Οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί των εκφράσεων είναι μία από τις γραμμές με νόημα σχολικό μάθημαμαθηματικά. Οι ίδιοι μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων, συστημάτων εξισώσεων και ανισώσεων. Επιπλέον, οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί των εκφράσεων συμβάλλουν στην ανάπτυξη της ευφυΐας, της ευελιξίας και του ορθολογισμού της σκέψης.
Τα προτεινόμενα υλικά προορίζονται για μαθητές της 8ης τάξης και περιλαμβάνουν τις θεωρητικές βάσεις πανομοιότυπων μετασχηματισμών ορθολογικών και παράλογων εκφράσεων, τύπους εργασιών για τη μετατροπή τέτοιων εκφράσεων και το κείμενο του τεστ.
1. Θεωρητική βάσημετασχηματισμοί ταυτότητας
Οι εκφράσεις στην άλγεβρα είναι εγγραφές που αποτελούνται από αριθμούς και γράμματα που συνδέονται με σημάδια δράσης.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – αλγεβρικές εκφράσεις.
Ανάλογα με τις πράξεις, διακρίνονται οι ορθολογικές και οι παράλογες εκφράσεις.
Οι αλγεβρικές εκφράσεις ονομάζονται ορθολογικές εάν σχετίζονται με τα γράμματα που περιλαμβάνονται σε αυτήν ΕΝΑ, σι, Με, ... δεν εκτελούνται άλλες πράξεις εκτός της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, της αφαίρεσης, της διαίρεσης και της εκθέσεως.
Οι αλγεβρικές εκφράσεις που περιέχουν πράξεις εξαγωγής της ρίζας μιας μεταβλητής ή αύξησης μιας μεταβλητής σε λογική δύναμη που δεν είναι ακέραιος ονομάζονται παράλογες σε σχέση με αυτήν τη μεταβλητή.
Ένας μετασχηματισμός ταυτότητας μιας δεδομένης έκφρασης είναι η αντικατάσταση μιας έκφρασης με μια άλλη που είναι πανομοιότυπα ίση με αυτήν σε ένα συγκεκριμένο σύνολο.
Τα ακόλουθα θεωρητικά γεγονότα αποτελούν τη βάση πανομοιότυπων μετασχηματισμών ορθολογικών και παράλογων εκφράσεων.
1. Ιδιότητες μοιρών με ακέραιο εκθέτη:
, nΕΠΙ; ΕΝΑ 1=ΕΝΑ;
, nΕΠΙ, ΕΝΑ¹0; ΕΝΑ 0=1, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0, σι¹0;
, ΕΝΑ¹0, σι¹0.
2. Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού:
Οπου ΕΝΑ, σι, Με– τυχόν πραγματικούς αριθμούς.
Οπου ΕΝΑ¹0, Χ 1 και Χ 2 – ρίζες της εξίσωσης 
.
3. Η κύρια ιδιότητα των κλασμάτων και των ενεργειών στα κλάσματα:
, Οπου σι¹0, Με¹0;
; 
;
4. Ορισμός αριθμητικής ρίζας και ιδιότητές της:
; , σι#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; 
,
Οπου ΕΝΑ, σι– μη αρνητικοί αριθμοί, nΕΠΙ, n³2, ΜΕΠΙ, Μ³2.
1. Είδη ασκήσεων μετατροπής έκφρασης
Υπάρχει Διάφοροι τύποιασκήσεις για πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εκφράσεων. Πρώτος τύπος: Η μετατροπή που πρέπει να πραγματοποιηθεί προσδιορίζεται ρητά.
Για παράδειγμα.
1. Να το παραστήσετε ως πολυώνυμο.
Κατά την εκτέλεση αυτού του μετασχηματισμού, χρησιμοποιήσαμε τους κανόνες πολλαπλασιασμού και αφαίρεσης πολυωνύμων, τον τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό και τη μείωση παρόμοιων όρων.
2. Παράγοντες σε: 
.
Κατά την εκτέλεση του μετασχηματισμού, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα αφαίρεσης κοινός πολλαπλασιαστήςπίσω από την αγκύλη και 2 συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού.
3. Μείωσε το κλάσμα:
.
Κατά την εκτέλεση του μετασχηματισμού, χρησιμοποιήσαμε την αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες, νόμους μετατροπής και συστολής, 2 συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού και πράξεις σε δυνάμεις.
4. Αφαιρέστε τον παράγοντα κάτω από το σύμβολο της ρίζας εάν ΕΝΑ³0, σι³0, Με³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Χρησιμοποιήσαμε τους κανόνες για τις ενέργειες στις ρίζες και τον ορισμό του συντελεστή ενός αριθμού.
5. Εξαλείψτε τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος. 
.
Δεύτερος τύποςΟι ασκήσεις είναι ασκήσεις στις οποίες υποδεικνύεται σαφώς ο κύριος μετασχηματισμός που πρέπει να πραγματοποιηθεί. Σε τέτοιες ασκήσεις, η απαίτηση συνήθως διατυπώνεται σε μία από τις ακόλουθες μορφές: απλοποίηση της έκφρασης, υπολογισμός. Κατά την εκτέλεση τέτοιων ασκήσεων, είναι απαραίτητο πρώτα απ 'όλα να προσδιοριστεί ποιοι και με ποια σειρά πρέπει να εκτελεστούν μετασχηματισμοί, έτσι ώστε η έκφραση να πάρει μια πιο συμπαγή μορφή από τη δεδομένη ή να ληφθεί ένα αριθμητικό αποτέλεσμα.
Για παράδειγμα
6. Απλοποιήστε την έκφραση:
Λύση:
.
Χρησιμοποιούνται κανόνες για τη λειτουργία αλγεβρικών κλασμάτων και συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
7. Απλοποιήστε την έκφραση:
.
Αν ΕΝΑ³0, σι³0, ΕΝΑ¹ σι.
Χρησιμοποιήσαμε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, κανόνες για την προσθήκη κλασμάτων και τον πολλαπλασιασμό των παράλογων εκφράσεων, την ταυτότητα https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Χρησιμοποιήσαμε τη λειτουργία επιλογής πλήρους τετραγώνου, την ταυτότητα https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, εάν .
Απόδειξη:
Αφού , τότε και ή ή ή , δηλ.
Χρησιμοποιήσαμε την συνθήκη και τον τύπο για το άθροισμα των κύβων.
Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι συνθήκες που συνδέουν τις μεταβλητές μπορούν επίσης να καθοριστούν σε ασκήσεις των δύο πρώτων τύπων.
Για παράδειγμα.
10. Βρείτε αν .
Οι ιδιότητες των ριζών διέπουν τους επόμενους δύο μετασχηματισμούς, που ονομάζονται το να τις φέρουμε κάτω από το σύμβολο της ρίζας και να τις βγάλουμε από κάτω από το σύμβολο της ρίζας, στο οποίο στρέφουμε τώρα.
Εισαγωγή πολλαπλασιαστή κάτω από το πρόσημο της ρίζας
Η εισαγωγή ενός πολλαπλασιαστή κάτω από το πρόσημο συνεπάγεται την αντικατάσταση της παράστασης , όπου τα B και C είναι ορισμένοι αριθμοί ή παραστάσεις και το n είναι φυσικός αριθμός, μεγαλύτερο από ένα, είναι πανομοιότυπα ίσο με μια έκφραση της μορφής ή .
Για παράδειγμα, παράλογη έκφρασημετά την εισαγωγή συντελεστή 2 κάτω από το πρόσημο της ρίζας, παίρνει τη μορφή .
Τα θεωρητικά θεμέλια αυτού του μετασχηματισμού, οι κανόνες για την εφαρμογή του, καθώς και λύσεις σε διάφορα χαρακτηριστικά παραδείγματα δίνονται στο άρθρο που εισάγει έναν πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
Αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας
Ένας μετασχηματισμός, κατά μία έννοια το αντίθετο από την εισαγωγή ενός παράγοντα κάτω από το ριζικό πρόσημο, είναι η αφαίρεση του παράγοντα από κάτω από το ριζικό πρόσημο. Αποτελείται από την αναπαράσταση της ρίζας ως γινόμενο για περιττό n ή ως γινόμενο για άρτιο n, όπου τα B και C είναι ορισμένοι αριθμοί ή εκφράσεις.
Για παράδειγμα, ας επιστρέψουμε στην προηγούμενη παράγραφο: η παράλογη έκφραση, αφού αφαιρέσει τον παράγοντα κάτω από το σύμβολο της ρίζας, παίρνει τη μορφή . Ένα άλλο παράδειγμα: η αφαίρεση του παράγοντα από κάτω από το σύμβολο της ρίζας στην έκφραση δίνει το προϊόν, το οποίο μπορεί να ξαναγραφτεί ως .
Σε τι βασίζεται αυτός ο μετασχηματισμός και με ποιους κανόνες πραγματοποιείται, θα εξετάσουμε σε ξεχωριστό άρθρο την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Εκεί θα δώσουμε επίσης λύσεις σε παραδείγματα και θα απαριθμήσουμε τρόπους μείωσης μιας ριζικής έκφρασης σε μορφή κατάλληλη για πολλαπλασιασμό.
Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν ρίζες
Οι παράλογες εκφράσεις μπορούν να περιέχουν κλάσματα που έχουν ρίζες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Με τέτοια κλάσματα μπορείτε να πραγματοποιήσετε οποιοδήποτε από τα βασικά μετασχηματισμοί ταυτότητας των κλασμάτων.
Πρώτον, τίποτα δεν σας εμποδίζει να εργαστείτε με εκφράσεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Ως παράδειγμα, θεωρήστε το κλάσμα. Η παράλογη έκφραση στον αριθμητή είναι προφανώς πανομοιότυπα ίση με , και στρέφοντας στις ιδιότητες των ριζών, η έκφραση στον παρονομαστή μπορεί να αντικατασταθεί από τη ρίζα . Ως αποτέλεσμα, το αρχικό κλάσμα μετατρέπεται στη μορφή .
Δεύτερον, μπορείτε να αλλάξετε το πρόσημο μπροστά από ένα κλάσμα αλλάζοντας το πρόσημο του αριθμητή ή του παρονομαστή. Για παράδειγμα, λαμβάνουν χώρα οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί μιας παράλογης έκφρασης: 
.
Τρίτον, μερικές φορές είναι δυνατό και σκόπιμο να μειωθεί ένα κλάσμα. Για παράδειγμα, πώς να αρνηθείτε στον εαυτό σας την ευχαρίστηση να μειώσετε ένα κλάσμα 
στην παράλογη έκφραση, ως αποτέλεσμα παίρνουμε 
.
Είναι σαφές ότι σε πολλές περιπτώσεις, πριν από τη μείωση ενός κλάσματος, πρέπει να συνυπολογιστούν οι εκφράσεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή του, κάτι που σε απλές περιπτώσεις μπορεί να επιτευχθεί με συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. Και μερικές φορές βοηθά στη μείωση ενός κλάσματος αντικαθιστώντας μια μεταβλητή, η οποία σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από το αρχικό κλάσμα με παραλογισμό σε ένα ορθολογικό κλάσμα, το οποίο είναι πιο άνετο και οικείο στην εργασία.
Για παράδειγμα, ας πάρουμε την έκφραση . Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές και σε αυτές τις μεταβλητές η αρχική έκφραση έχει τη μορφή . Έχοντας εκτελέσει στον αριθμητή
Οι παράλογες εκφράσεις και οι μεταμορφώσεις τους
Την τελευταία φορά θυμηθήκαμε (ή μάθαμε, ανάλογα με το ποιος) τι είναι , έμαθε πώς να εξάγει τέτοιες ρίζες, κατάλαβε τις βασικές ιδιότητες των ριζών κομμάτι-κομμάτι και αποφάσισε να μην σύνθετα παραδείγματαμε ρίζες.
Αυτό το μάθημα θα είναι συνέχεια του προηγούμενου και θα είναι αφιερωμένο σε μετασχηματισμούς μιας μεγάλης ποικιλίας εκφράσεων που περιέχουν κάθε είδους ρίζες. Τέτοιες εκφράσεις λέγονται παράλογος. Εδώ θα εμφανιστούν εκφράσεις με γράμματα, πρόσθετες προϋποθέσεις, απαλλαγή από τον παραλογισμό σε κλάσματα και ορισμένες προηγμένες τεχνικές εργασίας με ρίζες. Οι τεχνικές που θα συζητηθούν σε αυτό το μάθημα θα γίνουν μια καλή βάση για επίλυση Προβλήματα Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης(και όχι μόνο) σχεδόν οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.
Πρώτα απ 'όλα, θα αντιγράψω εδώ τους βασικούς τύπους και τις ιδιότητες των ριζών. Για να μην πηδάμε από θέμα σε θέμα. Εδώ είναι:
στο
Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους τύπους και να είστε σε θέση να τους εφαρμόσετε. Και προς τις δύο κατευθύνσεις - τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Σε αυτά βασίζεται η λύση για τις περισσότερες εργασίες με ρίζες οποιουδήποτε βαθμού πολυπλοκότητας. Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό πράγμα προς το παρόν - με άμεση εφαρμογήτύπους ή συνδυασμούς τους.
Εύκολη εφαρμογή τύπων
Σε αυτό το μέρος, θα εξεταστούν απλά και αβλαβή παραδείγματα - χωρίς γράμματα, πρόσθετες προϋποθέσεις και άλλα κόλπα. Ωστόσο, ακόμη και σε αυτά, κατά κανόνα, υπάρχουν επιλογές. Και όσο πιο εξελιγμένο είναι το παράδειγμα, τόσο περισσότερες τέτοιες επιλογές υπάρχουν. Και ένας άπειρος μαθητής έχει το κύριο πρόβλημα- από πού να αρχίσω? Η απάντηση εδώ είναι απλή - Αν δεν ξέρεις τι χρειάζεσαι, κάνε ό,τι μπορείς. Εφόσον οι ενέργειές σας είναι σε ειρήνη και αρμονία με τους κανόνες των μαθηματικών και δεν έρχονται σε αντίθεση με αυτούς.) Για παράδειγμα, αυτή η εργασία:
Υπολογίζω:
Ακόμη και σε ένα τόσο απλό παράδειγμα, υπάρχουν πολλοί πιθανοί δρόμοι για την απάντηση.
Το πρώτο είναι απλώς να πολλαπλασιάσουμε τις ρίζες με την πρώτη ιδιότητα και να εξαγάγουμε τη ρίζα από το αποτέλεσμα:
Η δεύτερη επιλογή είναι η εξής: δεν το αγγίζουμε, δουλεύουμε με . Βγάζουμε τον πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας και, στη συνέχεια - σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα. Σαν αυτό:
Μπορείτε να αποφασίσετε όσο θέλετε. Σε οποιαδήποτε από τις επιλογές, η απάντηση είναι μία - οκτώ. Για παράδειγμα, είναι πιο εύκολο για μένα να πολλαπλασιάσω το 4 και το 128 και να πάρω 512 και η ρίζα του κύβου μπορεί εύκολα να εξαχθεί από αυτόν τον αριθμό. Αν κάποιος δεν θυμάται ότι το 512 είναι 8 κυβικά, τότε δεν πειράζει: μπορείτε να γράψετε το 512 ως 2 9 (οι 10 πρώτες δυνάμεις των δύο, ελπίζω να θυμάστε;) και χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη ρίζα της δύναμης :
Ενα άλλο παράδειγμα.
Υπολογίστε: .
Εάν εργάζεστε σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα (βάζοντας τα πάντα κάτω από μια ρίζα), θα λάβετε έναν βαρύ αριθμό, από τον οποίο στη συνέχεια μπορεί να εξαχθεί η ρίζα - επίσης όχι ζάχαρη. Και δεν είναι γεγονός ότι θα εξαχθεί ακριβώς.) Επομένως, είναι χρήσιμο εδώ να αφαιρέσουμε τους παράγοντες κάτω από τη ρίζα στον αριθμό. Και αξιοποιήστε στο έπακρο:
Και τώρα όλα είναι καλά:
Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε το οκτώ και δύο κάτω από μια ρίζα (σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα) και η δουλειά γίνεται. :)
Τώρα ας προσθέσουμε μερικά κλάσματα.
Υπολογίζω:
Το παράδειγμα είναι αρκετά πρωτόγονο, αλλά έχει και επιλογές. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον πολλαπλασιαστή για να μετατρέψετε τον αριθμητή και να τον μειώσετε με τον παρονομαστή:
Ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αμέσως τον τύπο για τη διαίρεση των ριζών:
Όπως βλέπουμε, έτσι κι έτσι – όλα είναι σωστά.) Αν δεν παραπατήσεις στα μισά και κάνεις λάθος. Αν και πού μπορώ να κάνω λάθος εδώ...
Ας δούμε τώρα το πιο πρόσφατο παράδειγμα από εργασία για το σπίτιτελευταίο μάθημα:
Απλοποιώ:
Ένα εντελώς αδιανόητο σύνολο ριζών, και μάλιστα φωλιασμένων. Τι πρέπει να κάνω? Το κύριο πράγμα είναι να μην φοβάστε! Εδώ παρατηρούμε πρώτα κάτω από τις ρίζες τους αριθμούς 2, 4 και 32 - δυνάμεις του δύο. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να μειώσετε όλους τους αριθμούς σε δύο: τελικά, τόσο περισσότερο πανομοιότυποι αριθμοίστο παράδειγμα, όσο λιγότερα διαφορετικά, τόσο πιο απλά.) Ας ξεκινήσουμε ξεχωριστά με τον πρώτο παράγοντα:
Ο αριθμός μπορεί να απλοποιηθεί με τη μείωση των δύο κάτω από τη ρίζα με τα τέσσερα στον εκθέτη ρίζας:
Τώρα, σύμφωνα με τη ρίζα του έργου:
.
Στον αριθμό βγάζουμε τα δύο ως ρίζα:
Και ασχολούμαστε με την έκφραση χρησιμοποιώντας τη ρίζα του τύπου ρίζας:
Έτσι, ο πρώτος παράγοντας θα γραφτεί ως εξής:
Οι ένθετες ρίζες έχουν εξαφανιστεί, οι αριθμοί έχουν γίνει μικρότεροι, πράγμα που είναι ήδη ευχάριστο. Απλώς οι ρίζες είναι διαφορετικές, αλλά θα το αφήσουμε έτσι προς το παρόν. Αν χρειαστεί θα τα μετατρέψουμε στα ίδια. Ας πάρουμε τον δεύτερο παράγοντα.)
Μετασχηματίζουμε τον δεύτερο παράγοντα με παρόμοιο τρόπο, χρησιμοποιώντας τον τύπο της ρίζας του προϊόντος και της ρίζας της ρίζας. Όπου είναι απαραίτητο, μειώνουμε τους δείκτες χρησιμοποιώντας τον πέμπτο τύπο:
Επικολλάμε τα πάντα στο αρχικό παράδειγμα και παίρνουμε:
Πήρα το προϊόν μιας ολόκληρης δέσμης απολύτως διαφορετικές ρίζες. Θα ήταν ωραίο να τα φέρουμε όλα σε έναν δείκτη και μετά θα δούμε. Λοιπόν, είναι πολύ πιθανό. Ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες ρίζας είναι 12 και όλοι οι άλλοι - 2, 3, 4, 6 - είναι διαιρέτες του αριθμού 12. Επομένως, θα μειώσουμε όλες τις ρίζες σύμφωνα με την πέμπτη ιδιότητα σε έναν εκθέτη - 12:
Μετράμε και παίρνουμε:
Δεν πήραμε καλό αριθμό, αλλά δεν πειράζει. Μας ρωτήθηκαν απλοποιώέκφραση, όχι μετρώ. Απλοποιημένη; Σίγουρα! Και το είδος της απάντησης (ακέραιος ή όχι) δεν παίζει πλέον κανένα ρόλο εδώ.
Κάποιοι τύποι πρόσθεσης/αφαίρεσης και συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού
Δυστυχώς, γενικούς τύπουςΓια πρόσθεση και αφαίρεση ριζώνόχι στα μαθηματικά. Ωστόσο, στις εργασίες αυτές οι ενέργειες με ρίζες βρίσκονται συχνά. Εδώ είναι απαραίτητο να καταλάβουμε ότι οποιεσδήποτε ρίζες είναι ακριβώς τα ίδια μαθηματικά σύμβολα με τα γράμματα στην άλγεβρα.) Και οι ίδιες τεχνικές και κανόνες ισχύουν για τις ρίζες όπως και για τα γράμματα - ανοίγοντας παρενθέσεις, φέρνοντας παρόμοιες, συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού κ.λπ.
Για παράδειγμα, είναι σαφές σε όλους ότι . Παρόμοιος το ίδιοΟι ρίζες μπορούν να προστεθούν/αφαιρηθούν μεταξύ τους αρκετά εύκολα:
Εάν οι ρίζες είναι διαφορετικές, τότε αναζητούμε έναν τρόπο να τις κάνουμε ίδιες - προσθέτοντας/αφαιρώντας έναν πολλαπλασιαστή ή χρησιμοποιώντας την πέμπτη ιδιότητα. Αν δεν απλοποιηθεί με κανέναν τρόπο, τότε ίσως οι μεταμορφώσεις είναι πιο πονηρές.
Ας δούμε το πρώτο παράδειγμα.
Βρείτε τη σημασία της έκφρασης: .
Και οι τρεις ρίζες, αν και κυβικές, είναι από διαφορετικόςαριθμοί. Δεν εξάγονται καθαρά και προστίθενται/αφαιρούνται το ένα από το άλλο. Επομένως, η χρήση γενικών τύπων δεν λειτουργεί εδώ. Τι πρέπει να κάνω? Ας πάρουμε τους παράγοντες σε κάθε ρίζα. Σε κάθε περίπτωση, δεν θα είναι χειρότερο.) Επιπλέον, στην πραγματικότητα, δεν υπάρχουν άλλες επιλογές:
Αυτό είναι, .
Αυτή είναι η λύση. Εδώ περάσαμε από διαφορετικές ρίζες στις ίδιες με τη βοήθεια αφαιρώντας τον πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα. Και μετά απλά έφεραν παρόμοια.) Αποφασίζουμε περαιτέρω.
Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:
Σίγουρα δεν μπορείτε να κάνετε τίποτα για τη ρίζα του δεκαεπτά. Εργαζόμαστε σύμφωνα με την πρώτη ιδιότητα - φτιάχνουμε μια ρίζα από το προϊόν δύο ριζών:
Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Τι υπάρχει κάτω από τη μεγάλη μας κυβική ρίζα; Η διαφορά είναι qua... Λοιπόν, φυσικά! Διαφορά τετραγώνων:
Τώρα το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα: .
Υπολογίζω:
Εδώ θα πρέπει να επιδείξετε μαθηματική εφευρετικότητα.) Σκεφτόμαστε περίπου ως εξής: «Λοιπόν, στο παράδειγμα, το προϊόν των ριζών. Κάτω από τη μία ρίζα είναι η διαφορά και κάτω από την άλλη το άθροισμα. Πολύ παρόμοια με τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων. Αλλά... Οι ρίζες είναι διαφορετικές! Το πρώτο είναι τετράγωνο, και το δεύτερο είναι τέταρτου βαθμού... Καλό θα ήταν να τα φτιάξουμε ίδια. Σύμφωνα με την πέμπτη ιδιότητα, μπορεί κανείς εύκολα τετραγωνική ρίζαφτιάξτε την τέταρτη ρίζα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να τετραγωνίσουμε τη ριζοσπαστική έκφραση».
Αν σκεφτήκατε το ίδιο, τότε είστε στα μισά του δρόμου προς την επιτυχία. Απόλυτο δίκιο! Ας μετατρέψουμε τον πρώτο παράγοντα σε τέταρτη ρίζα. Σαν αυτό:
Τώρα, δεν υπάρχει τίποτα που πρέπει να γίνει, αλλά θα πρέπει να θυμάστε τον τύπο για το τετράγωνο της διαφοράς. Μόνο όταν εφαρμόζεται στις ρίζες. Και λοιπόν? Γιατί οι ρίζες είναι χειρότερες από άλλους αριθμούς ή εκφράσεις;! Κατασκευάζουμε:
«Χμ, καλά, το έστησαν, και τι; Το χρένο δεν είναι πιο γλυκό από το ραπανάκι. Να σταματήσει! Και αν βγάλεις τα τέσσερα κάτω από τη ρίζα; Τότε θα προκύψει η ίδια έκφραση όπως κάτω από τη δεύτερη ρίζα, μόνο με ένα μείον, και αυτό ακριβώς προσπαθούμε να πετύχουμε!».
Σωστά! Ας πάρουμε τέσσερα:
.
Και τώρα - θέμα τεχνολογίας:
Έτσι ξεμπερδεύονται τα σύνθετα παραδείγματα.) Τώρα είναι ώρα να εξασκηθείτε με τα κλάσματα.
Υπολογίζω:
Είναι σαφές ότι ο αριθμητής πρέπει να μετατραπεί. Πως? Χρησιμοποιώντας τον τύπο του τετραγώνου του αθροίσματος, φυσικά. Έχουμε άλλες επιλογές; :) Το τετραγωνίζουμε, βγάζουμε τους συντελεστές, μειώνουμε τους δείκτες (όπου χρειάζεται):
Ουάου! Πήραμε ακριβώς τον παρονομαστή του κλάσματός μας.) Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το κλάσμα είναι προφανώς ίσο με ένα:
Ενα άλλο παράδειγμα. Μόνο τώρα σε έναν άλλο τύπο συντετμημένου πολλαπλασιασμού.)
Υπολογίζω:
Είναι σαφές ότι το τετράγωνο της διαφοράς πρέπει να χρησιμοποιείται στην πράξη. Γράφουμε τον παρονομαστή ξεχωριστά και - πάμε!
Βγάζουμε τους παράγοντες κάτω από τις ρίζες:
Ως εκ τούτου,
Τώρα όλα τα κακά μειώνονται εξαιρετικά και αποδεικνύεται:
Λοιπόν, ας το πάμε στο επόμενο επίπεδο. :)
Επιστολές και επιπλέον προϋποθέσεις
Οι κυριολεκτικές εκφράσεις με ρίζες είναι πιο περίπλοκο πράγμα από αριθμητικές εκφράσεις, και αποτελεί ανεξάντλητη πηγή ενοχλητικών και πολύ σοβαρών λαθών. Ας κλείσουμε αυτήν την πηγή.) Προκύπτουν σφάλματα λόγω του γεγονότος ότι τέτοιες εργασίες συχνά περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς και εκφράσεις. Είτε μας δίνονται απευθείας στην εργασία, είτε κρύβονται μέσα επιστολές και πρόσθετες προϋποθέσεις. Και στη διαδικασία της εργασίας με τις ρίζες, πρέπει συνεχώς να το θυμόμαστε αυτό στις ρίζες ακόμη και πτυχίοτόσο κάτω από την ίδια τη ρίζα όσο και ως αποτέλεσμα της εξαγωγής της ρίζας θα πρέπει να υπάρχει μη αρνητική έκφραση. Ο βασικός τύπος στις εργασίες αυτής της παραγράφου θα είναι ο τέταρτος τύπος:
Δεν υπάρχουν ερωτήσεις με ρίζες περιττών βαθμών - τα πάντα εξάγονται πάντα, τόσο θετικά όσο και αρνητικά. Και το μείον, αν μη τι άλλο, προβάλλεται. Ας πάμε κατευθείαν στις ρίζες ακόμη καιμοίρες.) Για παράδειγμα, μια τόσο σύντομη εργασία.
Απλοποιώ: , Αν .
Φαίνεται ότι όλα είναι απλά. Απλώς θα αποδειχθεί Χ.) Αλλά γιατί τότε πρόσθετη προϋπόθεση ? Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι χρήσιμο να γίνεται εκτίμηση με αριθμούς. Καθαρά για τον εαυτό μου.) Αν, τότε το x είναι προφανώς αρνητικός αριθμός. Μείον τρία, για παράδειγμα. Ή μείον σαράντα. Αφήστε . Μπορείτε να αυξήσετε το μείον τρία στην τέταρτη δύναμη; Σίγουρα! Το αποτέλεσμα είναι 81. Είναι δυνατόν να εξαχθεί η τέταρτη ρίζα του 81; Γιατί όχι? Μπορώ! Παίρνετε τρία. Τώρα ας αναλύσουμε ολόκληρη την αλυσίδα μας:
Τι βλέπουμε; Η είσοδος ήταν αρνητικός αριθμός και η έξοδος ήταν ήδη θετική. Ήταν μείον τρία, τώρα είναι συν τρία.) Ας επιστρέψουμε στα γράμματα. Χωρίς αμφιβολία, modulo θα είναι ακριβώς X, αλλά μόνο το ίδιο το X είναι μείον (κατά συνθήκη!), και το αποτέλεσμα της εξαγωγής (λόγω της αριθμητικής ρίζας!) πρέπει να είναι συν. Πώς να αποκτήσετε ένα συν; Πολύ απλό! Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε αρνητικός αριθμόςβάλε ένα μείον.) Και σωστή λύσημοιάζει με αυτό:
Παρεμπιπτόντως, αν χρησιμοποιούσαμε τον τύπο, τότε, θυμόμαστε τον ορισμό μιας ενότητας, θα παίρναμε αμέσως τη σωστή απάντηση. Επειδή η
|x| = -x στο x<0.
Αφαιρέστε τον παράγοντα από το ριζικό σύμβολο: , Οπου .
Η πρώτη ματιά είναι στη ριζοσπαστική έκφραση. Όλα είναι εντάξει εδώ. Σε κάθε περίπτωση, δεν θα είναι αρνητικό. Ας ξεκινήσουμε την εξαγωγή. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη ρίζα ενός προϊόντος, εξάγουμε τη ρίζα κάθε παράγοντα:
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να εξηγήσω από πού προέρχονται οι ενότητες.) Τώρα ας αναλύσουμε κάθε μία από τις ενότητες.
Πολλαπλασιαστής | ένα | το αφήνουμε αμετάβλητο: δεν έχουμε καμία προϋπόθεση για το γράμμαένα. Δεν ξέρουμε αν είναι θετικό ή αρνητικό. Επόμενη ενότητα |β 2 | μπορεί να παραλειφθεί με ασφάλεια: σε κάθε περίπτωση, η έκφρασηβ 2 μη αρνητικό. Αλλά για |γ 3 | - υπάρχει ήδη πρόβλημα εδώ.) Αν, έπειτα γ 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть με ένα μείον: | γ 3 | = - γ 3 . Συνολικά, η σωστή λύση θα ήταν:
Και τώρα - το αντίστροφο πρόβλημα. Δεν είναι το πιο εύκολο, σας προειδοποιώ αμέσως!
Εισαγάγετε έναν πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας: .
Εάν γράψετε αμέσως τη λύση έτσι
τότε εσύ έπεσε σε παγίδα. Αυτό λάθος απόφαση! Τι συμβαίνει?
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην έκφραση κάτω από τη ρίζα. Κάτω από τη ρίζα του τέταρτου βαθμού, όπως γνωρίζουμε, θα έπρεπε να υπάρχει μη αρνητικόέκφραση. Διαφορετικά, η ρίζα δεν έχει νόημα.) Επομένως Και αυτό, με τη σειρά του, σημαίνει ότι και, επομένως, το ίδιο είναι επίσης μη θετικό: .
Και το λάθος εδώ είναι ότι εισάγουμε στη ρίζα μη θετικόαριθμός: ο τέταρτος βαθμός το μετατρέπει σε μη αρνητικόκαι επιτυγχάνεται το λάθος αποτέλεσμα - στα αριστερά υπάρχει ένα σκόπιμο μείον και στα δεξιά υπάρχει ήδη ένα συν. Και εφαρμόστε στη ρίζα ακόμη καιπτυχίο έχουμε μόνο δικαίωμα μη αρνητικόαριθμούς ή εκφράσεις. Και αφήστε το μείον, αν υπάρχει, μπροστά από τη ρίζα.) Πώς μπορούμε να εντοπίσουμε έναν μη αρνητικό παράγοντα στον αριθμό, γνωρίζοντας ότι είναι εντελώς αρνητικό; Ναι, ακριβώς το ίδιο! Βάλτε ένα μείον.) Και για να μην αλλάξει τίποτα, αντισταθμίστε το με ένα άλλο μείον. Σαν αυτό:
Και τώρα ήδη μη αρνητικόΕισάγουμε ήρεμα τον αριθμό (-β) κάτω από τη ρίζα σύμφωνα με όλους τους κανόνες:
Αυτό το παράδειγμα δείχνει ξεκάθαρα ότι, σε αντίθεση με άλλους κλάδους των μαθηματικών, στις ρίζες η σωστή απάντηση δεν προκύπτει πάντα αυτόματα από τους τύπους. Πρέπει να σκεφτείτε και να πάρετε προσωπικά τη σωστή απόφαση.) Θα πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί με τα ζώδια παράλογες εξισώσεις και ανισότητες.
Ας δούμε την επόμενη σημαντική τεχνική όταν εργάζεστε με ρίζες - να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό.
Εξάλειψη του παραλογισμού στα κλάσματα
Εάν η έκφραση περιέχει ρίζες, τότε, να σας υπενθυμίσω, μια τέτοια έκφραση ονομάζεται έκφραση με παραλογισμό. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να είναι χρήσιμο να απαλλαγούμε από αυτόν ακριβώς τον παραλογισμό (δηλαδή τις ρίζες). Πώς μπορείτε να εξαλείψετε τη ρίζα; Η ρίζα μας εξαφανίζεται όταν... ανυψωθεί σε μια δύναμη. Με δείκτη είτε ίσο με τον ριζικό δείκτη είτε πολλαπλάσιό του. Αλλά, αν ανεβάσουμε τη ρίζα σε δύναμη (δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τη ρίζα από μόνη της τον απαιτούμενο αριθμό φορών), τότε η έκφραση θα αλλάξει. Δεν είναι καλό.) Ωστόσο, στα μαθηματικά υπάρχουν θέματα όπου ο πολλαπλασιασμός είναι αρκετά ανώδυνος. Σε κλάσματα, για παράδειγμα. Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει.
Ας πούμε ότι μας δίνεται αυτό το κλάσμα:
Είναι δυνατόν να απαλλαγούμε από τη ρίζα στον παρονομαστή; Μπορώ! Για να γίνει αυτό, η ρίζα πρέπει να κοπεί σε κύβους. Τι μας λείπει στον παρονομαστή για έναν γεμάτο κύβο; Μας λείπει ένας πολλαπλασιαστής, δηλ.. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με
Η ρίζα στον παρονομαστή έχει εξαφανιστεί. Όμως... εμφανίστηκε στον αριθμητή. Τίποτα δεν μπορεί να γίνει, έτσι είναι η μοίρα.) Αυτό δεν είναι πλέον σημαντικό για εμάς: μας ζητήθηκε να απελευθερώσουμε τον παρονομαστή από τις ρίζες. Κυκλοφόρησε; Αναμφίβολα.)
Παρεμπιπτόντως, όσοι είναι ήδη άνετοι με την τριγωνομετρία μπορεί να έχουν δώσει προσοχή στο γεγονός ότι σε ορισμένα σχολικά βιβλία και πίνακες, για παράδειγμα, ορίζουν διαφορετικά: κάπου , και κάπου . Το ερώτημα είναι - ποιο είναι το σωστό; Απάντηση: όλα είναι σωστά!) Αν μαντέψετε αυτό– αυτό είναι απλώς το αποτέλεσμα της απελευθέρωσης από τον παραλογισμό στον παρονομαστή του κλάσματος. :)
Γιατί να απελευθερωθούμε από τον παραλογισμό σε κλάσματα; Τι διαφορά έχει - η ρίζα είναι στον αριθμητή ή στον παρονομαστή; Η αριθμομηχανή θα υπολογίσει τα πάντα ούτως ή άλλως.) Λοιπόν, για όσους δεν αποχωρίζονται την αριθμομηχανή, δεν υπάρχει ουσιαστικά καμία διαφορά... Αλλά ακόμα και αν υπολογίζετε σε μια αριθμομηχανή, μπορείτε να δώσετε προσοχή στο γεγονός ότι διαιρέστεεπί ολόκληροςΟ αριθμός είναι πάντα πιο βολικός και πιο γρήγορος από ό,τι στο παράλογος. Και θα σιωπήσω για τη διαίρεση σε στήλη.)
Το παρακάτω παράδειγμα θα επιβεβαιώσει μόνο τα λόγια μου.
Πώς μπορούμε να εξαλείψουμε την τετραγωνική ρίζα του παρονομαστή εδώ; Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιαστούν με την παράσταση, τότε ο παρονομαστής θα είναι το τετράγωνο του αθροίσματος. Το άθροισμα των τετραγώνων του πρώτου και του δεύτερου αριθμού θα μας δώσει απλώς αριθμούς χωρίς ρίζες, κάτι που είναι πολύ ευχάριστο. Ωστόσο... θα σκάσει διπλό προϊόνο πρώτος αριθμός στον δεύτερο, όπου η ρίζα των τριών θα παραμείνει ακόμα. Δεν κάνει κανάλι. Τι πρέπει να κάνω? Θυμηθείτε έναν άλλο υπέροχο τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό! Όπου δεν υπάρχουν διπλά προϊόντα, αλλά μόνο τετράγωνα:
Μια έκφραση που, όταν πολλαπλασιαστεί με ένα ορισμένο άθροισμα (ή διαφορά), παράγει διαφορά τετραγώνων, επίσης λέγεται συζυγής έκφραση. Στο παράδειγμά μας, η συζυγής έκφραση θα είναι η διαφορά. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτή τη διαφορά:
Τι μπορώ να πω? Ως αποτέλεσμα των χειρισμών μας, όχι μόνο εξαφανίστηκε η ρίζα του παρονομαστή, αλλά το κλάσμα εξαφανίστηκε εντελώς! :) Ακόμη και με μια αριθμομηχανή, η αφαίρεση της ρίζας των τριών από ένα τρία είναι ευκολότερη από τον υπολογισμό ενός κλάσματος με τη ρίζα στον παρονομαστή. Ενα άλλο παράδειγμα.
Απελευθερωθείτε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος:
Πώς να βγείτε από αυτό; Οι τύποι για συντομευμένο πολλαπλασιασμό με τετράγωνα δεν λειτουργούν αμέσως - δεν θα είναι δυνατό να εξαλειφθούν εντελώς οι ρίζες λόγω του γεγονότος ότι αυτή τη φορά η ρίζα μας δεν είναι τετράγωνη, αλλά κυβικός. Είναι απαραίτητο η ρίζα να ανυψωθεί με κάποιο τρόπο σε κύβο. Επομένως, πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένας από τους τύπους με κύβους. Ποιό απ'όλα? Ας το σκεφτούμε. Ο παρονομαστής είναι το άθροισμα. Πώς μπορούμε να πετύχουμε τον κύβο της ρίζας; Πολλαπλασιάστε με μερική τετραγωνική διαφορά! Έτσι, θα εφαρμόσουμε τον τύπο άθροισμα κύβων. Αυτό:
Οπως και έναέχουμε τρία, και ως ποιότητα σι– κυβική ρίζα πέντε:
Και πάλι το κλάσμα εξαφανίστηκε.) Τέτοιες καταστάσεις, όταν, όταν ελευθερωθεί από τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος, το ίδιο το κλάσμα εξαφανίζεται εντελώς μαζί με τις ρίζες, συμβαίνουν πολύ συχνά. Πώς σας φαίνεται αυτό το παράδειγμα!
Υπολογίζω:
Απλά δοκιμάστε να προσθέσετε αυτά τα τρία κλάσματα! Χωρίς λάθη! :) Ένας κοινός παρονομαστής αξίζει τον κόπο. Τι θα γινόταν αν προσπαθούσαμε να απελευθερωθούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή κάθε κλάσματος; Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε:
Ουάου, πόσο ενδιαφέρον! Όλα τα κλάσματα έχουν φύγει! Εντελώς. Και τώρα το παράδειγμα μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους:
Απλό και κομψό. Και χωρίς μεγάλους και κουραστικούς υπολογισμούς. :)
Γι' αυτό πρέπει να μπορεί κανείς να κάνει κλάσματα την επιχείρηση απελευθέρωσης από τον παραλογισμό. Σε τέτοια περίπλοκα παραδείγματα, είναι το μόνο πράγμα που σώζει, ναι.) Φυσικά, κανείς δεν ακύρωσε την προσοχή. Υπάρχουν εργασίες όπου σας ζητείται να απαλλαγείτε από τον παραλογισμό αριθμητής. Αυτές οι εργασίες δεν διαφέρουν από αυτές που εξετάζονται, μόνο ο αριθμητής διαγράφεται από τις ρίζες.)
Πιο σύνθετα παραδείγματα
Απομένει να εξετάσουμε ορισμένες ειδικές τεχνικές για την εργασία με τις ρίζες και να εξασκηθείτε στο ξεμπέρδεμα όχι τα πιο απλά παραδείγματα. Και τότε οι πληροφορίες που λαμβάνονται θα είναι αρκετές για την επίλυση εργασιών με ρίζες οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας. Λοιπόν - προχωρήστε.) Αρχικά, ας καταλάβουμε τι να κάνουμε με τις ένθετες ρίζες όταν ο τύπος ρίζας από ρίζα δεν λειτουργεί. Για παράδειγμα, εδώ είναι ένα παράδειγμα.
Υπολογίζω:
Η ρίζα είναι κάτω από τη ρίζα... Επιπλέον, κάτω από τις ρίζες είναι το άθροισμα ή η διαφορά. Επομένως, ο τύπος για τη ρίζα της ρίζας (με πολλαπλασιασμό των εκθετών) είναι εδώ Δεν λειτουργεί. Άρα κάτι πρέπει να γίνει ριζοσπαστικές εκφράσεις: Απλώς δεν έχουμε άλλες επιλογές. Σε τέτοια παραδείγματα, τις περισσότερες φορές η μεγάλη ρίζα είναι κρυπτογραφημένη Τέλειο τετράγωνοκάποιο ποσό. Ή διαφορές. Και η ρίζα του τετραγώνου έχει ήδη εξαχθεί τέλεια! Και τώρα το καθήκον μας είναι να το αποκρυπτογραφήσουμε.) Αυτή η αποκρυπτογράφηση γίνεται όμορφα μέσω σύστημα εξισώσεων. Τώρα θα δείτε τα πάντα μόνοι σας.)
Έτσι, κάτω από την πρώτη ρίζα έχουμε αυτή την έκφραση:
Κι αν δεν μαντέψατε σωστά; Ας ελέγξουμε! Το τετραγωνίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος:
Σωστά.) Αλλά... Από πού πήρα αυτή την έκφραση; Από τον ουρανό?
Όχι.) Θα το πάρουμε λίγο πιο κάτω ειλικρινά. Απλώς χρησιμοποιώντας αυτήν την έκφραση, δείχνω ακριβώς πώς οι συντάκτες εργασιών κρυπτογραφούν τέτοια τετράγωνα. :) Τι είναι το 54; Αυτό άθροισμα τετραγώνων του πρώτου και του δεύτερου αριθμού. Και, προσοχή, ήδη χωρίς ρίζες! Και η ρίζα παραμένει μέσα διπλό προϊόν, που στην περίπτωσή μας ισούται με . Επομένως, η αποκάλυψη τέτοιων παραδειγμάτων ξεκινά με την αναζήτηση του διπλού προϊόντος. Αν ξεμπερδέψεις με τη συνηθισμένη επιλογή. Και, παρεμπιπτόντως, για τα σημάδια. Όλα είναι απλά εδώ. Αν υπάρχει συν πριν από το διπλάσιο, τότε το τετράγωνο του αθροίσματος. Αν είναι μείον, τότε οι διαφορές.) Έχουμε ένα συν - αυτό σημαίνει το τετράγωνο του αθροίσματος.) Και τώρα - η υποσχεμένη αναλυτική μέθοδος αποκωδικοποίησης. Μέσω του συστήματος.)
Έτσι, κάτω από τη ρίζα μας κρέμεται ξεκάθαρα η έκφραση (α+β) 2, και καθήκον μας είναι να βρούμε έναΚαι σι. Στην περίπτωσή μας, το άθροισμα των τετραγώνων δίνει 54. Άρα γράφουμε:
Τώρα διπλασιάστε το προϊόν. Το έχουμε. Το γράφουμε λοιπόν:
Έχουμε αυτό το σύστημα:
Λύνουμε με τη συνήθη μέθοδο αντικατάστασης. Εκφράζουμε από τη δεύτερη εξίσωση, για παράδειγμα, και την αντικαθιστούμε στην πρώτη:
Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση:
Πήρα διτετραγωνικόσχετική εξίσωσηένα . Υπολογίζουμε τη διάκριση:
Που σημαίνει,
Πήραμε έως και τέσσερις πιθανές τιμέςένα. Δεν φοβόμαστε. Τώρα θα εξαλείψουμε όλα τα περιττά πράγματα.) Εάν τώρα υπολογίσουμε τις αντίστοιχες τιμές για καθεμία από τις τέσσερις τιμές που βρέθηκαν, θα λάβουμε τέσσερις λύσεις στο σύστημά μας. Εδώ είναι:
Και εδώ το ερώτημα είναι - ποια λύση είναι κατάλληλη για εμάς; Ας το σκεφτούμε. Οι αρνητικές λύσεις μπορούν να απορριφθούν αμέσως: κατά τον τετραγωνισμό, τα μειονεκτήματα θα "καούν" και ολόκληρη η ριζική έκφραση στο σύνολό της δεν θα αλλάξει.) Οι δύο πρώτες επιλογές παραμένουν. Μπορείτε να τους επιλέξετε εντελώς αυθαίρετα: η αναδιάταξη των όρων εξακολουθεί να μην αλλάζει το άθροισμα.) Έστω, για παράδειγμα, ένα .
Συνολικά, πήραμε το τετράγωνο του παρακάτω αθροίσματος κάτω από τη ρίζα:
Τα πάντα είναι καθαρά.)
Δεν είναι τυχαίο που περιγράφω τη διαδικασία λήψης απόφασης με τόση λεπτομέρεια. Για να γίνει σαφές πώς γίνεται η αποκρυπτογράφηση.) Αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα. Η αναλυτική μέθοδος αποκωδικοποίησης, αν και αξιόπιστη, είναι πολύ μεγάλη και επίπονη: πρέπει να λύσετε μια διτετραγωνική εξίσωση, να πάρετε τέσσερις λύσεις στο σύστημα και μετά να σκεφτείτε ποιες να επιλέξετε... Προβληματίζεστε; Συμφωνώ, είναι ενοχλητικό. Αυτή η μέθοδος λειτουργεί άψογα στα περισσότερα από αυτά τα παραδείγματα. Ωστόσο, πολύ συχνά μπορείτε να εξοικονομήσετε πολλή δουλειά και να βρείτε δημιουργικά και τους δύο αριθμούς. Με επιλογή.) Ναι, ναι! Τώρα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του δεύτερου όρου (δεύτερη ρίζα), θα δείξω έναν ευκολότερο και ταχύτερο τρόπο απομόνωσης του πλήρους τετραγώνου κάτω από τη ρίζα.
Τώρα λοιπόν έχουμε αυτή τη ρίζα: 
.
Ας σκεφτούμε έτσι: «Κάτω από τη ρίζα είναι πιθανότατα ένα κρυπτογραφημένο πλήρες τετράγωνο. Μόλις υπάρχει ένα μείον πριν από το διπλό, σημαίνει το τετράγωνο της διαφοράς. Το άθροισμα των τετραγώνων του πρώτου και του δεύτερου αριθμού μας δίνει τον αριθμό 54. Τι είδους τετράγωνα είναι όμως αυτά; 1 και 53; 49 και 5 ? Υπάρχουν πάρα πολλές επιλογές... Όχι, καλύτερα να ξεκινήσετε το ξεμπλέξιμο με το διπλάσιο προϊόν. Μαςμπορεί να γραφτεί ως . Μόλις το προϊόν διπλασιάστηκε, τότε πετάμε αμέσως τα δύο. Στη συνέχεια υποψήφιοι για τον ρόλοα και β παραμένουν 7 και . Τι κι αν είναι 14 και/2 ? Είναι δυνατό. Αλλά πάντα ξεκινάμε με κάτι απλό!».Λοιπόν, ας , ένα . Ας τα ελέγξουμε για το άθροισμα των τετραγώνων:
Συνέβη! Αυτό σημαίνει ότι η ριζική μας έκφραση είναι στην πραγματικότητα το τετράγωνο της διαφοράς:
Εδώ είναι ένας ελαφρύς τρόπος για να αποφύγετε το μπέρδεμα με το σύστημα. Δεν λειτουργεί πάντα, αλλά σε πολλά από αυτά τα παραδείγματα είναι αρκετά επαρκής. Έτσι, κάτω από τις ρίζες υπάρχουν πλήρη τετράγωνα. Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε σωστά τις ρίζες και να υπολογίσετε το παράδειγμα:
Τώρα ας δούμε μια ακόμη πιο μη τυπική εργασία για τις ρίζες.)
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Α– ακέραιος, αν .
Τίποτα δεν εξάγεται άμεσα, οι ρίζες είναι ενσωματωμένες, και μάλιστα διαφορετικών βαθμών... Εφιάλτης! Ωστόσο, το έργο έχει νόημα.) Επομένως, υπάρχει ένα κλειδί για την επίλυσή του.) Και το κλειδί εδώ είναι αυτό. Σκεφτείτε την ισότητα μας
Πως σχετική εξίσωση ΕΝΑ. Ναι ναι! Θα ήταν ωραίο να απαλλαγούμε από τις ρίζες. Οι ρίζες μας είναι κυβικές, οπότε ας κύβουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης. Σύμφωνα με τον τύπο κύβος του αθροίσματος:
Οι κύβοι και οι κυβικές ρίζες αλληλοεξουδετερώνονται και κάτω από κάθε μεγάλη ρίζα παίρνουμε μια αγκύλη από το τετράγωνο και συμπτύσσουμε το γινόμενο της διαφοράς και το άθροισμα σε μια διαφορά τετραγώνων:
Ξεχωριστά, υπολογίζουμε τη διαφορά των τετραγώνων κάτω από τις ρίζες:
Το άρθρο αποκαλύπτει την έννοια των παράλογων εκφράσεων και μεταμορφώσεων με αυτές. Ας εξετάσουμε την ίδια την έννοια των παράλογων εκφράσεων, της μεταμόρφωσης και των χαρακτηριστικών εκφράσεων.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τι είναι οι παράλογες εκφράσεις;
Όταν εισάγουμε τις ρίζες στο σχολείο, μελετάμε την έννοια των παράλογων εκφράσεων. Τέτοιες εκφράσεις σχετίζονται στενά με τις ρίζες.
Ορισμός 1
Παράλογες εκφράσειςείναι εκφράσεις που έχουν ρίζα. Δηλαδή, αυτές είναι εκφράσεις που έχουν ριζοσπάστες.
Με βάση αυτόν τον ορισμό, έχουμε ότι x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 - όλες αυτές είναι εκφράσεις ενός παράλογος τύπος.
Όταν εξετάζουμε την παράσταση x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 βρίσκουμε ότι η παράσταση είναι ορθολογική. Οι ορθολογικές εκφράσεις περιλαμβάνουν πολυώνυμα και αλγεβρικά κλάσματα. Οι παράλογες περιλαμβάνουν την εργασία με λογαριθμικές εκφράσεις ή ριζικές εκφράσεις.
Κύριοι τύποι μετασχηματισμών παράλογων εκφράσεων
Κατά τον υπολογισμό τέτοιων εκφράσεων, είναι απαραίτητο να δώσετε προσοχή στο DZ. Συχνά απαιτούν πρόσθετους μετασχηματισμούς με τη μορφή ανοίγματος παρενθέσεων, φέρνοντας παρόμοια μέλη, ομαδοποιήσεις κ.λπ. Η βάση τέτοιων μετασχηματισμών είναι οι πράξεις με αριθμούς. Οι μετασχηματισμοί των παράλογων εκφράσεων τηρούν μια αυστηρή σειρά.
Παράδειγμα 1
Μετασχηματίστε την παράσταση 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Λύση
Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τον αριθμό 9 με μια έκφραση που περιέχει τη ρίζα. Τότε το καταλαβαίνουμε
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
Η έκφραση που προκύπτει έχει παρόμοιους όρους, οπότε ας εκτελέσουμε τη μείωση και την ομαδοποίηση. Παίρνουμε
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Απάντηση: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Παράδειγμα 2
Παρουσιάστε την παράσταση x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 ως γινόμενο δύο παράλογων χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού.
Λύσεις
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Αντιπροσωπεύουμε το 9 με τη μορφή του 3 2 και εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Το αποτέλεσμα πανομοιότυπων μετασχηματισμών οδήγησε στο προϊόν δύο ορθολογικών εκφράσεων που έπρεπε να βρεθούν.
Απάντηση:
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Μπορείτε να εκτελέσετε έναν αριθμό άλλων μετασχηματισμών που ισχύουν για παράλογες εκφράσεις.
Μετατροπή ριζικής έκφρασης
Το σημαντικό είναι ότι η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας μπορεί να αντικατασταθεί από μια που είναι πανομοιότυπη με αυτήν. Αυτή η δήλωση καθιστά δυνατή την εργασία με μια ριζοσπαστική έκφραση. Για παράδειγμα, το 1 + 6 μπορεί να αντικατασταθεί από 7 ή 2 · a 5 4 - 6 με 2 · a 4 · a 4 - 6 . Είναι πανομοιότυπα ίσα, οπότε η αντικατάσταση είναι λογική.
Όταν δεν υπάρχει 1 διαφορετικό από το a, όπου ισχύει μια ανισότητα της μορφής a n = a 1 n, τότε μια τέτοια ισότητα είναι δυνατή μόνο για a = a 1. Οι τιμές τέτοιων παραστάσεων είναι ίσες με οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών.
Χρήση ιδιοτήτων ρίζας
Οι ιδιότητες των ριζών χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση των εκφράσεων. Για να εφαρμόσουμε την ιδιότητα a · b = a · b, όπου a ≥ 0, b ≥ 0, τότε από τον παράλογο τύπο 1 + 3 · 12 μπορεί να γίνει πανομοιότυπα ίσο με 1 + 3 · 12. Ιδιοκτησία. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , όπου a ≥ 0 σημαίνει ότι το x 2 + 4 4 3 μπορεί να γραφτεί με τη μορφή x 2 + 4 24 .
Υπάρχουν ορισμένες αποχρώσεις κατά τη μετατροπή ριζικών εκφράσεων. Εάν υπάρχει μια έκφραση, τότε - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 δεν μπορούμε να τη γράψουμε, αφού ο τύπος a b n = a n b n χρησιμεύει μόνο για μη αρνητικά α και θετικά b. Εάν η ιδιότητα εφαρμοστεί σωστά, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μια έκφραση της μορφής 7 4 81 4 .
Για σωστό μετασχηματισμό, χρησιμοποιούνται μετασχηματισμοί παράλογων εκφράσεων που χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των ριζών.
Εισαγωγή πολλαπλασιαστή κάτω από το πρόσημο της ρίζας
Ορισμός 3Τοποθετήστε κάτω από το σημάδι της ρίζας- σημαίνει για την αντικατάσταση της έκφρασης B · C n, και B και C είναι ορισμένοι αριθμοί ή εκφράσεις, όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος από 1, με μια ίση έκφραση που μοιάζει με B n · C n ή - B n · C n.
Αν απλοποιήσουμε την έκφραση της φόρμας 2 x 3, τότε αφού την προσθέσουμε στη ρίζα, παίρνουμε ότι 2 3 x 3. Τέτοιοι μετασχηματισμοί είναι δυνατοί μόνο μετά από λεπτομερή μελέτη των κανόνων για την εισαγωγή ενός πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
Αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας
Αν υπάρχει έκφραση της μορφής B n · C n , τότε ανάγεται στη μορφή B · C n , όπου υπάρχουν περιττοί n , που παίρνουν τη μορφή B · C n με άρτιους n , B και C να είναι κάποιοι αριθμοί και εκφράσεις.
Δηλαδή, αν πάρουμε μια παράλογη έκφραση της μορφής 2 3 x 3, αφαιρέσουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα, τότε παίρνουμε την έκφραση 2 x 3. Ή το x + 1 2 · 7 θα έχει ως αποτέλεσμα μια έκφραση της μορφής x + 1 · 7, η οποία έχει άλλη σημείωση της μορφής x + 1 · 7.
Η αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα είναι απαραίτητη για την απλοποίηση της έκφρασης και τη γρήγορη μετατροπή της.
Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν ρίζες
Μια παράλογη έκφραση μπορεί να είναι είτε φυσικός αριθμός είτε κλάσμα. Για να μετατρέψετε κλασματικές εκφράσεις, δώστε μεγάλη προσοχή στον παρονομαστή τους. Αν πάρουμε ένα κλάσμα της μορφής (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, τότε ο αριθμητής θα πάρει τη μορφή 5 x 4 και, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ριζών, βρίσκουμε ότι ο παρονομαστής θα γίνει x 2 + 5 6. Το αρχικό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως 5 x 4 x 2 + 5 6.
Είναι απαραίτητο να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι είναι απαραίτητο να αλλάξετε το πρόσημο μόνο του αριθμητή ή μόνο του παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
Η μείωση ενός κλάσματος χρησιμοποιείται συχνότερα κατά την απλοποίηση. Το καταλαβαίνουμε
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 μείωση κατά x + 4 3 - 1 . Παίρνουμε την έκφραση 3 x x + 4 3 - 1 2.
Πριν από τη μείωση, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν μετασχηματισμοί που απλοποιούν την έκφραση και καθιστούν δυνατό τον παράγοντα παράγοντα μιας σύνθετης έκφρασης. Οι συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού χρησιμοποιούνται συχνότερα.
Αν πάρουμε ένα κλάσμα της μορφής 2 · x - y x + y, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε νέες μεταβλητές u = x και v = x, τότε η δοθείσα παράσταση θα αλλάξει μορφή και θα γίνει 2 · u 2 - v 2 u + v. Ο αριθμητής πρέπει να αποσυντεθεί σε πολυώνυμα σύμφωνα με τον τύπο, τότε το παίρνουμε
2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Αφού κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση, φτάνουμε στη μορφή 2 x - y, που είναι ίση με την αρχική.
Επιτρέπεται η αναγωγή σε νέο παρονομαστή, τότε είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί ο αριθμητής με έναν επιπλέον παράγοντα. Αν πάρουμε ένα κλάσμα της μορφής x 3 - 1 0, 5 · x, τότε το ανάγουμε στον παρονομαστή x. για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παράσταση 2 x, τότε παίρνουμε την παράσταση x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .
Η μείωση των κλασμάτων ή η εισαγωγή παρόμοιων είναι απαραίτητη μόνο στο ODZ του καθορισμένου κλάσματος. Όταν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με μια παράλογη έκφραση, διαπιστώνουμε ότι απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.
Απαλλαγή από τον παραλογισμό στον παρονομαστή
Όταν μια έκφραση απαλλαγεί από τη ρίζα στον παρονομαστή με μετασχηματισμό, ονομάζεται απαλλαγή από τον παραλογισμό. Ας δούμε το παράδειγμα ενός κλάσματος της μορφής x 3 3. Αφού απαλλαγούμε από τον παραλογισμό, λαμβάνουμε ένα νέο κλάσμα της μορφής 9 3 x 3.
Μετάβαση από τις ρίζες στις εξουσίες
Οι μεταβάσεις από τις ρίζες στις δυνάμεις είναι απαραίτητες για τον γρήγορο μετασχηματισμό των παράλογων εκφράσεων. Αν θεωρήσουμε την ισότητα a m n = a m n , μπορούμε να δούμε ότι η χρήση της είναι δυνατή όταν το a είναι θετικός αριθμός, το m είναι ακέραιος και ο n είναι φυσικός αριθμός. Αν θεωρήσουμε την έκφραση 5 - 2 3, τότε διαφορετικά έχουμε το δικαίωμα να τη γράψουμε ως 5 - 2 3. Αυτές οι εκφράσεις είναι ισοδύναμες.
Όταν η ρίζα περιέχει έναν αρνητικό αριθμό ή έναν αριθμό με μεταβλητές, τότε ο τύπος a m n = a m n δεν είναι πάντα εφαρμόσιμος. Εάν πρέπει να αντικαταστήσετε τέτοιες ρίζες (- 8) 3 5 και (- 16) 2 4 με δυνάμεις, τότε παίρνουμε ότι - 8 3 5 και - 16 2 4 με τον τύπο a m n = a m n δεν δουλεύουμε με αρνητικό a. Προκειμένου να αναλυθεί λεπτομερώς το θέμα των ριζοσπαστικών εκφράσεων και οι απλουστεύσεις τους, είναι απαραίτητο να μελετήσουμε το άρθρο σχετικά με τη μετάβαση από τις ρίζες στις εξουσίες και πίσω. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ο τύπος a m n = a m n δεν ισχύει για όλες τις εκφράσεις αυτού του τύπου. Η απαλλαγή από τον παραλογισμό συμβάλλει στην περαιτέρω απλοποίηση της έκφρασης, τη μετατροπή και τη λύση της.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter