ay -4 at -2. Hindi lamang yan. Kailangan mong ipakita ang mga puntong ito sa tsart, ilagay ang "+" at "-". Ano ang kailangang gawin para dito? Palitan ang mga numero mula sa mga pagitan sa expression. Kung saan positibo ang mga halaga, inilalagay namin ang "+" doon.
Sagot: Ang x ay hindi maaaring mas malaki sa -4 at mas mababa sa -2.
Natagpuan namin ang hanay ng mga wastong halaga para lamang sa kaliwang bahagi, ngayon kailangan naming hanapin ang hanay ng mga wastong halaga para sa kanang bahagi. Ito ay hindi nangangahulugang mas madali. Sagot: -2. Nag-intersect kami sa parehong natanggap na mga lugar.
At ngayon lamang natin sinisimulan na lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay mismo.
Pasimplehin natin ito hangga't maaari para mas madaling magdesisyon.
Muli naming ginagamit ang paraan ng pagitan sa solusyon. Laktawan natin ang mga kalkulasyon, kasama niya ang lahat ay malinaw na mula sa nakaraang halimbawa. Sagot.
Ngunit ang pamamaraang ito ay angkop kung ang logarithmic inequality ay may parehong mga batayan.
Ang paglutas ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may iba't ibang base ay nagsasangkot ng paunang pagbawas sa isang base. Pagkatapos ay gamitin ang pamamaraan sa itaas. Ngunit mayroon ding mas kumplikadong kaso. Isaalang-alang ang isa sa mga pinaka-kumplikadong uri ng logarithmic inequalities.
Logarithmic inequalities na may variable na base
Paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may ganitong mga katangian? Oo, at ito ay matatagpuan sa pagsusulit. Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na paraan ay magkakaroon din ng kapaki-pakinabang na epekto sa iyong proseso ng edukasyon. Tingnan natin ang isyu nang detalyado. Isantabi natin ang teorya at dumiretso sa pagsasanay. Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, sapat na upang tingnan ang halimbawa nang isang beses.
Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng ipinakita na form, kinakailangan upang dalhin ang kanang bahagi sa logarithm na may parehong base. Ang prinsipyo ay kahawig ng mga katumbas na transition. Bilang resulta, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging ganito.
Sa totoo lang, nananatili itong lumikha ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na walang logarithms. Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon, pumasa tayo sa isang katumbas na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Mauunawaan mo ang mismong panuntunan kapag pinalitan mo ang mga naaangkop na halaga at sinunod ang mga pagbabago nito. Ang sistema ay magkakaroon ng mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay.
Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon, kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong tandaan ang mga sumusunod: kailangan mong ibawas ang isa mula sa base, x, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, ay ibabawas mula sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (ang kanan mula sa kaliwa), ang dalawang expression ay pinarami at itinatakda sa ilalim ng orihinal na tanda na may kaugnayan sa zero.
Ang karagdagang solusyon ay isinasagawa sa pamamagitan ng paraan ng agwat, ang lahat ay simple dito. Mahalaga para sa iyo na maunawaan ang mga pagkakaiba sa mga pamamaraan ng solusyon, kung gayon ang lahat ay magsisimulang gumana nang madali.
Mayroong maraming mga nuances sa logarithmic inequalities. Ang pinakasimpleng sa kanila ay sapat na madaling malutas. Paano ito gagawin upang malutas ang bawat isa sa kanila nang walang mga problema? Natanggap mo na ang lahat ng sagot sa artikulong ito. Ngayon ay mayroon kang mahabang pagsasanay sa unahan mo. Patuloy na magsanay sa paglutas ng iba't ibang mga problema sa loob ng pagsusulit at magagawa mong makuha ang pinakamataas na marka. Good luck sa iyong mahirap na trabaho!
Mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic
Sa mga nakaraang aralin, nakilala natin ang mga logarithmic equation at ngayon alam na natin kung ano ang mga ito at kung paano lutasin ang mga ito. At ang aralin ngayon ay ilalaan sa pag-aaral ng logarithmic inequalities. Ano ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito at ano ang pagkakaiba sa pagitan ng paglutas ng isang logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay?
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay mga hindi pagkakapantay-pantay na mayroong variable sa ilalim ng tanda ng logarithm o sa base nito.
O, maaari ding sabihin na ang isang logarithmic inequality ay isang inequality kung saan ang hindi kilalang halaga nito, tulad ng sa logarithmic equation, ay nasa ilalim ng sign ng logarithm.
Ang pinakasimpleng logarithmic inequalities ay ganito ang hitsura:
kung saan ang f(x) at g(x) ay ilang expression na nakadepende sa x.
Tingnan natin ito gamit ang sumusunod na halimbawa: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic
Bago malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, nararapat na tandaan na kapag nalutas ang mga ito, ang mga ito ay katulad ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential, lalo na:
Una, kapag lumipat mula sa logarithm patungo sa mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm, kailangan din nating ihambing ang base ng logarithm sa isa;
Pangalawa, kapag nilulutas ang isang logarithmic inequality gamit ang pagbabago ng mga variable, kailangan nating lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may kinalaman sa pagbabago hanggang sa makuha natin ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay.
Ngunit kami ang nag-isip ng magkatulad na mga sandali ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Ngayon tingnan natin ang isang medyo makabuluhang pagkakaiba. Alam mo at ko na ang logarithmic function ay may limitadong domain ng kahulugan, kaya kapag lumipat mula sa logarithms patungo sa mga expression na nasa ilalim ng sign ng logarithm, kailangan mong isaalang-alang ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODV).
Iyon ay, dapat itong isipin na kapag nilulutas ang isang logarithmic equation, maaari muna nating mahanap ang mga ugat ng equation, at pagkatapos ay suriin ang solusyon na ito. Ngunit ang paglutas ng logarithmic inequality ay hindi gagana sa ganitong paraan, dahil ang paglipat mula sa logarithms patungo sa mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm, kakailanganing isulat ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay.
Bilang karagdagan, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang teorya ng hindi pagkakapantay-pantay ay binubuo ng mga tunay na numero, na positibo at negatibong mga numero, pati na rin ang numero 0.
Halimbawa, kapag positibo ang numerong "a", dapat gamitin ang sumusunod na notasyon: a > 0. Sa kasong ito, ang kabuuan at ang produkto ng naturang mga numero ay magiging positibo rin.
Ang pangunahing prinsipyo ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay palitan ito ng isang mas simpleng hindi pagkakapantay-pantay, ngunit ang pangunahing bagay ay katumbas ito ng ibinigay. Dagdag pa, nakakuha din kami ng hindi pagkakapantay-pantay at muling pinalitan ito ng isa na may mas simpleng anyo, at iba pa.
Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga solusyon nito. Kung ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay may parehong variable na x, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas, sa kondisyon na ang kanilang mga solusyon ay pareho.
Kapag nagsasagawa ng mga gawain para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, kinakailangang tandaan na kapag a > 1, ang logarithmic function ay tumataas, at kapag 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic
Ngayon tingnan natin ang ilan sa mga pamamaraan na nagaganap sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa at asimilasyon, susubukan naming maunawaan ang mga ito gamit ang mga tiyak na halimbawa.
Alam namin na ang pinakasimpleng logarithmic inequality ay may sumusunod na anyo:
Sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, ang V - ay isa sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay gaya ng:<,>, ≤ o ≥.
Kapag ang base ng logarithm na ito ay mas malaki kaysa sa isa (a>1), na ginagawa ang paglipat mula sa logarithm patungo sa mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm, pagkatapos ay sa bersyong ito ang inequality sign ay pinapanatili, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging ganito:
na katumbas ng sumusunod na sistema:
Sa kaso kung ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa zero at mas mababa sa isa (0 Ito ay katumbas ng sistemang ito: Tingnan natin ang higit pang mga halimbawa ng paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequalities na ipinapakita sa larawan sa ibaba: Mag-ehersisyo. Subukan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito: Ang desisyon ng lugar ng mga tinatanggap na halaga. Ngayon subukan nating i-multiply ang kanang bahagi nito sa pamamagitan ng: Tingnan natin kung ano ang magagawa natin: Ngayon, lumipat tayo sa pagbabago ng mga sublogarithmic na expression. Dahil ang base ng logarithm ay 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; At mula rito ay sumusunod na ang agwat na nakuha natin ay ganap na kabilang sa ODZ at isang solusyon sa gayong hindi pagkakapantay-pantay. Narito ang sagot na nakuha namin: Ngayon subukan nating pag-aralan kung ano ang kailangan natin upang matagumpay na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic? Una, ituon ang lahat ng iyong pansin at subukang huwag magkamali kapag ginagawa ang mga pagbabagong ibinigay sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Gayundin, dapat itong alalahanin na kapag nilutas ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang maiwasan ang mga pagpapalawak at pagpapaliit ng hindi pagkakapantay-pantay ng ODZ, na maaaring humantong sa pagkawala o pagkuha ng mga extraneous na solusyon. Pangalawa, kapag nilulutas ang mga logarithmic inequalities, kailangan mong matutunang mag-isip nang lohikal at maunawaan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga konsepto bilang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay at isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay, upang madali kang pumili ng mga solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay, habang ginagabayan ng DHS nito. Pangatlo, upang matagumpay na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang bawat isa sa inyo ay dapat na ganap na alam ang lahat ng mga katangian ng elementarya na pag-andar at malinaw na maunawaan ang kanilang kahulugan. Kasama sa mga naturang function hindi lamang ang logarithmic, kundi pati na rin ang rational, power, trigonometriko, atbp., sa isang salita, lahat ng iyong pinag-aralan sa algebra ng paaralan. Tulad ng nakikita mo, nang pag-aralan ang paksa ng logarithmic inequalities, walang mahirap sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa kondisyon na ikaw ay matulungin at matiyaga sa pagkamit ng iyong mga layunin. Upang walang mga problema sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong sanayin hangga't maaari, paglutas ng iba't ibang mga gawain at sa parehong oras kabisaduhin ang mga pangunahing paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema. Sa mga hindi matagumpay na solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, dapat mong maingat na pag-aralan ang iyong mga pagkakamali upang hindi ka na bumalik sa mga ito muli sa hinaharap. Para sa mas mahusay na asimilasyon ng paksa at pagsasama-sama ng materyal na sakop, lutasin ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay: Ang hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na logarithmic kung naglalaman ito ng logarithmic function. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi naiiba sa maliban sa dalawang bagay. Una, kapag pumasa mula sa logarithmic inequality hanggang sa hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, ito ay sumusunod sundin ang palatandaan ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Sinusunod nito ang sumusunod na tuntunin. Kung ang base ng logarithmic function ay mas malaki kaysa sa $1$, pagkatapos ay kapag pumasa mula sa logarithmic inequality sa hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, ang inequality sign ay pinapanatili, at kung ito ay mas mababa sa $1$, ito ay mababaligtad. Pangalawa, ang solusyon ng anumang hindi pagkakapantay-pantay ay isang agwat, at, samakatuwid, sa pagtatapos ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ng mga sublogarithmic function, kinakailangan na bumuo ng isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay: ang unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistemang ito ay ang hindi pagkakapantay-pantay ng sublogarithmic function, at ang pangalawa ay ang agwat ng domain ng kahulugan ng logarithmic function na kasama sa logarithmic inequality. Lutasin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ Ang base ng logarithm ay $2>1$, kaya hindi nagbabago ang sign. Gamit ang kahulugan ng logarithm, nakukuha natin ang: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in )
Solusyon ng mga halimbawa
3x > 24;
x > 8. 
Ano ang kailangan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic?
Takdang aralin
Magsanay.